К решению обобщённой проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Каримов, Умед Хилолович

• Каримов, Умед Хилолович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Каримов, Умед Хилолович

Оглавление

Введение

1 Ацикличность, асферичность, клеточноподобность

1.1. О надстройках над нестягиваемыми компактами тривиального шейпа

1.2. О проблеме Бествины-Эдвардса

1.3. О фундаментальной группе факторпространства М3 по континууму Кейса-Чемберлина

1.4. Примеры двумерных сферичных односвязных клеточноподобных континуумов Пеано

1.5. Нестягиваемые континуумы Пеано, у которых гомотопические и гомологические группы тривиальны

1.6. Пример когомологических многообразий, которые не являются гомологически локально связными

1.7. Выводы к главе 1

2 Покрытия топологических пространств

2.1. Основные определения и леммы

2.2. Критерий гомеоморфности компактных метрических пространств

2.3. Критерий тривиальности шейпа компактных метрических пространств

2.4. Об объединениях и пересечениях односвязных плоских подпространств

2.5. О теореме Хелли

2.6. Выводы к главе 2

3 Нервы покрытий некоторых классов прстранств

3.1. Ацикличные подпространства плоскости

3.2. Открытые покрытия одномерных ацикличных пространств

3.3. Ацикличный клеточноподобный компакт, все мелкие покры-

тия которого цикличны

3.4. Нервы покрытий монотонных ретрактов

компактов

3.5. Нервы покрытий регулярных образов АМЯ пространств

3.6. Выводы к главе 3

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К решению обобщённой проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля»

Введение

Актуальность работы.

Проблемы, обсуждаемые и решаемые в диссертации, являются предметом комбинаторной топологии общих пространств - пространств со сложной, чаще всего с локально не полиэдральной структурой и с произвольными непрерывными отображениями.

Ценные научные результаты очень часто получаются на стыке противоречий, понимаемых в широком смысле этого слова. Одним из таких противоречий в математике является противоречие между непрерывностью и дискретностью. Такие "противоречия"возникают при построении естественных отображений из топологии в алгебру. Топологическим пространствам того или иного класса естественно сопоставляются различные алгебраические объекты: группы (ко)-гомологий, гомотопические группы, кольца непрерывных функций и т. д. Естественные отображения не обязательно функториальны, например, каждому пространству естественно сопоставить группу его автогомеоморфизмов и это сопоставление не функториально. Как известно, отображение естественно, если оно объективно. Такие отображения строятся обычно несколькими математиками независимо - либо параллельно, либо последовательно. Достаточно упомянуть группы когомологий Александера-Спеньера-Колмогорова, гомологии Стинрода-Ситникова, гомологии Бореля-Мура. Гомотопические группы были построены Пуанкаре (в размерности 1) и Гуревичем. Топологическим пространствам естественно сопоставляются также дискретные числовые инварианты: Эйлерова характеристика пространства, число Люстерника-Шнирельмана, различные размерности, которых в настоящее время известно достаточно много, в том числе такие, как размерности Менгера-Урыссона, Лебега-Чеха, трансфинитные размерности и другие кардинальнозначные инварианты (теснота, вес, калибр, число Суслина и т.д.).

Топологическим пространствам естественно сопоставляются дискретные инварианты другого типа: нервы покрытий. Нерв покрытия по существу представляет собой "схему пересечений" элементов покрытий, это симплициальный комплекс, дискретный объект, который может быть задан матрицами инцидентности.

Часто в математике приходится восстанавливать процесс, объект или его свойства по данной информации о них. По нерву некоторого специального покрытия любого компактного метрического пространства можно полностью восстановить топологию этого пространства.

Известная теорема П.С. Александрова1 утверждает, что любой п—мерный компакт может быть произвольно близко приближен п— мерным конечным полиэдром (кусочно-линейным пространством) и не может быть близко приближен полиэдром меньшей размерности. Эти полиэдры являются телами нервов некоторых покрытий.

Всё это говорит о том, что нервы покрытий играют большую роль в комбинаторной топологии. Нервы конечных покрытий были определены П.С. Александровым в 1927 году.

Каждому целому неотрицательному числу г и компакту F П.С. Александров2 и С. Лефшец3 сопоставили числа Nr(F) и pr{F), соответственно. Для конечномерного компакта F размерности т П.С. Александров определил также число, которое обозначим символом Nr(F)4. Число Nr(F) определяется как такое наименьшее целое число N, что для произвольного положительного числа £ существует конечное ^-покрытие компакта F, r-е число Бетти нерва (а это конечный комплекс и для них число Бетти было определено ещё А. Пуанкаре) которого есть N. Если такого числа £ не существует, то полагают Nr(F) = оо. Число pr(F) равно максимальному числу линейно независимых элементов r-мерной группы гомологии Виеториса с коэффициентами в поле рациональных чисел. Число Nr(F) определяется аналогично Nr(F) с той лишь разницей, что рассматриваются покрытия кратности т = dimF + 1.

Так как класс всех конечных покрытий шире класса конечных покрытий данного фиксированного порядка, то Nr(F) > Nr(F). Так как ранг обратного предела векторных пространств данного фиксированного ранга

1 Aleksandroff Р. S. Uber den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung // Math. Ann. -1928.-V.98.-P.617-636.

2Aleksandroff P. S. Bettische zahlen und e- Abbildungen // Fund. Math.-1934.-V.22. - P. 17-20.

3Lefshets S. Closed point-sets on a manifold // Ann. Math. -1928.-V.29.-P. 232-254.

4Aleksandroff P. S. Une définition des nombres de Betti pour un ensemble fermé quelconque // C.r.Acad.Sci.Paris-1927.-V.184. - P. 317-320.

п не превосходит п, то Nr(F) > pr{F) (рассматриваются гомологии с коэффициентами в поле рациональных чисел, а такие гомологии являются векторными пространствами над полем рациональных чисел).

П.С. Александров2 в работе 1934 года отметил, что вопрос о равенстве чисел Nr(F) и pr(F) открыт. С. Лефшец3 в работе, опубликованной в 1928 году, на стр. 232 пишет, что проблема эквивалентности различных обобщений чисел Бетти на произвольные компакты представляет интерес.

В 1942 году Э. Бегль5 доказал, что если X п— гомологически локально связное пространство, то группы гомологии Hq{X\Q), п > q, могут быть мономорфно отображены в группу гомологии нерва мелкого покрытия.

В 1949 году С. Эйленберг6 опубликовал список проблем, предложенных участниками топологической конференции, посвященной 200-летию Принстонского Университета. Пятая проблема из этого списка принадлежит Э. Беглю, которую на современном языке можно сформулировать следующим образом:

Проблема 0.0.1. Пусть S— компактное метрическое пространство и U— его конечное открытое покрытие. Для любого натурального числа п имеется естественный гомоморфизм гомологии Чеха пространства S в гомологии нерва покрытия J\f(U). Верно ли, что для любого абсолютного окрестностного ретракта существует конфинальная система открытых покрытий, для которых соответствующие гомоморфизмы являются изоморфизмами?

Следующая проблема обобщает упомянутые вопросы П.С. Александрова, С. Лефшеца и Э. Бегля:

Обобщённая проблема Александрова-Лефшеца-Бегля: Верно ли, что для п—мерного когомологически локально связного компакта (ANR-a) F и для любого е > 0 существует открытое покрытие Ы кратности n + 1 и мелкости е такое, что гомоморфизмы IIr(J\f(U)) —> Hr(F) при всех г, порождённые естественным отображением пространства F в нерв покрытия Af(U), являются изоморфизмами?

Если ответ на сформулированную проблему положителен, то есть ко-гомологии соответствующих пространств и нервов соответствующих покрытий изоморфны, то, естественно, и числа, определённые П.С. Александровым и С. Лефшецем, будут одинаковыми.

5Begle Е. G. Locally connected spaces and generalised manifolds // Amer. J. Math. -1942.-V.64.-P. 553-574.

6Eilenberg S. On the problems of topology // Ann. Math.-1949.-V.50.-P. 246-280.

Диссертация посвящена решению вопросов, поставленных более 50 лет тому назад и полностью не решённых до настоящего времени, и поэтому тема работы актуальна.

Дж.Р. Исбел высказал гипотезу о том, что всякий одномерный континуум с тривиальными гомологиями Чеха (по всем группам коэффициентов) древовиден, т. е. для любого открытого покрытия этого компакта существует открытое измельчение, нерв которого является одномерным древовидным графом. В 1960 году Дж. Кейс и Р. Чемберлин построили замечательный континуум, обозначим его символом С, который опроверг гипотезу Дж.Р. Исбела [49]. Этот континуум Кейса-Чемберлина имеет тривиальные гомологии и когомологии Чеха для всех групп коэффициентов и поэтому р1{С) = 0, но все его достаточно мелкие конечные открытые покрытия кратности 1 цикличны и нестягиваемы. Пространство С ациклично, но не клеточноподобно, так как компакт С допускает существенное отображение в букет двух окружностей (Дж. Кейс и Р. Чемберлин [49]).

Естественней вопрос:

Проблема 0.0.2. Верно ли что И1 (С) > р1{С)1

В работах диссертанта [6, 12] дается положительный ответ на этот вопрос.

С другой стороны Р. Коти [50], X. Росланец [137, 138] и, чуть позже, другим методом диссертант [11], доказали, что всякий компактный абсолютный окрестностный ретракт {АИК) X допускает сколь угодно мелкое покрытие Ы, нерв которого гомотопически эквивалентен X. Отсю-

да следует, что Нг(Х-д) ~ Нг(М(и)\0) и 7УГ(Х) = рг(Х). Этот результат является решением проблемы Бегля. В тоже время вопрос о равенстве МГ(Х) = рг{Х) в классе АЫИ,— ов остается открытым.

Для полного решения Обобщенной проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля необходимо изучить связи свойств пространств со свойствами их покрытий. Этой теме посвящено довольно много работ.

Одной из первых таких работ является работа А. Пуанкаре 1899 года [133], в которой по существу доказано, что всякое трехмерное многообразие являющееся регулярным клеточным комплексом гомеоморфно "взаимному полиэдру", т.е. пространству нерва некоторого специального покрытия этого многообразия [18].

Пространство тогда и только тогда гомеоморфно пространству нерва некоторого покрытия, если оно является полиэдром, поэтому из результатов Т. Радо 1924 года и Е.Е. Мойса 1952 года о триангулируемости всех

двумерных и трехмерных многообразий следует, что многообразия размерности не большей трех допускают сколь угодно мелкие покрытия, пространства нервов которых симплициально гомеоморфны этим пространствам. Триангулируемы все гладкие многообразия [47], [46], афин-ные алгебраические многообразия (под афинным алгебраическим многообразном подразумевается множество общих корней некоторого конечного числа многочленов в некотором пространстве Сп) [150], триангулируемы также стягиваемые открытые топологические многообразия [109]. Поэтому любое пространство X из этих классов обладает сколь угодно мелкими покрытиями, нервы которых гомеоморфны X. Проблема триангулируемости произвольных многообразий - классическая нерешенная проблема топологии.

Изучению условий при которых пространство гомотопически эквивалентно пространствам нервов сколь угодно мелких покрытий, посвящены работы К. Борсука, В. Голштынского. К. Борсук [37] доказал, что гомотопический тип конечномерного метрического компакта X, имеющего брикетное разбиение {Xi, Х2, ■ • •, Xk\, совпадает с гомотопическим типом пространства нерва этого разбиения. В. Голштыньский распространил этот результат с класса конечномерных компактов на класс произвольных компактных хаусдорфовых пространств [88]. Под брикетным разбиением пространства X понимается конечная система Х\, Х2, ■ ■ ■, Xk непустых замкнутых Ga— множеств, удовлетворяющая следующим двум условиям:

(I) х = х1их2---ихк-1

(II) для любого набора индексов го, ii, ■ ■ ■, гт, где к > г„ > 1, пересечение Xi0 П Xix П • • • П Xim либо пусто, либо является AR— множеством.

В работе [151] А. Вейля доказана следующая теорема: пусть Е - топологическое пространство, такое, что ЕхЕх [0,1] - нормальное пространство. Тогда пространство нерва топологически простого, локально конечного, открытого покрытия Е имеет гомотопический тип Е (покрытие топологически просто, если все пересечения обладают свойством продолжения отображений).

М. Фукс [75] доказывает, что пространство нерва открытого нумеруемого покрытия произвольного пространства, любые конечные пересечения которого стягиваемы, гомотопически ему эквивалентно. Покрытие {Va}aga пространства X называется нумеруемым, если существует локально конечное разбиение единицы 7г7 : X —» [0,1], 7 G Г, такое, что {тг"1 (0,1]} измельчает {va}.

В работе [121] М.К. Маккорда найдены условия, при которых простран-

ство нерва покрытия пространства X слабо гомотопически эквивалентно X. А именно доказано, что если V— точечно конечное открытое покрытие пространства X и пересечения любых конечных подсемейств V гомотопически тривиально, то существует слабая гомотопическая эквивалентность \M(V)\ —> X (пространство V гомотопически тривиально, если для любой точки х из V и г > 0 7гг(У, х) — 0; отображение / : |A/"(V)| —■> X есть слабая гомотопическая эквивалентность, если для любого а Е |A/"(V)| и i > 0 гомоморфизмы 7ti(|jv(v)|, а) —>• 7Гг(Х,/(а)) являются изоморфизмами).

В работе [156] установлены связи гомотопических групп пространств с гомотопическими группами пространств нервов специальных покрытий этих пространств.

Условия, при которых когомологии пространства изоморфны когомо-логиям пространств нервов некоторых покрытий, предложены Ж. Jlepe. В работе [113] доказана следующая теорема: пусть {Мг}— открытое, либо замкнутое локально конечное покрытие пространства X, А— пучок абе-левых групп. Предположим, что Нд(МгоГ)... М1т\ А) = 0 для всех q > 1 и любых го,... ,im. Тогда канонический гомоморфизм H*(\N({Mi})\\A) —> Н*(Х]Л) является изоморфизмом. Истоки этой замечательной теоремы содержатся в работе Дж.Л. Кэлли и Э. Питчера [104], в которой изучались специальные покрытия полиэдра его подполиэдрами.

Имеются аналогичные результаты для гомологий. Так, например, Е.М. Бениаминовым доказано [2], что если {Мг}ге/ конечное покрытие метрического компакта X, Л— копредпучок с базой X, группы Hq(X; AMs) тривиальны для всех q ф 0 и для всех симплексов S нерва покрытия {Мг}ге1, то группы гомологии нерва покрытия Hn(\J\f(M)\\7io(A)) изоморфны группам гомологий Стинрода-Ситникова Нп(Х\ А) компакта X.

Для гомологий Стинрода-Ситникова и гомологий нервов покрытий компактов X имеется следующая точная последовательность:

0 -» Ш1 Hn+l{Ma] G) -> Нп(Х; G) - Ит Нп{Яа) 0,

{A/qJ— нервы произвольной конфинальной системы открытых покрытий.

Ряд работ [34, 61, 74, 111] посвящен выяснению гомологических связей гомологически локально связных пространств с нервами мелких покрытий.

В 1956 году А. Гротендик ввел понятие вычислимого пучка и установил некоторые связи групп когомологий паракомпактных пространств над вычислимыми пучками и нервов их покрытий [80].

В 1931 году JI.A. Люстерник определил характеристику Cat X топологического пространства X. Cat X— это минимальное число таких замкнутых множеств А{ С X, которыми можно покрыть X и каждое из которых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в X [114]. Иначе говоря, Cat X— это минимальное число вершин нервов конечных покрытий пространства X замкнутыми стягиваемыми множествами. Характеристика Cat X является гомотопическим инвариантом. Если М— гладкое компактное п— мерное замкнутое многообразие, то п + 1 > Cat X. Cat Sn = 2, Cat M2 = 3 (M2— произвольное замкнутое двумерное многообразие, не гомеоморфное сфере), Cat lZVn = п + 1, Cat Тп = п + 1, (Тп- n-мерный тор) [17], [22].

К. Куратовским и С. Уламом введено понятие квазигомеоморфизма. Квазигомеоморфные компакты допускают сколь угодно мелкие открытые покрытия, нервы которых симплициально изоморфны.

Большое количество научных результатов, так или иначе касающихся полностью не решенной Обобщенной проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля, подчеркивает актуальность темы работы.

Цель и задачи исследования.

Цель работы состоит в том, чтобы решить Обобщённую проблему Александрова-Лефшеца-Бегля в классе когомологически локально связных компактов и наметить новые направления исследований задач для полного решения проблемы в классе абсолютных окрестностных ретрак-тов.

Обобщённая проблема Александрова-Лефшеца-Бегля не решена в общем случае и ответ на вопрос не известен, поэтому общая стратегия состоит в двух подходах:

1. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ. Попытаться найти условия, при которых п—мерный компактный ANR X обладает сколь угодно мелким покрытием кратности n+ 1, нерв которого гомотопически эквивалентен X.

2. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ. Попытаться получить контрпример к проблеме, построить п—мерный компактный AR, все мелкие покрытия кратности п + 1 которого цикличны.

Как известно, при решении сложных задач, которые не поддаются решению, бывает полезным решать сначала приближённые, упрощённые задачи. Это достигается либо добавлением, либо удалением некоторых условий, вообще говоря, некоторой переформулировкой условий задач. И в диссертации неоднократно для решения вышеупомянутой проблемы

применяется метод частичного получения ответов при тех или иных дополнительных предположениях и ограничениях. Все задачи распадаются на три круга задач:

1. Задачи, связанные с изучением топологически тривиальных в том или ином смысле пространств (ацикличность, асферичность, клеточно-подобность).

2. Задачи, связанные с исследованиями покрытий пространств.

3. Задачи, связанные с исследованиями нервов покрытий ацикличных пространств.

Вопросы из первого круга задач, изученные в диссертации, следующие:

• Существует ли нестягиваемый клеточноподобный компакт, надстройка над которым стягиваема? (Проблема 677 Бествины-Эдвардса).7

в Доказать, что факторпространство Евклидова пространства по букету двух континуумов Кейса-Чемберлина является обобщённым ацикличным многообразием, которое не является гомологически локально связным в сингулярных гомологиях.

• Доказать, что существует клеточноподобный односвязный неасферичный 2-мерный континуум Пеано.

• Доказать, что существует гомотопически нетривиальный континуум Пеано, все гомотопические и гомологические группы которого тривиальны.

Ко второму классу задач относятся следующие:

• Доказать, что компактные метрические пространства гомеоморфны в том и только в том случае, когда они обладают базами тонких покрытий, нервы которых симплициально изоморфны.

в Привести критерий тривиальноси шейпа компактов в терминах нервов открытых покрытий.

• Доказать, что, если ХсМ2 есть объединение двух односвязных компактных подмножеств Х\,Х2 С X и если пересечение Х\ Г) Х2 линейно связно и клеточно, то X односвязное пространство.

7Mill J. van, Reed G. M. Eds. Open Problems in Topology. North-Holland, Amsterdam, 1990.

• Доказать, что для любого натурального числа п существует семейство Т = односвязных компактных подмножеств М2 такое, что (см.рис. 2 при п=1):

1. Объединения и1к=$Хгк при всех I < п и пересечения П1к=0Хг/е при I < п односвязны.

2. Пересечение П"=0Хг непусто.

3. Объединение не односвязно.

В частности, доказать, что существует плоский компакт и его покрытие из двух односвязных континуумов, пересечение которых односвязно, а объединение неодносвязно.

• Восполнить пробел в одном из вариантов Топологической теоремы Хелли, на который указал в своей работе С.А. Богатый 8 (стр. 399). Доказать следующее утверждение: Семейство {Хг}2=0 трёх односвязных компактных подмножеств плоскости М2 имеет односвязное пересечение, если пересечения ХгГ\Х3, z,jG{0,1,2} любых двух из них линейно связны и пересечение П2=0Хг всех трёх членов непусто

К третьему кругу задач относятся следующие:

• Показать, что существуют ацикличные в гомологиях Чеха подпространства плоскости, все мелкие покрытия которых цикличны.

в Построить 1-мерный ацикличный в когомологиях Чеха компакт, числа Бетти всех мелких покрытий которого положительны. То есть для некоторых 1-мерных компактов N1 > р1.

• Доказать, что существует 2-мерный клеточноподобный когомологически-локально связный компакт, все мелкие покрытия кратности 3 которого цикличны.

• Дать альтернативное доказательство того, что все компактные абсолютные окрестностные ретракты обладают сколь угодно мелкими покрытиями, нервы которых гомотопически им эквивалентны. Отсюда следует, что для ANR пространств Nn = рп. В то же время вопрос о равенстве Nn = рп для ANR пространств остается открытым.

8 Богатый С А Топологическая теорема Хелли //Фундамент и прикл матем , -2002 - Т 8 365 - 405, http //mech math msu su/ fpm/rus/k02/k022/k02204h htm

Методика исследования.

Основными методами исследований являются методы геометрической и алгебраической топологии, а также методы комбинаторной теории групп: Теория обратных пределов; Теория когомологий Чеха; Приведённая комплексная -теория; Метод Дж. Красинкевича построения абсолютных окрестностных ретрактов; Теория шейпов; Теория размерности; Коммутаторное исчисление комбинаторной теории групп (соотношения коммутаторных длин элементов групп), функция А. Ремтуллы; Теорема Зейферта - ван Кампена; Метод модификации открытых покрытий, разработанный диссертантом и изложенный в главе 2; Теорема А. Застрова об асферичности подмножеств плоскости; Триангуляционная теорема Т. Чепмэна и теорема Р. Эдвардса в теории бесконечномерных многообразий.

Научная новизна.

• Доказано, что существует 2-мерный клеточноподобный когомологически локально связный компакт X, все мелкие покрытия кратности 3 которого цикличны. В частности, ацикличный компакт X не допускает е— отображений при всех достаточно малых е на 2-мерные ацикличные полиэдры. Это ответ на Обобщённую проблему Александрова-Лефшеца-Бегля в классе когомологически локально связных пространств.

• Доказано, что существует 1-мерный ацикличный в когомологиях Чеха (и, следовательно, в гомологиях Чеха) компакт, числа Бетти всех мелких покрытий которого ненулевые. То есть, вообще говоря, N1 > р1. Это ответ на вопрос П.С. Александрова1, поставленный в 1934 году.

• Доказано, что существует плоский компакт и его покрытие из двух односвязных континуумов, пересечение которых односвязно, а объединение неодносвязно (это ответ на вопрос С.А. Богатого7).

• Доказано, что компактные метрические пространства гомеоморфны в том и только в том случае, когда они обладают тонкими базами, нервы которых симплициально изоморфны.

• Доказано, что шейп компакта тривиален в том и только в том случае, когда он обладает произвольно мелкими открытыми покрытиями, нервы которых гомеоморфны конечномерным кубам.

• Доказано, что существует гомотопически не тривиальный континуум Пеано, все гомотопические и гомологические группы которого тривиальны.

• Доказано, что существует клеточноподобный односвязный неасферичный 2-мерный континуум Пеано.

• Доказано, что существует нестягиваемый клеточноподобный компакт, надстройка над которым стягиваема. Это решение проблемы Бествины-Эдвардса.

• Предложен метод построения обобщённых ацикличных когомологических многообразий, которые не являются гомологически локально связными.

Результаты, изложенные в диссертации, в утвердительной форме упомянуты в работах Давермана-Дранишникова, Тимчатина-Валова, П. Минца и ещё в ряде работ ("индекс цитирования" включает более 40 работ).

В частности, Р. Даверман и А. Дранишников9 пишут: "At one time we thought perhaps every 2-dimensional compact metric space which is к — UV for all A; > 2 could be expressed as an inverse limit of aspherical 2-dimensional polyhedra. However, the proof of Karimov's result shows this is false".

В работе Э. Пеарл10, на стр. 62 отмечено: "Problem 677. U.H. Karimov and D. Repovs showed that there exists noncontractible cell-like compactum whose suspension is contractible. Their example is 3-dimensional, so they asked whether there exist 1- or 2-dimensional counterexamples.". Проблема 677 -это проблема, поставленная М. Бествиной и Р.Д. Эдвардсом в 1990 году.

О. Богопольский и А. Застров11 пишут: "...we investigate Karimov's space К .... We show, that H\(K) is uncountable, and that each element of H\(K) can be represented as an infinite commutator product".

В работе А. Бобои, Б. Машахи, X. Миребрахими12 отмечено: "Also they (Karimov, Repovs) construct a Peano continuum with trivial homotopy, homology (singular, Cech and Borel-Moore), cohomology (singular and Cech) and finite dimensional Hawaiian groups, which is not contractible and particularly has nontrivial infinite dimensional Hawaiian group".

9Daverman R. J., Dranishnikov A. N. Cell-like maps and aspherical compacta // Illinois. J. Math. -1996.-V.40.-P. 77-90.

10Pearl E. Open problems in topology // Topol. Appl. -2004.-V.136.-P. 37-85.

11 Bogopolski O., Zastrow A. The word problem for some uncountable groups given by countable words // Topol. Appl. -2012.-V. 159.-569-586

12Babaee A., Mashayekhy В., Mirebrahimi H. On Hawaiian groups of some topological spaces // Topol. Appl.-2012.-V. 159.-P. 2043-2051.

Практическая и теоретическая значимость.

Результаты, изложенные в работе, имеют теоретической характер и открывают новые перспективы для исследований топологии пространств, имеющих сложную локальную структуру. Они могут быть применены при чтении специальных курсов и в специальных семинарах по топологии для студентов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация результатов диссертации.

Результаты работы докладывались на семинарах в МГУ имени М.В. Ломоносова (на общемосковском топологическом семинаре имени П.С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии, на семинарах профессоров С.А. Богатого, Е.Г. Скляренко - многократно на протяжении 1975-2009 годов, на семинаре профессора В.В. Федорчука), в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН (на семинаре профессора М.А. Штанько, 1985 год), в Институте математики Университета Любляны на семинаре профессора Д. Реповша (многократно на протяжении 1997-2013 годов, см. например www.pef.uni-lj.si/sgt), в Институте математики Загреба на семинаре С. Мардешича (сентябрь 2008 и 2010 годов), на семинарах Института математики АН Республики Таджикистан (многократно, в том числе и в 2012 году).

Результаты диссертации обсуждались также на Международных конференциях в Баку (1987 г.), Киеве (1995 г.), Москве (1996 г.), Иокогаме (1999 г.), Киото (2006 г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 20 работах, входящих в список изданий, рекомендуемых ВАК России для опубликования научных результатов диссертации на соискание учёной степени доктора наук.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

• Существует 2-мерный клеточноподобный когомологически локально связный компакт X, все мелкие покрытия кратности 3 которого цикличны. В частности, ацикличный компакт X не допускает е— отображений при всех достаточно малых е на 2-мерные ацикличные полиэдры. Это ответ на Обобщённую проблему Александрова-Лефшеца-Бегля в классе когомологически локально связных пространств.

• Существует 1-мерный ацикличный в когомологиях Чеха (и, следовательно, в гомологиях Чеха) компакт, числа Бетти всех мелких покрытий которого не нулевые. То есть, вообще говоря, верхнее число Александрова больше числа Лефшеца, N1 > р1. Это ответ на вопрос П.С. Александрова3.

• Существует плоский компакт и его покрытие из двух односвязных континуумов, пересечение которых односвязно, а объединение неод-носвязно (это ответ на вопрос С.А. Богатого7).

• Компактные метрические пространства гомеоморфны в том и только в том случае, когда они обладают тонкими базами, нервы которых симплициально изоморфны.

• Существует гомотопически не тривиальный континуум Пеано, все гомотопические и гомологические группы которого тривиальны.

• Существует клеточноподобный односвязный неасферичный 2-мерный континуум Пеано.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Каримов, Умед Хилолович, 2013 год

Литература

[1] Александров П. С. Комбинаторная топология. -Москва:Физматгиз-1947. С. 660.

[2] Вениаминов Е. М. Спектральная последовательность непрерывного отображения и покрытия для гомологий Деевеля // Матем. сб.-1972.-Т. 88 (130).-С. 211-217.

[3] Богатый С. А. Топологическая теорема Хелли //Фундамент. и прикл. матем. -2002- Т. 8: 365 - 405; http://mech.math.msu.su/ fpm/rus/k02/k022/k02204h.htm

[4] Борсук К. Теория ретрактов. -Москва:Мир-1971. -С. 292.

[5] Дранишников А. Н. О проблеме Александрова // Матем. сб.-1988.-Т. 135 (177).-С. 551-557.

[6] Каримов У. X. Пример одномерного ацикличного в смысле когомо-логий Алексаедрова-Чеха компакта, все достаточно мелкие покрытия которого цикличны // Успехи матем. наук.-1977.-Т. 32.-С.245-246.

[7] Каримов У. X. Пример пространства тривиального шейпа, все мелкие открытые покрытия которого цикличны // ДАН СССР.-1986.-Т. 286.-С.531-534.

[8] Каримов У. X. О трех леммах комбинаторной теории групп // ДАН Тадж. ССР.-1986.-Т. 29.-С. 191-192.

[9] Каримов У. X. О нервах покрытий некоторых компактов // Бакинская международная топологическая конференция. Тезисы. Ч. 2-1987.-С.140.

[10] Каримов У. X. Об одном критерии тривиальности шейпа компактного пространства // ДАН Республики Таджикистан-1990.-Т. 33.-С.9-12.

[11] Каримов У. X. Об аппроксимации полиэдрами некоторых пространств // ДАН Республики Таджикистан-1991.-Т. 34.-С.270-274.

[12] Каримов У. X. Числа Бетти и нервы покрытий компактов // ДАН Республики Таджикистан-1992.-Т. 35.-С.326-327.

[13] Каримов У. X. Двумерная теорема Хелли-Молнара //Актуальные проблемы математики и ее приложения: тез. докл. международной конференции, 6 октября 2012 г. - Курган-Тюбе, 2012.-С.42-44.

[14] КаримовУ. X., Реповш Д. Гавайские группы топологических пространств // Успехи. Матем. Наук.-2007.-Т. 61.-С. 185-186.

[15] Куратовский К. Топология. Том 2, Москва:Мир,-1969.-С.

[16] Лефшец С. Алгебраическая топология. Москва:ИЛ,-1949.-С. 505.

[17] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхности // Успехи матем. наук, -1947.-Т. 2.-С. 166-217.

[18] Масси У. Теория гомологий и когомологий. Москва:Мир,-1981. -С. 388.

[19] Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Москва:Наука,-1977.-С. 496.

[20] Спеньер Э. X. Алгебраическая топология. Москва:Мир,-1971.-С. 693.

[21] Ульянов В. М. Решение основной задачи о бикомпактных расширениях волмэновского типа // ДАН СССР.-1977.-Т. 233.-С. 1056-1059.

[22] Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. Москва:Наука, -1989.-С. 528.

[23] Чепмэн Т. Лекции о Q— многообразиях. Москва:Мир, 1981.-С. 160.

[24] Штанько М. А. Вложение древовидных компактов в Еп, // ДАН СССР, -1966.-T. 169.-С. 292-294.

[25] Штанько М. А. Континуумы, обладающие свойством неподвижных точек // ДАН СССР, -1964.-Т. 154.-С. 1291-1293.

[26] P. S. Aleksandroff. Bettische zahlen und e—Abbildungen // Fund. Math.-1934.-V.22. - P. 17-20.

[27] Aleksandroff P. S. Untersuchungen über Gestalt und Large abgeschlossener Mengen beliebiger Dimesion // Ann. of Math.-1928.-V.30. - P. 101-187.

[28] Aleksandroff P. S. Une définition des nombres de Betti pour un ensemble fermé quelconque // C.r.Acad.Sci.Paris-1927.-V.184. - P. 317-320.

[29] Aleksandroff P. S., Urysohn P. S. Mémoire sur les espaces topologiques compacts // Verh. Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam Afd. Natuurk.-1929.-V.14:l.

[30] Babaee A., Mashayekhy B., Mirebrahimi H. On Hawaiian Groups of Some Topological Spaces // Topol. Appl-2012-V.159-P. 2043-2051.

[31] Bandt C. On Wallman-Shanin compactifications // Math. Nachr-1977-V.77.-P. 333-351.

[32] Bardakov V. G.. Computing the commutator length in free groups // Algebra Log. -2000.-V.39.-P. 395-400.

[33] Beckmann W. H. A certain class of non-aspherical 2-complexes //J. Pure. Appl. Algebra-1980.-V.16.-P. 243-244.

[34] Begle E. G.. Locally connected spaces and generalised manifolds // Amer. J. Math. -1942.-V.64.-P. 553-574.

[35] Bing R. H.. The elusive fixed point property // Amer. Math. Monthly-1969.-V.76.-P. 119-132.

[36] Bogopolski O., Zastrow A. The word problem for some uncountable groups given by countable words // Topol. Appl. -2012.-V. 159.-569-586

[37] Borsuk K. On the imbedding of system of compacta in simplicial complexes // Fund. Math-1948-V.35.-P. 217-234.

[38] Borsuk K. On the homotopy types of some decomposition spaces // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys.-1970.-V.18.-P. 235-239.

[39] Borsuk K. Theory of Shape. Monografie Math., 59, PWN,-Warsaw,-1975.

[40] Bredon G. E.. Sheaf Theory. 2nd ed., Graduate Text Math., 170 SpringerVerlag, Berlin-1997.

[41] Breen M. A Helly-type theorem for intersections of compact connected sets in the plan // Geom. dedicata-1998.-V.71.-P. 111-117.

[42] Breen M. Planar compact sets whose intersections are starshaped via orthogonally convex paths // Adv. Geom. -2008.-V.8.-P. 161-169.

[43] Brown M. A proof of the generalized Schoenflies theorem //Bull. Amer. Math. Soc. -1960.-V.646.-P. 74-76.

[44] Brown R. Topology: A Geometric Account of General Topology, Homotopy Types and the Fundamental Groupoid // Ellis Horwood, West Sussex-1988.

[45 [46 [47 [48 [49 [50 [51 [52 [53 [54 [55

[56 [57 [58 [59 [60

Brouwer L. E. J.. Beweis der Invarianz der geschlossenen Kurve // Math. Ann-1912.-V.72.-S.422-425.

Cairns S. S. Triangulation of the manifolds of class one // Bull. Amer. Math. Soc. -1935.-V.41.-P. 549-552.

Cairns S. S. The triangulation problem and its role in analysis // Bull. Amer. Math. Soc. -1946.-V.52.-P. 545-571.

Cannon J. W., Conner G. R., Zastrow A. One-dimensional sets and planar sets are aspherical // Toplol. Appl-2002.-V.120.-P. 23-45.

Case J. H., Chamberlin R. E.. Characterizations of tree-like continua // Pacif. J. Math.-1960.-V. 10.-P. 73-84.

Cauty R. Retractes absolus de voisinage et quasicomlexes // Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Math.-1986.-V.34.-P. 95-105.

Chapman T. A. Compact Hilbert cube manifolds and the invariance of Whitehead torsion // Bull. Amer. Math. Soc.-1973.-V.79.-P. 52-56.

Chichilnisky G. Intersecting families of sets and the topology of cones in economics // Bull. Amer. Math. Soc.-1993.-V.29.-P. 189-207.

Cohen J. M. Aspherical 2-complexes //J. Pure and Appl. Algebra-1978.-V.12.-P. 101-110.

Culler M. Using surfaces to solve equations in free groups // Topology-1981.-V.20.-P. 133-145.

Danzer L., Grunbaum B., Klee V. Helly's Theorem and its Relatives In: Klee V. (Ed) Convexity // Proc. Symposia in Pure Math, 8, P. 101-177, Providence: Amer. Math. Soc. 1963.

Daverman R. J. Decomposition of Manifolds. Academic Press, Orlando, 1986.

Daverman R. J., Dranishnikov A. N. Cell-like maps and aspherical compacta // Illinois. J. Math. -1996.-V.40.-P. 77-90.

Debruner H. E.. Helly type theorems derived from basic singular homology /1 Amer. Math. Monthly-1970.-V.77.-P. 375-380.

Dowker C. H. Cech cohomology theory and the axioms / / Ann. of Math-1950.-V.51.-P. 278-292.

Dowker C. H. Topology of metric complexes // Amer. J. Math.-1952,-V.74.-P. 555-577.

[61] Dyer E. Regular mappings and dimension // Ann. Math.-1958.-V.67.-P. 119-149.

[62] Eckhoff J. Helly, Radon, and Caratheodory type theorems. In: Klee V. L. (ed) Convexity. Proc. Symposia in Pure Math. Providence: Amer. Math. Soc. -1963.-V.VII.-P. 101-177.

[63] EdaK., Karimov U. H., Repovs D. On homological local connectedness // Topol. Appl.-2002.-V.120.-P. 397-401.

[64] Eda K., Karimov U. H., Repovs D. A construction of noncontractible simply connected cell-like two-dimensional Peano continua // Fund. Math.-2007.-V.195.-P. 193-203.

[65] Eda K., Karimov U. H., Repovs D. On the fundamental groups of R3 modulo the Case-Chamberlin continuum // Glasnik Matematicki-2007.-V.42 (62).-P. 89-94.

[66] Eda K., Karimov U. H., Repovs D. A nonaspherical cell-like 2-dimensional simply connected continuum and related constructions // Topol. Appl.-2009.-V. 156.-P. 515-521.

[67] Eda K., Karimov U. H., Repovs D. On 2-dimensional nonaspherical cell-like Peano continua: A simplified approach // Mediterr. J. Math. -2013.-V. 10.-P. 519-528.

[68] Edwards R. D. Characterising infinite dimensional manifolds topologically (after Henryk Torunczyk) // Seminar Bourbaki.-1978/79.-V.540.-P. 278302.

[69] Eilenberg S. Transformations continues en circonference et la topologie du plan // Fund. Math.-1936.-V.26.-P. 61-112.

[70] Eilenberg S. On the Problems of Topology // Ann. Math.-1949.-V.50.-P. 246-280.

[71] Eilenberg S., Steenrod N. E. . Foundation of Algebraic Topology. Princeton University Press, Princeton,-N.J.,-1952.

[72] Engelking R. General Topology. Heldermann, Berlin,-1989.

[73] Felt J. E. Homotopy groups of compact Hausdorff spaces with trivial shape I/ Proc. Amer. Math. Soc.-1974.-V.44.-P. 500-504.

[74] Floyd E. E. Closed coverings in Cech homology theory // Fund. Math-1936.-V.26.-P. 61-112.

[75] Fuchs M. Extending local homotopy eqivalences // Rend. Circ. Mat. Palermo. Serie II -1983.-V.32.-P. 217-223.

[76] Gel'fand, I. M., Kolmogorov A. N. On rings of continuous functions on topological spaces // Dokl. Akad. Nauk SSSR.-1939.-V.22.-P. 11-15.

[77] Geoghegan R., Summerhill R. Concerning the shapes finite dimensional compacta // Trans. Amer. Math. Soc.-1973.-V.179.-P. 281-292.

[78] Gillman L., Jerison M. Rings of continuous Functions // Grad. Texts Math.-1976-V.43.

[79] Griffiths H. B. The fundamental group of two spaces with a common point // Quart. J. Math. Oxford.-1954.-V.5.-P. 175-190; A correction: Quart. J. Math. Oxford.-1954.-V.6.-P. 154-155.

[80] Grothendieck A. Theoremes de finitude pour la cohomologie des faisceaux 11 Bull. Sei. Math.-1956.-V.84.-P. 1-75.

[81] Hagopian C. L. The fixed-point property for simply connected plane continua // Trans. Amer. Math. Soc.-1996.-V.348.-P. 4525-4548.

[82] Hall M. The Theory of Groups. Chelsea, New York-1959.

[83] Hatcher A. Vector Bundles and K-Theory. Lecture note, Cornell University, Ithaca, New York, http://www.math.cornell.edu/ hatcher /VBKT/VBpage.html

[84] Helly E. Uber Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten //Monatsh. Math. Phys.-1930.-V.37.-C.281-302.

[85] Herrlich H. Wann sind alle stetigen Abbildungen in konstant? //Math. Z.-1965.-V.90.-S.152-154.

[86] Hewitt E. On two problems of Urysohn //Ann. Math.-1946.-V.47.-P. 503-509.

[87] Hilton P. J., Wylie S. Homology Theory. Cambridge University Press, London-1960.

[88] Holsztynski W. On spaces with regular decomposition //Bull. Acad. Polon. Sei., Ser. Math.-1964.-V.12.-P. 607-611.

[89] Hu S. T. Theory of Retracts. Wayne State Univ. Press, Detroit-1965.

[90] Hyman D. M. ANR divisors and absolute neighborhood contractibility //Fund. Math.-1968.-V.62.-P. 61-73.

[91] Kahn D. S. An example in Cech cohomology // Proc. Amer. Math. Soc-1965.-V.16.-C.584.

[92] Karimov U. On 2-Spherical cell-like 2-dimensional Peano Continuum // General and Geometric Topology and Geometric Group Theory, RIMS Kokyuroku.-2006.-V.1492.-P. 52-55.

[93] Karimov ¡J., Repovs D. On nerves of fine coverings // Publ. Math. Debrecen.-1999.-V.54.-P. 295-302.

[94] Karimov U., Repovs D. On the union of simply connected planar sets // University of Ljubljana, Preprint Series-1999.-V.37.

[95] Karimov U., Repovs D. On suspensions of noncontractible compacta of trivial shape // Proc. Amer. Math. Soc-1999-V.127.-C.627-632.

[96] Karimov U., Repovs D. A Noncontractible Cell-like compactum whose suspension is contractible // Indagationes Mathematicae-1999.-V.10:4-P. 513-517.

[97] Karimov U., Repovs D. On the union of simply connected planar sets // Topol. Appl.-2002.-V.122.-P. 281-286.

[98] Karimov U., Repovs D. On the Topological Helly Theorem // Topol. Appl.-2006.-V.153.-P. 1614-1621.

[99] Karimov U., Repovs D. Examples of cohomology manifolds which are not homologically locally connected // Topol. Appl.-2008.-V.155.-P. 11691174.

[100] Karimov U., Repovs D. On noncontractible compacta with trivial homology and homotopy groups // Proc. Amer. Math. Soc.-2010.-V.138.-P. 1525-1531.

[101] Karimov U., Repovs D., Zeljko M. On the union and intersections of simply connected planar sets // Monatsh. fur Math.-2005.-V.145.-P. 239245.

[102] Karoubi M. K-Theory. Springer-Verlag, Berlin,-1978

[103] Kelley J. L. General Topology. Van Nostrand, Amsterdam,-1955

[104] Kelley J. L., Pitcher E. Exact homology sequences in homology theory // Ann. Math. Ser. 2-1947.-V.48.-P. 682-709

[105] Krasinkiewicz J. On a method of constructing ANR-sets. An application of inverse limits // Fund. Math. -1976.-V.92.-P. 95-112.

106] Kuratowski K. Théoreme sur trois continus // Monatsh. Math. Phys-1929.-V.36.-P. 77-80.

107] Lacher R. C. Cell-like mappings // Pacif. J. of Math. -1969.-V.30.-P. 717-731.

108] Lacher R. C. Cell-like mappings and their generalizations // Bull. Amer. Math. Soc. -1977.-V.83.-P. 495-552.

109] Lashof R. The immersion approach to triangulation and smoothing. Actes, Congress intern. Math. -1970.-V.2.-P. 91-93.

110] Lassonde M. Sur le principe KKM // C. R. Acad. Sei. Paris, Sér I Math -1990.-V.310.-P. 573-576.

111] Lee C. N. The regular convergence theorem // Michigan. Math. J-1967.-V.14.-P. 207-217.

112] Lefshets S. Closed point-sets on a manifold // Ann. Math. -1928.-V.29-P. 232-254.

113] Lerray J. L'anneau spectral et l'anneau filtre d'homologie d'un espace localement compact et d'un espace localement compact et d'une application continue // J. Math. Pure Appl -1950.-V.29.-P. 1-139.

114] Liusternik L. Sur quelques methoodes topologiques dans la geometrie différentielle. Atti del Congresso Internazionale dei Matematica, Bologna -1931.-P. 291-296.

115] Lyndon R. CSchupp P. E. Combinatorial Group Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Greenzgebiete, band 89, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.

116] Magnus W., Karras A., Solitar D. Combinatorial Group Theory. Dover. Publications, Inc., New York, 1976.

117] Manka R. On the additivity of the fixed point property for 1-dimensional continua // Fund. Math. -1990.-V.136.-P. 27-36.

118] Mardesic S. Decreasing sequences of cubes and compacta of trivial shape // Topol. Appl. -1972.-V.2.-P. 17-23.

119] Mardesic S., Segal J. Shape Theory: The Inverse System Approach. North-Holland, Amsterdam, 1982.

120] Massey W. S. Algebraic Topology: An Introduction. Springer, Berlin, 1967.

121] McCord M. C. Homotopy type comparison of a space with complexes associated with its open covers // Proc. Amer. Math. Soc. - 1967.-V.18, -P. 705-708.

122] Menger K. Uber die Dimension von Punktmengen II // Monatsh. Math, und Phys. -1926.-V.34.-S. 1371,1-161.

123] Mill J. van , Reed G. M. Eds. Open Problems in Topology. North-Holland, Amsterdam, 1990.

124] Mine P. Choosing a sheltered middle path // Topology Appl. -2006-V.153.-P. 1622-1629.

125] Molnar J. A ketdimenzios topologikus Helly-tetelrol // Mat. Lapok. Hungar -1957.-V.8.-P. 108-114.

126] Molnar J. Uber eine Verallgemeinerung auf die Kugelflache eines topologischen Satzes von Helly // Acta. Math. Acad. Hungar -1956.-V.7.-P. 107-108.

127] Moran S. A subgroup theorem for free nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. -1962.-V.10.-P. 495-515.

128] Nadler S. B. Jr. Continuum Theory. An Introduction. Monogr. and Textbooks in Pure and Appl. Math.,-158, Marcel Dekker, Inc., New York,-1992.

129] Novak J. Regularni prostor, na nëmz je kazda spojita funkce konstanti // Cas. pestov. mat. -1948.-V.73.-P. 58-68.

130] Nunke R. J. Modules of extension over Dedekind rings // Illinois J. Math. -1959.-V.93.-P. 222-241.

131] Pearl E. Open problems in topology // Topol. Appl. -2004.-V.136.-P. 37-85.

132] Poénaru V. Les décompositions de l'hypercube en produit topologique // Bull. Soc. Math. France. -1960.-V.88.-P. 1134-129.

133] Poincare H. Complement a l'analysis situs // Rendic. Cire. Mat. Palermo. -1899.-V.13.-P. 314-321.

134] Poincare H. Cinquième complément a l'analysis situs // Rendic. Cire. Mat. Palermo. -1904.-V.18.-P. 45-110.

135] Rhemtulla A. H. k problem of bounded expressibility in free products // Proc. Cambridge Philos. Soc. -1968.-V.64.-C.573-584.

[136] Roberson P. D. An uncountable collection of Case-Chamberlin type continua with no model // Glas, mat-1988-V.23.-P. 169-192.

[137] Roslaniec H. On the likeness of non-trivial Ai?—spaces to the hilbert Cube // Bull. Acad. Polon. Sei., Ser. Math.-1977.-V.25.-P. 879-883.

[138] Roslaniec H. Concerning the likeness of compacta. Proc. Intern. Conference on Geometric Topology.-1978.-PWN Polish Scientific Publ., Warsaw, 1980

[139] Rourke C. P., Sanderson B. J. Introduction to Piecewisw-Linear Topology // Ergebn. der Math.-V.69.-Springer Verlag, Berlin -1972.

[140] Sakai K. Fine homotopy equivalences of simplicial complexes // Acad. Polon. Sei. Ser. Math.-1986.-V.34.-P. 89-97.

[141] Shrikhande N. Homotopy properties of decomposition spaces // Fund. Math.-1983.-V.116.-C. 119-124.

[142] Siebenmann L. Chapman's classification of shapes: a proof using collapsing // Manuscripta Math.-1975.-V.16.-C.373-384

[143] Sierpinski W. Sur une propreieté topologique des ensembles denombrables denses en soi // Fund. Math.-1920.-V.l.-C. 11-16.

[144] Spanier E. H. Algebraic Topology. McGraw-Hill,-1966.

[145] Steen L. A., Seebach J. A. Jr. Counterexamples in Topology. Springer Verlag, Berlin-1978.

[146] Taylor J. L. A counterexample in shape theory // Bull. Amer. Math. Soc.-1975.-V.81.-P. 629-632.

[147] Tymchatyn E. D., Valov V. On intersection of simply connected sets in the plane // Glas. Mat. Ser. Ill -2006.-V.41-P. 1591,1163.

[148] Uryson P. Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes // Fund, math.-1926.-V.8.-P. 225-359.

[149] Veblen 0. Analysis Situs. Cambridge Colloquium-1916.

[150] Waerden B. L. Einfuhrung in die algebraische Geometrie // Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen-1973.

[151] Weill A. Sur les theoremes de de Rham / / Comment, math, helv-1952 -V.26 - P. 119-145

[152] Whitehead J. H. C. Combinatorial homotopy // Bull. Amer. Math. Soc., -1949.

[153] Whyburn G. T. Analytic Topology // Amer. Math. Soc., New York-1942.

[154] Wright D. G. AR's which contain only trivial ANR's // Houston. J. of Math-1978.-V.4.-P. 121-127.

[155] Whitehead G. W. Elements of Homotopy Theory. Springer-Verlag, Berlin,-1978.

[156] Wu Wen-tsun. On a theorem of Leray // Sei. Sinica. Ser. A-1961.-V.10.-P. 793-805.

[157] Yandl A. L. On a question concerning fixed points // Amer. Math. Monthly-1968.-V.75.-P. 152-156.

[158] Zastrow A. Planar sets are aspherical // Habilitationsschrift, Ruhr-Universitä, Bochum-1997/1998