Качественные и приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Голечков, Юрий Иванович

• Голечков, Юрий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Голечков, Юрий Иванович

Введение.

Глава 1. Качественные методы исследования характеристик динамических систем.

§1. Изучаемые математические модели (модели типов 1-5) динамических систем и предварительные сведения.

§2. Качественное исследование автономной модели типа 1.

§3. Исследование свойства ограниченности для модели типа

§4. Качественный анализ ньютоновской модели типа 2 с неограниченной диссипацией.

§5. Качественный анализ обобщенной матричной модели

§6. Качественный анализ скалярной и векторной моделей типов 4 и 5.

Глава 2. Приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем.

§1. Введение.

§2. Метод Чаплыгина.

§3. Сравнение методов Ньютона и Чаплыгина.

§4. Совпадение последовательностей Чаплыгина и Ньютона

§5. О сходимости последовательности Чаплыгина.

§6. Модификация метода Чаплыгина.

§7. Применение модифицированного метода Чаплыгина для интегрирования модели типа 4, описывающей движение рельсового экипажа.

§8. Алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши модели типа 1.

§9. Численное решение специальной модели типа 2.

§10. Устойчивость численного решения задачи Коши модели типа 1 .'.

§11. Построение алгоритма численного решения матричной модели Ляпунова типа 6.

Глава 3. Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем.

§1. Программа численного решения задачи Коши специальной модели типа 2 с помощью целых функций.

§2. Программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6.

§3. Программа расчета динамических характеристик колесных транспортных средств.

§4. Программа графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств

§5. Программа исследования влияния характеристик G, I и / колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа.

Глава 4. Проведение вычислительного эксперимента, анализ результатов моделирования характеристик динамических систем.

§1. Математическое моделирование вертикальных колебаний при движении колесного транспортного средства.

1.1. Изучение характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути.

1.2. Исследование характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей.

§2. Математическое моделирование устойчивости продольного движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами

§3. Алгоритм комбинированного метода математического моделирования поперечной устойчивости при движении железнодорожного транспортного средства.

§4. Математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона.

§5. Математическое моделирование устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные и приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем»

t Диссертационная работа посвящена развитию качественных, приближенно-аналитических методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем, изучению их качественных и асимптотических свойств, а также созданию комплекса проблемно-ориентированных программ расчета параметров динамических систем типа колесных транспортных средств.

Вопросы моделирования движения нелинейных динамических систем и вопросы, связанные с их устойчивостью, играют важную роль в развитии теории математического моделирования и системного анализа, поскольку они тесно связаны с решением ряда приоритетных задач управления сложными техническими объектами и техническими процессами, а также с разработкой автоматизированных систем управления. В связи с возросшими требованиями к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к управлению указанными объектами и процессами, возникает необходимость изучения новых математических моделей динамических процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом оказывается целесообразным привлечение различных методов математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, аналитической механики. > Динамические системы изучаются в конечномерных пространствах состояний Rn и описываются дифференциальными операторами T(t) со свойством

T(t2)T(t,)x = T{t,+t2)x, где tx, t2 > 0 г значения параметра t. Различают операторы линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные, а по форме задания дифференциальные, интегральные и т.д. [24]. Для этого разрабатываются соответствующие дифференциальные математические модели второго порядка. Такие модели описывают функционирование многих технических динамических систем, а их разработка представляет фундаментальную научную проблему, которая в работе декомпозирована на шесть математических моделей.

В диссертации изучаются следующие типы динамических систем: 1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши x = f{t,x), xeR",x = dx/dt . (0.1) где Rn- евклидово пространство.

2. Динамические системы, представимые ньютоновской моделью и описываемые дифференциальным уравнением второго порядка y + f(t,y,y)\y\ay + g(t,y,y) + gl(y) = e(t,y,y), ye R, (0.2) где функции /, g, gx и е непрерывны; скалярная фазовая переменная х принимает вещественные значения; постоянная ос неотрицательна.

3. Динамические системы, описываемые матричным дифференциальным уравнением второго порядка

Ax+Bx + Cx = Q(t,x,x), xeR". (0.3)

Это обобщенная матричная модель движения колесных транспортных средств, в которой условия и ограничения, накладываемые на элементы модели, следующие: А, В и С - квадратные матрицы (соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости); Q(t,x,x) - заданная нелинейная вектор-функция времени, перемещения и скорости (обобщенная возмущающая сила); R" - евклидово пространство.

4. Динамические системы, описываемые скалярным дифференциальным уравнением вида = />«+ Q(u),

0.4) где и - скалярная функция независимой переменной s, Р - непрерывная функция переменной Q - непрерывно дифференцируемая функция переменной и. Соответствующая модель возникает при изучении вопроса о движении железнодорожного состава.

5. Динамические системы, описываемые векторным дифференциальным уравнением вида = P(s)+Q(u), (0.5) as где и - векторная функция от UE Rn, se R ; P(s) - непрерывная функция; Q(u) - непрерывно дифференцируемая функция. Соответствующая математическая модель используется для изучения вопроса о характеристиках движения подвижного состава железнодорожного транспорта.

6. Динамические системы, описываемые матричным уравнением

A'V+VA=-W, (0.6) где А, V и W- постоянные квадратные матрицы; штрих означает транспонирование.

Наряду с вышеупомянутыми фундаментальными являются также задачи математического моделирования движения ряда колесных транспортных средств, в том числе задачи динамики подвижного состава железнодорожного транспорта. Сложность их решения требует разработки соответствующего комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ.

Актуальность разработки названных моделей обусловлена необходимостью обоснования режимов функционирования динамических систем для обеспечения безопасности и устойчивости их работы. Это возможно только посредством математического моделирования в различных условиях их функционирования. В связи с этим возникает и актуальная потребность в разработке соответствующего комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ.

Целью диссертационной работы является разработка качественных и численно-аналитических методов исследования устойчивости и асимптотического поведения неавтономных динамических систем с различными типами затухания процессов для создания математической базы и обеспечения стабильных режимов функционирования и прогнозирования динамики проектируемых систем различного назначения. Целью работы является также реализация единого подхода в исследовании классов динамических систем, задаваемых дифференциальными уравнениями ньютоновского типа, а также пакета программ компьютерной реализации разработанных в диссертации конструктивных методов, открывающих новые возможности для математического моделирования динамических систем и управления их поведением.

Отсутствие точных универсальных методов исследования нелинейных систем обусловило разработку обширного набора качественных, приближенно-аналитических и численных методов исследования динамических систем. Методы исследования устойчивости и качественных свойств динамических систем изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Н.Е. Жуковского и Дж. Биркгофа, в работах отечественных и зарубежных ученых: Н.Г. Четаева, Е.А. Барбашина, В.В. Немыцкого, В.И. Зубова, В.М. Матросова, А.А. Шестакова, В.В. Румянцева, В.М. Стар-жинского, И.Г. Малкина, X. Массеры, Р. Беллмана, В. Коппела, Ж.П. JTa-Салля, С. Лефшеца, М. Урабе, Л. Чезари и других ученых (см. [1,4, 10 -12,15,16,18 - 20,22,23,27 - 30, 34, 36, 39 - 41,43,44,49, 50, 53, 54,60,63,65, 66, 68 - 70, 73, 75, 76, 78 - 80, 82, 83, 85, 87 - 94, 99, 103, 107, 109, 110- 115, 130, 135]).

Одним из основных методов исследования свойств устойчивости и ограниченности решений является метод функций Ляпунова, получивший к настоящему времени значительное развитие (см., например, [10, 22, 27, 43, 54, 65, 73, 93, 94, 110, 113, 114, 135]). Однако некоторые аспекты этого метода, связанные со снятием ограничений на функции Ляпунова, не получили должного развития и требуют дальнейшей разработки. В сочетании с локализацией предельных множеств динамических систем (проблемы локализации предельных множеств рассматривались в [110а, 112, 130] и других работах) метод обобщенных функций Ляпунова позволяет снять ряд существенных ограничений на функции Ляпунова. В настоящей работе удалось получить новые условия асимптотической устойчивости моделей типа (0.1) при знакопеременной функции Ляпунова.

До настоящего времени малоизученным является случай неограниченного демпфирования для модели (0.2), поэтому изучение устойчивости решений и других свойств таких моделей представляет большой интерес для приложений. В работе для решения указанных задач применен метод обобщенных функций Ляпунова.

На основе развития первого метода Ляпунова предложен универсальный способ исследования влияния параметров диссипации и жесткости, инерционных параметров, а также геометрических параметров проектируемого экипажа на устойчивость движения транспортных динамических систем, разработано соответствующее программное обеспечение. Полученные результаты обобщают, уточняют и развивают результаты Н.Н. Лузина, С.А. Чаплыгина, Н.А. Панькина, Ю.И. Пер-шица, И.П. Исаева, А.Х. Викенса, Е.П. Королькова, Т.А. Тибилова, Ю.М. Черкашина и других ученых (см. работы [42, 61, 62, 67, 100, 106, 108,111,134]).

Качественные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых уравнениями (0.1) - (0.5), развиты в работах автора [1*, 3* - 5*, 7*, 9* , 11*, 12*, 14*, 16*, 23*, 25*, 30*, 33*, 39*, 51*].

Разработанные к настоящему времени численно-аналитические методы охватывают исследования динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Они классифицируются на приближенно-аналитические, графические или машинно-графические и численные методы.

К методам первой группы относятся методы степенных рядов, Ш.Э. Пикара, С.А. Чаплыгина, согласно которым решение y{t) можно находить в виде некоторой функции ср(/), удовлетворяющей тем или иным условиям гладкости.

Для численных расчетов более удобен метод Чаплыгина [106], состоящий из итерационного решения последовательности линейных задач Коши вида

Метод С.А.Чаплыгина был распространен на обыкновенные дифференциальные уравнения в Rn Н.Н. Лузиным [67]. Формальное обобщение, рассмотренное Т. Важевски [132], было применено С.А. Щелку-новым [1281 в задаче расчета антенн и сравнивалось с методом последовательных приближений Ч. Олеха [127]. Развитие методов Чаплыгина и Лузина содержится в [41, 108] и других работах.

По методам второй группы приближенное решение строится на отрезке [t0,b] в виде графика на мониторе аналоговой вычислительной машины и в настоящее время эти методы по существу не применяются.

Третья группа методов содержит различные модификации метода Эйлера, семейство методов Рунге-Кутта различных порядков [24] и целого ряда других одношаговых и многошаговых методов. Эти методы предполагают получение решения задачи Коши в виде числовой таблицы приближенных значений yi искомого решения y{t) на некоторой сетке /, е [tQ, b] значений аргумента / и не требуют вычисления частных производных от правой части заданного дифференциального уравнения.

Однако разработанные к настоящему времени группы методов часто не применимы для исследования фундаментальных свойств динамических систем (0.1) - (0.6), так как необходимость учета сложного поведения решений указанных систем требует дальнейшей разработки, модификации и усовершенствования упомянутых методов. Это обстоятельство составляет основу актуальности темы исследования. Выполненные в диссертации разработка и усовершенствование приближенно-аналитических и численных методов дают, в частности, улучшенную сходимость по сравнению с имеющимися методами.

В работах автора [2*, 6*, 8*, 17*, 18*] даются модификации методов Ньютона, Чаплыгина, Рунге-Кутта, а также метода степенных рядов на основе целых функций, исследования математических моделей динамических систем, обобщающие упомянутые выше результаты.

Итак, областью исследования в настоящей диссертации являются теоретические основы и компьютерные методы исследования математических моделей динамических систем (0.1) - (0.6) и задач эффективного прогнозирования их функционирования с оценкой показателей их динамической безопасности.

Диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы разделен на две части. В первой помещены работы автора (они помечены звездочками), а во второй - работы отечественных и иностранных ученых.

Первая глава диссертации посвящена качественному и асимптотическому изучению характеристик решений математических моделей динамических систем (0.1) - (0.5). В частности, приведены изучаемые динамические системы и предварительные сведения. В данной главе разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования математических моделей, описываемых многомерными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши (уравнениями вида (0.1)). Для указанных моделей установлены предложения о локализации положительного предельного множества, из которых вытекают новые условия об асимптотической устойчивости. Кроме того, получен признак об эвентуальной ограниченности решений и рассмотрены некоторые качественные свойства решений. В данной главе проведен также качественный анализ ньютоновской модели, описываемой уравнением вида (0.2) с неограниченной функцией диссипации, и обобщенной матричной модели движения колесных транспортных средств, описываемой уравнением (0.3). Кроме того, проведен качественный анализ скалярной и векторной моделей, описываемых соответственно уравнениями (0.4) и (0.5), а именно, установлены условия существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения железнодорожного состава. Результаты первой главы служат теоретической основой для первого этапа математического моделирования широкого класса динамических систем нелинейной механики, в частности, в тех случаях, когда рассматривается неограниченная диссипация.

Во второй главе рассмотрены вопросы, связанные с дальнейшим развитием и модификацией приближенно-аналитического метода Чаплыгина исследования математических моделей динамических систем. Одним из результатов второй главы является модификация метода Чаплыгина, следствием которой является единообразие метода Чаплыгина для моделей динамических систем в конечномерном и бесконечномерном пространствах. В главе рассмотрены численные методы решения задачи Коши для моделей динамических систем (0.1) и (0.2); доказана устойчивость численного решения задачи Коши для модели, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Результаты, полученные во второй главе, дают возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными. Обоб

12 щение метода Чаплыгина, выполненное в главе 2, позволяет накладывать более слабые ограничения на исследуемые модели. Модифицированный метод Чаплыгина интегрирования скалярной модели (0.4), описывающей движение железнодорожного состава, может быть легко распространен на многомерное дифференциальное уравнение (0.5). Построенный в главе алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши для модели (0, 1) доказывает существование асимптотически оптимальной сетки, обеспечивающей минимальный объем вычислительной работы численного решения задачи Коши для модели (0.1) при наперед заданной погрешности вычислений е > 0. В главе разработан алгоритм численного решения специальной модели (0.2) на основе последовательности целых функций. Соответствующая программа обладает быстрой сходимостью и полезна при численном решении дифференциальных уравнений на больших промежутках изменения независимой переменной без существенной потери точности вычислений. В данной главе предложен также упрощенный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (0.6).

Третья глава диссертации посвящена разработке проблемно-ориентированных программ расчета характеристик транспортных динамических систем (0.3), моделируемых матричными дифференциальными уравнениями, и содержит описания и тексты программ в интегрированной математической среде Maple. Указанные программы позволяют производить расчет характеристик вертикальных колебаний элементов конструкций колесных транспортных систем при движении по неровному пути с заданной формой неровностей, учитывать влияние характеристик демпфирования и жесткости на частоту колебаний кузова и других деталей подвижного состава железнодорожного транспорта. В третьей главе разработаны программы численного решения задачи Коши специальной модели динамической системы (0.2) с помощью целых функций, а также численного решения матричной модели Ляпунова (0.6), написанные в интегрированной математической среде Mathcad согласно алгоритмам, предложенным в главе 2.

Четвертая глава посвящена проведению вычислительного эксперимента и анализу результатов моделирования характеристик динамических систем. В частности, с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ расчета характеристик транспортных динамических систем, разработанного в главе 3, проведен вычислительный эксперимент по математическому моделированию характеристик движения: колесного транспортного средства по неровному пути, колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей и моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона. Далее дан анализ результатов моделирования вертикальных колебаний при движении колесных транспортных средств, показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых. Анализ характеристик транспортных динамических систем, оцененных в процессе вычислительного эксперимента, дает возможность вносить усовершенствования в конструкции транспортных средств, повышать безопасность и комфортабельность передвижения пассажиров и сохранность перевозимых грузов.

В Заключении подведены итоги проведенных в диссертации исследований и на их основе выявлены также другие нерешенные в настоящий момент времени задачи и намечены возможные подходы к их разрешению.

В диссертации

- осуществлена разработка обобщенного прямого метода Ляпунова исследования динамических систем (0.1), описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши;

- развит качественный метод исследования динамической системы (0.2) при различных ограничениях на функцию диссипации;

- проведен качественный анализ обобщенной матричной модели динамической системы (0.3);

- установлена тождественность последовательностей методов Чаплыгина и Ньютона исследования математических моделей динамических систем (0.1);

- применен модифицированный метод Чаплыгина для интегрирования модели динамической системы (0.4), описывающей движение рельсового экипажа;

- разработан оптимальный алгоритм выбора сеток численного решения задачи Коши математической модели динамической системы (0.1), обеспечивающий минимум суммы величин погрешностей на каждом шаге интегрирования в зависимости от заданной точности вычислений;

- построено численное решение задачи Коши специальной модели динамической системы (0.2) на основе специальной последовательности целых функций;

- разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, в котором реализованы численные методы и методы расчета характеристик транспортных динамических систем;

- предложен универсальный способ определения влияния параметров транспортных динамических систем на устойчивость их движения;

- проведена серия вычислительных экспериментов и сделан анализ результатов моделирования характеристик транспортных динамических систем при движении по неровному пути, позволивший дать рекомендации по улучшению функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости, безопасности, комфортабельности;

- разработана блок-схем алгоритма расчета критической скорости при математическом моделировании поперечной устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода;

- осуществлено математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона;

- получены результаты моделирования устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

Полученные результаты составляют развитие метода обобщенных функций Ляпунова качественного анализа динамических систем при ограниченной и неограниченной диссипации, а также первого и второго методов Ляпунова.

Результаты могут быть использованы для качественного анализа математических моделей многих механических, физических и технических процессов. Анализ устойчивости и качественных свойств является необходимым для обеспечения оптимальных режимов функционирования сложных систем. Результаты качественного анализа и численного моделирования движения колесных транспортных средств, в том числе рельсового экипажа имеют прикладное значение при решении задач динамики железнодорожного транспорта.

Результаты диссертации позволяют дать рекомендации по улучшению конструкций колесных транспортных средств и совершенствованию функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости движения, повышения безопасности и комфортабельности передвижения пассажиров и сохранности перевозимых грузов. Кроме того, разработанные методы и алгоритмы позволяют выполнять расчет показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

Результаты диссертации являются вкладом в математическое моделирование, системный анализ, теорию устойчивости движения, теорию нелинейных колебаний и в методы численного анализа.

Они основаны на строгом использовании аналитических и качественных методов и подтверждены сравнением с результатами полученными с помощью других методов, а также положительными результатами их обсуждений на различных Всероссийских и международных научных конференциях.

По теме диссертации опубликована 51 научная работа [1*-51*], в том числе 2 монографии. Опубликованные работы полно отражают содержание диссертационной работы.

В заключении автор выражает благодарность научному консультанту доктору технических наук Д.Е. Пилыцикову, академику АНН, доктору физико-математических наук профессору А.А. Шестакову, доктору физико-математических наук профессору А.Н. Кудинову за обсуждение диссертационной работы, ценные советы и замечания.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Голечков, Юрий Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации произведена модификация некоторых качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем, изучен ряд качественных и асимптотических свойств указанных систем, создан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ расчета динамических параметров колесных транспортных средств, а также проведено математическое моделирование ряда колесных транспортных средств и их узлов.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

1) разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования моделей типа 1, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши; 2) развит качественный метод исследования модели типа 2 при различных ограничениях на функцию диссипации; 3) построен оптимальный алгоритм выбора сеток численного решения задачи Коши для модели типа 1; 4) предложен метод исследования ограниченности решений при возмущениях модели типа 1; 5) развит метод исследования последовательности Чаплыгина для модели типа 1 без дополнительных условий Н.Н. Лузина; 6) разработана блок-схема алгоритма расчета критической скорости при моделировании движения транспортного средства с помощью комбинированного метода на основе генетического алгоритма; 7) разработан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ, в котором реализованы численные методы и методы расчета характеристик транспортных динамических систем; 8) предложен универсальный способ определения влияния параметров транспортных динамических систем на устойчивость их движения на основе положений первого метода Ляпунова; 9) разработаны алгоритмы исследования качественных характеристик матричной модели движения колесных транспортных средств (модели типа 3) при различных ограничениях, накладываемых на элементы модели; 10) предложен приближенно-аналитический метод исследования скалярной модели Лузина (модели типа 4) и качественный метод исследования векторной модели Лузина (модели типа 5); 11) проведена серия вычислительных экспериментов, по итогам которой сделан анализ результатов моделирования характеристик колесных транспортных динамических систем при движении по неровному пути, позволивший дать рекомендации по улучшению функционирования этих систем с точки зрения повышения устойчивости, безопасности и комфортабельности передвижения пассажиров, а также сохранности перевозимых грузов; 12) получены условия устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

Остановимся на некоторых нерешенных проблемах метода функций Ляпунова, теории устойчивости, стабилизации и управления в математических моделях динамических систем.

Следует отметить, что за последние десятилетия развитие метода функции Ляпунова было существенным. Более того, именно в этот период появились дополнительные стимулы к разработке такой теории. Помимо традиционных и не теряющих актуальности задач естествознания и техники, в частности, задач динамики подвижного состава железнодорожного транспорта, частичная устойчивость стала подходящим понятием в бурно развивающихся на стыке естествознания и техники методах управления хаосом, а частичное управление стало систематически исследоваться в задачах высокоскоростного движения железнодорожного транспорта.

Получили развитие и ряд других теоретических и прикладных разделов современной нелинейной динамики, посвященных различным аспектам инвариантности множеста и притягиваемости многомерных объектов, также тесно мвязанных с нахождением частичной устойчивости с помощью метода функции Ляпнова.

Возникла и получила дальнейшее развитие новая теория устойчивости от входа к выходу для математических моделей транспортных динамических систем, заданных в пространстве состояния, опирающаяся на метод функции Ляпунова и его соответствующие модификации, в частности, на обобщенный прямой метод Ляпунова, являющийся эффективным методом изучения прикладных математических моделей.

В значительной степени указанные направления исследований дают возможность по-новому взглянуть как на саму проблематику задач частичной устойчивости с помощью классического и обобщенного методов функций Ляпунова и место этих задач в прикладной теории динамических задач математических моделей, так и на перспективы их развития. Можно ожидать, что задачи частичной устойчивости (стабилизации) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений будут оставаться важным звеном дальнейших исследований.

Отметим основные нерешенные вопросы, касающиеся прикладной частичной устойчивости, стабилизации и управления.

1) Актуальны вопросы конструктивного построения решающих задач частичной устойчивости классических и обобщенных функций Ляпунова, как для конкретных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для достаточно общих систем таких уравнений. В этой связи значительный интерес представляют дальнейшие исследования по ослаблению требований к функциям Ляпунова.

2) Потенциал первого метода Ляпунова достаточно высок. На его основе в сочетании с современными достижениями качественной теории и дифференциально-геометрической теории можно было бы выделить общие структурные модели.

3) Целесообразно дальнейшее изучение условий сохранения свойств частичной и полной устойчивости при возмущениях структуры математической модели, а также провести общий анализ изменения фазового потока частично устойчивой математической модели при возмущениях ее структуры. Особенность ситуации состоит в том, что потеря свойства частичной устойчивости может происходить в грубой в смысле Андронова - Понтрягина модели.

4) Необходимо провести анализ того, каким образом в математической модели свойство частичной устойчивости может быть использовано для дальнейшего анализа свойства полной устойчивости этой модели.

5) Необходимо изучить ситуации, когда в математической модели, устойчивой по части переменных, проводится стабилизация по оставшимся переменным с целью ее стабилизации по всем переменным.

6) В исследованиях по разработке конструктивных методов построения законов управления в задачах частичного управления остается много открытых вопросов. Целесообразно, например, решить проблему о расширении возможностей решения задач частичной стабилизации и управления за счет использования позиционных управлений.

7) Заслуживают также внимания задачи частичной устойчивости на конечном промежутке времени при сохранении возмущений данного свойства на рассматриваемом промежутке функционирования изучаемой математической модели. Это даст возможность предложить более стабильную к помехам и возмущениям структуры математической модели концепцию частичной устойчивости.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Голечков, Юрий Иванович, 2007 год

1. Амелъкин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.

2. Амелъкин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Вышейшая школа, 1982.225

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.А. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

4. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. Итоги науки и техники. ВИНИТИ, Общ. механика, 1975. Т. 2. С. 53 - 112.

5. Антончцк B.C. Методы стабилизации программных движений.- СПб.: Изд-во СПбУ, 1998.

6. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Комарова Т.Н. Систематизация машинно-зависимых констант для Библиотеки численного анализа и математической статистики НИВЦ МГУ // Вопросы конструирования библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

7. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф., Захаров А.Ю., Калиткин Н.Н. О тестировании программ решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Препринт ИПМ АН СССР, № 139. М., 1983.

8. Барбашин Е.А. а) Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.б) Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.в) Метод сечений в теории динамических систем Минск: Наука и техника, 1979.

9. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР, 1952. Т. 86. № 3. С. 453 456.

10. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 2001. - Изд-во Моск. ун-та, 2006.

12. Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса // Вычислительные методы и программирование. Вып. III. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1965.

13. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

14. Белова М.М. Об ограниченных решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // ДАН СССР, 1968. Т. 180. № 2. С. 266 268.

15. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1, 2. М.: Физматгиз, 1960.

16. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

17. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

18. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, Изд-во физ.-мат. литературы, 1974.

19. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.

20. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. -Киев: Наукова думка, 1981.227

21. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984.

22. Вержбицкий В.М. Численные методы. М.: Высшая школа, 2001.

23. Воеводин В.В. а) Математические модели и методы в параллельных процессах. М.: Наука, 1986.б) Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

24. Волков С. В. Методы и проблемно-ориентированные программы моделирования динамических систем по фазовым портретам // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2004.

25. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация по части координат фазового вектора динамической системы. М.: Научный мир, 2001.

26. Галиуллин А. С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа, 1989.

27. Галиуллин А.С, Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фура-сов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

28. Галлиулин А.С., Шестаков А.А. Об асимптотических свойствах движений динамической системы // Сб.межвуз. трудов. М.: РГОТУПС, 1997. С. 76 - 78.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 1981.

30. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. Под ред. Н.А. Панькина. М.: Транспорт, 1988.

31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

32. Голечков Ю.И. Устойчивоподобные свойства решений некоторых классов обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л.:ЛГУ, 1985.

33. Горбунов АД. Разностные методы решения задачи Коши для228системы обыкновенных дифференциальных уравнений (тексты лекций).- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973.

34. Гребешков Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы небесной механики. М.: Наука, 1973.

35. Гулин А.В., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной разностной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39. №7. С. 912-917.

36. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов C.JI. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. М.: Высшая школа, 1979.

37. Гусаров JI.A. Об ограниченности решений линейных уравнений второго порядка // ДАН СССР. 1949. Т. 68. № 2. С. 217 220.

38. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

39. Дружинина О. В. Критерий асимптотической устойчивости состояния равновесия механической системы с частичной диссипацией // Вестник РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика. 1996. № 2. С. 29 31.

40. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах // Матем. сборник, 2002. Т. 193. № 10. С. 17 48.

41. Дружинина О.В., Шестаков А.А., Бочкарев ИМ. Некоторые вопросы теории прочности движения по Жуковскому: Учеб. пос. Саранск: Саранский кооп. ин-т Московского ун-та потреб, кооперации, 1997.

42. Дьяконов В.П. Мар1е7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002.

43. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

44. Еругин Н.П. а) Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. С. 67 - 68.б) Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979.

45. Жоголев Е.А. Программа интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом Штер-мера // Вычислительные методы и программирование. Т. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962.

46. Жуковский Н.Е. Условия конечности интегралов уравнения cPyldx2 + ру = 01/ Полн. собр. соч. М. - Л.: ОНТИ-НКТП, 1937. Т.1. С. 315 - 324.

47. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физмат-гиз, 2001.

48. Захаров А.Ю. Некоторые результаты сравнения эффективности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Препринт ИПМ АН СССР № 125. М., 1979.

49. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка // Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МАИ, 2002.

50. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCAD Pro: Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2003.

51. Икрамов Х.Д. Численные методы линейной алгебры. М.: Знание (сер. «Математика и кибернетика»), 1987. № 4.

52. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

53. Карпов Н. В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. -М.: Физматлит, 2005.

54. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

55. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

56. Корольков Е.П. Снижение износа колес железнодорожного подвижного состава при конструктивных изменениях ходовых частей II Дисс. докт. техн. наук. М.: МИИТ, 1997.

57. Корольков Е.П., Бондаренко А.И. Уточнение модели для описания движений экипажа в горизонтальной плоскости // Тез. докл. междунар. симп. «Безопасность перевозочных процессов». М.: 1995. С. 36.

58. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

59. Кудрявцев Е.М. Mathcad 2000 Pro. М.: ДМК Пресс, 2001.

60. Ла-Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

61. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

62. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М. Л.: Гостехиздат, 1950.

63. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1969.

64. Малышева И.А. Исследование асимптотических свойств некоторых классов обыкновенных дифференциальных систем прямым методом Ляпунова // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1980.232

65. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. M.: Изд-во «Филинъ», 1998.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

67. Массера X.JI. К теории устойчивости // Период, сб. перев. ин. статей. Математика. 1957. Т. 1. № 4. С. 81 101.

68. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1988.

69. Матросов В.М. а) Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.б) К теории устойчивости движения // Труды Казанск. авиац. инта. 1963. Вып. 80. С. 22 23.

70. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

71. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электрических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

72. Меренков Ю.Н. Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003.

73. Михайлов Ф.А. Анализ и синтез нестационарных линейных систем. М.: Машиностроение, 1977.

74. Мухаметзянов Н.А. Об устойчивости программного многообразия // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 5. С. 846 856.

75. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. Вып. 1, 1994; Вып. 2, 1996; Вып. 3, 1997.

76. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

77. Ортега Д., Рейнболдт В. Интеграционные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

78. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. СПб.: СПбГУ, 1999.

79. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975.

80. Персидский К.П. Избранные труды. Т.1. Алма-Ата: Наука, 1976.

81. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.

82. Пуанкаре А. а) Избранные труды. Т.2. М.: Наука, 1971, 1972. б) О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.1. М.-Л.: ГТТИ, 1947.

83. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

84. Романков В.В. Ограниченность, сходимость и устойчивость некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Саранск: Морд. ГУ, 1990.234

85. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

86. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теорииустойчивости. М.: Мир, 1980.

87. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Наука, 1994.

88. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

89. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2004.

90. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. -М.: Мир, 1979. 1998.

91. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953.

92. Тибилов Т.А. Асимптотические исследования колебаний подвижного состава. М.: Транспорт, 1970.

93. Тихонов А.Н., Горбунов А.Д., Гайсарян С.С. Об особенностях графика полной погрешности приближенного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения // Вычислительные методы и программирование. Т. V. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966.

94. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.235

95. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970.

96. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: ИЛ, 1968.

97. Хилле Е., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: ИЛ, 1962.

98. Чаплыгин С.А. а) Избранные труды по механике и математике. М.: Гостехиздат, 1954.б) Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

99. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

100. Черкашин Ю.М., Шестаков А.А. Об устойчивости движенияжелезнодорожного подвижного состава // Труды ВНИИЖТ. М.:

101. Транспорт, 1982. С. 42 49.

102. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1947.

103. Щенников В.Н. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1990.

104. Щенникова Е.В. Свойства ограниченности и устойчивости движений некоторых классов динамических процессов. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1977.

105. Щенникова Е.В., Шестаков А.А К теории ограниченности решений относительно части переменных нелинейных систем дифференциальных уравнений // Математическое моделирование, 1995. Т. 5. № 5. С. 84.

106. Яблонский А.А. О прочности извилистого движения локомотива на прямом участке пути // Дисс. докт. техн. наук. Л., 1941.

107. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.1 \ S.Antosiewicz Н.А. Newton's method and boundary value problems // J. Comput. System. Sci., 1968. №2. P.177 202.237

108. Boas R.P., Buck R.C. Polynomial Expansions of Analytic Functions. Berlin: Springer, 1958.

109. Carter F.W. On the stability of running of locomotives// Proc. Roy. Soc. A, 1928.

110. England R. Error estimates for Runge-Kutta type solutions to systems of ordinary differential equations // The Computer Journal, 1969. T. 12. N 2.

111. Gear C.W. The automatic integration of ordinary differential equations // Communications of the ACM, 1971. T. 14. N 3.

112. Kalaba R. On nonlinear differential equations, the maximum operation and monotone convergence // J. Math. Mech., 1959. 8, 4. P. 519 574.

113. Kwapisz M. О zmodufikowanej metodzie kolejnych przyblizen rozwiqzywania zwyczajnych rownan rozniczkowych liniowych rzedu n // Zeszyty Naukowe Politechniki Gdanskiej, Lacznosc, 1960, nr. 3.

114. Lasota A., Olech C. An optimal solution of Nicoletti's boundary value problem //Ann. Polon. Math., 1966. 18. P. 131 139.

115. Olech C.A. A connection between two certain methods of successive approximations in differential equations // Ann. Polon. Math., 1962. 11. P. 237 245.

116. Shelkunoff S.A. Solutions of linear and slightly non-linear differential equations // Quart. Appl. Math., 1945. 3. P. 348 355.

117. Skowronski J., Ziemba S. a) Criteria of oscillation of certain238dynamical systems // Proc. of vibration problems., 1961. Vol. 2. No 4(9). P 441 445.

118. Certain properties of models of mechanical structures // Arch. Mech. Stos., 1959. 2. 11.

119. UraT. On the flow outside a closed invariant set: stability, relative stability and saddle sets // Contr. to Diff. Eqs., 1964. V.3. № 3. P. 249 294.

120. Vidossich G. Global convergence of successive approximations // J. Math. Anal. Appl., 1974. 45. P. 285 492.

121. Wazewski T. Sur la methode des approximations successives // Ann. Soc. Polon., 1937. 16. P. 214 215.

122. Weiguo L., Zuhe S.A. A constructive proof of existence and uniqueness of 2p-periodic solution to Duffing equation // Nonlinear Analysis, 2000. V. 42. P. 1209 1220.

123. Wickens A.H. a) Stability criteria for articulated railway vehicles possessing reflect steering // Vehicle System Dynamics. 1979. V. 7. P. 33 48.

124. Static and dynamic stability of unsymmetric two-axle railway vehicles possessing perfect steering // Vehicle System Dynamics. 1982. V. 11. P. 89 106.

125. Yoshisawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. -Tokyo: Math. Soc. Japan. Publ., 1966. № 9. 232 p.