Исследование статистических свойств хаотических нелинейных колебаний в гамильтоновых системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Улейский, Михаил Юрьевич

• Улейский, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Улейский, Михаил Юрьевич

Введение

ГЛАВА I Гамильтонов хаос в классических и квантовых системах

§ 1 Гамильтонов хаос

§ 2 Проблема квантового хаоса и квантово-классического соответствия.

§ 3 Гамильтонов хаос с атомами и фотонами в резонаторе.

ГЛАВА II Динамика одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы

§ 1 Динамика нелинейного осциллятора в поле периодической во времени и в пространстве внешней силы.

§ 2 Резонансное влияние пространственных осцилляций возмущения на динамику нелинейного осциллятора.

§ 3 Случай быстрых пространственных осцилляций возмущения. Метод усреднения.

§ 4 Динамическое описание влияния мультипликативного шума на гамильтонову систему.

ГЛАВА III Динамика звуковых лучей в пространственно-неоднородных акустических волноводах

§ 1 Гамильтонов формализм для описания динамики лучей в нерегулярных волноводах

§ 2 Глубоководный акустический волновод.

§ 3 Мелководный волновод.

§ 4 Высвечивание лучей из мелководного волновода.

§ 5 Времена прихода звуковых лучей.

§ 6 Распространение лучей в случайно-неоднородных акустических волноводах

ГЛАВА IV Хаотическое рассеяние частиц в плоском гидродинамическом потоке

§ 1 Модель с периодическим возмущением.

§ 1.1 Формулировка задачи.

§ 1.2 Стационарный случай.

§ 1.3 Хаотическое инвариантное множество потока.

§ 1.4 Поиск периодических орбит.

§ 1.5 Фрактальная структура рассеяния.

§ 2 Модель со стохастическим возмущением.

§ 2.1 Численное моделирование случайной функции.

§ 2.2 Шумоиндуцированное рассеяние.

§ 2.3 Шумоиндуцированные кластеры.

ГЛАВА V Гамильтонов хаос в резонаторной квантовой электродинамике

§ 1 Модель Джейнса - Каммингса для двухуровневого атома в квантованном поле идеального резонатора.

§ 2 Квантово-классический атомно-полевой гибрид.

§ 2.1 Квантовые степени свободы.

§ 2.2 Трансляционная степень свободы.

§ 2.3 Квантовые динамические величины.

§ 3 Когерентное поле.

§ 3.1 Регулярное и хаотическое движение атома.

§ 3.2 Запутанность и квантово-классическое соответствие.

§ 3.3 Квантово-классическое соответствие для хаотического движения атом а

§ 3.4 Воспроизводимость квантового состояния в режимах регулярного и хаотического движения атома.

§ 3.5 Атомные фракталы.

§ 4 Фоковское поле.

§ 4.1 Хаос в фоковском поле.

§ 4.2 Фоковский фрактал.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование статистических свойств хаотических нелинейных колебаний в гамильтоновых системах»

Диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию основных закономерностей динамического хаоса в гамильтоновых системах на примерах из механики, гидродинамики, лучевой акустики и квантовой электродинамики. Выбор примеров обусловлен стремлением продемонстрировать разнообразие нелинейных процессов, которые можно описать в рамках единого подхода.

Открытие и изучение динамического хаоса в простых детерминированных динамических системах стало одним из главных достижений науки второй половины XX века. Проще всего определить динамический хаос в терминах экспоненциальной чувствительности к малым изменениям начальных условий. Если фазовое пространство системы ограничено, то экспоненциально быстро разбегающиеся по одному или нескольким направлениям траектории будут возвращаться в окрестность своего начального положения, что приводит к перемешиванию траекторий в ограниченном пространстве. Динамика называется хаотической, если экспоненциальная чувствительность проявляется почти для всех начальных условий и их вариаций. Отсюда следует практически важный вывод — хаос ограничивает прогнозируемость поведения даже сравнительно простых систем. Неизбежные неточности знания начальных условий в хаотической системе могут экспоненциально быстро нарастать, и через промежуток времени, обратно пропорциональный средней скорости разбегания траекторий (максимальный показатель Ляпунова), начальная неточность достигает неприемлемой для сколь либо разумного прогноза величины.

Пуанкаре, занимаясь проблемой трех тел в небесной механике, установил, что сложное поведение траекторий, чувствительная зависимость от начальных условий и бесконечное множество периодических орбит связано с существованием гомоклинической структуры — бесконечного разнообразия траекторий в окрестности неустойчивой точки равновесия, среди которых наряду со счетным множеством периодических траекторий имеются и хаотические. Как писал Пуанкаре: "Поражаешься, сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить". Фактически, Пуанкаре была поставлена проблема описания нового типа движения, впоследствии названного динамическим хаосом. Динамический хаос стал тем мостом, который связал давно известные и, казалось бы, несовместимые друг с другом типы движения — регулярное и полностью случайное.

Гамильтоновы системы, в отличие от диссипативных, являются чисто динамическими, поскольку диссипация всегда связана с некоторым шумом. Можно выделить четыре их класса. Регулярные, полностью интегрируемые системы, движение которых является устойчивым (квази)периодическим с дискретным спектром. Поскольку почти любое возмущение разрушает интегрируемость, то такие системы исключительны. Их антиподами являются системы Аносова, движение в которых отличается полным и однородным перемешиванием и является идеально хаотическим. Такие системы структурно устойчивы, но не слишком реалистичны. Существуют гамильтоновы системы со слабым возмущением, так называемые КАМ-системы (по фамилиям Колмогорова, Арнольда и Мозера). Слабое возмущение деформирует инвариантные торы с иррациональными числами вращения и разрушает торы с рациональными числами вращения, на месте которых образуются экспоненциально узкие стохастические слои. Для двух и менее степеней свободы разрушенные торы лежат между инвариантными, и траектории оказываются зажатыми между ними. Если число степеней свободы больше двух, то узкие стохастические слои могут соединяться и соответствующие траектории могут сколь угодно далеко уйти от своих невозмущенных значений (диффузия Арнольда). Наконец, четвертый класс составляют типичные гамильтоновы системы с неоднородным фазовым пространством, в котором существуют обширные области с регулярным и хаотическим движением.

Наглядный образ фазового пространства гамильтоновой системы с малым числом степеней свободы дает сечение Пуанкаре — множество следов направленных траекторий, запечатленных с некоторым характерным периодом времени на определенной плоскости переменных системы. На Рис. 38 изображено сечение Пуанкаре на координатной плоскости пассивных частиц, адвектируемых точечным топографическим вихрем на фоне нестационарного течения. Для модели хаотической адвекции, рассмотренной в третьей главе, фазовое пространство совпадает с конфигурационным. Стало быть, точки на Рис. 38 могут представлять реальные положения частиц красителя в кювете, где удалось создать соответствующий двумерный поток. Фазовое пространство содержит множество "островов", движение внутри которых строго регулярное. Внешние "острова" погружены в "море" хаоса и окружены цепочками "островов" меньшего размера, те, в свою очередь, окружены "островами" еще меньшего размера. Иерархия "островов" прослеживается на всех масштабах увеличения разрешения. Хаотические траектории с неупорядоченным набором точек на сечении Пуанкаре не могут проникать через границы "островов". Влияние "островов" нельзя исключить, просто уменьшая на соответствующую величину фазовый объем хаэтического "моря". Их роль гораздо важнее. Вблизи внешних границ "островов" имеются так называемые зоны "прилипания", в которых траектории могут подолгу застревать, кардинально изменяя статистические свойства движения. Диффузия становится аномальной, корреляции не распадаются экспоненциально, а типичная траектория отличается перемежаемостью — чередованием регулярных и хаотических осцилляций. Динамическое, статистическое и кинетическое описания гамильтоновых систем являются важнейшими задачами современной нелинейной динамики.

В первой главе кратко обсуждаются современные проблемы теории гамильтонова хаоса в классических и квантовых системах, имеющие непосредственное отношение к теме диссертации.

Во второй главе развивается теория одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы, который может служить прототипной моделью множества физических явлений, в том числе и рассматриваемых в диссертации. Развитая теория позволяет выявлять в фазовом пространстве системы зоны устойчивости, которые присутствуют даже в случае широкополосного шума.

В третьей и четвёртой главах диссертации исследуются транспортные, фрактальные и статистические свойства динамического хаоса в гамильтоновых системах, которые естественным образом возникают в океанологии при моделировании адвекции пассивных примесей в районах так называемых топографических вихрей в океане и при распространении звука в глубоком океане на дальние расстояния в подводном звуковом канале. В гидродинамике лагранжевы уравнения движения в случае идеальной несжимаемой жидкости можно получить с помощью функции тока по аналогии с гамильтоновыми уравнениями движения для канонически сопряженных переменных в механике. Распространение звука в подводном звуковом канале на дальние расстояния адекватно описывается в приближении геометрической оптики в терминах звуковых лучей. И в том и в другом случае при ряде допущений получаем неавтономные гамильтоновы системы с полутора степенями свободы, в которых роль половинки степени свободы играет время в задаче адвекции и пространственная координата вдоль волновода в акустической задаче. Следует отметить, что эти системы подробно исследовались в работах Д.В. Макарова "Нелинейная динамика лучей в неоднородном подводном звуковом канале" (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. С.В. Пранца, защищена в 2004 г.) и М.В. Будянского "Хаотическая адвекция и фракталы в нестационарном плоском потоке" (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. С.В. Пранца, представлена к защите в 2005 г.). В настоящей работе рассмотрены новые эффекты и предложены новые методы исследования этих явлений, не вошедшие в упомянутые диссертации.

В чистом виде гамильтоновы системы встречаются, пожалуй, только в небесной механике. В земных условиях любая система подвергается действию шума со стороны своего окружения. Практически важно изучить влияние шума на хаотическую динамику. Автором предложен новый метод обнаружения зон устойчивости в фазовом пространстве гамильтоновых систем, выживающих даже под действием шума, в рамках предложенных моделей исследованы индуцированные шумом транспортные, фрактальные и статистические свойства хаотической адвекции пассивных примесей и хаоса лучей в подводном звуковом канале.

Связь классического динамического хаоса с квантовой механикой — одна из наиболее интересных проблем современной физики [30,69,76,77]. Динамическим хаосом в классической механике называется псевдослучайное поведение динамических систем при отсутствии всякого шума и случайно варьируемых параметров, основным свойством которого является сильная зависимость от начальных условий в ограниченном фазовом пространстве. Считается, что изолированные ограниченные квантовые системы не могут проявлять столь чувствительную зависимость от начальных условий как классические системы в силу унитарности своей эволюции. Возникает вопрос: каков механизм возникновения классического хаоса из квантовой механики? В пятой главе диссертационной работы показывается как классический гамильтонов хаос с чувствительной зависимостью от начальных условий, положительными показателями Ляпунова, фрактальными свойствами фазового пространства и аномальными статистическими характеристиками возникает в сильно связанной атомно-полевой системе с бесконечномерным фазовым пространством. Такая система возникает в квантовой электродинамике одиночного атома, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем в высокодобротном резонаторе. Изучение фундаментальных принципов атомно-фотонного взаимодействия составляет быстро развивающуюся область резонаторной квантовой электродинамики [67,106,118]. В экспериментальных работах достигнут уровень, когда переход между классическим и квантовым динамическими режимами может наблюдаться напрямую. В этой главе теоретически и численно исследуется нелинейная динамика и квантовый хаос во взаимодействии атома с квантованным полем стоячей световой волны с учетом атомной отдачи при излучении и поглощении фотонов в высокодобротном резонаторе. Установлено квантово-классическое соответствие поведения сугубо квантовых характеристик движения (квантовой энтропии и воспроизводимости состояний) и максимального показателя Ляпунова.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Улейский, Михаил Юрьевич

Заключение

В представленной работе на примере гамильтоновых систем различной физической природы (механических, гидродинамических, акустических и квантово-электродинами-ческих) с разным числом степеней свободы (от полутора до бесконечности) развиваются теоретические представления о динамических и статистических свойствах гамильто-нова хаоса. Распространяя теорию нелинейного резонанса на случай пространственно-временного периодического возмущения и стохастического возмущения, мы исследуем фазовое пространство нелинейной динамической системы и обнаруживаем в нём типичные структуры, ответственные за проявление характерных свойств гамильтоновых хаотических систем: аномальную диффузию, степенные характеристики функций распределения, динамические фракталы, динамические ловушки, шумоиндуцированные когерентные кластеры и проч. Эти свойства теоретически и численно исследованы для следующих моделей:

1. одномерный механический нелинейный осциллятор в пространственно-временном поле внешней силы (как периодическом, так и стохастическом);

2. распространение звуковых лучей в пространственно неоднородных океанических акустических волноводах (как периодических, так и стохастических);

3. адвекция пассивных примесей в плоском гидродинамическом потоке несжимаемой жидкости (как периодическом, так и стохастическом);

4. квантовая атомно-полевая система в идеальном резонаторе.

Получены следующие новые результаты.

1. Пространственно-временной хаос

• Обнаружен эффект усиления хаоса в локальных областях фазового пространства под влиянием пространственных осцилляций внешней силы.

• Предложен новый метод обнаружения шумоиндуцированных зон устойчивости в фазовом пространстве маломерных гамильтоновых систем.

2. Лучевой хаос

• Выявлен и описан механизм влияния вертикальной структуры неоднородности волноводного канала на хаотическую диффузию лучей.

• Обнаружена устойчивость когерентных лучевых кластеров при распространении звука в случайно-неоднородном волноводном канале с малым числом вертикальных мод неоднородности.

3. Хаотическая адвекция

• Предложен новый численный метод обнаружения неустойчивых периодических орбит.

• Показано, что хаотическое рассеяние пассивных примесей в периодическом и случайном двумерном поле скоростей открытого несжимаемого потока имеет фрактальную структуру, установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик.

• Численно обнаружены и исследованы когерентные кластеры пассивных примесей в случайном поле скоростей.

4. Квантовый хаос

• В рамках резонаторной квантовой электродинамики получена система уравнений для амплитуд вероятностей, описывающая взаимодействие двухуровневого атома с выделенной модой квантованного поля в идеальном резонаторе с учетом эффекта фотонной отдачи.

• Показано, что в соответствующей гамильтоновой системе с бесконечным числом степеней свободы возможны различные динамические режимы: регулярные осцилляции, полёты и проявления гамильтонова хаоса как в классическом атомном движении (хаотическое рассеяние и атомные фракталы), так и в квантовых степенях свободы (хаотические осцилляции Раби). Предложены мысленные эксперименты для проверки неустойчивости и хаоса в квантовой электродинамике.

• Показано, что сугубо квантовые характеристики (квантовая энтропия и воспроизводимость состояний атомно-полевой системы) коррелируют с классической мерой хаоса — максимальным показателем Ляпунова. Тем самым установлено квантово-классическое соответствие в резонаторной квантовой электродинамике.

Работа выполнена при поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01-02-06021, Л» 9902-17269, № 03-02-06896, № 02-02-17796)

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике" (проект № 4.17 "Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах")

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 03-III-A-02-124 "Квантовые фракталы", № 04-III-A-02-45 "Квантовый хаос во взаимодействии атомов с фотонами", № 04-III-A-02-051 "Атомные фракталы в резонаторной квантовой электродинамике", № 05-Ш-Г-02-141 "Корреляция квантовых состояний атома и света с движением атома в резонаторе", № 05-III-A-02-100 "Декогерентность атомов в собственном поле излучения", № 05-Ш-Г-07-075 "Акустическая томография протяжённых океанических трасс в условиях сильного лучевого хаоса", № 05-Ш-Г-04-011 "Хаотическое рассеяние и аномальная диффузия в модели адвекции пассивных примесей топографическим вихрем с детерминированным и случайным возмущениями", "Исследование механизмов возникновения фракталов и динамических ловушек в зоне топографического вихря и их роль в неоднородном распределении пассивных примесей", "Влияние внутренних волн на сверхдальнее распространение звука в океане и проблема лучевого хаоса в подводных звуковых каналах").

• Федеральная целевая программа "Исследование природы Мирового океана". Проект "Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере".

Список статей, опубликованных по теме диссертации

1. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A nonlinear oscillator with two degrees of freedom in a laser field // Journal of Russian Laser Research. 2001. Vol. 22. 1. P. 69-81.

2. Макаров Д.В., Пранц C.B., Улейский М.Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Доклады АН. 2002. Т. 382. № 3. С. 394-396.

3. Будянский М.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Доклады АН. 2002. Т. 386. № 5. С. 686-689.

4. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. Chaotic absorption of coherent laser light by an anhar-monic molecule. In: "Fundamental Aspects of Laser-Matter Interaction and Physics of Nanostructures" (eds. A.V. Andreev et al) // Washington: Proc. SPIE. 2002. Vol. 4748. P. 89-96.

5. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A driven nonlinear oscillator with a few degrees of freedom: chaos and controllability in the light absorption. "Progress in Nonlinear Science", vol. 2. "Frontiers of Nonlinear Physics", ed. by A.G. Litvak, Nizhny Novgorod, 2002. P. 608-613.

6. Макаров Д.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. О возможности определения характеристик внутренних волн по данным распределения, времен прихода лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса // Письма в Журнал технической физики. 2003. Т. 29. № 10. С. 70-76.

7. Prants S.V., Uleysky M.Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Physics Letters A. 2003. Vol. 309 № 5-6. P. 357-362.

8. Uleysky M., Kon'kov L., Prants S. Quantum chaos and fractals with atoms in cavities // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2003. Vol. 8. JV« 3/4. P. 329-347.

9. Makarov D.V., Uleysky M.Yu., Prants S.V. Ray chaos and ray clustering in an ocean waveguide // Chaos. 2004. Vol. 14. № 1. P. 79-95.

10. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Hamiltonian fractals and chaotic scattering by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. № 3-4. P. 369-378.

11. Будянский M.B., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 126 JV« 5(11). С. 1167-1179.

12. Макаров Д.В., Улейский М.Ю. Влияние локальных вариаций профиля скорости звука на динамику лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 137-140.

13. Макаров Д.В., Улейский М.Ю. Когерентные лучевые кластеры в неоднородном подводном звуковом канале. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 141-144.

14. Prants S.V., Uleysky M.Yu. On the quantum (in)stability in cavity QED. [Электронный ресурс] / E-print archive. 2005. quant-ph/0504180 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0504180).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Улейский, Михаил Юрьевич, 2005 год

1. Макаров Д. В., Пранц С. В., Улейский М. Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Докл. АН. 2002. Т. 382, tf* 3. С. 394-396.

2. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Докл. АН. 2002. Т. 386. № 5. С. 686-689.

3. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Детерминированный хаос лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Океанологические иследования: сборник докладов конференции молодых ученых. ТОЙ, Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 147-154.

4. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Лучевые кластеры в неоднородных подводных акустических волноводах // Труды Международной конференции "Математические методы в геофизике". Ч. 1. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003. С. 153-156.

5. Prants S. V., Uleysky М. Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Phys. Lett. A. 2003. Vol. 309. № 5-6. P. 357-362.

6. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Когерентные лучевые кластеры в неоднородном подводном звуковом канале // Доклады 10-ой научной школы-семинара акад. Л. М. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. М.: ГЕОС, 2004. С. 138141.

7. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Мартынов М. Ю. Влияние вертикальной структуры неоднородности подводного звукового канала на динамику звуковых лучей // Сборник трудов XV сессии РАО. Т. 2. М.: ГЕОС 2004. С. 140-143.

8. И. Budyansky М. V., Uleysky М. Yu, and Prants S. V. Hamiltonian fractals and chaotic scattering by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. № 3-4. P. 369-378.

9. Makarov D. V., Uleysky M. Yu. and Prants S. V. Ray chaos and ray clustering in underwater acoustics // Chaos. 2004. Vol. 14. № 1. P. 79-95.

10. Будянский M. В., Улейкий M. Ю., Пранц С. В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 126. № 5(11). С. 1167-1179.

11. Абдуллаев С. С., Заславский Г. М. Нелинейная динамика лучей в неоднородных средах // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. tf* 2. С. 524-536.

12. Абдуллаев С. С., Заславский Г. М. Классические нелинейная динамика и хаос лучей в задачах распространения волн в неоднородных средах // УФН. 1991. Т. 161. Л® 8. С. 1-43.

13. Аргонов В. Ю., Пранц С. В. Фракталы и хаотическое рассеяние атомов в поле стационарной стоячей световой волны // ЖЭТФ. 2003. Т. 123. С. 946-961.

14. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. - 304 с.

15. Белобров П. И., Заславский Г. М., Тартаковский Г. X. Стохастическое разрушение связанных состояний в системе атомов, взаимодействующих с полем излучения // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. № 5(11). С. 1799-1812.

16. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.: УРСС, 2002. 406 с.

17. Богданов К. Т., Мороз В. В. Структура, динамика и гидролого-акустические характеристики вод проливов Курильской гряды. Владивосток: Дальнаука, 2000. - 152 с.

18. Будянский М. В., Пранц С. В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. № 12. С. 51-56.

19. Вадов Р. А. Дальнее распространение звука в мелководной части Охотского моря // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 2. С. 172-177.

20. Вадов Р. А. Поглощение и затухание низкочастотного звука в морской среде. Акустический журнал. 2000. Т. 46. С. 624-631.

21. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. - 181 с.

22. Вечеславов В. В. Подавление динамического хаоса в гамильтоновых системах // ЖЭТФ. 2001. Т. 119. JV« 4. С. 853-861.

23. Вечеславов В. В., Чириков Б. В. Диффузия в гладких гамильтоновых системах // Препринт ИЯФ 2001-59, Новосибирск, 2001. 27 с.

24. Вировлянский А. Л. Лучевой хаос при распространении звука в океане // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2003. Т. 46. № 7. С. 555-571.

25. Гребенников Е. А, Митропольский Ю. А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем. М.: Наука, 1992. 224 с.

26. Забурдаев В. Ю., Чукбар К. В. Эффекты "памяти" в стохастическом транспорте // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 77. № 10. С. 654-658.

27. Заславский Г. М. Статистика энергетических уровней при разрушении интегралов движения // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. Вып. 6.

28. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М. :Наука, 1984. - 271 с.

29. Заславский Г. М, Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.

30. Зырянов В. Н. Топографические вихри в динамике морских течений. М.: ИВП РАН, 1995. - 239 с.

31. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970.

32. Кляцкин В. И. Динамика стохастических систем: курс лекций. М.: Физматлит, 2002. - 240 с.

33. Кляцкин В. И., Гурарий Д. Когерентные явления в стохастических системах // УФН. 1999. Т. 169. № 2. С. 171-207.

34. Кляцкин В. И., Кошель К. В. Простейший пример возникновения кластерной структуры поля пассивной примеси в случайных потоках // УФН. 2000. Т. 170. № 7. С. 771 -778.

35. Козлов В. Ф. Модели топографических вихрей в океане. М.: Наука, 1983. - 200 с.

36. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малых возмущениях гамильтониана // Докл. АН. 1954. Т. 98. С. 527-530.

37. Коньков JI. Е., Пранц С. В. Хаотические вакуумные осцилляции Раб и в резонаторной квантовой электродинамике // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 65. Вып. 11. С. 801-806.

38. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Физматлит, 2001.

39. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.

40. Лоскутов А. Ю., Джаноев А. Р. Подавление хаоса в окрестности сепаратрисы // ЖЭТФ. 2004. Т. 125. № 5. С. 1194-1203.

41. Макаров Д. В. Нелинейная динамика лучей в неоднородном подводном звуковом канале. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Владивосток, ТОЙ ДВО РАН, 2004.

42. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

43. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 448 с.

44. Пранц С. В. Хаос, фракталы и полёты атомов в резонаторах // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 15. Вып. 12. С. 177-785.

45. Пранц С. В., Коньков JI. Е. Параметрическая неустойчивость и гамильтонов хаос в резонаторной полуклассической электродинамике. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. Вып. 2. С. 740-753.

46. Пранц С. В., Коньков Л. Е. Хаотическое блуждание атома в когерентном поле стоячей световой волны // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73. Вып. 4. С. 200-204.

47. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Избр. тр.: В 2 т. М.: Наука, 1972. Т. 2, гл. 33.

48. Скалли М. О., Зубайри М. С. Квантовая оптика. М.: Физматмет, 2003.

49. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, Физматгиз, 1999. 368 с.

50. Хакен Г. Лазерная светодинамика. М.: Мир, 1988. 350 с.

51. Чигарев А. В., Чигарев Ю. В. О возможности возникновения стохастической неустойчивости лучей в неоднородных средах // Акустический журнал. 1978. Т. 24. С. 765771.

52. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: НГУ, 1977. 82 с.

53. Aref Н. Stirring by chaotic advection // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 143. P. 1-21.

54. Arnold V. I. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits // C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. 1965. Vol. 261. P. 17-20.

55. Artuso R., Casati G. and Lombardi R. Periodic orbit theory of anomalous diffusion // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. JV« 1. P. 62-64.

56. Artuso R. and Cristadoro G. Anomalous transport: a deterministic approach // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. JV« 24. P. 244101.

57. Artuso R., Rebuzzini L. Effects of a nonlinear perturbation on dynamical tunneling in cold atoms // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. Art. 036221.

58. Bardroff P. J., Bialynicki-Birula I., Krahmer D. S., Kurizki G., Мауг E., Stifter P., Schle-ich W. P. Dynamical Localization: Classical versus Quantum Oscillations in Momentum Spread of Cold Atoms // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 20. P. 3959-3962.

59. Berman G. P., Zaslavsky G. M. Condition of stochasticity in quantum nonlinear systems // Physica A. 1978. Vol. 91. P. 450-460.

60. Beron-Vera F. J., Brown M. G. Ray stability in weakly range-dependent sound channels // J. Acoust. Soc. Am. 2003. Vol. 114. P. 123-130.

61. Blumel R., Reinhardt W. P. Chaos in Atomic Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

62. Brown M. G., Colosi J. A., Tomsovic S., Virovlyansky A. L., Wolfson M. A., Zaslavsky G. M. Ray dynamics in long-range deep ocean sound propagation //J. Acoust. Soc. Am. 2003. Vol. 113. № 5. P. 2533-2547.

63. Casati G., Chirikov B. Quantum chaos: unexpected complexity // Physica D. 1995. Vol. 86. P. 220-237.

64. Cavity Quantum Electrodynamics, ed. by P. R. Berman. New York: Academic Press, 1994.

65. Chandre C., Giraolo G., Doveil F., Lima R., Macor A. and Vittot M. Channeling chaos by the building barriers // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. 7. P. 074101.

66. Chirikov В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 1979. Vol. 52. № 5. P. 265-379.

67. Denisov S., Flach S. Dynamical mechanismes of dc current generation in driven Hamilto-nian systems // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. № 5. P. 056236.

68. Flach S., Yevtushenko O., and Zolotaryuk Y. Directed current due to broken time-space symmetry // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. № 11. P. 2358-2361.

69. Goetsch P., Graham R. Decoherence by spontaneous emission in atomic-momentum transfer experiments // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, JY* 6. P. 5345-348.

70. Graham R., Miyazaki S. Dynamical localization of atomic de Broglie waves: The influence of spontaneous emission // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 53, JV« 4. P. 2683-2693.

71. Graham R., Schlautmann M., Zoller P. Dynamical localization of atomic-beam deflection by a modulated standing light wave // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. P. 19-22.

72. Gutzwiller M. C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer, 1990.

73. Haake F. Quantum signatures of Chaos. Berlin: Springer, 1991.

74. Harrison R. G. Dynamical instabilities and chaos in lasers // Contemp. Phys. 1988. Vol. 29. № 4. P. 341-371.

75. Hensinger W. K., Haffner H., Browaeys A., Heckenberg N. R., Helmerson K., McKenzie C., Milburn G. J., Phillips W. D., Rolston S. L., Rubinsztein-Dunlop H., Upcroft B. Dynamical tunnelling of ultracold atoms // Nature. 2001. Vol. 412. P. 52-55.

76. Hensinger W. K., Heckenberg N. R., Milburn G. J., Rubinsztein-Dunlop H. Experimental tests of quantum nonlinear dynamics in atom optics //J. Opt. B: Quantum Semiclass. 2003. Opt. 5. P. R83-R120.

77. Hensinger W. К., TYuscott A. G., Upcroft В., Heckenberg N. R., Rubinsztein-Dunlop H. Atoms in em amplitude-modulated standing wave — dynamics and pathways to quantum chaos // J. Opt. B: Quantum Semiclass. 2000. Opt. 2. P. 659-667.

78. Ioussoupov V. I., Kon'kov L. E., Prants S. V. Structural Hamiltonian chaos in the coherent parametric atom-field interaction // Physica D. 2001. Vol. 155, tf* 3/4. P. 311-322.

79. Isichenko M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol. 64. Л* 4. P. 961-1043.

80. Jaynes E. Т., Cummings F. W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser // Proc. IEEE. 1963. Vol. 5. P. 89-109.

81. Klimes L. Lyapunov exponents for 2-D ray tracing without interfaces // Comm. Nonl. Science. 2003. Vol. 8. № 3-4. P. 401-413.

82. Latka M., West B. W. Nature of Quantum Localization in Atomic and Momentum Transfer Experiments // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 23. P. 4202-4205.

83. Lopes-Castillo A., de Oliveira C. R. Classical electronic autoionization under molecular oscillations // Chaos, Solitons к Fractals. 2004. Vol. 20. P. 937-946.

84. Lorenz E. N. Deterministic non-periodic flow //J. Atmos. Sci. 1963. Vol. 20. № 20. P. 130148.

85. Mitchell K. A., Handley J. P., Tighe В., Delos J. В., Knudson S. K. Geometry and topology of escape. I. Epistrophes // Chaos. 2003. Vol. 13. P. 88 902.

86. Moore F. L., Robinson J. C., Bharucha C., Williams P. E., Raizen M. G. Observation of dynamical localization in atomic momentum transfer: a new testing ground for quantum chaos. // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 2974-2977.

87. Neishtadt A. and Vasiliev A. Phase change between separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems // Nonlinearity. 2005. Vol. 18. № 3. P. 1393-1406.

88. Okabe Т., Yamada H. Dynamical instability of one-dimensional Morse system // Mod. Phys. Lett. 1999. Vol. 13. Л* 9-10. P. 303-315.

89. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

90. Ott E., Grebogi С., and Yorke J. A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. № 11. P. 1196-1199.

91. Ottino J. M. The kinematics of mixing. Cambridge: Cambridge University Press, 1989. -364 p.

92. Peres A. Stability of quantum motion in chaotic and regular systems // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 30. P. 1610-1615.

93. Physics Fluids. A. 1991. Vol. 3. № 5. Part 2.

94. Prants S. V. Вестник ДВО. 2003. № 2. С. 30-46.

95. Prants S. V., Kon'kov L. E. Dynamical chaos in the interaction of moving atoms with a cavity field // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 225. № 1. P. 33-38.

96. Prants S. V., Kon'kov L. E. Homoclinic chaos in vacuum Rabi oscillations of moving two-level atoms // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61, JT« 4. P. 3632-3640.

97. Prants S. V., Kon'kov L. E., Kirilyuk I. L. Semiclassical interaction of two-level moving atoms with a cavity field: from integrability to Hamiltonian chaos // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60, № 3. P. 335-346.

98. Prants S. V., Sirotkin V. Yu. Effects of the Rabi oscillations on the atomic motion in a standing-wave cavity // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64. № 3.

99. Qasmi H., Barre J., and Dauxois T. Links between nonlinear dynamics and statistical mechanics in a simple one-dimensional model. Электронный ресурс] // E-print archive. 2004. cond-mat/0407662. (http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0407662).

100. Rahav S., Gilary I. and Fishman S. Effective Hamiltonians for periodically-driven systems // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 68. № 1. P. 013820.

101. Raimond J. M., Brune M., Haroche S. Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 565-582.

102. Raimond J. M., Haroche S. // Confined Electrons and Photons ed. by Burstein E. and Weisbuch C. New York: Plenum Press, 1995.

103. Robinson J. С., Bharucha С., Moore F. L., Jahnke R., Georgakis G. A., Niu Q., Raizen M. G., Bala Sundaram. Study of Quantum Dynamics in the TYansition from Classical Stability to Chaos // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, 20. P. 3963-3966.

104. Schanz H., Dittrich Т., and Ketzmerick R. Directed chaotic transportin Hamilto-nian ratchets. Электронный ресурс] // E-print archive. 2004. nlin.CD/0408021. -(http://xxx.lanl.gov/abs/nlin/0408021).

105. Schutz G. M., TVimper S. Elephants can always remember: exact long-range memory effects in a non-Markovian random walk // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. № 4. P. 045101.

106. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic orbits // Differential and Combinatorial Topology. Princeton: Princeton University Press, 1965. P. 63-70.

107. Smirnov I. P., Virovlyansky A. L., Zaslavsky G. M. Sensitivity of ray travel times // Chaos. 2002. Vol. 12, № 3, P. 617-635.

108. Smirnov I. P., Virovlyansky A. L., and Zaslavsky G. M. Wave chaos and mode-medium resonances at long-range propagation in the ocean // Chaos. 2004. Vol. 14. P. 317-332.

109. Tappert F. D., Tang Xin. Ray chaos and eigenrays // J. Acoust. Soc. Am. 1996. Vol. 99. P. 185-195.

110. Virovlyansky A. L. Ray travel times at long ranges in acoustic waveguides //J. Acoust. Soc. Am. 2003. Vol. 113. № 5. P. 2523-2532.

111. J116. Virovlyansky A. L. and Zaslavsky G. M. Wave chaos in terms of normal modes // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 59. P. 1656-1668.

112. Vittot M., Chandre C., Giraolo G. and Lima R. Localized control of non-resonant Hamil-tonian system // Nonlinearity. 2005. Vol. 18. JV® 1. P. 423-440.

113. Vogel W., Welsch D.-G., Wallentowitz S. Quantum Optics: An Introduction. Berlin: Wiley-VCH, 2001.

114. Wilkinson P. В., Fromhold Т. M., Taylor R. P. and Micolich A. P. Effects of geometrical ray chaos on the electromagnetic eigenmodes of a gradient index optical cavity // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 026203. P. 1-7.

115. Wolfson M. A., Tomsovic S. On the stability of long-range sound propagation through a structured ocean // J. Acoust. Soc. Am. 2001. Vol. 109. P. 2693-2703.

116. Yuster Т., Hackborn W. W. On invariant manifolds attached to oscillating boundaries in Stokes flows // Chaos. 1997. Vol. 7. № 4. P. 769-776.

117. Zaslavsky G. M. Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. Oxford: Academic Press, 1998.

118. Zaslavsky G. M. Dynamical traps // Physica D. 2002. Vol. 168-169. P. 292-304.

119. Zaslavsky G. M., Edelman M., and Niyazov B. A. Self-similarity, renormalization, and phase space nonuniformity of Hamiltonian chaotic dynamics // Chaos. 1997. Vol. 7. Л* 1. P. 159-181.

120. Zurek W. H. Decoherence, einselection, and quantum origins of the classical // Reviews of Modern Physics. 2003. Vol. 75. P. 715-775.