Геометрический подход к теории фотонных многообразий в гравитационных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Кобялко Кирилл Владимирович

• Кобялко Кирилл Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Кобялко Кирилл Владимирович

Введение

Глава 1. Подмногообразия, потоки и слоения

1.1 Подмногообразия

1.2 Гиперповерхности и геодезические

1.3 Потоки и слоения

1.4 Поток обратной средней кривизны

1.5 Слоение подмногообразий

Глава 2. Тензоры Киллинга

2.1 Векторные и тензорные поля Киллинга

2.2 Статические и стационарные слоения

2.3 Инвариантные подмногообразия

2.4 Геодезические классы

2.5 Подъём векторных и тензорных полей Киллинга

2.6 Генерация нетривиального тензора Киллинга

Глава 3. Фотонные подмногообразия

3.1 Фотонные сферы

3.2 Полностью омбилические подмногообразия

3.3 Пространственное сечение

3.4 Топологические свойства

3.5 Неравенства Пенроуза

3.6 Поток и стабильность

Глава 4. Фундаментальные фотонные подмногообразия

4.1 Частично омбилические подмногообразия

4.2 Семейства фундаментальных фотонных подмногообразий

4.3 Фотонная область

4.4 Изотропные геодезические на фундаментальных фотонных поверхностях

4.5 Пространственное сечение

4.6 Топологические свойства

4.7 Неравенства Пенроуза

4.8 Связь с тензором Киллинга

Глава 5. Системы координат

5.1 Тензоры Киллинга

5.2 Фундаментальные фотонные поверхности г = const

5.3 Фундаментальные фотонные поверхности г = const

Глава 6. Геометрия Керра и Керра-Ньюмена

6.1 Оптические типы метрики Керра-Ньюмена

6.2 Оптические диаграммы

6.3 Излучение фотонов

Глава 7. Геометрия Плебанского-Демьянского

7.1 Решение Плебанского-Демьянского

7.2 Решение с параметром ускорения

7.3 Решение Райсснера-Нордстрема-АДС с ускорением

7.4 Решение НУТ-АДС

7.5 Решение Райсснера-Нордстрема-НУТ-АДС

7.6 Фотонные области в метрике Плебанского-Демьянского

7.7 Фотонные поверхности и области нарушения хронологии

7.8 Многозарядное решение Керра-Тауба-НУТ-АДС в супергравитации

Глава 8. Геометрия Зипоя-Вурхиса

8.1 Метрика Зипоя-Вурхиса

8.2 Геодезические и наблюдение

8.3 Касательные улавливающие поверхности г = const

8.4 Несферические ФФП0

8.5 Фотонная область

8.6 Случай 6 <

8.7 Тень

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Оптические типы геометрий Керра-Ньюмена и

Плебанского-Демьянского

Приложение Б. Тень геометрии Зипоя-Вурхиса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрический подход к теории фотонных многообразий в гравитационных полях»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы. После запуска проекта «The Event Horizon Telescope» и получения первого изображения черной дыры (ЧД) в центре галактики M87 [1] впервые стало возможным экспериментальное исследование различных оптических эффектов1, возникающих в сильных гравитационных полях чёрных дыр и других ультракомпактных объектов (УКО) [18].

Заметим, что современная интерпретация астрофизических данных, как правило, основана на эйнштейновской теории гравитации и стандартной модели керровской черной дыры [19; 20]. Данный подход мотивируется набором теорем об отсутствии волос [21-23], а также гипотезой космической цензуры [24]. Вместе с тем, проблемы темной материи и темной энергии делают актуальным привлечение и альтернативных моделей гравитации, включая супергравитацию и теорию струн. При этом возникает возможность существования кротовых нор, нарушения принципа космической цензуры и других нестандартных предсказаний, ассоциируемых как с новыми [25; 26], так и с некоторыми хорошо известными метриками [27; 28], которые традиционно рассматривались как патологические. В связи с этим, в настоящее время появилась высокая потребность в дальнейшем развитии и обобщении методов анализа геометрических и оптических свойств различных УКО за рамками керровской парадигмы [29-31].

На текущий день, существует как минимум два основных способа описания оптических свойств ЧД. Первый - состоит в прямом интегрировании геодезических уравнений для изотропных геодезических [32-37]. Такое интегрирование, как правило, можно выполнить аналитически в стандартных решениях керровского типа ввиду возможности разделить переменные в соответствующих уравнениях Гамильтона-Якоби. Подобная интегрируемость обеспечивается существованием третьего интеграла движения Картера [38; 39] в дополнение к энергии и азимутальному моменту, связанных со стационарностью и аксиальной симметрией пространства-времени. Таким образом, в рамках данного подхода

Образование гравитационных теней [2-15], релятивистских изображений [16; 17] и колец Эйнштейна.

чрезвычайно важную роль играют явные и скрытые симметрии пространства-времени, ассоциируемые с тензорными полями Киллинга различных рангов.

Напомним, что векторные поля Киллинга описывают изометрии пространственно-временного многообразия и определяют набор сохраняющихся величин для геодезических и волновых операторов в теориях поля. Для геодезических данные сохраняющиеся величины линейны по импульсам/векторным полям скоростей. Естественным обобщением векторных полей Киллинга являются тензорные поля Киллинга старших рангов, чьё существование связанно со скрытыми симметриями пространства-времени [40]. Тензоры Киллинга также определяют сохраняющиеся величины, но более высокого порядка по импульсам. Хорошо известным примером такой сохраняющейся величины, квадратичной по импульсу частицы, является постоянная Картера, найденная для метрики Керра. Хотя вращающееся решение Керра не обладает сферической симметрией, постоянная Картера является аналогом сохраняющегося квадрата углового момента.

Векторные поля Киллинга связаны с явными симметриями пространства-времени и потому довольно хорошо изучены для широкого класса геометрий. В то же время, анализ и поиск нетривиальных тензоров Киллинга старших рангов представляет собой значительно более сложную задачу. Большинство известных результатов об их природе проистекает из того факта, что тензорные уравнения Киллинга упрощаются в пространствах с специфической дополнительной внутренней структурой. К ним относятся пространства со структурой искривлённого произведения [41; 42], пространства допускающие существование векторного поля Киллинга ортогонального гиперповерхностям [43; 44] и пространства со специальными конформными полями Киллинга [45]. Поэтому задача поиска новых методов исследования и построения тензорных полей Киллинга до сих пор остаётся чрезвычайно актуальной.

В случае общих пространств-времён, в том числе тех, которые недавно исследовались для получения новых предсказаний за рамками парадигмы Керра [29-31], нетривиальных тензоров Киллинга второго ранга как правило не существует, и построение аналитических решений геодезических уравнений невозможно. Более того, как и следовало ожидать от неинтегрируемых динамических систем, движение демонстрирует области хаоса на сечениях Пуанкаре [46; 47]. В частности, значительно усложняется задача визуализации оптических свойств геометрий и требуется привлечение больших вычислительных

мощностей. Одним из возможных выходов в этом случае является применение современных методов параллельных вычислений на графических процессорах («Nvidia CUDA») для отслеживания траекторий огромного числа (210 х 210) изотропных геодезических, испускаемых из точки наблюдения до места их пересечения с некоторой удалённой сферой источников [15]. Данный метод демонстрирует значительно большую эффективность даже по сравнению с вычислениями на небольших кластерах обычных центральных процессоров и позволяет получать в явном виде полную картину гравитационного линзирова-ния (ГЛ) произвольных гравитационных источников.

Однако во многих нетривиальных случаях высокую эффективность демонстрирует также второй аналитический способ описания оптических свойств УКО, в основе которого лежит понятие фотонной структуры гравитационных полей. Под фотонной структурой понимается совокупность геометрических подмногообразий2 пространства, заполненных компактными фотонными орбитами, которые могут существовать в сильных гравитационных полях. Фотонная структура гравитационных полей непосредственно апеллирует к наблюдениям, поэтому ее изучение в случае нестандартных метрик представляет интерес для поиска новой физики. Так, например, фотонная структура позволяет отличить кротовую нору от черной дыры [48].

Простейшим известным примером фотонной структуры пространства-времени является фотонная сфера (ФС) в метрике Шварцшильда. Напомним, что в статической сферически симметричной метрике Шварцшильда существуют замкнутые фотонные орбиты являющиеся окружностями радиуса rps = 3/2гд (гд - радиус Шварцшильда), которые в совокупности образуют фотонную сферу [16]. Фотонная сфера удерживает все хотя бы в одной точке касательные к ней изотропные геодезические, и является времениподобной гиперповерхностью в области внешних коммуникаций (ОВК) черной дыры. Фотоны, имеющие направленный наружу радиальный импульс, могут ее покидать. Этим она отличается от горизонта событий, представляющего собой изотропную поверхность, которую фотоны покидать не могут. Навивающиеся на фотонную сферу изотропные геодезические, приходящие из бесконечности, дают картину множественных релятивистских изображений (РИ) при сильном гравитационном линзировании [16; 17]. Фотонная сфера проявляет себя и при расчете теней черных дыр, которые можно наблюдать при внешнем освещении объекта [2-14].

2 Фотонные подмногообразия (ФП) и фотонные области (ФО).

Фотонная сфера в пространстве Шварцшильда неустойчива: значение радиуса замкнутой фотонной орбиты отвечает вершине потенциального барьера в радиальном геодезическом уравнении. Однако известно, что в некоторых случаях ФС могут состоять из устойчивых фотонных орбит. Такие поверхности часто возникают позади внутреннего горизонта чёрных дыр или в поле голых сингу-лярностей и кротовых нор и называются «антифотонными» поверхностями [49]. В пространстве-времени, допускающем разделение переменных в геодезических уравнениях, стабильные фотонные орбиты соответствуют минимуму эффективного радиального потенциала. Выше минимума расположены компактные фотонные орбиты с двумя радиальными точками поворота. Как было показано в ряде работ [50-53], существование таких орбит указывает на нестабильность самого пространства-времени при соответствующих значениях физических параметров метрики. Таким образом, ФС оказываются востребованными и при изучение общих вопросов теории гравитации, таких как устойчивость решений уравнений Эйнштейна.

Очевидно, что существование фотонной сферы связано со сферической симметрией пространства-времени. Однако, следует отметить, что фотонная сфера не разрушается при добавлении в классическое решение Шварцшильда параметра Ньюмена-Унти-Тамбурино (НУТ) [27], так как в этом случае локально алгебра симетрий во(3) все еще выполняется, хотя метрика уже не статична и содержит области нарушения хронологии [54]. За этим исключением стационарные метрики с вращением , как правило, не допускают существования фотонных сфер.

В гравитационных полях более общего вида понятие фотонной сферы, можно расширить до фотонных поверхностей (ФП) [55], представляющих собой поверхности без границ с компактным пространственным сечением несферической формы. В [55] фотонная поверхность определяется как вре-мениподобная гиперповерхность без границ $, такая, что любая изотропная геодезическая у, хотя бы в одной точке касающаяся $, полностью принадлежит $. Было найдено несколько примеров пространств-времен, которые допускают существование несферических фотонных поверхностей (вакуумная С-метрика, и её обобщения, включая поле дилатона [56]).

Важное математическое свойство ФП состоит в том, что они являются времениподобными полностью омбилическими гиперповерхностями в

3Метрики Керра, Керра-Ньюмена и т.д.

пространстве-времени [55]. Это означает, что для них вторая квадратичная форма II пропорциональна индуцированной метрике для всех векторов из касательного пространства поверхности.

щхх) = н {х,у), ух,у е тя. (1)

ФП также инвариантны относительно конформных преобразований метрики [55]. Данные свойства могут использоваться в качестве альтернативы к их кинематическому определению в терминах изотропных геодезических, что полезно, если разделение переменных в уравнениях геодезических невозможно.

Другим кругом общих вопросов, к которым оказывается имеющей отношения фотонная структура гравитационных полей, является классификация и единственность черных дыр и голых сингулярностей. Например, для вакуумных и электровакуумных пространств было установлено несколько теорем единственности [57-63], утверждающих, что в статическом случае единственными асимптотически плоскими метриками, допускающими существование ФП, являются известные черные дыры (решения Шварцшильда, Райсснера-Норд-стрема и т.д.), т.е. существование ФП заменяет предположение о существовании регулярного горизонта событий. Также наличие/отсутствие ФП позволяет естественным образом ввести понятие сильных и слабых сингулярностей и тем самым классифицировать последние исходя из их оптических свойств [16; 17]. Для ФП также были построены неравенства типа Пенроуза [64-67], дающие эффективную оценку площади их пространственного сечения в асимптотически-плоских пространствах-временах. Помимо этого, недавно была обнаружена связь существования ФП с существованием тензоров Штеккеля-Киллинга второго ранга [68] в случае статических пространств.

Однако, в стационарных метриках ФП как правило не существуют. Тем не менее, в пространствах-временах с врвщением фотонные орбиты с постоянным значением радиальной координаты Бойера-Линдквиста по-прежнему определены (например, сферические орбиты в Керре [34-37]), но они не заполняют плотно фотонные сферы, поскольку для их существования требуется определенная связь между интегралами движения, а сами «фотонные сферы» не удовлетворяют омбилическому условию (1). Вместо этого, такие орбиты заполняют трехмерные области - фотонные области (ФО) [32; 33]. Геометрическая природа данных областей является не известной и потому поиск геометри-

ческого аналога ФП во вращающихся пространствах по-прежнему остаётся актуальной задачей.

Недавно были предложены также другие интересные типы характеристических фотонных поверхностей. Один из них - это свободно захватывающая поверхность (СЗП) [64]. Как было показано Сингом [69], область между горизонтом и фотонной сферой в метрике Шварцшильда захватывающая примерно «наполовину»: если фотоны излучаются изотропно в этой области, более половины из них будет захвачено черной дырой. В некотором смысле эти фотоны «слабо» захвачены. Когда источник фотонов приближается к горизонту, они полностью попадают в ловушку. Рассматривая сферу между горизонтом и фотонной сферой, можно интерпретировать величину радиальной производной следа её второй квадратичной формы как меру силы гравитации: в то время как эта производная отрицательна вне фотонной сферы, она становится положительной и при движении к горизонту. Это приводит к определению слабо захватывающей поверхности в невакуумном пространстве-времени как компактной 2-мерной поверхности с неотрицательной радиальной производной положительного следа её второй квадратичной формы. Тогда для такой поверхности выполняется неравенство типа Пенроуза, при условии, что скалярная кривизна асимптотически-плоского пространства положительна [64]. Концепция СЗП была впоследствии расширена до понятия притягивающих поверхностей гравитационного пробирования [70], дающих оценку на области с сильным и слабым гравитационным полем.

Другое возможное обобщение понятия фотонной поверхности - это касательная улавливающая поверхность (КУП) [71; 72]. Её связь с СЗП обсуждается в [71]. КУП обобщают ФП, позволяя первоначально касательным к ней фотонам покидать её замкнутое пространственное сечение, но только во внутреннем направлении. Подобно ФП, КУП может быть определена в геометрических терминах с использованием неравенств, включающих вторую квадратичную форму соответствующих гиперповерхностей в пространстве-времени. Это также может быть полезно в тех случаях, когда уравнения геодезических неразделимы, например, в некоторых пространствах-временах Вейля. Тем не менее, КУП и СЗП не являются прямыми оптическими обобщениями ФП, так как не участвуют в непосредственном формировании тени и релятивистских изображений в окрестности УКО.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является дальнейшее развитие и обобщение основных геометрических подходов к исследованию фотонных многообразий в сильных гравитационных полях.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построить естественное геометрическое обобщение понятия фотонной поверхности на случай произвольного стационарного пространства-вре-

4

мени .

2. Сформулировать унифицированное описание фотонных подмногообразий различных типов в рамках единого геометрического подхода и изучить их математические свойства (топологические характеристики, неравенства Пенроуза и т.д.).

3. Исследовать фотонную структуру широкого класса пространств-времён в классической гравитации и её обобщениях. Установить связь между геометрическими свойствами фотонных подмногообразий и основными оптическими свойствами сильных гравитационных полей.

4. Разработать новые методы генерации тензорных полей Киллинга второго ранга и выявить их связь с особенностями фотонной структуры геометрии.

Методология и методы исследования. В диссертации используются методы теории подмногообразий, потоков обратной средней кривизны и слоений многообразий, а также численные методы анализа поведения сложных динамических систем. Развиваемый нами геометрический подход к исследованию оптических свойств сильных гравитационных полей, без отсылки к явному решению геодезических уравнений, предоставляет больше аналитических характеристик, чем классический численный анализ. Поэтому, в частности, он является чрезвычайно эффективным теоретическим инструментом исследования поведения сложных неинтегрируемых динамических систем - кандидатов на роль источников для наблюдаемых изображений теней чёрных дыр и других ультракомпактных объектов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем.

1. Впервые, было предложено наиболее физически мотивированное обобщение понятия фотонной поверхности на случай стационарного про-

4В том числе, геометрии с неинтегрируемыми геодезическими уравнениями.

странства-времени, основанное на понятии частично омбилических подмногообразий для классов изотропных геодезических. Новые геометрические объекты обладают рядом преимуществ по сравнению с ранее предложенными обобщениями [64; 70-72], так как непосредственно регулируют рассеяние изотропных геодезических и принимают участие в формировании теней и релятивистских изображений.

2. Разработана соответствующая геометрическая теория и подробно изучены основные математические свойства новых фотонных поверхностей. В частности, вычислены Эйлеровы характеристики х и построены неравенства Пенроуза для их пространственных сечений.

3. Изучено влияние особенностей геометрии фотонных поверхностей на характеристики тени, релятивистских изображений и излучения фотонов в гравитационных полях ультракомпактных объектов. Данное исследование может рассматриваться как естественное развитие идей классических работ [69] и недавних исследований [73-75].

4. Была сформулирована расширенная [16; 17] оптическая классификация пространств-времён (чёрных дыр, сигулярностей и кротовых нор), основанная на свойствах их фотонной структуры. Данная классификация базируется на использовании новых методов графической визуализации фотонных многообразий и пригодна для качественного описания оптических свойств, в том числе, неинтегрируемых динамических систем.

5. Проведено исследование фотонной структуры широкого класса статических/стационарных пространств (геометрия Плебанского-Демьянского, Зипоя-Вурхиса и т.д.). Найдены области в пространстве физических параметров решений, соответствующие различным оптическим типам геометрий. Данное исследование расширяет и дополняет результаты более ранних работ [32; 33; 76; 77] в рамках нового геометрического подхода.

6. Был предложен полностью геометрический метод генерации тензорных полей Киллинга второго ранга в пространствах со слоениями коразмерности один с не полностью геодезическими/омбилическими слоями не требующий существования векторного поля Киллинга ортогонального гиперповерхностям [43].

7. Установлена связь нетривиального тензорного поля Киллинга второго ранга с фотонной структурой стационарных аксиальносимметричных пространств. Данное исследование обобщает идеи работы [68] для статических геометрий на качественно новый класс пространств-времён.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные теоретические результаты могут найти применение в решении ряда астрофизических проблем (гипотеза космической цензуры), проблем описания неинтегрируемых динамических систем и омбилических подмногообразий, а также в вопросах экспериментального наблюдения теней чёрных дыр, возникающих в рамках проекта «The Event Horizon Telescope».

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Утверждается, что наиболее физически мотивированным обобщением понятия фотонной поверхности на случай общего стационарного аксиальносимметричного пространства-времени является частично омбилическое фундаментальное фотонное подмногообразие. Геометрические характеристики фундаментальных фотонных подмногообразий непосредственно связаны с физическими параметрами гравитационных теней, релятивистских изображений и излучения фотонов в сильных гравитационных полях.

2. Использование фундаментальных фотонных подмногообразий, а также новых методов их графической визуализации позволяет сформулировать наглядную оптическую классификацию и произвести оценку размеров различных ультракомпактных гравитационных объектов.

3. Доказано, что существует прямая, но не взаимнооднозначная связь между нетривиальными тензорными полями Киллинга второго ранга и фундаментальными фотонными поверхностями в стационарных пространствах. А именно слоение многообразия коразмерности один, генерирующее нетривиальный тензор Киллинга второго ранга всегда содержит фундаментальные фотонные поверхности, если выполнены алгебраические неравенства фотонных областей.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается высокой степенью их согласованности с большим числом аналитических и численных исследований других авторов в рамках подхода с использованием геодезических уравнений и формализма Гамильтона-Якоби. Работы, в которых были получены результаты, лежащие в основе диссертации,

были опубликованы в ведущих мировых и российских научных журналах с высоким импакт-фактором. Результаты, лежащие в основе диссертации, неоднократно докладывались автором на различных международных конференциях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 10-и конференциях:

1. «Гамма-метрики с параметром Ньюмена-Унти-Тамбурино». Ломоносовские чтения - 2017, МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия, 17-26 апреля 2017.

2. «Математическое и компьютерное моделирование образования хаоса в полях тяготения с осевой симметрией при наличии голой сингулярности». GRACOS-2017, г. Казань, Россия, 4-6 ноября 2017.

3. «Фотонные и поперечно улавливающие поверхности в стационарных пространствах». GRAC0S-2018, г. Казань, Россия, 4-6 ноября 2018.

4. «Relative trapping surfaces and optical images of bumpy spacetimes». The Third Symposium of the BRICS Association on Gravity, Astrophysics and Cosmology, Казань, Россия, 29 августа - 3 сентября 2019.

5. «Фотонные и поперечные улавливающие поверхности в стационарных пространствах». Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2019».

6. «Фотонные подмногообразия в сильных гравитационных полях». The 17th Russian Gravitational Conference — International Conference on Gravitation, Cosmology and Astrophysics (RUSGRAV-17) June 28, 2020 - July 4, 2020 Saint Petersburg, Russia.

7. «Фотонные регионы и омбилические условия в стационарных аксиально-симметричных пространствах». Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2020».

8. «Фотонные поверхности, тензор Киллинга и неравенства Пенроуза». Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2021».

9. «Photon regions and umbilic conditions in stationary axisymmetric spacetimes». Sixteenth Marcel Grossmann Meetings (on Recent Developments in Theoretical and Experimental General Relativity, Gravitation, and Relativistic Field Theories) - University of Rome and ICRANet, July 5-10, 2021.

10. «Killing tensors and photon surfaces in foliated spacetimes». Sixteenth Marcel Grossmann Meetings (on Recent Developments in Theoretical and

Expérimental General Relativity, Gravitation, and Relativistic Field Theories) - University of Rome and ICRANet, July 5-10, 2021.

Личный вклад. Научные результаты, теоремы, доказательства, геометрические концепции, методы классификации ультракомпактных объектов, методы генерации тензорных полей Киллинга, выносимые на защиту получены автором самостоятельно. В написанных в соавторстве работах все результаты, представленные в диссертации, получены лично Кобялко К.В.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях [78-90], 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 5 —в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus5, 6 —в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения и 2 приложений. Полный объём диссертации составляет 173 страницы, включая 25 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 131 наименование.

Первая глава содержит основные сведения и обозначения из задействованных в диссертации разделов дифференциальной геометрии подмногообразий, потоков поверхностей и слоений многообразий [42]. В частности, приводятся разложения Гаусса и Вейнгартена, фундаментальные уравнения Гаусса, Кодацци и Риччи, а также вывод римановых неравенств Пенроуза с использованием потоков обратной средней кривизны [67]. Мы стараемся формулировать максимально унифицированное описание различных математических объектов, а также приводить выводы ряда основных утверждений с целью формирования некоторой интуиции при работе в используемом формализме.

Вторая глава содержит основные сведения и некоторые приложения теории полей Киллинга второго и первого рангов. Демонстрируется, каким образом векторные поля Киллинга позволяют ввести разбиение множества всех изотропных геодезических на классы с жёстко фиксированной структурой касательного подрасслоения и вводится понятие причинной области с краем формируемым множеством точек поворота геодезических. Приводятся примеры различных видов слоений многообразий. Например, статические и стационарные аксиальносимметричные слоения и получаются выражения для вторых квадратичных форм и скалярных кривизн их слоёв. В данной главе

5 3 —Physical Review D (IF 4.413, Q1), 1—The European Physical Journal C (IF 4.389, Q1), 1 — Теоретическая и математическая физика (IF 0.956, Q3)

также формулируется новый геометрический метод подъёма тензорных полей Киллинга второго ранга из слоёв в пространствах со слоениями коразмерности один [81]. Получаются общие уравнения подъема, их условия совместности и интегрируемости, а также описывается механизм генерации нетривиальных тензоров Киллинга (решения получены в квадратурах) второго ранга в балке из тривиальных тензоров Киллинга на слоях слоения.

Третья глава содержит как обзор ранее известных результатов о природе ФП в статических пространствах [55], так и некоторые новые результаты о возможной структуре ФП в более общих классах пространств-времён. Воспроизводятся доказательства основных свойств ФП таких как свойства улавливания изотропных геодезических и конформной инвариантности, а также получается ряд выражений для главных кривизн инвариантных ФП в пространствах с изометриями и произвольными слоениями. Для пространственных сечений абстрактных ФП в стационарных четырёхмерных пространствах определяются Эйлеровы характеристики, строятся неравенства Пенроуза и исследуется стабильность касательных геодезических.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кобялко Кирилл Владимирович, 2022 год

Список литературы

1. Akiyama K. et al. First M87 Event Horizon Telescope Results. VI. The Shadow and Mass of the Central Black Hole // Astrophys. J. Lett. — 2019. — Vol. 875, no. 1. — P. L6.

2. Perlick V. Gravitational lensing from a spacetime perspective // Living Rev. Rel. — 2004. — Vol. 7. — P. 9.

3. Abdujabbarov A. et al. Shadow of Kerr-Taub-NUT black hole // Astrophys. Space Sci. — 2013. — Vol. 344. — P. 429.

4. Wei S.-W., Liu Y.-X. Observing the shadow of Einstein-Maxwell-Dilaton-Ax-ion black hole // JCAP. — 2013. — Vol. 11. — P. 063.

5. Atamurotov F., Abdujabbarov A., Ahmedov B. Shadow of rotating non-Kerr black hole // Phys. Rev. D. — 2013. — Vol. 88, no. 6. — P. 064004.

6. Abdikamalov A. B. et al. Black hole mimicker hiding in the shadow: Optical properties of the y metric // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, no. 2. — P. 024014.

7. Takahashi R. Black hole shadows of charged spinning black holes // Publ. Astron. Soc. Jap. — 2005. — Vol. 57. — P. 273.

8. Bambi C., Freese K. Apparent shape of super-spinning black holes // Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 79. — P. 043002.

9. Amarilla L., Eiroa E. F., Giribet G. Null geodesics and shadow of a rotating black hole in extended Chern-Simons modified gravity // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81. — P. 124045.

10. Amarilla L., Eiroa E. F. Shadow of a Kaluza-Klein rotating dilaton black hole // Phys. Rev. D. — 2013. — Vol. 87, no. 4. — P. 044057.

11. Shaikh R. et al. Shadows of spherically symmetric black holes and naked singularities // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. — 2019. — Vol. 482, no. 1. — Pp. 52-64.

12. Cunha P. V. P. et al. Shadows of Kerr black holes with scalar hair // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Vol. 115, no. 21. — P. 211102.

13. Bohn A. et al. What does a binary black hole merger look like? // Class. Quant. Grav. — 2015. — Vol. 32, no. 6. — P. 065002.

14. Cunha P V. P. et al. Lensing and dynamics of ultracompact bosonic stars // Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 96, no. 10. — P. 104040.

15. Cunha P. V. P., Herdeiro C. A. R. Shadows and strong gravitational lensing: a brief review // Gen. Rel. Grav. — 2018. — Vol. 50, no. 4. — P. 42.

16. Virbhadra K. S., Ellis G. F. R. Schwarzschild black hole lensing // Phys. Rev. D. — 2000. — Vol. 65. — P. 084003.

17. Virbhadra K. S., Ellis G. F. R. Gravitational lensing by naked singularities // Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — P. 103004.

18. Cardoso V., Pani P. Testing the nature of dark compact objects: a status report // Living Rev. Rel. — 2019. — Vol. 22, no. 1. — P. 4.

19. Johannsen T. Sgr A* and General Relativity // Class. Quant. Grav. — 2016.

— Vol. 33, no. 11. — P. 113001.

20. Johannsen T. Testing the No-Hair Theorem with Observations of Black Holes in the Electromagnetic Spectrum // Class. Quant. Grav. — 2016. — Vol. 33, no. 12. — P. 124001.

21. Israel W. Event horizons in static vacuum space-times // Phys. Rev. — 1967.

— Vol. 164. — Pp. 1776-1779.

22. Israel W. Event horizons in static electrovac space-times // Commun. Math. Phys. — 1968. — Vol. 8. — Pp. 245-260.

23. Carter B. Axisymmetric Black Hole Has Only Two Degrees of Freedom // Phys. Rev. Lett. — 1971. — Vol. 26. — Pp. 331-333.

24. Penrose R. Naked singularities // Annals N. Y. Acad. Sci. — 1973. — Vol. 224. — Pp. 125-134.

25. Clement G, Gal'tsov D. A tale of two dyons // Phys. Lett. B. — 2017. — Vol. 771. — Pp. 457-461.

26. Bogush I., Gal'tsov D. Generation of rotating solutions in Einstein-scalar gravity // Phys. Rev. D. — 2020. — Vol. 102, no. 12. — P. 124006.

27. Newman E., Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwarzschild metric // J. Math. Phys. — 1963. — Vol. 4. — P. 915.

28. Voorhees B. H. Static axially symmetric gravitational fields // Phys. Rev. D.

— 1970. — Vol. 2. — Pp. 2119-2122.

29. Johannsen T., Psaltis D. A Metric for Rapidly Spinning Black Holes Suitable for Strong-Field Tests of the No-Hair Theorem // Phys. Rev. D. — 2011. — Vol. 83. — P. 124015.

30. Hartle J. B. Slowly rotating relativistic stars. 1. Equations of structure // Astrophys. J. — 1967. — Vol. 150. — Pp. 1005-1029.

31. Hartle J. B., Thorne K. S. Slowly Rotating Relativistic Stars. II. Models for Neutron Stars and Supermassive Stars // Astrophys. J. — 1968. — Vol. 153.

— P. 807.

32. Grenzebach A., Perlick V., Lammerzahl C. Photon Regions and Shadows of Kerr-Newman-NUT Black Holes with a Cosmological Constant // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 89, no. 12. — P. 124004.

33. Grenzebach A., Perlick V., Lammerzahl C. Photon Regions and Shadows of Accelerated Black Holes // Int. J. Mod. Phys. D. — 2015. — Vol. 24, no. 09.

— P. 1542024.

34. Wilkins D. C. Bound Geodesics in the Kerr Metric // Phys. Rev. D. — 1972.

— Vol. 5. — Pp. 814-822.

35. Teo E. Spherical orbits around a Kerr black hole // Gen. Rel. Grav. — 2021.

— Vol. 53, no. 1. — P. 10.

36. Dokuchaev V. I., Nazarova N. O. Silhouettes of invisible black holes // Usp. Fiz. Nauk. — 2020. — Vol. 190, no. 6. — Pp. 627-647.

37. Dokuchaev V. I., Nazarova N. O. Visible shapes of black holes M87* and SgrA* // Universe. — 2020. — Vol. 6, no. 9. — P. 154.

38. Carter B. Hamilton-Jacobi and Schrodinger separable solutions of Einstein's equations // Commun. Math. Phys. — 1968. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 280-310.

39. Kubiznak D, Krtous P. On conformal Killing-Yano tensors for Plebanski-Demi-anski family of solutions // Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76. — P. 084036.

40. Frolov V. Krtous P., Kubiznak D. Black holes, hidden symmetries, and complete integrability // Living Rev. Rel. — 2017. — Vol. 20, no. 1. — P. 6.

41. Krtous P., Kubiznak D, Kolar I. Killing-Yano forms and Killing tensors on a warped space // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 93, no. 2. — P. 024057.

42. Chen B. Y. Pseudo-Riemannian Geometry, Ô-Invariants and Applications. — Hackensack: World Scientific, 2011. — 463 pp.

43. Garfinkle D., Glass E. N. Killing Tensors and Symmetries // Class. Quant. Grav. — 2010. — Vol. 27. — P. 095004.

44. Garfinkle D., Glass E. N. Killing-Yano tensors in spaces admitting a hyper-surface orthogonal Killing vector // J. Math. Phys. — 2013. — Vol. 54. — P. 032501.

45. Barnes A., Edgar B., Rani R. Killing tensors from conformal Killing vectors // arXiv. — 2002. — 12. — Pp. gr-qc/0212016.

46. Lukes-Gerakopoulos G. The non-integrability of the Zipoy-Voorhees metric // Phys. Rev. D. — 2012. — Vol. 86. — P. 044013.

47. Dolan S. R. Comment on "Geodesic dynamics on Chazy-Curzon spacetimes" // arXiv. — 2019. — 1. — P. 1901.01202.

48. Gyulchev G. et al. On the shadow of rotating traversable wormholes // Eur. Phys. J. C. — 2018. — Vol. 78, no. 7. — P. 544.

49. Cvetic M., Gibbons G. W, Pope C. N. Photon Spheres and Sonic Horizons in Black Holes from Supergravity and Other Theories // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 94, no. 10. — P. 106005.

50. Keir J. Stability, Instability, Canonical Energy and Charged Black Holes // Class. Quant. Grav. — 2014. — Vol. 31, no. 3. — P. 035014.

51. Cardoso V. et al. Light rings as observational evidence for event horizons: long-lived modes, ergoregions and nonlinear instabilities of ultracompact objects // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 90, no. 4. — P. 044069.

52. Dolan S. R., Shipley J. O. Stable photon orbits in stationary axisymmetric electrovacuum spacetimes // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 94, no. 4. — P. 044038.

53. Cunha P. V. P., Herdeiro C. A. R., Radu E. Fundamental photon orbits: black hole shadows and spacetime instabilities // Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 96, no. 2. — P. 024039.

54. Clément G., Gal'tsov D., Guenouche M. Rehabilitating space-times with NUTs // Phys. Lett. B. — 2015. — Vol. 750. — Pp. 591-594.

55. Claudel C, Virbhadra K. S., Ellis G. F. R. The Geometry of photon surfaces // J. Math. Phys. — 2001. — Vol. 42. — Pp. 818-838.

56. Gibbons G. W, Warnick C. M. Aspherical Photon and Anti-Photon Surfaces // Phys. Lett. B. — 2016. — Vol. 763. — Pp. 169-173.

57. Cederbaum C, Galloway G. J. Uniqueness of photon spheres in electro-vacuum spacetimes // Class. Quant. Grav. — 2016. — Vol. 33. — P. 075006.

58. Yazadjiev S. S. Uniqueness of the static spacetimes with a photon sphere in Einstein-scalar field theory // Phys. Rev. D. — 2015. — Vol. 91, no. 12. — P. 123013.

59. Yazadjiev S, Lazov B. Classification of the static and asymptotically flat Ein-stein-Maxwell-dilaton spacetimes with a photon sphere // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 93, no. 8. — P. 083002.

60. Yazadjiev S, Lazov B. Uniqueness of the static Einstein-Maxwell spacetimes with a photon sphere // Class. Quant. Grav. — 2015. — Vol. 32. — P. 165021.

61. Rogatko M. Uniqueness of photon sphere for Einstein-Maxwell-dilaton black holes with arbitrary coupling constant // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 93, no. 6. — P. 064003.

62. Cederbaum C, Galloway G. J. Photon surfaces with equipotential time-slices // J. Math. Phys. — 2021. — Vol. 62, no. 3. — P. 032504.

63. Cederbaum C. Uniqueness of photon spheres in static vacuum asymptotically flat spacetimes // arXiv. — 2014. — 6. — P. 1406.5475.

64. Shiromizu T. et al. Area bound for a surface in a strong gravity region // PTEP. — 2017. — Vol. 2017, no. 3. — P. 033E01.

65. Feng X., Lu H. On the size of rotating black holes // Eur. Phys. J. C. — 2020.

— Vol. 80, no. 6. — P. 551.

66. Yang R., Lu H. Universal bounds on the size of a black hole // Eur. Phys. J. C. — 2020. — Vol. 80, no. 10. — P. 949.

67. Huisken G., Ilmanen T. The inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality // J. Differential geometry. — 2001. — Vol. 59. — P. 353.

68. Koga Y, Igata T., Nakashi K. Photon surfaces in less symmetric spacetimes // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 103, no. 4. — P. 044003.

69. Synge J. L. The escape of photons from gravitationally intense stars // Mon. Not. R. astro. Soc. — 1966. — Vol. 131. — P. 463.

70. Izumi K. et al. Area bound for surfaces in generic gravitational field // arXiv.

— 2021. — 1. — P. 2101.03860.

71. Yoshino H. et al. Extension of photon surfaces and their area: Static and stationary spacetimes // PTEP. — 2017. — Vol. 2017, no. 6. — P. 063E01.

72. Yoshino H. et al. Transversely trapping surfaces: Dynamical version // PTEP.

— 2020. — Vol. 2020, no. 2. — P. 023E02.

73. Tsukamoto N. Retrolensing by light rays slightly inside and outside of a photon sphere around a Reissner-Nordstrom naked singularity // arXiv. — 2021. — 9.

— P. 2109.00495.

74. Tsukamoto N. Gravitational lensing by a photon sphere in a Reissner-Nordstrom naked singularity spacetime in strong deflection limits // arXiv. — 2021.

— 7. — P. 2107.07146.

75. Tsukamoto N. Gravitational lensing by two photon spheres in a black-bounce spacetime in strong deflection limits // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 104, no. 6. — P. 064022.

76. Charbulak D., Stuchlik Z. Spherical photon orbits in the field of Kerr naked singularities // Eur. Phys. J. C. — 2018. — Vol. 78, no. 11. — P. 879.

77. Tang Z.-Y., Ong Y. C., Wang B. Lux in obscuro II: Photon Orbits of Extremal AdS Black Holes Revisited // Class. Quant. Grav. — 2017. — Vol. 34, no. 24.

— P. 245006.

78. Gal'tsov D. V., Kobialko K. V. Completing characterization of photon orbits in Kerr and Kerr-Newman metrics // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 99, no. 8.

— P. 084043.

79. Gal'tsov D. V., Kobialko K. V. Photon trapping in static axially symmetric spacetime // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, no. 10. — P. 104005.

80. Kobialko K. V., Gal'tsov D. V. Photon regions and umbilic conditions in stationary axisymmetric spacetimes: Photon Regions // Eur. Phys. J. C. — 2020.

— Vol. 80, no. 6. — P. 527.

81. Kobialko K., Bogush I., Gal'tsov D. Killing tensors and photon surfaces in foliated spacetimes // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 104, no. 4. — P. 044009.

82. Гальцов Д. В. Кобялко К. В. Фотонная структура стационарных пространств // Теоретическая и математическая физика. — 2021. — Т. 208, № 3. — С. 495-527.

83. Гальцов Д. В. Кобялко К. В. Гамма-метрики с параметром Ньюмена-Унти-Тамбурино // Ученые записки физического факультета Московского Университета. — 2017. — Т. 4. — С. 1740901-1-1740901-7.

84. Гальцов Д. В. Кобялко К. В. Фотонные и поперечные улавливающие поверхности в стационарных пространствах // Пространство-время и фундаментальные взаимодействия. — 2018. — Т. 24, № 4.

85. В. Гальцов Д. В. Кобялко К. Гамма-метрики с параметром Ньюмена-Унти-Тамбурино // Ломоносовские чтения - 2017. Секция физики. Сборник

тезисов докладов. — Физический факультет МГУ Москва. — 2017. — С. 86-89.

86. Гальцов Д. В., Кобялко К. В. Математическое и компьютерное моделирование образования хаоса в полях тяготения с осевой симметрией при наличии голой сингулярности // Нелинейные модели в механике, статистике, теории поля и космологии - GRACOS-17. — 2017. — С. 24.

87. Gal'tsov D.V. Kobialko K.V. Relative trapping surfaces and optical images of bumpy spacetimes // 3-й Симпозиум Ассоциации стран БРИКС по гравитации, астрофизике и космологии. 29 августа - 3 сентября. Программа и тезисы докладов Симпозиума. — 2019. — P. 36.

88. К.В. Кобялко. Фотонные и поперечные улавливающие поверхности в стационарных пространствах. // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2019» М: МАКС Пресс. — 2019.

89. К.В. Кобялко. Фотонные регионы и омбилические условия в стационарных аксиально-симметричных пространствах. // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2020» М: МАКС Пресс. — 2020.

90. К.В. Кобялко. Фотонные поверхности, тензор Киллинга и неравенства Пе-нроуза. // Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2021» М: МАКС Пресс. — 2021.

91. de Vries A. // Class. Quantum Grav. — 2000. — Vol. 17. — P. 123.

92. Virbhadra K. S. Relativistic images of Schwarzschild black hole lensing // Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 79. — P. 083004.

93. Bardeen J. M, Carter B., Hawking S. W. The Four laws of black hole mechanics // Commun. Math. Phys. — 1973. — Vol. 31. — Pp. 161-170.

94. Frolov A. V., Frolov V. P. Rigidly rotating zero-angular-momentum observer surfaces in the Kerr spacetime // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 90, no. 12. — P. 124010.

95. Bozza V. et al. Strong field limit of black hole gravitational lensing // Gen. Rel. Grav. — 2001. — Vol. 33. — Pp. 1535-1548.

96. Bozza V. Gravitational lensing in the strong field limit // Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 66. — P. 103001.

97. Nunez D., Quevedo H., Sudarsky D. How short can the hair of a black hole be? // arXiv. — 1995. — 10. — Pp. gr-qc/9510036.

98. Hod S. Hairy Black Holes and Null Circular Geodesies // Phys. Rev. D. — 2011. — Vol. 84. — P. 124030.

99. Koga Y, Harada T. Stability of null orbits on photon spheres and photon surfaces // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, no. 6. — P. 064040.

100. Koga Y. Photon surfaces as pure tension shells: Uniqueness of thin shell worm-holes // Phys. Rev. D. — 2020. — Vol. 101, no. 10. — P. 104022.

101. Grover J., Wittig A. Black Hole Shadows and Invariant Phase Space Structures // Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 96, no. 2. — P. 024045.

102. Shipley J. O. Strong-field gravitational lensing by black holes // arXiv. — 2019.

— P. 1909.04691.

103. Stuchlik Z, Schee J. Appearance of Keplerian discs orbiting Kerr superspinars // Class. Quant. Grav. — 2010. — Vol. 27. — P. 215017.

104. Stuchlik Z, Hledik S., Novotny J. General relativistic polytropes with a repulsive cosmological constant // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 94, no. 10. — P. 103513.

105. Cornish N. J., Gibbons G. W. The Tale of two centers // Class. Quant. Grav.

— 1997. — Vol. 14. — Pp. 1865-1881.

106. Cunha P. V. P. et al. Chaotic lensing around boson stars and Kerr black holes with scalar hair // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 94, no. 10. — P. 104023.

107. Semerak O., Sukova P. Free motion around black holes with discs or rings: between integrability and chaos - I // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. — 2010.

— Vol. 404. — Pp. 545-574.

108. Shipley J., Dolan S. R. Binary black hole shadows, chaotic scattering and the Cantor set // Class. Quant. Grav. — 2016. — Vol. 33, no. 17. — P. 175001.

109. Cunha P. V. P., Herdeiro C. A. R., Rodriguez M. J. Does the black hole shadow probe the event horizon geometry? // Phys. Rev. D. — 2018. — Vol. 97, no. 8. — P. 084020.

110. Senovilla J. M. M. Umbilical-Type Surfaces in Spacetime // arXiv. — 2011.

— 11. — P. 1111.6910.

111. Blaschke M., Stuchlik Z. Efficiency of the Keplerian accretion in braneworld Kerr-Newman spacetimes and mining instability of some naked singularity spacetimes // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 94, no. 8. — P. 086006.

112. Cederbaum C., Jahns S. Geometry and topology of the Kerr photon region in the phase space // Gen. Rel. Grav. — 2019. — Vol. 51, no. 6. — P. 79.

113. Pappas G., Glampedakis K. On the connection of spacetime separability and spherical photon orbits // arXiv. — 2018. — 6. — P. 1806.04091.

114. Glampedakis K., Pappas G. Modification of photon trapping orbits as a diagnostic of non-Kerr spacetimes // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 99, no. 12. — P. 124041.

115. Kodama H., Hikida W. Global structure of the Zipoy-Voorhees-Weyl spacetime and the delta=2 Tomimatsu-Sato spacetime // Class. Quant. Grav. — 2003.

— Vol. 20. — Pp. 5121-5140.

116. Griffiths J. B., Podolsky J. A New look at the Plebanski-Demianski family of solutions // Int. J. Mod. Phys. D. — 2006. — Vol. 15. — Pp. 335-370.

117. Griffiths J. B., Podolsky J. Accelerating and rotating black holes // Class. Quant. Grav. — 2005. — Vol. 22. — Pp. 3467-3480.

118. Johannsen T. Regular Black Hole Metric with Three Constants of Motion // Phys. Rev. D. — 2013. — Vol. 88, no. 4. — P. 044002.

119. Paganini C. F., Ruba B., Oancea M. A. Characterization of Null Geodesics on Kerr Spacetimes. — 2016. — 11.

120. Cunha P. V. P., Berti E, Herdeiro C. A. R. Light-Ring Stability for Ultracompact Objects // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Vol. 119, no. 25. — P. 251102.

121. Plebanski J. F., Demianski M. Rotating, charged, and uniformly accelerating mass in general relativity // Annals Phys. — 1976. — Vol. 98. — Pp. 98-127.

122. Astefanesei D., Mann R. B., Radu E. Nut charged space-times and closed timelike curves on the boundary // JHEP. — 2005. — Vol. 01. — P. 049.

123. Chng B., Mann R. B., Stelea C. Accelerating Taub-NUT and Eguchi-Hanson solitons in four dimensions // Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 74. — P. 084031.

124. Chong Z. W. et al. Charged rotating black holes in four-dimensional gauged and ungauged supergravities // Nucl. Phys. B. — 2005. — Vol. 717. — Pp. 246-271.

125. Vasudevan M. Integrability of some charged rotating supergravity black hole solutions in four and five dimensions // Phys. Lett. B. — 2005. — Vol. 624. — Pp. 287-296.

126. Malafarina D. Physical properties of the sources of the Gamma metric // Conf. Proc. C. — 2004. — Vol. 0405132. — Pp. 273-278.

127. Herrera L., Paiva F. M., Santos N. O. Geodesics in the gamma space-time // Int. J. Mod. Phys. D. — 2000. — Vol. 9. — Pp. 649-660.

128. Montero-Camacho P., Frutos-Alfaro F., Gutierrez-Chaves C. Slowly rotating Curzon-Chazy Metric // arXiv. — 2014. — 5. — P. 1405.2899.

129. Boshkayev K. et al. Motion of test particles in the field of a naked singularity // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 93, no. 2. — P. 024024.

130. Herrera L. et al. Axially symmetric static sources: A general framework and some analytical solutions // Phys. Rev. D. — 2013. — Vol. 87, no. 2. — P. 024014.

131. Toshmatov B., Malafarina D., Dadhich N. Harmonic oscillations of neutral particles in the y-metric // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, no. 4. — P. 044001.

Приложение А

Оптические типы геометрий Керра-Ньюмена и Плебанского-Демьянского

а) а = 0, д = 0

б) а = 0, д < дс

в) а = 0, д > дс

г) 0 < а < ае, д = 0 д) 0 < а < ас, д < дс е) 0 < а < ае, д > дс

ж) 0 < а < ае, д = 0 и) ас < а < ае, д < дс к) 0 < а < ае, д > дс

I 1

л) а = ае, д = 0 м) а = ае, д < дс н) а = ае, д > дс

Рисунок А.1 — Оптические типы пространств Керра и Керра-Ньюмена.

а) а = 0, д = 0

б) а = 0, д < дс

в) а = 0, д > дс

г) 0 < а < ае, д = 0 д) 0 < а < ас, д < дс е) 0 < а < ае, д > дс

ШШШШл I I

ж) 0 < а < ае, д = 0 и) ас < а < ае, д < дс к) 0 < а < ае, д > дс

л) а = ае, д = 0 м) а = ае, д < дс н) а = ае, д > дс

Рисунок А.2 — Внутрянняя часть (А.1).

а) а = 0, д = дс

б) а = ас, д = дс

г) а = 0, д > дс

д) а = ас, д> дс

ж) а = 0, д = де

и) а = ас, д = д,

-4 -2 0 2 4

в) а = ас, д = дс

е) а = ас, д > дс

к) а = ас, д =

л) а = 0, д > де м) а = а^, д > де н) а = ас, д > де

Рисунок А.3 — Оптические типы пространств Керра и Керра-Ньюмена.

-4

г) p = 4M д) p = -4M

■шв

е) а = О.5ае, p ^ О ж) а = О.5ае, p ^ О

-6 -4 -2 0 2 4 6

а) а = 0, а = 0.2

кГГ^А

-6 -4 -2 0 2 4 6

б) а = 0.8, а = 0.2

в) а = 1.2, а =0.2

-6 -4 -2 0 2 4 6 _б

г) а = 0, а = 0.4 д) а = 0.8, а = 0.4 е) а = 1.2, а = 0.4

Рисунок А.5 — Фотонные поверхности и области в С-метрике без вращения и с

вращением.

-2

-2

-2 0 2 4

а) а = 0, е = 0.8,

а = 0.5

б) а = 0.1, е = 0.8, а = 0.5

в) а = 0.4, е = 0.8, а = 0.5

-6 -4 -2 0 2 4 6

г) а = 0, е =1.2, д) а = 0.1, е = 1.2, е) а = 0.8, е = 1.2,

а =1.5 а =1.5 а = 1.5

Рисунок А.6 — Фотонные поверхности и области в метрике РН-АДС с ускорением, Л = -2.5.

-6

а) а = 0, N = 1, Л = 0 б) а = 0.8, N = 1, в) а = 2.5, N = 1,

Л= 0 Л= 0

Рисунок А.7 — Фотонные поверхности и области в метрике НУТ-(А)ДС.

-2 О

а) а = 0, N = 1, е = 1.5 б) а = 0.05, N = 1, в) а = 0.2, N = 1,

е = 1.5 е =1.5

Рисунок А.8 — Фотонные поверхности и области в метрике РН-НУТ-(А)ДС.

а) а = 0.1, е = 0.5, N = 0.5, а = 0.3 Л = -2

77Ж\\

б) а = 0.3, е = 0.5, N = 0.5, а =0.3 Л = 2

в) а = 0.5, е = 0.5, N = 0.5, а = 0.3 Л = 2

Рисунок А.9 — Фотонные области в метрике ПД

Приложение Б Тень геометрии Зипоя-Вурхиса

РБ

а) п/2 б) п/4 в) п/12

Рисунок Б.1 — Плоское пространство. Наблюдатель с координатой г о = 5М и различными во. Небо г = 30М раскрашено в 4 цвета.

Shadow

X

а) ЗВ1, п/2

г) ЗВ2, п/2

б) ЗВ1, п/4

д) ЗВ2, п/4

в) ЗВ1, п/12

е) ЗВ2, п/12

ж) ЗВто, п/2 и) ЗВто, п/4 к) ЗВто, п/12

Рисунок Б.2 — Тень в пространстве Зипоя-Вурхиса с М =1 и 6 ^ 1. Наблюдатель с координатой г о = 5М и различными во. Черный - тень. Небо г = 30М

раскрашено в 4 цвета.

3

б = -

а) ЗВЗ/5, п/2 б) ЗВЗ/5, п/4 в) ЗВЗ/5, п/12

Рисунок Б.З — Тень в пространстве Зипоя-Вурхиса с 1/2 < 6 < 1.