Особенности кинетики носителей заряда в кристаллах со структурой алмаза тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Черноусов Игорь Владимирович

• Черноусов Игорь Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Черноусов Игорь Владимирович

Введение

Глава 1. Кинетика носителей заряда в пространственно однородном приближении

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана для расчета кинетики носителей заряда и его составляющие в пространственно однородном случае в двухмоментном приближении

1.1.1. Некоторые способы создания неравновесных носителей заряда в алмазе

1.1.2. Захват свободных носителей заряда на заряженные примеси

1.1.3. Интеграл столкновений и характерные частоты, связанные с рассеянием носителей заряда на акустических фононах

1.2. Решение кинетического уравнения в пространственно однородном случае

1.2.1. Эволюция начальной функции распределения без источников и стоков с учетом неупругости

1.2.2. Эволюция функции распределения при наличии источника и стока с учетом неупругости

1.2.3. Эволюция функции распределения при постоянной интенсивности источника ионизующего излучения при учете изменения концентрации ионизованных и неионизованных ловушек захвата со временем

1.2.4. Решение стационарного уравнения Больцмана с учетом неупругости

1.2.5. Сравнение функции распределения, полученной в неупругом расчете, и в приближении Фоккера-Планка

1.3. Понятие квазиподвижности

1.3.1. Квазиподвижность и плотность тока

1.3.2. Расчет квазиподвижности носителей заряда в приближении почти упругих столкновений

1.3.3. Универсальность функции квазиподвижности при рассеянии на акустических фононах в твердых телах

1.3.4. Физический смысл квазиподвижности

Глава 2. Кинетика носителей заряда в однокоординатной постановке

2.1. Физическая модель

2.2. Математическая модель

2.3. Метод численного решения кинетического уравнения

2.4. Особенности решения «чистого» уравнения переноса в случае разной размерности пространства в однокоординатной постановке

2.5. Особенности решения кинетического уравнения в двухмоментном приближении

2.6. Аналитическое решение частного случая кинетического уравнения в однокоординатной постановке с электрическим полем без интеграла столкновений

2.7. Результаты расчета типичной постановки задачи в однокоординатной постановке

2.8. Расчет с периодическим электрическим полем в однокоординатной постановке

Глава 3. Почти равновесная подвижность в различных приближениях

3.1. Сравнение квазиупругого приближения и неупругого подхода в пространственно однородном случае

3.2. Сравнение квазиупругого и неупругого подходов в однокоординатной постановке

Заключение

Приложение 1. Метод численного расчета интеграла столкновений и стационарной

пространственно однородной функции распределения

Приложение 2. Метод матричного численного расчета квазиподвижности без моделирования

дельта-функции

Приложение 3. Описание программы для расчета квазиподвижности в стационарном случае без

использования дельта-функции

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности кинетики носителей заряда в кристаллах со структурой алмаза»

Введение Актуальность темы исследования

В последнее десятилетие происходит бурное развитие электроники на основе алмаза, которое связано с уникальными, даже на фоне других широкозонных полупроводников [1, 2], характеристиками этого материала: рекордными значениями твердости, скорости звука, теплопроводности, ширины запрещенной зоны, напряженности пробоя, подвижности носителей, устойчивости к радиационному излучению [3]. Такие характеристики позволяют применять созданные на его основе приборы (как пассивные, типа детекторов частиц, так и активные, типа электронных вентилей) в экстремальных условиях высоких температур, сильного радиационного облучения и большого проходящего тока [4-7]. Это делает алмаз перспективным для использования в атомной промышленности, космических исследованиях, экспериментальной физике плазмы и физике высоких энергий, системах радиолокации и связи. Этим не исчерпываются возможные применения алмаза, в частности, уникальные свойства КУ-центра в алмазе делают его многообещающим объектом для реализации квантовых технологий [8].

Технологический прогресс позволяет в настоящее время как синтезировать образцы заданных характеристик, высокого качества и повторяемости [4, 6], так и надежно создавать на их основе нужные структуры и комбинировать их с элементами из других материалов, в т.ч. с металлическими омическими и шотткиевски-ми контактами (см., например, работы [7, 9-12]).

Как для конструирования приборов со стабильно воспроизводимыми свойствами, так и для разработки новых устройств с уникальными характеристиками необходимо правильно описывать и рассчитывать кинетику движения носителей заряда в алмазе при различных концентрациях и составе примесей в различных внешних полях и при разных геометриях образца. Уникальные свойства алмаза указывают на то, что в нем могут сильнее, по сравнению с обычными полупроводниками, проявляться некоторые необычные кинетические эффекты. Так, при исследовании алмаза мюонным методом [13, 14] были получены результаты, которые могли объясняться возникновением у носителей заряда абсолютной отри-

цательной подвижности (АОП), при которой носители в среднем двигаются против приложенного электрического поля.

Таким образом, исследование кинетических явлений в алмазе представляет жизненный интерес для теории и приложений.

Степень разработанности темы исследования

Теоретическое исследование АОП проведено для различных систем в большом количестве работ, см., например, [15-24]. В частности, было показано, что АОП может возникать в трехмерных полупроводниках за счет рассеяния носителей заряда на оптических фононах [19].

В [25] было показано, что в алмазе при температурах порядка 10 К АОП может быть связана с сильной неупругостью рассеяния носителей заряда на акустических фононах из-за рекордной скорости звука в алмазе.

На первом этапе исследований АОП в алмазе в почти упругом, диффузионно-дрейфовом приближении [25-27] была, следуя [28], введена характеристика носителей с заданной энергией, которая первоначально считалась подвижностью таких носителей (позднее эта характеристика была названа нами квазиподвижностью). Эта функция при некоторых энергиях носителей заряда оказывалась отрицательной и приводила к возможности существования интегральной АОП.

Оставался неисследованным целый ряд вопросов: поведение носителей заряда в алмазе при различных температурах и концентрациях ловушек захвата с последовательным учетом неупругости рассеяния как в пространственно однородном, так и пространственно неоднородном случаях, в стационарном и нестационарном случаях; изучение вклада неупругости процессов взаимодействия носителей заряда с фононами в почти равновесную подвижность, важную с точки зрения экспериментальных наблюдений; изучение смысла и особенностей квазиподвижности носителей заряда при рассеянии их на акустических фононах в твердых телах.

Цели и задачи

1. Модификация и создание компьютерных программ для расчета функции распределения носителей заряда при рассеянии их на акустических фоно-нах, нейтральных примесях и захвате их на заряженные примеси в кристаллах со структурой алмаза.

2. Определение значений почти равновесной подвижности носителей заряда в различных приближениях.

3. Получение подвижности носителей заряда в постановке для экспериментальных измерений, описывающей плоскопараллельный алмазный детектор частиц.

4. Вычисление квазиподвижности носителей заряда и анализ ее поведения и смысла при рассеянии носителей на акустических фононах в различных диапазонах температур.

Научная новизна

В работе изучается величина, введенная В.Н. Горелкиным [29] и называемая нами квазиподвижностью, обобщающая характеристику, предложенную Хаксли и Кромптоном в [28]. Вычислена квазиподвижность для случая рассеяния носителей заряда на акустических фононах в твердых телах и уточнен критерий применимости ее физической интерпретации. Проведено сравнение почти равновесной подвижности в двухмоментном приближении для различных приближений интеграла столкновений в пространственно однородном и однокоординатном случаях. Показано, что при не совсем малых температурах обычный грубый «закон трех вторых» дает гораздо лучшее согласие с однокоординатным неупругим случаем, а также с результатами расчета, выполненного И.А. Варфоломеевым и В.Р. Соловьевым методом Монте-Карло в [30], чем с пространственно однородными квазиупругим и неупругим подходами.

Теоретическая и практическая значимость

Получены значения нестационарной и стационарной, в т.ч. равновесной, подвижности при последовательном учете неупругости актов взаимодействия носителей с акустическими фононами, а также захвата носителей на ловушки, которые необходимо учитывать для корректной обработки экспериментальных результатов. В частности, получены стационарные и нестационарные функции распределения, токи, концентрации и подвижности носителей заряда в однокоординатном случае, моделирующем детектор ионизирующего излучения.

Уточнены границы применимости и физический смысл функции квазиподвижности носителей заряда и показана ее универсальность для расчета кинетических коэффициентов. В стационарном случае функция квазиподвижности не зависит от функции источника частиц в отличие от функции мгновенной подвижности носителей с данной энергией и позволяет получать корректное значение интегральной подвижности. В рамках используемых приближений получены универсальные зависимости обезразмеренной квазиподвижности от энергии для случая рассеяния носителей на акустических фононах для любых кристаллов.

Показано, что в области низких температур хорошо известный «закон трех вторых» для равновесной подвижности дает достаточно хорошее согласие с данными в однокоординатном неупругом случае и в трехмерном методе Монте-Карло, в то время как промежуточные по сложности пространственно однородные модели дают существенно отличные от него значения, что имеет важное теоретическое и практическое применение для задач электроники.

При последовательном учете неупругости актов взаимодействия носителей с акустическими фононами а также захвата носителей на ловушки сначала в пространственно однородном случае [29, 31], а потом и в пространственно неоднородном случае [32-30] получения интегральной абсолютной отрицательной подвижности добиться не удалось.

Разработаны и модифицированы программы для численного решения уравнения Больцмана, которые позволяют находить функцию распределения при различных условиях и в различных постановках задачи.

Методология и методы исследования

Для расчета функции распределения носителей заряда используется кинетическое уравнение Больцмана, записанное в двухмоментном приближении. Функция распределения считается невырожденной, а среда - изотропной. В работе был применен сеточный метод численного решения кинетического уравнения Больцмана. Первые варианты программ для расчета функции распределения в пространственно однородном случае были созданы А.С. Батуриным и В.Н. Горелкиным в среде Mathcad. Автором диссертации были усовершенствованы старые и созданы новые варианты программ, также была увеличена скорость счета за счет использования подключаемых к Mathcad исполняемых библиотек на языке C, созданных автором диссертации. Основа программы для расчета функции распределения в однокоординатном случае была создана В.Р. Соловьевым и И.А. Варфоломеевым на языке FORTRAN, а автором диссертации она была доведена до работоспособного состояния и усовершенствована, особенно в отношении корректной постановки граничных условий для функции распределения. Аналитические расчеты в работе в основном связаны с анализом отдельных слагаемых кинетического уравнения в различных случаях, а также с анализом эволюции вида функции распределения в пространствах разной размерности как с применением двухмоментного приближения, так и без него.

Положения, выносимые на защиту

1. Проведено детальное изучение квазиподвижности в кристаллах со структурой алмаза. Выявлены ее неизвестные ранее отличия от подвижности носителей заряда данной энергии и уточнены критерии применимости физической интерпретации этой величины.

2. Получены универсальные зависимости квазиподвижности от энергии носителей заряда в кристаллах в изотропном приближении для различных температур при рассеянии на акустических фононах.

3. Получены стационарные и нестационарные функции распределения, токи, концентрации и подвижности носителей заряда в однокоординатном случае, моделирующем детектор ионизирующего излучения.

4. Вычислены зависимости подвижности от температуры для почти равновесных носителей заряда при рассеянии на акустических фононах для квазиупругого и неупругого интегралов столкновений в пространственно однородном и в одно-координатном случаях.

5. Показано, что расчеты равновесной подвижности в одномерном случае в квазиупругом и неупругом подходах дают значения более близкие к полученным методом Монте-Карло, чем соответствующие расчеты в пространственно однородном случае, а также что «закон трех вторых», получаемый в наиболее простом приближении, дает результаты, близкие к одномерному случаю и к результатам расчета по методу Монте-Карло.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов подтверждается анализом областей применимости используемых приближений, проверками полученных результатов, использованием различных подходов и численных программ к получению отдельного результата, что подтверждает его корректность.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической физики МФТИ и международных конференциях и симпозиуме. Список тезисов докладов на конференциях и симпозиуме представлен ниже:

1. Chernousov I.V., Baturin A.S., Gorelkin V.N., Konchakov A.M., Soloviev V.R. "Non-equilibrium carriers flow in diamond: kinetic equation approach". 18th European Conference on Diamond, Diamond-Like Materials, Carbon Nanotubes and Nitrides 914 September 2007, Berlin, Germany.

2. Белоусов Ю.М., Соловьев В.Р., Черноусов И.В. «Использование квазиупругого и неупругого приближений для описания динамики носителей заряда в алмазе» XVII Международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника», 11-15 марта 2013 г., Нижний Новгород.

3. Belousov Yu.M., Chernousov I.V.*, Soloviev V.R., Varfolomeev I.A. "Kinetic equation method and Monte Carlo method for charge carriers dynamics description in diamond". PHOTOPTICS 2014 - 2nd International Conference on Photonics, Optics and Laser Technology, January 1-9, 2014. Lisbon, Portugal.

4. Belousov Yu.M., Gorelkin V.N.f, Chernousov I.V. "On quasi-mobility and mobility of definite energy charge carriers in diamond". 21th International Conference on Diamond and Carbon Materials - DCM 2016, September 4-8, 2016. Le Corum, Montpellier, France.

Связь с плановыми научными исследованиями

Работа выполнена при поддержке грантов Министерства образования и науки РФ РНП.2.1.1/9451, РНПВШ 2.1.1/5909, РНПВШ 2.1.1/13189, ГК 1.2.1 №П558, проект No. 3.619.2014/K.

Публикации

По тематике работы опубликовано 5 статей, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК [А1-А3, А5]:

A1. А.С. Батурин, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов / Отрицательная проводимость электронно-дырочной плазмы в алмазе // Физика плазмы. -2008. - Т. 34. - С. 431.

A2. А.С. Батурин, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов / Расчет подвижности носителей заряда в алмазе при низких температурах // Физика и техника полупроводников. - 2010. - Т. 44(1). - С. 891.

A3. Ю.М. Белоусов, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов / Использование квазиупругого и неупругого приближений для описания динамики носителей заряда в алмазе // Физика и техника полупроводников. - 2013. - Т. 41(12). - С. 1630.

A4. Yu.M. Belousov, I.V. Chernousov, V.R. Soloviev, I.A. Varfolomeev / Kinetic equation method and Monte-Carlo method for charge carriers dynamics description in diamond // Proc. 2nd Int. Conf. Photonics, Optics and Laser Technology. - 2014. -P. 122.

A5. Ю.М. Белоусов, В.Н. Горелкин, И.В. Черноусов / О подвижности носителей заряда определенной энергии // Физика и техника полупроводников. 2018. Т. 52(1). С. 28.

Личный вклад соискателя в опубликованные работы

В [А1] соискателем получены зависимости квазиподвижности от энергии при различных температурах и концентрациях ловушек захвата. В [А2] соискателем получены равновесные дипольные части функции распределения при разных температурах и зависимости подвижности носителей заряда от температуры в пространственно однородном случае, в упругом приближении и при неупругом подходе; вместе с соавторами проведен анализ полученных результатов. В [А3] соискателем проведено исправление и модернизация программы для расчета функции распределения в однокоординатном случае, все результаты статьи получены соискателем. Анализ полученных результатов проведен совместно с соавторами. В [А4] соискателем совместно с соавторами проведено сравнение ранее полученных соискателем результатов с расчетом соавторами равновесной подвижности методом Монте-Карло. В [А5] соискателем показана большая, по сравнению с реальной мгновенной подвижностью носителей заряда определенной энергии, универсальность квазиподвижности; получено правило сложения квазиподвижности в приближении времени релаксации; посчитаны квазиподвижности носителей заряда при рассеянии их на акустических фононах в чистом образце для различных температур, выявлена их универсальность благодаря возможности обезразмеривания, описаны их особенности; уточнена возможность физической интерпретации квазиподвижности.

Глава 1. Кинетика носителей заряда в пространственно однородном приближении

Глава посвящена рассмотрению динамики носителей заряда в алмазе при низких температурах в пространственно однородном приближении. Выбор такого приближения обусловлен логикой исследований по поиску абсолютной отрицательной подвижности (АОП) в алмазе, когда сначала брались модели более простые для анализа, хотя и менее реалистичные, а потом - более реалистичные, хотя и значительно более трудные с точки зрения проведения расчетов. Такой подход был вызван сложностью задачи, поскольку для анализа даже базовых моделей требовались значительные усилия. Кроме того, переход от более простых к более реалистичным моделям позволил выяснить, какие особенности моделей существенно и несущественно влияют на моделируемый процесс, и, таким образом, выявить важные черты этого процесса. Для расчета подвижности носителей заряда в кристалле необходимо было знать функцию распределения носителей заряда. Она, в свою очередь, находилась решением кинетического уравнения Больцмана:

На первом этапе работ по теоретическому поиску АОП в алмазе при низких температурах предполагалось, что этот эффект может быть вызван сильной неупругостью рассеяния носителей заряда на акустических фононах. По этой причине начало работ было посвящено построению физической модели релаксации неравновесных носителей заряда в полупроводниках, анализу модели захвата неравновесных носителей на заряженные центры и генерации неравновесных носителей лазерными импульсами, оценкам характерных времен (частот) рассеяния носителей заряда на акустических фононах по сравнению с временами (частотами) других механизмов рассеяния и захвата, а также рассмотрению различных приближений, используемых для расчета кинетики носителей заряда.

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана для расчета кинетики носителей заряда и его составляющие в пространственно однородном случае в двухмо-

ментном приближении

Для расчета подвижности и других кинетических коэффициентов носителей заряда в алмазе необходимо знать их функцию распределения, которую мы будем находить, используя кинетическое уравнение Больцмана (предполагаем, что на носители заряда действует только электрическое поле):

д/1ы+Пк! т • д/1дг+еч е/п • д/1дк = Jй {/}+д - Пар • /, (1)

где функции распределения носителей заряда / = /(г, к, ?), г - радиус-вектор, а к - волновой вектор носителя заряда, еч - заряд носителя, Е - в общем случае

самосогласованное электрического поле, Jst {/} - интеграл столкновений, д (б) -

плотность источников носителей заряда с энергией б , исар (б) - частота захвата

носителей с энергией б = П2 к2/2 т, т - эффективная масса носителя заряда. Будем считать, что работает приближение эффективной массы и среда изотропна.

Таким образом, кинетическое уравнение определяется интегралом столкновений Jst {/}, функцией захвата носителей заряда исар (б) и функцией генерации

носителей заряда д (б). Описанию этих составляющих уравнения Больцмана посвящены три следующих подраздела этой главы. Также заметим, что для решения (1) необходимо задать соответствующие начальные и граничные условия, в частности, необходимо задать функцию распределения в начальный момент времени, что определяется способом генерации носителей заряда.

В пространственно однородном случае кинетическое уравнение имеет вид д/1 Ы + ечЕ/П• д/1 дк = Jл {/} + д(б)- Усар (б)/, (2)

Мы будем пользоваться двухмоментным приближением [35], в котором функции распределения представляется в виде суммы сферически симметричной /0 и дипольной участей:

/ (к, I) = /0(б, I) + (Ек Жб, I). (3)

При этом /0(8, t) нормируется на плотность, а ((8, t) - на плотность тока носителей заряда:

п = |/(к, t)¿к/(2л)3 = С,№/0 (8, t, (4)

0

2е г

] = • С, Е18ъ3((е, t) 8 = ^ п^Е, (5)

5п о

где С, =(2ш )3'2/4л2Й3, а

2 / ^ = 3Й 1/\48/о (8,t^8 - (6)

- подвижность системы носителей заряда.

Двухмоментное приближение (3) позволяет преобразовать уравнение (2) в систему уравнений относительно функций /0 и (:

^ + 1 ^ Е 2| ¿{Х*, t )} = •/ „ [/о (8, Г)} Ч (8- (8) /о 8),

8 (7)

д((8,t) / (8,t) ^^ {СЕк)((8,t)} ( ) ( Л

1 + ---Я =---(8)((8, t).

дt т 08 (Ек)

Двухмоментное приближение (3) описывает два первых члена разложения функции распределения в ряд по полиномам Лежандра Рп (соб(0)), где

соб0 = (Ек)/(Ек).

Будем считать, что концентрация носителей заряда и заряженных ловушек захвата мала, и той частью самосогласованного электрического поля, которая определяется распределением в пространстве свободных носителей заряда и остальной части кристалла, можно пренебречь по сравнению с величиной внешнего электрического поля (иначе нам пришлось бы рассматривать фактически систему уравнений Власова), поэтому в дальнейшем под Е будем подразумевать именно внешнее электрическое поле.

В пространственно неоднородных задачах даже в отсутствие внешнего поля для описания функции распределения могут быть необходимы члены разложения

высших порядков, этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе. Также при сильной неупругости рассеяния двухмоментное приближение может не давать количественно правильные результаты [36].

1.1.1. Некоторые способы создания неравновесных носителей заряда в алмазе

Для решения уравнения (1) необходимо знать стоящую в правой части уравнения функцию д = д (б, ?) и, кроме того, функцию распределения / = / (г, к, ?) в начальный момент времени. И та, и другая будут определяться

способом создания свободных носителей заряда в образце.

Дело в том, что в алмазе при разумных концентрациях примесей (меньше

18 3

10 см ) и температуре ниже комнатной концентрация свободных равновесных носителей заряда ничтожно мала. Причиной этого является широкая запрещенная зона алмаза (примерно 5.5 эВ для непрямого и 7.3 эВ для прямого перехода) и глубокие примесные уровни (0.37 эВ для акцептора бора и около 1.4 эВ для донора азота). Поэтому свободные носители заряда необходимо специально генерировать в рассматриваемом образце. Например, можно создавать их инжекцией через контакт или фотовозбуждением. Мы будем предполагать, что носители создаются вторым способом, при помощи лазерного излучения. Начальную функцию распределения носителей заряда /(г, к, ? = 0), также как и функцию источника частиц д (б, ?), будем считать зависящими только от энергии носителей, но не зависящими от направления их импульсов (вопрос об анизотропии начального распределения фотовозбужденных носителей по импульсам рассмотрен в главе 4 монографии [37] и работе [38]; также см. с. 86 в [39]). В этом случае в двухмоментом приближении начальная дипольная часть функции распределения <(б, ? = 0) тождественно обращается в нуль, а симметричная часть /0 (б, ? = 0) может быть отлична от нуля. Заметим, что поиск решения кинетического уравнения в виде (3) в принципе не позволяет рассматривать случай начального анизотропного распределения, если внешнее электрическое поле отсутствует, т.к. в этом случае ди-

польная часть волновой функции тождественно обращается в нуль. По этой причине при расчетах в пространственно неоднородном случае, описанных в следующей главе, когда анизотропия пространства играет большую роль, чем в пространственно однородном случае, мы будем использовать другой вид дипольного приближения. Для строгости также скажем, что если рассматривается эволюция начальной ненулевой функции распределения, то можно либо задать ненулевую /0(б,X = 0) и считать, что д(б,X) = 0, либо считать, что /0(б,X = 0) = 0, но

д (б, X ) = /оо (б) • 8 (X).

Общие сведения о фотовозбуждении носителей заряда можно найти в Главе 11 «Поглощение и отражение света» монографии [40], мы же остановимся на некоторых частных случаях.

В работе [41] анализируется возможность создания неравновесных носителей заряда в алмазе с помощью многофотонного межзонного перехода, как прямого, так и непрямого. Показано, что при прямом переходе (без испускания или поглощения фонона) спектр полученных носителей является почти моноэнергетическим «столбиком» при энергии

т„

б =

тр + тп

2— ((Пю-Б0), (8)

где тр - эффективная масса дырки, тп - эффективная масса электрона, N - число поглощаемых фотонов, Пю - энергия одного фотона, б0 - ширина запрещенной зоны для прямого перехода.

Ширина этого «столбика» весьма мала:

2тртп (Nпю-Бr) Аб = 2,1 р Д 2 г)то>. (9)

(тр + тп ) С

При многофотонном непрямом переходе в приближении малых энергий фононов, когда ей можно пренебречь по сравнению с энергией фотона (т.е., при малых температурах), спектр свободных носителей в фазовом пространстве задается формулой

Фотовозбуждение носителей заряда с примесных уровней в случае, когда бесфононный процесс превалирует, порождает почти моноэнергетическую функцию распределения (вопросы фотоионизации акцепторных центров в алмазе ультракороткими лазерными импульсами рассмотрены в [42]).

По этим причинам мы чаще всего будем использовать в качестве источника частиц для кинетического уравнения в импульсном пространстве гауссово распределение, моделирующее возбуждение носителей, близкое к моноэнергетическому [43-49]:

а в отдельных случаях - корневую функцию (10).

1.1.2. Захват свободных носителей заряда на заряженные примеси

Созданные лазерным излучением свободные носители заряда в конце концов могут захватиться, перейдя в связанное состояние и прекратив вносить вклад в кинетические процессы. Из процессов захвата носителей заряда, которыми определяется стоящая в (1) частота Усар = Усар (8,t), рассматривается только процесс

захвата на ионы примеси, поскольку мы заведомо считаем концентрацию носителей заряда достаточно низкой для того, чтобы образованием экситонов можно было пренебречь [50]. Захват носителя заряда на притягивающий центр с образованием долгоживущего связанного состояния согласно разработанной в [51-54] теории происходит в два этапа (отличной монографией по безызлучательной рекомбинации в полупроводниках вообще является [55]). Первым этапом является переход свободного носителя в связанное состояние с испусканием акустического фонона. Вторым - диффузия захваченной частицы в пространстве энергий, завершающаяся либо образованием устойчивого связанного состояния, либо переходом этой частицы обратно в свободное состояние. Единичный акт перехода носителя из свободного в связанное состояние безотносительно его будущей исто-

(11)

рии будем называть, для отличия от «настоящего» захвата, элементарным актом захвата.

В случае кулоновского потенциала взаимодействия дифференциальное сечение элементарного акта захвата носителя с излучением фонона в квазиклассическом приближении получено в работе [52]. В безразмерных переменных энергии носителя % = 288(шя2), абсолютной величины энергии связанного состояния

1 = 2Ц/(ms2) и температуры кристалла у = 2кВТ /(шя2), где £ - скорость звука в кристалле, оно имеет вид

¿Ссар(%,1) = С (% + Л)2

%

(1 + (% +1)/4) - %"| [1 - ехр(-(% + ф)

(12)

п

здесь с

1 6£Г,

л3

ч кшя2 у

и - абсолютная величина энергии связи состояния, в ко-

торое захвачен носитель, к - диэлектрическая проницаемость кристалла (для алмаза лг =5.7), е - заряд электрона, 2 - зарядовое число притягивающего центра. При 2 = 1 и ш = 0.7ше с = 4.17-10-11 см2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Черноусов Игорь Владимирович, 2018 год

Список литературы

1. Pearton, S.J. Wide bandgap semiconductors. Growth, processing and applications / Edited by S.J. Pearton. - USA, New Jersey: Noyes Publications, 2°°°. - 591 p.

2. Лебедев, А.А. Широкозонные полупроводники для силовой электроники / А.А. Лебедев, В.Е. Челноков // Физика и техника полупроводников. - 1999. -Т. 33(9). - С. 1°96.

3. Prelas, M.A. Handbook of Industrial Diamonds and Diamond Films / [edited by] M.A. Prelas, G. Popovici, L.K. Bigelow. - New York: Marcel Deccer, 1998. - 1215 p.

4. Koizumi, S. Physics and Applications of CVD Diamond / [edited by] S. Koizumi,

C.E. Nebel, M. Nesladek. -WILEY-VCH Verlag GmbH & Co.KGaA, Weinheim, 2°°8. - 375 p.

5. Balmer, R.S. Unlocking diamond's potential as an electronic material / R.S. Balmer, I. Friel, S.M. Woollard, C.J.H. Wort, G.A. Scarsbrook, S.E. Coe, H. El-Hajj, A. Kaiser, A. Denisenko, E. Kohn, J. Isberg. // Philosophical transaction of Royal Society A. - 2°°8. - V. 366. - P. 251.

6. Sussmann, R.S. CVD Diamond for Electronic Devices and Sensors. / R.S. Sussmann. - Wiley: Wiley Series in Materials for Electronic and Optoelectronic Applications, 2°°9. - 596 p.

7. Blank, V.D. Power high-voltage and fast response Schottky barrier diamond diodes / V.D. Blank, V.S. Bormashov, S.A. Tarelkin, S.G. Buga, M.S. Kuznetsov,

D.V. Teteruk, N.V. Kornilov, S.A. Terentiev, A.P. Volkov // Diamond and Related Materials. - 2°15. - V. 57. - P. 32.

8. Doherty, M.W. The nitrogen-vacancy colour centre in diamond / M.W. Doherty, N.B. Manson, P. Delaney, F. Jelezko, J. Wrachtrup, L.C.L. Hollenberg // Physics Reports. - 2°13. - V. 528(1). - P. 1.

9. Tarelkin, S. Power diamond vertical Schottky barrier diode with 1° A forward current / S. Tarelkin, V. Bormashov, S. Buga, A. Volkov, D. Teteruk, N. Kornilov,

M. Kuznetsov, S. Terentiev, A. Golovanov, V. Blank // Physica Status Solidi (A). Applications and Materials Science. - 2015. - V. 212(11). - P. 2621.

10. Polyakov, A. Electrical properties of diamond platinum vertical Schottky barrier diodes / A. Polyakov, N. Smirnov, S. Tarelkin, A. Govorkov, V. Bormashov, M. Kuznetsov, D. Teteruk, S. Buga, N. Kornilov, I.-H. Lee // Materials Today: Proceedings. - 2016. - V. 3. - P. S159.

11. Tarelkin, S. Comparative study of different metals for Schottky barrier diamond betavoltaic power converter by EBIC technique / S. Tarelkin, V. Bormashov, E. Korostylev, S. Troschiev, D. Teteruk, A. Golovanov, A. Volkov, N. Kornilov, M. Kuznetsov, D. Prikhodko, S. Buga // Physica Status Solidi (A). Applications and Materials Science. - 2016. - V. 213(9). - P. 2492.

12. Bormashov, V.S. Thin large area vertical Schottky barrier diamond diodes with low on-resistance made by ion-beam assisted lift-off technique / V.S. Bormashov, S.A. Terentiev, S.G. Buga, S.A. Tarelkin, A.P. Volkov, D.V. Teteruk, N.V. Kornilov, M.S. Kuznetsov, V.D. Blank // Diamond and Related Materials. - 2017. - V. 75. -P. 78.

13. Мамедов, Т.Н. Исследование акцепторной примеси бора в искусственном алмазе ^SR-методом / Т.Н. Мамедов, А.Г. Дутов, Д. Герлах, В.Н. Горелкин, К.И. Грицай, В.А. Жуков, А.В. Стойков, В.Б. Шипило, У. Циммерманн. - Препринт ОИЯИ P14-2004-104. - Дубна: Изд. отдел Объединенного института ядерных исследований, 2004. - 7 с.

14. Mamedov, T.N. Behavior of shallow acceptor impurities in uniaxially stressed silicon and in synthetic diamond studied by ^-SR / T.N. Mamedov, D. Andreika, A.S. Baturin, D. Herlach, V.N. Gorelkin, K.I. Gritsaj, V.G. Ralchenko, A.V. Stoykov, V.A. Zhukov, U. Zimmermann // Physica B. Condensed matter. - 2006. - V. 374. -P. 390.

15. Рохленко, А.В. Абсолютная отрицательная проводимость в релаксирующем слабоионизованном газе / А.В. Рохленко // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1978. - T. 75. - C. 1315.

16. Shizgal, S. Electric field dependence of transient electron transport properties in rare-gas moderator / S. Shizgal, D.R.A. Mahon // Physical Review A. - 1985. - V. 32. -P. 3669.

17. Warman, J.M Transient negative mobility of hot electrons in gaseous xenon / J.M. Warman, U. De Haas P. Sowada // Physical Review A. - 1985. - V. 31. - P. 1974.

18. Дятко, Н.А. Отрицательная подвижность электронов в распадающейся плазме / Н.А. Дятко, М. Капителли, С. Лонго, А.П. Напартович // Физика плазмы.

- 1998. - Т. 24. - С. 691.

19. Елесин, В.Ф. Явления абсолютной отрицательной проводимости в неравновесных трех- мерных полупроводниках / В.Ф. Елесин // Успехи физических наук.

- 2005. - Т. 175. - С. 197.

20. Елесин, В.Ф. О возможности осуществления отрицательной проводимости на неравновесных носителях тока в полупроводниках / В.Ф. Елесин, Э.А. Маныкин // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. -1966. - Т. 3(1). - С. 26.

21. Александров, А.С. Спектральные осцилляции тока в антимониде индия, обусловленные абсолютной отрицательной проводимостью в квантующем магнитном поле / А.С. Александров, Ю.А. Быковский, В.Ф. Елесин, Е.А. Протасов, А.Г. Родионов // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. -1970. - Т. 12. - С. 57.

22. Александров, А.С. Спектральные осцилляции фототока в p-InSb, обусловленные абсолютной отрицательной проводимостью в квантующем магнитном поле / А.С. Александров, Ю.А. Быковский, В.Ф. Елесин, Е.А. Протасов, А.Г. Родионов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1973. -T. 64. - С. 231.

23. Александров, А.С. О влиянии стационарных магнитных полей до 15 Т на спектр поперечного фототока в p-InSb / А.С. Александров, А.Н. Кулямзин, А.П. Менушенков, Е.А. Протасов, П.А. Черемных // Физика твердого тела. - 1977.

- Т. 19(5). - С. 1518.

24. Ryzhii, V. Absolute negative conductivity in two-dimensional electron systems associated with acoustic scattering stimulated by microwave radiation / V. Ryzhii, V. Vyurkov // Physical Review B - Condensed matter and materials physics. - 2003. -V. 68(16). - P. 8.

25. Baturin, A.S. Absolute negative mobility of charge carriers in diamond and interpretation of ^SR experiments / A.S. Baturin, V.N. Gorelkin, V.S. Rastunkov, V.R. Soloviev // Physica B. - 2006. - V. 374. - P. 340.

26. Baturin, A.S. Laser induced negative conductivity of diamond / A.S. Baturin, Yu.M. Belousov, V.N. Gorelkin, V.P. Krainov, and V.S. Rastunkov // Laser Physics Letters. - 2006. - V. 3(12). - P. 578.

27. Baturin, A.S. Laser-induced conductivity of semiconductors at low temperatures /

A.S. Baturin, Yu.M. Belousov, V.N. Gorelkin, V.P. Krainov, V.S. Rastunkov. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2007. - Т. 131(1). - С. 155.

28. Хаксли, Л. Диффузия и дрейф электронов в газах / Л. Хаксли, Р. Кромптон. - Москва: Мир, 1977. - 672 с.

29. Батурин, А.С. Отрицательная проводимость электронно-дырочной плазмы в алмазе / А.С. Батурин, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов // Физика плазмы. - 2008. - Т. 34. - С. 431.

30. Belousov, Yu.M. Kinetic equation method and Monte-Carlo method for charge carriers dynamics description in diamond / Yu.M. Belousov, I.V. Chernousov, V.R. Soloviev, I.A. Varfolomeev // Proc. 2nd Int. Conf. Photonics, Optics and Laser Technology. - 2014. - P. 122.

31. Батурин, А.С. Расчет подвижности носителей заряда в алмазе при низких температурах / А.С. Батурин, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов // Физика и техника полупроводников. - 2010. - Т. 44(7). - С. 897.

32. Белоусов Ю.М. Использование квазиупругого и неупругого приближений для описания динамики носителей заряда в алмазе / Ю.М. Белоусов,

B.Р. Соловьев, И.В. Черноусов // Физика и техника полупроводников. - 2013. -Т. 47(12). - С. 1630.

33. Михайлов, Г.А. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. / Г.А. Михайлов, А.В. Войтишек. - Москва: Издательский центр «Академия», 2°°6. - 368 с.

34. Варфоломеев И.А. Моделирование переноса носителей в алмазе методом Монте-Карло / И.А. Варфоломеев, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев // Труды МФТИ. - 2°13. - Т. 5(3). - С. 139.

35. Holstein, J. Energy Distribution of Electrons in High Frequency Gas Discharges / J. Holstein // Physical Review. - 1946. - V. 7°. - P. 367.

36. White, R.D. Is the classical two-term approximation of electron kinetic theory satisfactory for swarms and plasmas? / R.D. White, R.E. Robson, B. Schmidt, M.A. Morrison // Journal of Physics D: Applied Physics - 2°°3. V. 36(24). - P. 3125.

37. Захарченя, Б.П. Оптическая ориентация / Б.П. Захарченя, Ф. Майер. - Ленинград: Наука, 1989. - 4°8 с.

38. Binder, R. Green's function description of momentum-orientation relaxation of photoexcited electron plasmas in semiconductors / R. Binder, H.S. Köhler, M. Bonitz, N. Kwong // Physical Review B. - 1997. - V. 55(8). P. 511°.

39. Гантмахер, В.Ф. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках / В.Ф. Гантмахер, И.Б. Левинсон. - Москва: Наука, 1984. - 352 с.

4°. Зеегер, К. Физика полупроводников / К. Зеегер. - Москва: Мир, 1977. -616 c.

41. Rastunkov, V.S. On the possibility of an absolute negative conductivity of diamond at the irradiation by picosecond laser pulse / V.S. Rastunkov, V.P. Krainov // Laser Physics Letters. - 2°°7. - V. 5. - P. 1°4.

42. Astapenko, V.A. Photoionization of acceptor centers in diamond by ultrashort laser pulses // V.A. Astapenko, M.I. Mustafyan // Russian Physics Journal. - 2°12. -V. 55(1). - P. 1°7.

43. Ridley, B.K. The distribution function of photoexcited electrons in semiconductors subject to laser illumination / B.K. Ridley, J.J. Harris // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1976. - V. 9. - P. 991.

44. Hearn, C.J. Some distribution functions for photoexcited carriers in semiconductors / C.J. Hearn // The Proceedings of the Physical Society. - 1966. - V. 88. - P. 407.

45. Maxym, P.A. Electron-acceptor luminescence from a non-Maxwellian distribution of photoexcited electrons in GaAs / P.A. Maxym // Solid State Communications. -1980. - V. 33. - P. 513.

46. Maxym, P.A. A theoretical study of hot photoexcited electrons in GaAs / P.A. Maxym // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1982. - V. 15. - P. 3127.

47. Vengurlekar, A.S. Picosecond time evolution of photoexcited hot-electron mobility in GaAs and the speed of photoresponse / A.S. Vengurlekar, S.Jha. Sudhanshu // Journal of Applied Physics. - 1989. - V. 65. - P. 3189.

48. Esipov, S.E. The temperature and energy distribution of photoexcited hot electrons / S.E. Esipov Y.B. Levinson // Advances in Physics. - 1987. - V. 36(3). - P. 331.

49. Raichev, O.E. Transient response of photoexcited electrons: Negative and oscillating current / O.E. Raichev, F.T. Vasko // Physical Review B. - 2005. - V. 72. -P.193304.

50. Nagai, M. Creation of supercooled exciton gas and transformation to electron-hole droplets in diamond / M. Nagai, R. Shimano, K. Horiuchi, M. Kuwata-Gonokami // Physical Review B. - 2003. - V. 68. - P. 081202.

51. Абакумов, В.Н. Захват носителей заряда на притягивающие центры в полупроводниках / В.Н. Абакумов, В.И. Перель, И.Н. Яссиевич // Физика и техника полупроводников. - 1978. - T. 12. - C. 3.

52. Lax, M. Cascade Capture of Electrons in Solids / M. Lax // Physical Review. -1960. - V. 119. - P. 1502.

53. Abakumov, V.N. Cross section for recombination of an electron with a positively charged center in a semiconductor / V.N. Abakumov, I.N. Yassievich // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 1976. - V. 44(2). - P. 345.

54. Abakumov, V.N. Theory of electron capture by attracting centers in photoexcited semiconductors / V.N. Abakumov, V.I. Perel', I.N. Yassievich // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 1977. - V. 45(2). - P. 354.

55. Абакумов, В.Н. Безызлучательная рекомбинация в полупроводниках / В.Н. Абакумов, В.И. Перель, И.Н. Яссиевич. - С.-Петербург: Издательство «Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН», 1997. -376 с.

56. Ансельм, А.И. Введение в теорию полупроводников / А.И. Ансельм. - Москва: Наука, 1978. - 616 с.

57. Лифшиц, Е.М. Физическая кинетика. Теоретическая физика. Т. 10. /

E.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. - Москва: Физматлит, 2007. - 536 с.

58. Горелкин, В.Н. Введение в физическую кинетику: Учебное пособие /

B.Н. Горелкин, В.П. Минеев. - Москва: МФТИ, 1989. - 96 с.

59. Давыдов, А.С. Теория твердого тела / А.С. Давыдов. - Москва: Наука, 1976. - 646 с.

60. Reggiani, L. On the lattice scattering and effective mass of holes in natural diamond / L. Reggiani, S. Bosi, C. Canali, F. Nava, S.F. Kozlov. Solid State Communications. - 1979. - V. 30(6). - P. 333.

61. Nava, F. Electron effective masses and lattice scattering in natural diamond /

F. Nava, C. Canali, C. Jacoboni, L. Reggiani, S.F. Kozlov // Solid State Communications. - 1980. - V. 33(4). - P. 475.

62. Reggiani, L. Hole-drift velocity in natural diamond / L. Reggiani, S. Bosi,

C. Canali, F. Nava, and S. F .Kozlov // Phys. Rev. B. - 1981. - V. 23 (6). - P. 3050.

63. Jacoboni, C. The Monte Carlo Method for the Solution of Charge Transport in Semiconductors with Applications to Covalent Materials. / C. Jacoboni, L. Reggiani // Reviews of Modern Physics. - 1983. - V. 55. - P. 645.

64. Reggiani, L. Recombination and ionization processes at impurity centres in hot-electron semiconductor transport / L. Reggiani, V. Mitin // La Rivista del Nuovo Cimento. -1989. - V. 12(11). - P. 1.

65. Willatzen, M. Linear muffin-tin-orbital and kp calculations of effective masses and band structure of semiconducting diamond / M. Willatzen, M. Cardona, and N. E. Christensen // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 50. -P. 18054.

66. Тихонов, В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - Москва: Советское радио, 1977. - 488 с.

67. Risken, H. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications /

H. Risken, - Berlin: Springer series in synergetics, 1984. - 413 p.

68. Горелкин, В.Н. Годовой отчет по проекту 9451 «Исследование абсолютной отрицательной проводимости в конденсированных средах» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)». / В.Н. Горелкин, Ю.М. Белоусов, В.П. Крайнов, А.С. Батурин, В.Г. Попов, В.Р. Соловьев, В.С. Растунков, И.В. Черноусов. - Долгопрудный, 2006. - 59 c.

69. Белоусов, Ю.М. О подвижности носителей заряда определенной энергии / Ю.М. Белоусов, В.Н. Горелкин, И.В. Черноусов // Физика и техника полупроводников. - 2018. - Т. 52(1). - С. 28.

70. Madelung, O. Semiconductors: Data Handbook [электронный ресурс] / O. Madelung. - Springer, 2003. - 1 электрон. опт. диск. (CD-ROM) - ISBN 3-54040488-0.

71. Shockley, W. Currents to conductors induced by a moving point charge / W. Shockley // J. Appl. Phys. - 1938. - V. 9. - P. 635.

72. Ramo, S. Currents induced by electron motion / S. Ramo // Proceedings of the

I.R.E. - September 1939. - P. 584.

73. Zhong, He Review of the Shockley-Ramo theorem and its application in semiconductor gamma-ray detectors / He Zhong // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A. - 2001. - V. 463. - P. 250-267.

74. Marshak, R.E. Note on the spherical harmonic method as applied to the Milne problem for a sphere / R.E. Marshak // Physical Review. - 1947. - V. 71.- P. 443.

75. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики. / В.С. Владимиров. -изд. 4-е. - Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 512 с.

76. Белл, Д. Теория ядерных реакторов / Д. Белл, С. Глесстон. - Москва: Атом-издат, 1974. - 489 с.

77. Kofink, W. Recent developments in the spherical harmonics method and new integral solutions of the Boltzmann equation in spherical geomentry. In: Developments in Transport Theory. [edited by] E. Inonu and P.F. Zweifel. London: Academic Press. 1967. - P. 149.

78. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А.Д. Полянин. - Москва: Физматлит, 2001. - 576 с.

79. Бахвалов, Н. C. Численные методы / Н. C. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 636 с.