Изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Исмагилова, Альбина Сабирьяновна

• Исмагилова, Альбина Сабирьяновна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Исмагилова, Альбина Сабирьяновна

Введение

Глава 1. Изоморфизмы групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами

§1. Метод инволюций

§2. Описание изоморфизмов групп обратимых элементов

Глава 2. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами

§1. Метод инволюций

§2. Описание изоморфизмов унитарных групп.

Глава 3. Гомоморфизм групп матриц второго порядка

§1. Предварительные замечания.

§2. Инволюция в группе матриц второго порядка и гомоморфизм

Глава 4. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами без \

§1. Гомоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами

§2. Изоморфизмы линейных групп над кольцами без |.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами»

Главная тенденция теории изоморфизмов классических групп состоит в переходе от разнообразных частных типов коммутативных целостных колец коэффициентов к произвольным коммутативным целостным кольцам, и далее, - к еще более общим, необязательно коммутативным, целостным, и необязательно целостным, кольцам и необязательно конечным размерностям.

Теория автоморфизмов классических групп была начата работой Шрейера и Ван дер Вардена [72], в которой были описаны автоморфизмы группы над произвольным нолем. Затем Дьедонне [39] и Риккарт [70] ввели метод инволюций, использованный в дальнейшем ими и многими другими авторами для описания изоморфизмов между большими классическими группами. Для конечных полей другие доказательства неизоморфности, основанные на сравнении порядков групп, дал Артин [31], [32]. Автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле и тесно связанных с ними групп над различными полями были найдены в работах [75], [7G], [49]. Теорию изоморфизмов (даже гомоморфизмов) для широкого класса групп, включающего большие линейные группы над бесконечными полями, а также большие классические группы в изотропном случае над бесконечными полями развили Борель и Тите [34].

Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы GLn над кольцом целых чисел, сделали Хуа JIo-ген и Райнер [47], а для группы Spn над этим же кольцом Райнер в [G8]. Затем были рассмотрены гауссовы целые числа и области главных идеалов. Автоморфизмы линейных групп над произвольными областями целостности при п ^ 3 описал О'Мира [61]. Автоморфизмы некоторых групп целых точек некоторых расщепляемых групп над иолями алгебраических чисел исследовал Борель [33], при этом автоморфизмы линейных групп над арифметическими областями числовых нолей получаются как частный случай. Метод вычетных пространств, изложенный в "Лекциях" О'Миры, впервые был введен им в одной из его работ об ортогональных группах в 1968 году. Вскоре он был применен в работе [G3] к линейным группам, богатым трапсвекциями, и, в частности, к линейным группам над областями целостности при , п > 3. Затем Солацци [73] описал при п ^ 3 автоморфизмы проективных линейных групп, богатых проективными трансвекциями, а Хан [44] - изоморфизмы таких групп, причем он дал единую трактовку для . линейных, симплектических и унитарных групп в размерностях n ^ 5.

Отметим работы Далла [42], [41], в которых решается проблема описания автоморфизмов двумерных групп GL2, SL2, PGL2, PSL2 над произвольной областью целостности v.

Аналогичные результаты получены в [42] для групп SL2, PGL2 и GL2- Первоначальное предположение, что в характеристике 0 кольцо v должно содержать обратимые элементы, отличные от корней 4-й степени из единицы, ослаблено в [41].

Хан в работе [44] применил метод О'Миры к проективным группам изометрий пространств с рефлексивной формой и развил -в размерностях ^ 5 - единую теорию изоморфизмов их подгрупп, богатых проективными сдвигами. Идеи этой работы нашли отражение в главе 5 "Лекций" О'Миры [04]. Из результатов работы [44] отметим < теорию изоморфизмов для линейных, симплектических и унитарных конгруэнц-групп и их проективных образов над областями целостности (в унитарном случае необходимо ограничиться арифметическими областями), не зависящую от характеристики кольца, индекса Витта и ® поля произвольной характеристики (все это в размерностях ^ 5). Для ортогональных групп, не рассмотренных в работе [44], соответствующая теория была развита Ханом в [45].

Автоморфизмы ортогональных групп над полем F характеристики 2 исследовал Коннорс [37], [38]. В работе [37] он рассмотрел полную ортогональную группу, ее группу вращений, коммутант и ядро спинорной нормы. Автоморфизмы этих групп изучались ранее Дьедонне [40], Стейнбергом [75], Сю Чжепь-хао [78] и Хамфрисом [49] при различных ограничениях на поло или геометрию пространства.

Теорию изоморфизмов для конгруэнц-подгрупп классических групп ф продолжал разрабатывать Солацци. В статье [74] он доказал, в частности, что симилектические и унитарные конгруэнц-группы над областями целостности характеристики ф 2 не изомор(1)ны, если их индексы Витта

В исключительном двумерном случае автоморфизмы конгруэнц-групп исследовал Ю.И. Мерзляков [23]. В этой работе построен также пример, показывающий, что если идеал i не квазирегулярен, то группа может иметь нестандартные автоморфизмы. Это говорит о том, что построение теории автоморфизмов двумерных групп, богатых трансвекциями, является нелегкой задачей. Помфрэ и Макдональд в работе [G7], используя теорему Капланского [51], утверждающую, что проективные модули над локальным кольцом свободны, определили автоморфизмы группы GLn (n ^ 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором 2 обратимый элемент.

Продолжая тему, начатую работой [G7], Маккин и Макдональд [60] исследовали автоморфизмы симплектической группы Spn над локальным кольцом. Автоморфизмы этой группы над произвольным полем были найдены Хуа Ло-геном [46], затем Райнер [G8] описал автоморфизмы Spn над кольцом Z, а Янь Ши-цзянь [80] и О'Мира [G2] - над произвольной областью целостности.

Для коммутативного кольца R с элементом \ при п ^ 3 изоморфизм группы GLn (R) был описан в [77]. В.М. Петечук [28] получил тот же результат при условии п ^ 4. Особый интерес представляет случай \ £ R, п = 3, когда могут возникнуть нестандартные изоморфизмы. Для локальных колец они рассмотрены В.М. Петечуком в [27], для любого коммутативного кольца - Ф. Ли и 3. Ли [54].

Ю.В. Сосновский [29] распространил теорию О'Миры [G5] изоморфизмов линейных групп на случай размерностей п = 3,4. В

- работе [30] описаны изоморфизмы богатых подгрупп симплектической группы над нолем.

Г.А. Носков [26] описал автоморфизмы группы GLn(v), где v - коммутативное кольцо с единицей и обратимым элементом 2, не порождаемое делителями нуля, причем пространство Мах (г;) его максимальных идеалов, снабженное топологией Зарисского, нётерово и имеет конечную комбинаторную размерность, а п ^ 2 + dim Мах (г;).

Глубокие результаты получены Михалевым А.В., Голубчиком И.З. и Зельмановым ^Е.И. Ими исследованы изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами матриц. Голубчиком И.З. и Михалевым А.В. в [8] получено описание изоморфизмов линейных групп над ассоциативными кольцами с Аналогичный результат получен Е.И. Зельмановым в [15] при условии га ^ 2. В [12] описан изоморфизм группы GL<i над кольцом с обратимыми элементами 2 и 3. В [43] описан изоморфизм группы GLn (R) при п ^ 4 над кольцом матриц. Результаты работы [9] позволяют описывать автоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами в случае, когда гиперболический ранг формы q > 1 и п ^ 5. Для локального кольца этот результат получен Д. Джеймсом [50]. При п = 2к, к ^ 3 и гиперболический ранг формы q максимален, автоморфизмы унитарной группы описаны

Е.И. Зельмановым с помощью специализаций некоторых йордановых систем.

- Систематическое изложение полученных результатов об автоморфизмах классических групп можно найти в обзорных статьях Ю.И. Мерзлякова и О. О'Миры.

Основная цель диссертации - пользуясь методом инволюций описать изоморфизмы линейных и унитарных групп над ассоциативными кольцами, содержащими плотную систему идемпотептов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Исмагилова, Альбина Сабирьяновна, 2006 год

1. Автоморфизмы классических групп (сб. переводов с англ. и франц.). - М.: Мир, 197G. 264 с.

2. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972. 160 с.

3. Блощицин В.Я. Автоморфизмы общей линейной группы над коммутативным кольцом, не порождаемым делителями нуля // Алгебра и логика. 1978. Т. 17, К0- 6. С. 639-642.

4. Блощицин В.Я. Канонический вид автоморфизмов группы над кольцами, близкими к полям // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 175181.

5. Боревич З.И., Вавилов Н.А. Об определении сетевой подгруппы // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 132. С. 26-33.

6. Боревич З.И., Вавилов Н.А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 165. С. 24-42.

7. Голубчик И.З., Михалев А.В. Об изоморфизме полных линейных групп / Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тез. докл. С. 40. Новосибирск, 1982.

8. Голубчик И.З., Михалев А.В. Изоморфизм полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Вест.Моск.ун-та. Математика. Механика. 1983. Сер. 1, № 3. С. 61-72.

9. Голубчик И.З., Михалев А.В. Изоморфизм унитарных групп над ассоциативными кольцами // Зап. науч. семинаров Лепингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1983. Т. 132. С. 97-109.

10. Голубчик И.З., Михалев А.В. Представление группы SL3 (Z) в группах с разложимыми инволюциями / X Всес. сими, по теории групп. Тез. докл. С. 56. Минск, 1986.

11. Голубчик И.З., Михалев А.В. Гомоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами / Тезисы сообщений XIX Всес. алгебр, конф. С. 64. Львов, 1987.

12. Голубчик И.З. Изоморфизм группы GL2 (Я) над ассоциативным кольцом R // Ученые записки: Сб. научн. трудов. Изд-во БГПУ: Уфа, 2003. С. 21-34.

13. Голубчик И.З. Изоморфизмы проективных групп над ассоциативными кольцами // Ученые записки: Сб. научн. трудов. -Изд-во БГПУ: Уфа, 2005. Вып. 7. С. 77-93.

14. Дроботенко B.C., Погориляк Е.Я. Автоморфизмы полной линейной группы над некоммутативным полулокальным кольцом // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, № 3. С. 157-158.

15. Зельманов Е.И. Изоморфизм линейных групп над ассоциативным кольцом // Сиб.мат.журнал. 1985. Т. 26, № 4. С. 49-67.

16. Исмагилова А.С. Изоморфизмы групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами / в сб. "ЭВТ в обучении и моделировании", Третья Всероссийская научно-теоретическая конференция. С. 143145.- Бирск. гос. пед. ин-т: Бирск, 2004.

17. Исмагилова А.С. Гомоморфизм группы GL2 (R) // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, N5 3. С. 95-108.

18. Исмагилова А.С. Изоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами с четырьмя идемнотептами // Ученые записки: Сб. научн. статей. Изд-во БГПУ: Уфа, 2005. Вып. 7. С. 150-160.

19. Исмагилова А.С. Об изоморфизме унитарных групп над кольцами / Тез. докл. Международной алгебраической конференции. С. 10G-108. Изд-во Урал, ун-та: Екатеринбург, 2005.

20. Исмагилова А.С. Изоморфизмы групп обратимых элементов ассоциативного кольца // Вестник Башкирского университета. 2005. № 4. С. 8-11.

21. Исмагилова А.С. Развитие метода инволюций в теории линейных групп над кольцами / Тез. докл. XXXVII Региональной молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", С. 45-49. Екатеринбург, 200G г.

22. Исмагилова А.С. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами // Фундаментальная и прикладная математика. 200G. Т. 12, № 2.

23. Мерзляков Ю.И. Автоморфизмы двумерных конгруэнц-групн. // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, ДО 4. С. 4G8-477.

24. Мерзляков Ю.И. Обзор новейших результатов об автоморфизмах классических групп. В сб.: Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 197G. С. 250-259.

25. Петечук В.М. Автоморфизмы групп SL3(K), GLS(K) // Мат. заметки. 1982. Т. 31. С. 335-340.

26. Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами // Математика. 1983. Т. 45. С. 527542.

27. Сосновский Ю.В. К общей теории изоморфизмов линейных групп. В сб.: Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами, М.: Мир, 1980. С. 259-2G8.

28. Сосновский Ю.В. Изоморфизмы симплектичесих групп над телами харакеристики не равной 2 // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № G. С. 726-739.

29. Artin Е. The orders of the linear groups // Comm.Pure Appl. Math. 1955. V. 8, № 3. P. 355-365.

30. Artin E. The orders of the classical simple groups. // Comm.Pure Appl. Math. 1955. V. 8, № 4. P. 455-472.

31. Borel A. On the automorphisms of certain subgroups of semi-simple Lie groups. // Proc.Conf.Alg.Geom. 1968. P. 43-73.

32. Borel A., Tits J. Homomorphismes "abstraits"de groupes algebrigues simples // Ann.Math. 1973. V. 97, № 3. P. 499-571.

33. Colin P.M. On the structure of the GL2 of a ring. // Pubis math.IHES. 1966. № 30. P. 5-53.

34. Colm P.M. Automorphisms of the two-deinensional linear groups over Euclidean domains // J.Lond.Math.Soc. 1969. V. 1, № 2. P. 279-292.

35. Connors E. A. Automorphisms of the orthogonal groups in characteristic 2 // J.Number Theory. 1973. V. 5, № 6. P. 477-501.

36. Connors E. A. Automorphisms of the orthogonal group of a defective space // J.Algebra. 1974. V. 29, № 1. P. 113-123.

37. Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups // Mem.Amer.Math.Soc. 1951. № 2. P. 1-95.

38. Dieudonne J. La geometric des groupes classiques. Springer Verlag. Berlin-New York, 1971. Русский перевод: Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М.: Мир, 1974.].

39. Dull M.H. Automorphisms of PSL2 over domains with few units // J.Algebra. 1973. V. 27, № 2. P. 372-379.

40. Dull M.H. Automorphisms of the two-demensional linear groups over integral domains // Amer.J.Math. 1974. V. 96, № 1. P. 1-40.

41. Golubchik I.Z. Isomorphisms of the General Linear Group GLn (R), n ^ 4 over an Associative Ring // Amer. Math. Soc. 1992. V. 131. Part 1. P. 123-13G.

42. Halm A.J. The isomorphisms of certain subgroubs of the isometry groups of reflexive spaces // J.Algebra. 1973. V. 27, № 2. P. 205-242.

43. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the unimodular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1951. V. 71. P. 331-348.

44. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the projective unimodular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1952. V. 72, № 3. P. 4G7-473.

45. Humphreys J.E. On the automorphisms of infinite Chevalley groups // Canad.J.Math. 19G9. V. 21, № 4. P. 908-911.

46. James D.G. Unitary geometry over local rings // J.Algebra. 1979. V. 56, № 1. P. 221-234.

47. Kaplansky. Projective modules // Ann.Math.Ser.2. 1958. V. 68, № 2. P. 372-377.

48. Landin J., Reiner I. Automorphisms of the Gaussian unimodular group. // Trans. Amer.Math.Soc. 1958 V. 87, № 1. P. 76-89.

49. Lanolin J., Reiner I. Automorphisms of the two-dimensional general linear group over a Euclidean ring // Proc.Ainer.Math.Soc. 1958. V. 9, № 2. P. 209-21G.

50. Li F.L. and Li Z.X. Isomorphisms of GL3 over commutative rings // Amer. Math. Soc. 1984. V. 82. P. 47-52.

51. Fu-an Li. The automorphisms of non-defective orhogonal groups (V) and Og (V) in characteristic 2 // Chinese Ann. Math. 1986. V. 7B. P. 113.

52. Fu-an Li and Zunxian Li. Isomorphisms of GL3 over commutative rings I I Scientia Sinica. 1988. V. 31. P. 7-14.

53. McDonald B.R. Geometric algebra over local rings. New York and Basel, 197G.

54. McQueen L., McDonald B.R. Automorphisms of the syinplectic group over a local ring // J.Algebra. 1974. V. 30, № 1-3. P. 485-495.

55. O'Meara O.T. The automorphisms of the linear groups over any integral domain // J.reine angew.Math. 1966. V. 223. P. 56-100.

56. O'Meara O.T. The automorphisms of the standard symplcctic group ower any integral domain // J.reine angew.Math. 1968. V. 230. P. 104-138.

57. O'Meara O.T. Group-theoretic characterization of transvections using CDC // Math.Z. 1969. V. 110, № 5. P. 385-394.

58. Reiner I. Automorphisms of the symplectic modular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1955. V. 80, № 1. P. 35-50.

59. Reiner I. A new type of automorphism of the general linear group over a ring // Ann.Math. 1957. V. 66, № 3. P. 461-466.

60. Rickart C.E. Isomorphic groups of linear transformations // Amer.J.Math. 1950. V. 72. P. 451-464.

61. Rickart C.E. Isomorphisms of infinite-dimensional analogues of the classical groups // Bull.Amer.Math.Soc. 1951. V. 57, № 6. P. 435-448.

62. Schreier O., Van der Waerden B.L. Die Automorphisinen der projektiven Gruppen. Abh.Math.Sem.Univ. Hamburg, 1928. P. 303-322.

63. Solazzi R.E. The automorphisms of certain subgroups of PGLTl (K) // Illinois J.Math. 1972 V. 16, № 2. P. 330-348.

64. Solazzi R.E. On the isomorphisms between certain congruence groups // Canad.J.Math. 1973. V. 25, № 5. P. 1006-1014.

65. Steinberg R. Automorphisms of finite linear groups // Canad.J.Math. 1960. V. 12, № 4. P. 606-615.

66. Steinberg R. Lectures on Chevalley groups. Yale Lecture Notes, 1967. Русский перевод: Стейпберг P. Лекции по группам Шевалле. -М.:Мир, 1975.]

67. Waterhouse W.C. Automorphisms of GLn (R) // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. № 79. P. 347-351.

68. Xu C.H. On the automorphisms of orthogonal groups over perfect fields of characteristic 2 // Chinese Math. 1966. V. 8, № 4. P. 475-523.

69. Yan S.J. Linear groups over a ring // Chinese Math. 1965. V. 7, № 2. P. 163-179. Русский перевод в сб.: Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 1976. С. 226-249].

70. Yien S.C. Symplectic groups over a commutative ring. J.Peking Normal Univ.Nat.Sci., 1957. P. 23-46.