Моделирование сферически-симметричных астрофизических объектов и их излучения в общей теории относительности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Тегай, Сергей Филиппович

• Тегай, Сергей Филиппович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тегай, Сергей Филиппович

Введение

1 Моделирование звезд в общей теории относительности

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Уравнения Эйнштейна, описывающие сферически симметричную модель звезды.

1.1.2 Внешнее решение Вайдья.

1.1.3 Внутренний тензор энергии-импульса.

1.2 Процедура сшивки в общей теории относительности

1.2.1 Формализм сшивки Дармуа-Лихнеровича.

1.2.2 Гравитационный коллапс пылевидной сферы

1.2.3 Формализм сшивки О'Брайена-Синга.

1.3 Статические модели звезд в ОТО

2 Статические модели звезд в ОТО

2.1 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом последовательных приближений

2.2 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом Галеркина.

2.3 Вычисление собственных частот малых адиабатических колебаний.

2.4 Неадиабатические колебания.

3 Моделирование излучающих объектов путем сшивки внешнего пространства Вайдья с различными внутренними пространствами

3.1 Сшивка внешнего решения Вайдья с точными внутренними решениями для идеальной жидкости

3.1.1 Модель с однородной и постоянной плотностью энергии

3.1.2 Модель с однородной, но переменной плотностью энергии

3.2 Моделирование приповерхностного слоя звезды

3.2.1 Описание метода.

3.2.2 Об отличии скорости жидкости на поверхности сшивки от скорости самой поверхности.

3.2.3 О связи между условиями сшивки Синга и Дармуа

3.2.4 Уравнения состояния и элементы термодинамики идеальной жидкости.

3.2.5 Модель с идеальной жидкостью и линейным уравнением состояния.

3.2.6 Пылевой предел

3.2.7 Постоянный радиус и постоянная светимость

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование сферически-симметричных астрофизических объектов и их излучения в общей теории относительности»

Гравитационная энергия нейтронных звезд и, в меньшей степени, белых карликов сравнима но величине с массой покоя составляющих звезду частиц. В строении и эволюции таких объектов большую роль играют релятивистские эффекты, поэтому при их моделировании используется общая теория относительности Эйнштейна. Полная релятивистская модель звезды должна описывать не только ее внутреннее строение, но и внешнее к звезде пространство, которое может быть заполнено как пустотой [1], так и излучением [2], или другим типом материи [3].

Здесь необходимо пояснить, что сами по себе уравнения Эйнштейна не описывают однозначно процесс эволюции звезд. Дело в том, что только левая, геометрическая часть этих уравнений может быть записана но строго определенным правилам. Правая же часть, содержащая тензор энергии-импульса звездной материи, существенно зависит от наших предположений о природе вещества, составляющего ту или иную звезду. В частности одной из наиболее сложных проблем оказывается выбор реалистичного уравнения состояния - соотношения между такими макроскопическими характеристиками звезд как давление, плотность и энтропия; соотношения, которое определяется, тем не менее, микроскопическими свойствами вещества.

В общем случае левая часть нелинейных уравнений поля содержит шесть независимых функций (десять компонент метрического тензора, четыре из которых не являются независимыми из-за свободы выбора координат, описывающих четырехмерное пространство-время). Общая задача чрезвычайно сложна, и не решена даже в отсутствие материальных источников. Таким образом, кроме предположения о тензоре энергии-импульса, описывающем источник гравитационного поля, необходимо сделать еще и некоторые упрощающие предиоложения. И в первую очередь мы ограничиваемся только сферически симметричными моделями. Это означает, что мы представляем звезду в виде невращающегося шара. Этим предположением количество переменных, от которых зависят характеристики звезды, сокращается с четырех до двух. Количество независимых компонент метрического тензора также уменьшается. В данной диссертации рассматриваются только сферически симметричные модели.

Существенным упрощением модели является предположение о статичности звезды. Первоначально в качестве релятивистских моделей звезд использовались именно статические решения уравнений Эйнштейна. Первое такое решение было найдено К. Шварцшильдом [[3], с. 250] еще в 1916 г. Статические сферически симметричные модели зависят только от одной переменной - расстояния до центра звезды. Таким образом, все уравнения, описывающие модель, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Существует огромное множество точных решений статических сферически симметричных решений, например в [3], [4]-[6], и известны методы генерации еще большего количества новых точных решений [7]-[14]. Однако ситуация меняется, как только мы пытаемся ввести в тензор энергии-импульса реалистичное уравнение состояния. В этом случае не получено еще ни одного точного решения, исследовать модель можно только приближенно или численно. Первой работой такого рода является статья Онпенгеймера и Волкова 1939 г. [15], в которой рассматривается нейтронная звезда с уравнением состояния вырожденного ферми-газа. Постепенно появлялись численные расчеты моделей со все более реалистичными уравнениями состояния, что отражено в таких классических книгах ио релятивистской астрофизике, как [16] и [17], или более поздних [18] и [19].

Как это ни странно, но в нестатическом случае, который обычно является более сложным, известны точные решения с заданным уравнением состояния. Одно из них является, по-видимому, первой моделью нестатической звезды, и было опубликовано все в том же 1939 г. в работе Оипенгеймера и Снайдера [20]. Более того, это была модель гравитационного коллапса. В своей модели Оипенгеймер и Снайдер использовали уравнение состояния с давлением вещества всюду равным нулю, описывающее некогерентную пыль.

Впрочем, для более реалистичных уравнений состояния получить точное решение не так просто. Поэтому для поиска точных решений зачастую используется другой подход. Вместо уравнения состояния, обычно лишь усложняющего систему, задается другое дополнительное предположение, не только замыкающее, но и упрощающее систему уравнений Эйнштейна. Так, методы, предложенные в [21] и [22], сводят уравнения к виду, совпадающему со статическим, позволяя таким образом получать нестатические решения из известных статических. Другими встречающимися в литературе допущениями являются бессдвиговая жидкость и конформно плоская метрика [23]—[25]. Обоснованием использования бессдвиговой жидкости является то, что такая жидкость коллапсирует медленнее других [26], что дает возможность образования так называемых голых или наблюдаемых сингуляр-ностей.

Отдельно необходимо отметить подход, связанный с усилением симметрии модели. В общей теории относительности Эйнштейна симметрии пространства-времени описываются так называемыми векторами Киллинга. Сферически симметричная модель уже имеет два вектора Киллинга, связанных с вращениями. Если потребовать существование еще одного вектора Киллинга, то гравитационное поле будет определяться не уравнениями в частных производных, а обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если вектор Киллинга возможно направить вдоль временной координаты, то модель будет статичной. Другим важным примером решений с дополнительным векторным нолем являются автомодельные решения. Эти решения интенсивно изучались в последнее время в связи с критическими явлениями гравитационного коллапса и образованием наблюдаемых сингулярно-стей [27]—[36]. Такой интерес связан с тем, автомодельные пространства могут возникать в процессе эволюции более сложных пространств [32], [37]-[40], или служить критическим решением в задаче об образовании черных дыр [41]—[46].

Как мы видим, в случае сферической симметрии основную сложность представляет поиск именно внутреннего решения модели, тогда как внешнее решение обычно хорошо известно. Для излучающих моделей - это решение Вайдья [2], описывающее излучение в пределе геометрической оптики [47]. Внешнее решение Шварцшильда [1], описывающее внешнее гравитационное поле постоянной точечной массы, является частным случаем вайдьевского с плотностью излучения, равной нулю. Интересно отметить, что для моделей с несферической симметрией неизвестным может являться внешнее решение. В частности, такая ситуация возникает при исследовании излучения гравитационных волн цилиндрически симметричной, коллапсирующей некогерентной пылью [48], [49].

Помимо поиска внутреннего решения построение полной модели требует еще правильной его сшивки с внешним решением. Теория соединения различных подиространтств представляет собой важное самостоятельное направление в теории гравитации. Основное отличие сшивки в общей теории относительности от стандартных краевых задач математической физики состоит в том, что условия соединения должны быть записаны в ковариантном виде, то есть не должны зависеть от выбора координат. Впервые математический аппарат такого соединения был разработан Дармуа в 1927 г. [50]. Однако эта работа, по-видимому, долгое время была малоизвестной. По крайней мере, ранние работы по астрофизике не используют формализма Дармуа, а в 1952 г. О'Брайен и Синг предложили другой метод соединения [51], также как и Лихнерович в 1955 г. [52]. В 1966 г. Израель обобщил условия сшивки Дармуа на случай тонких оболочек в [53], и на текущий момент большинство авторов пользуется формализмом сшивки в виде, предложенном в этой работе. В 1981 г. Боннор и Викерс доказали эквивалентность условий Дармуа и Лихперовича [54].

В основном для астрофизических целей в качестве гиперповерхности сшивки выбирается времениподобная гиперповерхность. Тем не менее, процедура соединения для случая светонодобных гиперповерхностей также рассматривалась некоторыми авторами [55], [56]. Обобщение формализма Израеля на светоподобные тонкие оболочки было получено в [57], и, наконец, в [58] описывается наиболее общая задача сшивки но гиперповерхности с переменной сигнатурой. В той же работе показано, что условия сшивки О'Брайена-Синга являются следствием условий Дармуа-Лихнеровича.

Именно эти проблемы и определили цели и задачи данной диссертации.

Целью работы является изучение различных аспектов соединения внутренних компонент астрофизических моделей с внешним пространством Вайдья, описывающим распространение в вакууме непо-ляризованиого высокочастотного излучения в пределе геометрической оптики.

Для решения этой задачи

- проведена сшивка по Дармуа-Лихнеровичу решения Вайдья с некоторыми известными внутренними решениями;

- с использованием формализма Дармуа-Лихнеровича была разработана процедура приближенного построения моделей излучающей звезды, основанная на разложении искомых функций в ряды Тейлора на поверхности сшивки методом Коши - Ковалевской.

- рассмотрены физические характеристики моделей, полученных указанным методом.

Научная новизна:

- найдены и исследованы новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для статических сферически симметричных астрофизических моделей с заданным распределением плотности энергии, обобщающим параболическое распределение плотности энергии;

- показано, что внутренние астрофизические решения уравнений Эйнштейна могут быть сшиты по Дармуа-Лихнеровичу с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации);

- найдены новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для различных моделей излучающих звезд;

- показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды, состоящие из вещества с линейным уравнением состояния не образуют черных дыр в процессе эволюции;

- показано, что коллапсирующая некогерентная пыль не может испускать изотропного излучения;

- найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение;

Материалы исследований докладывались на следующих международных конференциях: Геометризация физики III (Казань, 1997), Геометризация физики IV (Казань, 1999), V-ой международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), Theoretical and experimental problems of general relativity and gravitation (Томск, 2002), Симметрия и дифференциальные уравнения (Красноярск, 2002), Physical interpretations of relativity theory (Москва, 2003), International Conference on General Relativity and Gravitation (Дублин, 2004).

По материалам диссертации опубликовало 12 печатных работ.

Диссертация изложена на 115 страницах и состоит из введения, обзора литературы, двух глав обсуждения результатов исследования, библиографического списка из 127 наименований и включает 2 таблицы и 8 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Тегай, Сергей Филиппович

Выводы

1. Рассмотрен класс статических моделей звезд с заданным распределением плотности. Данное распределение описывает, в зависимости от параметров, как звезды с ярко выраженным ядром, так и шварцшильдоподобные звезды. Для этого класса моделей получены приближенные решения уравнений Эйнштейна; вычислены собственные частоты малых радиальных колебаний; найдены значения параметров, при которых звезда становится неустойчивой.

2. Изучено влияние температуры на малые радиальные колебания нейтронных звезд. Обнаружено, что эффекты, связанные с температурой, проявляются только при различном порядке малости возмущений самой температуры и возмущений всех остальных функций; собственные частоты колебаний не изменяются; правая часть динамического уравнения, описывающего колебания, пропорциональна квадрату возмущения температуры; остывание звезды вызывает ее колебания с амплитудой, обратно пропорциональной квадрату частоты, величина этой амплитуды зависит также от скорости остывания звезды;

3. Разработан метод приближенного решения системы уравнений Эйнштейна для излучающих звезд. Метод основан на разложении искомых функций в ряды Тейлора вблизи поверхности сшивки. Коэффициенты рядов находятся из условий сшивки Дармуа - Лихнеровича. С использованием этого метода построены астрофизические модели из идеальной жидкости с линейным уравнением состояния и из ненаскалевой жидкости с иолит-роиным уравнением состояния, но с постоянными радиусом и светимостыо; показано, что внутренние решения могут быть сшиты с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации); для моделей с линейным уравнением состояния показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды не образуют черных дыр в процессе эволюции.

4. Рассмотрен предельный переход к пылевому уравнению состояния во внутренней части звезды для модели с однородной плотностью и модели с линейным уравнением состояния; при этом

- показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изотропного излучения;

- найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тегай, Сергей Филиппович, 2007 год

1. Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской теории/ К.Шварцшильд // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. - М.: Мир, 1979. - С. 199— 207.

2. Vaidya Р.С. The gravitational field of a radiating star/ P.C.Vaidya // Proc. Indian Acad. Sci. A. 1951. - V. 33. - P. 264.

3. Stephani H. Exact solutions of Einstein's field equations/ H.Stephani, D. Kramer, M.A.H.Maccallum, C.Hoenselaers, E.Herlt. 2nd ed. -Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

4. Tolman R.C. Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid/ R.C.Tolman // Phys. Rev. 1939. - V. 55. P. -364-373.

5. Баранов A.M. Сферически симметричное статическое решение уравнений Эйнштейна для идеальной жидкости/ А.М.Баранов // Ун-т. Дружбы Народов им. П.Лумумбы. М. - 1976. - 7 с.-Деп. ВИНИТИ 13.07.76 №2626-76.

6. Баранов A.M. Осцилляторный подход к описанию статической звезды с нейтральной и заряженной идеальной лсидкостыо/ А.М.Баранов // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2002. - №1. - С. 5-12.

7. Баранов A.M. Генерирование статических сферически симметричных решений уравнений тяготения. 1. Изменение алгебраического типа пространства/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин. -9 с.-Деп. в ВИНИТИ 20.09.88 №7037-В88.

8. Баранов A.M. Генерирование статических сферически симметричных решений уравнений тяготения. 2. Получение решений/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.09.88 №7038-В88.

9. Баранов A.M. Генерирование статических сферически симметричных решений уравнений тяготения. 3. Суперпозиция и конструирование метрик/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин. б с. - Деп. в ВИНИТИ 14.11.88 №8040-В88.

10. Баранов A.M. Генерирование и конструирование статических сферически-симметричных решений уравнений тяготения/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин // Изв. вузов. Физика. 1990. - №6.1. C. 5-9.

11. И. Lake К. All static spherically symmetric perfect-fluid solutions of Einstein's equations K.Lake // Phys. Rev. D. 2003. - V. 67, 104015 (4 pages).

12. Martin D. Algorithmic construction of static perfect fluid spheres/

13. D.Martin, M.Visser // Phys. Rev. D. 2004. - V. 69, 104028 (6 pages).

14. Fodor G. Spherically symmetric static perfect fluid solutions/ G.Fodor // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. - P. 15.

15. Oppenheimer J.R. On Massive Neutron Cores/ J.R.Oppenheimer, G.M.Volkoff // Phys. Rev. 1939. - V. 55. - P. 374-381.

16. Мизнер С. Гравитация: В 3-х т./ С.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. -М.: Мир, 1977.

17. Шапиро С.Л. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды/ С.Л.Шапиро, С.А.Тьюколски. В 2-х т. - М.: Мир, 1985.

18. Weber F. Pulsars as astrophysical laboratories for nuclear and particle physics/ F.Weber. Bristol: IoP Publishing, 1999.

19. Glendenning N.K. Compact stars/ N.K.Glendenning. New York: Springer-Verlag, 2000.

20. Oppenheimer J.R. On Continued Gravitational Contraction/ J.R.Oppenheimer, H.Snyder // Phys. Rev. 1939. - V. 56. P. - 455459.

21. Баранов A.M. О внутреннем источнике решения Вайдья/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин // Известия вузов МБ и ССО СССР, Физика. 1988. №3. - С. 36-39.

22. Herrera L. Evolution of radiating fluid spheres in General Relativity/ L.Herrera, J.Jimenez, G.I.Ruggeri // Phys. Rev. D. 1980. - V. 22. - №10. - P. 2305-2316.

23. Banerjee A. Spherical collapse with heat flow and without horizon/ A.Banerjee, S.Chatterjee, N.Dadhich // Mod. Phys. Lett. A. 2002.

24. V. 17. №35. - P. 2335-2339.

25. Herrera L. Shear-free and homology conditions for self-gravitating dissipative fluids/ L.Herrera, N.O.Santos // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2003. - V. 343. - №4. P. 1207-1212.

26. Herrera L. Shear-free radiating collapse and conformal flatness/ L.Herrera, G.Le Denmat, N.O.Santos, A.Z.Wang // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. - V. 13. - №4. - P. 583-592.

27. Govender M. Radiating spherical collapse with heat flow/ M.Govender, K.S.Govinder, S.D.Maharaj, R.Sharma, S.Mukherjee, T.K.Dey // Int. J. Mod. Phys. D. 2003. - V. 12. - №4. - P. 667-676.

28. Wang A.Z. Critical phenomena of collapsing massless scalar wave packets/ A.Z.Wang, H.P.de Oliveira // Phys. Rev. D. 1997. V. 56. - P. 753-761.

29. Wang A.Z. Gravitational collapse of a massless scalar field and radiation fluid/ A.Z.Wang, J.F.Villas da Rocha, N.O.Santos // Phys. Rev. D. 1997. - V. 56. - P. 7692-7699.

30. Wang A.Z. Spherical self-similar solutions in Einstein-multi-scalar gravity/ A.Z.Wang, E.W.Hirschmann // Phys. Lett. A. 1998. - V. 249. - P. 383-388.

31. Carr B.J. Self-similarity in general relativity/ B.J.Carr, A.A.Coley // Class. Quantum Grav. 1999. - V. 16. - №7, R31.

32. Villas da Rocha J.F. Gravitational collapse of perfect fluid/ J.F.Villas da Rocha, A.Z.Wang, N.O.Santos // Phys. Lett. A. 1999. - V. 255, 213-220.

33. Harada T. Convergence to a self-similar solution in general relativistic gravitational collapse/ T.Harada, H.Maeda // Phys. Rev. D. 2001. - V. 63, 084022 (14 pages).

34. Maeda H. No Go Theorem for Kinematic Self-Similarity with A Polytropic Equation of State/ H.Maeda, T.Harada, H.Iguchi, N.Okuyama // Phys. Rev. D. 2002. - V. 66, 027501 (4 pages).

35. Maeda H. A Classification of Spherically Symmetric Kinematic Self-Similar Perfect-Fluid, Solutions I/ H.Maeda, T.Harada, H.Iguchi, N.Okuyama // Prog. Theor. Phys. 2003. - V. 108. - №5. - P. 819851.

36. Chan R. Gravitational Collapse of Self-Similar and Shear-free Fluid with Heat Flow/ R.Chan, M.F.A.da Silva, J.F.Villas da Rocha // Int. J. Mod. Phys. D. 2003. - V. 12. - P. 347-368.

37. Maeda H. A Classification of Spherically Symmetric Kinematic Self-Similar Perfect-Fluid Solutions II/ H.Maeda, T.Harada, H.Iguchi, N.Okuyama // Prog. Theor. Phys. 2003. - V. 110. - №1. - P. 2563.

38. Ori A. Naked singularities in self-similar spherical gravitational collapse/ A.Ori, T.Piran // Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 59. - P. 2137-2140.

39. Ori A. Naked singularities and other features of self-similar general-relativistic gravitational collapse/ A.Ori, T.Piran // Phys. Rev. D. -1990. V. 42. - P. 1068-1090.

40. Harada T. Final fate of the spherically symmetric collapse of a perfect fluid/ T. Harada // Phys. Rev. D. 1998. - V. 58, 104015 (10 pages).

41. Harada T. Stability criterion for self-similar solutions with perfect fluids in general relativity/ T.Harada // Class. Quantum Grav. -2001. V. 18. - №21. - P. 4549-4567.

42. Choptuik M.W. Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar field/ M.W.Choptuik // Phys. Rev. Lett. 1993. -V. 70. - P. 9-12.

43. Evans C.R. Critical phenomena and self-similarity in the gravitational collapse of radiation fluid/ C.R.Evans, J.S.Coleman // Phys. Rev. Lett. 1994. - V. 72. - P. 1782-1785.

44. Koike T. Critical behavior in gravitational collapse of radiation fluid: A Renormalization Group (Linear Perturbation) Analysis/ T.Koike, T.Hara, S.Adachi // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 74. - P. 5170-5173.

45. Koike T. Critical behavior in gravitational collapse of a perfect fluid/ T.Koike, T.Hara, S.Adachi // Phys. Rev. D. 1999. - V. 59, 104008 (9 pages).

46. Neilsen D.W. Ultrarelativistic fluid dynamics/ D.W.Neilsen, M.W.Choptuik // Class. Quantum Grav. 2000. - V. 17. - №4. - P. 733-759.

47. Neilsen D.W., Choptuik M.W. Critical phenomena in perfect fluids/ D.W.Neilsen, M.W.Choptuik // Class. Quantum Grav. 2000. - V. 17. - №4. - P. 761-782.

48. Lindquist R.W. Vaidya's radiating Schwarzschild metric/ R.W.Lindquist, R.A.Schwartz, C.W.Misner // Phys. Rev. 1965. -V. 137. - P. B1364-B1368.

49. Mena P.C. Matching homogeneous spacetimes with vacuum in cylindrical symmetry/ P.C.Mena // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. -Dublin, 2004. P. 20.

50. Nolan B.C. On isotropic cylindrically symmetric stellar models/ B.C.Nolan, L.V.Nolan // Class. Quantum Grav. 2004. - V. 21. -№15. - P. 3693-3703.

51. Darmois G. Les equations de la gravitation Einsteinienne. Memorial des science Mathematiques, Fascicule XXV/ G.Darmois. Paris: Gauthier—Villairs, 1927.

52. O'Brien S. Jump conditions of discontinuites in general relativity/ S.O'Brien, J.L.Singe // Commun. Dublin Inst. Advanced Studies, 1952. P. 9.

53. Lichnerowicz A. Theories relativistes de la gravitation etde I'electromagnetisme/ A.Lichnerowicz . Paris: Masson, 1955.

54. Israel W. Thin shells in general relativity/ W.Israel // Nuovo Cim. -1966. V. 66. - P. 1-14.

55. Bonnor W.B. Junction conditions in general relativity/ W.B.Bonnor, P.A.Vickers // Gen. Rel. Grav. 1981. - V. 13. - P. 29.

56. Taub A.H. Space-times with distribution valued curvature tensors/ A.H.Taub // J. Math. Phys. 1979. V. 21. - P. 1423-1431.

57. Clarke C.J.S. Junction conditions for null hypersurfaces/

58. C. J.S.Clarke, T.Dray // Class. Quantum Grav. 1987. - V. 4. - №2. - P. 265-275.

59. Barrabes C. Thin shells in general relativity and cosmology: The lightlike limit/ C.Barrabes, W.Israel // Phys. Rev. D. 1991. - V. 43. - P. 1129-1142.

60. Mars M. Geometry of general hypersurfaces in spacetime: junction conditions/ M.Mars, J.M.M.Senovilla // Class. Quantum Grav. -1993. V. 10. - №9. - P. 1865-1897.

61. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие: В 10 т. Т. II. Теория поля/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц. - 8-е изд. - М.: Физматлит, 2001.

62. Misner C.W. Relativistic equations for adiabatic, spherically symmetric gravitational collapse/ C.W.Misner, D.H.Sharp // Phys. Rev. 1964. - V. 136. - P. B571-B576.

63. Hayward S.A. Gravitational energy in spherical symmetry/ S.A.Hayward // Phys. Rev. D. 1996. - V. 53. - P. 1938-1949.

64. Bondi H. The contraction of gravitating spheres/ H.Bondi // Proc. R. Soc. Lond., Ser. A. 1964. - V. 281. - P. 39.

65. Дозморов И.М. О сферически-симметричном „излучающем" решении Вайдья/ И.М.Дозморов, Г.И.Задонский // Изв. вузов. Физика. 1971. - №11. -Р. 130-132.

66. Nolan B.C. Perturbations of self-similar Vaidya spacetime/ B.C.Nolan, T.J.Waters // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. -P. 86.

67. Singh D.D. The dynamics of a classical spinning particle in Vaidya space-time/ D.D.Singh // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. -P. 135.

68. Толмен P. Относительность, термодинамика и космология/ Р.Толмен. М.: Наука, 1974.

69. Лайтман А. Сборник задач по теории относительности и гравитации/ А.Лайтман, В.Пресс, Р.Прайс, С.Тюкольски. М.: Мир, 1975.

70. Kustaanheimo P. A note on some general solutions of the Einstein field equations in a spherically symmetric world/ P.Kustaanheimo, B.Qvist // Gen. Rel. Grav. 1998. - V. 30. - №4. - P. 663-673.

71. Leibovitz С. Time-dependent solutions of Einstein's equations/ C.Leibovitz // Phys. Rev. D. 1971. - V. 4. - P. 2949-2955.

72. Burlikov V.V. Model of a fluid sphere with the ultrarelativistie equation of state at the centre/ V.V.Burlikov, S.V.Boots, M.P.Korkina // Gravitation and Cosmology. 1996. - V. 2. - №2(6). - P. 167-173.

73. Вурликов В.В. Однородные сферические конфигурации переменной пространственной кривизны/ В.В.Вурликов, М.П.Коркина // Известия вузов. Физика. 1998. - №3. - С. 12-17.

74. Burlikov V.V. Fluid spheres of uniform density with variable spacetime curvature/ V.V.Burlikov, M.P.Korkina // Proceedings of the eighth Marcel Grossmann meeting on general relativity. 1999. -C. 316-318.

75. Фридман A.A. О Кривизне пространства/ А.А.Фридман // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979. - С. 320-329.

76. Leinaitre G. L 'universe en expansion G.Lemaitre // Gen. Rel. Grav.- 1997. V. 29. - №5. - P. 641-680.

77. Tolman R.C. Effect of inhomogenity in cosmological models/ R.C.Tolmen // Gen. Rel. Grav. 1997. - V. 29. - №7. - P. 935-943.

78. Joshi P.S. Why do naked singularities form in gravitational collapse/ P.S.Joshi, N.Dadhich, R.Maartens // Phys. Rev. D. 2000. - V. 65, 101501 (5 pages).

79. Vaidya P.C. Nonstatic solutions of Einstein's field equations for spheres of fluids radiating energy/ P.C.Vaidya // Phys. Rev. 1951.- V. 83. P. 10-17.

80. Bowers R.L. Anisotropic Spheres in General Relativity/ R.L.Bowers, E.P.T.Liang // Astrophys. J. 1974. - V. 188. - P. 657-665.

81. Паклин H.H. Об одном обобщении внутреннего решения для излучающего источника/ Н.Н.Паклин // Гравитация и фундаментальные взаимодействия. М.: УДН, 1988. - С. 112.

82. Баранов A.M. Эволюция излучающих релятивистских источников. 2. Шварцшилъдоподобная модель/ А.М.Баранов, А.И.Кокшаров, Н.Н.Паклин // Краснояр. ун-т. Красноярск, 1989. - 17 с. - Деп. ВИНИТИ АН СССР 6.12.89, №7197 - В 89.

83. Баранов A.M. Эволюция излучающих релятивистских источников. 3. Обобщение IV решения Толмена/ А.М.Баранов,

84. Н.Н.Паклин // Краснояр. ун-т. Красноярск, 1990. - 9 с. - Деп. ВИНИТИ АН СССР 2.07.90, №3704 - В 90.

85. Letelier P.S. Anisotropic fluids with multifluid components/ P.S.Letelier, P.S.C.Alencar // Phys. Rev. D. 1986. - V. 34. - P. 343-351.

86. Баранов A.M. Моделирование внутреннего приповерхностного слоя излучающей звезды/ А.М.Баранов, С.Ф.Тегай // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2003. - №3 - С. 3-8.

87. Baranov A.M. On radiating star subsurface/ A.M.Baranov, S.F.Tegai // Physical Interpretations of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. Moscow, 30 June 3 July 2003. - Moscow, Liverpool, Sunderland, 2003. - P. 287-291.

88. Baranov A.M. An approximate radiating star model/ A.M.Baranov, S.F.Tegai // Book of Abstracts of 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. - P. 81-82.

89. Cosenza M. Some models of anisotropic spheres in general relativity/ M.Cosenza, L.Herrera, M.Esculpi, L.Witten // J. Math. Phys. 1981. -V. 22. - №1. - P. 118-125.

90. Cosenza M. Evolution of radiating anisotropic spheres in general relativity/ M.Cosenza, L.Herrera, M.Esculpi, L.Witten // Phys. Rev. D. 1982. - V. 25. - P. 2527-2535.

91. Krori K.D. Nonstatic radiating spheres in general relativity/ K.D.Krori, P.Borgohain, S.Ranjumani // Phys. Rev. D. 1985. - V. 31. - P. 734-741.

92. Esculpi M. Conformally symmetric radiating spheres in general relativity/ M.Esculpi, L.Herrera //J. Math. Phys. 1986. - V. 27. -№8. - P. 2087-2096.

93. Herrera L. Surface phenomena in general relativistic stellar models: critical mass and stability/ L.Herrera, J.Jimenez, M.Esculpi // Phys. Lett. A. 1988. -V. 130. - P. 211.

94. Barreto W. Radiating fluid spheres in the effective variables approximation/ W.Barreto, B.Rodriguez, H.Martinez // Astrophys. Space Sci. 2002. - V. 282. - №3. - P. 581-593.

95. Fayos F. Matching of the Vaidya and Roberts on-Walker matric/ F.Fayos, X.Jaen, E.Llanta, J.M.M.Senovilla // Class. Quantum Grav.- 1991. V. 8. - Ml. - P. 2057-2068.

96. Kolassis C.A. Friedmann-like collapsing model of a radiating sphere with heat flow/ C.A.Kolassis, N.O.Santos, D.Tsoubelis // Astropys. J. 1988. - V. 327. - P. 755.

97. Herrera L. Shear-free radiating collapse and conformal flatness/ L.Herrera, G.le Denmat, N.O.Santos, A.Z.Wang // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. - V. 13. - №4. - P. 583-592.

98. Eckart C. The thermodynamics of irreversible processes. III. Relativistic theory of the simple fluid/ C.Eckart // Phys. Rev. 1940.- V. 58. P. 919-924.

99. Israel W. Nonstationary irreversible thermodynamics: a causal relativistic theory/ W.Israel // Ann. Phys. 1976. - V. 100. - P. 310-331.

100. Israel W. Transient relativistic thermodynamics and kinetic theory/ W.Israel, J.M.Stewart // Ann. Phys. 1979. - V. 118. - P. 341-372.

101. Hiscock W.A. Stability and causality in dissipative relativistic fluids/ W.A.Hiscock, L.Lindblom // Ann. Phys. 1983. - V. 151. - P. 466496.

102. Jou D. Extended irreversible thermodynamics/ D.Jou, G.Casas-Vazquez, G.Lebon. New York: Springer-Verlag, 1996.

103. Martinez J. Transport processes in the gravitational collapse of an anisotropic fluid/ J.Martinez // Phys.Rev. D. 1996. - V. 53. - P. 6921-6940.

104. Herrera L. The Weyl tensor and equilibrium configurations of self-gravitating fluids/ L.Herrera // Gen. Rel. Grav. 2003. - V. 35. - P. 437.

105. Choptuik M.W. Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar field/ M.W.Choptuik // Phys. Rev. Lett. 1993. -V. 70. - P. 9-12.

106. Choptuik M.W., Critical collapse of the massless scalar field in axisymmetry/ M.W.Choptuik, E.W.Hirschmann, S.L.Liebling, F.Pretorius // Phys. Rev. D. 2003. - V. 68, 044007 (9 pages).

107. Wang A. Critical Collapse of Cylindrically Symmetric Scalar Field in Four-Dimensional Einstein's Theory of Gravity/ A.Wang // Phys. Rev. D. 2003. - V. 68, 064006 (12 pages).

108. Harada Т., Maeda H. Stability criterion for self-similar solutions with a scalar field and those with a stiff fluid in general relativity/ T.Harada, H.Maeda // Class. Quantum Grav. 2004. - V. 21. - №2. - P. 371-389.

109. Singe J.L. Relativity: the general theory/ J.L.Singe. Amsterdam: North-Holland, 1964.

110. Das A. General solutions of Einstein's spherically symmetric gravitational equations with junction conditions/ A.Das, A.DeBenedictis, N.Tariq // J. Math. Phys. 2003. - V. 44. - №12. -P. 5637-5655.

111. Musgrave P. Junctions and thin shells in general relativity using computer algebra I: The Darmois-Israel formalism/ P.Musgrave, K.Lake // Class. Quantum Grav. 1996. - V. 13. - №7. - P. 18851899.

112. Баранов A.M. О двух статических моделях звезды/ А.М.Баранов, М.В.Луконенко, С.Ф.Тегай // Тезисы международной конференции "Геометризация физики". Казань: ХЭТЕР, 1997. - С. 6-7.

113. Baranov A.M. On average observable mass density behavior in two static star models/ A.M.Baranov, M.V.Lukonenko, S.F.Tegai // Proceedings of International Conference "Geometrization of physics IV". Kazan, 1999. - P. 22-23.

114. Баранов A.M. О новых подходах к моделированию статических звезд в ОТО/ А.М.Баранов, М.В.Луконенко, С.Ф.Тегай // Теория и эксперимент в современной физике: Сб. науч. статей. Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2000. С. 63-72.

115. Баранов A.M. Моделирование широкого класса статических звезд в рамках одного подхода/ А.М.Баранов, М.В.Лукопенко, С.Ф.Тегай // Изв. вузов. Физика. 2002. - №11. - С. 19-23.

116. Баранов A.M. Радиальные пульсации медленно остывающей нейтронной звезды/ А.М.Баранов, С.Ф.Тегай // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2005. - №7.- С. 98-106.

117. Marti J.M. The nonadiabatic general-relativistic stellar oscillations/ J.M.Marti, J.A.Miralles, J.M.Ibanez, L.Herrera // A&SS. 1990. -V.168. - P.305-316.

118. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие: В 10 т. Т. V.- Статистическая физика/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц. М.: Физматлит, 2001.

119. Корн Г. Справочник по математике/ Г.Корн, Т.Корн. М.: Наука, 1974.

120. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление/ Л.Э.Эльсгольц. М.- Л.: Гостехиздат, 1952.

121. Stephani Н. Uber losungen der Einsteinschen feldgleichungen, die sich in einen fiinfdimensionalen flachen raum einbetten lassen/

122. H.Stephani // Comm. Math. Phys. 1967. - V. 4. - P. 137.

123. Kramer D. Konstruktion und charakterisierung von gravitationsfelden/ D.Kramer, G.Neugebauer, H.Stephani // Fortschr. Phys. 1972. - V. 20. - P. 1.

124. Тегай С.Ф. Модель излучающей звезды/ С.Ф.Тегай // Сборник тезисов V международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона. М.: РУДН, 2001.- С. 77.

125. Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна/ В.Д.Захаров. М.: Наука, 1972.