Исследования в категории пронильпотентных алгебр Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Швед, Елена Анатольевна

• Швед, Елена Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Швед, Елена Анатольевна

Введение

1. Категория пронильпотентных алгебр Ли

1.1. Обратные спектры и обратные пределы

1.2. Определение пронильпотентной алгебры Ли

1.3. Алгебры Ли с пронильпотентной топологией

1.4. Топологический линейный базис пронильпотентной алгебры Ли.

1.5. Конструкция свободной пронильпотентной алгебры Ли

2. Свободное пронильпотентное произведение в категории пронильпотентых алгебр Ли

2.1. Предварительные сведения

2.2. Свободное произведение в классе пронильпотентных алгебр Ли

3. Подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли

4. Идеалы свободного произведения пронильпотентных алгебр Ли

4.1. Предварительные сведения о свободном произведении алгебр Ли

4.2. Свободные дифференциальные расширения

4.3. Идеалы свободного произведения дискретных алгебр Ли

4.4. Теоремы об идеалах свободного пронильпотентного произведения пронильпотентных алгебр Ли

5. Аналог теоремы Грушко в категории пронильпотентных алгебр Ли

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования в категории пронильпотентных алгебр Ли»

Теория нилытотентных групп, нильпотентных колец и алгебр над полем играет исключительную роль в структурной теории групп и колец. Начиная с пятидесятых годов ХХ-го столетия эти классы групп и колец были расширены до класса групп, аппроксимируемых нильпотентными группами, и класса колец (алгебр), аппроксимируемых нильпотентными кольцами (алгебрами). Далее для этих классов алгебраических систем были получены многие важные результаты. Перечислим только те из них, которые имеют отношение к данной диссертации. А.И. Мальцев занимался проблемой нильпо-тентной аппроксимируемости колец и алгебр [13]. Отметим теорему А.И. Мальцева (1949) о том, что свободное произведение алгебр Ли, аппроксимируемых нильпотентными алгебрами, есть нильпотентно аппроксимируемая алгебра Ли. Используя эту теорему А.И. Ширшов по линейным базам алгебр Ли А и В построил линейную базу для свободного произведения А * В в классе алгебр Ли (см. [16]).

Г.П. Кукин [8] доказал, что декартова подалгебра свободного произведения алгебр Ли является свободной алгеброй Ли и конструктивно описал систему свободных порождающих, а, следовательно, и линейный базис декартовой подалгебры.

Известно, что на группе (алгебре), аппроксимируемой нильпотентными группами (алгебрами), можно определить (многими способами) так называемую пронильпотентную топологию, превращая тем самым группу (алгебру) в топологическую группу (алгебру). Кроме того, существует стандартная процедура, например, с помощью обратных пределов обратных спектров, пополнения такой топологической группы (алгебры) так, чтобы получилась прониль-потентная группа или алгебра, т.е. такая, в которой имеет предел любая чистая последовательность Коши. Таким образом, возникает новая категория алгебр Ли над полем - категория пронильпотент-ных алгебр Ли над полем.

Настоящая диссертация посвящена изучению свойств объектов категории пронильпотентных алгебр Ли. Мы вводим понятия свободного объекта и свободного произведения в этой категории и обобщаем результаты А.И. Мальцева, А.И. Ширшова, Г.П. Кукина для объектов новой категории. Мы изучаем также подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем и идеалы свободного произведения алгебр в этом классе.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы и занимает 65 страниц. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. В каждой главе все теоремы, определения, леммы и замечания имеют сквозную нумерацию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Швед, Елена Анатольевна, 2012 год

1. Бокуть Л.А. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем для алгебр Ли // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 5. С. 145-152.

2. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры // М.: Мир, 1976.

3. Бурбаки Н. Теория множеств // М.: Мир, 1964.

4. Гайнов А.Т. Коммутативные свободные и антикоммутативные свободные произведения алгебр // Сиб. мат. ж. 1962. Т. 3, № 6. С. 805-833.

5. Грушко И.А. О базисах свободного произведения групп // Мат. сб. 1940. Т. 8 С. 169-182.

6. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

7. Кузьмин Ю.В. О теоремах типа теоремы Нильсена-Шрайера в алгебре рядов от некоммутирующих переменных // Сиб. мат. ж. 1986. Т. 27, № 2. С. 91-103.

8. Кукин Г.П. О декартовой подалгебре свободной лиевой суммы алгебр Ли// Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 6. С. 701-713.

9. Кукин Г.П. О свободных произведениях ограниченных алгебр Ли // Мат. сб. 1974. Т. 95, № 1. С. 53-83.

10. Кукин Г.П. Подалгебры свободной лиевой суммы алгебр Ли с объединенной подалгеброй // Алгебра и логика. 1972. Т. 11. № 1. С. 59-86.

11. Кукин Г.П., Рунина E.B. Об алгебрах, конфинальных подалгебрам свободного произведения алгебр Ли. В сб. : Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: ОмГУ, 1999. С. 190-205.

12. Курош А.Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Мат. сб. 1947. Т. 20(62). С. 239-262.

13. Мальцев А.И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы// Мат. сб. 1949. Т. 25, № 3. С. 347-366.

14. Тавадзе А.Д., Шмелькин А.Л. Подгруппы свободных прониль-потентных групп. // Сообщ. АН Груз. ССР. 1979. Т. 93. С. 277279.

15. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1 // М.: Мир,1974.

16. Ширшов А.И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли // Сиб. мат. ж. 1962. Т. 3, № 2. С.297-301.

17. Ширшов А.И. Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр // Матем. сб. 1954. Т. 34, № 1. С. 81-88.

18. Ширшов А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Матем. сб. 1953. Т. 33, № 2. С. 441-452.

19. Kurosch A.G. Die Untergruppen der frien Produkte von beliebiegen Gruppen // Math. Ann. 1934. V. 109. P. 647-660.

20. Bokut' L.A., Kukin G.P. Algorithmic and Combinatorial Algebra. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1994.Список работ автора по теме диссертации

21. Швед Е.А. О пронильпотентных алгебрах Ли // Вестник Омского ун-та. 2001. № 4. С. 16-18.

22. Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории.алгебр Ли // Вестник Омского ун-та. 2002. № 4. С. 11-13.

23. Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории алгебр Ли и пронильпотентных алгебр Ли. Деп. в ВИНИТИ 05.1102.1897-В2002. 14 с.

24. Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории пронильпотентных алгебр Ли // Вест. Оме. ун-та. 2003. № 1. С. 10-12.

25. Швед Е.А. О подалгебрах свободного произведения в классе пронильпотентных алгебр Ли. Вест. Оме. ун-та. 2004. № 1. С. 25-27.

26. Швед Е.А. О категории пронильпотентных алгебр Ли. Вест. Оме. ун-та. 2012. № 2. С. 67-75.V. 65 \