Гомологические аспекты теории локально выпуклых пространств, пространств Лебега и Орлича дифференциальных форм и гармонического анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Копылов Ярослав Анатольевич

• Копылов Ярослав Анатольевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Копылов Ярослав Анатольевич

категории

1.2 Рассматриваемые классы пространств

1.2.1 Категория борнологических ЛВП Bor

1.2.2 Категория бочечных ЛВП Bar

1.2.3 Категория банаховых пространств Ban

1.2.4 Категория пространств Фреше Fre

1.3 Лемма о двух квадратах и связывающий

морфизм в предабелевых категориях

1.3.1 Лемма о двух квадратах

1.3.2 Два определения связывающего морфизма

1.4 Кег-Сокег-последовательность в категориях бочечных и борнологических локально

выпуклых пространств

1.5 Гомологии для борнологических и бочечных пространств

1.5.1 Левые и правые гомологии

1.5.2 Длинная (ко)гомологическая последовательность в категориях бочечных и борнологических локально выпуклых пространств

1.6 Одно обобщение Кег-Сокег-последовательности

для банаховых пространств и пространств Фреше

1.7 Инварианты Ламбека коммутативных квадратов в категориях банаховых пространств

и пространств Фреше

1.8 Леммы о гомоморфизмах в категориях борнологических и бочечных локально

выпуклых пространств

1.9 Точные пары в категориях борнологических

и бочечных пространств

1.10 Аддиционная последовательность Кузьминова-Шведова для банаховых пространств

и пространств Фреше

2 Ьр(?-когомологии римановых многообразий

специального вида

2.1 Основные определения

2.2 Весовые Ьр(?-когомологии полуинтервала

£

2.3 Ьрл-когомологии искривленного цилиндра О^

2.4 Нормальная разрешимость оператора внешнего дифференцирования

на поверхностях вращения

2.5 Редуцированные Ьчр-когомологии скрученных цилиндров

2.5.1 Оператор гомотопии

2.5.2 Абсолютные редуцированные Ь^-когомологии

2.5.3 Относительные редуцированные Ь^-когомологии

2.5.4 Асимптотические скрученные цилиндры

2.6 Неравенство Соболева-Пуанкаре и Ь^-когомологии скрученных цилиндров

2.6.1 Весовое неравенство Соболева-Пуанкаре

для выпуклых множеств в

2.6.2 Новый оператор гомотопии для д > р.

Случай выпуклой области в

2.6.3 Глобализация: неравенство Соболева-Пуанкаре

на цилиндре

2.6.4 Ь^-когомологии скрученного цилиндра

2.6.5 Ь^-когомологии асимптотического

скрученного цилиндра

2.6.6 Примеры

2.7 Ьр,д-когомологии группы Гейзенберга

3 Одномерные ЬФ-когомологии локально компактных топологических групп и аменабельность

3.1 Аменабельность и почти инвариантные векторы

в регулярном представлении в Ьф

3.1.1 N-функции и функциональные пространства Орлича

3.1.2 Краткий обзор интегрирования на локально компактных группах

3.1.3 Аменабельность замкнутых подгрупп

3.2 Аменабельность однородных пространств

3.3 Первые £ф-когомологии дискретных групп

3.3.1 Первые когомологии и аменабельность

3.3.2 Одномерные когомологии сплетения групп

4 Двойственность пространств Орлича дифференциальных форм и когомологии Орлича

4.1 Банаховы комплексы

4.2 Теорема Рисса

4.3 Сопряженные пространства к пространствам дифференциальных форм, связанным с Ьф

4.4 Когомологии Орлича и банаховы комплексы

4.5 Двойственность Гельдера-Пуанкаре

для Ьф1 ф11 -когомологий

4.6 Некоторые вычисления когомологий Орлича

и неравенства Соболева-Пуанкаре-Орлича

4.6.1 Ьф1,ф2-когомологии вещественной прямой К

4.6.2 Ьф1,ф2-когомологии гиперболической плоскости

4.6.3 Ьф-когомологии шара

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гомологические аспекты теории локально выпуклых пространств, пространств Лебега и Орлича дифференциальных форм и гармонического анализа»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Использование методов теории гильбертовых пространств в исследовании краевых и других задач на римановых многообразиях восходит к середине XX в.

Согласно известной теореме де Рама [25] у гладкого многообразия M сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама

0 л (M) Л Ü1(M) Л ... Л ÜP(M) Л ÜP+1(M) Л ...,

где QJ (M) — пространство гладких дифференциальных форм степени j на M, а dP — оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50-е годы XX в. было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологий изоморфно пространству гармонических форм. Оператор * Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве DP (M) дифференциальных форм степени j с компактным носителями, лежащими в Int M, скалярное произведение

{и, в) = J и Л *в,

м

пополнение пространства DP (M) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством L2(M, Лр) дифференциальных форм степени j на M, удовлетворяющих условию ||и||2 = f и Л *и < ж.

M

При этом оператор внешнего дифференцирования d : DP (M) Л DP+1(M) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на

подпространстве пространства L2(M, Aj). Именно, будем считать, что форма ^ лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность {ifv} гладких форм такая, что ifv и dtpV сходятся в норме У • ||2. Положим d<p = lim dtpV.

V ^ж

Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа-Кодаиры [93, 131]. Это позволило Коннеру [89] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости.

В 1976 г. в работе [62] М. Атья впервые определил L2-когомологии риманова многообразия и положил начало их использованию для изучения некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с особенностями. В настоящее время число работ, посвященных L2-когомологиям, очень велико. Весьма важные результаты содержатся в работах М. Гаффни, Дж. Доджика, Дж. Чигера, М. Громова, В. Мюллера, С. Цукера, Дж. Лотта, В. Люка, Т. Шика, Ж. Карро-на и других авторов.

В начале 80-х годов XX в. В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов начали исследование ^-дифференциальных форм на римановых многообразиях при произвольном p £ [1, ж]. Ими были введены пространства Qpq (Wp*q) тех форм из Lp, у которых обобщенный внешний дифференциал (в смысле потоков де Рама) лежит в Lq, и определены L^-когомологии риманова многообразия M как фактор-пространство пространства Lq-коциклов по подпространству Lq-коци-клов, которые являются дифференциалами L^-форм. При p = q вместо Qpp используют обозначение Qp и говорят об L^-когомологиях. Существенное отличие от случая L2 здесь состоит в том, что при p = 2 Lp-формы (как и Lp-функции) образуют относительно Lp-нормы банахово, а не гильбертово пространство, что делает методы исследования L^-когомологий принципиально иными.

^-теория дифференциальных форм на римановых многообразиях была развита в ряде работ В. М. Гольдштейна, В. И. Кузьминова и И. А. Шведова (см. [12]- [24] и [102]), а также В. И. Кузьминова и

И. А. Шведова (см. [32]- [43]). Ими была решена поставленная Уит-ни проблема построения теории интегрирования Ь-форм по к-мерным поверхностям, исследованы возникающие в связи с изучением Ьр-кого-мологий вопросы нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования, получены различные теоремы об аппроксимации дифференциальных форм, вариант формулы Кюннета для Ьр-когомологий (1 < р < то) искривленного произведения ри-мановых многообразий (впоследствии обобщенный К. В. Сторожуком и И. А. Шведовым в [53] на липшицевы римановы многообразия и р =1, то).

П. Пансю [148], М. Громов [113], Г. Элек [97-99] распространили использование Ь'-методов на графы, «звездно ограниченные» симплици-альные комплексы, и, в частности, на конечнопорожденные дискретные группы (с помощью рассмотрения графа Кэли). Ьр-когомологии счетной дискретной или топологической группы О определяются как непрерывные групповые когомологии группы О с коэффициентами в банаховом модуле Ьр(О). Из-за интересных связей одномерных Ьр-когомологий со свойствами конечнопорожденной группы (концы группы, аменабельность, действия группы на банаховых пространствах) когомологические Ьр-методы в теории групп в последние годы получили активное развитие (см., например, [77-79, 139, 140, 157-159]). Совсем недавно Р. Тессера [181] доказал, что групповые Ьр-когомологии связной группы Ли совпадают с Ьр-когомологиями этой группы как многообразия. Наряду с пространствами Ь на локально компактных группах интерес вызывают также пространства Орлича Ьф, позволяющие давать более развитые характеризации свойств группы. Пространства Орлича на локально компактных топологических группах рассматривались в работах [82,127], а также совсем недавно в [58,59,160,161].

Помимо упомянутых выше работ, Ьр-когомологии при р = 2 рассматривались в работах Д. Александру Ружины [60,61], Л. Бирбрайра и В. М. Гольдштейна [69], Ж. Каррона, Т. Кулона и Э. Хассела [85], М. Шайе и Н. Лооуэ [86], Й. Эйххорна [95,96], П. Пансю [150,151], К. В. Сторожука [52,178], Н. Еганефара [187], Б. Юсина [189], С. Цу-

кера [190].

В последние 15 лет В. М. Гольдштейн и М. Троянов обратили внимание на Lp, q-когомологии римановых многообразий [103]- [109], [182]. Они показали нетривиальность двумерных Lp, ,^-когомологий группы SOL при всех p и q, а также обнаружили связь между Lp,q-когомологи-ями риманова многообразия с выполнением на нем неравенства Соболева для дифференциальных форм. Ими также была установлена двойственность Гельдера-Пуанкаре для редуцированных Lp,q-когомологий (см. [109]). Lp,q-когомологии также изучались С. К. Водопьяновым [5] и Сян-Дун Ли [136].

Подобно функциональным пространствам Орлича, пространства Ор-лича дифференциальных форм являются естественным обобщением пространств Lp. Пространства Орлича дифференциальных форм на областях в Rn были впервые рассмотрены Т. Иванцом и Г. Мартином в [122], а затем Р. Агарвалом, С. Дингом и П. Нолдером в [57] (см. также [90,124]). В книге [122] Иванец и Мартин также установили теорему типа Рисса для пространств Орлича дифференциальных форм на области в Rn. Пространства Орлича дифференциальных форм на ри-мановых многообразиях, по-видимому, были впервые рассмотрены в совместной работе автора с Р. А. Паненко в [133], где были введены и изучены операторы регуляризации де Рама для пространств дифференциальных форм, а также М. Карраско Пьяджо в [84].

Предположим, что многообразие M представлено в виде объединения двух замкнутых множеств Mi и M2, причем M1 и M2 — гладкие n-мерные подмногообразия, а M1 П M2 — гладкое (n — 1)-мерное подмногообразие M, M1 П M2 С Int M. Пусть : Qp(M(M1) — оператор ограничения форм с M на M1, а : Qp0(M2) —^Qp(M) — оператор продолжения нулем с M2 на M. (Здесь Qp 0(M2) — замыкание пространства Dj(M2) в норме пространстве Qp(M2)). Эти операторы перестановочны с дифференциалами и образуют точную последовательность комплексов

0 4 Qp,0(M2) 4 Qp(M) 4 Qp(M1) л 0.

Этой точной последовательности комплексов соответствует точная последовательность Ьр-когомологий

• • • х нр-1(мо -X нр',о(м2) -X Щ(М) -X нр(М1) -X ...

и полуточная последовательность редуцированных когомологий

... -X нр-1(мо нр 0(М2) -X Нр(м) -X нр(М1) -X ....

ip vV1D г 11 p,0VV12) ^pV^ ) г n p\

(0.1)

(Под полуточностью последовательности всюду далее имеется в виду, что композиция любых двух ее последовательных морфизмов равна нулю.) Здесь символ Hp 0 (Hp 0) обозначает ^-когомологии (соответственно, редуцированные ^-когомологии) с компактным носителем. Возникает естественный вопрос: когда последовательность (0.1) является точной? Этот вопрос исследовали В. И. Кузьминов и И. А. Шведов в [38] для точной последовательности

0 4 A 4 B 4 C 4 0

произвольных банаховых комплексов, компоненты которых суть банаховы пространства, а дифференциалы — замкнутые линейные операторы. Эти авторы изучили, как влияет на точность последовательности редуцированных когомологий предположение о нормальной разрешимости дифференциалов одного из комплексов A, B или C.

Категория Ban банаховых пространств и непрерывных линейных операторов не является абелевой, что существенно затрудняет использование в ней стандартных методов гомологической алгебры. Эта ситуация типична для практически всех известных аддитивных категорий функционального анализа. Поэтому весьма важным является развитие понятий и методов, используемых при изучении абелевых категорий, на более широкие классы аддитивных категорий.

Категория Ban представляет собой пример квазиабелевой категории. Аддитивная категория с ядрами и коядрами называется квазиабелевой, если она удовлетворяет следующим условиям: (а) если комму-

тативный квадрат

C

A

в

D

f B

(0.2)

коуниверсален, то из того, что в — коядро, следует, что а — коядро и (Ь) если квадрат (0.2) универсален и а — ядро, то в — ядро.

Первые шаги в развитии гомологической алгебры в неабелевых аддитивных категориях были сделаны А. Хеллером [117], Н. Йонедой [188], К. Бэникэ и Н. Попеску [65], М. Журкеску и Н. Ласку [125,126].

В 1960 г. Н. Йонеда [188] ввел класс аддитивных категорий, которые он назвал «квазиабелевыми». Йонеда не предполагал наличия в категории ядер и коядер, но если предположить, что они имеются, то категория оказывается квазиабелевой в указанном выше смысле (В. Румп).

Пусть А — аддитивная категория. Пусть в А выполнена следующая аксиома.

Аксиома 1. Каждый морфизм а имеет ядро Кег а и коядро Сокег а.

g

Такие категории обычно называют предабелевыми. В предабелевой категории A всякий морфизм а допускает каноническое разложение а = (ima)a(coimа), где imа = kercokerа, coimа = coker kerа. По определению категория A абелева тогда и только тогда, когда а — изоморфизм.

В 70-е годы XX в. Ф. Ричмен и Э. Уокер [166] и А. В. Яковлев [56] ввели функторы Ext в предабелевой категории. В 1991-94 гг. А. И. Генералов рассматривал производные категории и Ker -Coker -последовательность для предабелевой категории [7-9].

Многие важные категории функционального анализа и топологической алгебры удовлетворяют следующей аксиоме.

Аксиома 2. Для всякого морфизма а морфизм а является бимор-физмом, т. е. мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.

К. Бэникэ и Н. Попеску [65] ввели класс аддитивных категорий,

удовлетворяющих аксиомам 1 и 2, и назвали их «предабелевыми». Позже (независимо) такие категории были рассмотрены В. П. Паламодо-вым [47,48] (в связи с изучением категории локально выпуклых пространств) и В. Румпом [168-170]. Оба автора назвали эти категории полуабелевыми.

В данной работе мы называем полуабелевы категории в смысле Паламодова-Румпа P-полуабелевыми, поскольку термин «полуабеле-вы категории» в последние годы прочно укоренился в литературе в совершенно ином, неаддитивном контексте (см. [123]).

В работе Л. Грюзона [114] использовались квазиабелевы категории Йонеды, но уже в предположении наличия ядер и коядер. В том же 1966 г. в работе М. Журкеску [125] эти категории были названы «предабелевыми». В 1969 г. в [50] Д. А. Райков ввел класс «полуабелевых» категорий, который, как показали В. И. Кузьминов и А. Ю. Череви-кин в [31], совпадает с классом квазиабелевых категорий. Квазиабелевы категории также рассматривала Р. Суччи Кручани [179], которая отметила их совпадение с «предабелевыми» категориями Журкеску. В 1999-2000 гг. Ф. Просманс и Ж. -П. Шнайдерс построили производную категорию квазиабелевой категории A и ввели ее две канонические t-структуры, рассмотрели проблему взятия производного функтора аддитивного функтора между квазиабелевыми категориями, функторы индуктивного и проективного предела, пучки с коэффициентами в ква-зиабелевой категории (см. [153-155,172]). В. Румп [168,169] изучал квазиабелевы категории под названием «почти абелевы» (almost abelian). В работе [168] он подробно изучил структуру квазиабелевых категорий и, в частности, показал, что квазиабелевы категории — это в точности классы объектов кручения или классы объектов, свободных от кручения, в подходящей абелевой категории с заданной на ней теорией кручения. Этот же результат был доказан в 2003 г. А. Бондалом и М. ван ден Бергом [70]. Квазиабелевы категории также рассматривались Т. Бюлером [83], М. Касиварой [128], А. Ю. Пирковским [49]. Автором совместно с В. И. Кузьминовым в [29,132] рассматривались вопросы точности Ker -Coker -последовательности и гомологической по-

следовательности в квазиабелевый категориях; подобными вопросами занимался М. Грандис [110] в неаддитивном контексте, в изобретенном им классе «гомологических» категорий, включающем в себя квазиабе-левы категории.

Класс квазиабелевых категорий содержит, кроме всех абелевых категорий, многие категории функционального анализа и топологической алгебры. Категории (всех или только хаусдорфовых) топологических абелевых групп, топологических векторных пространств, локально выпуклых пространств, пространств Фреше, нормированных пространств, банаховых пространств, фильтрованных абелевых групп, абелевых групп без кручения — типичные примеры квазиабелевых категорий. Существенное отличие уже квазиабелевых категорий от абе-левых заключается в том, что стандартные диаграммные леммы, справедливые в абелевых категориях, в квазиабелевых категориях выполняются при дополнительных предположениях о морфизмах, образующих диаграмму, которые обычно сводятся к требованию строгости этих морфизмов. Морфизм а в предабелевой категории называется строгим, если в его каноническом разложении а = (im а)а(шт а) а — изоморфизм. Как правило, в квазиабелевых подкатегориях категории хаусдорфовых топологических векторных пространств (а также в категории хаусдорфовых топологических абелевых групп) мор-физм а является строгим тогда и только тогда, когда его теоретико-множественный образ замкнут и он является открытым отображением на свой образ. Из теоремы Банаха об открытых отображениях вытекает, что в категории Баи банаховых пространств и ограниченных линейных операторов строгость означает просто замкнутость образа (т. е. нормальную разрешимость). Когомологии коцепного комплекса A в категории Баи представляют собой редуцированные когомологии банахова комплекса A.

Еще Д. А. Райкову было известно, что любая квазиабелева категория является P-полуабелевой. Д. А. Райков полагал, что верно и обратное (назовем это гипотезой Райкова). Лишь 2008 г. В. Румпом [170] был построен явный и весьма нетривиальный алгебраический контр-

пример к этому предположению. Другой пример (категории борноло-гических и ультраборнологических локально выпуклых пространств) можно получить из работы [71]. Недавно В. Румп показал, что категории борнологических и бочечных локально выпуклых пространств являются естественными примерами Р-полуабелевых категорий. Это дает основания для детального исследования этого класса категорий. В 2012 г. в [185] Й. Венгенрот объяснил, что гипотеза Райкова неверна по естественным и глубоким причинам, которые были известны еще в 1970-х годах (работы С. Дирольф).

При изучении стандартных диаграммных лемм в предабелевых и Р-полуабелевых категориях приходится накладывать не только условия строгости на морфизмы диаграмм, но и условия стабильности некоторых коядер относительно коуниверсальных квадратов и некоторых ядер относительно универсальных квадратов. Это соответствует подходу А. И. Генералова в [7-9].

Среди работ, касающихся вопросов гомологической алгебры, связанных с задачами функционального анализа, отметим книги А. Я. Хелем-ского [54,55], где рассмотрены гомологии банаховых алгебр (см. также работу С. С. Акбарова [1]) и работы [144,147], где, в частности, исследована возможность построения спектральной последовательности Лин-дона - Хохшильда - Серра для ограниченных когомологий дискретных групп [147] и ограниченных непрерывных когомологий локально компактных групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности [144].

Цели и задачи. Работа посвящена исследованию некомпактных римановых многообразий и топологических групп с помощью методов пространств Лебега и Орлича, а также связанных с этим вопросов гомологической алгебры в различных классах аддитивных категорий, встречающихся в функциональном анализе.

Основными целями диссертационной работы являются разработка диаграммных и гомологических методов исследования предабелевых подкатегорий категории локально выпуклых пространств и получение новых условий нетривиальности Ьр,ч-когомологий различных важных модельных римановых многообразий и одномерных когомологий Ор-

лича дискретных и топологических групп, а также установление основных свойств, связанных с двойственностью, пространств Орлича дифференциальных форм и когомологий Орлича римановых многообразий. Основное внимание уделяется категориям Ban банаховых пространств и категория Fre пространств Фреше (квазиабелев случай) и категориям Bar и Bor не обязательно хаусдорфовых бочечных и борнологических локально выпуклых пространств соответственно (P-полуабелев случай).

В связи с этим решаются следующие задачи.

1. Изучить условия, обеспечивающие выполнение классических диаграммных теорем в категориях бочечных и борнологических локально выпуклых пространств, а также вывести обобщения этих теорем в категориях банаховых пространств и пространств Фреше.

2. Исследовать вопрос о связи Lpq-когомологий искривленных и скрученных цилиндров со свойствами скручивающей функции и свойства одномерных Lpq- и Ьф-когомологий для групп Ли и топологических групп. Построить теорию двойственности для пространств Орлича дифференциальных форм.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и своевременно опубликованы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Полученные результаты о точности Ker -Coker -последовательности и когомологической последовательности в категории бочечных локально выпуклых пространств Bar и категории борнологических локально выпуклых пространств Bor проясняют условия, необходимые для работы с гомологиями для случая общих комплексов таких пространств. Результаты о спектральной последовательности точной пары в категориях Bar и Bor показывают, что возможность построения спектральной последовательности в этих и других категориях накладывает весьма жесткие ограничения на исходные данные. Использованные методы гомологической алгебры в P-полуабелевых категориях позволяют по-

лучить аналогичные результаты для других подкатегорий категории локально выпуклых пространств ССБ.

Искривленные цилиндры часто выступают в качестве «концов» многообразий на бесконечности, а тривиальность Lp,^-когомологий связана с выполнением неравенства Соболева для дифференциальных форм. Поэтому результаты об Ьр,?-когомологиях искривленных и скрученных цилиндров, полученные в диссертации, демонстрируют причины выполнения или невыполнения неравенства Соболева в зависимости от поведения риманова многообразия на бесконечности.

Результаты о пространствах Орлича на дискретных группах показывают, что в случае выполнения для соответствующей Ж-функции Ф Д2 и У2-условия (и тем самым ее не более чем степенного роста) одномерные £ф-когомологии ведут себя, как £р-когомологии. Это подсказывает, что для различения бесконечных групп с тривиальными £р-когомологиями следует привлекать пространства Орлича с Ф </ Д2.

Полученные теоремы двойственности для пространств Орлича дифференциальных форм и двойственность Гельдера-Пуанкаре для редуцированных когомологий Орлича в рефлексивном случае позволяют развить вычисления когомологий Орлича для различных классов многообразий. Результат об общем виде линейного непрерывного функционала на пространстве Морса-Трэнсю носит важный характер общего утверждения о двойственности в рамках пространств Орлича в нерефлексивном случае. Полученные условия тривиальности когомологий Орлича для гиперболической плоскости и шара означают выполнение теорем вложения для пространств дифференциальных форм.

Результаты работы могут быть использованы в спецкурсах для студентов университета, специализирующихся в области функционального анализа, анализа на многообразиях, гомологической алгебры.

Методология и методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы исследования используют результаты и методы гомологической алгебры в аддитивных и предабелевых категориях, теории пространств Соболева на интервале вещественной оси, Ьр-теории дифференциальных форм на римановых многообразиях, функ-

ционального анализа, теории представлений локально компактных топологических групп, теории интегрирования на таких группах, теории пространств Орлича.

Положения, выносимые на защиту, таковы.

1. Разработаны категорные методы исследования предабелевых и Р-полуабелевых подкатегорий категории локально выпуклых пространств Эти методы позволили установить для категорий бочечных и борноло-гических локально выпуклых пространств: достаточные условия точности Кег-Сокег-последовательности и (ко)гомологической последовательности, соответствующей короткой строго точной последовательности комплексов; леммы о пяти и девяти гомоморфизмах; условия возможности построения спектральной последовательности точной пары. Для банаховых пространств и пространств Фреше исследованы некоторые обобщения Кег-Сокег-последовательности.

2. Получены условия нетривиальности Ьр,?-когомологий искривленного цилиндра в терминах двухвесового неравенства Харди на полуинтервале и, как приложение, необходимые условия нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на поверхности вращения в Кп+2. Найдены условия тривиальности редуцированных и нередуцированных Ьрл-когомологий скрученного цилиндра. Доказано, что при р < д одномерные Ьрл-когомологии общей группы Гейзенбер-га Нп бесконечномерны.

3. Найден новый критерий аменабельности для замкнутой подгруппы локально компактной группы в терминах ее действия на пространстве Орлича самой группы, а также новый критерий аменабельности однородного пространства. Установлена связь одномерных когомоло-гий Орлича дискретной группы с наличием неаменабельной подгруппы.

4. Развита теория двойственности для пространств Орлича дифференциальных форм и редуцированных когомологий Орлича в рефлексивном случае, а также в общем случае описаны линейные непрерывные функционалы на замыкании подпространства гладких форм с компактным носителем (пространстве Морса-Трэнсю) в пространстве

Орлича. Изучены когомологии Орлича некоторых модельных многообразий.

Степень достоверности результатов проведенного исследования. Достоверность представленных результатов подтверждена подробными доказательствами.

Апробация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались на Всероссийских и международных конференциях: на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 2004), на Российской конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007), на Конференции-школе по уравнениям в частных производных и анализу на сингулярных пространствах (Бонн, Германия, 2008), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2008), Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, 2009), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009, 2010, 2011), Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске» (2012, 2013, 2014, 2016, 2017, 2018, 2019), Международной конференции по геометрическому анализу в честь 90-летия Ю. Г. Решетняка (2019), а также докладывались в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН (рук. — акад. Ю. Г. Решетняк), на семинарах «Геометрия, топология и их приложения» (рук. — акад. РАН И. А. Тайманов), «Инварианты трехмерных многообразий» (рук. — чл.-корр. РАН А. Ю. Веснин, проф. А. Д. Медных), в Московском государственном университете на семинаре «Алгебры в анализе» (рук. — проф. А. Я. Хелемский и доц. А. Ю. Пирковский), в Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики» на семинаре «Функциональный анализ и некоммутативная геометрия» (рук. — доц. А. Ю. Пир-ковский), на семинаре кафедры математического анализа и теории

функций Российского университета дружбы народов (рук. — проф. В. И. Буренков), на семинаре в Национальном исследовательском Томском государственном университете, на семинарах университетов Лилля, Нанта, Сержи-Понтуаз, Париж-Х1 (Франция), университетов Бонна, Штутгарта, Потсдама, Падерборна (Германия), Свободного университета Брюсселя (УИБ) (Бельгия), Федеральной политехнической школы Лозанны (Швейцария), Университета Бен-Гуриона (Беэр-Шева, Израиль).

Публикации по теме исследования. По теме диссертации автором опубликована 21 работа [191]- [211] в российских и иностранных журналах, рекомендованных ВАК. Работа [196] написана автором совместно с В. И. Кузьминовым, работы [201] и [205] — с С.-А. Вегнером, работы [207,210,211] — с В. М. Гольдштейном. Вклад соавторов в эти работы равен и неделим. Из статьи [206], совместной с Р. А. Панен-ко, автор включил в диссертацию только результаты, полученные им единолично.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Копылов Ярослав Анатольевич, 2021 год

Литература

[1] Акбаров С. С. Абсолютная теория гомологий стереотипных алгебр // Функц. анализ и его прил. 2000, Т. 34, № 1. С. 76-79.

[2] Батуев Э. Н., Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Харди // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 1. С. 13-22.

[3] Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И. Топологические векторные пространства и их приложения. М.-Ижевск: Издательство «РХД», 2012. 584 с.

[4] Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. 259 с.

[5] Водопьянов С.К. Пространства дифференциальных форм и отображения с контролируемым искажением // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 6. С. 727-731.

[6] Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Т.1. Введение в теорию когомологий и производные категории. М.: Наука, 1988. 416 с.

[7] Генералов А. И. Относительная гомологическая алгебра в пре-дабелевых категориях. I. Производные категории // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, № 1. С. 98-119.

[8] Генералов А. И. Производные категории аддитивной категории // Алгебра и анализ, 1992, Т. 4, № 5. С. 91-103.

[9] Генералов А. И. Кег-Сокег-последовательность для предаб-елевых категорий // Абелевы группы и модули (Томск). 1994. № 11-12. С. 78-89.

[10] Глотко Н. В. О соотношениях Кюннета для ковариантного функтора двух аргументов в полуабелевой категории // Вестник НГУ. Сер. матем., мех., информ. 2006. Т. 6, № 3. С. 5-24.

[11] Глотко Н. В., Кузьминов В. И. О когомологической последовательности в полуабелевой категории // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 1. С. 41-50.

[12] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Дифференциальные формы на липшицевом многообразии // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 2. С. 16-30.

[13] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Об интегрировании дифференциальных форм классов // Сиб.

Г,У 1 1

мат. журн. 1982. Т. 23, № 5. С. 63-79.

[14] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О теореме Уолфа для дифференциальных форм классов // Сиб.

р , Ч 1 1

мат. журн. 1983. Т. 29, № 6. С. 209-210.

[15] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Об одном свойстве операторов регуляризации де Рама // Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25, № 2. С. 104-111.

[16] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. С. 53-87.

[17] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Сопряженные пространства к пространствам дифференциальных форм // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 1. С. 45-56.

[18] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. ЬР-когомологии римановых многообразий // Исследования по геометрии и математическому анализу: Тр. Ин-та математики /АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск: Наука, 1987. Т. 7. С. 101-116.

[19] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 4. С. 82-96.

[20] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости линейных операторов // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 5. С. 49-59.

[21] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Редуцированные Ьр-когомологии искривленных цилиндров // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 10-23.

[22] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. ЬР-когомологии искривленных цилиндров // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 6. С. 55-63.

[23] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О формуле Кюннета для ЬР-когомологий искривленных произведений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 5. С. 29-42.

[24] ГольдштЕйн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Об аппроксимации точных и замкнутых дифференциальных форм финитными // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 2. С. 49-65.

[25] Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. 252 с.

[26] Доля П. Г. Математические методы компьютерной томографии. Дополнение I. Введение в теорию распределений. Харьков: Харьковский национальный универси-

тет, 2012. (http://geometry.karazin.ua/resources/documents/ 20140424194043_9a57d424.pdf).

[27] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

[28] Копылов Я. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на поверхности вращения // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 6. С. 1300-1307.

[29] Копылов Я. А., Кузьминов В. И. О Кет-Сокег-последова-тельности в полуабелевой категории // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 3. С. 615-624.

[30] Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: ГИФМЛ, 1958. 271 с.

[31] Кузьминов В. И., Черевикин А. Ю. О полуабелевых категориях // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, № 6. С. 1284-1294.

[32] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 85-95.

[33] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях специального вида // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 3. С. 102-117.

[34] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 6. С. 91-112.

[35] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Аддиционные формулы для редуцированных Ьр-когомологий // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 2. С. 380-388.

[36] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 2. С. 324-337.

[37] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 573-590.

[38] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 893-904.

[39] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Метод разделения переменных в задачах о нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 2. С. 385-396.

[40] Кузьминов В. И., Шведов И. А. К теореме компактности для дифференциальных форм // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 1. С. 132-142.

[41] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О компактной разрешимости дифференциалов эллиптического дифференциального комплекса // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1280-1294.

[42] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 557-574.

[43] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Об операторе внешнего дифференцирования на римановых многообразиях с цилиндрическими концами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 3. С. 621-630.

[44] Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 415 с.

[45] Макаров Б. М. О некоторых патологических свойствах индуктивных пределов В-пространств // УМН. 1963. Т. 18, № 3 (111). С. 171-178.

[46] Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966. 543 с.

[47] Паламодов В. П. Гомологические методы в теории локально выпуклых пространств // УМН. 1971. Т. 26, вып. 1 (157). С. 3-65.

[48] Паламодов В. П. На многообразии Штейна комплекс Дольбо расщепляется в положительных размерностях // Мат. сб. 1972. Т. 188 (30), № 2. С. 287-315.

[49] Пирковский А. Ю. Оболочки Аренса-Майкла, гомологические эпиморфизмы и относительно квазисвободные алгебры // Труды Моск. Матем. об-ва. 2008. Т. 69. С. 34-125.

[50] Райков Д. А. Полуабелевы категории // Докл. АН СССР. 1969. Т. 188, № 5. С. 1006-1009.

[51] Райков Д. А. Полуабелевы категории и аддитивные объекты // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 1. С. 160-176.

[52] Сторожук К. В. О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при С-инвариантных краевых условиях // Сиб. мат. журн. 1999, Т. 40, № 3. С. 683-688.

[53] Сторожук К. В., Шведов И. А. £р-когомологии липшицевых римановых многообразий // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 633-649.

[54] ХЕлЕмский А. Я. Гомология в банаховых и топологических пространствах. М.: МГУ, 1986. 288 с.

[55] ХЕлЕмский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М.: Наука, 1989. 484 с.

[56] Яковлев А. В. Гомологическая алгебра в предабелевых категориях // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1979. Т. 94. С. 131-141.

[57] Agarwal R. P., Ding S., Nûlder C. A. Inequalities for Differential Forms. New York: Springer. 2009. 387 p.

[58] Akbarbaglu I., Maghsoudi S. On certain porous sets in the Orlicz space of a locally compact group // Colloq. Math. 2012. Vol. 129, № 1, P. 99-111.

[59] Akbarbaglu I., Maghsoudi S. Banach-Orlicz algebras on a locally compact group // Mediterr. J. Math. 2013. Vol. 10, № 4. P. 1937-1947.

[60] Alexandru-Rugina D. Lp-integrabilite des formes harmoniques K-finies sur les espaces hyperboliques reels et complexes // Rend. Semin. Mat. Torino. 1996. Vol. 54, № 1. P. 75-87.

[61] Alexandru-Rugina D. Harmonic forms and Lp-cohomology // Tensor, New Ser. 1996. Vol. 57, № 2. P. 176-191.

[62] Atiyah M. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras // Analyse et topologie. Asterisque. 1976. Vol. 32/33. P. 4372.

[63] Bader V., Furman A., Gelander T, Monod N. Property (T) and rigidity for actions on Banach spaces // Acta Math. 2007. Vol. 198, № 1. P. 57-105.

[64] Baider A. Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra //J. Differential Geometry, 1979. Vol. 14, № 1. P. 41-57.

[65] BAnicA C., Popescu N. Sur les categories preabeliennes // Rev. Roumaine Math. Pure et Appl. 1965. Vol. 10, № 5. P. 621-635.

[66] Bekka B., de la Harpe P., Valette A. Kazhdan's Property (T). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008. 486 p.

[67] Beyl R. The connecting morphism in the kernel-cokernel sequence // Arch. Math. 1979. Vol. 32. P. 305-308.

[68] Bieske T. Comparison principle for parabolic equations in the Heisenberg group // Electron. J. Differential Equations. 2005. № 95. 11 pp.

[69] Birbrair L., Gol'dshtein V. An example of noncoincidence of Lp-cohomology and intersection homology for real algebraic varieties // Int. Math. Res. Not. 1994. Vol. 1994, № 6. P. 261-271.

[70] Bondal A., van den Bergh M. Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry // Mosc. Math. J. 2003. Vol. 3, № 1. P. 1-36.

[71] Bonet J., Dierolf S. The pullback for bornological and ultrabornological spaces // Note Mat. 2006. Vol. 25, № 1. P. 63 -67.

[72] Borceux F., Bourn D. Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories. Mathematics and its Applications, 566. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. 480 p.

[73] Bos L. P. and Milman P. D. Sobolev-Gagliardo-Nirenberg and Markov type inequalities on subanalytic domains // Geom. Funct. Anal. 1995. Vol. 5, №. 6, P. 853-923.

[74] Bott R., Tu L. W. Differential Forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. 1982. 331 p.

[75] Bourbaki N. Integration. Chapitre V., Act. Sci. Ind., № 1244. Hermann, Paris, 1956. 154 p.

[76] BOURBAKI N. Intégration. Chapitres VII, VIII. Act. Sci. Ind., № 1306. Hermann, Paris, 1963. 112 p.

[77] BOURDON M. Cohomologie lp et produits amalgamés // Geom. Dedicata. 2004. Vol. 107. P. 85-98.

[78] Bourdon M., Martin F., Valette A. Vanishing and non-vanishing for the first Lp-cohomology of groups // Comment. Math. Helv. 2005, Vol. 80, № 2. P. 377-389.

[79] Bourdon M., Pajot H. Cohomologie et espaces de Besov // J. Reine Angew. Math. 2003. Vol. 558. P. 85-108.

[80] Brinkmann H.-P., Puppe D. Dieter Abelsche und exakte Kategorien, Korrespondenzen. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 96. Springer-Verlag, Berlin-New York. 1969. 141 S.

[81] Brown K. Cohomology of Groups. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1982. 306 p.

[82] Bund I. M. Birnbaum-Orlicz spaces of functions on groups // Pac. J. Math. 1975, Vol. 58. P. 351-359.

[83] BUhler T. Exact categories // Expo. Math. 2010. Vol. 28, № 1. P. 1-69.

[84] Carrasco Piaggio M., Orlicz spaces and the large scale geometry of Heintze groups // Math. Ann. 2017. Vol. 368, № 1-2. P. 433-481.

[85] Carron G., Coulhon T., Hassell A. Riesz transform and L^-cohomology for manifolds with Euclidean ends // Duke Math. J. 2006. Vol. 133, № 1. P. 59-93.

[86] Chayet M., Lohoue N. Sur la cohomologie L des varietes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1997. Vol. 324, № 2. P. 211-213.

[87] Cheeger J. On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds // Proc. Sympos. Pure. Math. 1980. Vol. 36. P. 93-146.

[88] Chen B.- Y. Geometry of Submanifolds and Its Applications. Tokyo: Science University of Tokyo. 1981. 96 p.

[89] Conner P. E. The Neumann's problem for differential forms on Riemannian manifolds. Providence, R. I., AMS, 1956 (Memoirs of the AMS, Vol. 20). 58 p.

[90] Ding S., Xing Y. Imbedding theorems in Orlicz-Sobolev space of differential forms // Nonlinear Anal. Vol. 96. 2014. P. 87-95.

[91] Dixmier J. Dual et quasi-dual d'une algebre de Banach involutive // 1962. Vol. 104, № 2. P. 278-283.

[92] do Carmo M. P. Riemannian Geometry. Boston, MA etc.: Birkhauser. 1992. 300 p.

[93] Duff G. F. D., Spencer D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary // Ann. of Math. 1952. Vol. 56. P. 128-156.

[94] Eckmann B., Hilton P. J., Exact couples in an abelian category //J. Algebra. 1966. Vol. 3. P. 38-87.

[95] Eichhorn J. Invariants for proper metric spaces and open Riemannian manifolds // Math. Nachr. 2003. Vol. 253. P. 8-34.

[96] Eichhorn J. Relative Index Theory, Determinants and Torsion for Open Manifolds. Hackensack, NJ: World Scientific. 2009. 352 p.

[97] Elek G. The £p-cohomology and the conformal dimension of hyperbolic cones // Geom. Dedicata. 1997. Vol. 68, № 3. P. 263-279.

[98] Elek G. Amenability, /^-homologies and translation invariant functionals // J. Aust. Math. Soc., Ser. A. Vol. 65, № 1. P. 111-119.

[99] Elek G. Coarse cohomology and /p-cohomology // K-Theory. 1998. Vol. 13, № 1. P. 1-22.

[100] Eymard P. Moyennes Invariantes et Representations Unitaires. Springer Verlag, Lect. Notes in Math. Vol. 300, 1972. 116 p.

[101] Fay T. H., Hardie K. A., Hilton P. J. The two-square lemma // Publ. Mat. 1989. Vol. 33, № 1. P. 133-137.

[102] Gol'dshtein V. M., Kuz'minov V. I., Shvedov I. A. On Cheeger's theorem: extensions to Lp-cohomology of warped cylinders // Siberian Adv. Math. 1992. Vol. 2, № 1. P. 114-122.

[103] Gol'dshtein V., Troyanov M. The Lpq-cohomology of SOL // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 1998. Vol. 7, № 4. P. 687-698.

[104] Gol'dshtein v., Troyanov M. The Kelvin-Nevanlinna-Royden criterion for p-parabolicity // Math. Z. 1999. Vol. 232, № 4. P. 607619.

[105] Gol'dshtein V., Troyanov M. Sobolev inequalities for differential forms and Lq,p-cohomology // J. Geom. Anal. 2006. Vol. 16, № 4. P. 597-632.

[106] Gol'dshtein V., Troyanov M. Lq ,p-cohomology of Riemannian manifolds with negative curvature // Sobolev Spaces in Mathematics II. Applications in Analysis and Partial Differential Equations. International Mathematical Series, Vol. 9. Springer, New York, NY; Tamara Rozhkovskaya Publisher, Novosibirsk. 2009. P. 199-208.

[107] Gol'dshtein V., Troyanov M. A conformal de Rham complex //J. Geom. Anal. 2010. Vol. 20, № 3. P. 651-669.

[108] Gol'dshtein V., Troyanov M. Distortion of mappings and Lq cohomology // Math. Z. 2010. Vol. 64, № 2. P. 279-293.

[109] Gol'dshtein V., Troyanov M. The Holder-Poincare duality for Lq ,p-cohomology // Ann. Global Anal. Geom. 2012. Vol. 41, № 1. P. 25-45.

[110] Grandis M. On the categorical foundations of homological and homotopical algebra // Cah. Topol. Geom. Differ. Categ., 1992. Vol. 33, № 2. P. 135-175.

[111] Grandis M. Homotopy spectral sequences //J. Homotopy Relat. Struct. 2010. Vol. 5, № 1. P. 213-252.

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

Greenleaf F. P., Amenable actions of locally compact groups, J. Funct. Anal. 1969. Vol. 4, P. 295-315.

Gromov M. Asymptotic invariants of infinite groups // Geometric group theory/ Ed. by G. Niblo and M. Roller. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1993. 295 p.

Gruson L. Completion abelienne // Bull. Sc. Math. 2e serie. 1966. Vol. 90. P. 17-40.

Guichardet A. Sur la cohomologie des groupes topologiques. II // Bull. Sci. Math. II. 1972. Vol. 96. P. 305-332.

Guichardet A. Cohomologie des Groupes Topologiques et des Algebres de Lie. Paris: Cedic/Nathan, 1980. 394 p.

Heller A. Homological algebra in Abelian categories // Ann. Math. (2). 1958. Vol. 68. P. 484-525.

Hewitt E., Ross K. A Abstract Harmonic Analysis. Vol. I. 2nd ed. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1979. 519 p.

Hilton P. J. On systems of interlocking exact sequences // Fundam. Math. 1967. Vol. 61. P. 111-119.

Hilton P. J., Ledermann W. On the Jordan-Holder theorem in homological monoids // Proc. London Math. Soc. 1960. Vol. 10. P. 321-334.

Iwaniec T., Lutoborski A.: Integral estimates for null Lagrangians // Arch. Rational Mech. Anal. 1993. Vol. 125, №. 1. P. 25-79.

Iwaniec T., Martin G. Geometric Function Theory and Nonlinear Analysis. Oxford: Oxford University Press, 2001. 552 p.

Janelidze G., MArki L., Tholen W. Semi-abelian categories // Category theory 1999 (Coimbra), J. Pure Appl. Algebra. 2002, Vol. 168, № 2-3. P. 367-386.

[124] Johnson C., Ding S. Integral estimates for the potential operator on differential forms // Int. J. Anal. 2013, Article ID 108623, 6 p.

[125] Jurchescu M. Categorii // Deleanu A., Jurchescu M., Andreian-Cazacu C. Topologie, Categorie, Suprafete Riemanniene. Bucuresti: Ed. Academiei, 1966. P. 73-241.

[126] Jurchescu M., Lascu N. Morfisme stricte, categorii cantoriene, functori de completare // Studii si cercetare mat. 1966. Vol. 18, № 2. P. 219-234.

[127] KamiNska A., Musielak J. On convolution operator in Orlicz spaces // Rev. Mat. Univ. Complutense Madr. 1989. Vol. 2 Suppl. P. 157-178.

[128] Kashiwara M. Equivariant derived category and representation of real semisimple Lie groups. // Representation Theory and Complex Analysis. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Venice, Italy, June 10-17, 2004. Lecture Notes in Math. 2008. Vol. 1931. P. 137-234.

[129] Kelly G. M. Monomorphisms, epimorphisms and pullbacks //J. Austral. Math. Soc. 1969. Vol. 9. P. 124-142.

[130] Kirchheim B., Serra Cassano F. Rectifiability and parameterization of intrinsic regular surfaces in the Heisenberg group // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5). 2004. Vol. 3, № 4. P. 871-896.

[131] Kodaira K. Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory) // Ann. of Math. 1949. Vol. 50. P. 586-665.

[132] Kopylov Ya. A., Kuz'MINOV V. I. Exactness of the cohomology sequence corresponding to a short exact sequence of complexes in a semiabelian category // Siberian Adv. Math. 2003. Vol. 13, № 3. P. 72-80.

134

135

136

137

138

139

140

141

142

Kopylov Ya. A., Panenko R. A., De Rham regularization operators in Orlicz spaces of differential forms on Riemannian manifolds., Sib. Elektron. Mat. Izv. Vol. 12, 361-371 (2015).

Lambek J. Goursat's theorem and homological algebra // Can. Math. Bull. 1964. Vol. 7. P. 597-608.

Leicht J. B. Axiomatic proof of J. Lambek's homological theorem // Can. Math. Bull. 1964. Vol. 7. P. 609-613.

Li, Xiang-Dong. Sobolev inequalities on forms and L'q -cohomology on complete Riemannian manifolds // J. Geom. Anal. 2010. Vol. 20, № 2. 354-387.

Lohoue N. Stabilite de la cohomologie LLP au voisinage de 2 pour les espaces localement symetriques // Ann. Global Anal. Geom. 1998. Vol. 16, № 6. P. 543-571.

Maclane S. Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Math. 5, New York-Heidelberg-Berlin: Springer, 1971. 262 p.

Martin F. Reduced 1-cohomology of connected locally compact groups and applications //J. Lie Theory. 2006. Vol. 16, № 2. P. 311328.

Martin F., Valette A. On the first L^-cohomology of discrete groups // Groups Geom. Dyn. 2007. Vol. 1, № 1. P. 81-100.

Massey W. S. Exact couples in algebraic topology. I, II // Ann. of Math. (2). 1952. Vol. 56. P. 363-396.

Mitchell B. The full imbedding theorem // Amer. J. Math. 1964. Vol. 86. P. 619-637.

Mitchell B. Theory of Categories. Pure and Applied Mathematics, Vol. XVII. New York-London: Academic Press, 1965. 273 p.

145

146

147

148

149

150

151

152

153

MONOD N. Continuous Bounded Cohomology of Locally Compact Groups. Lecture Notes in Mathematics, 1758. Springer-Verlag, Berlin, 2001. 214 p.

NOMURA Y. An exact sequence generalizing a theorem of Lambek // Arch. Math. 1971. Vol. 22. P. 467-478.

NOMURA Y. Induced morphisms for Lambek invariants of commutative squares // Manuscr. Math. 1971. Vol. 4. P. 263-275.

NOSKOV G. A. The Hochschild -Serre spectral sequence for bounded cohomology // Proceedings of the International Conference on Algebra, Part 1 (Novosibirsk, 1989), Contemp. Math., 131, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992. P. 613-629.

PANSU P. Cohomologie L des varietes a courbure negative, cas du degre 1 // Conference on Partial Differential Equations and Geometry (Torino, 1988). Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino. 1989, Special Issue. P. 95-120.

PANSU P. Cohomologie Lp espaces homogenes et pincement // Preprint, Orsay, 1999. 77 p.

PANSU P. Cohomologie L en degre 1 des espaces homogenes // Potential Anal. 2007. Vol. 27, № 2. P. 151-165.

PANSU P. Cohomologie L et pincement // Comment. Math. Helv. 2008. Vol. 83, № 2. P. 327-357.

PÉREZ CARRERAS P., BONET J. Barrelled Locally Convex Spaces. Amsterdam: North-Holland, 1987, 512 p.

PROSMANS F. Derived projective limits of topological abelian groups // J. Funct. Anal. 1999. Vol. 162, № 1. P. 135-177.

PROSMANS F. Derived limits in quasi-abelian categories // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. 1999. Vol. 68, № 5-6. P. 335-401.

[155] Prosmans F. Derived categories for functional analysis // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 2000. Vol. 36, № 1. P. 19-83.

[156] Pryde, A.J. The five lemma for Banach spaces // Proc. Am. Math. Soc. 1977. Vol. 65, № 1. P. 37-43.

[157] Puls M. J. Group cohomology and Lp-cohomology of finitely generated groups // Canad. Math. Bull. 2003. Vol. 46, № 2. P. 268276.

[158] Puls M. J. The first Lp-cohomology of some finitely generated groups and p-harmonic functions //J. Funct. Anal. 2006. Vol. 237, № 2. P. 391-401.

[159] Puls M. J. The first L^-cohomology of some groups with one end // Arch. Math. (Basel). 2007. Vol. 88, № 6. P. 500-506.

[160] Rao M. M. Convolutions of vector fields. II: Random walk models // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 2001. Vol. 47, № 6. P. 35993615.

[161] Rao M. M. Convolutions of vector fields. III: Amenability and spectral properties // Rao, M. M. (ed.), Real and Stochastic Analysis. New Perspectives, Trends in Mathematics. Boston, MA: Birkhauser, 2004. P. 375-401.

[162] Rao M. M. Measure Theory and Integration. Pure and Applied Mathematics, 265. New York, NY: Marcel Dekker, 2004. 761 p.

[163] Rao M. M., Ren Z. D. Theory of Orlicz Spaces. Pure and Applied Mathematics, 146. New York etc.: Marcel Dekker, Inc., 1991. 449 p.

[164] Rao M. M., Ren Z. D. Applications of Orlicz Spaces. Pure and Applied Mathematics, 250. New York, NY: Marcel Dekker. 2002. 464 p.

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

Reiter H., Stegeman J. D. Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 2nd ed. Oxford: Clarendon Press, 2000. 327 p.

Richman F., Walker E. A. Ext in pre-Abelian categories // Pac. J. Math. 1977. Vol. 71. P. 521-535.

Rudin W. Functional Analysis. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill, 1991. 424 p.

Rump W. ^-Modules, tilting, and almost abelian categories // Comm. Algebra. 2001. Vol. 29, № 8. P. 3293-3325; Erratum (Misprints generated via electronic editing): Comm. Algebra. 2002. Vol. 30. P. 3567-3568.

Rump W. Almost abelian categories // Cah. Topol. Geom. Differ. Categ. 2001. Vol. 42, № 3. P. 163-225.

Rump W. A counterexample to Raikov's conjecture // Bull. London Math. Soc. 2008. Vol. 40, № 6. P. 985-994.

Rump W. Analysis of a problem of Raikov with applications to barreled and bornological spaces //J. Pure Appl. Algebra. 2011. Vol. 215, № 1. P. 44-52.

Schneiders J.-P. Quasi-abelian categories and sheaves // Mem. Soc. Math. Fr., Nouv. Ser. 1998. Vol. 76. P. 1-140.

Scott P. The geometries of 3-manifolds // Bull. Lond. Math. Soc. 1983, Vol. 15. P. 401-487.

Shartser L. De Rham Theory and Semialgebraic Geometry. Thesis (Ph.D.)-University of Toronto (Canada), 2011

Shartser L. Explicit proof of Poincare inequality for differential forms on manifolds // C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 2011, Vol. 33, No 1. P. 21-32.

177

178

179

180

181

182

183

184

185

SlEG D., Wegner S.-A. Maximal exact structures on additive categories // Math. Nachr. 2011. Vol. 284, № 16. P. 2093-2100.

Stegeman J. D. On a property concerning locally compact groups // Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser. A. 1965. Vol. 68. P. 702-703 .

Storozhuk K. V. Actions of transformation groups of a Riemannian manifold on the Lp-spaces of differential forms // Siberian Adv. Math. 2003. Vol. 13, № 4. P. 119-125.

Succi Cruciani R. Sulle categorie quasiabeliane // Rev. Roumaine Math. Pure et Appl. 1973. Vol. 18, № 1. P. 105-120.

Taylor M. E. Noncommutative Harmonic Analysis. AMS, Providence, 1986. 328 p.

Tessera R. Vanishing of the first reduced cohomology with values in an L'-representation // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2009. Vol. 59, № 2. P. 851-876.

Troyanov M. On the Hodge decomposition in Rn // Mosc. Math. J. 2009, Vol. 9, № 4. P. 899-926.

Ubeda Bescansa L. Teorema homologico de J. Lambek en una categoría Hofmaniana // Alxebra, 7. Dept. Algebra y Fundamentos, Univ. Santiago de Compostela, 1971, 33 p.

Ubeda Bescansa L. Invariantes de Lambek en categorías Hofmanianas // Alxebra, 14. Dept. Algebra y Fundamentos, Univ. Santiago de Compostela. 1974, P. 14-34.

Wengenroth J. The Raikov conjecture fails for simple analytical reasons //J. Pure Appl. Algebra 2012, Vol. 216, № 7. P. 1700-1703.

Whitehead J. H. C. The G-dual of a semi-exact couple // Proc. London Math. Soc. 1953. Vol. 3. P. 385-416.

[187] Yeganefar N. Lp-cohomology of negatively curved manifolds // Ark. Mat. 2005. Vol. 43, № 2. P. 427-434.

[188] Yoneda N. On Ext and exact sequences //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. I. 1960. Vol. 8. P. 507-576.

[189] Youssin B. Lp cohomology of cones and horns //J. Diff. Geom. 1994. Vol. 39, № 3. P. 559-603.

[190] Zucker S. Lp-cohomology: Banach spaces and homological methods on Riemannian manifolds // Differential geometry: geometry in mathematical physics and related topics (Los Angeles, CA, 1990). Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 54, Part 2. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993. P. 637-655.

Работы автора по теме диссертации

[191] KOPYLOV, Ya.A. Exact couples in a Raikov semi-abelian category / Ya.A.Kopylov // Cahiers de Topologie et Geometrie Differentielle Categoriques. - 2004. - Vol. 45, № 3. - P. 162-178.

[192] KOPYLOV, Ya.A. An Lp-criterion of amenability for a locally compact group / Ya.A.Kopylov // Сибирские электронные математические известия. - 2005. - Т. 2. - С. 186-189.

[193] KOPYLOV, Ya.A. On the Lambek invariants Ker and Im of commutative squares in a quasi-abelian category / Ya.A. Kopylov // Scientia. Series A: Mathematical Sciences. - 2005. - Vol. 11. -P. 57-67.

[194] KOPYLOV, Ya.A. Lp,q-cohomology and normal solvability / Ya.A.Kopylov // Archiv der Mathematik (Basel) - 2007. - Vol. 89, № 1. - P. 87-96.

[195] Копылов, Я.А. L^-когомологии некоторых искривленных цилиндров / Я.А.Копылов // Доклады Российской академии наук.

- 2008. - Т. 419, № 2. - С. 55-59.

[196] Копылов, Я.А. Ker-Coker-последовательность и ее обобщение в некоторых классах аддитивных категорий / Я.А.Копылов, В.И.Кузьминов // Сибирский математический журнал. - 2009. -Т. 50, № 1. - С. 107-117.

[197] Копылов, Я.А. Леммы о гомоморфизмах в Р-полуабелевых категориях / Я.А.Копылов // Сибирский математический журнал.

- 2009. - Т. 50, № 5. - С. 1097-1104.

[198] KOPYLOV, Ya.A. Lp,q-cohomology of warped cylinders / Ya.A. Kopylov // Annales Mathematiques Blaise Pascal. - 2009. -Vol. 16, № 2. - P. 321-338.

[199] KOPYLOV, Ya.A. Homology in P-semi-abelian categories / Ya.A. Kopylov // Scientia. Series A: Mathematical Sciences - 2009.

- Vol. 17. - P. 105-114.

[200] Копылов, Я.А. Аддиционная лемма Кузьминова-Шведова в квазиабелевой категории / Я.А.Копылов // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. - 2010. - Т. 10, № 3. - С. 63-75.

[201] KOPYLOV, Ya.A. On the notion of a semi-abelian category in the sense of Palamodov / Ya.A.Kopylov, S.-A.Wegner // Applied Categorical Structures. - 2012. - Vol. 20, № 5. - P. 531-541.

[202] KOPYLOV, Ya.A. The Two-Square Lemma and the connecting morphism in a preabelian category // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. - 2012. - Т. 5, № 3.

- С. 316-325.

[203] KOPYLOV, Ya.A. On the homology sequence in a P-semi-abelian category / Ya.A.Kopylov // Сибирские электронные математические известия. - 2012. - Т. 9. - С. 190-200.

[204] KOPYLOV, Ya.A. Amenability of closed subgroups and Orlicz spaces / Ya.A.Kopylov // Сибирские электронные математические известия. - 2013. - Т. 10. - С. 583-590.

[205] KOPYLOV, Ya.A. Exact couples in semiabelian categories revisited / Ya.A.Kopylov, S.-A.Wegner // Journal of Algebra. - 2014. - Vol. 414.

- P. 264-270.

[206] Копылов, Я.А. Ф-гармонические функции на дискретных группах и первые £ф-когомологии / Я.А.Копылов, Р.А.Паненко // Сибирский математический журнал. - 2014. - Т. 55, № 5. -С. 1104-1117.

[207] Gol'dshtein, V. Reduced Lqp-cohomology of some twisted products / V.Gol'dshtein, Ya.A.Kopylov // Annales Mathematiques Blaise Pascal. - 2016. - Vol. 23, № 2. - P. 151-169.

[208] KOPYLOV, Ya.A. Orlicz spaces of differential forms on Riemannian manifolds: duality and cohomology / Ya.A.Kopylov // Problemy Analiza Issues of Analysis. - 2017. - Vol. 6 (24), № 2. - P. 57-80.

[209] Копылов, Я.А. Критерий Рао — Райтера аменабельности однородных пространств / Я.А.Копылов // Сибирский математический журнал. - 2018. - Т. 59, № 6. - С. 1385-1382.

[210] Gol'dshtein, V. Some calculations of Orlicz cohomology and Poincare-Sobolev-Orlicz inequalities / V.Gol'dshtein, Ya.A.Kopylov // Сибирские электронные математические известия. - 2019. -Т. 16. - С. 1079-1090.

[211] Gol'dshtein, V. The Sobolev-Poincare inequality and the Lq,p-cohomology of twisted cylinders / V.Gol'dshtein, Ya.A.Kopylov // Сибирские электронные математические известия. - 2020. - Т. 17. - С. 566-584.