Классификация уравнений Монжа-Ампера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Кушнер, Алексей Гурьевич

• Кушнер, Алексей Гурьевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кушнер, Алексей Гурьевич

Введение

0.1 Общая характеристика работы.

0.1.1 Актуальность темы исследования

0.1.2 Цель работы

0.1.3 Основные задачи исследования.

0.1.4 Научная новизна.

0.1.5 Методы исследования.

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение.

0.1.7 Апробация работы.

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации

0.1.9 Структура диссертации.

0.2 Обзор содержания диссертации.

1 Уравнения Монжа-Ампера и ассоциированные с ними геометрические структуры

1.1 Операторы и уравнения Монжа-Ампера.

1.1.1 Нелинейные дифференциальные операторы и эффективные дифференциальные формы.

1.1.2 Неголономное поле эндоморфизмов

1.1.3 Характеристические распределения.

1.1.4 Действие контактных диффеоморфизмов на операторы и уравнения Монжа-Ампера.

1.1.5 Многозначные решения уравнений Монжа-Ампера . 55 1.2 Дифференциальные тензорные инварианты структуры г-кратного почти произведения

1.2.1 Алгебры, ассоциированные со структурой г-кратного почти произведения.

1.2.2 Тензорные инварианты структуры г-кратного почти произведения.

1.2.3 Дифференциальные 2-формы, ассоциированные со структурой г-кратного почти произведения.

1.2.4 Интегрируемость частичных сумм распределений

1.2.5 Комплексные структуры г-кратного почти произведения.

1.2.6 Тензор Хаантиеса.

2 Классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера

2.1 Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений

2.1.1 Дифференциальные тензорные инварианты гиперболических уравнений.

2.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов

2.1.3 Формы Лапласа для гиперболических уравнений.

2.1.4 Координатные представления форм Лапласа.

2.2 Контактная линеаризация гиперболических уравнений.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю

2.2.3 Уравнения, у которых одна из форм Лапласа равна нулю, а другая — нет.

2.2.4 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю

2.2.5 Примеры контактной линеаризации уравнений.

2.2.6 Скалярные дифференциальные инварианты гиперболических уравнений.

2.3 Нормальные формы гиперболических уравнений Монжа-АмпераЮЗ

2.3.1 Уравнение vxy = k(x,y)v.

2.3.2 Телеграфное уравнение.

2.3.3 Уравнение Эйлера-Пуассона

2.4 Контактная эквивалентность гиперболических уравнений Монжа-Ампера.

3 Классификация эллиптических уравнений Монжа-Ампера

3.1 Дифференциальные инварианты эллиптических уравнений

3.1.1 Тензорные инварианты эллиптических уравнений

3.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов

3.1.3 Формы Лапласа для эллиптических уравнений.

3.1.4 Координатные представления форм Лапласа.

3.2 Контактная линеаризация эллиптических уравнений

3.2.1 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю

3.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю

3.2.3 Скалярные дифференциальные инварианты эллиптических уравнений.

3.3 Нормальные формы эллиптических уравнений Монжа-Ампера

3.3.1 Структура преобразований, сохраняющих вид уравнений

3.3.2 Уравнение vxx + vyy — к(х, y)v + /(ж, у).

3.3.3 Уравнение Гельмгольца.

4 Классификация симплектических уравнений Монжа-Ампера

4.1 Симплектические уравнения Монжа-Ампера.

4.1.1 Проекция 7г : JYM —» Т*М и симплектические эффективные формы.

4.1.2 Поле эндоморфизмов Аш.

4.1.3 Многозначные решения, симметрии и симплектическая эквивалентность операторов и уравнений.

4.1.4 Тензорные инварианты симплектических уравнений

4.1.5 Векторные инварианты симплектических уравнений

4.2 Гиперболические уравнения.

4.2.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями.

4.2.2 Уравнения с неинтегрируемыми распределениями

4.2.3 Уравнение vxx — f2vyy = О.

4.3 Эллиптические уравнения.

4.3.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями.

4.3.2 Уравнения с неинтегрируемыми распределениями.

4.3.3 Уравнение vxx + / vyy = 0.

4.4 Уравнения переменного типа.

4.4.1 Классификация уравнений переменного типа.

4.4.2 Уравнения Монжа-Ампера переменного типа, приводящиеся к линейным уравнениям.

4.5 Классификация операторов Монжа-Ампера переменного типа

4.5.1 Абсолютный параллелизм.

4.5.2 Нормальные формы.

4.5.3 Уравнение потока многокомпонентной газовой смеси

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификация уравнений Монжа-Ампера»

0.1 Общая характеристика работы 0.1.1 Актуальность темы исследования

Уравнение Монжа-Ампера имеет следующий вид:

АУхх + 2Вуху + СУуу + 0{уххууу - у1у) + Е = 0, (1) где А, В, С, И и Е — функции от независимых переменных х, у, неизвестной функции у = у(х,у) и ее первых производных ух,уу.г

Класс уравнений Монжа-Ампера выделяется из уравнений второго порядка тем, что он замкнут относительно контактных преобразований и содержит квазилинейные уравнения.

Этот факт был известен еще Софу су Ли, который в серии работ [82, 83] рассматривал проблему классификации гиперболических уравнений Монжа-Ампера и которую в современных терминах можно обобщить следующим образом: найти классы эквивалентности уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

Важные результаты на пути к решению этой задачи были получены Дарбу [45, 46, 47] и Гурса [53, 55], которые, также как и Ли, преимущественно рассматривали гиперболические уравнения.

1Далее мы полагаем, что функции А, В, С, И и Е принадлежат классу С°°.

В частности, Гурса занимался проблемой эквивалентности уравнений Монжа-Ампера, интегрируемых методом Дарбу [54]. Его идеи были развиты Вессио [100]. Современный подход к проблеме интегрируемости нелинейных уравнений методом Дарбу изложен в работе Андерсона и Журас [37].

Сам Софус Ли сформулировал условия приведения гиперболических уравнений Монжа-Ампера к волновому уравнению vxy = 0 при наличии у них двух промежуточных интегралов. Напомним, что промежуточным интегралом уравнения Монжа-Ампера называется дифференциальное уравнение первого порядка, каждое решение которого является решением данного уравнения Монжа-Ампера.

Заметим, что не все уравнения Монжа-Ампера обладают промежуточными интегралами. Поэтому результаты Ли применимы не ко всем уравнениям Монжа-Ампера, а только к к тем из них, которые такими интегралами обладают. Кроме того, проверка наличия промежуточных интегралов у общего уравнения Монжа-Ампера, а тем более их построение, является не простой задачей. Доказательства полученных результатов Ли так и не опубликовал.

В 1978 году Лычагин предложил геометрическое описание широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях [29]. Если размерность многообразия равна двум, то этот класс совпадает с классом уравнений Монжа-Ампера (1).

Основная идея Лычагина заключается в представлении уравнений Монжа-Ампера и их многомерных аналогов дифференциальными формами на пространстве 1-джетов функций на гладком многообразии.

Преимуществом такого подхода перед классическим является редукция порядка пространства джетов: используется более простое пространство 1-джетов JXM вместо пространства 2-джетов J2M, в котором, будучи уравнениями второго порядка, ad, hoc должны лежать уравнения Монжа-Ампера см. [3]). Такая интерпретация уравнений Монжа-Ампера позволила по-новому взглянуть на проблему их классификации и послужила толчком к появлению множества работ других авторов (см., например, [9, 11, 35, 43, 70, 88]).

В 1983 году Лычагиным и Рубцовым был рассмотрен класс невырожденных уравнений (1) у которых коэффициенты А, В, С, D, Е не зависят от переменной v [31]. Такие уравнения они назвали силтлектическими. Оказалось, что если коэффициенты А, В, С, D, Е такого уравнения — аналитические функции, то локальным симплектическим преобразованием оно может быть приведено к квазилинейному виду, то есть к виду (1), где D = 0.

Кроме того, они нашли условия, при которых симплектические уравнения приводятся к уравнению Монжа-Ампера с постоянными коэффициентами А, В, С, D, Е и показали, что если это условие выполняется, то гиперболические уравнения локально эквивалентны волновому уравнению vxy = 0, а эллиптические — уравнению Лапласа vxx + vyy = 0. Впоследствии Туницкий снял требование независимости коэффициентов уравнения (1) от переменной v и решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера к уравнениям с постоянными коэффициентами в общем виде [35].

В 1979 году Моримото применил методы теории (j-структур для классификации уравнений Монжа-Ампера [91].

Метод подвижного репера Картана применялся для классификации некоторых классов линейных и нелинейных уравнений Морозовым [93, 94, 95, 96] и The [98].

В 1992 году автор данной диссертационной работы, используя подход Лычагина, решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера переменного типа к обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша [9]. Позднее, в 1998 году, им также была решена проблема эквивалентности уравнений переменного типа для симплектических уравнений общего положения [11]. Для этого был построена e-структура (абсолютный параллелизм), ассоциированная с уравнением Монжа-Ампера.

Проблема локальной эквивалентности симплектических операторов и уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов была решена в работах Кругликова [68, 69, 70] и Кушнера [11]. Позднее нами было найдено решение этой проблемы для уравнений общего вида [75, 80], а также проблемы приведения уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов контактным преобразованием к линейным уравнениям [77].

Классификационные результаты для частных классов параболических уравнений Монжа-Ампера были представлены в работе Blanco, Manno и Pugliese [43].

0.1.2 Цель работы

В настоящей диссертационной работе рассматривается задача классификации уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований. В частности, задача приведения уравнений (1) к линейным уравнениям при помощи контактных преобразований.

0.1.3 Основные задачи исследования

1) Построить дифференциальные инварианты для гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

2) В терминах построенных инвариантов найти необходимые и достаточные условия локальной контактной эквивалентности гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям вида vxx ± vyy — а(х: y)vx + Ь(ж, y)vy + с(.т, y)v + д(х, у) (2) и, в частности, линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

4) Найти необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера переменного типа обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша.

4) Построить нормальные формы для некоторых классов уравнений Монжа-Ампера.

5) Решить проблему локальной эквивалентности уравнений и операторов Монжа-Ампера общего положения гиперболического, эллиптического и переменного типов относительно контактной и симплектической псевдогрупп преобразований.

0.1.4 Научная новизна

Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для невырожденных уравнений Монжа-Ампера построены тензорные дифференциальные инварианты относительно псевдогруппы контактных преобразований. В том числе — две дифференциальные 2-формы па пространстве 1-джетов гладких функций, которые мы называем формами Лапласа, и которые являются обобщениями классических инвариантов Лапласа и Коттона, построенных ими для линейных уравнений.

2) С помощью форм Лапласа для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера решается проблема их приведения к линейным уравнениям контактными преобразованиями. Указываются нормальные формы для таких уравнений.

3) Для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера общего положения решается проблема локальной контактной эквивалентности.

4) Для симплектических невырожденных уравнений и операторов Монжа-Ампера решается проблема локальной эквивалентности относительно симплектических преобразований. Построены нормальные формы для таких уравнений и операторов.

5) Для уравнений Монжа-Ампера переменного типа найдены необходимые и достаточные условия их приведения к уравнениям Трикоми и Келдыша, а так же к уравнениям, их обобщающим.

0.1.5 Методы исследования

Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии. Мы используем подход Лычагина [29], согласно которому с уравнением (1) связывается дифференциальная 2-форма на пространстве 1-джетов гладких функций.

Для построения дифференциальных инвариантов уравнений Монжа-Ампера мы используем разложение комплекса де Рама на пространстве 1-джетов.

Для решения проблемы эквивалентности уравнений переменного типа мы строим е-структуру, однозначно определяющую уравнение Монжа-Ампера. Задача эквивалентности уравнений сводится к задаче эквивалентности е-структур, которая решается известными методами.

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований уравнений Монжа-Ампера, а также для изучения нелинейных эффектов типа ударных волн, для построения точных решений уравнений Монжа-Ампера и для упрощения процедуры нахождения симметрий уравнений. В диссертациоиной работе приведены примеры применения полученных результатов к нелинейным уравнениям математической физики: к уравнению Хантера-Сакстона, уравнению Борна-Инфельда и к некоторым уравнениям газовой динамики. Результаты диссертационной работы позволяют по-новому взглянуть на классические инварианты Лапласа для линейных уравнений. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Астраханском госуниверситете, Институте проблем управления РАН и на Международных научных молодежных школах ("Лобачевские чтения" в Казанском госуниверситете, I, II и III Международные молодежные школы по дифференциальной геометрии, дифференциальным уравнениям и управлению).

0.1.7 Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях: на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством профессора В. В. Вишневского (Казань, КГУ им. В. И. Ульянова-Ленина, май 2006 г.); на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, апрель-май 2006, октябрь 2008 г.); на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. В. Лычагина (февраль-март 2002, Тромсе, Норвегия, Университет Тромсе); на семинаре "Топология и анализ" под руководством профессора А. С. Мищенко (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, ноябрь 2008 г.); на семинаре по математической физике и геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. Н. Рубцова (Анжэ, Франция, Университет Анжэ, июнь - июль 2000 г.); на семинаре кафедры "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством академика А. Т. Фоменко (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, октябрь 2008 г.); на Пятом абелевском симпозиуме ("Fifth Abel Symposium", Тромсе, Норвегия, 17-22 июня 2008 г.); па Международной конференции "Лаптевские чтения", посвященной 100-летию Г. Ф. Лаптева (МГУ им. М.В. Ломоносова — Тверской государственный университет, Москва-Тверь, 25-29 августа 2009 г.); на III Международном конгрессе "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астрахань, Астраханский госуниверситет, 10-14 сентября 2009 г.); на Международной конференции "X Белорусская математическая конференция" (Белорусский госуниверситет и Институт математики HAH Беларуси, Минск, 3-7 ноября 2008 г.) на Международной конференции "Geometry and Algebra of PDEs", посвященной 60-летию B.B. Лычагипа (Тромсе, Норвегия, 12-17 августа 2007 г.) на Международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 70-летию В. И. Арнольда (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, 20-24 августа 2007 г.); на Международном семинаре "Идемпотентная и тропическая математика и проблемы математической физики" (Москва, Независимый московский университет, 25-30 августа 2007 г.); на Международной школе "Geometry of vector distributions, differential equations, and variational problems" (SISSA, Триест, Италия, 13-15 декабря 2006 г.); на Международной школе "Formal theory of partial differential equations and their applications" (Университет Йонсу, Финляндия, 2-9 апреля 2006 г.); на Международном коллоквиуме "Mathematics in Engineering and Numerical Physics" (Бухарест, Румыния, 6-8 октября 2006 г.); на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (МГУ-РГУ, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г.); на Международной конференции "Лаптевские чтения" (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, июль 2006 г.); на серии ежегодных Международных конференций "Геометрия в Одессе" (Одесса, Украина, 2005-2009 годы); на серии ежегодных Международных конференций "Геометрия в Астрахани" (Астраханский государственный университет, Астрахань, 20072009 годы); на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" им. Е. С. Пятницкого (31 мая-2 июня 2006 г., Институт проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова, Москва); на I Международном семинаре "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астраханский государственный университет, Астрахань, 15-17 сентября 2005 г.); на V конференции Европейского общества математической и теоретической биологии "Mathematical Modelling and Computing in Biology and

Medicine" (Milano, Italy, 2002 г.); на Международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces" (Москва, 1994 г.) иа Международном коллоквиуме "International Geometrical Colloquium (UNESCO)" (Москва-Париж, 10-14 мая, 1993 г.); на Международном коллоквиуме Ли-Лобачевского (Lie-Lobachevsky Colloquium, Университет Тарту, Тарт}^, Эстония, 26^30 октября, 1992 г.)

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации

По теме диссертации автором опубликовано 29 работ и одна монография:

1. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Монжа-Ампера. Математические заметки, 52(5) 63-67, (1992).

2. Кушнер, А.Г.: Уравнения Монжа-Ампера и е-структуры. ДАН, 361(5), 595-596 (1998).

3. Кушнер, А.Г.: Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. ДАН, 423(5), 609-611 (2008)

4. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера и инварианты Лапласа. ДАН, 422(5), 597-600 (2008)

5. Kushner, A.G.: A contact linearization problem for Monge-Ampere equations and Laplace invariants. "Acta Appl. Math." 101(1-3), 177-189 (2008)

6. Kushner, A.G.: On contact equivalence of Monge-Ampere equations to linear equations with constant coefficients. "Acta Appl. Math."; Online First: DOI 10.1007/sl0440-009-9447-z (2009)

7. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера. "Изв. ВУЗов, Математика", №4, 43-58 (2008)

8. Кушнер, А.Г.: Симилектичеекая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера. Вестник Астраханского государственного технического университета, 1(36), 15-18 (2007)

9. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, xxii+496 pp.

10. Kushner, A.G.: Classification of Monge-Ampère equations. In: "Differential Equations: Geometry, Symmetries and Integrability". Proceedings of the Fifth Abel Symposium, Tromso, Norway, June 17-22, 2008 (Editors: B. Kruglikov, V. Lychagin, E. Straume) 223-256.

11. Kushner, A.G.: Symplectic geometry of mixed type equations. In: Lychagin, V.V. (ed) The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 167, 131-142 (1995)

12. Kushner, A.G.: Classification of mixed type Monge-Ampère equations. In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) "Geometry in Partial Differential Equations". Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 173188 (1993)

13. Doubrov, В., Kushner, A.: The Morimoto problem. In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) "Geometry in Partial Differential Equations". Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 91-99 (1993)

14. Kushner, A.G.: Almost product structures and Monge-Ampère equations. "Lobachevskii Journal of Mathematics", http://ljm.ksu.ru 23, 151-181 (2006)

15. Kushner, A.G.: Symplectic classification of elliptic Monge-Ampère operators. Proceedings of the 4th International colloquium "Mathematics in Engineering and Numerical Physics" October 6-8 , 2006, Bucharest, Romania, pp. 87-94. Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press (2007)

15. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G.: Symmetries and exact solutions of nonlinear diffusion equation. Proceedings of the 5th conference of the European society of the mathematical and theo-retical biology "Mathematical Modelling & Computing in Biology and Medicine", Milano, Italy, 239-243 (2002)

17. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G.: The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions. "Regular and Chaotic Dynamics" 8(2), 8-31 (2003)

18. Кушнср, А.Г.: Контактная классификация уравнений Монжа-Ампера. Proceedings of the International Workshop "Idempotent and Tropical Mathematics and Problems of Mathematical Phisics" (Moscow, August 2530, 2007) Eds. G.L. Litvinov, B.P. Maslov, 2, 99-104 (2007)

19. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца. "Геометр1я, тополопя та ïx застосуваня", Зб1рник Праць 1н-ту математики НАН Украши Т.6, №2, 91-122 (2009)

20. Кушнер, А.Г., Манжосова, Е.Н.: Симплектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера. "Proceedings of the International Geometry Center", Odessa, 1(1-2), 41-70 (2008)

21. Кушнер, А.Г., Манжосова, E.H.: Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона. "Обозрение прикладной и промышленной математики" №3, 536-537 (2009).

22. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера. В сб. "Движения в обобщенных пространствах", Изд-во ПГПУ, Пенза, 56-65 (2005)

23. Кушнер, А.Г.: Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений. Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г., стр.51.

24. Кушнер, А.Г.: ДР-структуры и тензор Хаантиеса. "Лаптевские чтения-2006", Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пенза, 57-62 (2007)

25. Кушнер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Со-фуса Ли контактной линеаризации. Сборник научных трудов I Международного семинара "Симметрии: теоретический и методический аспекты", Астрахань, 20-23, (2005)

26. Кушнер, А.Г.: Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений и проблема Софуса Ли. Труды конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения", Рязань, РГПУ, 17-22 июня, 1996, 31-34.

27. Кушиер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности. Естественные науки, №10, 101-104 (2005)

28. Кушнер, А.Г.: Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера. Естественные науки, №10, 143-146 (2005)

29. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных. Труды Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ, 31 мая - 2 июня 2006 г. стр. 146

30. Kushner, A.G.: The problem of equivalence of non-linear partial differcntial equations of mixed type. "Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq.", Tartu, Estonia, 26 - 30 October 1992, 28-30.

В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от 40% до 75%.

0.1.9 Структура диссертации

Диссертация изложена на 245 страницах, состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 101 наименование. Диссертация содержит 16 таблиц, 2 диаграммы и 2 рисунка.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кушнер, Алексей Гурьевич, 2009 год

1. Алексеевский, Д.В., Виноградов, A.M., Лычагин В.В.: Основные понятия дифференциальной геометрии. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". - Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1988, 297 С.

2. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: "Наука". 1981. - 336 С.

3. Виноградов, A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: "Наука". 1986. -336 С.

4. Ибрагимов, Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикладная механика и техническая физика. 45(2). - С. 11—21 (2004)

5. Имшенецкий, В.Г. Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными 1-го и 2-го порядков. М.: Издание Московского матем. общества. 1916. - 412 С.

6. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 77(2). - С. 181-183 (1951)

7. Кошляков, Н.С., Глинер, Э.Б., Смирнов, М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: "Высшая школа". 1970. - 710 С.

8. Курант, Р. Уравнения с частными производными. М.: "Мир". 1964. -830 С.

9. Кушнер, А.Г. Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Монжа-Ампера // Математические заметки. 52(5) С. 63-67. - (1992)

10. Кушнер, А.Г. Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности // Естественные науки. №10. - С. 101-104 (2005)

11. Кушнер, А.Г. Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера // Естественные науки. №10. - С. 143-146 (2005)

12. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера // В сб. "Движения в обобщенных пространствах". Пенза: Изд-во ПГПУ. - С. 56 65 (2005)

13. Кушнер, А.Г. Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Софуса Ли контактной линеаризации // Сборник научных трудов I международного семинара "Симметрии: теоретический и методический аспекты". Астрахань. - С. 20-23. - (2005)

14. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных // Труды Международной конференции "Устойчивостьки колебания нелинейных систем управления". Москва, ИПУ, 31 мая -2 июня 2006 г. - С. 146

15. Кушнер, А.Г. Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г. С. 51.

16. Кушнер, А.Г. Симплектическая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера // Вестник Астраханского государственного технического университета. 1(36). - С. 15-18 (2007)

17. Кушнер, А.Г. ЛР-структуры и тензор Хаантиеса // "Лаптевские чтения-2006" Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г.Ф. Лаптева. Пенза. - С. 57-62 (2007)

18. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера // Изв. ВУЗов. Математика. №4. - 43-58 (2008).

19. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера и инварианты Лапласа // ДАН. 422(5). - С. 597-600 (2008)

20. Кушнер, А.Г. Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами // ДАН. -423(5). С. 609-611 (2008)

21. Кушнер, А.Г. Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца // ТеометрЬт, тополопята1. застосуваня". 36ipnnK Праць 1н-ту математики НАН Украши Т.6,№2 (2009). - С. 91-122.

22. Кушиер, А.Г., Маижоеова, Е.Н. Симилектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера // "Proceedings of the International Geometry Center". Odessa. - 1(1-2). - C. 41-70 (2008)

23. Кушнер, А.Г., Манжосова, Е.Н. Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона // "Обозрение прикладной и промышленной математики" № 3 С. 536-537(2009)

24. Ларькин, Н.А., Новиков, В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: "Наука". 1983.

25. Ларькин, Н.А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газовой динамики. Новосибирск: "Наука". 1991.

26. Лычагин, В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // ДАН СССР 238(5). С. 273-276 (1978)

27. Лычагин, В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // УМН. -34(1 (205)). С. 137-165 (1979)

28. Лычагин, В.В., Рубцов В.Н. О теоремах Софуса Ли для уравнений Монжа-Ампера // ДАН БССР 27(5). С. 396-398 (1983)

29. Лычагин, В.В., Рубцов В.Н. Локальная классификация уравнений Монжа-Ампера. ДАН СССР 272(1). С. 34-38 (1983)

30. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: "Наука". 1978. 399 С.

31. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат.- 1947.

32. Туницкип Д.В. О контактной линеаризации уравнений Монжа-Ампера // Изв. РАН. Серия матем. 60(2). С. 195-220 (1996)

33. Чаплыгин, С.А. О газовых струях // Ученые записки Московского университета. Отделение физмат наук. 21 (1904)

34. Anderson, I.M., Juras, M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math. 89. C. 351-375 (1997)

35. Alekseevskij D. V.,Lychagin V. V and Vinogradov A. M., Basic Ideas and Concepts of Differential Geometry. Geometry-I. - P. 1-264. - Berlin: Springer Verlag (1991)

36. Banos, B. Nondegenerate Monge-Ampère structures in dimension 3 // Lett. Math. Phys. 62(1). P. 1-15 (2002)

37. Banos, B. On symplectic classification of effective 3-forms and Monge-Ampère equations // Differential Geom. Appl. 19(2). P. 147-166 (2003)

38. Bers, L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. -John Wiley and Sons (1958)

39. Born M., Infeld L. Foundation of a New Field Theory // Proc. Roy. Soc. 144.- P. 425-451 (1934)

40. Blanco, R.A., Manno, G., Pugliese, F. Contact relative differential invariants for non generic parabolic Monge-Ampère equations // Acta Appl. Math. -101(1-3).-P. 5-19 (2008)

41. Cotton, E. Sur les invariants différentiels de quelques équations linearies aux dérivées partielles du second ordre // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 17. P. 211—244 (1900)

42. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Vol. I. Paris, Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. 1887. - vi+514 P.

43. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Vol. II. Paris, Gauthier-Villars, 1915. 579 P.

44. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Vol. III. Paris, Gauthier-Villars at fils, Imprimeur- Libraire. 1894. - viii-j-512 P.

45. Doubrov, B., Kushner, A. The Morimoto problem // In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) Geometry in Partial Differential Equations. Singapore New-Jersey London Hong-Kong. World Scientific. - P. 91-99 (1993)

46. Ernst, F.J. Black holes in a magnetic Universe // J. Math. Phys. 17. P. 5456 (1976)

47. Euler, L. Calcvli integralis. Vol.3. Petropoli, Impenfis Academiac Imperialis Scientiarium. 1770.

48. Forsyth, A.R. Theory of differential equations. Part 4. Partial differential equations. Vol.6. Cambridge University Press. - 596 P. (1906)

49. Frôlicher A., Nijenhuis A. Theory of Vector Valued Differential Forms. Part 1: Derivations in the Graded Ring of Differential Forms // Indag. Math. 18. P. 338-359 (1956)

50. Goursat, E. Leçon sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre a deux variables indépendantes. Vol. 1. Paris. 1896. -viii+226 P.

51. Goursat, E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre // Annales de la Faculté de Toulousé (deuxième serie) 1. P. 31-78 (1899)

52. Goursat, E. Sur les équations du second ordre à n variables analogues à l'équation de Mongc-Ampère // Bull. Soc. Math. France 27. P. 1-34 (1899)

53. Haantjes, A. On Xni-forming sets of eigenvectors // Indagat.iones Mathematical 17(2). - 158-162 (1955)

54. Hunter, J.K., Saxton, R. Dynamics of director fields // SIAM J. Appl. Math. 51(6). P. 1498-1521 (1991)

55. Hurt, N. Geometric Quantization in Action: Applications of Harmonic Analysis in Quantum Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. D.Reidel Pub. Co. Dordrecht-Boston (1983)

56. Ibragimov, N.H. Group classification of second order differential equations // Doklady Akademii Nauk SSSR 183(2). P. 274-277 (1968) (Russian); English translation in Soviet Math. Dokl. 9(6). - P. 1365-1369 (1968)

57. Ibragimov, N.H. Equivalence groups and invariants of linear and nonlinear equations // Archives of ALGA. Blekinge Institute of Thechnology. Karlskrona, Sweden 1. - P. 9-65 (2004)

58. Jakobsen, P., Lychagin, V., Romanovsky, Y. Symmetries and non-linear phenomena I. Preprint. - Tromsô Univ. (1997)

59. Jakobsen, P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena II. Applications to Nonlinear Acoustics. Preprint. - Tromsô Univ. (1998)

60. Karman, T. The similarity law of transonic flow // Journal of Math, and Phys. 26. P. 182-190 (1947)

61. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G. The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions // Regular and Chaotic Dynamics 8(2). P. 8-31 (2003)

62. Krasilshchik, I.S. Some new cohomological invariants for nonlinear differential equations // Differential Geom. Appl. 2(4). P. 307-350 (1992)

63. Krasilshchik, I.S., Lychagin, V.V., Vinogradov, A. M. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. New York: Gordon and Breach. (1986)

64. Кругликов, B.C. О некоторых классификационных задачах в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры и обобщенные уравнения Монжа-Ампера // Матем. сб. 189(11). Р. 61-74 (1998)

65. Kruglikov, В.S. Symplectic and contact Lie algebras with application to the Monge-Ampère equations // Tr. Mat. Inst. Steklova 221. P. 232-246 (1998)

66. Kruglikov, B.S. Classification of Monge-Ampère equations with two variables // CAUSTICS'98 (Warsaw), Polish Acad. Sci. Warsaw. - P. 179-194 (1999)

67. Kruglikov, B.S., Lychagin, V.V. Mayer Brackets and PDEs solvability I. // Differ. Geom. Appl. 17(2-3). - P. 251-272 (2002)

68. Kushner, A.G. Classification of mixed type Monge-Ampère equations // In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) Geometry in Partial Differential Equations. Singapore New-Jersey London Hong-Kong:"World Scientific". P. 173-188 (1993)

69. Kushner, A.G. The problem of equivalence of non-linear partial differential equations of mixed type // Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq. -Tartu, Estonia, 26-30 October 1992. P. 28-30.

70. Kushner, A.G. Symplectic geometry of mixed type equations // In: Lychagin, V.V. (ed) The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 167. P. 131-142 (1995)

71. Kushner, A.G. Almost product structures and Monge-Ampère equations // Lobachevskii Journal of Mathematics. http://ljm.ksu.ru 23. - P. 151181 (2006)

72. Kushner, A.G. A contact linearization problem for Monge-Ampère equations and Laplace invariants // Acta Appl. Math. 101(1-3) P. 177-189 (2008)

73. Kushner, A.G. On contact equivalence of Monge-Ampère equations to linear equations with constant coefficients // Acta Appl. Math. 109(1) P. 197-210. Online First: DOI 10.1007/sl0440-009-9447-z (2009)

74. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101. Cambridge: Cambridge University Press. - 2007. -xxii+496 P.

75. Lie, S. Ueber einige partielle Differential-Gleichungen zweiter Orduung // Math. Ann. 5. P. 209-256 (1872)

76. Lie, S. Begründung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Transformationen // Math. Ann. 8. P. 215-303 (1874)

77. Lie, S. Classification und integration von gewöhnlichen differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten // Math. Ann.32. P. 213-281 (1888)

78. Lychagin, V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. 1,2. "La Sapienza". Rome. - 1993.

79. Lychagin, V. V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differential equations and nonlinear Phenomena // Acta Appl. Math. 3. P. 135-1731985)

80. Lychagin, V. V. Differential Equations On Two-Dimensional Manifolds // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 5. - P. 43-57 (1992)

81. Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N., Chekalov, I.V. A classification of Monge-Ampère equations // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (4) 26(3). P. 281-308 (1993)

82. Malakhaltsev, M.A. De Rham cohomology // In: Handbook of Global Analysis (Eds. D.Krupka, D.Saunders). Elsevier. - 2008. - P. 953-982.

83. Morimoto, T. La géométrie des équations de Monge-Ampère // C. R. Acad. Sci. Paris Sr. A-B 289(1). P. A25-A28 (1979)

84. Morimoto, T. Open Problem in Str. Theory of Non-Linear Integrable Differential and Difference Systems // The 15 International Symposium Held at Katata. P. 27-29 (1984)

85. Morozov, O.I. Contact equivalence problem for linear parabolic equations // Preprint arXiv: math- ph / 0304045vl. P. 1-19 (2003)

86. Morozov, O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations. // Preprint arXiv math- ph / 0306007vl. P. 1-13 (2003)

87. Morozov, O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter-Saxton equation and the Euler-Poisson equation // Preprint arXiv: matli-ph / 0406016. P. 1-3 (2004)

88. Morozov, O.I.: Contact equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences 135(1). P. 2680-2694 (2006)

89. Newlender, A., Nirenberg, L. Complex analitic coordinates in almost complex manifolds // Ann. Math. 65. P. 391-404 (1954)

90. The, D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // SIGMA. -4(058).- 52 P. (2008)

91. Tricomi, F. Sulle equazioni lineari aile derivate parziali di secondo ordine di tipo misto // Rendiconti Atti dell' Accademia Nazionale dei Lincei 5(14). -P. 134-247 (1923)

92. Vessiot, E. Sur les équations aux dérivées partielle du second ordre intégrables par la méthode de Darboux // J. Math Pures Appl. 18. P. 1-61 (1939) and 21. - P. 1-66 (1942)

93. Vinogradov, A.M., Krasil'shchik, I.S., Lychagin, V.V. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 1. - New York: Gordon and Breach Science Publishers. - 1986. - xx+441 P.