Итерационно-операторный метод нелинейной компенсации и построение персептронных моделей фильтров импульсных помех тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Дегтярев, Сергей Андреевич

• Дегтярев, Сергей Андреевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Дегтярев, Сергей Андреевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМ НЕЛИНЕЙНОЙ КОМПЕНСАЦИИ И ФИЛЬТРАЦИИ В РАМКАХ ОПЕРАТОРНОГО ПОДХОДА.

1.1. Операторный подход к решению задач нелинейной компенсации и фильтрации.

1.2. Математические модели нелинейных операторов.

1.2.1. Полиномиальные модели.

1.2.2. Нейронные модели.

1.3. Сравнительный анализ моделей нелинейных операторов.

1.4. Методы слепой компенсации нелинейных искажений сигналов.

1.4.1. Нелинейная инверсия высокого порядка.

1.4.2. Метод-корней уравнения Вольтерры.

1.4.3. Метод фиксированной точки.

1.5. Основные результаты, полученные в первой главе.

2. ИТЕРАЦИОННО-ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД НЕЛИНЕЙНОЙ КОМПЕНСАЦИИ В НЕРЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМАХ.

2.1. Синтез нелинейного операторного уравнения компенсатора и итерационная процедура его решения.

2.2. Сходимость и усечение итерационно-операторной процедуры компенсации.

2.3. Компенсация нелинейных искажений модели Вольтерры спутникового канала связи.

2.3.1. Результаты компенсации при фазоманипулированном воздействии

2.3.2. Результаты компенсации при квадратурной амплитудной модуляции воздействия.

2.4. Компенсация нелинейных искажений модели Винера канала связи.

2.5. Основные результаты, полученные во второй главе.

3. ИТЕРАЦИОННО-ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД НЕЛИНЕЙНОЙ КОМПЕНСАЦИИ В РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМАХ.

3.1. Синтез нелинейного операторного уравнения компенсатора и итерационная процедура его решения.

3.2. Сходимость и усечение итерационной-операторной процедуры компенсации.

3.3. Компенсация нелинейных искажений рекурсивной модели электродинамического громкоговорителя.

3.4. Основные результаты, полученные в третьей главе.

4. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСЕПТРОННЫХ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРОВ ИМПУЛЬСНЫХ ПОМЕХ.

4.1. Применение нейронных сетей для решения задачи нелинейной фильтрации импульсного шума.

4.2. Сигналы изображений и критерий оценки точности фильтрации.

4.3. Нелинейная фильтрация импульсного шума средней плотности.

4.4. Нелинейная фильтрация импульсного шума высокой плотности.

4.5. Основные результаты, полученные в четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итерационно-операторный метод нелинейной компенсации и построение персептронных моделей фильтров импульсных помех»

Актуальность. Развитие аналоговой и цифровой техники идет по пути усложнения технических устройств и ужесточения требований к их качеству, в частности к линейности характеристик. Требования, предъявляемые к степени линейности проектируемых устройств электротехники, радиоэлектроники, электроакустики, как правило, выше тех, что могут быть обеспечены современными технологическими возможностями. Например, реальные усилители, активные фильтры, сумматоры и другие линейные элементы в практическом исполнении содержат существенно нелинейные элементы (транзисторы, вакуумные лампы и т. д.), устранить нелинейные свойства которых удается только в определенном диапазоне изменения параметров действующих сигналов. Но и в этом случае подавление практически не является полным. В результате возникают нелинейные искажения.

Нелинейные искажения порождают многие нежелательные эффекты и являются причиной ухудшения ряда показателей качества как отдельных технических устройств, так и систем в целом. Вызывая появление высших и интермодуляционных составляющих в реакции устройств, они ухудшают качество звучания электроакустической аппаратуры, создают препятствия на пути решения проблемы электромагнитной совместимости в приборостроении, снижают точность воспроизведения сигналов, помехозащищенность, разрешающую и пропускную способности в системах связи, технике СВЧ и других областях радиотехники.

Использование традиционных методов борьбы с нелинейными искажениями, таких, как линейная инверсия, линеаризация характеристик отдельных нелинейных элементов и т. п., не всегда оказывается эффективным, что обусловлено повышением степени интеграции технических устройств и расширением области задач прецизионной обработки сигналов. Наиболее эффективными методами подавления нелинейных искажений являются методы их компенсации, которые позволяют повысить качество технических устройств при заданном уровне развития технологии их производства [1] — [6].

В условиях внешних негауссовских помех качество технических устройств и систем повышается в результате решения задачи нелинейной фильтрации. Источниками1 негауссовского шума являются: коммутация-электротехнических устройств, шумы арифметики, повреждение объектов, хранения информации, различные атмосферные явления и т. д.

В диссертационной работе в качестве негауссовского шума рассматривается импульсный шум. Классический метод борьбы с импульсным шумом - медианная фильтрация не обеспечивает высокую степень подавления помех из-за искажения фрагментов сигналов, непораженных помехой, а известные методы полиномиальной фильтрации, лишенные указанного недостатка, сопровождаются проблемой плохой обусловленности [7] - [13].

В последнее время при решении задач нелинейной компенсации и фильтрации на первый план выходит необходимость достижения максимальной точности обработки сигналов, несмотря на сложность применяемых методов и алгоритмов, а также существенные вычислительные затраты на их реализацию. Действительно, стремительный рост ч производительности вычислительной, и измерительной техники уже сегодня позволяет реализовать (часто в реальном времени) сложные алгоритмы преобразования сигналов.

Таким образом, совершенствование существующих и разработка новых методов нелинейной компенсации и фильтрации для- обеспечения высокой точности обработки сигналов является актуальной задачей.

В данной работе задача нелинейной компенсации и фильтрации решается в рамках операторного подхода, когда искажающее устройство описывается нелинейным оператором, однозначно отображающим множество входных сигналов во множество выходных сигналов [3], [14]. Преимуществами указанного подхода являются: возможность моделирования процессов различной физической природы, протекающих в сложных устройствах [15] — [19]; возможность моделирования устройства в ситуации, когда отсутствует информация о его внутреннем содержании или имеет место неполное описание. В этом случае объект представляется в виде "черного" или "серого" ящика [20], [21]; универсальность подхода, заключающаяся в применении известных моделей для синтеза устройств различного функционального назначения-[3], [4], [8]-[10].

Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка итерационно-операторного метода компенсации нелинейных искажений сигналов в цифровых системах и построение нейронных моделей фильтров импульсных помех.

Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:

1. Разработка итерационно-операторного метода слепой нелинейной компенсации искажений сигналов в системах, описываемых нелинейными разностными уравнениями.

2. Разработка укороченной итерационной процедуры компенсации для нелинейных нерекурсивных и рекурсивных систем, моделируемых разностными уравнениями.

3. Получение условий сходимости итерационных процедур решения нелинейных нерекурсивного и рекурсивного разностных уравнений компенсаторов.

4. Построение модели нейронного персептронного фильтра с расщепителем для подавления импульсных помех.

Методы исследования. Основу методологии работы составляют методы математического моделирования нелинейных систем, методы функционального анализа, теории искусственных нейронных сетей, цифровой обработки сигналов.

Для решения задач, поставленных в диссертационной работе, использованы:

- методы моделирования, идентификации и синтеза нелинейных систем на основе функциональных рядов и полиномов, описанные в работах Л. В. Данилова, Е. Б. Соловьевой, К. А. Пупкова, В. И. Капалина, Б. М. Богдановича, А. А. Ланнэ, И. К. Даугавета, Ю. А. Бычкова, С. В. Щербакова, Н. В. Коровкина;

- методы цифровой обработки сигналов, изложенные в трудах Л. М. Гольденберга, А. Б. Сергиенко, А. И. Солониной, Д. А. Улаховича, С. М. Арбузова;

- методы синтеза нелинейных систем на основе нейронных сетей, изложенные в трудах А. И. Галушкина, С. Хайкина, С. Осовского.

Научная новизна,работы заключается в следующем:

1. Итерационно-операторный метод слепой компенсации нелинейных искажений сигналов в цифровых системах, описываемых нелинейными разностными уравнениями, обеспечивает точность компенсации, недостижимую методами-аналогами.

2. Укороченная итерационная процедура решения нелинейного разностного уравнения компенсатора сокращает вычислительные затраты алгоритма компенсации.

3. Условия сходимости итерационных процедур описывают области решений нерекурсивного и рекурсивного нелинейных разностных уравнений компенсаторов.

4. Модель нейронного персептронного фильтра с расщепителем, применяемая для подавления импульсных помех, является более простой' по сравнению с полиномиальной моделью, при этом не уступает ей по точности фильтрации.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов подтверждается, строгостью доказательств утверждений и наложенных ограничений, обоснованностью применения математического аппарата, результатами экспериментальных исследований на программных моделях.

Практическая ценность работы заключается том, что полученные результаты позволяют:

1. На основе итерационно-операторного метода выполнять слепую компенсацию нелинейных искажений сигналов в цифровых системах, описываемых нерекурсивными и рекурсивными уравнениями, с точностью, недостижимой известными аналогами. Применение укороченной итерационной процедуры решения нелинейного разностного уравнения сокращает вычислительные затраты алгоритма компенсации.

2. С помощью разработанных в системе МАТЬАВ программных средств решать задачу подавления нелинейных искажений сигналов в каналах связи с моделями Вольтерры и Винера, а таюке в электродинамическом громкоговорителе, моделируемом рекурсивным разностным уравнением. Итерационно-операторный метод дает более высокую точность компенсации по сравнению с его аналогами.

3. Моделировать нелинейные операторы фильтров импульсных помех на основе нейронных персептронных цепей с расщепителем. С помощью разработанного в системе МАТЬАВ программного средства синтезировать персептронные фильтры для очистки сигналов растровых нецветных изображений от импульсного шума. На классе двумерных сигналов (сигналов изображений) персептронная модель фильтра существенно проще полиномиальной модели и не уступает ей по качеству восстановления изображений.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Итерационно-операторный метод слепой нелинейной компенсации искажений сигналов в системах, описываемых нелинейными разностными уравнениями.

2. Укороченная итерационная процедура компенсации для нелинейных нерекурсивных и рекурсивных систем, моделируемых разностными уравнениями.

3. Условия сходимости итерационных процедур решения нелинейных нерекурсивного и рекурсивного разностных уравнений компенсаторов.

4. Модель нейронного персептронного фильтра с расщепителем для подавления импульсных помех.

Реализация и-внедрение результатов исследований.

Разработанный итерационно-операторный метод нелинейной компенсации использован для линеаризации моделей цифровых каналов связи в НИРГ№2.2.2.3.8188, выполненной на кафедре теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) в 2009г. по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», а также в НИР

Отвага 2010» «Исследование вопросов обеспечения устойчивости системы военной связи в условиях информационного противоборства», выполненной в Военной академии связи им. С.М. Буденного по заказу Главного управления связи ВС РФ.

Предложенные в диссертационной работе методики синтеза нелинейных компенсаторов и фильтров дополняют анализ и синтез электрических цепей, выполняемый на основе схемных определителей и реализуемый в системе программ SCAD, разработанной на кафедре «Электроснабжение» Ульяновского государственного технического университета (УлГТУ). Указанные методики используются в учебном процессе цикла «Теоретические основы электротехники» кафедры «Электроснабжение» УлГТУ для проектирования высоколинейных трактов передачи радиосигналов и при моделировании четырехполюсников.

Апробация. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались

- на международных конференциях «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва, 2008, 2009;

- на международном симпозиуме по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии, Санкт-Петербург, 2009;

- на научно-технических конференциях СПбНТОРЭС им. A.C. Попова, Санкт-Петербург, 2008-2010;

- на НТК профессорско-преподавательского состава Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета им. В.И. Ульянова (Ленина), Санкт-Петербург, 2008-2010;

- на НТК студентов и аспирантов Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, 2007.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 работах: из них 4 статьи в изданиях, входящих в перечень ВАК, 1 статья в другом издании, 7 докладов на научных конференциях, 2 зарегистрированных программных средства.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 114

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дегтярев, Сергей Андреевич

4.5. Основные результаты, полученные в четвертой главе

1) Для борьбы с импульсными помехами предложено синтезировать нелинейные фильтры на основе теории расщепления и теории искусственных нейронных сетей. Достоинствами нейронного метода синтеза нелинейных фильтров являются следующие: инвариантность к статистическим свойствам сигналов и помех, в том смысле, что учет этих статистических свойств производится автоматически в процессе синтеза, когда фильтр обучается; отсутствие проблемы плохой обусловленности задачи аппроксимации нелинейного оператора устройства, характерной для полиномиальной фильтрации; возможность повышения точности фильтрации путем введения в комбинированные фильтры сглаживающих устройств более качественных, чем классические МФ (например, адаптивных [12], [13], итерационных [11], переключающихся МФ [114]), а также путем повышения степени нелинейности синтезируемых фильтров. Следует отметить, что при высокой нелинейности комбинированного нейронного фильтра сложность нахождения глобально-оптимальных параметров его модели существенно возрастает, поскольку решается задача аппроксимации нелинейного оператора математической моделью с большим числом нелинейно входящих параметров; синтезированные в работе фильтры можно применять для восстановления любых полутоновых изображений с 256 уровнями серого, пораженных импульсным шумом типа «соль и перец» с плотностью, при которой указанные фильтры были синтезированы, или при небольшом отклонении от нее.

2) На классе искаженных импульсным шумом типа «соль и перец» полутоновых изображений при разрешении, измеряемом 256 уровнями серого, выполнена нейронная фильтрация, результаты которой сравнивались с результатами медианной и полиномиальной фильтраций. Показано, что при средней плотности импульсного шума среднеквадратичная погрешность восстановления изображений КДП с двумя нейронами и сглаживающим МФ 3x3 равна погрешности обработки КФВ 3-й степени с МФ 3x3 и существенно ниже погрешностей медианной фильтрации и комбинированной фильтрации на основе полиномиального персептрона (см. рисунок 4.10, таблицу 4.3). Указанные КДП и КФВ дают одинаковое качество изображений (см. рисунок 4.7, в и рисунок 4.9, в); при высокой плотности импульсного шума КФВМ 3-й степени с МФ 3x3 обеспечивает меньшую погрешность фильтрации, чем нейронные и медианные фильтры (см. рисунок 4.17). Однако, качество изображений на выходе указанного КФВМ и КДП со сглаживающим МФ 5x5 и тремя нейронами практически соизмеримо (см. рисунок 4.13, в и рисунок 4.16, б).

3) На основании результатов проведенных исследований сделан вывод о том, что для борьбы с импульсными помехами целесообразно использовать КДП, не уступающие по качеству восстановления изображений КФВ и КФВМ, но имеющие модель существенно проще указанных аналогов (см. таблицу 4.4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан итерационно-операторный метод компенсации нелинейных искажений сигналов в цифровых системах, описываемых рекурсивным и нерекурсивным разностным уравнением. В соответствии, с указанным методом на основе операторного уравнения исходного искажающего устройства синтезируется нелинейное операторное уравнение компенсатора, решение которого находится с помощью итерационной процедуры. Показано, что погрешность компенсации итерационно-операторным методом не зависит от порядка внутренней линейной инверсной подсистемы компенсатора. Данное свойство может быть использовано в итерационно-операторной процедуре для сокращения ее вычислительных затрат без понижения точности компенсации.

2. Получены условия сходимости итерационно-операторной процедуры компенсации искажений сигналов в цифровых системах, описываемых рекурсивным и нерекурсивным разностными уравнениями.

3. Предложена укороченная итерационная процедура компенсации, когда на А;-ой итерации расчета модель компенсатора ограничена А>ой степенью. Укороченная процедура требует меньших вычислительных затрат, чем полная, точность компенсации при этом не снижается.

4. Итерационно-операторный метод нелинейной компенсации применен для подавления нелинейных искажений сигналов в модели Вольтерры и модели Винера канала связи. При обработке сигналов с различными видами модуляции (PSK и QAM) показано, что:

- итерационно-операторный метод обеспечивает меньшие равномерную и среднеквадратичную погрешности по сравнению с линейной инверсией, инверсией высокого порядка и методом фиксированной точки; в случае действия в канале связи, представленном моделью Вольтерры, гауссовского шума при snr < 25 дБ рассмотренные методы нелинейной компенсации дают одинаковые погрешности в равномерной и среднеквадратичной метриках; при snr > 25 дБ метод фиксированной точки и итерационно-операторный метод обеспечивают одинаковые погрешности компенсации, меньшие по сравнению с другими методами. С ростом snr

116 равномерная и среднеквадратичная погрешности итерационной компенсации уменьшаются существенно быстрее, чем погрешности неитерационных методов;

- в случае действия в канале связи, представленном1 моделью Винера, гауссовского шума метод фиксированной точки; и итерационно-операторный метод обеспечивают одинаковую точность компенсации, большую по сравнению с другими методами.

5. Итерационно-операторный метод применен для подавления нелинейных искажений в рекурсивной модели электродинамического громкоговорителя при гармоническом и бигармоническом воздействиях. В результате нелинейной компенсации установлено:

- итерационно-операторный метод обеспечивает существенно меньшие равномерную и среднеквадратичную погрешности компенсации по сравнению с методом фиксированной точки; чем выше искажения выходного сигнала громкоговорителя; тем медленнее сходимость итерационной процедуры к решению нелинейного операторного уравнения компенсатора; вычислительные затраты итерационно-операторной процедуры уменьшаются при ее усечении, точность компенсации при этом сохраняется.

6. Построены модели нелинейных фильтров; импульсных помех, на основе персептронных цепей с расщепителем.

На. классе искаженных : импульсным шумом типа «соль и перец» полутоновых изображений при разрешении, измеряемом 256' уровнями серого, выполнена; нейронная фильтрация, результаты которой сравнивались с результатами медианной и полиномиальной фильтраций; Показано следующее:

- при средней; плотности- импульсного шума среднеквадратичная погрешность восстановления изображений КДП с двумя нейронами, и сглаживающим МФ 3x3 равна погрешности обработки КФВ 3-й' степени с МФ 3x3 и существенно ниже погрешностей медианной фильтрации и комбинированной фильтрации на основе полиномиального персептрона. . Указанные КДП и КФВ дают одинаковое качество изображений; при высокой плотности импульсного шума КФВМ 3-й степени с МФ 3x3 обеспечивает меньшую погрешность фильтрации, чем нейронные и медианные фильтры. Однако качество изображений на выходе указанного КФВМ и КДП с тремя нейронами и сглаживающим МФ 5x5 практически соизмеримо.

Таким образом, в результате исследований установлено, что для борьбы с импульсными помехами целесообразно использовать КДП, не уступающие по качеству восстановления изображений КФВ и КФВМ, но имеющие модель существенно проще указанных аналогов.

7. В системе МАТЬАВ созданы: программные средства для итерационно-операторной компенсации нелинейных искажений сигналов в цифровых системах, описываемых рекурсивным и нерекурсивным разностными уравнениями; программа построения модели нелинейных фильтров импульсных помех в виде комбинированного двухслойного персептрона с расщепителем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Дегтярев, Сергей Андреевич, 2011 год

1. Прокис Дж. Цифровая связь / Пер: с англ.; Под ред. Д. Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2000:

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2007.

3. Соловьева Е.Б. Синтез нелинейных фильтров и преобразователей сигналов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007. 48с.

4. Соловьева Е.Б. Дискретные цепи. Синтез нелинейных цифровых компенсаторов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 48с.

5. G. Lazzarin, S. Pupolin, A. Sarti, "Nonlinearity compensation in digital radio systems", IEEE Trans.Communication, vol. 42, no.2/3/4, pp. 988999, 1994.

6. Nitsch J., Solovyeva E.B., Korovkin N.V., Scheibe H.-J. Compensation of low-frequency disturbances by linearization of the electronic systems characteristic // IEEE Transactions on Electromagnetic compatibility.-2008.- vol.50.-№4.- P.887-894.

7. Mathews V.J., Sicuranza G.L. Polynomial signal processing.— New York.: John Wiley & Sons, 2000:

8. Ланнэ А. А., Соловьева E. Б. Нелинейная фильтрация изображений > с импульсными помехами (основы теории) // Изв. вузов. Радиоэлектроника.- 2000.- Т. 43.-№,3. С. 3-10.

9. Ланнэ А. А., Соловьева Е. Б. Нелинейная фильтрация изображений с импульсными помехами (примеры реализации) // Изв. вузов. Радиоэлектроника.- 2000.- Т. 43,- № 4 С. 3-11.

10. Ланнэ А.А., Соловьева Е.Б. Нелинейная фильтрация импульсных помех методом расщепления // Изв. вузов. Радиоэлектроника— 1999 — Т. 42 — №7.- С. 3-17.

11. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т. С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г. Дж. Нуссбаумер и др.; Под ред. Т. С. Хуанга.- М.: Радио и связь, 1984. 221 с.

12. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений— М.: Техносфера, 2006 1070 с.

13. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая- обработка изображений в среде MATLAB. М.: Техносфера, 2006.- 615 с.

14. Соловьева Е.Б., Коровкин Н.В., Нитч Ю. Использование операторного метода в задаче компенсации низкочастотных помех в нелинейных устройствах // Электричество 2007 - № 1- С.56-64.

15. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976.

16. Ланнэ A.A. Нелинейные динамические системы: синтез, оптимизация, идентификация. — Л.: ВАС, 1985.

17. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб.: Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отделение, 2001. - 344 е.: илл.

18. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Хаос в динамических системах. -СПб.: Изд-во «Технолит», 2009. 314 с.

19. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Расчет математических моделей динамических систем аналитически-численным методом. — СПб.: Изд-во «Технолит», 2010.-380 с.

20. Данилов Л.В. Ряды Вольтерра-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987.

21. Цыпкин яз. Информационная теория идентификации. М.: Наука, 1995.

22. V. J. Mathews, "Adaptive polynomial filters", IEEE Signal Processing Magazine., vol. 8, no.3, pp. 10-26, July, 1991.

23. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд.— СПб.: Питер, 2007.-751 е.: ил.

24. Башарин С. А., Соловьева Е.Б. Моделирование и анализ нелинейных электрических цепей: Учеб. пособие. СПб.: СПбГЭТУ, 1999.

25. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филипов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. — Энергоатомиздат, 1990.

26. Даугавет И.К. О методе расщеплений в задаче приближения операторов / Тр. СПб МО. 1996. Т.4. С. 69-112.

27. Соловьева Е.Б., Коровкин Н.В. Моделирование нелинейных процессов в экранированной камере на основе метода расщепления // Электронное моделирование. 2008 - Т.30, № 2 - С.81-92.

28. Т. Koh, Е. J. Powers Second-order Volterra filtering and its application to nonlinear system identification // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing (ASSP).-vol. 33.-no. 6.-pp. 1445-1455, December, 1985.

29. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации — М.: Финансы и статистика, 2002 343 с.

30. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е изд., испр.: Пер с англ. М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2006.- 1104 с.

31. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. Кн. 1: Учеб. пособие для вузов / Общая ред. А.И. Галушкина- М.: ИПРЖР, 2000 416 е.: ил. (Нейрокомпьютеры и их применение).

32. Галушкин А.И., Цыпкин Я.З. Нейронные сети: история развития теории. М.: ИПРЖР, 2001

33. S. Choi, D. Hong Equalization using the bilinear recursive polynomial perceptron with decision feedback // Proceedings of the IEEE-INNS-ENNS International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN'00), 2000.

34. J.-P. Martens, N. Weymaere An Equalized Error Backpropagation Algorithm for the On-Line Training of Multilayer Perceptrons // IEEE Trans. Neural Networks, vol.13, no.3, May, pp. 532-541, 2002.

35. A. Zerguine, A. Shafi, M. Bettayeb Multilayer Perceptron-Based DFE with Lattice Structure // IEEE Trans. Neural Networks, vol.12, no.3, pp. 532-545, 2001.

36. C. You, D. Hong Nonlinear Blind Equalization Schemes Using Complex-Valued Multilayer Feedforward Neural Networks // IEEE Trans. Neural Networks, vol. 9, no.6, pp. 1442-1455, 1998.

37. Xiang Z., Bi G., Le-Ngoc T. Polynomial perceptrons and their applications to fading channel equalization and co-channel interference suppression // IEEE Trans. SP.- 1994.- Vol. 42.- № 9.- P. 2470-2480.

38. J.C. Patra, R.N. Pal, R. Baliarsingh, G.Panda Nonlinear Channel Equalization for QAM Signal Constellation Using Artificial Neural Networks // IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics Part B: Cybernetics, vol.29, no.2, pp. 262-271, 1999.

39. S. Chen, G.J. Gibson, C.F.N. Cowan, P.M. Grant "Adaptive equalization of finite non-linear channels using multilayer perceptrons", Signal Processing, vol. 20, no. 1, 1990, pp. 107-119.

40. V. Z. Marmarelis, X. Zhao Volterra Models and Three-Layer Perceptrons // IEEE Trans. Neural Networks, vol. 8, no. 6, pp. 1421-1433, 1997.

41. W.G. Knecht Nonlinear noise filtering and beamforming using the perceptron and its Volterra approximation // IEEE Trans. Speech Audio Processing., vol. 2, no. 1, Part 1, January, pp. 55-62, 1994.

42. Park D.-C., Jung Jeong T.-K. Complex-bilinear recurrent neural network for equalization of a digital satellite channel // IEEE Trans. Neural Networks.- 2002.-Vol.13, №3.-P. 711-725.

43. J. Choi, M. Bouchard, T.H. Yeap Decision feedback recurrent neural equalization with fast convergence rate // IEEE Trans. Neural Networks, vol.16, no.3, May, pp. 699-708, 2005.

44. G. Kechriotis, E. Zervas, E.S. Manolakos Using recurrent neural networks for adaptive communication channel equalization // IEEE Trans. Neural Networks, vol.5, no.2, pp. 267-278, 1994.

45. S. Chen, B. Mulgrew, P.M. Grant A clustering technique for digital communications channel equalization using radial basis function networks // IEEE Trans. Neural Networks, vol.4, no.4, pp. 570-579, 1993.

46. D. Jianping, N. Sundararajan, P. Saratchandran Communication Channel Equalization Using Complex-Valued Minimal Radial Basis Function Neural Networks // IEEE Trans. Neural Networks, vol.13, no.3, May, pp. 687-696, 2002.

47. N. Xie, H. Leung Blind equalization using a predictive radial basis function neural network // IEEE Trans. Neural Networks, vol.16, no.3, May, pp. 709-720, 2005.

48. Park J., Sandberg I.W. Universal Approximation Using Radial-Basis Function Networks , Neural Computation, 1991, v.3, pp.246-257.

49. A. Uncini, L. Vecci, P. Campolucci, F. Piazza "Adaptive Spline Activation Function for Digital Radio Links Nonlinear Equalization", IEEE Trans. Signal Processing, vol.47, no.2, pp. 505-514, 1999.

50. L. Vecci, F. Piazza, A. Uncini Learning and approximation capabilities of adaptive spline activation neural networks // Neural'Networks, vol. 11, no. 2, pp. 259-270, Mar. 1998.

51. S. Guarnieri, F. Piazza, A. Uncini Multilayer Feedforward Networks with Adaptive Spline Activation Function // IEEE Trans. Neural Networks, vol.10, no.3, May, pp. 672-683, 1999.

52. Алберг Д., Нильсон Э., Уолш Д. Теория сплайнов и ее приложения Перевод с английского - Под ред. С.Б. Стечкина.- М.: Мир — 1972

53. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория-, алгоритмы, программы-Новосибирск: Наука.- 1983.

54. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.-360с.-ISBN 5-9221-0733-Х.

55. Соловьева Е.Б. Компенсация нелинейных искажений сигналов в каналах связи методом расщепления // Цифровая обработка сигналов — 2005 №4 - С.2-8.

56. Schetzen М. Theory of pi/z-order inverses of nonlinear systems // IEEE Trans. CAS. 1976. Vol. 23, № 5. P. 285-289.

57. On the convergence of Volterra filter equalizers using a pth-order inverse approach / Y.-W. Fang, L.-C. Jiao, X.-D. Zhang, J. Pan // IEEE Trans. SP. 2001. Vol. 49, № 8. P. 1734-1744.

58. Carini A., Sicuranza G. L., Mathews J. V. On the inversion of certain nonlinear systems // IEEE signal processing letters- vol. 4 No. 12- 1997-P.334-336.

59. Carini A., Sicuranza G. L., Mathews J. V. Equalization of recursive polynomial systems // IEEE signal processing letters vol. 6— No. 12 — 1999 — P.312-314.

60. A.L. Redfern, G.T. Zhou "A root method for Volterra systems equalization", IEEE Signal Processing Letters, vol. 5, no. 11, pp. 285-288, Nov., 1998.

61. Nowak R. D., Van Veen B. D. Volterra filter equalization: a fixed point approach // IEEE Trans. SP. 1997. Vol. 45, № 2. P. 377-388.

62. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика: Учеб. пособие 4-е изд. Перераб. и доп.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 296 е.- ISBN 5-9221-0092-0.

63. Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 7-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.- 572 с.- ISBN 5-9221-0266-4.

64. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т.— М.: Дрофа, 2006 — (Высшее образование: Современный учебник).

65. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

66. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов— М.: Техносфера, 2006.

67. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. Справочник-М.: Радио и связь, 1985

68. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. Учеб. пособие для вузов —М.: Радио и связь, 1990

69. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов — СПб.: Политехника, 1998.

70. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов-М.: Мир, 1978.

71. Соловьева Е.Б., Дегтярев С.А. Подавление нелинейных искажений сигналов в спутниковом канале связи на основе итерационно-операторного метода // Известия вузов России. Радиоэлектроника— 2009 — №4.- С.32-42.

72. S. Boyd, L.O. Chua, C.A.Desoer "Analytical foundations of Volterra seriers" // IMA Journal of Mathematical Control & Information, no. 1, pp. 243282, 1984.

73. S. Boyd, L.O. Chua Fading memory and the problem of approximation nonlinear operators with Volterra seriers // IEEE Trans. CAS, vol. 32, no. 11, pp. 1150-1161, 1985.

74. Design of a Volterra series-based nonlinear compensator / J.Y. Kim, K.Y. Cho, Y.N. Kim, J.H. Chung, S.W. Nam // Proceedings of the 1997 IEEE Signal Processing Workshop on Higher-Order Statistics (SPW-HOS '97), pp. 127131, 1997.

75. Tsimbinos J., Lever К. V. The computational complexity of nonlinearth *compensators based on the Volterra inverse Proceedings of the 8 IEEE Signal Processing Workshop on Statistical Signal and Array Processing (SSAP'96)-P.387-390 - 1996.

76. Benedetto S., Biglieri E., Daffara R. Modeling and performance evaluation of nonlinear satellite links a Volterra series approach // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. 1979. Vol.15, № 4. P.494-506.

77. Benedetto S., Biglieri E. Nonlinear equalization of digital satellite channels // IEEE Journal on selected areas in communications. 1983. Vol.1, № 1. P.57-62.

78. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Маркова-М.: Связь, 1979.

79. Дегтярев С.А. Итерационно-операторная компенсация в нелинейных каналах связи // 64-я научно-техническая конференция СПбНТОРЭС им. А.С. Попова: Труды конференции, г. С.-Петербург, апрель 2009 г. С.-Петербург: ООО «Технопромимпорт». - 2009. - С. 38-39.

80. М. Schetzen, The Volterra & Wiener Theories of Nonlinear Systems. Wiley-Interscience, New York 1980.

81. Rugh W.J. Nonlinear system theory. The Volterra/Wiener Approach-The Johns Hopkins University Press 1981

82. H.W. Kang, Y.S. Cho, D.H. Youn Adaptive Precompensation of Wiener Systems // IEEE Trans. Signal Processing, vol. 46, no. 10, pp.2825-2829, 1998.

83. Jle Хай Нам Рекуррентный нейросетевой эквалайзер с алгоритмом расширенного фильтра Калмана // Нейрокомпьютеры: разработка и применение № 2 — 2006 — С.71—79.

84. Дегтярев С.А. Линеаризация модели Винера каналов связи итерационно-операторным методом // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ».— 2010 — №3 С. 33-40.

85. Соловьева Е. Б., Дегтярев С. А. Итерационно-операторный метод нелинейной компенсации в рекурсивных системах // Известия вузов. Радиоэлектроника 2009 - №9- С.47-59.

86. Dobrucki А.В. Modelowanie znieksztalcen nieliniowych glosnikow dynamicznych metoda NARMAX" // Instytut Telekomunikacj i Akustyki Politechniki Wroclawskiej, Raport Nr I-28/P-025/01, Wroclaw, 2001

87. Dobrucki A.B., Pruchnicki P. Application of the NARMAX method to the modelling of the nonlinearity of dynamic loudspeakers // Archives of Acoustics, 26, 4, 2001, P.277-291.

88. Электроакустика и звуковое вещание: Учебное пособие для вузов / И.А. Алдошина, Э.И. Вологдин, А.П. Ефимов и др.; Под ред. Ю.А. Ковалгина М.: Горячая линия-Телеком, Радио и связь, 2007 - 872 е.: ил.

89. Алдошина И. А. Электродинамические громкоговорители. М.: Радио и связь, 1989. -272с.

90. Voishvillo A., Terekhov A., Czerwinski Е., Alexandrov S. Graphing, interpretation and comparison of results of loudspeaker nonlinear distortion measurements //J. Audio Eng. Soc. -2004. -V. 52, №4.-332-357.

91. Громкоговорители. Методы измерения электроакустических параметров: ГОСТ 16122-87. Введ. 01.01.1989- NL: Издательство стандартов, 1988.-92 е.: ил.

92. Частоты для-акустических измерений: Предпочтительные ряды: ГОСТ 12090-80.-Введ. 01.01.1981-М.: Издательство стандартов, 1980.-2 с.

93. Соловьева Е.Б., Дегтярев С.А. Итерационно-операторная процедура нелинейной рекурсивной компенсации; С.Петерб. электротехн. ун-т.- ГосФАП; Инв. №50200900414.- 2009.- 14 с.

94. Ramponi G., Sicuranza L. Quadratic digital filters for image processing // IEEE Trans. ASSP.- 1988.- Vol. 36.- № 6,- P. 937-939:

95. Chen Т., Chen H; Universal approximation to nonlinear operators by neural networks wiffi arbitrary activation functions and its application to dynamical systems // IEEE Trans. Neural Networks 1995 - Vol. 6.- № 4 - P. 911-917.

96. Ланнэ A.A., Соловьева Е.Б. Моделирование нелинейных дискретных систем на основе персептрона с расщепителем // Цифровая обработка сигналов. 2006. №3. С. 2 -8.

97. S. Chen- G.J. Gibson, C.F.N. Cowan "Adaptive channel equalization using a polynomial- perceptrons structure", IEE Proceedings Part 1 -Communications, speech and-vision, vol. 137, no. 5, 1990; pp. 257-264./

98. Дьяконов В:, Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник- СПб.: Питер-2002 — 602 с.

99. Солонина А.И: Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB / А.И. Солонина, С.М. Арбузов.- СПб.: БХВ-Петербург, 2008.- 816 с.: ил — (Учебное пособие)

100. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1 + Simulink 5/6. Работа с изображениями и видеопотоками.— М;: СОЛОН-Пресс. 2005- 400 стр.

101. В.П. Дьяконов, B.B: Круглов MATLAB 6.5 SP 1/7/7 SP1/7 SP2 + , Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики.

102. Серия «Библиотека профессионала».-М.: СОЛОН-ПРЕСС. 2006 456 е.: ил.

103. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Нейронные сети. MATLAB 6-М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002.- 489 с.

104. Соловьева Е.Б., Дегтярев С.А. Синтез нейронных фильтров импульсных помех для восстановления изображений // Известия вузов. Радиоэлектроника 2008 - №12 - С.46-57.

105. Дегтярев С.А. Нейронная фильтрация двумерных импульсных помех // 63-я научно-техническая конференция СПбНТОРЭС им. A.C. Попова: Труды конференции, г. С.-Петербург, апрель 2008 г. С.-Петербург: Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»,- 2008.- С.65-67.

106. Соловьева Е.Б., Дегтярев С.А. Синтез трехслойных персептронных фильтров для удаления импульсного шума с изображений; С.Петерб. электротехн. ун-т.-ГосФАП; Инв. №50200701015.-2007.- 13 с.

107. Приоров А. Л., Апальков И. В., Бухтояров С. С., Хрящев В. В. Переключающийся медианный- фильтр с блоком предварительного детектирования // Цифровая обработка сигналов 2006 - № 4 — С. 2-7.4 >

108. Программа слепой компенсации нелинейных искажений PSK-сигналов в модели Вольтерры спутникового канала связи.close all; clear all;1. Число итераций К = 35;

109. Количество символов N = 20000;

110. Позиционность модуляции М= 16;

111. Формирование информационной последовательности m = uint32(l:N+3); j(m) = floor(M*rand(l N+3.));

112. Формирование комплексной огибающей фазоманипулированного сигнала х = pskmod(j,M,pi/M,'gray'); х(1:3) = 0;

113. Программа слепой компенсации нелинейных искажений PSK-сигналов вмодели Винера канала связи.close all; clear all;1. Число итераций К = 40;

114. Число отсчетов линейной ИХ инверсной подсистемы компенсатора In = 8;1. Параметры модели каналаhi = 1.0119 0.7589i, -0.3796 + 0.5059i.; h2 = 0.2; h3 = 0.1;1. Входной сигнал

115. Количество символов N = 20000;

116. Позиционность модуляции M = 8;

117. Формирование информационной последовательности m = uint32(l:N); j(m) = floor(M*rand(l N.)); %Формирование комплексной огибающей фазоманипулированного сигнала х = pskmod(j,M,pi/M,'gray')/2; xjl) = 0;

118. Выходной сигнал нелинейной модели канала связи %Линейная частьу1 = conv(x,hl); %Нелинейная часть for k = 1:Nу(к) = у1(к) + h2*(yl(k)A2) + h3*(yl(k)A3); end

119. Линейная инверсная подсистема компенсатора numl = hi; denl = 1; num2 = l/hl(l).; den2 = [1, hl(2)/hl(l)]; hinv = impz(num2,den2,In); % Линейная инверсияy2 = conv(hinv,y); for k = 1 :Nyl(k) = y2(k); endclear y2xj = yi; xjft = yi;

120. Формирование таблицы погрешностей pogr(:,l) = fltravn; pogr(:,2) = ravn; pogr(:,3) = ftskv; pogr(:,4) = skv;