Некоторые свойства параболических и эллиптических потенциалов и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Коненков, Андрей Николаевич

• Коненков, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коненков, Андрей Николаевич

Оглавление

Введение

1. О поведении вблизи границы пространственной производной параболического потенциала двойного слоя

1.1. Необходимые определения и обозначения

1.2. Интегральные представления и оценки для фундаментального решения параболического уравнения

1.3. Вспомогательные утверждения и оценки

1.4. Главные части старших производных функции

1.5. Формулы «скачка» для производных потенциалов простого и двойного слоя

1.6. Возможный рост производных потенциалов простого и двойного слоя

при приближении к кривой-носителю плотности

2. О функции Грина для параболической задачи на плоскости

2.1. Функция Грина первой краевой задачи для параболического уравнения

2.2. Вспомогательные утверждения и оценки

2.3. Построение функции Грина

2.4. Некоторые свойства функции Грина

2.5. Точность оценки второй производной функции Грина

3. Разрешимость одной обратной задачи теории параболического потенциала

3.1. Формула Грина

3.2. Обратная задача теории потенциала

4. Разрешимость одной обратной задачи теории эллиптического потенциала

4.1. Вспомогательные утверждения и оценки

4.2. Главные фундаментальные решения

4.3. О гладкости объемного потенциала

4.4. Формула Грина

4.5. Обратная задача теории потенциала

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые свойства параболических и эллиптических потенциалов и их приложения»

Введение.

В слое D = Rn х (О, Т), Т < оо, рассматривается равномерно-параболическое уравнение второго порядка:

Lu = ut — ciij(x, t)dijU — b{(x, t)diU — c(x, t)u = 0, (0.1)

вещественнозначные коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

(3 6о > 0) (VP G Z>, V£ G Rn) > 50|£|2; (0.2)

ао-Д-,сеС0'а(Я), a G (0,1). (0.3)

Здесь для п > 1 и мультииндекса к = (къ..., кп), ki G Лг U {0}, пологая |Аг| = кг + ... + кп, через d^f(x) обозначаем производную функции / порядка к:

dkJ(x) = я, -, \к\ > 0,

и, кроме того, ft = df/dt, dif = d/dxj, dijf = dtdjf.

Для любой области ft С D и любого числа a G (0,1) через С!,а(0), г = 0,1,2, [2] обозначаем анизотропные пространства Гёльдера, состоящие из функций / : Ù —»■ R, для которых конечны соответствующие величины:

||/,iî||(0'e)= sup \f(x,t)\ +

{x,t) £0,

+ sup I(f(x + Ax,t + At) - f(x,t))\(|Ax|a + \At\a/2)-\

(.x,t),{x+Ax,t+At)£Q \Ax\+\At\jiO

||/,i2||(1'a)= sup \f(x,t)\ +

(x,t)£Çl

+ sup I(f(x, t + At)- f(x, i))|\Atr^2 + jr Ш, fi||<°'e> ,

(x,t),(x,t+At)eU i=1

At^O

n/,fiip>= suP \f(Xtt)\ +£,\т,щ\(1'а) + тм\(0'а)■

(x,t)ÇQ l=1

Через Сг'а(й) обозначаем их подпространства:

о

Cl'a(fy = {feCl>alfjt=0 = Oj, г = 0,1,

о

С2,а(П) = {/ G C2'a\f\t=0 = dtf\t=0 = 0}.

Под значениями функций / и производных dlf \эа на границе дО, области О, всегда подразумеваем их предельные значения изнутри П. Кроме того, нам понадобится пространство C1+a'a/2(D) с нормой

||/jjD||( l+a,a/2)= gup |/(a.,f)| +

(x,t)£D

п

+ sup I (f(x, t + At) - f(x, t)) I\At\~a/2 + Y:\m, D ||(0'o).

(x,t),(x,t+At)eD 1=1

At^O

В диссертации рассматриваются некоторые вопросы, связанные с теорией потенциала в применении к краевым задачам для уравнения (0.1).

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе изучается поведение пространственной производной потенциала двойного слоя и старших производных потенциала простого слоя для параболического оператора, одномерного по х. Установлена формула «скачка» для указанных производных и построены примеры, показывающие их возможный рост при приближении к кривой-носителю плотности, и, следовательно, возможный рост старших производных решения краевых задач из класса С1'" (ft) для уравнения (0.1).

о

Во второй главе устанавливаются оценки для пространственных производных функции Грина первой краевой задачи для полуограниченной области с негладкой «боковой» границей на плоскости. Кроме того, строится пример, показывающий, что полученная оценка второй производной функции Грина является точной по порядку роста при приближении к границе.

В третьей главе проводится исследование разрешимости одной обратной задачи теории параболического потенциала, состоящей в нахождении плотности объемного потенциала по его внешним значениям.

В четвертой главе установлена формула, связывающая фундаментальное решение эллиптического уравнения с фундаментальным решением соответствующего ему параболического уравнения. Эта формула служит основой для исследования гладкости эллиптических потенциалов, проводимого затем в этой главе. Полученные результаты применяются в этой же главе для решения одной обратной задачи теории эллиптического потенциала.

Все эти темы объединены тем, что для их исследования применяются методы теории потенциала. Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

В первых двух главах рассматривается параболическое уравнение (0.1) с одной пространственной переменной (п = 1), а именно уравнение:

Lu = ut — а(х, t)uxx — b(x, t)ux — c(x, t)u = 0, (0.4)

коэффициенты которого удовлетворяют условиям (0.2), (0.3). Это уравнение рассматривается в полуограниченной области

п={(М) еях (0,Т)| ж >$(*)} (0.5)

с некоторой непрерывной функцией д : [0, Т] Я, условия на которую указываются ниже.

В первой главе изучается поведение пространственной производной потенциала двойного слоя и старших производных потенциала простого слоя, носителями плотности которых является негладкая, вообще говоря, «боковая» граница Я области О:

5 = {(м) £ Я х [0,Т]| х = д(г)}.

Наш интерес к исследованию этих потенциалов обуславливается тем фактом, что в последнее время все большее внимание в численных исследованиях краевых задач для уравнений математической физики приобретает метод интегральных уравнений, основу которого составляет классическая теория потенциала, см., например, монографии [13], [24], [42]. Например, потенциал простого слоя и потенциал двойного слоя используются для решения задач аэродинамики, электростатики и теории упругости, см. [13]. Метод интегральных уравнений играет важную роль, в частности, в изучении граничных задач, связанных с рассеянием акустических и электромагнитных волн ограниченными телами, так как позволяет свести решение задач в неограниченной области к решению интегрального уравнения на компактной границе области, см. [24]. Так как решение краевой задачи в таком случае представляется в виде потенциала простого или двойного слоя, то важно, в частности, исследовать поведение этих потенциалов (их производных) при приближении к границе области. Изучению некоторых аспектов этого вопроса для одномерных (по х) параболических уравнений и посвящена первая глава.

Как известно, параболический потенциал простого слоя непрерывен при переходе через границу области. Это свойство позволяет, в частности, решать с его помощью одновременно внутреннюю и внешнюю задачи Дирихле, см. [2], [5], [6]. При этом коэффициенты параболического уравнения могут быть переменными, а область — нецилиндрической. Нормальная производная параболического потенциала двойного слоя с достаточно гладкой плотностью также непрерывна при переходе через границу области [30], если уравнение является уравнением теплопроводности, а область — цилиндрическая. Заметим, что аналогичное свойство непрерывности нормальной производной справедливо [24, с. 68] и для эллиптического потенциала двойного слоя в случае уравнений Лапласа или Гельмгольца. Это позволяет решать с помощью потенциала двойного слоя одновременно внутреннюю и внешнюю задачу Неймана, см. [13, с. 130, 141] для этих уравнений.

Естественно возникает вопрос, сохраняется ли указанное свойство непрерывности нормальной производной потенциала двойного слоя для общего линейного параболического уравнения с переменными коэффициентам, а также — сохраняется ли оно, если область — нецилиндрическая. В первой главе мы даем отрицательный ответ на этот вопрос. А именно, мы исследуем поведение вблизи «боковой» границы области первой пространственной производной потенциала двойного слоя. Мы получаем формулу «скачка» пространственной производной потенциала двойного слоя (см. ниже теорему 0.1). Из этой формулы следует, в частности, что указанное выше для уравнения теплопроводности свойство непрерывности нормальной производной потенциала двойного слоя при переходе через границу не сохраняется, вообще говоря, для параболического уравнения с переменными коэффициентами. Из этой же формулы следует, что оно не сохраняется даже для уравнения теплопроводности, если область не является цилиндрической. Мы получаем также аналогичные формулы «скачка» для старших производных потенциала простого слоя (в той же теореме). Так как потенциал простого слоя представляет собой решение одновременно внутренней и внешней первой краевой задачи, то из этих формул вытекает, в частности, характеристика поведения старших производных такого решения при переходе через «боковую» границу области.

Пусть функция f(x,t) определена в D\S. Определим скачок / на S в смысле главного значения как

[/](*)= lim {f(g(t) + x,t)-f(g(t)-x,t)}, 0 < i < Г,

X—S-+0

если такой предел существует.

Для непрерывной плотности (р : [0, Г] —У R рассмотрим потенциалы U<p и Vcp простого и двойного слоя, соответственно:

U<p{x,t) = / Т(х J о

V<p(x,t) = [ Ft(x,t,g(T),T)<p(T)dT, J о

где

д

Г¿x,t,g{r):T) := — Г{х, t, r)|i=s(r),

а f, г) — фундаментальное решение задачи Коши для оператора (0.4) [41].

Положим

a(t) = a(g(t),t), âx(t) = dxa(x,t)\x=g{t), b(t) = b(g{t),t).

Теорема 0.1. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют условиям (0.2), (0.3), а G C1+a'a/\D), функция g G С\[0,Т]), и

(ЭОО) \(p(t + At) — (p(t)\ < C\At\a/2.

Тогда для любго t G (О,Г] существуют [Vx(p](t), \Uxxip\(t), [Ut<p](t), и справедливы формулы:

= Щт

Далее, как известно [12, с.89], A.M. Ляпуновым было показано, что нормальная производная эллиптического потенциала двойного слоя с липшицевой плотностью может неограниченно расти при приближении к границе. Мы показываем, см. ниже п. 1.6, что аналогичное поведение вблизи «боковой» границы может иметь и производная параболического потенциала двойного слоя.

Кроме того, мы устанавливаем, см. п. 1.6, что вторые пространственные производные потенциала простого слоя, а, следовательно, и вторые производные решений краевых задач из класса С1'"^), могут, вообще говоря, также расти определенным

о

образом при приближении к негладкой «боковой» границе. Отсюда, в частности, вытекает точность мажоранты из работы [44] для вторых производных этих решений.

Во второй главе методом потенциала простого слоя строится функция Грина первой краевой задачи для одномерного по х параболического оператора и доказываются оценки для нее и ее производных до второго порядка включительно. Область предполагается неограниченной по t (т.е. Т = оо) и полуограниченной по х. Граница области может быть негладкой (по t).

Функция Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности была впервые построена Леви [33] для п = 1. Затем Жевре [15] установил существование функции Грина для области с негладкой «боковой» границей, удовлетворяющей условию Жевре, т.е. условию Гельдера с показателем больше 1/2. Погожельский [35] построил функцию Грина для параболического уравнения в цилиндрической, многомерной по х, области, используя потенциал простого слоя для решения второй краевой задачи. Из результатов Эйдельмана и Ивасишена [49], а также Солонникова [39] для систем следуют оценки функции Грина для уравнения (0.1) и ее производных до второго порядка включительно в областях с «боковой» границей из класса С2,а.

Ивасишен [17], используя метод Погожельского, построил функцию Грина первой краевой задачи в нецилиндрической, многомерной по х и ограниченной по t области с некомпактной, вообще говоря, и негладкой (по £) «боковой» границей из класса С1'". (Определение «боковой» границы области из анизотропных классов Гельдера Ск,а, к = 1,2, приводятся ниже на стр. 16.) В этой же работе установлена оценка для функции Грина в области из указанного класса.

Как было указано выше, в первой главе настоящей диссертации для области с негладкой «боковой» границей (удовлетворяющей условию Жевре) был построен пример, см. п. 1.6, показывающий, что вторые производные решений краевых задач из класса С1'"^) могут неограниченно расти при приближении к негладкой

о

«боковой» границе области. Естественно возникает вопрос, будут ли иметь аналогичное поведение вторые производные функции Грина? Мы устанавливаем оценки для производных функции Грина, и показываем, что вторые производные могут действительно расти при приближении к «боковой» границе области, и что при этом полученная оценка является точной.

При построении функции Грина в настоящей диссертации использовались методы работ [1], [15], [21].

Обозначим через Вт сечение области О плоскостью I = т\

Вт = (Й\5) П {* = г} , те [О, Г].

Основным результатом второй главы является следующая

Теорема 0.2. Пусть для коэффициентов оператора Ь выполнены условия (0.2), (0.3), и функция д, задающая «боковую» границу области О,, удовлетворяет условию Жевре:

Тогда для функции Грина (?(£, т) первой краевой задачи для оператора Ь в области О имеют место оценки:

(3 С,с > 0,3 А > 0),

< С(£ — т)

,-(г+1)/2

ехр < —с

> - О5

t-т

х ехр

(М) <т}, (£,т)еПи£0, ¿ = 0,1;

д}%С(х, Р, 6 Т)| < С(г - г)-1 [(* - г)-1/2 + г)

г-т

(0.6)

+ А(* - тН , {х, г) € О \{г < т}, (£, т) 6 п и Во, 2к + 1 = 2. (0.7)

Константы С, с, Л в оценках зависят от а, от константы параболичности 6, от норм коэффициентов оператора Ь и от границы области. Здесь

d(x,t)= mi [|z-£(r)| + |i-T|1/2]

т€[0,оо)

— параболическое расстояние от точки (x,t) до «боковой» границы области.

Для Т < оо доказанные оценки представляют собой новый результат при I = 1,2, при Т = оо они являются новыми и для I = 0 (если I = 0 и Т < оо, то оценка (0.6) следует из [17]).

В работе [39] показано, что в областях с гладкой «боковой» границей (из класса С2,а) для функции Грина и ее производных до второго порядка включительно верны те же оценки, что и для фундаментального решения Г(ж, т). В частности, ее производные имеют особенность только в точках (ж, i) = (£, т). Оценка же (0.7) настоящей работы допускает неограниченный рост второй пространственной производной функции Грина при приближении (х, t) к негладкой, вообще говоря, «боковой» границе области (удовлетворяющей условию Жевре). В п. 2.5 настоящей диссертации мы строим пример функции Грина, показывающий, что ее вторая производная может действительно стремиться к бесконечности. Из этого примера вытекает точность оценки (0.7) по порядку роста d(x,t) при приближении к границе. Отметим, что есть качественное отличие поверхностей из С2'а и С1'", так как «боковая» граница области из класса С1,а может касаться прямых t = const, т. е. характеристик уравнения (0.4), и она не может быть «выпрямлена» гладким преобразованием координат (без потери гладкости коэффициентов уравнения).

В третьей главе исследуется разрешимость одной многомерной параболической обратной задачи теории потенциала; ее постановка аналогична постановке соответствующих эллиптических задач [43].

Пусть О — область в слое D с «боковой» границей £ из класса С1'01 (определение поверхности класса С1,а в D см. ниже на с. 16).

Обозначим через С2^(0) пространство функций / : Q, R, имеющих в fl непрерывные производные по х до второго порядка включительно, и непрерывную производную по £, а через пространство непрерывных функций / : il —> с

нормой

ii/,fiii: = sup[№-i + i)-i/(Jp)]+ sup

реп

Р,р+Ареп

[АР^О

(d-1 1 1rll/(i*+AP)-/(p)l

\аР,Р+АР + Ч i^pja

Здесь Р = (x,t) € Rn х R, |Р\г — \x\ + |i|1/2, dP = mfg€E |P - Q— параболическое расстояние от точки Р до £, a dp:Q = min{dp,(lg}.

Пусть дана плотность /, заданная в fi, тогда создаваемый этой плотностью объемный потенциал

Vf{x, t)=Ja Г(х, t, у, r)f(y, r)dydr, (х, t) G D,

удовлетворяет в О- = однородному уравнению LVf = 0. Пусть теперь дана достаточно гладкая функция F, заданная на f)~, удовлетворяющая в О- однородному уравнению LF = 0. Спрашивается, существует ли непрерывная в О функция / такая, что потенциал К/ совпадает с F в й-?

Следующая теорема дает положительный ответ на этот вопрос для области с нецилиндрической и негладкой, вообще говоря, «боковой» границей из класса С1'":

Теорема 0.3. Пусть для коэффициентов оператора L выполнены условия (0.2), (0.3), и, кроме того, a,ij G C1+a'a/2(D), а «боковая» граница £ G С1,а области О - компактна. Тогда для любой функции, заданной в fi" = D\il, такой, что F G П С1,а(&~), LF = 0 в существует функция / G для которой

' о _

объемный потенциал Vf совпадает с F в

При доказательстве этой теоремы использовались результаты Е.А. Бадерко (см. [2],[5],[6]) о решении первой краевой задачи в области П с помощью потенциала простого слоя.

Заметим, что эта обратная задача некорректна, поскольку ее решение неединственно, т.е. существуют плотности, создающие нулевой внешний потенциал.

В четвертой главе мы рассматриваем в Rn, п > 2, равномерно-эллиптическое уравнение второго порядка

Lu = a,ij(x)dijU + bi(x)diU + с(х)и = 0, (0.8)

вещественнозначные коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

(3£0 > 0) (V® G Rn, V£ G Rn), a.jir)^ > <50|£|2; (0.9)

atj,b.hceC°'a{Rn). (0.10)

Для любой области Q С Rn ж любого числа a G (0,1) через Ck,a(Q), Лг = 0,1,2, [11] обозначаем пространства Гёльдера, состоящие из функций / : Q -¥ R, для которых конечны соответствующие величины:

||/, <2||(0'а) = sup|/(ar)| +

xeQ

+ sup \f(x + Ax)-f(x)\\Ax\-a,

x,x+Ax£Q \Ax\^0

\\f,Q\\(1'a) = sup\f(x)\ +f:W,Q\\{0'a\

xeQ i=i

\\f,Q\\i2'a) = sup \f(x)\ +£\т,д\\{1>аК

x£Q i=1

В диссертации предложен метод сведения исследования свойств эллиптических потенциалов к исследованию свойств параболических потенциалов. Этот метод основан на формуле, связывающей фундаментальное решение Н(х, £) [34] эллиптического оператора L и фундаментальное решение задачи Коши Г (ж, — т) [41] параболического оператора

С — dt — L.

А именно, доказывается следующая

Теорема 0.4. Пусть Н(х,£) — фундаментальное решение эллиптического оператора (0.8) в Rn, и T(x,£,t) — фундаментальное решение задачи Коши параболического оператора С в слое D. Тогда для любой функции f £ C2,a(D) с компактным носителем и для любых х,( £ Rn, (х / £), t £ (0,Т], имеет место равенство:

f(x, t)H(x, 0 = - f Т(х, 11 - т)/(£, r)dr+ Jo

+ ff nx,y,t-T)£M[f(y,T)H(y,0]dydT+ f Г(х, у, ¿)/(y, 0)tf (у, £)ф. (0.11)

jo jrn jrn

Пусть, кроме того, для Н(х,£) выполнена оценка:

(ЗС,с>0) \Н(х, £)[ < Сехр {с\х — £|} при |ж-£|>1. Тогда формула (0.11) будет иметь место для любой функции f £ C2,a(D).

С помощью этого равенства получены оценки для главных фундаментальных решений эллиптических уравнений второго порядка. Жиро [34] ввел понятие и доказал существование главного фундаментального решения для широкого класса эллиптических операторов второго порядка с гельдеровскими коэффициентами. Это фундаментальное решение обладает наибольшим сходством с фундаментальным решением задачи Коши для параболического уравнения: оно определено во всем пространстве, единственно (если существует) и экспоненциально убывает на бесконечности. При этом в определении, данном Жиро, требуется, чтобы само фундаментальное решение Н(х,£) и его производные первого порядка экспоненциально убывали при \х — —> оо. Мы показываем, что условие на производные излишне, а именно: если само фундаментальное решение экспоненциально убывает при \х — —У оо, то так же ведут себя и его производные до второго порядка включительно. Кроме того,

мы доказываем оценку для приращений по х старших производных главных фундаментальных решений, т.е. устанавливаем для H такой же набор оценок, что и для фундаментального решения параболического уравнения.

Определение. Главным фундаментальным решением Н(х,£) оператора L будем называть его фундаментальное решение в Rn [34], удовлетворяющее оценке:

(ЭСс><» \Н(х ЛК Í С|1п|я-£||ехр{-ф-£|}, п = 2,

Теорема 0.5. Пусть для оператора L существует главное фундаментальное решение Н(х,£). Тогда для него имеют место оценки:

IдкхН(х, 01 < с\х - e|2-nH¿l ехр {-С\х - Ш , \к\ = 1,2,

|АхдкН(х, 01 < С\Ах\а\х' - ехр {-с\х' - £|} , \к\ = 2,

где х' — ближайшая к £ точка из ж, х + Ах. Пусть, кроме того, G C1,a(Rn). Тогда

|д™дкН(х, 01 < С\х - ехр {-ф - £|} , \к\ = 1, H < 2,

\Ахд™д\Н{х,£)\ < С\Ах\а\х' - е|_1"а"иехр {-с\х' - £|} , \к\ = 1, |ш| = 2.

В дальнейшем в качестве одного из условий в теоремах будет присутствовать требование существования главного фундаментального решения для оператора L, удовлетворяющего (0.9), (0.10). Достаточным условием существования главного фундаментального решения является условие с < 0 в Rn и с(х) < —5 < 0 вне некоторого шара [34, с.70]. В случае ограниченной области Q с границей S G С1,а (определение поверхности в Rn из класса С1'" приводится на с. 89), при условии с(х) < 0 в Q, коэффициенты уравнения могут быть продолжены в R'1 с сохранением класса так, чтобы было выполнено указанное достаточное условие. Обозначим через C"(Q) пространство непрерывных функций

/ : Q -> Д,

у которых конечна величина

II/, QII* = sup \(d°rl + 1)_1/(а-)1 + sup

xeQ

, ^\î(x + Ax)-f{x)\

Q L

x,x+A x(zQ

(dxl+Ax + 1)

\Ax\a

Здесь дх — расстояние от точки х до границы области, а йХгУ = тт{ёх,4у}.

С помощью теоремы 0.4 мы получаем теорему о гладкости эллиптического объемного потенциала с плотностью из класса С" (С}), используя результаты работы [45] о гладкости параболического объемного потенциала с плотностью из аналогичного класса.

Теорема 0.6. Пусть п > 3, коэффициенты оператора L удовлетворяют условиям (0.9), (0.10), п > 3, S — компактная граница области Q С Rn, S G С1'", а / G Пусть либо у оператора L существует главное фундаментальное решение Н(х, либо L = А и supp / принадлежит шару Br радиуса R с центром в нуле. Тогда объемный потенциал

Vf(x) = [ H(x,y)f(y)dy, xeRn,

jq

принадлежит C1,a{Rn), причем

\\Vf;Rn]\^ <C\\f-,Q\\^

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коненков, Андрей Николаевич, 1999 год

Литература

[з

[4 [5 [6

10 11 12

13

14

15

16 17

Бадерко Е.А. Гладкость потенциалов для параболических уравнений и приложения их к решению краевых задач в криволинейных областях. Канд. дисс., М., 1974.

Бадерко Е.А. Решение методом граничных интегральных уравнений задач для линейных параболических уравнений произвольного порядка в негладких областях. Дисс. докт. физ.-матем. наук, М.: МГУ, 1992.

Бадерко Е.А. Потенциал простого слоя и задача Дирихле //Докл. РАН, т.318, №4, 1994.

Бадерко Е.А. О гладкости 2т-параболического потенциала простого слоя. //Дифф. ур., т.26, т, С. 3-10, 1990.

Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения. //Дифф. ур., т.28, №1, С. 17-23, 1992.

Baderko E. Parabolic problems and boundary integral equations //Math. Methods Appl. Sci.,1997,v.20, p.449-459.

Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1997.

Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

Ван Тун. Теория теплового потенциала II. Гладкость контурных параболических потенциалов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965, Т.5, №3, С. 474-487.

Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1981.

Гилбарг Д., Трудингер Р. Эллиптические уравнения второго порядка. М., 1987.

Гюнтер М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехтеориздат, 1953.

Dautrey R., Lions J.-L. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology. Vol. 4. Integral equations. Berlin: Springer, 1990.

Дринь M.M., Ивасишен С.Д. Матрица Грина общей граничной задачи для параболической системы //Доклады УАН, сер. А, №11, 1984.

Gevrey M. Sur les équations aux dérivées partielle du type parabolique. //Math. J. Pur. Appl., 1913, ser.6, v.9, №4, p.305-471.

Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. Киев: Выща школа, 1990.

Ивасишен С.Д. Оценки функции Грина однородной первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области //Укр. мат. журнал, 1969, т. 21, №1, с.15-27.

[18] Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. //Успехи мат. наук. 1962, Т.17, вып.З, с.1-143.

[19] Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов II. //Диф. ур., т.2, №5, 1966, с. 699-648.

[20] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов IV. //Диф. ур., т.8, №8, 1972, с. 318-322.

[21] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов VI. //Диф. ур.,1972, т.8, №6, стр.1015-1025.

[22] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. О принципе максимума для эллиптико-параболичес-кого уравнения второго порядка //Сиб. матем. ж., 1972, т.13, №4, с.773-779.

[23] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения второго порядка //Сиб. матем. ж., 1973, т.14, №1, с.86-110.

[24] Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Наука, 1987.

[25] Конёнков А.Н. О функции Грина первой краевой задачи для параболического уравнения в областях с криволинейными боковыми границами //Диф. ур., т.33, №8, 1997, с. 1148-1149.

[26] Конёнков А.Н. О функции Грина первой краевой задачи для параболического уравнения в области с негладкой боковой границей //Тезисы докл. конф. «Обратные и некорректно поставленные задачи», М., 16-17 июня 1998 г.

[27] Конёнков А.Н. Оценки и возможный рост производных функции Грина задачи Дирихле для параболического уравнения //Дел. в ВИНИТИ 18.11.98, №3376-В88, 33 с.

[28] Конёнков А.Н. О поведении вблизи границы пространственной производной параболического потенциала двойного слоя //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998, Т.38, №12, С. 2014-2028.

[29] Конёнков А.Н. Модифицированный потенциал простого слоя и некоторые обратные задачи теории потенциала //Дел. в ВИНИТИ 18.11.98, №3375-В98, 53 с.

[30] Costabel М. Boundary integral operators for the heat equation //Integral equat. and operator theory. 1990. V. 13. №4. C. 498-552.

[31] Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1973.

[32] Ладыженская O.A., Солонников С.Д., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1968.

[33] Levi Е.Е. SuH'equationi del calori //Ann. mat. pura appl. ser. 3,1907-1908, v.14, p.276-317.

[34] Миранда К. Уравнения эллиптического типа. М., 1957.

Pogorgelsky W. Étude d'un fonction de Green et du problème aux limites pour l'équation parabolique normale. //Ann. Polon. Math., 1957, v.4, №3, p.288-307.

Прилепко A.И. Об обратных задачах теории потенциала //Дифф. ур., 1967, т.З, №1, с.30-41.

Прилепко А.И. Об единственности решения одной обратной задачи, представленной интегральным уравнением первого рода //ДАН СССР, 1966, т.167, №4.

Прилепко А.И., Чередниченко В.Г. Об одном классе обратных краевых задач для аналитических функций //Дифф. ур., 1981, т.17, №10, с.1900-1907.

Солонников В.А. //Зап. научн. семинаров Ленингр. отд-ния мат. ин-та. 1969, т.14, с.256-387.

Солонников С.Д. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. Труды МИАН, т. 83, 1965.

Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. М., 1968.

Hackbush W. Integral equations. Theory and numerical treatment. Berlin: Birkhauser, 1995.

Чередниченко В.Г. К вопросу об определении плотности тела по заданному потенциалу //ДАН СССР, 1978, т.240, №5, с.1032-1035.

Черепова М.Ф. Об оценках пространственных производных второго порядка для параболического потенциала простого слоя //Дифференц. ур-ния. 1996. Т. 32. №4. с.445-449.

Черепова М.Ф. Свойства потенциала объемных масс для параболического уравнения //М., 1997. Деп. в ВИНИТИ 01.02.97, №3500-В97.

Черепова М.Ф. О гладкости потенциала простого слоя. М., 1988. Деп. в ВИНИТИ 29.06.88, №5194-В88.

Шевелёва В.Н. Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравнений. Канд. дисс., М., 1994.

Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., 1974.

Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи //Тр. Моск. мат. об-ва, 1970, т.23, с. 179-234.