Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Балахнёв, Максим Юрьевич

• Балахнёв, Максим Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Балахнёв, Максим Юрьевич

Введение

1 Анизотропные уравнения на сфере

§п

1.1 Основная теорема.

1.2 Авто-преобразования Беклунда.

2 Уравнения специального вида в М"

2.1 Уравнения не содержащие и

2.1.1 Основная теорема.

2.1/2 Авто-преобразования Беклунда.

2.2 Изотропные уравнения при условии огс! /о ^ 1.

2.2.1 Основная теорема.

2.2.2 Авто-преобразования Беклунда.

2.3 Другие интегрируемые случаи.

3 Дифференциальные подстановки первого порядка

3.1 Основные теоремы.

3.2 Точечные преобразования.

3.3 Дифференциальные подстановки в

§п

4 Формулы суперпозиции

4.1 Обобщения мКдФ.

4.2 Уравнения типа мКдФ.

4.3 Изотропные уравнения на сфере

§п.

4.4 Анизотропное обобщение уравнения Щварц-КдФ.

4.5 Обобщение уравнения Ландау-Лифшица.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка»

Классификация интегрируемых эволюционных уравнений и систем, а также изучение различных их свойств, входит в число приоритетных направлений научных исследований РАН и является известной тематикой в исследованиях большого числа современных математиков и физиков как в нашей стране, так и за рубежом. Интерес к этому направлению объясняется тем, что интегрируемые эволюционные уравнения и системы имеют приложения в математике и физике. Именно, наблюдение физического явления способствовало открытию первого интегрируемого эволюционного уравнения - уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ).

В августе 1834г. Скотт Расселл, изучая пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тел г самым соединяет оба побережья Шотландии, стал свидетелем необычайного и красивого явления и назвал его «большая уединенная волна». Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Позже Буссинеском была получена более точная модель волн на воде, так называемое уравнение Буссинеска [2]. Уединенная волна привлекла внимание многих физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза [3].

Открытие Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой в 1968 году замечательного факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши [4], и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы к уравнению спнус-Гордои и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в математической физике 1970-80-х годов. Новый фундаментальный метод интегрирования дифференциальных уравнений получил название метода обратной задачи рассеяния.

Появившись впервые в теории волн на мелкой воде уравнение КдФ, встречается сегодня в теории решеток, физике плазмы и магнитной гидродинамике [5]. Приложения другого известного уравнения синус-Гордон охватывают такие различные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские сверхпроводящие контакты, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках и модели теории поля.

Именно приложения во многих областях физики объясняет повышенный интерес к различным интегрируемым эволюционным уравнениям и системам. Естественным образом возникает вопрос: существуют ли еще уравнения, кроме, например, КдФ или синус-Гордон, обладающие такими же свойствами? Анализ свойств известных уравнений позволяет развивать методы их классификации - получения новых интегрируемых случаев.

На первой Киевской международной конференции в 1979 г. А. Б. Шабат сформулировал основные принципы симметрийного подхода к классификации интегрируемых уравнений, базирующегося на явных условиях интегрируемости. В этом же году, довольно близкий по духу подход был предложен в работе [6], но идеи этой работы не скоро получили должное развитие.

Первыми публикациями на тему явных условий интегрируемости для эволюционных уравнений являются работы [7, 8], в которых были введены понятия формальной симметрии и канонических плотностей. В работе [9] показано, что существование пары высших законов сохранения влечет за собой существование формальной симметрии. Кроме того, в этой работе представлен полный список уравнений вида щ = иххх + /(и,их,ихх), обладающих высшими законами сохранения.

Симметрийный подход был расширен Р. И. Ямиловым на бесконечные системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа цепочки Тоды [10]. Эффективность методов А. Б. Шабата была продемонстрирована и при классификации нелинейных уравнений типа уравнения Клейна - Гордона [11]. В [12] получен полный список интегрируемых цепочек вида (un)t = f{un-Uumun+1).

Классическая теория контактных преобразований совмещена с сим-метрийным подходом С. И. Свинолуповым в работе [13], посвященной проблеме классификации уравнений типа Бюргерса. Интегрируемые уравнения 5-го порядка были проклассифицированы в [14]. Схема классификации интегрируемых уравнений в векторном случае была обобщена в [15]. После этого в [16] и [17] был получен полный список интегрируемых уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера, а в [18] описаны контактные преобразования для них.

Симметрийный подход обсуждался и в статье A.C. Фокаса [19], где перечислены все уравнения вида ut = иххх + f(u,vx), обладающие хотя бы одной высшей симметрией пятого порядка. Уточнение понятия формальной симметрии, алгоритмический способ вычисления явных условий интегрируемости, развитие классической теории преобразований и ряд других оригинальных результатов содержатся в обзорных статьях [20, 21, 22]. Многочисленные работы по классификации и изучению симметрийных свойств интегрируемых уравнений [23] - [48] говорят о неугасающем интересе исследователей к данной тематике.

Для того чтобы пояснить основные понятия и методы исследования используемые в диссертации, рассмотрим уже упомянутое уравнение КдФ: du(x,t) д3и(х, t) du(x,t) dt = -gsr- + 6 -ЯГ' (1)

В классической теории Софуса Ли определение симметрии связывается с однопараметрическими группами преобразований типа группы Лоренца, группы Галилея, масштабной группы и т.д. Если уравнение в частных производных допускает такую группу, то исходя из данного решения при помощи действия группы можно получить однопараметрическое семейство решений. Например, преобразования Галилея х' = х - б г г, г' = ^ = и + г (2) не меняют вида уравнения КдФ и действие группы (2) дает однопара-метрическос семейство решений (1) и(х,1,т) = и(х + + т. (3)

Из (3) следует ит — 1 + 6 Ьих и, так как, (1) выполняется тождественно относительно т, то частная производная ит удовлетворяет линейному уравнению

1Ч£)3-би£-бц*)К)=0' (4) то есть функция / = 1 + 6£г/ж удовлетворяет (4). Любая функция / от переменных х: и, их, иХХ1 • • ■, (5) удовлетворяющая (4), называется симметрией уравнения КдФ. При этом подразумевается, что после подстановки /(.т, и, их,.) вместо ит в (4) все производные щ, . выражены через переменные

5) с помощью уравнения (1). После этого соотношение (4) должно превратиться в тождество относительно независимых переменных (5). Симметрии к = /г<+/2х +./;?, /г = лч*, (6) называют классическими, так как в этом случае симметрия порождает однопараметрическую группу преобразований. Симметрии, не имеющие вида (б), обычно называют высшими. Простейшим примером такой симметрии для (1) является функция 2 = иххххх + 10 и иххх + 20 их ихх + 30 и их.

Определение симметрии легко обобщить на произвольную систему дифференциальных уравнений в частных производных = (7) где а = 1,.

Определение 1. Векторное поле аа называется симметрией (7), если оно удовлетворяет системе уравнений дНа г ди? ■

О, (8) где многообразие М определено дифференциальными следствиями (7):

Щ X, ^ <) = о, П,к = 0,1,.

Здесь операторы Дг и введены слсд\ггощтш образом: ^ д в д д 0 д

1^?7'

Одним из главных объектов в симметрии пом подходе к классификации интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнении является бесконечное множество канонических сохраняющихся плотностей. Связи между симметриями и законами сохранения описываются известной теоремой Э. Нетер. Например, инвариантность нелинейного уравнений Шредингера гфг = Фхх + Щ2,Ф относительно фазового преобразования ф —>■ егтф приводит к закону сохранения (гф*хф ~ гф*фх)х с сохраняющейся плотностью \ф\2.

Определение 2. Если существуют функции р и в зависящие от конечного числа переменных (£, х, и^) и удовлетворяющие равенству

В±р = ВхВ, 7 выполненному на любом решении (7), то говорят, что (7) имеет дифференциальный закон сохранения. Функция р называется сохраняющейся плотностью, а функция 9 - плотностью тока.

Общие свойства законов сохранения эволюционных систем изучались, например, в работах [49] - [58], а в работах [59] - [65] исследованы законы сохранения для конкретных эволюционных систем. Работа [6] (см. также [66] и [67]) дала толчок развитию нового метода вывода канонических плотностей при исследовании интегрируемости нелинейных уравнений. Метод сформулированный на уровне гипотезы затем был проверен на большом числе примеров [68]. Мотивировка использования так называемого "китайского"метода и некоторые его приложения даны в работе А. Г. Мешкова [69].

Интегрируемую методом обратной задачи рассеяния систему дифференциальных уравнений (7) часто ассоциируют с линейной системой фх = 1/ф,фг = Уф, (9) где ф(х, £) — столбец неизвестных функций, а матрицы II, V зависят от (х, Условие совместности (9) записывается следующим образом

АС/-ИхУ+[и,У\ =0, где [*,•]- коммутатор матриц, и называется представлением нулевой кривизны для (7).

Известно, что (1) имеет представление нулевой кривизны с матрицами тт ( 0 ¡л2 - и \ ( их- 4// -ихх + 2 (и + 2/¿2)(/х2 - г/) где и есть решение уравнения КдФ и /л - параметр.

Важным свойством интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнений является то, что они допускают бесконечную последовательность законов сохранения. Рассмотрим способ построения сохра няющихся плотностей на примере уравнения КдФ. Подставив вышеуказанные матрицы и и V в (9) можно получить систему уравнений:

Фхх + иф- ц2ф = 0, (10)

•ф± = 4фххх + 6ифх + Зихф - 4ц3ф, (11) которую называют представлением Лакса для уравнения КдФ.

Для того, чтобы привести (10) к уравнению типа Риккати, выполним подстановку ф = ехр (У р , тогда *(10) и (11) примут вид рх + р2 + и - ¡л2 = 0, (12) дь J р (1х = А(дх + р)'2р + б ир + 3 их - 4 /А (13)

Дифференцируя уравнение (13) по ж мы можем записать его, используя (12), в следующей форме рь = дх[(2и + 4р2)р-их]. (14)

Если искать решение (12) в виде ВКБ-разложений оо

Р = + Рп(-2^)~п, (15)

71=0 то мы получим известную рекурсионную формулу [70]

71-1

Рп+1 = Охрп + 71 = 1,2,. р0 = 0, Р1=Щ (16) г=1 а (14) приводит к бесконечной серии законов сохранения:

АРт* = Аг(2ирп - Рп+2), п > 0. (17)

Поскольку и - есть решение КдФ, мы заменили частные производные в (17) на оператор эволюционной производной Dt и оператор полной производной по х - Дг. Полученные законы сохранения называют каноническими, несколько первых из них имеют вид: р2 = П!, рз = и2-\-и2: р4 = Асргг + г/2),. • ■

Таким образом, имея представление Лакса, мы построили рекуррентную формулу для сохраняющихся плотностей уравнения (1).

Замечателен тот факт, что канонические плотности уравнения КдФ могут быть построены и при использовании только временного уравнения (13). Так, положив / р (1х = 0 находим из (13) р)2р + бир + 3их - 4//3 = 0 (18)

Используя ВКБ-разложения со со

71=0 71=0 мы получаем из (18) следующую рекурсионную формулу:

71+1 , П ч л

1 4 2 р1рп-г+1 - д РгРэРп-г-з ~ ^ &п ~ хРп

0 М—0 2ИХ ^рп+1 - РгРп-^ ~ и5п-1 + щ5п, о, п =-2,-1,0,. где - символ Кронекера. В полученном выражении р0 = 0, рх = и, Р2 — щ — (90/3 и так далее. Так как — Их0о и р0 — 0, то 90

0. Следующие канонические плотности рп,п > 2 зависят от #п2, при этом члены вп определяются из уравнений = Пх9п. Например,

0\ — и2 + 3 и2.

Рассмотрим указанный метод построения канонических плотностей для эволюционных систем щ К(и, их:., ип), х) 1, и% = д*иа. (19)

Основная идея - использование вместо (19) линеаризованного уравнения - = 0 (20) или сопряженного к нему + К+)<р = 0, (21) как временного уравнения Лакса. Здесь

К.фг=£ тт^- = п.в 0и<1 п.в """

А = I + £ лгонй. д, = I + а

-п — „>а --п

Этот способ часто называют "китайским", поскольку он был впервые применен как эвристический в [6], суть его заключается в следующем [69]: уравнение (18) получают из (13) с помощью подстановки ф = exp (^J ^ , где ш = pdx + 9 dt гладкая замкнутая 1-форма, такая что Dtp — Dx9. Очевидно, что e-w.Diew = DL +9, е~шОхеш — Dx + р откуда следует (18). С другой стороны, уравнение (18) можно рассматривать как результат формального продолжения операторов Dt —» dt + 9, Dx —» дх + р в (13) и принятия затем ф = 1. Для систем можно считать фа = 1 только при фиксированном а.

В. В. Соколов в работах [71] и [72] предложил бескомпонентную версию симмстрпйного подхода для классификации векторных уравнении. Используя эти идеи, мы провели классификацию интегрируемых векторных эволюционных уравнений вида:

4 ut = иххх + f2uxx + fiUx + fou, (22) где и(х, t) - неизвестный вектор, принадлежащий некоторому iV-мерному векторному пространству V со скалярным произведением (■,■), щ = du/dt, их = ди/дх, ихх — д2и/дх2 и т.д.

Переменные и: их: ихх,. считают независимыми и используют обозначения: их = и1: ихх = и2: иххх = и3,--------(23)

На функции /г можно накладывать различные ограничения, будем считать, что они зависят только от скалярных произведении

Щд] = {ии и5), 0 < г < 3 < п. (24)

Предложенная модификация симметрийного подхода обобщается в [72] и на случай, когда в пространстве V определено два различных скалярных произведения. В этом случае расширяют множество динамических переменных (24) путем добавления дополнительных переменных

М = (иг: из>5 j ^ П, (25) построенных по второму скалярному произведению. Целое число з называют порядком переменных (24) и (25). Порядком функции от переменных называют наивысший из порядков переменных, от которых она зависит. Мы далее считаем, что функции /г в (22) имеют порядок не выше 2.

Важно подчеркнуть, что мы исследуем уравнения, которые являются интегрируемыми при любой размерности ТУ вектора и. При этом мы предполагаем, что коэффициенты в (22) не зависят от N. Ввиду произвольности IV, переменные (24) п (25) можно считать независимыми. Функциональная независимость переменных и^], г ^ з -это решающее требование в пашем исследовании. Если N фиксировано, то этого нельзя утверждать. Например, если N — 3, то определитель с элементами г,з = 1,2,3,4 тождественно равен нулю. Отметим также, что для нас несущественна реализация метрик в V, так как мы используем в данном исследовании только самые общие свойства скалярного произведения - билинейность, симметричность и непрерывность." Ясно, что конечномерность или вещественность пространства V также не важны.

Примерами интегрируемых изотропных уравнений, зависящих только от переменных (24), являются векторные обобщения модифицированного КдФ:

Эти и другие примеры интегрируемых векторных уравнений можно найти в статьях [73, 74]. Некоторые из них тесно связаны с такими алгебраическими и геометрическими объектами, как йордановы тройные системы и симметрические пространства [75] - [78].

Примером интегрируемого анизотропного уравнения, зависящего от переменных (24) и (25), является векторное обобщение высшей симметрии уравнения Ландау-Лифшица приведенное в [79]: щ = Дг (и2 + § {иии{) и) + | (и,Яи) и±, и2 = (ад, и) = 1, (28) где Я - постоянная симметричная матрица. В цитируемой работе было показано, что это уравнение интегрируемо методом обратной задачи рассеяния при любых N и И. В этом случае второе скалярное произведение задается формулой (аз,у) = (х,В,у).

Необходимые условия интегрируемости для векторных уравнений (22) были определены в [72] и имеют вид законов сохранения где рг, 9{- функции переменных (24) и (25), которые рекурсивно выражаются через коэффициенты уравнения (22).

Локальным законом сохранения для эволюционного векторного уравнения (22) называют всякое соотношение вида (29), где оператор полной производной по х - Их и оператор эволюционной производной определяются следующим образом:

Щ = и3 + (и, и) их, щ = и3 + (и, и) их + (и, их) и,

26) (27)

1>(р;=Дс0;, г = 0,1,2,.

29) д д д п*(из + Я*2 + А"1 + дП; Ы д ди,'

0 " " г=0

Правила дифференцирования скалярных произведений щ^] = (г^, и^) и й[гд\ — (г¿г,wJ■) вытекают из равенства Дтщ = и билинейности скалярного произведения. Эволюционная производная Dt вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции.

Для построении бесконечной серии законов сохранения запишем (22) в виде (—Dt + Dl. + f2D?¡. + f\Dx + fo)u — 0, Теперь, считая скалярное уравнение (—А + + /2-^ + /1 Ас + /о)ф — 0 временным уравнение Лакса для (22), выполним в нем стандартную подстановку ехр Я йх^ .

В результате мы получим уравнение типа Риккати:

А + Я)2Я + /2(А + Я) Я + Л Я + /о = Г, ПХГ = АЯ- (30)

Это уравнение имеет формальные решения в виде оо оо

Л = + Р = А-3 + ^ 9пХп (31) п=0 п=0

Подставив (31) в первое уравнение (30) мы приходим к следующей реккурентной формуле: 1 Рп+2 ~ ^ 1 3 -А

77 ~ /О ^П,0 — 2/2 рп + 1 — /2 ВхРп — Л Рт

П+1

2 ^ Рз Рп-3 + ^ РзРк Рп-З-к + 3 Ре Рп-3+1 в=о й=0

1 П 1 о Р* Рп~3 + Ч ^

Рп П ^ 0.

Здесь 5г.1 символ Кронскера и

Ро = /2, Р1 = \ $ ~ | ^ + 5 ^

32)

Теперь, используя (31), мы получаем из второго уравнения (30) бесконечную серию законов сохранения Dtpn = Dx0n, п — 0,1, 2,., где рп и вп функции переменных (24) и (25).

Рекурсионная формула позволяет находить функции вп из Dtpn = Dx9n, поскольку выражения для рп содержат i ^ п — 2. Например,

92 = /о + ^во ~ + i/i /2 - Dx(± fi + ^Dxf2 - i л), и так далее.

Таким образом, условия Dtpn = Ас^п позволяют найти явный вид функций fi, так как рп определяются через коэффициенты fi уравнения (22). Другими словами, условия Dtpn = Dx9n являются уравнениями для определения В частности, как показано В.В. Соколовым и А.Г. Мешковым, четные канонические плотности тривиальны, то есть р2п — DxXn, п = 0,1,., что влечет, согласно (32), /2 € ImD. Таким образом, не теряя общности, можно считать /2 — 3/2 Dx(lii f), где ord/ = 1.

В первой главе диссертации представлена классификация анизотропных уравнений в §п. Вторая глава посвящена классификации уравнений вида (22) в М71 с некоторыми ограничениями на /¿. Эти ограничения возникли по техничеким причинам: в этих случаях удается получить полный список интегрируемых векторных уравнений. В качестве доказательства точной интегрируемости всех полученных уравнений найдены авто-преобразования Беклунда для них. Дифференциальные подстановки первого порядка изучены в третьей главе. В четвертой главе получены формулы суперпозпции п решения для наиболее известных векторных уравнений.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Балахнёв, Максим Юрьевич

Заключение

Основными результатами диссертации являются:

• Используя симметрийный подход проведена классификация интегрируемых векторных анизотропных уравнений на §п, а также интегрируемых уравнений специального вида в Кп.

• В качестве доказательства точной интегрируемости уравнений построены авто-преобразования Беклунда.

• Получены условия, при которых векторные уравнения третьего порядка допускают дифференциальные подстановки первого порядка. Приведены примеры иллюстрирующие необходимость исследования дифференциальных подстановок после проведения любой классификации.

• Построены формулы суперпозиции для наиболее известных векторных уравнений. Найдены периодические и солитонные решения для векторного обобщения уравнения Ландау-Лифшица.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Балахнёв, Максим Юрьевич, 2009 год

1. Rassell, J. Repot on Waves / J. Rassel //In Rep. 14th Meeting of the British Assoc. for the Adv. of Sci. London, John Murrey, 1844.

2. Boussinesq, J. Theorie de L'intumescence Liquide Appelee onde Solitaire ou de Translation se Propageant dans un Canal Rectangulaire / J. Boussinesq // Comtes Rendus. 1871. - 72. - P. 755-759.

3. Korteweg, D.J. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves / D.J. Korteweg, G. de Vries// Philos. Mag. Ser. 5. 1895. - V.39, - P. 422-443. ,

4. Gardner, C.S. Method for solving the Korteweg-de Vries equation / C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, R.M. Miura // Phys. Rev. Lett. 1967. - V.19, - P. 1095-1097.

5. Захаров, B.E. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерная автомодуляция волн в нелинейных средах / В.Е. Захаров, А.Б. Шабат // ЖЭТФ. 1971. - Т.74. - С. 118-134.

6. Chen, Н.Н. Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering transform method / H.H. Chen, Y.C. Lee, C.S. Liu // Phys. Scr. 1979. - V.20, - №3-4, - P. 490-492.

7. Ибрагимов, H.X. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда / Н.Х. Ибрагимов, А.Б. Шабат // Функц. анал. и его прил. 1980. - Т.14. - Ж. - С. 25-36.

8. Ибрагимов, Н.Х. О бесконечных алгебрах Ли-Беклунда / Н.Х. Ибрагимов, А.Б. Шабат // Функц. анал. и его прил. 1980. - Т.14. - №4. - С. 79-80.

9. Свинолупов, С.И. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения / С.И. Свинолупов, В.В. Соколов // Функц. анал. и его прил. 1982. - Т. 16. - №4, - С. 86-87.

10. Ямилов, Р.И. О классификации дискретных уравнений. Сб. ст. Интегрируемые системы / Под. ред. A.B. Шабата Уфа: БФ АН СССР, 1982.

11. Жибер, A.B. Системы уравнений vx = p(u,v), vy = q(u,v) обладающие симметриями / A.B. Жибер, A.B. Шабат // Докл. АН СССР. 1984, - Т.277. - №1. - С. 29-33.dun

12. Ямилов, Р.И. Дискретные уравнения вида —т— —1. ЛЬ

13. F(un-i,un,un+i), имеющие бесконечно много локальных законов сохранения: дис. . канд. ф. м. наук. Уфа, 1985.

14. Свинолупов, С.И. Об аналогах уравнения Бюргерса произвольного порядка/ С.И. Свинолупов // Депонировано в ВИНИТИ. -1985. №4584-85Деп.

15. Дринфельд, В.Г. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечной серией законов сохранения/ В.Г. Дринфельд, С.И. Свинолупов, В.В. Соколов // Докл. АН УССР. 1985. Сер.А. - №10, - С. 8-10.

16. Шабат, A.B. О полном списке интегрируемых систем уравнений вида: iut = ихх + f(u,v, их, vx); -ivt = vxx + д(и, v,ux: vx)/ A.B. Шабат, Р.И. Ямилов 11 Препр. БФ АН СССР. УФА. - 1985. - 28 с.

17. Михаилов, A.B. Условия интегрируемости систем двух уравнений типа щ = А{и)ихх + F(u, их). I / A.B. Михайлов, A.B. Шабат // ТМФ. 1985. - Т.62. - №2. - С. 163-185.

18. Михайлов, A.B. Условия интегрируемости систем двух уравнений типа ut — А(и)ихх + F(u,ux). II / А.В. Михайлов, А.Б. Шабат // ТМФ. 1986. - Т.66. - т. - С. 47-65.

19. Mikhailov, A.V. Extensión of the module of invertible transformations. Classification of integrable systems / A.V. Mikhailov,

20. A.B. Sliabat, R.I. Yamilov // Comm. Math. Phys. 1988. - V.115. -№1. - P. 1-19.

21. Fokas, A.S. Symmetries and integrability / A.S. Fokas // Stud. Appl. Math. 1987. - V.77. - №3. - P. 253-299.

22. Sokolov, V.V. Classification of integrable evolution equations / V. V. Sokolov, A.B. Shabat // Soviet Scientific Revies, Section C. 1984. -V.4. - №221. - P. 221-280.

23. Михайлов, A.B. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем / А.В. Михайлов, А.Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Успехи мат. наук. 1987.- Т.42. №4. - С. 3-53:

24. Соколов, В.В. О симметриях эволюционных уравнений / В.В. Соколов // Успехи мат. наук. 1988. - Т.43. - №5. - С. 133-164.

25. Дринфельд, В.Г. Уравнения типа КдФ и простые алгебры Ли /

26. B.Г. Дринфельд, В.В. Соколов // Докл. Акад. Наук СССР. 1981.- Т.258. №1. - С. 11-16.

27. Свинолупов, С.И. Эволюционные уравнения с нетривиальными законами сохранения / С.И. Свинолупов, В.В Соколов// Функц. анал. и его прил. 1982. - Т.16. - №. - С. 86-87.

28. Свинолупов, С.И. Список формально интегрируемых уравнеий вида ut = f(u)u3 + h(u,ui,u2) / С.И. Свинолупов // Депонировано в ВИНИТИ. 1983. - №2962-83Деп.

29. Дринфельд, В.Г. Алгебры Ли и уравнения типа КдФ/ В.Г. Дриифельд, В.В. Соколов // Сб. Итоги науки и техники, Современные проблемы математики/ Под ред. Гамкрелидзе. М.: ВИНИТИ. - 1984. - Т.24. - С.81-180.

30. Newell, A. Solitons in Mathematics and Physics / A. Newell // SI AM. Philadelphia. - 1985.

31. Боголюбов, H.H. Полная интегрируемость нелинейных систем Ито и Бении-Каупа: градиентный алгоритм и представление Лакса / Н.Н. Боголюбов, А.К. Прикарпатский // ТМФ. 1986. - Т.67. -т. - а 4Ю-425.

32. Antonowicz, М. Coupled KdV equation with multi-Hamiltonian structures / M. Antonowicz, A. Fordy // Physica D. 1987. - V.28.- P. 345-357.

33. Мукминов, Ф. X. Интегрируемые эволюционные уравнения со связями / Ф. X. Мукминов, В.В. Соколов // Мат. сб. 1987. -Т.133. - №3. - С. 392-414.

34. Жибер, А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрии / А.В. Жибер // Изв. РАН Сер. мат.- 1994. Т.58. - Ш. - С. 33-54.

35. Свинолупов, С.И. Деформации йордановых тройных систем и интегрируемые уравнения / С.И. Свинолупов, В.В. Соколов // ТМФ. 1996. - Т. 108. - №3. - С. 388-392.

36. Demskoi, D.K. New integrable string-like fields in 1-j-l dimensions / D.K. Demskoi, A.G. Meshkov // Proc. Second Int. Conf. Quantum Field Teory and Gravity. 1997. - Tomsk. - P. 282-285.

37. Meshkov, A.G. Integrability and integrodifferential substitutions / A.G. Meshkov // J. Math. Phys. -1997. V.38. - №12. - P. 6428-6443.

38. Бормисов, А.А. Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Рнккати / А.А. Бормисов, Е.С. Гудкова, Ф.Х. Мук-минов // ТМФ. 1997. - Т.113. - №2. - С. 261-276.

39. Ferapontov, E.V. Lie sphere geometry and integrable systems / E.V. Ferapontov // Tohoku Math. J. 2000. - V.52. - P. 199-233.

40. Адлер, В.Э. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости / В.Э. Адлер, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов // ТМФ. 2000. - Т.125.- №3. С. 355-424.

41. Жибер, А.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа / А.В. Жибер, В.В. Соколов // УМН. 2001.- Т.56. вып.1. - С. 63-106.

42. Sokolov, V.V. Classification of integrable vector evolution equations / V.V. Sokolov, Т. Wolf // J. Phys. A. 2001. - 34. - P. 11139-11148.

43. Mikhailov, A.V. Symmetries of differential equations and the problem of Integrability/ A.V. Mikhailov, V.V. Sokolov // In: Integrability / Ed. A. V. Mikhailov. Princeton University Press. 2003.

44. Демской, Д.К. Представление Лакса для триплета скалярных полей / Д.К. Демской, А.Г. Мешков // ТМФ. 2003. - Т.134. -№3. - С. 351-364.

45. Mikhailov, A.V. Classification of integrable Benjamin-Ono-type equations / A.V. Mikhailov, V.S. Novikov // Moscow Mathematical Journal. 2003. - V.3. - P. 1293-1305.

46. Sanders, J.A. On the integrability of systems of second order evolution equations with two components / J.A. Sanders, J.P. Wang //J. Diff. Eqns. 2004. - V.203. - P. 1-27.

47. Güngor, F. Symmetry classification of KdV-type nonlinear evolution equations / F. Güngor, V. Lahno , R. Zhdanov //J. Math. Phys. -2004. V.45. - P. 2280-IJ2313.

48. Mikhailov, A.V. On classification of integrable non-evolutionary equations / A.V. Mikhailov, V.S. Novikov, J.P. Wang // Studies in Applied Mathematics. 2007. - V.118. - P. 419-457.

49. Meshkov, A.G. Two-Field Integrable Evolutionary Systems of the Third Order and Their Differential Substitutions / A. G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev // Symmetry, Integrability and Geometry: Meth. and Appl. 2008. - V.4. Paper 018.

50. Abellanas, L. A generalized variational algebra and conserved densities for linear evolution equations / L. Abellanas, Galindo A. // Lett. Math. Phys. 1978. - V.2. - №5. - P. 399-404.

51. Kumei, S. On the relationship between conservation laws and invariance groups of nonlinear field equations in Hamilton's canonical form / S. Kumei //J. Math. Phys. 1978. - V.19. - №1. - P. 195-199.

52. Abellanas, L. Conserved densities for nonlinear evolution equation. I. Even order case / L. Abellanas, A. Galindo //J. Math. Phys. -1979. V.20. - №6. - P. 1239-1243.

53. Galindo, A. An algorithm to construct evolution equations with a given set of conserved densities / A. Galindo //J. Math. Phys.1979. V.20. - №. - P. 1256-1259.

54. Focas, A.S. Generalized symmetries and constants of motion of evolution equations / A.S. Focas // Lett. Math. Phys. 1979. - V.3.- №3. P. 467-473.

55. Case, K.M. Conserved densities / K.M. Case // Proc. Nat. Acad. Sci. USA (Phys. Sci). 1980. - V.77. - №2. - P. 691-692.

56. McGuinness, M.J. Infinities of polynomial conserved densities for nonlinear evolution equations / M.J. McGuinness //J. Math. Phys.1980. V.21. - №12. - P. 2737-2742.

57. Abellanas, L. Conserved densities for nonlinear evolution equation. II. Odd order case / L. Abellanas, A. Galindo //J. Math. Phys.1981. V.22. - №3. - P. 445-448.

58. Rosencrans, S.I. Conservation laws generated by pairs of non-Hamiltonian symmetries / S.I. Rosencrans //J. Differ. Equat. 1982.- V.43. №. - P. 305-322.

59. Капцов, O.B. Классификация эволюционных уравнений по законам сохранения / O.B. Капцов // Функц. анал. и его прил. 1982.- Т.16. вып.1. С. 72-73.

60. Кулиш, П.П. Законы сохранения для уравнения Пи + sin и = 0 / П.П. Кулиш // Препр. ИФВЭ АН СССР. Серпухов. - 1974. №74-155, 7с.

61. McGuiness, M.J. The conserved densities of the Korteweg-de Vries equation / M.J. McGuiness // J. Math. Phys. 1978. - V.19. - №11.- P. 2285-2288.

62. Fujimoto, A. Conserved densities of certain nonlinear evolution equations / A. Fujimoto, Y. Watanabe // Math. Jap. 1981. - V.26.- №2. P. 203-221.

63. Abellanas, L. Evolution equations with high order conservation laws / L. Abellanas, A. Galindo //J. Math. Phys. 1983. - V.24. - №3. -P. 504-509.

64. Ямилов, Р.И. О дискретных уравнениях с локальными законами сохранения / Р.И. Ямилов // Депонировано в ВИНИТИ. 1983. №6103-83 Деп., -36 С.

65. Мельников, В.К. О законах сохранения для уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником / В.К. Мельников // Препр. ОИЯИ. Дубна, - 1989. №32-89-290, - 11 С.

66. Zhou Huan-Qiang Connection between infinite conservation laws in a coupled Ziber-Shabat-Mikhailov equation and a coupled Kaup-Kupershmidt equation / Zhou Huan-Qiang, Jiang Lin-Jie, Jiang Quan // Phys. Lett. 1990. - V.143. -№6-7. - P. 288-292.

67. Chen, H.H. On the integrability of multidimensional nonlinear evolution equations / H.H. Chen, J.E. Lin //J. Math. Phys. 1987.- V.28. №2. - P. 347-350.

68. Chen, H.H. Integrability of nonlinear wave equations / H.H. Chen, J.E. Lin // Integrability Dyn. Syst.: 3-rd Workshop Nonlinear Astron.- Gainesville, Fla, Oct. 1-2, 1987. - New York. - 1988, - P. 91-99.

69. Митропольский, Ю.А. Интегрируемые динамические системы: Спектральные и дифференциально-геометрические аспекты / Ю.А. Митропольский, Н.Н. Боголюбов, А.К. Прикарпатский, В.Г. Самойленко // Киев: Наукова думка, - 1987.

70. Meshkov, A.G. Necessary conditions of the integrability / A.G. Meshkov // Inverse Problems. 1994. - V.10. - №3. - P. 635-653.

71. Захаров, B.E. Теория солитонов: метод обратной задачи/ В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский // М.: Наука. - 1980.

72. Sokolov, V.V. Classification of integrable polynomial vector evolution equations / V.V. Sokolov, T. Wolf //J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - V.34. - P. 11139-11148.

73. Meshkov, A.G. Integrable evolution equations on the iV-dimensional sphere / A.G. Meslikov, V.V. Sokolov // Commun. in Math. Phys. -2002. V.232. - №1. - P. 1-18.

74. Свинолупов, С.И. Векторно-матричные обобщения классических интегрируемых уравнений / С.И. Свинолупов, В.В. Соколов // ТМФ. 1994. - Т.100. - №2. - С.214-218.

75. Tsuchida, Т. Classification of polynomial integrable systems of mixed scalar and vector evolution equations I / T. Tsuchida, T. Wolf //J. Phys A: Math, and Gen. 2005. - V.38. - P. 7691-7733.

76. Athorne, C. Generalised KdV and mKdV equations associated with symmetric spaces / C. Athorne, A. Fordy //J. Phys. A: Math. Gen. 1987. - V.20. - P. 1377-1386.и

77. Свинолупов, С.И. Иордановы алгебры и обобщенные уравнения Кортевега-де Фриза / С.И. Свинолупов // ТМФ. 1991. - Т.87. -т. - С. 391-403.

78. Svinoliipov S.I. Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs / S.I. Svinolupov// Comm. Math. Phys. 1992. - V.143. - P. 559-575.

79. Голубчик И.З. Многокомпонентное обобщение иерархии уравнения Ландау-Лифшица / И.З. Голубчик, В.В. Соколов // ТМФ. -2000. Т. 124. - Ж. - С. 62-71.

80. Мешков, А.Г. Классификация интегрируемых дивергентных N-компонентных эволюционных систем / А.Г. Мешков, В.В. Соколов // ТМФ. 2004. - Т. 139. - т. - С. 192-208.

81. Balakhnev, M.Ju On a classification of integrable vectorial evolutionary equations / M.Ju. Balakhnev, A.G. Meshkov // JNMP.- 2008. V.15. - №. - P. 212-226.

82. Балахнев, М.Ю. Об одном классе интегрируемых эволюционных векторных уравнений / М.Ю. Балахнев // ТМФ. 2005. - Т.142.- №2. С. 13-20.

83. Балахнев, М.Ю. Формулы суперпозиции для векторных обобщений уравнения мКдФ / М.Ю. Балахнев // Матем. заметки. -2007. Т.82. - №4. - С. 501-503.

84. Балахнев, М.Ю. Формулы суперпозиции для интегрируемых векторных эволюционных уравнений / М.Ю. Балахнев // ТМФ.- 2008. Т.154. - №2. - С. 261-267.

85. Meshkov, A.G. Integrable Anisotropic Evolution Equations on a

86. Sphere / A.G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev // SIGMA. 2005. - V.l.1. Paper 027.

87. Meshkov, A.G. Computer package for investigation of the completele integrability / A.G. Meshkov 11 Proc. Of the Third Int.Conf. Symmetry in Nonlinear Math. Phys. 2000. - Kyiv. - Part 1. - P. 35-46.

88. Старцев, С.Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры / С.Я. Старцев // ТМФ. 1998. - Т.116. - №3.- С. 336-348.

89. Соколов, В.В. Псевдосимметрии и дифференциальные подстановки / В.В. Соколов // Функц. анализ и его прил. 1988. - Т.22.- №2. С. 47-56.

90. Kulemin, I.V. То the Classification of the Integrable Systems in 1+1 Dimensions / I.V. Kulemin, A.G. Meshkov // Proc. Of the Second Int. Conf. Symmetry in Nonlinear Math. Phys. Kyiv. - 1997, Part 1. -P. 115-123.

91. Балахнев, М.Ю. Дифференциальные подстановки для эволюционных систем третьего порядка / М.Ю. Балахнев, PI.В. Кулемип // Дифференц. уравнения и процессы управления электронный журнал. - 2002. - Т.1. http://www.neva.ru/journal

92. Ito, М. Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation / M. Ito // Physics Letters A. 1982. - V.91. - P. 335-338.

93. Дринфельд, В.Г. Новые эволюционные уравнения, обладающие (.L — A) парой / В.Г. Дринфельд, В.В. Соколов // В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара С. Л. Соболева. Ин-т матем. Новосибирск. 1981. - вып.2. - С. 5-9.

94. McLaughlin, D.W. A Restricted Backlund Transformation / D.W. McLaughlin, A.C. Scott // J. Math. Phys. 1973. - V.14. - P. 18171828.

95. Bianchi, L. Lezioni di Geometria Differenziale / L. Bianchi // Pisa. 1902. - V.II. - P. 418.

96. Adler, V.E. Backlund transformation for the Krichever-Novikov equation / V.E. Adler // Internat. Math. Res. Notices. 1998. -№1. - P. 1-4.

97. Bobenko, A.I. Integrable systems on quad-graphs / A.I. Bobenko, Yu.B. Suris // Internat. Math. Res. Notices. 2002. - V.ll. - P. 573611.

98. Bobenko, A.I. Integrable Noncommutative Equations on Quad-Graphs. The Consistency Approach / A.I. Bobenko, Yu.B. Suris // Lett. Math. Phys. 2002. - V.61. - P. 241-254.

99. Склянин, E.K. О полной интегрируемости уравнения Ландау-Лифшица / Е.К. Склянин // Преп. ЛОМИ. Ленинград. - 1979. Е-3-79.

100. Balakhnev, M.Ju. The vector generalization of the Landau-Lifshitz equation: Backlund transformation and solutions / M.Ju. Balakhnev // Appl. Math. Lett. 2005. - V.18. - №12. - P. 1363-1372.- У1.127