Исследование свойств вращающихся черных дыр и проблемы гравитационного коллапса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Вертоградов, Виталий Дмитриевич

• Вертоградов, Виталий Дмитриевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Вертоградов, Виталий Дмитриевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Метрика Керра и свойства геодезических

§ 1.1 Открытие метрики Керра

§ 1.2 Свойства метрики Керра

§ 1.3 Геодезические в метрике Керра

§ 1.4 Процесс Пенроуза

§ 1.5 Некоторые свойства геодезических

Глава 2. Геодезические для частиц с отрицательной энергией в

эргосфере вращающейся черной дыры

§ 2.1 Постановка задачи

§ 2.2 Отсутствие круговых орбит в эргосфере

§ 2.3 Геодезические под горизонтом Коши: изотропные геодезические

§ 2.4 Геодезические под горизонтом Коши: времениподобные

геодезические

§ 2.5 Исследования случая —то <£< —1

§ 2.6 Исследование вида геодезических не обрывающихся в

сингулярности

Глава 3. Гравитационный коллапс сферически-симметричного

тела

§ 3.1 Постановка задачи и вывод основных уравнений гравитационного коллапса

§ 3.2 Энергетические условия

§ 3.3 Сила сингулярности и сшивка

Глава 4. Гравитационный коллапс обобщенного пространства-

времени Вайдья

§ 4.1 Вывод метрики Вайдья

§ 4.2 Обобщенная метрика Вайдья

§ 4.3 Уравнение горизонта видимости в метрике Вайдья

§ 4.4 Образование голой сингулярности

§ 4.5 Смысл голой сингулярности

§ 4.6 Образование вечной голой сингулярности

§ 4.7 Сила центральной сингулярности

§ 4.8 Сшивка

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свойств вращающихся черных дыр и проблемы гравитационного коллапса»

Введение

В 1969 году английский физик-теоретик Роджер Пенроуз [1] теоретически предсказал механизм образования частиц с отрицательной энергией в эргосфере вращающихся черных дыр. Такие частицы могут находится только внутри предела статичности и отсутствуют в нашем пространстве. В 1984 году Контопоулос [2] показал, что геодезические для таких частиц обязательно пересекут горизонт событий черной дыры. Тем не менее, вопрос о начале таких геодезических оставался открытым.

Согласно геодезической полноте пространства-времени [3] любая геодезическая должна начинаться либо на бесконечности, либо в сингулярности. Поскольку частицы с отрицательной энергией отсутствуют в нашем пространстве-времени, т.е. вне предела статичности, то геодезические для таких частиц не могут пересекать эту гиперповерхность. На бесконечности они могут начинаться только в том случае, если существуют круговые или замкнутые некруговые орбиты в эргосфере (последние для удобства в дальнейшем будем называть эллиптическими орбитами). В случае отсутствия таких орбит, геодезические для частиц с отрицательной энергией появляются в эргосфере из области, расположенной внутри гравитационного радиуса. В последнем случае нарушается космический принцип цензуры [4-10], согласно которому, мы никогда не сможем получить информацию из области расположенной внутри гравитационного радиуса. Тем не менее, если из этой области идут геодезические, то по ним могут двигаться частицы, следовательно, мы можем узнать о процессах протекающих внутри гравитационного радиуса. В диссертации показано, что круговые и эллиптические орбиты для частиц с отрицательной энергией отсутствуют в эргосфере вращающейся черной дыры, следовательно, такие геодезические появляются в эргосфере из под гравитационного радиуса. В связи с этим, необходимо также было исследовать свойства таких геодезических внутри горизонта Коши. Эти геодезические могут начинаться в сингулярности, могут иметь замкнутый характер под горизонтом Коши. В диссертации также доказывается, что все изотропные геодезические для частиц с отрицательной энергией начинаются в сингулярности Керровской черной дыры. Приводятся условия на времениподобные геодезические, при которых они также начинаются в сингулярности. Необходимо отметить, что такие геодезические являются -

белодырными геодезическими.

Тем не менее, черная дыра Керра является вечной [78,82], а таких дыр в природе не существует. Черная дыра образуется в результате гравитационного коллапса массивной звезды, в которой прекратились термоядерные реакции и внутреннее давление больше не в состоянии удерживать звезду в состоянии равновесия. Под действием сил гравитации звезда начинает сжиматься, до тех пор, пока либо не вспыхнет новая термоядерная реакция, либо звезда не превратиться в черную дыру. Тем не менее, в рамках общей теории относительности (ОТО) не существует модели, описывающий гравитационной коллапс реальной звезды. Наиболее известные чернодырные решения: метрика Шварцшильда - сферически-симметричная электрически- нейтральная черная дыра, метрика Рейснера-Нордстрема - сферически-симметричная черная дыра, обладающая электрическим зарядом, метрика Керра - вращающаяся электрически-нейтральная черная дыра и метрика Керра-Ньюмана -вращающаяся черная дыра, обладающая зарядом, описывает вечные черные дыры.

В связи с этим, продлевая геодезическую для частицы с отрицательной энергией в прошлое, мы увидим, что она пересекает поверхность коллапси-рующей звезды. Откуда следует, что для того, чтобы понять природу подобных геодезических, нам необходимо исследовать проблему гравитационного коллапса. Однако построение общей модели гравитационного коллапса натыкается на непреодолимые технические сложности. Существуют различные модели гравитационного коллапса [57-64] сферически-симметричного тела, которые являются приближениями реального случая. Такие модели исследуются в первую очередь для лучшего понимания процессов, происходящих в результате такого явления. Аналитической модели гравитационного коллапса, вращающегося тела до сих пор не существует.

В 1939 году Оппенгеймер и его ученик Снейдер [11] исследовали вопрос гравитационного коллапса однородной пыли. Они показали, что результатом такого коллапса неизбежно будет черная дыра. Долгое время считалось, что результатом гравитационного коллапса всегда будет черная дыра, тем не менее недавние исследования показали, что в результате гравитационного коллапса могут возникать так называемые голые сингулярности [12,66].

В процессе гравитационного коллапса в центре коллапсирующего веще-

ственного облака может возникнуть сингулярность, при этом образование горизонта видимости задерживается. Поскольку горизонт видимости является косвенно ловушечной поверхностью и есть ни что иное, как граница, ограничивающая ловушечную область от нашей Вселенной, то его отсутствие означает, что ловушечные поверхности также отсутствуют и в случае, если существует семейство не пространственноподобные направленные в будущее геодезические, начинающиеся в прошлом в центральной сингулярности, то такую сингулярность называют голой. Важно отметить, что существование только такого семейства геодезических недостаточно для образования голой сингулярности, необходимо удовлетворение двум условиям: существование семейства и отсутствие горизонта видимости. Поскольку, было показано, что все изотропные геодезические для частиц с отрицательной энергией начинаются в прошлом в сингулярности и направлены в будущее, тем не менее, черная дыра Керра не является голой сингулярностью в случае а < 1.

Необходимо подчеркнуть, что существование семейства не пространствен-ноподобных геодезических и отсутствие горизонта не является достаточным условием для образования голой сингулярности. В ОТО мы должны различать два типа сингулярностей: гравитационно-сильную и гравитационно-слабую [13,14] (в дальнейшем мы их будем называть просто сильной или слабой). Поэтому, мы будем говорить, что в результате гравитационного коллапса образуется голая сингулярность, если выполняются следующие условия:

• Существует семейство не пространственноподобных, направленных в будущее геодезических, начинающихся в прошлом в центральной сингулярности.

•

зонта видимости.

При рассмотрении модели гравитационного коллапса мы должны найти как минимум два решения уравнений Эйнштейна. Первое решение должно описывать внутреннюю геометрию коллапсирующего вещественного облака, а второе - внешнюю геометрию. Здесь и далее будет рассматриваться гравитационный коллапс сферически-симметричного тела, поэтому внешним решением должно быть решение Шварцшильда. При сшивке двух метрик, мы

должны удовлетворить первому и второму узловым условиям [15,16]. В случае если мы не сможем удовлетворить второму узловому условию, то необходимо предположение о существование тонкого вещественного слоя между двумя областями. Тензор энергии-импульса этого слоя находится из разности внешних кривизн [65], посчитанных на внутренней и внешней сторонах гиперповерхности, являющейся границей двух метрик.

В диссертации рассматривается модель гравитационного коллапса обобщенного пространства-времени Вайдья [17]. Махарадж и Госвами [18] показали, что результат гравитационного коллапса, относительно того, будет ли это временная голая сингулярность или черная дыра зависит от вида массовой функции М(у,г). В диссертации приводятся условия на массовую функцию, при которых образуется голая сингулярность. Также Джоши и Госвами [19] исследовали гравитационный коллапс скалярного поля с отрицательным давлением и показали, что возможно образование вечной голой сингулярности. В диссертации также доказывается, что результатом гравитационного коллапса обобщенного пространства-времени Вайдья также может быть вечная голая сингулярность, при условии отрицательного давления и нарушения сильного энергетического условия [20]. Также построена модель гравитационного коллапса обобщенного пространства-времени Вайдья, в результате которого образуется белая дыра.

Необходимо отметить, что наблюдение голой сингулярности может иметь огромное значение для квантовой теории гравитации, поскольку, сингулярность - это сверхплотная область с чрезвычайно высокими энергиями, которых мы никогда не сможем получить в земных лабораториях. Голая сингулярность может возникнуть не только в результате гравитационного коллапса, но также в результате слияния двух черных дыр [21]. В приведенной работе обсуждаются возможности наблюдения голой сингулярности в результате слияния двух черных дыр. С помощью голых сингулярностей также можно объяснить природу белодырных геодезических. В частности, белодырная геодезическая может принадлежать семейству не пространственноподобных, направленных в будущее геодезических, обрывающихся в прошлом в центральной сингулярности. Другой возможностью объяснения белодырных геодезических может служить образование в результате гравитационного коллапса регулярной черной дыры [22-24]. В этом случае, геодезическая начинается на

бесконечности, потом попадает внутрь коллапсирующего вещественного облака и в результате высокого отрицательного давления заворачивает обратно в наш мир. Важно отметить, что с помощью образования регулярных черных дыр нельзя объяснить природу геодезических для частиц с отрицательной энергией, так как они не могут начинаться на бесконечности. В диссертации также рассматривается гравитационный коллапс пространства-времени Вайдья-де Ситтера. Предоставляются условия для сшивки белодырных геодезических в метрике Шварцшильда с геодезическими, начинающихся в голой сингулярности или с геодезическими пространства-времени Вайдья-де Ситтера. В последнем случае, невозможно сшить две метрики Шварцшильда и Вайдья-де Ситтера и необходимо предположить существование тонкого слоя, который будет сшиваться и с внутренним и с внешним решениями. В работе рассматривается только классическая теория гравитации в четырехмерном пространстве-времени. Черные дыры, в которых отсутствует внутренность [67] рассматриваться не будут.

Актуальность.

1. Черные дыры являются одним из центральных объектов исследования в теории гравитации и астрофизике. Метрика, описывающая вращающиеся черные дыры, является метрикой Керра. В силу математической сложности задачи, до сих пор активно исследуются свойства геодезических в таких метриках.

2. Коллапс звезд в настоящее время является одной из самых важных проблем современной астрофизики. До сих пор не существует точной модели коллапса звезды. Проблемы коллапса интенсивно исследуются ведущими мировыми учеными, а потому, тема гравитационного коллапса является актуальной.

Объектом исследования являются черные дыры, кол лансирующие вещественные облака, геодезические, метрика Керра и обобщенное пространство-время Вайдья.

Цель диссертационного исследования:

шеи в эргосфере вращающейся черной дыры. Полное описание таких

частиц в эргосфере. Рассмотрение вопроса о начале геодезических для таких частиц, исследование этих геодезических под горизонтом Коши, с целью определения условий начала геодезических в сингулярности и выяснения вида линий, не начинающихся в сингулярности.

• Исследование свойств гравитационного коллапса сферически-симметричного тела в обобщенной метрике Вайдья. Выяснение условий, при которых в результате черной дыры образуется голая сингулярность. Физическая интерпретация полученных результатов, построение модели гравитационного коллапса, при которой образуется вечная голая сингулярность или белая дыра. Построение моделей, в которых отсутствуют горизонт видимости, но тем не менее, присутствуют ловушечные гиперповерхности. Объяснение природы белодырных геодезических в случае метрики Шварцшильда посредством сшивки этих геодезических с геодезическими, начинающимися в голой сингулярности обобщенного пространства - времени Вайдья.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования проблем гравитационного коллапса.

Возможность наблюдения голых сингулярностей может существенно продвинуть развитие квантовой гравитации, т.к. рядом с таким сверхплотным объектом можно наблюдать за процессами с крайне высокими энергиями.

Методы исследования. При исследовании геодезических для частиц с отрицательной энергией были использованы методы векторного и тензорного анализов, интегрального исчисления, дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений в частных производных, линейной алгебры, теории гравитации и общей теории относительности. При исследовании гравитационного коллапса были использованы методы дифференциальной геометрии, теории гиперповерхностей, векторного и тензорного анализов, линейной алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории гравитации, гравитационного коллапса и общей теории относительности.

Научная новизна работы состоит в том, что были полностью исследованы геодезические для частиц с отрицательной энергией в метрике Керра,

выяснено, что такие геодезические появляются в эргосфере из под гравитационного радиуса, получены условия, при которых такие геодезические начинаются в сингулярности черной дыры Керра. Исследован вопрос о гравитационном коллапсе обобщенного пространства - времени Вайдья, получены условия на массовую функцию, при которых результатом гравитационного коллапса является временная голая сингулярность. Построена модель гравитационного коллапса, результатом которого является белая дыра. Построены модели коллапса, в результате которых образуется голая сингулярность и модели, в которых отсутствует горизонт видимости, но сингулярность при этом не является голой. Исследована сила подобных сингулярностей. Произведена сшивка белодырных геодезических в метрике Шварцшильда с геодезическими в обобщенной метрике Вайдья, тем самым показано, что мы можем сшить все белодырные геодезические с геодезическими начинающимися в голой сингулярности.

Степень достоверности и апробация результатов работы.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгим математическим аппаратом общей теории относительности. Результаты диссертационного исследования были представлены на международных и всероссийских конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция «Фридмановские чтения», 24-28 июня 2013, Пермь, Россия.

2. Всероссийская астрофизическая конференция «Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра» (НЕА-2013), 23-26 декабря 2013, Москва, Россия.

3. XI Конференция Молодых Ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», 9-11 апреля 2014, Москва, Россия.

4. Конференция Фонда «Династия» «Молодые ученые России-2014», 14-15 апреля 2014, Москва, Россия.

5. V Пулковская молодёжная астрономическая конференция, 9-11 июня 2014, Санкт-Петербург, Россия.

6. Международная школа «Рентгеновская астрономия и астрофизика частиц», 15-26 июля 2014, Зеленогорск, Россия.

7. Российская молодежная конференция по физики и астрономии «Физика. СПБ», 28-30 октября 2014, Россия.

8. XV Школа молодых ученых «Актуальные проблемы физики», 16-20 ноября 2014, Москва, Россия.

9. Научный семинар по гравитации и космологии им. А.Л. Зельманова, 19.11.2014, ГАИШ МГУ, Москва, Россия.

10. Конференция Фонда «Династия» «Молодые ученые России-2015», 13-14 апреля 2015, Москва, Россия.

11. XII Конференция Молодых Ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», 13-15 апреля 2015, Москва, Россия.

12. The Ninth Alexander Friedmann International Seminar on Gravitation and Cosmology and Third Satellite Symposium on the Casimir Effect, June 2226, 2015, Saint -Petersburg, Russia.

13. Xllth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology, 28 June- 5 July, 2015, Moscow, Russia.

14. International Scientific Conference «Physical Interpretations of Relativity Theory», 29 June- 2 July, 2015, Moscow, Russia.

15. International Summer School «Theoretical Problems of Physics of Fundamental Interactions», July 19-31, 2015, Zelenogorsk, Russia.

16. Российская молодежная конференция по физики и астрономии «Физи-ка.СПБ», 26-29 октября 2015, Санкт-Петербург, Россия.

17. XIII Конференция Молодых Ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», 13-15 апреля 2016, Москва, Россия.

18. VI Пулковская молодежная астрономическая конференция. 6-8 июня 2016, Санкт-Петербург, Россия.

19. 12 School of modern astrophysics, 20 июня-1 июля 2016, г. Долгопрудный, Россия.

20. Международная молодежная конференция «ФизикА.СПб» , 1-3 ноября 2016, Санкт-Петербург, Россия.

21. Межвузовские научные семинары по проблемам космологии и гравитации на базе РГПУ им. А.И. Герцена.

Диссертационная работа выполнялась при поддержке гранта:

Грант РФФИ №3.15 2015-2016 гг. "Суперколлайдеры элементарных частиц во Вселенной".

Положения, выносимые на защиту:

1. При исследовании геодезических для частиц с отрицательной энергией в метрике Керра выявлено отсутствие круговых и эллиптических орбит в эргосфере вращающейся черной дыры, тем самым, демонстрируется нарушение космического принципа цензуры. Выведены условия, при которых геодезические Пенроуза начинаются и обрываются в сингулярности черной дыры. При невыполнении этих условий, доказывается, что геодезические под горизонтом Коши, имеют замкнутую структуру и эти замкнутые структуры устойчивы.

2. При исследовании гравитационного коллапса обобщенного пространства - времени Вайдья выявлены условия на массовую функцию, при которых результатом гравитационного коллапса является голая сингулярность. При различных уравнениях состояния построены модели гравитационного коллапса, результатом которого являются: сингулярность Фридмана, вечная в будущем голая сингулярность, сжимающаяся белая дыра, белая дыра и модель с исчезающим горизонтом видимости

3. Произведена сшивка геодезических в обобщенном пространстве-времени Вайдья с геодезическими в метрике Шварцшильда. Выявлен класс решений, не допускающих гладкую сшивку с геодезическими Шварцшильда. Для других решений выявлены условия сшивки двух метрик

4. Показано, что все рассматриваемые сингулярности являются гравитационно - сильными.

Структура работы. Работа изложена на 112 стр., состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, который включает 86 наименований.

Основное содержание и результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Vertogradov V.D. Geodesies with negative energy in the ergosphere of rotating black holes [Text] / A.A. Grib, Yu.V. Pavlov, V.D. Vertogradov // Modern Physics Letters A. 2014. Vol. 29, Iss. 20.-P. 14501-14510.

2. Vertogradov V.D. Geodesies for particles with negative energy in Kerr's metric [Text] / V.D. Vertogradov // Gravitation and Cosmology. 2015. Vol. 21, Iss. 2.- PP. 171-174.

3. Vertogradov V.D. Naked singularity formation in generalized Vaidya space-time [Text] / V.D. Vertogradov // Gravitation and Cosmology. 2016 Vol. 22, Iss. 2.- PP. 220-223.

4. Vertogradov V.D. Conditions for the naked singularity formation in generalized Vaidya spacetime [Text] / V.D. Vertogradov // Journal of Physics: Conference Series. 2016. Vol. 769. Art. 012013.

5. Вертоградов В.Д. Геодезические для частиц с отрицательной энергией в метрике Керра [Text] / В.Д. Вертоградов // Физический вестник РГПУ им. А.И. Герцена, сборник научных статей. 2014. Вып.8-С. 9-14.

6. Вертоградов В.Д. К вопросу о гравитационном коллапсе сферически-симметричного тела [Text] / В.Д. Вертоградов // Физический вестник РГПУ им. А.И. Герцена, сборник научных статей. 2014. Вып.8 - С. 24-28.

7. Вертоградов В.Д. Геодезические для частиц с отрицательной энергией в метрике Керра [Text] / В.Д. Вертоградов // Известия Главной Астрономической Обсерватории в Пулкове № 222. 2015.Труды V Пулковской молодежной астрономической конференции. Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН. С. 19.

8. Vertogradov V.D. Gravitational collapse of Vaidya spacetime [Text] /V.D. Vertogradov // International Journal of Modern Physics: Conference Series. 2016 Vol. 41. Art. 1660124. DOI: 10.1142/S2010194516601241.

Глава 1. Метрика Керра и свойства геодезических

§1.1 Открытие метрики Керра

В 2015 году мир отмечал 100 лет со дня публикации статьи Альберта Эйнштейна, в которой были представлены его полевые уравнения [25, 26]. Прошло несколько месяцев со дня публикации статьи, как, находившейся, в то время, в русском плену, Карл Шварцшильд нашел решение [27], описывающее внешнюю геометрию пустого пространства-времени сферически-симметричного объекта. Теперь это решение носит его имя и имеет вид:

ds2 = - (l - dt2 + (l - dr2 + r2dtf , (1.1)

где M - масса сферически-симметричного объекта, dQ = dO2 + sin2 Odip -метрика на двумерной сфере. В этой формуле и во всех остальных формулах работы используется система единиц, в которой полагается равными единице гравитационная постоянная и скорость света G = с = 1. Также используется сигнатура (-, +, +, +).

Из выражения (1.1) видно, что существует особенность при г = 2М. На этой сфере метрика обращается в бесконечность, но при этом поверхность г = 2М не является сингулярностью, поскольку тензоры кривизны па ней имеют конечные значения. Эта поверхность называется горизонтом событий, а радиус rg = 2М называют гравитационным радиусом. Объект, при г < 2М называется черной дырой. При этом долгое время известные ученые того времени не верили в существование черных дыр, да и сам термин появился только в середине 60-ых годов 20 века.

Решение Шварцшильда подтолкнуло многих ученых заняться поиском новых точных решений. Особенно интересовал вопрос о решении, описывающим внешнюю геометрию, вращающегося аксиально-симметричного тела. Уже в 1918 году, Линз и Тирринг [28] нашли решение, описывающее внешность вращающейся сферы до первого порядка момента импульса. Но решения, имеющего физический смысл, пришлось ждать еще около 50 лет. И в 1963 году это решение было найдено Ройем Керром [29]. Метрика Керра в координатах Бойера-Линдквиста имеет вид [30]: на которой уравнение (2.4) нарушается.

Л 2Mr\ l2 4aMr sin2 9, , а . 2п1 2 р2 2 2 1л2

ds2 = - 1--^ dt2--г-dtdу + sin2 9dp2 + dr2 + p2d92+

\ р2 J р2 р2 о

( 2 2 2а2 Mr sin2 А . 2л , 2 [г2 + а2 +--sin2 ,

V р J

(1.2)

здесь М - масса черной дыры, а - ее момент импульса,

2 2,2 2л

р = г + a cos 9 ,

J = г2 - 2Мг + а2 , (1.3)

а = (г2 + а2)2 - а25 sin2 9.

В пределе, при а ^ 0 метрика Керра (1.2) переходит в метрику Шварц-шильда (1.1). Также необходимо заметить, что метрика Керра является стационарной, т.е. существует времениподобный вектор Киллинга на бесконечности, но не является статической, поскольку метрика (1.2) не инвариантна относительно преобразования t ^ —t.

§ 1.2 Свойства метрики Керра

Прошло уже более 50 лет со дня вывода метрики Керра. Исследование в этой метрике проходят до сих пор и остается еще много нерешенных проблем. Было открыто множество свойств, с большинством из них можно ознакомится в статье Тьюколски [31] или в книге [68]. В данном параграфе будут приведены только те свойства Керровской черной дыры, которые будут в дальнейшем использованы в работе.

Метрика Керра имеет три основных гиперповерхности:

• Предел статичности. Рассмотрим статичного наблюдателя в метрике Керра. Четыре-скорость этого наблюдателя будет пропорционально вектору Киллинга Ьг = |^=0д,2,3:

иг = 1 ^. (1.4)

У-Ягк №к

Поскольку наблюдатель должен быть статичным (например, находиться в ракете), то его движение происходит не по геодезической. Заметим,

что существует поверхность д00 = 0, на которой уравнение (1.4) нарушается.

доо = 0 ^ rsi = М2 + yjМ2 - а2 cos2 в. (1.5)

Вектор Киллинга t% обращается в нуль на этой поверхности, следовательно, эта поверхность является также и горизонтом Киллинга. При этом статичный наблюдатель не может существовать в области г < rsi7 в этой области он должен вращаться. В связи с этим поверхность г = rsi называют пределом статичности.

• Горизонт событий. Заметим, что при 6 = 0 метрика Керра (1.2) имеет две особенности:

S = 0 ^ r± = М ± л/М2 - а2 . (1.6)

— а2

Заметим, что корпи уравнения г± действительны тогда и только тогда, когда М2 > а2. В случае если корни комплексны, то черпая дыра Керра называется сверхкритической и сингулярность не прикрыта никакими горизонтами и потому называется голой.

Изотропная поверхность г = г+ называется горизонтом событий черной дыры. Как видно из выражений для предела статичности и горизонта событий эти две поверхности совпадают только па полюсах при# = 0, ж. Область пространства-времени, расположенная между двумя этими поверхностями называется эргосферой. В дальнейшем, будем обозначать горизонт событий как гь Этот горизонт также является горизонтом видимости [32,56]. Заметим, что горизонт видимости является границей ловушечной области, т.е. все поверхности, чьи радиусы меньше гравитационного радиуса г < гь являются ловушечными поверхностями. Сам же горизонт видимости является косвенно ловушечной поверхностью значение этой фразы будет объяснено в главе 3).

• Горизонт Коши. Поверхность г = г— называется горизонтом Коши. Заметим, что при пересечении горизонта событий г и £ области меняются местами, т.е. то, что раньше мы называли временем, стало пространством и наоборот, то, что раньше называли пространством стало временем. При пересечении горизонта Коши г и £ области вновь меняются местами. В дальнейшем горизонт Коши будем обозначать гс.

Заметим, что метрика (1.2) имеет три особенности при р2 = 0 и 5 = 0. Для того, чтобы понять, что из этих особенностей является сингулярностью, а что нет, рассмотрим квадрат тензора Римана:

и ыкт 4SM2(r2 - a2 cos2 9)(г4 - 16аУ2 cos2 9) ttiklm-K = -- ' У

Откуда видно, что 5 = 0 не является сингулярностью, ею является р = 0 или г = 0. При этом сингулярность должна располагаться только в экваториальной плоскости 9 = Чтобы понять природу сингулярности лучше всего перейти к координатам Керра-Шильда [33]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вертоградов, Виталий Дмитриевич, 2017 год

Литература

1. Penrose R. Extraction of rotational energy from a black hole / R. Penrose, R.M. Floyd // Nature Physical Science 229. 1971. P. 177-179.

2. Contopoulos G. Orbits through the ergosphere of a Kerr black hole / G. Contopoulos // General Relativity and Gravitation vol. 16. 1984. P. 43-70.

3. O'Neill B. Semi-Riemannian Geometry / B. O'Neill. - Academic Press, 1983. - 468 p.

4. Earman J. Bangs, crunches, whimpers, and shrieks - Singularities and acausalities in relativistic spacetimes / J.Earman.- Oxford University Press, 1995.-272 p.

5. Penrose R. Gravitational collapse: The role of general relativity / R. Penrose // Rivista del Nuovo Cimento 1. 1969. P. 252-276.

6. Penrose R. The question of cosmic censorship / R. Penrose. - Chapter 5 in black holes and relativistic stars, Robert Wald (editor), 1994. - 421 p.

7. Penrose R. Singularities and time-asymmetry / R. Penrose. - Chapter 12 in General Relativity: An Einstein Centenary Survey (Hawking and Israel, editors), 1979. - 629 p.

8. Wald R.M. General Relativity / R.M. Wald. - University Of Chicago Press, 1984. - 308 p.

9. Roberts M.D. Scalar field counter-examples to the cosmic censorship hypothesis / M.D. Roberts // General Relativity and Gravitation 21. 1989. P.907-939.

10. Shapiro S.L. Formation of naked singularities: the violation of cosmic Ccensorship / S.L. Shapiro, S.A. Teukolsky // Physical Review Letters 66. 1991. P. 994-997.

11. Oppenheimer J.R. On continued gravitational contraction / J.R. Oppenheimer, H. Snyder //Physical Review 56. 1939. P. 455-459.

12. Joshi P.S. Gravitational collapse and space-time singularities / P.S. Joshi. -Cambridge University Press, 2007. - 273 p.

13. Nolan B.C. Strengths of singularities in spherical symmetry /B.C. Nolan // Physical Review D. 60. 1999. P. 024014.

14. Tipler F.J. Singularities in conformally flat spacetimes / F.J. Tipler // Physical Letters A. 64, 8. 1977. P. 8-10.

15. Israel W. Singular hypersurfaces and thin shells in general relativity / W. Israel // Nuovo Cimento B, 44. 1966. P. 1-14.

16. Barrabes C. Thin shells in general relativity and cosmology: the light like limit / C. Barrabes, W. Israel // Physical Review D, 43. 1991. P. 1129-1142.

17. Wang A. Generalized Vaidya solutions / A.Wang and Yu.Wu // https:/ arxiv.org abs gr-qc 9803038. 1999.

18. Mkenyeley M.D. Gravitational collapseof generalized Vaidya spacetime / M.D. Mkenyeley, R. Goswami, S. D. Maharaj // https://arxiv.org/abs/1407.4309. 2014.

19. Goswami R. Gravitational collapse of a selfinteracting scalar field / R. Goswami, P.S. Joshi // Modern Physics Letters A Vol. 22, No. 1. 2007. P. 65-74.

20. Хокинг С. Крупномасштабная структура пространства-времени / С. Хокинг, Дж. Эллис. - М.: Мир, 1973. - 432 с.

21. Joshi P.S. Recent development in gravitational collapse and spacetime singularitits / P.S. Joshi, D. Malafarina / / https://arxiv.org/abs/1603.02848. 2016.

22. Dymnikova I. The cosmological term as a source of mass / I. Dymnikova // Classical and Quantum Gravity 19. 2002. P. 725-739.

23. Dymnikova I. Vacuum nonsingular black hole / I. Dymnikova // General Relativity and Gravitation, Vol. 24, No. 3. 1992. P. 235-243.

24. Dymnikova I. Thermodynamics of regular cosmological black holes with the de Sitter interior / I. Dymnikova, M. Korpusik // Entropy 13. 2011. P. 19671991.

25. Einstein A. Die Feldgleichungen der Gravitation / A. Einstein // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.

1915. P. 844-847.

26. Einstein A. Die Grundlage der allgemeinen Relativittstheorie / A. Einstein // Annalen der Physik, 49. 1916. P. 769-822.

27. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie Sitzungsber / K. Schwarzschild // Preuss. Akad. Wiss.

1916. P. 189-196

28. Lense J. Uber den Einflu der Eigenrotation der Zentralk orper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie / J. Lense, H. Thirring // Phys. Zeit. 19. 1918. P. 156159.

29. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics / R.P. Kerr // Physical Review Letters 11. 1963. P. 237-238.

30. Boyer R.H. Maximal analytic extension of the Kerr metric / R.H. Boyer, R.W. Lindquist // Journal of Mathematical Physics, 8. 1967. P. 265-281.

31. Teukolsky S.A. The Kerr Metric / S.A. Teukolsky // https://arxiv.org/abs/1410.2130. 2015.

32. Ashtekar A. Isolated and Dynamical Horizons and Their Applications / A. Ashtekar, B. Krishnan // https://arxiv.org/abs/gr-qc/0407042. 2004.

33. Kerr R.P. Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics The Kerr Spacetime / R.P.Kerr // https://arxiv.org/abs/0706.1109. 2007.

34. Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации / Ю.С. Владимиров. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 264 с.

35. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т.

1. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004. -224 с.

36. Бескин B.C. Гравитация и астрофизика / B.C. Бескин. - М.: Физ. ин-т им. П. Н. Лебедева РАН, 2007. - 133 с.

37. Мизнер Ч. Гравитация. Т. 2 / Ч. Мизнер , К. Торн, Дж. Уилер. - М.: Мир, 1977. - 527 с.

38. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ / А.Дж. Мак-Коннел.

- М.: Физматгиз, 1963. - 411 с.

39. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашев-ский. - М.: Издательство ЛКИ, 2010. - 664 с.

40. Тол мен Р. Относительность, термодинамика и космология / Р. Тол мен.

- М.: Наука, 1974. - 520 с.

41. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Ч. 1 / С. Чандрасекар. - М.: Мир, 1986. - 276 с.

42. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: для вузов. В 10 т. Т.

2.Теория поля / Л.Д. Ландау, У.М. Лифшиц. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

- 536 с.

43. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Ч. 2 / С. Чандрасекар. - М.: Мир, 1986. - 355 с.

44. Banados М. Kerr black holes as particle accelerators to arbitrarily high energy / M. Banados, J. Silk, S.M. West // Physical Review Letters 103. 2009. P. 111102.

45. Grib A.A. High energy particles with negative and positive energies in the vicinity of black holes / A.A. Grib, Yu.V. Pavlov / / https://arxiv.org/abs/1401.0368. 2014.

46. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2-х т. Т. 2 / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1968. - 463 с.

47. Griffiths J.B. Exact space-times in Einstein's general relativity / J.B. Griffiths, J. Podolsky. - Cambridge University Press, 2009. - 548 p.

48. Padmanabhan T. Gravitation: Foundations and Frontiers. / T. Padmanabhan. - Cambridge University Press, 2010. - 728 p.

49. Joshi P.S. Global Aspects in Gravitation and Cosmology / P.S. Joshi. -Oxford University Press, 1996. - 392 p.

50. Papapetrou A. A Random Walk in Relativity and Cosmology / A. Papapetrou // Wiley Eastern, New Delhi. 1985. P. 184-191.

51. Wagh S.M. Naked singularity of the Vaidya-de Sitter space-time and the cosmic censorship hypothesis / S. M. Wagh, S. D. Maharaj // https:/ arxiv.org abs gr-qc 9903083. 1999.

52. Dokuchaev V.l. Is there life inside black holes? / V.l. Dokuchaev // Classical and Quantum Gravity 28. 2011. P. 235015.

53. Grib A.A. Are black holes totally black? / A. A. Grib, Yu. V. Pavlov // Gravitation and Cosmology 21. 2013. P. 13-18.

54. Горбуно Д.С. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего Большого взрыва / Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. - М.: ЛКИ, 2006. - 464 с.

55. Faraoni F. Lecture Notes in Physics: Cosmological and Black Hole Apparent Horizons / V. Faraoni. - Ed: W. Beiglbock, J. Ehlers, К. Hepp, H. Weidenmuller. Springer International Publishing, Vol. 907, 2015. - 199 p.

56. Faraoni F. Evolving Black Hole Horizons in General Relativity and Alternative Gravity / V. Faraoni // Galaxies 1. 2013. P. 114-179.

57. Ivanov B.V. A different approach to anisotropic spherical collapse with shear and heat radiation / B.V.Ivanov // International Journal of Modern Physics D. Vol.25, No. 4. 2016. P. 1650049.

58. Helou A. Causal Nature and Dynamics of Trapping Horizons in Black Hole Collapse / A. Helou, I. Musco, J.C. Miller // https://arxiv.org/abs/1601.05109. 2016.

59. Gundlach C. Critical gravitational collapse with angular momentum / C. Gundlach, T. W. Baumgarte // Physical Review D 94. 2016. P. 084012.

60. Antipin K.V. Properties of collapse dynamics in relativistic theory of gravitation in the case of smooth initial matter distributions / K.V. Antipin, A.I. Dubikovsky, P.K. Silaev // https://arxiv.org/abs/1609.04332. 2016.

61. Thirukkanesh S. Shearing radiative collapse with expansion and acceleration / S. Thirukkanesh, S.S. Rajah, S.D. Maharaj // Journal of Mathematical Physics 53. 2012. P. 032506.

62. Fan Y. Spherical collapse in the extended quintessence cosmological models / Y. Fan, P. Wu, H. Yu // Physical Review D 92. 2015. P. 083529.

63. Naidu N.F. The Influence of Initial Conditions during Dissipative Collapse / N. F. Naidu, M. Govender // https://arxiv.org/abs/1602.02874. 2016.

64. Barcel C. Where does the physics of extreme gravitational collapse reside? /C. Barcel, R. Carballo-Rubio, L.J. Garay // Universe 2 no.2. 2016. P. 7-11.

65. Poisson E. A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics / E. Poisson. - Cambridge University Press, 2007. - 252 p.

66. Patil M. Kerr Naked Singularities as Particle Accelerators / M. Patil, P.S. Joshi // Classical and Quantum Gravity 28. 2011. P. 235012.

67. Hooft G. The firewall transformation for black holes and some of its implications / G. Hooft // https://arxiv.org/abs/1612.08640. 2016.

68. O'Neill B. The Geometry of Kerr Black Holes / B. O'Neill. - Dover Publications, 1995. - 400 p.

69. Дирак П.A.M. Общая теория относительности / П.A.M. Дирак. - М.: Атомиздат, 1978. - 64 с.

70. Vertogradov V.D. Geodesies with negative energy in the ergosphere of rotating black holes / A.A. Grib, Yu.V. Pavlov, V.D. Vertogradov // Modern Physics Letters A. Vol. 29, Iss. 20. 2014. P. 14501-14510.

71. Vertogradov V.D. Geodesies for particles with negative energy in Kerr's metric / V.D. Vertogradov // Gravitation and Cosmology. Vol. 21, Iss.2.2015. P. 171-174.

72. Vertogradov V.D.Naked singularity formation in generalized Vaidya spacetime / V.D. Vertogradov // Gravitation and Cosmology. Vol. 22, Iss. 2. 2016. P. 220-223.

73. Vertogradov V.D. Conditions for the naked singularity formation in generalized Vaidya spacetime / V.D. Vertogradov // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 769. 2016. Art. 012013

74. Вертоградов В.Д. Геодезические для частиц с отрицательной энергией в метрике Керра / В.Д. Вертоградов // Физический вестник РГПУ им. А.И. Герцена, сборник научных статей. Вып.8. 20114. С. 9-14.

75. Вертоградов В.Д. К вопросу о гравитационном коллапсе сферически-симметричного тела / В.Д. Вертоградов // Физический вестник РГПУ им. А.И. Герцена, сборник научных статей. Вып.8. 2014. С. 24-28.

76. Вертоградов В.Д. Геодезические для частиц с отрицательной энергией в метрике Керра / В.Д. Вертоградов // Известия Главной Астрономической Обсерватории в Пулкове № 222. Труды V Пулковской молодежной астрономической конференции. Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН. 2015. С. 19.

77. Vertogradov V.D. Gravitational collapse of Vaidya spacetime / V.D. Vertogradov // International Journal of Modern Physics: Conference Series. Vol.41.2016. Art. 1660124. DOI: 1Û.1142/S2Û1Û1945166Û1241.

78. Новиков П.Д. Чёрные дыры и Вселенная / И.Д. Новиков. - М.: Молодая гвардия, 1985. - 190 с.

79. Новиков И.Д. Физика черных дыр / И.Д. Новиков, В.П. Фролов. - М.: Наука, 1986. - 328 с.

80. Мизнер Ч. Гравитация. Т. 1 / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. - М.: Мир, 1977. - 480 с.

81. Мизнер Ч. Гравитация. Т. 3 / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. - М.: Мир, 1977. - 512 с.

82. Кауфман У. Космические рубежи теории относительности / У. Кауфман. - М.: Мир, 1981. - 352 с.

83. Боголюбов H.H. Введение в теорию квантованных полей / H.H. Боголюбов, Д.В. Широков. - М.: Наука, 1984. - 600 с.

84. Зельдович Я.Б. Теория тяготения и эволюция звезд / Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. - М.: Наука, 1971. - 484 с.

85. Шапиро С. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды / С. Шапиро, С. Тьюколски. - М.: Мир, 1985. - 656 с.

86. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2-х т. Т. 1 / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1968. - 440 с.