Хаотическая адвекция в топографических вихрях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, кандидат физико-математических наук Степанов, Дмитрий Вадимович

• Степанов, Дмитрий Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степанов, Дмитрий Вадимович

Введение.

ГЛАВА 1. Хаотическая адвекция: обзор литературы.

§1.1. Фоновые течения в геофизической гидродинамике.

§1.2. Баротропная квазигеострофическая модель фонового течения.

§1.3. Двухслойная квазигеострофическая модель.

§1.4. Некоторые замечания по численному интегрированию.

ГЛАВА 2. Баротропная квазигеострофическая модель топографического вихря.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Масштабирование.

§2.3. Топографический вихрь в стационарном набегающем потоке.

§2.4. Перенос и перемешивание трассеров в нестационарном вихревом потоке

§2.5. Оценка ширины зоны перемешивания.

§2.6. Хаотический перенос.

§2.7. Сечения Пуанкаре.

§2.8. Хаотическое перемешивание в вихревой области.

ГЛАВА 3 Двухслойная квазигеострофическая модель топографического вихря

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Масштабирование.

§3.3. Топографический вихрь в стационарном баротропном потоке.

§3.4. Нестационарный набегающий поток.

§3.5. Хаотический перенос облака трассеров.

I §3.6. Сечения Пуанкаре.

§3.7. Универсальность положения интервала оптимальных частот для трех различных моделей топографических вихрей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Хаотическая адвекция в топографических вихрях»

Актуальность темы

Процессы горизонтального переноса и перемешивания определяют изменение характеристик вод океана, а также влияют на изменения климата. Исследование этих процессов в топографических вихрях имеет фундаментальное значение в силу того, что именно горизонтальный перенос и перемешивание ответственны за изменение полей термогидродинамических характеристик и биопродуктивности вод.

При исследовании лагранжева переноса с помощью дрейфующих буев в районах топографического вихреобразования, возникает проблема в интерпретации полученных данных. Установлено, что среди размещенных недалеко друг от друга буев, есть такие, которые расходятся впоследствии на довольно значительные расстояния. Один из подходов к решению этой проблемы предлагает концепция «хаотической адвекции». В ее основе лежит тот факт, что траектории двух изначально близко расположенных частиц, в детерминированном вихревом потоке могут расходиться экспоненциально друг от друга за конечное время. Таким образом, мезомасштабные вихревые поля скорости могут генерировать тонкую структуру в полях концентраций на пространственных масштабах много меньших, чем масштабы самого поля скорости. В рамках концепции хаотической адвекции основным механизмом процессов переноса и перемешивания в топографических вихрях является хаотический перенос и перемешивание.

Для решения лагранжевых уравнений необходимо задать поле скорости. В приближении несжимаемой жидкости может быть введена функция тока, через которую выражается поле скорости. Важно, чтобы функция тока была динамически согласованной, т.е. удовлетворяла какому-либо динамическому условию, например закону сохранения потенциальной завихренности, который при условии исчезающе малой вязкости выполняется во всем океане. Это удается сделать в рамках концепции фоновых течений В.Ф. Козлова, которая позволяет строить динамически согласованную функцию тока в замкнутом виде.

Основное направление исследований при выполнении диссертационной работы состояло в изучении процессов хаотического переноса и перемешивания в топографических вихрях. Особое внимание в работе уделено выявлению роли параметров внешних возмущений, граничных условий, а также неоднородности распределения плотности по вертикали в процессах переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы.

Цель и задачи работы.

Целью работы является развитие теоретических представлений и получение количественных характеристик процессов переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы. Для достижения поставленной цели был рассмотрен ряд конкретных задач:

В рамках баротропной квазигеострофической модели топографического вихря, расположенного возле прямолинейной твердой границы:

• Получение оценки ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы при учете границы.

• Изучение влияния частоты внешнего возмущения и наличия прямолинейной границы на процессы хаотического переноса и перемешивания в вихревой области.

В рамках двухслойной модели топографического вихря без границы:

• Исследование влияния неоднородности распределения плотности по вертикали на перенос облака трассеров из вихревой области в проточную.

• Установление зависимости интервала частот внешнего возмущения оптимальных для процесса хаотического переноса от параметров модели.

Методы исследования.

При выполнении диссертационной работы применялись следующие методы исследования: концепция «Фоновых течений» В.Ф. Козлова, теория возмущений, методы теории нелинейных резонансов, метод Лагранжевых частиц, метод построения сечений Пуанкаре, численный метод интегрирования уравнений Булирша-Штерра.

Научная новизна.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получена оценка ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы при наличии боковой границы. Показано, что наличие боковой границы приводит к увеличению этой зоны в 1,5 раза при характерных масштабах топографических вихрей.

2. Определен интервал оптимальных частот возмущения набегающего потока, при которых степень обновления вихревой области максимальна. Показано, что наличие границы приводит к более эффективной вентиляции вихревой области и перемешиванию в ней. Предложен эмпирический критерий, характеризующий эффективность горизонтального перемешивания в области вихря.

3. Установлено, что неоднородность распределения плотности по вертикали приводит к более эффективному и интенсивному процессу вентиляции вихревого ядра по сравнению с баротропной моделью. Показано, что интервал оптимальных частот лежит в окрестности максимальной частоты оборота жидких частиц в вихре.

Основные положения, выносимые на защиту.

Основные результаты можно представить в виде следующих положений

1. Показано, что при наличии боковой границы возникающая в нестационарном потоке в окрестности границы вихревой области зона перемешивания увеличивается до 1,5 раз при характерных масштабах топографических вихрей.

2. Показано, что процесс вентиляции вихревой области в баротропной жидкости протекает более эффективно, но менее интенсивно при наличии боковой границы.

3. Показано, что процесс обновления вихревой области в двухслойной по плотности жидкости протекает более эффективно и интенсивно по сравнению с однородной жидкостью.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные в работе результаты расширяют наше представление о процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях и могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных по дрейфующим буям. Они позволяют дать количественные характеристики исследуемых процессов, а также определить условия наиболее эффективной вентиляции и перемешивания в топографических вихрях.

Результаты использовались в работах по ряду проектов РФФИ: 99-05-64157-а «Исследование хаотического переноса в двухмерных моделях фоновых течений», 03-05-65214-а «Исследование влияния рельефа дна и береговой черты на хаотический перенос в моделях фоновых прибрежных течений», 06-05-96080-рвостока «Теоретическое и экспериментальное исследования стохастических транспортных процессов в краевых областях океана», ДВО РАН: 03-3-Ж-07-077 «Захват и высвобождение массы в топографических вихрях океана», 05-Ш-Г-07-128 «Исследование особенностей захвата и высвобождения массы в топографическом вихре бароклинного океана», 06-III-В-07-302 «Исследование особенностей горизонтального перемешивания и транспорта пассивной примеси в топографическом вихре бароклинного океана» и в ФЦП «Исследование природы Мирового океана» проект «Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере».

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на «5-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию» (Владивосток,

2001), «I конкурсе научных работ молодых ученых ДВО РАН» (Владивосток,

2002), международной конференции «Flux and Structures in Fluids» (Москва, 2005), «Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова» (Хабаровск, 2005), семинаре по «Нелинейной динамике» ТОЙ ДВО РАН.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (87 наименований), всего 119 стр. печатного текста, из них -титульный лист и оглавление на 2 стр., 44 рисунка и 2-е таблицы.

Заключение диссертации по теме «Океанология», Степанов, Дмитрий Вадимович

Заключение.

Понимание процессов переноса и перемешивания является одной из важнейших проблем в океанографии, которая до сих пор полностью не решена. Некоторый свет на понимание этих процессов может пролить использование лагранжева похода для изучения океанической циркуляции на различных масштабах. Кроме того, принимая во внимание нестационарность течений различных масштабов, становится ясной необходимость использования в качестве физической основы процессов переноса и перемешивания концепции хаотической адвекции.

Известно, что в предположении несжимаемости жидкости поле скорости выражается через функцию тока. С точки зрения геофизической гидродинамики эта связь носит название геострофических соотношений, в которых роль функции тока играет давление. В этом приближении система уравнений адвекции совпадает с Гамильтоновой системой, где роль канонических переменных играют координаты жидкой частицы, а роль Гамильтониана - функция тока. Связь между системой уравнений адвекции и Гамильтоновой системой дает возможность использовать все доступные к настоящему времени методы и приемы теории динамических систем [7],[27],[55],[79] для исследования движения пассивных частиц в различных модельных полях скорости. Из теории динамических систем известно, что если система имеет более 1 степени свободы, то в некоторой области фазового пространства две изначально близко расположенные частицы могут расходиться экспоненциально во времени. Это явление получило название динамического хаоса, а в приложении к гидродинамике хаотической адвекции. Для нестационарных океанических потоков при наличии пространственных структур типа вихрей, струй, фронтов в качестве основы процессов переноса и перемешивания предлагаются процессы хаотического переноса и перемешивание.

В диссертационной работе были рассмотрены процессы хаотического переноса и перемешивания на примере аналитических моделей топографических вихрей при различных граничных условиях в баротропном приближении и приближении двухслойного океана. Ставилась задача выяснить, какое влияние при этом оказывает граница и неоднородность распределения плотности по вертикали.

Важным требованием, предъявляемым к таким идеализированным моделям, состоит в том, чтобы функция тока удовлетворяла определенным динамическим соотношениям, т.е. была динамически согласованной [52],[68]. Эта проблема может быть разрешена с помощью концепции фоновых течений предложенной В.Ф. Козловым [12]. Функции тока, исследованные в работе и сконструированные в рамках этой концепции, являются динамически согласованными, в том смысле, что удовлетворяет закону сохранения потенциальной завихренности [57].

В рамках модели поля течения порожденного взаимодействием локализованной подводной возвышенности, расположенной рядом с береговой чертой с нестационарным набегающим потоком был изучен перенос и перемешивания пассивных трассеров. Подобный механизм появления области топографической завихренности над горой следует из динамических уравнений [11], а также подтверждается численными экспериментами [8]. В зависимости от величины скорости набегающего потока рассмотрено три характерных случая: слабого влияния границы, промежуточного влияния границы и сильного влияния границы. В отсутствии внешнего возмущения скорости набегающего потока облако трассеров изначально расположенное в области вихря никогда не покинет ее.

При наличии внешнего нестационарного возмущения картина изменяется кардинально. Появляется возможность обмена трассерами между областью вихря и областью проточного течения. Облако трассеров начинает деформироваться [7],[27],[55] и часть трассеров покидает область вихря.

В окрестности невозмущенной сепаратрисы образуется зона перемешивания, из которой трассеры, изначально расположенные в области вихря, начинают вымываться в область проточного течения. Ясно, что физически важной проблемой является задача о размерах этой зоны и как этот размер зависит от степени влияния границы. При малой относительной амплитуде внешнего возмущения с помощью теории возмущений на основе алгоритма предложенного в работе [5], который позволяет определить останется ли трассер в вихревой области или покинет ее. Показано, что с ростом степени влияния границы ширина зоны перемешивания в окрестности гиперболической особой точки пропорциональна не корню квадратному из относительной амплитуды внешнего возмущения, как в случае слабого влияния границы, а корню кубическому. При характерных масштабах топографических вихрей ширина зоны перемешивания при наличии границы увеличивается до 1,5 раз.

Исследование хаотического переноса и перемешивания для случая конечной относительной амплитуды внешнего возмущения проводилось с помощью численного моделирования. Важно установить какое влияние на процессы хаотического переноса и перемешивания окажет частота внешнего возмущения и наличие боковой границы.

В частности нами был проведен эксперимент по отслеживанию процесса размывания облака трассеров, изначально покрывающего всю вихревую область. На начальном этапе трассеры вымываются очень интенсивно из вихревой области. Затем наступает предельный режим, при котором трассеры перестают вымываться в область проточного течения. Однако, число трассеров, вымытых к предельному режиму, временной интервал на котором достигается предельный режим, а также перенос трассеров из вихревой области в область проточного течения существенным образом зависят как от наличия боковой границы, так и от частоты внешнего возмущения. Показано, что с ростом частоты возмущения, а также с ростом степени влияния границы средний перенос трассеров из области вихря в область проточного течения уменьшается и увеличивается временной интервал достижения предельного режима. Установлено, что как средний перенос, так и время выхода на предельный режим монотонно зависят от частоты, а также от степени влияния границы. Чего нельзя сказать о зависимости числа вымытых трассеров при достижении предельного режима или степени обновления вихревой области от частоты внешнего возмущения и степени влияния границы. В численных экспериментах показано, что имеются частоты внешнего возмущения - оптимальные частоты, при которых степень обновления вихревой области максимальная. Как показал анализ результатов численного моделирования, интервал оптимальных частот, а также степень обновления вихревой области на этих частотах зависят от степени влияния боковой границы. Установлено, что наличие боковой границы приводит к тому, что максимальная степень обновления вихревой области достигается на меньших частотах по сравнению со случаем слабого влияния границы. Однако, вентиляция вихревой области более эффективна при наличии боковой границы, по сравнению с ее отсутствием.

Таким образом, можно заключить, что рост частоты внешнего возмущения и наличие боковой границы приводят к уменьшению скорости обмена между вихревой и проточной областями. Наличие границы приводит к более эффективному обновлению ядра вихря и смещению интервала оптимальных частот в область низкочастотных возмущений.

Следующей важной задачей, рассмотренной в работе, была проблема хаотического перемешивания. Она связанная непосредственным образом с процессами растяжения и складкообразования материального элемента [55]. Эти процессы возможны в тех областях фазового пространства, рассматриваемой системы, где наблюдается экспоненциальная расходимость двух изначально близко расположенных траекторий. Для замкнутых систем количественной характеристикой хаотического перемешивания служат показатели Ляпунова. Однако в силу того, что рассматриваемая система является открытой, использование этой характеристики невозможно. Более приемлемо использование накопленных показатели Ляпунова, а также такой количественная характеристики, как «время жизни» или время нахождения трассера в вихревой области. Анализ распределений накопленных Ляпуновских показателей и времен жизни показал, что в случае сильного влияния границы имеются трассеры с продолжительным временем жизни и промежуточным значением накопленного показателя Ляпунова. Анализ этих трассеров показал, что в случае слабого влияния границы доля их от общего числа менее 1% с ростом же влияния границы число этих трассеров растет и в случае сильного влияния границы может достигать 20%.

Анализ размерных величин скоростей набегающего потока, времен вентиляции вихревой области показал, что с ростом влияния границы, время вентиляции вихревой области увеличивается от полугода при скорости набегающего потока U0=0,4m/c и периоду возмущения в 17 часов до 5 лет при скорости набегающего потока U0=0,3m/c и периоду возмущения в 22 часа.

Итак, резюмируя полученные результаты можно сказать, что учет боковой границы существенным образом повлиял на хаотический перенос и перемешивание. В приложении к эстуариям и открытым морям можно сказать, что при наличии береговой черты и расположенной рядом с ней вихревой области появляется возможность наиболее интенсивного, медленного перемешивания и переноса пассивной примеси из вихревой области в область проточного течения.

Важной задачей рассмотренной в диссертации была задача о влиянии неоднородности распределения плотности по глубине на движение пассивных трассеров в поле топографического вихря. Для учета такой неоднородности было использовано простейшее приближение двухслойной жидкости [57]. Также как и в баротропном случае, для получения динамически согласованных функций тока в слоях была использована концепция фоновых течений В.Ф. Козлова и рассмотрены эффекты хаотической адвекции в верхнем слое жидкости.

В случае стационарного набегающего потока область течения состоит из вихревой области с замкнутыми линиями тока и проточной области с линиями тока, уходящими на бесконечность, отделенными друг от друга сепаратрисой. Установлено, что при скорости набегающего потока U0 > 0.4 ВО не существует, хотя в нижнем слое ВО существует при любом значении скорости. Кроме того, в отличии от баротропной модели важной особенностью двухслойной модели является ограниченность зависимости частоты оборота трассера в вихревой области. Это предполагает существенное отличии в сценариях развития хаотического поведения траекторий трассеров в двухслойной модели от рассмотренной ранее баротропной модели топографического вихря.

Как и для баротропного случая исследовалась задача переноса облака трассеров, изначально однородно заполнявшего всю вихревую область, в область проточного течения. Ставилась задача выяснить, как на хаотический перенос повлияют частота внешнего возмущения в приближении двухслойного океана.

Анализ эволюции числа маркеров вымытых из ВО показал, что качественно процесс переноса трассеров протекает также как и для баротропного случая. Для большинства частот внешнего возмущения эволюция числа вымытых трассеров протекает в два этапа: быстрый и медленный. Подтверждена монотонно убывающая зависимость среднего переноса трассеров из вихревой в проточную область с ростом частоты возмущения. Однако установлено, что на некоторых частотах имеется кроме быстрого и медленного этапов, промежуточный этап, где средняя скорость переноса трассеров из вихревой области в проточную меньше, чем для быстрого этапа. Анализ зависимости Л^ (<у) числа вымытых трассеров к моменту выхода на медленный режим от частоты возмущения показал, что кроме наличия интервала оптимальных частот для хаотического перемешивания имеются несколько явно выраженных локальных минимумов. Для объяснения такого поведения Nx {со) было проведено исследование структуры вихревой области с помощью сечений Пуанкаре. Установлено, что в системе происходит процесс исчезновения нелинейных резонансов [33], который связан с ограниченностью зависимости &0(у). Показано, что основной вклад дает исчезновение резонансов соответствующих частотам и 63кр > т-е- самых больших по площади островов. Анализ эволюции резонансов различных порядков показал, что интервал оптимальных частот находится в пределах от —со^ до й)кр. Это подтверждает анализ результатов численного моделирования по хаотическому переносу облака трассеров в моделях топографических вихрей Гауссовой [19] и эллиптической формы [44]. Установлено, что, как и в рассматриваемой двухслойной модели топографического вихря зависимости частоты оборота трассера в вихревой области в нестационарном набегающем потоке для двух других моделей имеют критические частоты. Анализ зависимостей числа вымытых трассеров к моменту выхода на медленный режим от частоты возмущения показал наличие локальных экстремумов. Установлено, что локальные экстремумы зависимостей N^^co) связаны с исчезновение нелинейных резонансов [33], а интервал оптимальных частот находится в пределах от —сокр до сокр. Таким образом, учет неоднородности распределения плотности по глубине с помощью простейшего приближения двухслойного океана дает нетривиальную зависимость Nx [(d) .

Анализ размерных значений времен выхода на медленный режим, степени обновления ВО, оптимальных частот возмущения и среднего Лагранжева переноса трассеров из ВО в ПО для баротропной модели топографического вихря у границы и топографического вихря в приближении двухслойного океана показал, что для двухслойной модели характерны долгопериодные возмущения от 22 до 66 суток и интенсивный процесс обновления вихревой области от 1 до 2 лет.

Анализ размерных значений величин времен вентиляции вихревой области, периодов возмущения и скорости набегающего потока в рассмотренных моделях показал, что, несмотря на увеличение периодов, соответствующих оптимальным частотам (от 26 до 66 суток в двухслойной модели вместо 17-22 часов в баротропной) эффективность и интенсивность вентиляции вихревой области выше для двухслойной модели по сравнению с баротропной моделью. Таким образом, установлена существенная роль стратификации в процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степанов, Дмитрий Вадимович, 2006 год

1. Борисов А.В., Мамаев И.С., Соколовский М.А. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 704 с.

2. Будянский М.В., Пранц С.В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27, Вып. 6. С. 508-510.

3. Будянский М.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126, Вып. 5. С. 1167-1179.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 4-е изд.- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 512 с.

5. Гледзер А.Е. Захват и высвобождение массы в вихревых структурах океана // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1990. Т. 35, N 6. С. 838845.

6. Данилов С.Д., Довженко В.А., Якушкин И.Г. Перенос пассивного скаляра и Лагранжев хаос в Гамильтоновой гидродинамической модели // ЖЭТФ. 2000. Т. 118, Вып 2. С. 483-494.

7. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988, 368 с.

8. Зырянов В.Н. Топографические вихри в динамике морских течений. -Москва: ИВП РАН, 1995, 240 с.

9. Каменкович В.М., Кошляков М.Н., Монин А.С. Синоптические вихри в океане. Ленинград.: Гидрометеоиздат, 1987. 512 с.

10. Козлов В.Ф. Влияние рельефа дна на глубинные течения в океане (квазигеострофические модели). Учебное пособие. — Владивосток: ДВГУ, 1981. 91 с.

11. Козлов В.Ф. Модели топографических вихрей в океане. М.: Наука, 1983.200 с.

12. Козлов В.Ф. Фоновые течения в геофизической гидродинамике // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31, № 2. С. 245-250.

13. Козлов В.Ф., Гурулев А.Ю. О динамике фронта потенциальной завихренности в поле фоновых течений // Изв. РАН. 1998. Т. 34, № 3. С. 395—403.

14. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Охотском море // Метрология и гидрология. 1996, № 9. С. 58—64.

15. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Японском море (баротропная модель) // Океанология. 1995. Т. 35, № 5. С. 658—662.

16. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Японском море (двухслойная квазигеострофическая модель) // Океанология. 1996. Т. 36, № 4. С. 493-497.

17. Козлов В.Ф., Кошель К.В. Баротропная модель хаотической адвекции в фоновых течениях // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35, № 1.С. 137-144.

18. Козлов В.Ф., Кошель К.В. Об одной модели хаотического переноса в баротропном фоновом течении. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 1. С. 119-128.

19. Козлов В.Ф., Кошель К.В. Некоторые особенности хаотизации пульсирующего баротропного потока над осесимметричной подводной возвышенностью // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37, № 3. С. 378-389.

20. Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. О влиянии границы на хаотическую адвекцию в баротропных квазигеострофических моделях фоновых течений // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2, № 2. С. 89-98.

21. Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы на хаотическую адвекцию в простейшей модели топографического вихря // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41, № 2. С. 242-252.

22. Костыркин С.В., Якушкин И.Г., Перенос пассивной примеси и лагранжевы структуры в нестационарных вихревых течениях // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39, N 6. С. 749-759.

23. Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы на перемешивание и транспорт пассивной примеси в нестационарном потоке. // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, № 4. С. 6-12.

24. Кошель К.В., Степанов Д.В. О хаотической адвекции, индуцированной топографическим вихрем бароклинного океана // Доклады АН. 2006. Т. 407, №4. С. 1-5.

25. Кошель К.В., Израильский Ю.Г., Степанов Д.В. Определение оптимальной частоты возмущения в задаче о хаотическом транспорте частиц // Доклады АН. 2006. Т. 407, № 6. С. 773 776.

26. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Издательство физ.-мат. Лит., 2001.296 с.

27. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 528 с.

28. Океанология. Физика океана. Гидродинамика океана. 2 Т. М.:Наука, 1978. 456 с.

29. Пранц С.В. Хаос, фракталы и полеты атомов в резонаторах // Письма в ЖЕТФ. 2002. Т. 75, Вып. 12. С. 777-785.

30. Степанов Д.В. Влияние частоты возмущения на хаотическую адвекцию в вихревом потоке двухслойной жидкости. // Тезисы докладов. Дальневосточная математическая школа семинар им. Е.В. Золотова -Хабаровск, 2005. С. 115.

31. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1977. 82 с.

32. Aref Н. Chaotic advection of fluid particles // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. Vol. 333. P. 273-288.

33. Aref H. The development of chaotic advection // Phys. Fluids. 2002. Vol. 14, №4. P. 1315-1324.

34. Beerens S.P., Ridderinkhof H., Zimmerman T.F. An analytical study of chaotic stirring in tidal areas // Chaos, Solutions and Fractals. 1994. Vol. 4, № 6. P. 1011-1029.

35. Bower A.S. A simple kinematics mechanism for mixing fluid particles across a meandering jet // J. Phys. Ocean. 1991. Vol. 20. P. 173-180.

36. Bower A.S., Т. Rossby Evidence of cross-frontal exchange processes in the Gulf Stream based on isopycnal RAFOS float data // J. Phys. Ocean. 1989. Vol. 19. P. 1177-1190.

37. Bower A.S., Heather D. Hunt Lagrangian Observations of the Deep Western Boundary Current in the North Atlantic Ocean. Part I: Large-Scale Pathways and Spreading Rates // J. Phys. Ocean. 2000. Vol. 30. P. 764-783.

38. Dahleh M.D. Exterior flow of the Kida ellipse // Phys. Fluids A. 1992. Vol. 4, №9. P. 1979-1985.

39. Eckart C. An analysis of the stirring and mixing processes in incompressible fluids // Journal of Marine Research. 1948. Vol. 7, № 3. P. 265-275.

40. Izrailsky Yu. G., Kozlov V. F., Koshel К. V. Some specific features of chaotization of the pulsating barotropic flow over elliptic and axisymmetric seamounts // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16, № 8. P. 3173-3190. v

41. Kawakami A., Funakoshi M. Chaotic motion of fluid particles around a rotating elliptic vortex in a linear shear flow // Fluid Dynam. Res. 1999. Vol. 25. P. 167-193.

42. Koshel K.V., Stepanov D.V. Some specific features of chaotization and transport in pulsating barotropic flow over a topographic point vortex near boundary // Regular and Chaotic Dynamics. 2004. Vol. 9, № 4. P. 439^149.

43. Kozlov V.F., Koshel K.V., Stepanov D.V. Study of Lagrangian turbulence in an unsteady vortex flow near boarder // International conference "Fluxes and structures in fluids" adstracts. Moscow. June 20-23, 2005. P. 67.

44. Kovalyov S. Phase space structure and anomalous diffusion in a rotational fluid experiment// Chaos. 2000. Vol. 10, № 1. P. 153-165.

45. Liu Z., Yang H. The intergyre chaotic transport // J. Phys. Ocean. 1994. Vol. 24. P. 1768-1782.

46. Mariano A.J., Griffa A., Ozgokman T.M., Zambianchi E. Lagrangian analysis and predictability of coastal and ocean dynamics 2000 // J. Atmosph. Ocean. Tech. 2002. Vol. 19. P. 1114-1126.

47. Meyers S.D. Cross-frontal mixing in a meandering jet // J. Phys. Ocean. Notes and Correspondence. 1994. Vol. 12, № 6. P. 1641-1646.

48. Ngan K., Shepherd T.G. Chaotic mixing and Rossby-wave critical layers // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 334. P. 315-351.

49. Osborne A.R., Kirwan A.D., Jr., Provenzale A., Bergamasco L. Fractal drifter trajectories in the Kuroshio extension // Tellus. 1989. Vol. 41 A. P. 416-435.

50. Osborne A.R., Kirwan A.D., Jr., Provenzale A., Bergamasco L. A search for chaotic behavior in large and mesocale motions in the Pacific Ocean // Physica D. 1986. Vol. 23. P. 75-83.

51. Ottino J.M. The kinematic of mixing: stretching, chaos and transport. N.Y.: Cambridge. University Press. 1989. 364 P.

52. Ottino J.M. Mixing, chaotic advection and turbulence // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1990. Vol. 22. P. 207-253.

53. Pedlosky J. Geophysical fluid dynamics — sec. ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1987.710 р.

54. Pierrehumbert R.T. Large-scale horizontal mixing in planetary atmospheres // Phys. Fluids A. 1991. Vol. 3, № 5. P. 1250-1260.

55. Pierrehumbert R.T., Yang H. Global chaotic mixing on isentropic surfaces // J. Atmos. Sci. 1993. Vol. 50, № 15. P. 2462-2480.

56. Pierrehumbert R.T. Chaotic mixing of tracers and vorticity by modulated travelling Rossby waves // Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. 1991. Vol. 58. P. 285—320.

57. Poje A.C., Haller G. Geometry of cross-stream mixing in a double-gyre ocean model // J. Phys. Ocean. 1999. Vol. 29. P. 1649-1665.

58. Polvani L.M., Wisdom J. Chaotic Lagrangian trajectories around an elliptical vortex patch embedded in a constant and uniform background shear flow // Letters Phys. Fluids A. 1990. Vol. 2, №3. P. 123-126.

59. Ridderinkhof H., Loder J. W. Lagrangian characterization of circulation over submarine banks with application to the outer Gulf of Maine // J. Phys. Ocean. 1994. Vol. 24. P. 1184-1200.

60. Ridderinkhof H., Zimmerman J.T.F. Chaotic stirring in a tidal system // Science. 1992. Vol. 258. P. 1107-1111.

61. Rogier L., Stommel H. Float trajectories in simple kinematic flows // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1979. Vol. 76, № 10. P. 4760-4764.

62. Rom-Kedar V., Leonard A., Wiggins S. An analytical study of transport, mixing and chaos in an unsteady vortical flow // J.Fluid Mech. 1990. Vol. 214. P. 347-394.

63. Rom-Kedar V. Universal properties of chaotic transport in the presence of diffusion // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11, № 8. P. 2044-2057.

64. Samelson R.M. Chaotic transport by mesoscale motions / Stochastic modeling in physical oceanography. Eds J. Adler, P. Muller, B. Rozorskii. Boston: Birkhanson. 1996. P. 423-438

65. Samelson R.M. Fluid exchange across a meandering jet // J. Phys. Ocean. 1992. Vol. 22, № 4. p. 431-440.

66. Shlesinger M.F., Zaslavsky G.M., Klafter J. Strange kinetics // Nature. 1993. Vol. 363. P. 31-37.

67. Sokolovskuy M.A., Zyryanov V.N., Davies P.A. On the onfluence of an isolated submerged obstacle on a barotropic tidal flow // Geophys. Astrophys. Fluid. Dynamics. 1998. Vol. 88. P. 1-30.

68. Sotiropoulos F., Ventikos Y., Lackey Т. C. Chaotic advection in three-dimensional stationary vortex-breakdown bubbles: Sil'nikov's chaos and the devil's staircase. //J. Fluid. Mech. 2001. Vol. 444. P. 257—297.

69. Stepanov D. V. Influence of the tide on entrainment and release of passive pollutant by ocean eddy structures. // IUGG 2003, Sapporo Japan, June 30 -July 11, 2003. A.427.

70. Stoer J. Extrapolation methods for the solution of initial value problems and their practical realization //Lecture notes in Mathematics. Vol. 23. P. 1—21.

71. Tsega Y., Michaelides E. E. Particle dynamics and mixing in the frequency driven Kelvin cat eyes flow // Chaos. 2001. Vol. 11, № 2. P. 351 358.

72. Waseda Т., Mitsudera H. Chaotic advection of the shallow Kuroshio coastal waters // Journal of Oceanography. 2002. Vol. 58. P. 627-638.

73. Wiggins S., Ottino J.M. Foundation of chaotic mixing // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 2004. Vol. 362. P. 937-970.

74. Wiggins S. The dynamical systems approach to Lagrangian transport in ocean flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2005. Vol. 37. P. 295-328.

75. Wiggins S. Chaotic Transport in Dynamical System. N. Y.: Springer-Verlag, 1992. 301 p.

76. Yang H. The subtropical/subpolar gyre exchange in the presence of annually migrating wind and a meandering jet: water mass exchange // J. Phys. Ocean. 1996. Vol. 26. P. 115-130.

77. Yang H. Chaotic transport and mixing by ocean gyre circulation/ Stochastic modeling in physical oceanography. Eds J. Adler, P. Muller, B. Rozorskii. -Boston: Birkhanson. 1996. P. 439^165.

78. Yang H. Chaotic mixing and transport in wave systems and the atmosphere // J. Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, № 6. P. 1423-1445.

79. Yang H. Dependence of Hamiltonian chaos on perturbation structure // Biffurc. and Chaos. 1993. Vol. 3, № 4. P. 1013-1028.

80. Yang H. Lagrangian modeling of potential vorticity homogenization and the associated front in the Gulf Stream // J. Phys. Ocean. 1996. Vol. 26, № 11. P. 2480-2496.

81. Yang H. Three-dimensional transport of the Ertel potential vorticity and N20 in the GFDL SKYHI model // J. Atmos. Sci. 1995. Vol. 52, № 9. P. 15131528.

82. Yang H. The three-dimensional chaotic transport and the Great Ocean Barier // J. Phys. Ocean. 1997. Vol. 27, № 7. P. 1258-1273.

83. Yuan G.-C., Pratt L.J., Jones C.K.R. T. Cross-Jet Lagrangian transport and mixing in a 2\-layer model // J. Phys. Ocean. 2004. Vol. 34. P. 1991-2005.