Кинетика примеси ионов в нейтральном газе после включения постоянного или переменного электрического поля различной величины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Герасименко Александр Борисович

• Герасименко Александр Борисович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Герасименко Александр Борисович

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Методы решения задачи о движении ионов в электрическом поле

1.2. Методы решения уравнения Больцмана

1.3. Интеграл столкновений и матричные элементы

1.4. Выводы главы

Глава 2. Релаксация ФР ионов после резкого включения постоянного электрического поля и нестационарный моментный метод

2.1. Исследование ФР ионов при наличии электрического поля

2.2. Аналитическое решение нестационарной задачи. СЕМ модель

2.3. Нестационарный моментный метод. СЕМ модель

2.4. Нестационарный моментный метод. Различные модели взаимодействий

2.5. Умеренное и сильное электрическое поле

2.6. Выводы главы

Глава 3. Пути преодоления сложностей моментного метода

3.1. Метод разложения по сферическим гармоникам

3.2. Модифицированный моментный метод

3.3. Выводы главы

Глава 4. Релаксация функции распределения ионов после резкого включения периодического электрического поля

4.1. Аналитическое решение для гармонического поля. СЕМ модель

4.2. СЕМ-модель. Решение моментным методом

4.3. Численное решение моментной системы

4.4. Результаты расчетов для ряда моделей взаимодействия

4.5. Возможный эксперимент на основе результатов расчетов

4.6. Выводы главы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетика примеси ионов в нейтральном газе после включения постоянного или переменного электрического поля различной величины»

Введение

Актуальность темы исследования. Вопрос о поведении примеси заряженных частиц в нейтральном газе при наличии полей возник достаточно давно. Как отмечают в своей книге Мак Даниель и Мэзон (1988), первые надежные экспериментальные данные были получены в 50-х годах прошлого века. В это же время появились первые серьезные теоретические работы, в которых изучалось движение примеси ионов в газе при наличии электрического поля, выполненные Сена (1946), Ванье (1953) и Перелем (1957). Тогда же были сформированы основные теоретические подходы к решению этого класса задач: с помощью гидродинамического описания, с помощью решения кинетического уравнения Больцмана и прямое численное моделирование.

Физика низкотемпературной плазмы как отдельное направление сформировалась совсем недавно ( Чен и Чанг (2002)). Это связано с большими сложностями при изучении ион-нейтральных систем, связанными с необходимостью правильного учета столкновений частиц с фоновым газом и взаимного влияния частиц. Большинство имеющейся информации является либо экспериментальными данными, либо результатом компьютерного моделирования. Таким образом, теоретическое описание таких систем на основе кинетического уравнения развито недостаточно. Кинетическое описание необходимо, поскольку знание функции распределения частиц дает возможность вычислять все основные макропараметры системы: концентрацию частиц, токи и т.д. Описание процессов ионизации и вычисление констант химических реакций также требуют информации о высокоскоростных частицах, а как известно, так называемые «хвосты функции распределения» крайне сложно восстановить из макровеличин (плотность, ток), а это значит, что необходимо решать кинетическое уравнение. И если определенные результаты в изучении функции распределения электронов уже достигнуты (благодаря возможности применения упрощений, связанных с большой разностью масс частиц), то в области изучения функции распределе-

ния ионов еще многое предстоит сделать.

В диссертации изучено поведение малых примесей ионов в фоновом газе при наличии внешних полей. Примесь считается малой, если она не изменяет функцию распределения фонового газа и отсутствует взаимодействие между частицами примеси. Взаимодействия между частицами примеси и фоновым газом считаются упругими, то есть явления поляризации и ионизации не рассматриваются.

Можно выделить несколько прикладных областей, для которых необходимо кинетическое описание систем с небольшой примесью ионов в нейтральном фоновом газе при наличии электрического поля. Первая - это эксперименты с дрейфовыми трубками и основанная на них масс спектрометрия на базе подвижности ионов. В настоящий момент масс-спектрометры на основе ионной подвижности и дрейфовые трубки очень широко используются как в системах безопасности (для детектирования наличия тех или иных веществ), так и в медицинских исследованиях. Другими областями, где востребована информация о функции распределения, являются: плазменная обработка материалов, изучение поверхностей материалов путем бомбардировки их ионами, теоретическое описании ВЧ разрядов и разработка газовых детекторов излучения.

Для моделирования упомянутых выше устройств и явлений необходимо, по крайней мере, знание коэффициентов подвижности и диффузии, а в идеале - полной функции распределения ионов по скоростям. Если по вычислению коэффициентов переноса существует довольно много теоретических работ и данные приводятся для многих газов (работы Виланда, Уайта, Робсона), то о функции распределения информации значительно меньше. В настоящее время нет точного метода аналитического решения уравнения Больцмана. Метод прямого численного моделирования систем дает достоверные результаты только в области небольших скоростей. Это связано с тем, что объем вычислений в рассматриваемой проблеме является слишком большим даже для современных вычислительных машин. В этой связи представляется исключительно важным

вопрос о расчете функции распределения ионов при наличии внешних полей на основе решения кинетического уравнения Больцмана.

Цели и задачи диссертационной работы: Целью диссертационной работы является исследование поведения малой примеси ионов при наличии электрического поля. Рассматривается пространственно однородный случай и упругие столкновения между частицами. Вычисления проводятся с помощью нестационарного моментного метода и его модификаций.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Рассмотрена эволюция функции распределения примеси ионов в фоновом газе после резкого включения постоянного электрического поля различной напряженности для нескольких моделей взаимодействий. Расчет проводился с помощью нестационарного моментного метода, основанного на разложении функции распределения по сферическим полиномам Эрмита около максвеллиана с температурой фонового газа.

2. Анализ и реализация возможных подходов к преодолению сложностей нестационарного моментного метода, а именно метода разложения по сферическим гармоникам и модифицированного моментного метода, заключающегося в разложении функции распределения около максвеллиана с температурой, отличной от температуры фонового газа и зависящей от времени.

3. С помощью нестационарного и модифицированного моментных методов решена задача об эволюции функции распределения примеси ионов в фоновом газе после резкого включения гармонического электрического поля разной амплитуды и частоты для нескольких моделей взаимодействия.

Научная новизна.

1. Продемонстрированы новые возможности нестационарного моментного метода. Получено решение задачи об эволюции функция распределения

малой примеси ионов в собственном газе после резкого включения постоянного электрического поля. Вычислены функция распределения, ток и подвижность ионов для различных величин электрических полей и ряда моделей взаимодействия.

2. С помощью модифицированного моментного метода впервые рассчитана функция распределения и физические моменты для задачи об эволюции функции распределения малой примеси ионов в собственном газе после резкого включения переменного электрического поля.

3. Изучены границы применимости нестационарного моментного метода и предложены пути преодоления сложностей моментного метода: метод разложения по сферическим гармоникам и модифицированный моментный метод.

Теоретическая и практическая значимость. Создан пакет программ для расчета функция распределения, тока, энергии и подвижности малой примеси ионов в собственном газе при наличии постоянного или переменного электрического поля путем численного решения уравнения Больцмана. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы при описании явлений и экспериментов, связанных с движением ионов в собственном газе при наличии электрических полей. В частности, результаты могут быть полезны при проектировании газовых детекторов излучения. Их работа основывается на детектировании ионного тока, созданного электрическим полем, наложенным на ионизуемый излучением благородный газ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Решена задача о движении ионов в собственном газе при умеренном и сильном постоянном электрическом поле для случая упругих столкновений частиц с помощью нестационарного моментного метода. Впервые вычислена функция распределения и подвижность ионов в зависимости от

величины поля в широком диапазоне скоростей.

2. Предложено два пути преодоления сложностей нестационарного момент-ного метода: использование метода разложения по сферическим гармоникам и модифицированный моментный метод.

3. Решена задача о движении ионов в собственном газе в переменном электрическом поле для нескольких моделей взаимодействия с помощью модифицированного моментного метода. Получены временные зависимости функции распределения, ионного тока и энергии при различных частотах и амплитудах поля.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на 7 российских и международных конференциях: «Всероссийский семинар по аэрогидродинамике, посвященный 90-летию со дня рождения C.B. Валландера» 5-7 февраля 2008г., Санкт-Петербург, Россия; «V Поляховские чтения», 3-6 февраля 2009г., Санкт-Петербург, Россия; «Физика.СПб», 27 - 28 октября 2010г., Санкт-Петербург, Россия; «VI Поляховские чтения», 31 января - 3 февраля 2012г., Санкт-Петербург, Россия; X международная научная конференция «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей», 25 - 28 июня 2012г., Санкт-Петербург, Россия; «Современные проблемы динамики разреженных газов», 26 - 29 июля 2013г., Новосибирск, Россия; «VII Поляховские чтения», 2 -6 февраля 2015г., Санкт-Петербург, Россия.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 3 статьи в реферируемом журнале, входящем в перечень ВАК, 1 статья в реферируемом журнале не входящем в список ВАК, 2 статьи в сборниках трудов конференций и 5 тезисов докладов.

Личный вклад автора. В первой главе постановка задачи и разработка новых методов расчета матричных элементов интеграла столкновений на основе рекуррентных соотношений принадлежит А.Я.Эндеру и И.А.Эндер. Автору

разработал алгоритм, создал пакет программ и проводил расчеты для моделей с постоянной длинной свободного пробега для случая постоянного электрического поля и проводил анализ полученных результатов и последующее сопоставление с известными экспериментальными данными (для модели резонансной перезарядки с постоянной частотой столкновений результаты были получены А.Я.Эндером и И.А.Эндер). Во второй главе А.Я.Эндеру и И.А.Эндер принадлежит идея перехода к методу разложения по сферическим гармоникам и модифицированному моментному методу. Герасименко A.B. проводил исследования по применимости метода разложения по сферическим гармоникам и принимал участие в разработке модифицированного моментного метода и исследовании его сходимости. В третьей части работы, посвященной переменному электрическому полю Герасименко A.B. принимал непосредственное участие во всех этапах работы от постановки задачи и разработки программ до анализа полученных результатов для четырех рассматриваемых моделей взаимодействий. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами. Использованные при проведении расчетов массивы матричных элементов получены с помощью программ созданных А.Я.Эндером и И.А.Эндер.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 123 страницах и состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения, библиографического указателя. Работа иллюстрирована 52 рисунками и 1-й таблицей. Библиография включает 86 наименований цитируемой литературы.

Глава 1

Обзор литературы

1.1. Методы решения задачи о движении ионов в электрическом поле.

Как было показано выше, изучение движения ионов в фоновом газе при наличии электрического поля является важной и актуальной проблемой физики низкотемпературной плазмы. Она освещается во многих монографиях [1 7].

В зависимости от условий задачи (плотность частиц, степень ионизации, интенсивность поля) традиционно используется несколько основных подходов к решению задач описания примеси ионов.

Первым очень распространенным способом решения является подход на основе гидродинамического описания с заданными коэффициентами переноса. Он применяется когда плотность частиц достаточно велика. В этом методе используется модель, в которой пренебрегают отличиями отдельных частиц и рассматривают движение их совокупности как элементов объема жидкости. Таким образом метод основывается на нескольких первых моментах уравнения Больц-мана (уравнении непрерывности, уравнении сохранения импульса и энергии), транспортных уравнениях и уравнении Пуассона. Однако, во многих задачах не ясно, каким образом выбирать соответствующие коэффициенты переноса и, кроме того, как замечено в [8], этот метод иногда может приводить даже к не верным результатам. Так в [8] в качестве примера такой ситуации приводится сравнение с идеальным стационарным Таунсендовским экспериментом. Тем не менее этот метод во многих случаях позволяет быстро получить решение с достаточной степенью точности, что и объясняет его широкое применение.

Вторым подходом, популярность которого в последнее десятилетие сильно растет, является метод частиц или, как его еще называют, метод прямого

численного моделирования. Для этого все фазовое пространство (г, V) разбивается на фазовые ячейки, а суммарные заряды и массы всех реальных частиц, в каждой ячейке считаются одной макрочастицей. Далее прослеживаются динамические траектории всех макрочастиц в фазовом пространстве с помощью уравнения Ньютона. Уравнение Пуассона позволяет вычислять соответствующее электрическое поле.

При замене реального газа газом макрочастиц, появляется ряд трудностей, связанных с различием стохастических свойств реальной плазмы и модельной плазмы макрочастиц. По этой причине уровень флуктуаций в модельной плазме значительно превышает реальный [9]. Эта сложность может быть преодолена путем значительного увеличения числа макрочастиц. В настоящее время мощность вычислительных систем уже достигла того уровня, когда можно моделировать системы с числом частиц, достаточным для получения достоверных результатов для ФР в области нескольких тепловых скоростей. Это привело к появлению очень большого числа работ на основе такого подхода в последнее десятилетие. Однако, серьезным вызовом для этого метода остается проблема расчета, ФР в области высоких скоростей. Поскольку число частиц в ячейках соответствующих большим скоростям оказывается недостаточным для корректного расчета ФР примеси. В связи с этим, для получения статистически достоверных результатов требуется моделирование системы с громадным числом частиц, что требует очень больших затрат машинного времени.

Другой сложностью метода является описание столкновительных процессов. Чтобы избежать трудоемкого интегрирования и кинетического описания неупругих процессов, используют метод Монте-Карло который позволяет упростить описание процессов столкновения множества частиц [10]. Большой вклад в разработку описания столкновений методом Монте-Карло был сделан Ванье и Скуллерудом. Так в работе [11] была описана методика расчета для случая сильного поля, равных масс и постоянного времени между столкновениями, а в [12] была описана методика расчета, при которой учитывалась произвольная

зависимость времени между столкновениями от скорости.

Из сказанного выше следует, что можно выделить несколько проблем, решение которых в настоящий момент является проблематичным для описанных выше методов. Во-первых, это точный учет межчастичных столкновений и, во-вторых, расчет функции распределения. Подходом, дающим возможность преодолеть эти трудности, является непосредственное решение уравнения Больц-мана.

1.2. Методы решения уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана это интегро дифференциальное уравнение которому должна удовлетворять функция распределения /(г, у,£). Оно было предложено Л.Больцманом во второй половине 19 века.

+ у ^ + - • от =

оЬ т о\

Левая (дифференциальная) часть уравнения характеризует изменение ФР во времени, пространстве, а также за счет внешней силы Е. Правая же часть 1(/, /) - нелинейный столкновительный оператор, так называемый интеграл столкновений, определяет скорость изменения ФР за счет столкновений частиц и зависит от характера взаимодействия между частицами. Несмотря на трудоемкость решения уравнения Больцмана, оно позволяет точно учесть механизм столкновения частиц и получить исчерпывающее описание состояния системы в виде ФР частиц по скоростям для широкого спектра скоростей частиц. Важным преимуществом подхода на основе уравнения Больцмана является то, что в ряде случаев удается получить не только численное решение. В отдельных случаях удается решить уравнение (1.1) аналитически, что дает не только точное решение определенной задачи, но и возможность для тестирования различных численных методов решения.

Первым наиболее известным и очень плодотворным методом решения урав-

нения Бодьцмана стал метод Чеимена-Энскога, предложенный независимо Че-именом и Энскогом в начале XX века [13 16]. Метод заключается в разложении функции распределения по малому параметру около максвеллиана с последующим преобразованием уравнения Больцмана к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. При всем удобстве метода, необходимо отметить, что с хорошей точностью его можно применять только при небольших отклонениях функции распределения от равновесия. Тем не менее, метод Чеимена-Энскога интенсивно используется и оказался очень плодотворным при вычислении коэффициентов переноса.

Дальнейшее развитие метода Чеимена-Энскога было выполнено Барнет-том в 1935г. В своих работах [17, 18] он предложил проводить разложение по ортогональным базисным функциям, являющимся произведением полиномов Сонина на сферические функции. Таким образом он положил начало целому семейству моментных методов.

Следующим важным шагом в развитии моментного метода были работы Греда [19, 20]. Описанный в этих работах метод в 13-ти и 20-ти моментном приближении хорошо известен и широко используется в кинетической теории. В частности, он был успешно применен к описанию процессов переноса в многокомпонентной плазме Ждановым [21].

В настоящее время основными методами решения уравнения Больцмана являются методы, основанные на разложении функции распределения по системам ортогональных функций. Наиболее известные из них моментный метод и метод разложения по сферическим гармоникам.

При рассмотрении задач о движении ионов можно выделить несколько случаев, в зависимости от величины напряженности электрического поля, в которых используются различные методы. В монографии Мак-Даниэля и Мэзона [2] было предложено условно делить поля на слабые, умеренные и сильные, считая, что для слабых полей энергия, получаемая ионам от поля на длине свободного пробега, мала, а для умеренных и сильных сопоставима с тепловой

или значительно больше ее. В случае слабых полей применяется метод Чеп-мена-Энскога. При умеренных полях функция распределения уже не близка к равновесной, и применение метода Чепмена-Энскога нельзя считать корректным. В этом случае уже применяется моментный метод, который заключается в разложении ФР по собственным функциям интеграла столкновений для макс-велловских молекул и последующем решении получающейся системы линейных дифференциальных уравнений.

Большое число работ о движении ионов в фоновом газе при наличии полей посвящено вычислению коэффициентов переноса. Среди всего этого множества хочется остановиться на статье Кумара [22]. В этой работе он предложил оригинальный способ вычисления матричных элементов интеграла столкновений с помощью коэффициентов Талми. Эта работа дала прямые формулы для вычисления матричных элементов интеграла столкновений. Тем не менее, в силу сложности формул, они могут быть успешно применены только в случае вычисления небольшого числа линейных матричных элементов, то есть позволяют решить стационарную задачу о поведении ионов при умеренных электрических полях. Исследования с помощью моментного метода были выполнены Нессом, Робсоном, Уайтом, Дуйко, Виландом[23 27]. В случае сильных полей, когда температура ионов превышает температуру фонового атомного газа, был предложен так называемый двухтемпературный моментный метод [28]. В этом методе температура максвеллиана, около которого производится разложение ФР, может отличаться от температуры фонового газа, являясь свободным параметром. Этот метод требовал более сложного расчета матричных элементов, в связи с различием температур базиса и фонового газа.

В большинстве работ по данной тематике рассмотрение ведется с помощью нескольких моделей взаимодействия. Особую роль во многих работах играет СЕМ-модель, которая соответствует резонансной перезарядке с полным сечением рассеяния, обратно пропорциональным относительной скорости. Необходимо отметить, что во многих случаях резонансная перезарядка является основным

механизмом взаимодействия ионов и нейтральных частиц [29], и многие работы имеют дело именно с таким типом сечения рассеяния. Для этой модели частота столкновений постоянна, и интеграл столкновений принимает вид БГК-модели [30]. Эта модель используется в большом числе работ как для решения конкретных задач, так и для проверки новых предлагаемых методов [31 33].

Помимо СЕМ-модели, очень широко используется модель твердых шаров, в которой считается, что столкновения частиц абсолютно упругие, а их рассеяние по углам изотропно. В этой модели длина свободного пробега постоянна. В различных работах встречаются и другие потенциалы взаимодействия, например, комбинирующие различные законы взаимодействия для притяжения и отталкивания.

Помимо задач, требующих знания коэффициентов переноса, есть целый класс требующий вычисления функции распределения. Ранее в работе [34] для случая СЕМ модели было получено аналитическое выражение функции распределения малой примеси ионов в фоновом газе после резкого включения постоянного электрического поля. В данной работе, оно было использовано при отладке численной схемы нестационарного моментного метода. Как отмечают авторы [28], основной сложностью при использовании моментного метода является вычисление матричных элементов интеграла столкновений. Как показано в книге А.Я.Эндер и И.А.Эндер [35] эта сложность может быть с успехом преодолена. Так, в [36] авторам удалось с успехом применить вычисленные матричные элементы для решения нестационарным моментным методом задачи об эволюции ФР ионов в фоновом газе после резкого включения постоянного электрического поля для случая СЕМ-модели. В данной работе задачи решались нестационарным моментным методом и его модификациями с использованием рекуррентных соотношений для матричных элементов интеграла столкновений. Предложенный ими способ позволяет вычислять матричные элементы практически со сколь угодно большими индексами и решает проблему расчета интеграла столкновений.

1.3. Интеграл столкновений и матричные элементы.

Как известно, основной сложностью при решении уравнения Больцмана является расчет интеграла столкновений, который представляет собой пятикратный интеграл. В последние годы в связи с развитием вычислительных систем, в частности, на базе графических ускорителей(СРи), были сделаны первые попытки рассчитывать его напрямую [37]. Однако, такой подход позволяет пока проводить расчеты в малом диапазоне скоростей. В связи с этим хотелось бы более подробно остановиться на соотношениях для расчета матричных элементов интеграла столкновений, упомянутых ранее, которые позволяют решить проблему вычисления интеграла столкновений для случая степенных потенциалов взаимодействия.

В 1935 году Барнеттом в [18] был предложен новый подход к решению уравнения Больцмана. Новизна заключалась в том, что разложение предлагалось производить по функциям, которые являются произведением вещественных сферических гармоник Yl\m(0, ф), полиномов Сонина 5,(++)1/2(с2) и степенных функций скорости.

Щ,1,т (с) = ST+i/2( с2) ,ф),г = {0,1}, (1.2)

УЦт (0,ф = Р1ш (COS 0) COS^^), Y^TO(©, ф = plm(cos О) sin(rn^), т = 0../. (1.3)

Полиномы Сонина определяются как [38]:

с и (с2) = V г(г + < + з/2)(-с 2")

-Р)Т(р + / + 3/2)' ( '

В книге [35] предложено называть функции Н1г1т(с) сферическими ненормированными полиномами Эрмита. В дальнейшем для краткости будем называть их сферическими полиномами Эрмита или функциями Барнетта. Эти функции обладают свойством ортогональности с максвелловским весом М(а, с).

№ ,нр) =

М(1, c)Hj(c)Hp(c)d3с = Sjj>gj, (1.5)

где ду- норма сферических полиномов Эрмита (подробнее смотри формулы 2.6-2.9 в [ ]). Здесь и далее вместо четырех индексов (г, г, 1,т) для краткости пишется один Максвелловская весовая функция выражается формулой:

3/2 гщ^

-) ехр(-с2а),а =—, (1.6)

где т - масса частицы, Т - температура газа, с - скорость частицы, к - постоянная Больцмана.

В этом случае функция распределения может быть представлена в виде произведения максвелловской функции распределения на ряд по сферическим полиномам Эрмита Нгг1 т(с) с коэффициентами разложения С{^г^т(х,1). Далее мы будем говорить, что функция распределения разложена по базису с температурой Т, подразумевая, что это температура весового максвеллиана. Для упрощения записи вместо четырех индексов ниже часто будет использоваться один, и запись будет выглядеть как Ну(с) и Су (х,Ь).

/ (с ,х,г) = М (а,с)^2 Су (х,г)Н, (с), (1.7)

j

где Су - коэффициенты разложения. Ну (с) - сферические полиномы Эрмита: После подстановки разложения (1.7) в уравнение Больцмана уравнение переходит в систему дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения

Су.

% + »■ ^ + ¿2 Е ^ + ^ Е £ V1 = Е «кЛ Су, ^ (1.

к=1 к=1 у*!

Здесь С) 1 и ь\к1 выражаются следующими формулами:

с'у ) — 2(2^ + 3) + Г + 3/2)^т-1 С'г1+1т-1 Г(1т-\С1г-11+1т-1 -(I + т + 2)(1 + т + 1)((/ + г + 3/2)Сгг1+1т+1 - гСгг-11+1т+1)) + 2(21 — 1) ^т-1(Сг1_1т-1 - Сг+ц_1т-1)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Герасименко Александр Борисович, 2016 год

Литература

1. Мак-Даниель И., Мэзон Э. Подвижность и диффузия ионов в газах. Москва: Мир, 1976.

2. Mason Е. A., McDaniel Е. W. Transport Properties of Ions in Gases. New York: Wiley, 1988.

3. Liberman M. A., Lichtenberg. A. J. Principles of Plasma Discharge and Material Processing. New York: Wiley Interscience, 2005.

4. Райзер Ю. П. Физика газового разряда. Долгопрудный: Интеллект, 2009.

5. Chen F. F., Chang J. P. Lecture Notes on Principles of Plasma Processing. UCLA: Plenum/Kluwer Publishers, 2002.

6. Blum W., Riegler W., Rolandi L. Particle Detection with Drift Chambers. Berlin: Springer Science & Business Media, 2008.

7. Энциклопедия низкотемпературной плазмы / Под ред. В. Е. Фортова. Москва: Наука, 2000.

8. Li В., Robson R. Е., White R. D. Magnetic field effects on spatial relaxation of swarm particles in the idealized steady-state Townsend experiment // Phys.Rev.E. 2006. Vol. 74. P. 026405.

9. Сигов Ю. С. Вычислительный эксперимент:мост между прошлым и будущим физики плазмы. Москва: Физматлит, 2001.

10. Хокни Р., Иствуд Д. Моделирование методом частиц. Москва: Мир, 1987.

11. Wannier G. Н. Motion of gaseous ions in strong electric fields. // Bell Syst. Tech. J. 1953. Vol. 32. P. 170-254.

12. Skullerud H. R. The stochastic computer simulation of ions in a gas subjected to a constant electric field. // Journ. Phys. 1968. Vol. D2. P. 1567-1568.

13. Chapman S. On the law of distribution of molecular velocities, and on the theory of viscosity and thermal conduction, in a non-uniform simple monatomic gas. // Phil.Trans.Roy.Soc.London. 1916. Vol. 216. P. 279-348.

14. Chapman S. On the kinetic theory of a gas; Part II, A composite monoatomic gas, diffusion, viscosity and thermal conduction. // Phil.Trans.Roy.Soc.London. 1917. Vol. 217. P. 115-197.

15. Enskog D. Kinetische Theorie der Vodgange in massig verdunnten Gasen.: Ph. D. thesis / Uppsala. 1917.

16. Ферцигер Д., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. Москва: Мир, 1976.

17. Burnett D. The distribution of velocities in a slightly non-uniform gasmolecular velocities and the mean motion in a non-uniform gas // Proc. London Math.Soc. 1935. Vol. 39. P. 385-430.

18. Burnett D. The distribution of molecular velocities and the mean motion in a non-uniform gas // Proc. London Math.Soc. 1935. Vol. 40. P. 382-435.

19. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases. // Comm.Pure Appl.Math. 1949. Vol. 2. P. 311-407.

20. Grad H. Principles of the Kinetic Theory of Gases // Thermodynamics of Gases / edited byS. Flugge. Springer Berlin Heidelberg, 1958. Iss. Encyclopedia of Physics, no 3 / 12. P. 205-294.

21. Жданов В. M. Процессы переноса в многокомпонентной плазме. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

22. Kumar К., Skullerud H. R., Robson R. E. Kinetic Theory of Charged Particle Swarms in Neutral Gases // J.Phys.D:Appl.Phys. 1980. Vol. 33. P. 343 - 448.

23. White R. D., Robson R. E., Ness K. F. On approximations involved in the theory of charged particle transport in gases in electric and magnetic fields at arbitrary angles // IEEE TRANSACTIONS ON PLASMA SCIENCE. 1999. Vol. 27. P. 1249-1253.

24. White R. D., Ness K. F.. Robson R. E. Development of swarm transport theory in radio-frequency electric and crossed electric and magnetic fields // App. Surf. Sci. 2002. Vol. 192. P. 26-49.

25. Dujko S., White R. D., Petrovic Z. L., Robson R. E. Benchmark calculations of nonconservative charged-particle swarms in dc electric and magnetic fields crossed at arbitrary angles // Phys.Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 046403 1-18.

26. Viehland L. A. Zero-field mobilities in helium: highly accurate values for use in ion mobility spectrometry // Int. J. Ion Mobil. Spec. 2011. Vol. 15. P. 21-29.

27. Viehland L. A., Siems W. F. Uniform Moment Theory for Charged Particle Motion in Gases //J. Am. Soc. Mass. Spectrom. 2012. Vol. 23. P. 1841-1854.

28. Mason E. A., McDaniel E. W. Kinetic Theory of Mobility and Diffusion: Section 5.3 // Transport Properties of Ions in Gases. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 1988. P. 193-224.

29. Сена Л. Движение положительных ионов в электрическом поле в газе. // ЖЭТФ. 1946. Т. 8. С. 734-738.

30. Bhatnagar P. L., Gross Е. P., Krook М. A Model for Collision Processes in Gases. I. Small Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems. 1954. Vol. 94. P. 511-525.

31. Crouseillesa N., Degonda P., Lemoua M. A hybrid kinetic/fluid model for solving the gas dynamics Boltzmann-BGK equation // J.Comp.Phys. 2005. Vol. 203. P. 572-601.

32. Arber T. D., Sircombe N. J. Simple collision operators for direct Vlasov simulations of laser plasma interaction and transport //J. Phys.: Conf. Ser. 2010. Vol. 244. P. 022017 1-4.

33. Rao M. V. V. S., Brunt R. J. V., Olthoff J. K. Resonant charge exchange and the transport of ions at high electric-field to gas-density ratios (E/N) in argon, neon, and helium // Phys.Rev.E. 1996. Vol. 54. P. 5642-5656.

34. Эндер А. Я., Эндер И. A. // Четвертые поляховские чтения. С-Петербург. 2006 / Под ред. S. М. Ryvkin. С-Петербург: Nauka, 2006. С. 425.

35. Эндер А. Я., Эндер И. А. Интеграл столкновений уравнения Больцмана и моментный метод. Санкт-Петербург: СПбГУ, 2003.

36. Эндер А. Я., Эндер И. А. Кинетика ионов в нейтральном газе при резком включении электрического поля. I: СЕМ- модель // ЖТФ. 2010. Т. 80. С. 8-17.

37. Frezzotti A., Ghiroldi G. P., Gibelli L. Direct solution of the Boltzmann equation for a binary gas mixture on GPU's // RGD 27 AIP Conf.Ser. 2011. Vol. 1333. P. 884-889.

38. Chapman S., Cowling T. G. The Mathematical Theory of Non-uniform Gases. Cambridge: Cambridge University Press, 1939.

39. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. Москва: Наука, 1976.

40. Hekke Е. Uber die Integralgleichung der kinetishen Gastheorie // Math.Z. 1922. Vol. 12. P. 274-286.

41. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theoria der linearen Integralgleichung. Berlin: Leipzig, 1912.

42. Alterman Z., Krankowski R., Pekeris C. L. Eigenvalues and Eigenfunctions of the Linearized Boltzmann Collision Operator for a Maxwell Gas and for a Gas of Rigid Spheres // Astrophys.J.Suppl.Series. 1962. Vol. 7. P. 291-331.

43. Loyalka S. K. Temperature jump and thermal creep slip: Rigid sphere gas // Phys.Fluids. 1989. Vol. 1. P. 403-408.

44. Троп и Э. А., Бакалейников Л. А., Эндер А. Я., Эндер И. А. Асимптотика матричных элементов интеграла столкновений в изотропном случае. // ЖТФ. 2003. Т. 73. С. 12-23.

45. Krook М., Wu Т. Т. Formation of Maxwellian Tails // Phys. Rev. Lett. 1976. -May. Vol. 36. P. 1107-1109.

46. Robson R. E., Makabe T. Transport Coefficients and Velocity Distribution Function of an Ion Swarm in an AC Electric Field Obtained from the BGK Kinetic Equation // J.Phys.D:Appl.Phys. 1994. Vol. 47. P. 305 - 314.

47. Sugawara H., Tagashira H., Sakay Y. The velocity distribution of ions in warm gas under a constant-collision-frequency symmetric charge exchange model // J.Phys.D:Appl.Phys. 1996. Vol. 29. P. 1168-1174.

48. Бабанин В. И., Колышкин И. Н., Эндер А. Я., Эндер И. А. Название статьи // Аэродинамика разреженных газов. 1980. Т. 10. С. 24-40.

49. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. Москва: Мир, 1978.

50. Ender A. Y., Ender I. A., Gerasimenko А. В. Standard Moment Method in the Problems on Ion Kinetics in Neutral Gas // The Open Plasma Phys.J. 2009. Vol. 2. P. 24-62.

51. Эндер А. Я., Эндер И. А., Герасименко А. Б. Кинетика ионов в нейтральном газе при резком включении электрического поля. Ч. II. Различные модели взаимодействия // ЖТФ. 2010. Т. 80. С. 18 28.

52. Ender A. Y., Ender I. A. Polynomial expansions for the isotropic Boltzmann equation and invariance of the collision integral with respect to the choice of basis functions // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 2720 2730.

53. Перель В. PI. Расчет дрейфовой скорости ионов в электрическом поле в газе // Название журнала. 1957. Т. 5. С. 440 445.

54. Hornbeck J. A. The Drift Velocities of Molecular and Atomic Ions in Helium, Neon, and Argon // Phys. Rev. 1951. Nov. Vol. 84. P. 615 620.

55. Neves P. N., Conde C. A., Tavora L. M. Experimental measurement of the mobilities of atomic and dimer Ar, Kr, and Xe ions in their parent gases // The Journal of Chemical Physics. 2010. Vol. 133, no. 12. P. 124316.

56. Biondi M., Chanin L. Mobilities of Atomic and Molecular Ions in the Noble Gases // Phys. Rev. 1954. May. Vol. 94. P. 910 916.

57. Beaty E. C. Temperature Dependence of the Mobility of Positive Ions in Argon and Krypton // Phys. Rev. 1956. Oct. Vol. 104. P. 17 20.

58. McAfee K., Sipler D., Edelson D. Mobilities and Reactions of Ions in Argon // Phys. Rev. 1967. Aug. Vol. 160. P. 130 135.

59. Johnsen R., Leu M., Biondi M. Mobilities of Mass-Identified Atomic Ions in the Noble Gases // Phys. Rev. A. 1973. Nov. Vol. 8. P. 2557 2563.

60. Ellis H., Pai R., McDaniel E. et al. Transport properties of gaseous ions over a wide energy range // Atomic Data and Nuclear Data Tables. 1976. Vol. 17, no. 3. P. 177 210.

61. Helm H., Elford M. The mobility of Ar • ions in argon and the effect of spin-orbit coupling. 1977. Vol. 10, no. 18. P. 3849.

62. Hennad A., Eichwald O., Yousfi M., Lamrous O. Prise en compte de Г anisotropic des collisions ion-atome sur le transport des ions par simulation de Monte-Carlo. 1997. Vol. 7, no. 9. P. 1877 1892.

63. Basurto E., de Urquijo J., Alvarez I., Cisneros C. Mobility ofHe+, Ne+, Ar+, N+, O+, and CO+ in their parent gas // Phys. Rev. E. 2000.^ Mar. Vol. 61. P. 3053 3057.

64. Белл Д., Гдесстоы С. Теория ядерных реакторов. Москва: Атомиздат, 1974.

65. Garcia R. D. М., Siewert С. Е. Particular Solutions of the Linearized Boltzmann Equation for a Binary Mixture of Rigid Spheres // Zeitschrift f?r Angewandte Mathematik unci Physik. 2008. Vol. 59. P. 281 292.

66. Holstein T. Energy Distribution of Electrons in High Frequency Gas Discharges // Phys. Rev. 1946. Sep. Vol. 70. P. 367 384.

67. Margenau H. Conduction and Dispersion of Ionized Gases at High Frequencies // Phys. Rev. 1946. May. Vol. 69. P. 508 513.

68. Hartman L. M. Theory of High Frequency Gas Discharges. III. High Frequency Breakdown // Phys. Rev. 1948. Feb. Vol. 73. P. 316 325.

69. MacDonald A. D., Brown S. C. High Frequency Gas Discharge Breakdown in Helium // Phys. Rev. 1949. Feb. Vol. 75. P. 411 418.

70. Macdonald A. D., Brown S. C. High Frequency Gas Discharge Breakdown in Hydrogen // Phys. Rev. 1949. Dec. Vol. 76. P. 1634 1639.

71. Давыдов Б. // Физический журнал советского союза. 1935. Т. 8. С. 59.

72. Margenau H. Theory of High Frequency Gas Discharges. IV. Note on the Similarity Principle // Phys. Rev. 1948. Feb. Vol. 73. P. 326 328.

73. Margenau H., Hart man L. M. Theory of High Frequency Gas Discharges. II. Harmonic Components of the Distribution Function1 // 1948. — Feb. Vol. 73. P. 309 315.

74. Brown S. C. Breakdown in Gases: Alternating and High Frequency Fields // Handbuch der. Physik. 1956. Vol. 22. P. 531 575.

75. Introduction to Electrical Discharges in Gases. Whiley.

76. Goto N., Makabe T. Time-dependent electron swarm parameters in RF fields in CH4 and H2 // J. Phys. D: Appl. Phys. 1990. Vol. 23, no 6. P. 686.

77. White R. D., Robson R. E., Ness K. F. Anomalous anisotropic diffusion of electron swarms in ac electric-fields // Australian journal of physics. 1995. Vol. 48. P. 925 937.

78. White R. D., Robson R. E., Ness K. F. Multi-term solution of the reactive space-time dependent Boltzmann equation // J. Vac. Sci. Tech. A. 1998. Vol. 23, no 16. P. 316 323.

79. Loffhagen D., Winkler R. Multi-term treatment of the temporal electron relaxation in He, Xe and N2 plasmas // Plasma Sources Sci. Technol. 5 710. 1996. Vol. 5, no. 4. P. 710.

80. Loffhagen D., Winkler R. Time-dependent multi-term approximation of the velocity distribution in the temporal relaxation of plasma electrons // Journal of Physics D Applied Physics. 1996. Vol. 29. P. 618 627.

81. Loffhagen D., Winkler R. Time-Dependent Multi-Term Treatment of the Velocity Distribution of Plasma Electrons Acted upon by RF Fields // American Phys-

ical Society, Gaseous Electronics Conference, October 20-24, 1996. Argonne,IL: Nauka, 1996. P. 6.

82. White R. D. Mass effects of light ion swarms in ac electric fields // Phys. Rev. E. 2001. Oct. Vol. 64. P. 056409.

83. Эндер А. Я., Эндер 14. А., Герасименко А. Б. Эволюция распределения ионов по скоростям после резкого включения периодического электрического поля. СЕМ-модель // ЖТФ. 2013. Т. 83. С. 6 15.

84. Эндер А. Я., Эндер И. А., Герасименко А. Б. Эволюция примеси ионов в переменном высокочастотном электрическом поле // ЖТФ. 2015. Т. 85. С. 15 25.

85. Герасименко А. Б., Эндер А. Я., Эндер И. А. Нестационарная функция распределения ионов в газе при включении периодического электрического поля. Различные модели взаимодействий. // Всероссийская конференция Современные проблемы динамики разреженных газов. Новосибирск. 26-29 июля 2013. Новосибирск: Издательство Института теплофизики СО РАН, 2013. С. 75 77.

86. Ender A. Y., Ender I. A. Properties of the Collision Integral in the Axisymmet-ric Boltzmann Equation // Transport Theory and Stat. Phys. 2007. Vol. 56. P. 563 588.