К исследованию маятниковых уравнений, близких к нелинейным интегрируемым тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Королев, Сергей Алексеевич

• Королев, Сергей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Королев, Сергей Алексеевич

Содержание

Введение

1 Вспомогательные преобразования

1.1 Системы с одной степенью свободы

1.1.1 Переменные действие - угол

1.1.2 Решения уравнения математического маятника

1.2 Исследование автоколебательных маятниковых уравнений

1.2.1 Стандартная форма порождающего уравнения для маятниковых уравнений

1.2.2 Проблема предельных циклов

1.3 Вспомогательные преобразования для систем с 3/2 степенями свободы

1.3.1 Невырожденные резонансы

1.3.2 Вырожденные резонансы

1.4 Вспомогательные преобразования для систем с двумя степенями свободы

1.4.1 Частично усредненная система

1.4.2 Полностью усредненная система

2 Исследование маятниковых уравнений с 3/2 степенями свободы

2.1 Невырожденные резонансы

2.1.1 Резонансы. Усредненная система

2.1.2 Предельные циклы автономного уравнения

2.1.3 Поведение решений в окрестности невозмущенной сепаратрисы

2.1.4 Численное исследование отображения Пуанкаре

2.1.5 Связь с уравнениями с двумя степенями свободы

2.2 Вырожденные резонансы

2.2.1 Существование вырожденных уровней

2.2.2 Усредненная система

2.2.3 Анализ отображения Пуанкаре вблизи вырожденных ре-зонансов

3 Исследование маятниковых уравнений с двумя степенями свободы

3.1 Система двух слабосвязанных маятников

3.2 Исследование в колебательных областях

3.2.1 Вычисление усредненной системы

3.2.2 Исследование усредненной системы

3.2.3 Полностью усредненная система

3.2.4 Численное исследование

3.3 Исследование во вращательных областях

3.3.1 Вычисление усредненной системы

3.3.2 Исследование усредненной системы

3.3.3 Полностью усредненная система

3.3.4 Численное исследование

3.4 Исследование в колебательно-вращательном случае

3.4.1 Вычисление усредненной системы

3.4.2 Исследование усредненной системы

3.4.3 Полностью усредненная система

3.4.4 Численное исследование

Заключение

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К исследованию маятниковых уравнений, близких к нелинейным интегрируемым»

Введение

Данная работа относится к области качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, малыми возмущениями отличающихся от консервативных нелинейных интегрируемых уравнений. Основными методами исследования подобных систем являются: метод малого параметра, разработанный А. Пуанкаре [73], метод определения устойчивости, разработанный A.M. Ляпуновым [57], методы усреднения, развитые в работах Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [55, 61, 16], методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем [11, 8, 77, 78].

Исследования в этой области восходят к исследованиям А. Пуанкаре, который пытался построить в рамках консервативной модели теорию нелинейных возмущений планетных движений и разработал метод малого параметра. Однако консервативные модели, как правило, неадекватно описывают исходный процесс или явление. Так, в небесной механике трудно объяснить эволюцию солнечной планетной системы без учета неконсервативных сил (солнечный ветер, приливные явления, сопротивление среды).

До настоящего времени в нелинейной динамике (теории колебаний) наиболее популярны и разработаны методы исследования квазилинейных систем. Разработке и обоснованию этих методов и приложению их к решению конкретных задач посвящена обширная литература. Укажем только основополагающие работы. Это фундаментальные работы по разработке асимптотических методов исследования нелинейных систем Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [55, 16, 61], работы Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, A.A. Андронова, A.A. Витта [5, 6, 59, 71], работы Б.В. Булгакова [18, 19]. В основе этих методов лежит гипотеза о наличии порождающего решения, за которое берется решение невозмущенной системы.

Отметим, что существуют и другие методы малого параметра, определения периодических режимов, которые не предполагают наличия порождающего решения, а исходят из так называемой гипотезы фильтра [1], которая опи-

рается на наличие у любой реальной системы конечной полосы пропускания частот. В работе [20] рассматривается метод медленно меняющихся коэффициентов для квазилинейных систем, связанный с проблемой усреднения. Начало применения этого метода к задачам теории нелинейных колебаний принадлежит Б. Ван дер Полю [21]. Дальнейшее его развитие и обоснование связано с именами Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, A.A. Андронова, Б.В. Булгакова и их учеников и последователей. Данный метод применяется в [20] к квазилинейным динамическим системам с одной и двумя степенями свободы.

Нелинейные же системы (в том числе неконсервативные, близкие к нелинейным консервативным) освещены в литературе лишь частично. Значительная часть работ по исследованию существенно нелинейных систем посвящена вопросам существования и устойчивости периодических решений, инвариантных торов, наличию нерегулярной динамики и другим вопросам. Меньшая часть работ связана с исследованием глобального поведения решений и опирается в основном на численный анализ исходных систем.

Важную роль в исследовании некоторых классов динамических систем (например, квазигамильтоновых многочастотных систем) играют резонансы, возникающие при соизмеримости собственных частот системы. Исследования резонансных явлений берут свое начало от классических работ А. Пуанкаре [73]. Отметим здесь работы В.М. Волосова и Б.И. Моргунова [23, 22], которые предложили методику нахождения стационарных резонансных режимов, а также определения их устойчивости. Дж. Гукенхеймер и Ф. Холмс [28] рассматривали вопрос о нерегулярной динамике и бифуркациях в нелинейных системах. Тот же круг вопросов, включая исследование резонансов, рассматривал в своих работах S. Wiggins [94, 95]. Отметим также работы Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова [27, 26, 25], Страбла [92]. Наиболее полное описание теории нелинейного резонанса для двухчастотных систем с 3/2 степенями свободы представлено в монографиях А.Д. Морозова [70, 64, 69].

Исторически резонансы в нелинейных динамических системах изучались в первую очередь в гамильтоновых системах, которые возникали в задачах небесной механики. Исследованием таких систем начал заниматься А. Пуанкаре [73]. В XX веке усилиями А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, Ю. Мозера была развита теория малых возмущений в классе гамильтоновых систем, которая получила впоследствии название КАМ-теории [37, 7, 9, 62]. Вопросы интегрируемости и неинтегрируемости гамильтоновых систем, в том числе из-за наличия резонан-

сов, изучались в работах В.В. Козлова [35, 36].

В теории нелинейных колебаний можно выделить основные (эталонные) уравнения и системы, играющие фундаментальную роль. Их анализ крайне важен для построения общей теории. К ним относятся маятниковые уравнения, уравнения типа Дюффинга, системы лоренцевского типа. Особый интерес, с точки зрения теории нелинейного резонанса, представляют маятниковые уравнения, так как при исследовании резонанса в любой системе задача сводится к исследованию системы маятникового типа (см. п. 1.3.1, 1.4.1).

Несмотря на большую историю в исследовании маятниковых уравнений, мы еще далеки от полного понимания глобального поведения их решений. Основные проблемы в исследовании маятниковых уравнений связаны с резонансами и возможностью существования гомоклинических структур Пуанкаре.

Простейшим маятниковым уравнением является уравнение колебаний математического маятника:

х + этх = 0. (1)

К этому уравнению, а также его возмущениям приводят многие задачи гамиль-тоновой механики. Некоторые из них рассмотрены в работе В.В. Козлова [36]: плоские колебания спутника на эллиптической орбите, одномерное движение заряженной частицы в поле волнового пакета, ограниченная задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, ограниченная задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости.

К исследованию маятниковых уравнений приводят задачи фазовой синхронизации, которые интенсивно исследовались в 70-х годах XX века в работах В.Н. Белых и Л.Н. Белюстиной [14, 15, 13, 74].

Во многих работах рассматриваются лишь малые углы отклонения маятника от положения равновесия (см., например, [92]), в связи с чем синус приближенно заменяется своим аргументом, а уравнение (1) - простым линейным уравнением х + х = 0. В некоторых работах синус заменяется своим разложением до третьего порядка (например, [80]), и тогда уравнение (1) заменяется уравнением Дюффинга. Однако, если рассматривать немалые колебания маятника или его вращения, то необходимо обратиться к исходному уравнению (1).

Фазовым пространством данного уравнения является цилиндр. Две петли сепаратрис разбивают этот цилиндр на область колебательных движений маятника, в которой фазовые кривые замкнуты и не охватывают фазовый цилиндр, и две области вращательных движений маятника, в которых каждая траекто-

рия замкнута и охватывает цилиндр. Как в области колебательных движений, так и в областях вращательных движений, решения уравнения (1) выражаются через эллиптические функции. Период колебаний и вращений математического маятника зависит от начальных условий (неизохронность). В связи с этим дадим понятие систем с монотонным и немонотонным вращением.

Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы

. дн(х,у)

х —----

ду ' Í2) . = дН(х,у) {)

дх

Предположим, что эта система имеет ячейку D, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми. Фазовые кривые системы в указанной ячейке D определяет «интеграл энергии» Н(х,у) = h, h € (h~,h+). Для каждой замкнутой фазовой кривой определена частота и движения фазовой точки по ней. Таким образом, мы имеем функцию uú{h), h G (h~,h+), которая может быть постоянной (в случае линейной системы), монотонной и немонотонной функцией. В случае монотонной функции u(h) будем говорить, что система (2) - это система с монотонным вращением. Если u{h) немонотонна, будем говорить о системе с немонотонным вращением. Как известно, для уравнения математического маятника частота движения по замкнутым фазовым кривым как в колебательной, так и во вращательных областях является монотонной функцией, следовательно, математический маятник представляет собой систему с монотонным вращением.

В случае нелинейности более сложного вида можно получить систему с немонотонным вращением. В диссертации рассматривается следующее уравнение:

п

х + ^^pk sin кх = 0 (3)

к=1

и устанавливается, что при соответствующих значениях параметров pk частота tü(h) движения по замкнутым фазовым кривым колебательной области является немонотонной функцией, а следовательно, уравнение (3) представляет собой уравнение с немонотонным вращением.

Определение 1. Уровень (замкнутую фазовую кривую системы (2)) Н(х, у) = ho будем называть вырожденным, если выполняются соотношения:

u'{h0) = <J'(ho) = .. ■ = uj^iho) = 0, Cü^(ho) ^0, j> 1,

при этом будем говорить, что порядок вырождения равен ^.

Если ш'(Но) 0, то уровень Н(х, у) = Нц будем называть невырожденным.

Если говорить о неконсервативных автономных системах, то наиболее продвинуто [69] исследование автономных уравнений с одной степенью свободы вида

где є — малый параметр, а — параметр, п Є N. Основная проблема в исследовании таких уравнений - получение оценки максимально возможного числа предельных циклов в зависимости от п. Эта проблема является частным случаем «ослабленной 16 проблемы Гильберта» [8].

Теорема (А.Д. Морозов [69]). Существует такое достаточно малое £*(п) > 0, что при любых |є| Є (0,є*) у уравнения (4) при а — 0 :

в области колебательных движений имеется точно п — 1 грубых предельных циклов, в области вращательных движений предельные циклы отсутствуют.

Если же параметр а ф- 0, то может существовать [69] еще один предельный цикл в колебательной или вращательной области (в зависимости от значения параметра а). Таким образом, можно получить любое количество автоколебательных режимов, задавая соответствующее натуральное п. Уравнение (4) возникает в прикладных задачах, например, в задаче об индуцированных воздушным потоком колебаниях тел прямоугольной формы, подвешенных на тросах [87], а также в теории нелинейного резонанса при описании топологии резонансных зон.

При переходе к неавтономному возмущению системы (2) возникает понятие резонанса. Рассмотрим следующую систему с 3/2 степенями свободы, близкую к гамильтоновой:

где функции д(х,у,и^, /(ж, у, ¿4) — непрерывные и периодические по иЬ с периодом 2-7Г, V — параметр (частота возмущения), г — малый параметр.

х + БІпа; = є (а + со бпх)х.

(4)

х + віпа; = єхсобпх, п Є М,

Определение 2. Будем говорить, что в системе (5) имеет место резонанс, если для некоторого уровня (замкнутой фазовой кривой невозмущенной системы) Н(х,у) — крч выполняется условие соизмеримости собственной частоты и частоты возмущения:

гдер ид— взаимно простые натуральные числа. Уровень Н(х,у) = Кщ будем называть при этом резонансным уровнем.

Если резонансный уровень является также вырожденным уровнем согласно определению 1, то будем говорить о вырожденном резонансном уровне (или о вырожденном резонансе) в системе (5). Если резонансный уровень является невырожденным уровнем, то будем говорить о невырожденном резонансе.

Наиболее полное описание теории нелинейного резонанса для систем с 3/2 степенями свободы вида (5) представлено в работах А.Д. Морозова [70, 64, 69]. Резонансы и хаос в консервативных системах с 3/2 степенями свободы изучались в работах Г.М. Заславского, Б.В. Чирикова [76, 33, 34] (перекрытие резо-нансов, стохастическая паутина, «перемешивание» траекторий). В диссертации основное внимание уделяется невырожденным резонансам в неконсервативных системах с 3/2 степенями свободы вида (5), а также в неконсервативных системах с двумя степенями свободы.

В связи с исследованием уравнения (4) возникает задача о воздействии на него периодического по времени возмущения (получаем систему вида (5) с 3/2 степенями свободы). До сих пор был детально рассмотрен [69] лишь случай п = 1 (автономное уравнение имеет один предельный цикл). В диссертации рассматривается случай, когда автономное уравнение имеет пять предельных циклов в колебательной области, исследуются невырожденные резонансы, го-моклиническая структура Пуанкаре, перестройки фазовых портретов отображения Пуакаре.

Вырожденные резонансы в системах с 3/2 степенями свободы и отображениях рассматривались в работах А.Д. Морозова, Дж. Ховарда [85, 88, 65, 89, 84], однако до настоящего времени не было работ, в которых приводились бы примеры маятниковых систем с доказанным существованием вырожденных уровней определенного порядка вырождения. В диссертации приводится пример такой системы (система (3)), доказывается существование вырожденных уровней, а также рассматриваются вырожденные резонансы для случая гамильтоновых

возмущений системы (3). Вырожденные резонансы в случае негамильтоновых возмущений в системах вида (5) рассматривались в работах [90, 69].

Несмотря на то что теория нелинейного резонанса хорошо развита для систем с 3/2 степенями свободы, исследованию нелинейных систем с двумя и более степенями свободы посвящено малое число работ. В то же время, имеется много работ, в которых рассматриваются квазилинейные системы с двумя степенями свободы (см., например, [2, 20]), однако квазилинейные системы не всегда адекватно описывают исходный процесс или явление в прикладных задачах. В частности, если колебания маятника не являются малыми, то рассмотрение квазилинейной системы недостаточно, и необходимо рассматривать систему, близкую к нелинейной. Также немало работ по численному исследованию систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным гамильтоновым, например пионерская работа Хенона и Хейлеса [82] по численному изучению стохастичности для двух связанных осцилляторов.

Рассмотрим систему двух слабосвязанных нелинейных осцилляторов:

х +fi(x) =egi(x,y,x,y), У + ¡2{у) =ед2{х,у,х,у),

где все функции предполагаются достаточно гладкими, а функции /ь /г — нелинейными, г — малый неотрицательный параметр.

К системам вида (6) приводят многие прикладные задачи. Причем в большинстве работ рассматриваются квазилинейные системы. Например, исследование лампового генератора с дополнительным колебательным контуром. Данная система является наиболее известным примером автоколебательной системы с двумя степенями свободы. Исследование такого генератора было проведено впервые Б. Ван дер Полем [93]. A.A. Андронов и A.A. Витт в работе [2] рассматривали в общем виде квазилинейные системы двух слабосвязанных осцилляторов и дали, опираясь на результаты А. Пуанкаре [73] и A.M. Ляпунова [57], математическую теорию периодических режимов в автономной автоколебательной системе с двумя степенями свободы, близкой к линейной консервативной системе. В качестве физического приложения в [2] рассмотрена система из двух индуктивно связанных контуров, из которых один возбужден катодной лампой, и дана строгая математическая теория «затягивания» частоты. Явление затягивания заключается в том, что из двух нормальных частот, с которыми способна колебаться соответствующая близкая линейная система, нелинейная система «выбирает» только одну, причем этот выбор в некоторых случаях за-

висит не только от состояния системы в данный момент, но и от ее истории. Исследование генератора с дополнительным контуром было продолжено в работах К.Ф. Теодорчика [75], И.Г. Малкина [58] и др. Другим, более сложным примером автоколебательной системы с двумя степенями свободы является система двух связанных генераторов. При определенных соотношениях между частотами этих генераторов в такой системе наблюдается явление взаимной синхронизации, играющее большую роль в физике и технике. Данная задача рассматривается в монографии П.С. Ланды [56, с. 134].

Предположим, что в системе (6) несвязанные осцилляторы (є = 0) имеют ячейки заполненные замкнутыми фазовыми кривыми. Аналогично случаю системы (2) определим функции о;і(/гі), и2(к2) — частоты движения по замкнутым фазовым кривым первого и второго несвязанных осцилляторов соответственно, где /її, /г2 — значения интегралов энергии:

х1 Г у2 Г

Ні(х, х) = — + / /і(х) <іх = Ь.і, Н2{у, у) = — + / /2(у) <1у = /12.

Определение 3. Будем говорить, что в системе (6) имеет место резонанс, если для некоторых уровней Ні(х,х) = Ьіря, Н2(у,у) = /і2Р9 выполнено условие соизмеримости собственных частот первого и второго осцилляторов:

ри і{Кіт) = да;2(/і2Рд), (7)

где р, д — взаимно простые натуральные числа. Уровни Ні(х,х) = Ніря, Н2(у, у) — ^2щ будем называть при этом резонансными.

Если выполняется условие

К(/Нр9))2 + К(/г2рд))2^0, (8)

то уровни Н\(х,х) = Н2{у,у) = Ь2рч будем называть невырожденными и, соответственно, резонанс невырожденным.

Общий подход к исследованию резонансов в системах вида (6) представлен в монографии А.Д. Морозова [69]. Если говорить о консервативных маятниковых системах вида (6), то следут отметить работы по исследованию резонансов в системе Фрёшле (РгоевсЫе) [81, 83].

В.Н. Белых и Е.В. Панкратова исследовали [80] систему, которая описывает динамику маятников (часов) на общей опоре (задача Гюйгенса). При этом нелинейность в виде синуса аппроксимировалась кубическим многочленом, что

привело к уравнениям типа Дюффинга. Исследованию систем двух связанных нелинейных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля в резонансных зонах посвящены работы P.E. Кондрашова [91, 39, 40]. Хаотизация колебаний двух связанных математических маятников исследуется в работе В.В. Козлова и Н.В. Денисовой [29].

Хотя имеется [69] общий подход к нахождению трехмерных усредненных систем для исследования поведения решений систем вида (6) в резонансных зонах, до. настоящего времени не было примеров нелинейных маятниковых систем с двумя степенями свободы, для которых были бы найдены указанные трехмерные усредненные системы и проведено их исследование. В диссертации приводится пример четырехпараметрического семейства маятниковых систем, вычисляются и исследуются аналитически и численно трехмерные усредненные системы, описывающие поведение решений в резонансных зонах, расположенных как в колебательных, так и во вращательных областях.

Перейдем к краткому содержанию диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Глава 1 носит технический характер и содержит вспомогательные преобразования для систем с одной, полутора и двумя степенями свободы общего вида. В § 1.1 описывается переход к переменным действие - угол, а также приводятся необходимые сведения для уравнения математического маятника. В § 1.2 приводятся известные результаты для автоколебательных маятниковых уравнений. В резонансных случаях в §§ 1.3, 1.4 приводятся двумерные и трехмерные усредненные системы, которые получаются в результате перехода к переменным действие - угол и дальнейших замен.

Глава 2 посвящена исследованию маятниковых уравнений с 3/2 степенями свободы, глава 3 - исследованию маятниковых уравнений с двумя степенями свободы.

Первая часть главы 2 (§ 2.1) посвящена исследованию невырожденных резонансов в системах с 3/2 степенями свободы. Рассматриваются периодические по времени возмущения автоколебательного маятникового уравнения (4):

где а, Ь, с, у — параметры, е — малый параметр, п € N. К этому уравнению приводит анализ следующей системы с двумя степенями свободы:

х + sin х = е[(а + b cos пх)х + су cos ut]

(9)

X + sin 2 = e[(a + bcösnx)x + Oty], у + sin?/ = 0,

где а — параметр. Подставим в первое уравнение системы вместо у производную у(Ь) от периодического решения второго уравнения. Как известно, это периодическое решение выражается через эллиптические функции. Поэтому у(Ь) можно представить в виде известного ряда Фурье. Оставляя в этом ряду главную гармонику, придем к уравнению (9) с 3/2 степенями свободы.

Рассмотрение уравнения (9) представляет интерес, с одной стороны, для решения проблемы о воздействии периодического по времени возмущения на систему с любым наперед заданным числом предельных циклов, обобщающую известную задачу о «захватывании в уравнении Ван дер Поля» [3], ас другой стороны, для решения задачи о взаимодействии двух связанных маятников. Эти проблемы связаны с исследованием резонансов и, в частности, с проблемой синхронизации колебаний, которой в последние годы уделяется большое внимание (например, в связи с исследованием нейронных сетей [17]).

При с = 0 в уравнении (9) может существовать п предельных циклов, причем существует точно тъ — 1 предельных циклов в колебательной области [67, 69]. Выводятся усредненные системы, описывающие поведение решений исходного уравнения в резонансных зонах; устанавливается условие существования гомо-клинической структуры Пуанкаре (опираясь на работу В.К. Мельникова [60]). Приводятся результаты численного счета в случае, когда у автономного уравнения существует 5 предельных циклов в колебательной области. При изменении частоты возмущения исследуются перестройки фазовых портретов отображения Пуанкаре, связанные с прохождением замкнутых инвариантных кривых через основной резонанс.

В результате исследованы новые свойства уравнения (9). Во-первых, иерархия бифуркаций и различных режимов, связанных с наличием предельных циклов у автономного уравнения. До сих пор был рассмотрен детально лишь случай, когда у автономного уравнения существует один предельный цикл [69]. Исключение составляет рассмотренная в [67] задача о существовании квазиаттракторов в маятниковом уравнении вида (9) при п — 3. Для получения в резонансной зоне двух замкнутых инвариантных кривых мы положили п — 5.

Во-вторых, исследована возможность существования устойчивых режимов биений в резонансной зоне основного резонанса при фиксированной величине параметра е. Согласно теории, когда параметр в является малым, такие режимы не могут существовать.

В-третьих, рассмотрен случай, когда неавтономный член в возмущении представим рядом Фурье, в котором определяющую роль играет основная гармони-

ка, что типично для систем с двумя степенями свободы.

В-четвертых, установлено существование гомоклинической структуры Пуанкаре и связанного с ней квазиаттрактора.

Вторая часть главы 2 (§ 2.2) посвящена исследованию вырожденных резонансов в системах с 3/2 степенями свободы. Рассматривается маятниковое уравнение с нелинейностью в виде тригонометрического полинома степени п :

п

х + '^^рьБткх = еэтгД, (11)

к=1

где р/с — параметры, р\ ф О, V — параметр (частота возмущения), £ — малый неотрицательный параметр. Это уравнение эквивалентно гамильтоновой системе с функцией Гамильтона Н(х,у) + £Н\(х, (/?), где у = х, (р =

2 п

Н(х, у) = —— У ^ соэ/сх, Н\{х, ср) = —ж энк/?.

2 ^—' А; к=1

Предположим, что невозмущенное уравнение (£ = 0) имеет два состояния равновесия на периоде: в начале координат состояние равновесия типа центр, а в точке (7Г, 0) = (—7г, 0) — состояние равновесия типа седло. Две петли сепаратрис на фазовом цилиндре отделяют область колебательных движений от областей вращательных движений. Для любой замкнутой фазовой кривой колебательной или вращательных областей определен период Т{Н) движения фазовой точки по ней, зависящий от значения /г интеграла энергии Н(х, у) = к.

Используя определение 1, можно свести задачу о нахождении вырожденных уровней в невозмущенном уравнении к задаче о нахождении критических точек функции Т{К) определенного порядка. Легко установить, что в областях вращательных движений функция Т{К) строго монотонна, откуда следует отсутствие вырожденных уровней в этих областях. Непосредственное нахождение функции Т(К) в области колебательных движений приводит к интегралу:

1

Т(к) = 2у/2 ( -, (12)

г0{Ь)

где Р — многочлен степени п, —1 < го(к) < 1, Ь, + Р(хъ(Ь)) = 0. При п ^ 3 данный интеграл является гиперэллиптическим и имеет две особенности: в точках х — 2о(Н) и г = 1 (подынтегральная функция стремится к +оо). Непосредственное нахождение производных интеграла (12) как интеграла, зависящего

от параметра h, приводит к гиперэллиптическим интегралам более сложного вида. Поэтому для исследования поведения функции периода в колебательной области были применены методы качественной теории динамических систем на плоскости [4]. А именно, было установлено, что появление максимумов у функции периода связано с возникновением сложных состояний равновесия у невозмущенного уравнения. С использованием этих соображений была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для 2 ^ п ^ 4 максимальный возможный порядок вырождения уровней в невозмущенном уравнении равен п.

Далее были исследованы вырожденные резонансы с максимальным порядком вырождения в возмущенной системе. Несмотря на то что аналитическое решение невозмущенного уравнения неизвестно (проблема обращения гиперэллиптических интегралов), удалось получить структурный вид усредненных систем. Путем исследования деформаций этих систем были получены возможные топологические структуры резонансных зон в зависимости от параметров деформации. Далее был проведен численный анализ отображения Пуанкаре вблизи вырожденных резонансных уровней.

Глава 3 посвящена исследованию невырожденных резонансов в системах с двумя степенями свободы. Рассматривается система двух слабосвязанных маятниковых уравнений:

х + sin rc = е[(а + cosx)x + ay], ^^

у sin у = e[(b + cos у)у + fix],

где £ — малый параметр (е ^ 0), a, b, а, Р — параметры.

К подобным системам приводят различные прикладные задачи, например, в механике. В работе Н.В. Бутенина, Ю.И. Неймарка, H.JI. Фуфаева [20, с. 150] рассмотрена задача об автоколебаниях двух связанных маятников (маятники соединены пружиной), причем полученная динамическая система квазилинейна, поскольку рассматриваются лишь малые колебания обоих маятников. При исследовании этой системы, в частности, было рассмотрено явление затягивания по частоте. Другая задача, рассмотренная в [20, с. 164], - это задача о колебаниях плоского гироскопического маятника (система с гироскопическими силами) в предположении, что на кожух гироскопа действует специальный момент, создаваемый с помощью асинхронного мотора. Полученная динамическая система также квазилинейна.

Квазилинейные системы возникают из (13) при малых х. у, что не позволяет говорить о поведении решений в колебательной области при х, у Е (—тг,тг), а также во вращательных областях. В главе 3 рассматривается задача о структуре резонансных зон системы (13) в областях колебательных и вращательных движений невозмущенных маятников. Для маятниковой системы (13) получены трехмерные усредненные системы, описывающая поведение решений в различных резонансных зонах. Проведено аналитическое и численное исследование этих систем.

Пусть мы имеем резонанс в системе (13) согласно определению 3 (в данной системе все резонансы являются невырожденными). Выделим три случая:

1) оба уровня ¡1\ — /¿1 ря, К2 = к2рч лежат в колебательных областях невозмущенных маятников (условно назовем эту ситуацию колебательным случаем);

2) оба уровня = Ь,\щ, к2 — Н2рд лежат во вращательных областях невозмущенных маятников (вращательный случай);

3) один из уровней = /12 = Н2рч лежит в колебательной области, а другой во вращательной (колебательно-вращательный случай).

Рассмотрим следующую окрестность невырожденного резонансного уровня (индивидуальную резонансную зону):

Щг = {(^1, Ь2)\Нт - ¡ЛСг <Нг< К1П + ДСг, ¿ = 1,2} (14)

где ¡л = у/е, С\, с2 — положительные постоянные. Общий вид частично усредненной системы, определяющей поведение решений в индивидуальной невырожденной резонансной зоне, для системы двух слабосвязанных нелинейных осцилляторов (6) получен в [69]:

и[ =Аг(у\ 1хт, 12рд) + ц[Рп(у: 1ЬрЯ) 12рч)и1 + Рп(у; 11рС1,12рд)и2], и'2 =А2(у; Ьрд, 12ря) + Ьр(1)щ + Р22(у. 12рд)и2]> (15)

у' =ЬюЧ1 + Ь2ои2 + ф\\и\ + 621^2 + Яо(У] 1\РЧ) 12рд)}:

где штрих означает производную по «медленному» времени т = уЛ, а функции Аг, Ргз, (¿о представляются в виде некоторых определенных интегралов и являются периодическими по у с наименьшим периодом 2тт/р (имеем систему на полнотории).

С помощью вспомогательных лемм, устанавливающих различные новые соотношения для эллиптических функций, в каждом из трех указанных случаев была доказана соответствующая основная теорема, устанавливающая конкретный вид усредненной системы (15). Функции, определяющие правые части усредненных систем, получены в виде рядов Фурье, коэффициенты которых экспоненциально убывают с ростом номера гармоники. Учитывая в этих рядах только первую (основную) гармонику, приходим в каждом из трех случаев к (укороченной) усредненной системе.

Теорема 2. Усредненная система для случая колебательных областей при нечетных р и q имеет вид:

( v' =W + м(е20^2 + enUW + е02^2), =азо + («<¿31 + pd32) COSpv+

(16)

+ /i[(mi + (ann + /Зтт-12) cospv)u + (a22 + ащ cospv)w], k и' =аю + асю cos pv + д[(ац + ащ cospv)u + ащ cospv w],

где все коэффициенты вычисляются по определенным формулам, причем коэффициенты азо, 77ii, CI221 &io, аи линейно зависят от параметров a, b исходной системы (13). Еслир или q четно, то правые части усредненной системы не зависят от переменной v, и система не имеет состояний равновесия.

Теорема 3. Усредненная система для случая вращательных областей имеет вид:

v' =w + /¿[его и2 + euuw + e02w;2], w' =m0о + am0i + ¡Зтщ2 + (cm0i + Рщ2) cospv+

+ м[(тю + остпц + /Зтпп + (ann + /^12) cospv)u+ + (a22 + am2i + an2i cospi>)u;], и' =аю + a(dio + сю соspv)+

+ /4(ап + атз1 + аггз! соspv)u + (am^i + ащх cospv)w],

где все коэффициенты вычисляются по определенным формулам, причем коэффициенты тоо, тпю, а22, ап линейно зависят от параметров а, Ъ исходной системы (13).

Теорема 4. Усредненная система для колебательно-вращательного случая при нечетном р формально имеет вид (16), однако коэффициенты вычисляются по иным формулам, нежели в случае колебательных областей. Коэффициенты азо, mi? Я22' аю> ап линейно зависят от параметров а, Ь исходной

системы (13). Если р четно, то правые части усредненной системы не зависят от переменной V, и система не имеет состояний равновесия.

Каждая из полученные усредненных систем исследуются аналитически. Система первого приближения (д = 0) консервативна, легко интегрируется и может иметь только неизолированные состояния равновесия. Поскольку исходная система (13) неконсервативна, далее рассматривается система второго приближения, в которой могут быть только изолированные состояния равновесия. В каждом из трех случаев были доказаны теоремы об условиях существования простых состояний равновесия в усредненных системах. Простому состоянию равновесия усредненной системы соответствует резонансное периодическое решение в исходной четырехмерной системе (13). Также была получена аналитически асимптотика характеристических корней состояний равновесия усредненных систем.

Для каждого из трех случаев была получена полностью усредненная система, описывающая динамику изменения переменных действия, что позволяет говорить о глобальном поведении решений вне окрестностей непроходимых и частично проходимых резонансов.

Также проведено численное исследование усредненных систем и численное исследование исходной четырехмерной системы (13).

В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В Приложении приведены исходные коды программ для математического пакета Мар1е, позволяющих вычислить для системы (13) с двумя степенями свободы из главы 3 коэффициенты усредненных систем (16), (17), (16) для колебательно-вращательного случая.

Всего по теме диссертации автором опубликовано 18 работ [30, 44, 31, 38, 86, 45, 54, 42, 43, 52, 50, 41, 53, 46, 47, 49, 51, 48], 3 из которых [31, 47, 49) опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с А.Д. Морозовым, Т.Н. Драгуновым автору принадлежат доказательства всех основных результатов, А.Д. Морозову принадлежат постановки задач, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой, Т.Н. Драгунову принадлежит программная реализация построения функции периода движения по замкнутым фазовым кривым.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуж-

дались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в Нижнем Новгороде (2006), Международной конференции И.Г. Петровского в Москве (2007), Международной конференции JI.C. Понтрягина в Москве (2008), Международной конференции, посвященной 70-летию В.А. Садовниче-го в Москве (2009), Международной конференции по математической теории управления и механике в Суздале (2009), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим система в Суздале (2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в Нижнем Новгороде (2011), IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка в Нижнем Новгороде (2012).

Также были сделаны доклады на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители: проф. А.Д. Морозов, проф. Л.М. Лерман).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Альберту Дмитриевичу Морозову за постановку задачи, руководство работой и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Королев, Сергей Алексеевич

Заключение

В диссертационной работе исследованы некоторые системы маятниковых уравнений с 3/2 и двумя степенями свободы, близкие к нелинейным консервативным интегрируемым. Исследование таких систем в резонансных случаях приводит к анализу двумерных и трехмерных усредненных систем.

Во-первых, исследовано воздействие периодического по времени возмущения на систему с любым наперед заданным числом предельных циклов. При этом невозмущенная система представляет собой систему с монотонным вращением. Получены двумерные усредненные системы, описывающие поведение решений исходной системы в невырожденных резонансных зонах. Также установлено условие существования гомоклинической структуры Пуанкаре.

Во-вторых, рассмотрена система с немонотонным вращением и ее периодическое по времени возмущение. Исследована зависимость периода движения по замкнутым фазовым кривым колебательной и вращательной областей от значения интеграла энергии. Доказана теорема о существовании вырожденных уровней максимального порядка вырождения. Получены двумерные усредненные системы, описывающие поведение решений исходной системы в окрестностях вырожденных резонансных уровней, рассмотрены деформации этих систем.

В-третьих, рассмотрено четырехпараметрическое семейство систем двух слабосвязанных маятниковых уравнений. Получены трехмерные усредненные системы для трех случаев: колебательного, вращательного и колебательно-вращательного. Найдены условия на параметры, при выполнении которых существуют состояния равновесия в усредненных системах, исследуется их тип и бифуркации. Кроме того, получены двумерные полностью усредненные системы, определяющие динамику на плоскости «энергетических переменных» вне окрестностей резонансных точек, отвечающих непроходимым и частично проходимым резонансам.

Приводятся результаты численных исследований изучаемых маятниковых систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Королев, Сергей Алексеевич, 2013 год

Литература

[1] Айзерман, М.А. О применении метода малого параметра для исследования периодических режимов в системах автоматического регулирования / М.А. Айзерман, И.М. Смирнова // Сб. памяти A.A. Андронова. - М.: Изд. АН СССР, 1955.

[2] Андронов, A.A. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы / A.A. Андронов, A.A. Витт // Журнал технической физики. - 1934. - Т. 4, вып. 1. - С. 122-143.

[3] Андронов, A.A. К теории захватывания Ван дер Поля / A.A. Андронов, A.A. Витт // Собрание трудов A.A. Андронова, - М.: Изд-во АН СССР, 1956. - С. 51-64.

[4] Андронов, A.A. Качественная теория динамических систем второго порядка / A.A. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1966.

[5] Андронов, A.A. Собрание трудов / A.A. Андронов. - М.: Изд. АН СССР, 1956.

[6] Андронов, A.A. Теория колебаний / A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хай-кин. - М.: Физматгиз, 1959.

[7] Арнольд, В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / В.И. Арнольд // УМН. - 1963. - Т. XVIII, вып. 5(113). - С. 13-40.

[8] Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений /В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1978.

[9] Арнольд, В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // УМН. - 1963. -Т. XVIII, вып. 6(114). - С. 91-192.

[10] Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1974.

[И] Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. - Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

[12] Ахиезер, Н.И. Элементы теории эллиптических функций / Н.И. Ахиезер. -М.: Наука, 1970.

[13] Белых, В.Н. О моделях систем фазовой синхронизации и их исследовании / В.Н. Белых // Динамика систем. Межвуз. сб. № 11. - Горький: Изд-во ГГУ. - 1976. - С. 23-32.

[14] Белюстина, JI.H. Качественное исследование динамической системы на цилиндре / JI.H. Белюстина, В.Н. Белых // Дифференциальные уравнения. -1973. - Т. 9, № 3. - С. 403-415.

[15] Белюстина, JI.H. О глобальной структуре разбиения цилиндрического фазового пространства одной неавтономной системы / JI.H. Белюстина, В.Н. Белых // Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9, № 4. - С. 595608.

[16] Боголюбов, H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Наука, 1974.

[17] Борисюк, Г.Н. Осцилляторные нейронные сети. Математические результаты и приложения / Г.Н. Борисюк, P.M. Борисюк, Я.Б. Казанович, Т.Б. Jly-зянина, Т.С. Турова, Г.С. Цымбалюк // Математическое моделирование. -1992. - Т. 4, № 1. - С. 3-43.

[18] Булгаков, Б.В. Колебания / Б.В. Булгаков. - М.: Гостехиздат, 1954.

[19] Булгаков, Б.В. О применении метода Ван-дер-Поля к псевдолинейным системам со многими степенями свободы / Б.В. Булгаков // ПММ. - 1942. -Т. 6, вып. 6.

[20] Бутенин, Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.Л. Фуфаев. - М.: Наука, 1987.

[21] Ван дер Поль, Б. Нелинейная теория электрических колебаний / Б. Ван дер Поль. - М.: Связьиздат, 1935.

[22] Волосов, В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов - М.: Изд-во МГУ, 1971.

[23] Волосов, В.М. Методы расчета стационарных резонансных колебательных и вращательных движений некоторых нелинейных систем /В.М. Волосов, Б.И. Моргунов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1968. - Т. 8, № 2. - С. 251-294.

[24] Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - Издание 4-е. - М.: Физматгиз, 1963.

[25] Гребеников, Е.А. Введение в теорию резонансных систем / Е.А. Гребени-ков. - М.: Изд-во МГУ, 1987.

[26] Гребеников, Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е.А. Гребеников. - М.: Наука, 1986.

[27] Гребеников, Е.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике / Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов. - М.: Наука, 1978.

[28] Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. - М.-Ижевск: Изд-во ИКИ, 2002.

[29] Денисова, Н.В. О хаотизации колебаний связанных маятников /Н.В. Денисова, В.В. Козлов // ДАН. - 1999. - Т. 367, № 2. - С. 191-193.

[30] Драгунов, Т.Н. О вырожденных резонансах в маятниковых системах / Т.Н. Драгунов, С.А. Королев, А.Д. Морозов //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород: 22-28 августа 2006 года). Аннотации докладов. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006. - Т. I. - С. 48-49.

[31] Драгунов, Т.Н. О вырожденных резонансах в уравнениях маятникового типа / Т.Н. Драгунов, С.А. Королев, А.Д. Морозов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. - Вып. 1(4). - С. 18-28.

[32] Журавский, A.M. Справочник по эллиптическим функциям / A.M. Жу-равский. - M.-JL: Издательство Академии наук СССР, 1941.

[33] Заславский, Г.М. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний / Г.М. Заславский, Б.В. Чириков // УФН. - 1971. - Т. 105, вып. 1. - С. 3-39.

[34] Заславский, Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / Г.М. Заславский. - М.-Ижевск: РХД, 2004.

[35] Козлов, В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике / В.В. Козлов // УМН. - 1983. - Т. 38, вып. 1. - С. 3-67.

[36] Козлов, В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике / В.В. Козлов. - Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995.

[37] Колмогоров, А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / А.Н. Колмогоров // ДАН СССР. -1954. - Т. 98, № 4. - С. 527-530.

[38] Кондратов, P.E. К исследованию резонансов в системах с двумя степенями свободы / P.E. Кондратов, С.А. Королев, А.Д. Морозов // Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2007. - С. 148.

[39] Кондратов, P.E. К исследованию резонансов в системе двух уравнений Дюффинга- Ван дер Поля / P.E. Кондратов, А. Д. Морозов // Нелинейная динамика. - 2010. - Т. 6, № 2. - С. 241-254.

[40] Кондратов, P.E. О глобальном поведении решений системы двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля / P.E. Кондратов, А.Д. Морозов // Нелинейная динамика. - 2011. - Т. 7, № 3. - С. 437-449.

[41] Королев, С.А. К исследованию одной системы с 2 степенями свободы / С.А. Королев // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. - М.: МИАН, 2009. - С. 99-100.

[42] Королев, С.А. К исследованию резонансных структур в системе двух связанных маятников / С.А. Королев // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. -С. 146.

[43] Королев, С.А. К исследованию резонансов в системе двух слабосвязанных маятников / С.А. Королев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: Издательство Казанского гос. университета, 2008. - Т. 37 (Материалы Седьмой молодежной научной школы-конференции). - С. 92-94.

[44] Королев, С.А. О вырожденных резонансах в маятниковых системах / С.А. Королев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2006. -Т. 34 (Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции). -С. 129-131.

[45] Королев, С.А. О глобальном поведении решений системы двух маятниковых уравнений / С.А. Королев // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Нижний Новгород, 27-30 ноября 2007 года). - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. - С. 213-214.

[46] Королев, С.А. О неконсервативных системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым / С.А. Королев, P.E. Кондрашов, А.Д. Морозов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. - М.: МИ АН, 2010. - С. 109.

[47] Королев, С.А. О периодических возмущениях автоколебательных маятниковых уравнений / С.А. Королев, А.Д. Морозов // Нелинейная динамика. -2010.-Т. 6, № 1.-С. 79-89.

[48] Королев, С.А. О резонансах в одной системе маятниковых уравнений в колебательно-вращательном случае / С.А. Королев // Нелинейные колебания механических систем (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 года). Труды IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка. -Нижний Новгород, 2012. - С. 540-541.

Королев, С.А. О резонансах в системе двух слабосвязанных маятников / С.А. Королев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2010. - Вып. 5(1). - С. 149-157.

[50] Королев, С.А. Об исследовании одной системы из теории резонанса / С.А. Королев // XIV нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. - Нижний Новгород, 2009. - С. 7-8.

[51] Королев, С.А. Об исследовании одной системы маятниковых уравнений во вращательной области / С.А. Королев // X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 года). Тезисы докладов. - Т. IV.

[52] Королев, С.А. Об исследовании одной трехмерной системы из теории нелинейного резонанса / С.А. Королев // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. - М.: Издательство «Университетская книга», 2009. - С. 161-162.

[53] Королев, С.А. Об исследовании резонансов в одной системе с двумя степенями свободы / С.А. Королев // XV нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. - Нижний Новгород, 2010. - С. 31.

[54] Королев, С.А. Об исследовании системы маятниковых уравнений с двумя степенями свободы / С.А. Королев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2007. - Т. 36 (Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции). - С. 118-120.

[55] Крылов, Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов. - Киев: Изд. АН УССР, 1937.

[56] Ланда, П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы / П.С. Ланда. - М.: Наука, 1980.

[57] Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

[58] Малкин, И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И.Г. Мал-кин. - М.: Гостехиздат, 1956.

[59] Мандельштам, Л.И. Полное собрание трудов / Л.И. Мандельштам. - М.: Изд. АН СССР, 1948-1952.

[60] Мельников, В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях / В.К. Мельников // Труды Московского математического общества. - 1963. - Т. 12. - С. 3-52.

[61] Митропольский, Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. - Киев: Наукова думка, 1971.

[62] Мозер Ю. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения кольца в себя / Ю. Мозер // Сб. переводов. Математика. - 1963. - Т. 6, № 5. - С. 51-67.

[63] Морозов, А.Д. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем / А.Д. Морозов, Т.Н. Драгунов. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[64] Морозов, А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний / А.Д. Морозов. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1995.

[65] Морозов, А.Д. О вырожденных резонансах в двумерных периодических системах / А.Д. Морозов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - С. 33-44.

[66] Морозов, А.Д. О неконсервативных периодических системах, близких к двумерным гамильтоновым / А.Д. Морозов, Л.П. Шильников // ПММ. -1983. - Т. 47, вып. 3. - С. 385-394.

[67] Морозов, А.Д. О предельных циклах и хаосе в уравнениях маятникового типа / А.Д. Морозов // ПММ. - 1989. - Т. 53, вып. 5. - С. 721-730.

[68] Морозов, А.Д. О резонансах в уравнениях с немонотонным вращением / А.Д. Морозов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. -Вып. 1(4). - С. 81-91.

[69] Морозов, А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах / А.Д. Морозов. - М.-Ижевск: изд-во РХД, 2005.

[70] Морозов, А.Д. Системы, близкие к нелинейным интегрируемым / А.Д. Морозов. - Горький: Изд-во ГГУ, 1983.

[71] Папалекси, Н.Д. Собрание трудов / Н.Д. Папалекси. - М.: Изд. АН СССР, 1948.

[72] Понтрягин, JI.C. О динамических системах, близких к гамильтоновым / Л.С. Понтрягин // ЖЭТФ. - 1934. - Т. 4, вып. 9. - С. 883-885.

[73] Пуанкаре, А. Избранные труды. Новые методы небесной механики / А. Пуанкаре. - М.: Наука, 1971, 1972. - Т. 1,2.

[74] Системы фазовой синхронизации / В.Н. Акимов, Л.Н. Белюстина, В.Н. Белых и др. - М.: Радио и связь, 1982.

[75] Теодорчик, К.Ф. Автоколебательные системы / К.Ф. Теодорчик. - М.: Го-стехиздат, 1952.

[76] Чириков, Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастич-ности / Б.В. Чириков. - Препринт № 267. - Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1969.

[77] Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, АЛ. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. - М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

[78] Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. - М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.

[79] Янке, Е. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы) / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. - М.: Наука, 1964.

[80] Belykh, V.N. Chaotic Dynamics of Two Van der Pol - Duffing Oscillators with Huygens Coupling / V.N. Belykh, E.V. Pankratova // Regular and Chaotic Dynamics. - 2010. - V. 15, № 2-3. - P. 274-284.

[81] Froeschle, C. On the number of isolating integrals in systems with three degrees of freedom / C. Froeschle // Astrophysics and Space Science. - 1971. - V. 14, № 1. - P. 110-117.

[82] Henon, M. The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments / M. Henon, C. Heiles // The Astronomical Journal. - 1964. -V. 69, № 1. - P. 73-79.

[83] Honjo, S. Structure of Resonances and Transport in Multi-dimensional Hamiltonian Dynamical Systems / S. Honjo, K. Kaneko // Advances in Chemical Physics. - 2005. - V. 130, Part B. - P. 437-463.

[84] Howard, J.E. A Simple Reconnecting Map / J.E. Howard, A.D. Morozov // Regular and Chaotic Dynamics. - 2012. - V. 17, № 5. - P. 417-430.

[85] Howard, J.E. Nonmonotonic twist maps / J.E. Howard, J. Humpherys // Physica D. - 1995. - V. 80, № 3. - P. 256-276.

[86] Kondrashov, R.E. On resonances in self-oscillating systems with two degrees of freedom / R.E. Kondrashov, S.A. Korolev, A.D. Morozov // Advanced Problems in Mechanics. Book of Abstracts. - St.-Petersburg, 2007. - P. 66.

[87] Leech, C.M. Limit Cycle stability of aerodynamically induced yaw oscillations / C.M. Leech // Intern. J. Mech. Sei. - 1970. - V. 21, № 9. - P. 517-525.

[88] Morozov, A.D. Degenerate resonances in Hamiltonian systems with 3/2 degrees of freedom / A.D. Morozov // Chaos. - 2002. - V. 12, № 3. - P. 539-548.

[89] Morozov, A.D. On degenerate resonances in nearly Hamiltonian systems / A.D. Morozov // Regular and Chaotic Dynamics. - 2004. - V. 9, № 3. - P. 337350.

[90] Morozov, A.D. On investigation of the degenerate resonances / A.D. Morozov, S.A. Boykova // Regular and Chaotic Dynamics. - 1999. - V. 4, № 1. - P. 70-82.

[91] Morozov, A.D. On resonances in systems of two weakly connected oscillators / A.D. Morozov, R.E. Kondrashov // Regular and Chaotic Dynamics. - 2009. -V. 14, № 2. - P. 237-247.

[92] Struble, R.A. Oscillations of a pendulum under parametric excitation / R.A. Struble // Quart Appl. Math. - 1963. - V. 21, № 2. - P. 121-131.

[93] Van der Pol, B. On oscillation hysteresis in a triode generator with two degrees of freedom / B. Van der Pol // Phil. Mag. Ser. 6. - 1922. - V. 43, № 256.

[94] Wiggins, S. Global Dynamics, Phase Space Transport, Orbits Homoclinic to Resonances, and Applications / S. Wiggins. - AMS, Fields Institute, 1993.

[95] Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos / S. Wiggins. - Springer, 1996.