Измерение температуры ликвидуса с использованием вейвлет-преобразования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.16, кандидат технических наук Перепелкин, Сергей Сергеевич

• Перепелкин, Сергей Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Перепелкин, Сергей Сергеевич

Введение

1 Анализ способов измерения температуры ликвидуса криолитоглиноземного расплава при производстве алюминия

1.1 Электролитическое производство алюминия. Проблемы и цели

1.2 Термоэлектрические преобразователи

1.2.1 Основные характеристики и типы термоэлектрических преобразователей

1.2.2 Источники погрешностей результатов измерений с использованием термопар

1.2.3 Кабельные термоэлектрические преобразователи и их особенности

1.3 Устройство для измерения температуры криолитоглиноземного расплава. Описание и принцип работы

1.4 Процесс охлаждения криолитоглиноземного расплава. Температура ликвидуса

1.5 Анализ кривой охлаждения расплава

1.5.1 Принятая модель охлаждения расплава

1.5.2 Численный расчет второй производной кривой охлаждения в задаче оценки температуры ликвидуса

1.5.3 Некорректность процедуры численного дифференцирования при наличии шумов в исходных данных

1.6 Выводы

2 Разработка математического аппарата обработки результатов измерений кривой охлаждения на основе вейвлет-преобразования

2.1 Анализ применяемых методов обработки сигналов. Функциональные преобразования

2.1.1 Преобразование Фурье

2.1.2 Преобразование Габора

2.2 Вейвлет-преобразование в задачах обработки нерегулярных сигналов

2.2.1 Теоретические основы вейвлет-преобразования

2.2.2 Показатель Гельдера

2.2.3 Определение и характеризация точек нерегулярности в сигнале

2.3 Алгоритм на основе вейвлет-преобразования для задачи оценки температуры ликвидуса

2.4 Выводы 100 3 Метрологический анализ результатов измерения температуры ликвидуса криолитоглиноземного расплава

3.1 Общие сведения. Классификация измерительных процедур

3.2 Источники методической погрешности

3.3 Метрологические характеристики компонентов измерительного канала

3.3.1 Характеристики преобразователя ПТ

3.3.2 Характеристики преобразователя ПП

3.3.3 Характеристики фильтра ФНЧ

3.3.4 Характеристики преобразователя ЯП

3.3.5 Характеристики преобразователя АЦП

3.4 Математические модели СИ и их MX

3.5 Исходные данные для расчета MX ИК

3.5.1 Линеаризация НСХ и метрологические характеристики преобразователя ПП

3.5.2 Метрологические характеристики преобразователей НУ, АЦП, ПТ

3.6 Расчет MX ИК в статическом режиме

3.7 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Измерение температуры ликвидуса с использованием вейвлет-преобразования»

Актуальность темы. Цветная металлургия России является важнейшей отраслью промышленности страны и определяет производство и развитие машиностроения, приборостроения, электроэнергетики, транспорта, средств связи, оборонной техники. Алюминиевая промышленность, как составная часть цветной металлургии, начала создаваться еще в 30-х годах прошлого века и в настоящее время занимает доминирующее положение в стране, став вторым по величине мировым поставщиком алюминия. По распространенности в природе (в виде соединений) алюминий занимает первое место среди металлов [40]. В настоящее время по объему производства алюминий занимает первое место среди цветных металлов и его производство постоянно расширяется.

Практически единственным и наиболее распространенным способом получения металлического алюминия является электролиз криолитоглинозем-ного расплава [38, 39]. Получение алюминия путем электролиза является очень энергоемким производством и проблема повышения количества алюминия на выходе и уменьшения энергетических затрат, при современных масштабах производства, представляет огромное значение.

Одним из основных влияющих параметров на выход алюминия является химический состав электролита. Химический состав определяет температуру кристаллизации электролита (температуру ликвидуса). Таким образом, температура, а именно - степень перегрева электролита относительно температуры его плавления (кристаллизации) имеет существенное влияние на выход алюминия. Существует три вида определения температуры ликвидуса:

- химический анализ состава электролита в ванне электролизера и расчет температуры ликвидуса по эмпирическим зависимостям;

- термический анализ в лабораторных условиях с использованием специальных лабораторных установок (термостатов), в которых проба расплава медленно охлаждается;

- в последнее время активно развивается третий метод определения температуры ликвидуса основанный на снятии кривой охлаждения расплава в процессе естественного охлаждения пробы расплава и анализе этой кривой некоторым вычислительным устройством;

Первые два способа основаны на лабораторном анализе пробы расплава, который занимает от 8 до 20 ч. К этому времени состав электролита претерпевает существенные изменения, и информация о температуре перегрева ликвидус теряет свою актуальность.

Третий способ основан на анализе второй производной от дискретизи-рованной кривой охлаждения при остывании пробы расплава электролита. Однако такой метод дает хорошую сходимость результатов только при отсутствии шумов на исследуемой кривой. При измерениях в условиях цеха, на кривой охлаждения расплава неизбежно возникают помехи, обусловленные множеством различных влияющих факторов. Исходя из вышесказанного, требуется разработка алгоритма определения температуры ликвидуса устойчивого к наличию возмущающих воздействий.

Следовательно, разработка измерительных устройств, обеспечивающих в условиях цеха при производстве измерение температуры ликвидуса, является на сегодняшний момент актуальной задачей.

Объект исследований

Метод вейвлет-преобразования для анализа нерегулярных сигналов при измерении температуры ликвидуса многокомпонентных сред.

Предмет исследований

Измерение температуры ликвидуса многокомпонентных расплавов.

Цель работы. Разработка метода определения температуры ликвидуса по измеренной кривой охлаждения многокомпонентного расплава, устойчивого к наличию шумов в результатах измерений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1 Разработать модель кривой охлаждения расплава электролита, содержащую нерегулярный отсчет, характеризующий температуру ликвидуса.

2 Провести анализ существующего метода определения температуры ликвидуса по кривой охлаждения на основе второй производной. Рассмотреть чувствительность этого метода к шумам на кривой охлаждения, неизбежно возникающим при измерении в условиях цеха.

3 Провести анализ математических методов обработки нерегулярных выборочных данных. Выбрать метод, обеспечивающий устойчивое выявление точек нерегулярности в сигнале при наличии шумов в результатах измерений.

4 Провести сравнительный анализ обработки результатов измерений для метода на основе второй производной и выбранного метода при наличии шума в результатах измерений.

5 Провести метрологический анализ результатов измерений температуры ликвидуса на основе имитационного моделирования с использованием разработанного метода. Проанализировать как методическую и инструментальную, так и систематическую и случайную составляющие погрешности результатов измерений.

Основные методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы вычислительной математики, теории численных методов, математического моделирования, современные методы и средства разработки программных средств.

Научная новизна

1 Разработана модель кривой охлаждения криолитоглиноземного расплава на основании экспериментальных данных, а также разработана модель шума, содержащегося в результатах измерений кривой охлаждения расплава при измерениях в условиях цеха.

2 Предложена методика оценки величины шага выборки данных при численном расчете второй производной от измеренной кривой охлаждения для уменьшения влияния шумов в результатах измерений.

3 Разработан метод нахождения и локализации точки нерегулярности (точки ликвидуса) на измеренной кривой охлаждения расплава с использованием вейвлет-преобразования.

4 Впервые предложена характеризация точки начала кристаллизации с помощью показателя Гельдера, позволяющая оценить адекватность результатов измерений кривой к принятой модели.

5 Показано, что алгоритм определения температуры ликвидуса на основе вейвлет-преобразования дает лучшую сходимость результатов измерений при наличии шумов в результатах измерений, чем алгоритм на основе второй производной.

Практическая новизна

1 Выбраны термоэлектрические преобразователи, пригодные для измерения температуры агрессивных сред, таких как расплавленный электролит.

2 Разработано программное обеспечение, реализующее предложенный алгоритм на основе вейвлет-преобразования для определения температуры ликвидуса по кривой охлаждения расплава.

3 Разработано программное и алгоритмическое обеспечение, реализующее расчет оценки показателя Гельдера для точки начала кристаллизации. Отмечено, что применение алгоритмического обеспечения возможно в задаче определения температуры ликвидуса на производстве алюминия, магния и черных металлов.

4 Разработано программное и алгоритмическое обеспечение имитационного моделирования результатов метрологического анализа для устройства измерения температуры ликвидуса.

Достоверность полученных результатов подтверждена практическими результатами экспериментальных исследований на Волгоградском алюминиевом заводе (филиал «ВгАЗ-СУАЛ»), Научные положения, выводы и рекомендации, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям наук, базируются на строго доказанных выводах, согласуются с известными методами определения температуры ликвидуса.

Заключение диссертации по теме «Информационно-измерительные и управляющие системы (по отраслям)», Перепелкин, Сергей Сергеевич

3.7 Выводы

1 Проведен анализ измерительного канала температуры расплава. Приведено уравнение измерений и классифицирована измерительная процедура.

2 Рассмотрены математические модели применяемых в измерительном канале компонентов. Проведен метрологический анализ измерительного канала для измерения температуры ликвидуса криолитоглиноземного расплава на основе методики МИ 222-80. Приведены факторы, влияющие на погрешность каждого компонента, входящего в измерительный канал.

3 Проведен анализ устойчивости метода вейвлет-преобразования и второй производной к наличию шума на кривой охлаждения, имеющего нормальный закон распределения плотности вероятности, с нулевым средним и с СКО

1,0°Си ТП5°С.

4 Показано, что метод на основе вейвлет-преобразования обеспечивает лучшую сходимость результатов определения температуры ликвидуса в условиях зашумленности кривой охлаждения, чем метод на основе второй производной.

Заключение

Общим результатом работы является разработанный метод на основе вейвлет-преобразования для задачи определения температуры начала кристаллизации расплава путем анализа кривой естественного охлаждения пробы расплава.

Новизна заключается в том, что в отличие от существующего метода на основе анализа численной второй производной от кривой охлаждения расплава, предложен устойчивый к наличию шумов на кривой охлаждения способ определения температуры ликвидуса.

В рамках решения данных задач получены следующие научные и практические результаты:

1 Теоретически обоснована и показана несостоятельность существующего алгоритма определения температуры ликвидуса по кривой охлаждения на основе метода численного дифференцирования при наличии шумов на кривой охлаждения. Получаемый при этом результат является неустойчивым к малым изменениям исходных данных, а именно - к шумам на кривой охлаждения, неизбежно возникающих при практических замерах кривой охлаждения расплава.

2 Проведен анализ существующих методов цифровой обработки сигналов для задачи локализации нерегулярностей в сигнале. Приведены доказательства способности вейвлет-преобразования определять и характеризовать точки локальной нерегулярности в сигнале.

3 Разработан алгоритм определения и харакгеризации температуры начала кристаллизации по кривой охлаждения на основе вейвлет-преобразования. Для алгоритма выбран анализирующий вейвлет на основе функции Гаусса.

4 Разработано программное обеспечение для обработки результатов измерений кривой охлаждения расплава. Программное обеспечение опробована но Волгоградском алюминиевом заводе (филиал «ВгАЗ - СУАЛ») при производстве алюминия.

5 Проведена характеризация с помощь показателя Гельдера точки начала кристаллизации на кривой охлаждения на основании теоремы 3 и формул (2.47) и (2.48). Результаты расчетов показателя Гельдера представлены выражениями (2.54), (2.55) и на рисунках 2.14,2.18.

6 Исследовано влияние шума на кривой охлаждения:

- на результат определения температуры ликвидуса с использованием вейвлет-преобразования;

- на результат расчета локального показателя Гельдера для точки начала кристаллизации;

В ходе исследований построена модель охлаждения криолитоглиноземного расплава. Проведено численное моделирование шума на кривой охлаждения расплава. За модель шума принят случайный процесс с нормальным законом распределения плотности вероятности, нулевым средним и дисперсиями 0,5,1,1,5.

7 Проведен анализ различных типов термоэлектрических преобразователей и влияющих на их характеристику преобразования факторов. Выбраны кабельные хромель-алюмелевые термопары (КТХА) в защитном чехле, пригодные для работы в агрессивных средах, таких как расплавленные электролиты с температурой до 1000°С, и имеющие практически линейную номинальную статическую характеристику преобразования.

8 Предложен измерительный канал для устройства измерения температуры ликвидуса. Проведен метрологический анализ измерительного канала. Приведено уравнение измерений и классифицирована измерительная процедура. Рассмотрены математические модели применяемых в измерительном канале компонентов. Приведены факторы, влияющие на погрешность каждого компонента, входящего в измерительный канал.

146

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Перепелкин, Сергей Сергеевич, 2006 год

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 496 с.

2. Цветков Э. И. Алгоритмические основы измерений. СПб.: Энергоатомиздат, 1992.-253 с.

3. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 3, №6. - С. 53-128.

4. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты / Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 с.

5. Астафьева Н. М. Вейвлет анализ: основы теории и применения // Успехифизических наук. 1996. №11. - С. 1145-1170.

6. Новиков И. Я. Всплески с компактным носителем // Фундаментальная иприкладная математика. 2001. Т. 7, №4. - С. 955-981.

7. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М: М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

8. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярнаяи хаотическая динамика», 2004. 464 с.

9. Новиков И. Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 53, №4. - С. 9991028.

10. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 132 с.

11. Jawerth В., Sweldens W. An Overview of Wavelet Based Multiresolution Analyses // SIREV. 1994. - Vol. 36, №3. - P. 377-412.

12. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. Second Edition. London: Academic Press, 1999. - 638 p.

13. Cooley J. W., Tukey J. W. An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series // Mathematics of Computation. 1965. - Vol. 19, №90 -P. 297-301.

14. Boyd J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Second Edition. New York: Dover Publication, 2000. - 663 p.

15. Bracewell R. N. The Fourier Transform and its Applications. Third edition. -New York: McGraw-Hill, 2000. 616 p.

16. Brandwood D. Fourier Transforms in Radar and Signal Processing. Boston: Artech House, 2003.- 199 p.

17. Pollock D. S., Green R. C., Nguyen T. A Handbook of Time-Series Analysis, Signal Processing and Dynamics. London: Academic Press, 1999. - 848 p.

18. Poularikas A. D. The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing. -Boca Raton, Florida: CRC Press, 1998. 864 p.

19. Mertins A. Signal Analysis: Wavelets, Filter Banks, Time-Frequency Transforms and Applications. New York: A Wiley-Interscience Publication, 1999. - 330 p.

20. Unser M., Aldroubi A., Laine A. F. Guest Editorial: Wavelets in Medical Imaging // IEEE Transactions on Medical Images. 2003. - Vol. 22, No. 3. - P. 285-288.

21. Laine A. F. Wavelets in temporal and spatial processing of biomedical images // Annual Reviews. Biomedical Engineering. 2000. - Vol. 2. - P. 511-550.

22. Шкелёв E. И., Кисляков А. Г., Лупов С. Ю. Методы ослабления эффектов интермодуляции в распределении Вигнера-Виля // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2002. - Т. 45, №5. - С. 433-442.

23. Goswami J. С., Chan А. К. Fundamentals of Wavelets: Theory, Algorithms, and Applications. New York: A Wiley-Interscience Publication, 1999. - 324 p.

24. Gurley K., Kareem A. Application of Wavelet Transforms in Earthquake, Wind and Ocean Engineering // Engineering Structures. 1999. - Vol. 21. - P. 149167.

25. Lewis J.M., Burrus C.S. Approximate Continuous Wavelet Transform With an Application to Noise Reduction // Proceedings of the 1998 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Seattle, 12-13 may 1998.-Vol.3.-P. 1533-1536.

26. Дремлин И.М., Иванов O.A., Нечитайло B.A. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. - Т. 171, №5. - С. 465-501.

27. Farge М. Wavelet Transforms and their Applications to Turbulence // Annual Review of Fluid Mechanics. 1992. - Vol. 24. - P. 395-458.

28. Kumar P., Foufoula-Georgiou E. Wavelet Analysis for Geophysical Applications // Reviews of Geophysics. 1997. - Vol. 35, №4. - P. 385-412.

29. Boggess A., Narcowich F. J. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. -New Jersey: Prentice Hall, 2001. 260 p.

30. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория: Пер. с англ. -М.: Мир, 1980.-536 с.

31. Grossmann A. Wavelet Transforms and Edge Detection // Stochastic Processes in Physics and Engineering. Dordrecht, Holland: D. Reidel Publishing Company. -1988.-P. 149-157.

32. Смородинский Я. А. Температура. M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 160 с.

33. Гарсия В. Измерение температуры: теория и практика // Современные технологии автоматизации. 1999. №1. - С. 82-87.

34. Лоренц Г. А. Лекции по термодинамике. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 176 с.

35. Термоэлектрические преобразователи температуры. Теория, практика, развитие / А. В. Белевцев, В. В. Богатов, А. В. Каржавин, Д. В. Петров, А. А. Улановский // Современные технологии автоматизации. 2004. №2. - С. 66-76.

36. Левшина Е. С., Новицкий П. В. Электрические измерения физических величин: (Измерительные преобразователи). Учеб. пособие для вузов. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ие., 1983. - 320 с.

37. Троицкий И. А., Железнов В. А. Металлургия алюминия : Учеб. пособие для техникумов цв. металлургии. 2-е изд., доп. и перераб. - М.: Металлургия, 1984.-398 с.

38. Металлургия алюминия / 10. В. Борисоглебский, Г. В. Галевский, Н. М. Кулагин и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999.-438 с.

39. Уткин Н. И. Металлургия цветных металлов. М.: Металлургия, 1985. - 440 с.

40. Киреев В. А. Краткий курс физической химии. М.: Издательство «Химия», 1969.-640 с.

41. Welch В. J., Liu X. Thermochemistry of Smelting Electrolyte and Cell Operation // 17th International Course on the Process Metallurgy of Aluminum, Trondheim (Norway), 3-7 jun. 1996. PP. 14-1-14-31.

42. Сопряжение датчиков и устройств ввода данных с компьютерами IBM PC: Пер. с англ. / Под ред. У. Томпкинса, Дж. Уэбстера. М.: Мир, 1992. - 592 с.

43. Ти С. L., Hwang W. L. Analysis of Singularities From Modulus Maxima of Complex Wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. 2005. Vol. 51, No. 3. P. 1049-1062.

44. Wang X. H., Robert S. H. Istepanian, Yong Hua Song. Application of Wavelet Modulus Maxima in Microarray Spots Recognition // IEEE Transactions on Nanobioscience. 2003. Vol. 2, No. 4. P. 190-192.

45. Mochimaru F., Fujimoto Y., Ishikawa Y. Detecting the Fetal Electrocardiogram by Wavelet Theory-Based Methods // Progress in Biomedical Research. 2002. Vol. 7, No. 3. P. 185-193.

46. Mallat S., Zhong S. Characterization of Signals from Multiscale Edges // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1992. Vol. 14, No. 7. P. 710-732.

47. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. 1992. Vol. 38, No. 2. P. 617-639.

48. Tu C. L., Hwang W. L., Ho J. Analysis of Singularities From Modulus Maxima of Complex Wavelets // Transactions On Information Theory. 2005. Vol. 51, No. 3.P. 1049-1062.

49. Asymptotic wavelet and Gabor analysis: Extraction of instantaneous frequencies / Delprat N., Escudie В., Guillemain P. and others // IEEE Transactions on Information Theory. 1992. Vol. 38, No.2. P. 644-664.

50. Watson J. N., Feng Т., Addison P. S. Low-Oscillation Complex Wavelets // Journal of Sound and Vibration. 2002. Vol. 254, No. 4. P. 733-762.

51. Брусакова И. А., Цветков Э. И. Достоверность результатов метрологического анализа: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2001.- 120 с.

52. Брусакова И. А. Имитационное моделирование в информационных системах: Учебное пособие. СПб.: СПбГИЭУ, 2004. - 215 с.

53. Брусакова И. А. Модели представления измерительных знаний в информационно-измерительных технологиях: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2002. - 97 с.

54. Steven W. Smith. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. California: California Technical Pub, 1997. - 626 p.

55. Голуб В. Взгляд на сигма-дельта АЦП // Chip News. 1999. № 5. С. 23-27.

56. Norsworthy S. R., Schreier R., Temes G. C. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation. New York: IEEE Press, 1997. - 512 p.

57. Щеголев В. И., Лебедев О. А. Электролитическое получение магния. М.: Издательский дом «Руда и металлы», 2002. - 368 с.

58. Турчак JI. И., Плотников П. В. Основы численных методов: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 304 с.

59. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. 3-е изд. -М.: Физматлит: Лаб. базовых знаний, 2003. - 632 с.

60. Изучение кристаллизации промышленного электролита / С. И. Ножко, С. Н. Турусов, А. И. Березин и др. // Цветные металлы. 2005. № 8. С. 71-73.

61. Gene Н. G., James М. О. Scientific Computing and Differential Equations: An Introduction to Numerical Methods. London: Academic Press, 1991. - 344 p.

62. Zbigniew R. Struzik. Determining Local Singularity Strengths and their Spectra with the Wavelet Transform // Fractals. 2000. Vol. 8, No. 2. P. 163-179.

63. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.-232 с.

64. Stankovic L. J. On the Realization of the Polynomial Wigner-Ville Distribution for Multicomponent Signals // IEEE Signal Processing Letters. 1998. Vol. 5, No. 7. P. 157-159.

65. Rioul O., Duhamel P. Fast Algorithms for Discrete and Continuous Wavelet Transform // IEEE Transactions on Information Theory. 1992. Vol. 38, No. 2. P. 569-586.

66. Cooley W. Tukey J. W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Mathematics of Computation. 1965. Vol. 19, No. 90. P. 297— 301.

67. Патрикеев И. А., Степанов P. А., Фрик П. Г. Вейвлет-регуляризация операции дифференцирования сигналов с шумом // Вычислительные методы и программирование. 2005. Т. 6. С. 35^2.

68. Zbigniew R. Struzik. Revealing Local Variablity Properties of Human Heartbeat Intervals with the Local Effective Holder Exponent // Fractals. 2001. Vol. 9, No.l.P. 77-93.

69. Сизиков В. С. Устойчивые методы обработки результатов измерений. Учебное пособие. СПб.: «СпецЛит», 1999. - 240 с.

70. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. -285 с.

71. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. -М.: Мир, 1989.-540 с.

72. Цветков Э. И. Основы математической метрологии. СПб.: Политехника, 2005.-510 с.

73. Щеголев В.И., Лебедев О.А. Электролитическое получение магния. М.: Издательский дом «Руда и металлы», 2002. - 368 с.

74. Ancsin, J. Equilibrium melting curves of silver using high-temperature calorimeters // Metrologia. 2001. Vol. 38, No. 3. - P. 1-7.