Исследование решений логистических уравнений с запаздыванием и диффузией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Логинов Дмитрий Олегович

• Логинов Дмитрий Олегович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Логинов Дмитрий Олегович

1.1 Постановка задачи

1.2 Основная конструкция

1.2.1 Переход к двумерному отображению

1.2.2 Сведение двумерного отображения (1.12), (1.13) к двум отображениям первого порядка

1.3 Случай т =

1.4 Случай т =

1.4.1 Грубая оценка параметров решений

1.4.2 Более точная априорная оценка решений

1.5 Случай т =

1.5.1 Грубая оценка параметров решений

1.5.2 Более точные априорные оценки решений

1.6 Выводы

2 Влияние коэффициента сопротивления внешней среды на динамику популяции

2.1 Постановка задачи

2.2 Основные результаты в случае (2.3)

2.3 О зависимости периодического решения задачи (2.1), (2.2) от коэффициента диффузии

2.4 Основные результаты в случае (2.5)

3 Анализ поведения решений логистического уравнения при варьировании коэффициентов граничных условий

3.1 Постановка задачи

3.2 Линейный анализ при условии (3.3)

3.3 Нелинейный анализ при условии (3.3)

3.4 Линейный анализ (3.1), (3.2) при к =

3.5 Нелинейный анализ в предельном случае

3.6 О динамике логистического уравнения с запаздыванием, малой диффузией и с классическими граничными условиями общего вида

3.7 Выводы

4 Усреднение в логистическом уравнении с запаздыванием, диффузией и переменными граничными условиями

4.1 Постановка задачи

4.2 Построение усредненного уравнения

4.3 О решениях вспомогательной краевой задачи (4.6)

4.3.1 Вспомогательные построения

4.3.2 Формула для решения краевой задачи (4.6), удовлетворяющего оценке (4.8)

4.4 Бифуркация из состояния равновесия

4.4.1 Бифуркации из состояния равновесия в краевой задаче (4.2), (4.3) при условии

4.4.2 Алгоритм вычисления величины р(ш)

4.5 Выводы

Заключение

Литература

А Примеры графиков решения уравнения с запаздыванием, диффузией и

варьировании коэффициентов граничных условий

В Выдержки из программного кода алгоритма расчета решений логистического

уравнения с запаздыванием и диффузией

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование решений логистических уравнений с запаздыванием и диффузией»

Введение

Исследование поведения решений уравнений с отклонением аргументов демонстрирует значительное разнообразие динамических режимов по сравнению с уравнениями без отклонений. В ряде прикладных задач хорошо известно, что изменение величины отклонения может привести к возникновению колебаний. В зависимости от параметров системы возможно также возникновение динамического хаоса.

Приложения уравнений с отклоняющимися аргументами к изучению вопросов популяционной динамики, теории автоматического регулирования и ряда других областей активно исследовалось начиная с 1934 г. (см, например, [1] - [26]).

Открытие А.А. Андроновым факта, что работа лампового генератора описывается нелинейным дифференциальным уравнением и математическим образом автоколебаний являются предельные циклы, открытые А. Пуанкаре, стало стимулом для развития качественной теории. В направлении развития теории нелинейных колебаний и связанного с ней математического аппарата большую роль сыграло понятие грубой системы, введенное А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным. Грубой называется такая система, общее поведение траекторий которой не меняется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений. Понятие бифуркационных значений параметров - значений, при которых нарушается грубость системы - также было введено А.А. Андроновым. Изучению переходов от бифуркционного состояния системы к ближайшим грубым состояниям посвящена значительная литература (см., например, [16] - [30]). Изучение дифференциальных уравнений с правыми частями, имеющими разрывы, позволило получить важные результаты при моделировании работы радиоприборов, а также расчета регулятора Уатта.

"Составление" дифференциальных уравнений для моделирования того или иного процесса, очевидно, выходит за рамки математики и принадлежит самой изучаемой области естествознания. Важно отметить, что рассмотрение дифференциальных уравнений как средства математического описания законов явлений всегда связано с некоторым

упрощением реальной модели и идеализацией действительности.

История моделирования процессов популяционной динамики с помощью математического аппарата насчитывает уже более двух веков исследований. Тем не менее, эта область до сих пор активно развивается. Классическим примером такой модели является логистическое уравнение, предложенное Франсуа Ферхюльстом в 1838 году

Здесь N(£) > 0 - отвечает за численность популяции, параметры К и г предполагаются положительными. Изменение К и г позволяет моделировать ухудшение/улучшение условий для обитания особей в окружающей среде. Предложенное Ферхюльстом уравнение обладает двумя важными свойствами:

1. При малых N(£) численность экспоненциально популяции увеличивается;

2. При увеличении £ функция N (£) стремится к величине К.

В работе Вольтерра [31] при рассмотрении логистического уравнения было предложено одно из первых интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

В данном случае параметры г, К и Q положительны, параметр р = —то или 0. Такой вид отклонения называется распределенным. В качестве весовой функции ш(Ь) чаще всего рассматривают функцию плотности вероятности нормального распределения

Отклонение по времени позволяет рассматривать поведение моделируемого процесса с учетом наследственности.

Исследование поведения решений уравнений с отклонением аргументов демонстрирует значительное разнообразие динамических режимов по сравнению с уравнениями без отклонений. В ряде прикладных задач хорошо известно, что изменение величины отклонения может привести к возникновению колебаний. В зависимости от параметров системы возможно также возникновение динамического хаоса.

Джорджем Хатчинсоном в 1948 году ([32]) было рассмотрено логистическое уравнение с дискретным отклонением временной переменной

(1)

(2)

(3)

Чаще всего данное уравнение рассматривают в нормализованном виде

^ = -тМ(г - 1)(1 + N(г)). (5)

Для такого уравнения многими авторами (например, [33], [34]) было показано, что при

п

0 < т — ^ (6)

асимптотически устойчиво нулевое положение равновесия. При т > п происходит рождение устойчивого цикла ([35]). В 1957 году Эдвартом Райтом ([34]) была сформулирована гипотеза о том, что нулевое состояние равновесия глобально асимптотически устойчиво т.е. все решения с положительными начальными условиями стремятся к нулю при

37

0 < т — -. (7)

Однако, в работе эта гипотеза была доказана только для случая

3

0 < т < -. (8)

- 2 к ;

Доказательству гипотезы Райта для случая 0 < т — Ц посвящена первая глава.

Многие авторы (см., например, [34], [36]) рассматривали модификацию классических

моделей популяционной динамики добавлением диффузионного слагаемого. Большая часть

работ по исследованию данных задач посвящена простейшему случаю, когда миграция

особей пропорциональна градиенту концентрации [37]. В книге Джеймса Диксона Мюррея

1993 года ([38]) была рассмотрена модель

т(г,х)_ + ((,х) Л - ) (<9)

дг дх2 \ к

и объяснена роль диффузии в математических моделях, описывающих динамику развития популяции.

Исследование математических моделей популяционной динамики, которые основываются на логистическом уравнении с отклонением временного аргумента и диффузионным слагаемым, связано с рядом технических трудностей ([38]). Трудность вызвана тем, что диффузия, связанная с пространством, и отклонение временного аргумента не являются независимыми друг от друга явлениями. Впервые обстоятельную попытку справиться с этими трудностями предпринял Николас Бритон в 1990 году ([39]). В своей работе Бритон рассматривал уравнение

ди(г,х) = в9 и(г,х) + ти(г,х)(1 -I ш(г - s)u(s,x)dsV (10)

дг дх2 V /

Данное уравнение является модификацией уравнения Рональда Фишера, предложенного в 1937 году ([40]). В своей работе Фишер исследовал процесс распространения генной волны в пространстве.

Одной из важных задач в математической биологии является изучение распространения волны в системах с диффузией. Такие системы возникают при моделировании процесса распространения особей определенного вида.

При моделировании процессов популяционной динамики одним из основополагающих вопросов является изучение вопроса об устойчивости положений равновесия. Решению данной задачи посвящена значительная часть работы. Применение современных аналитических методов, а также численных экспериментов позволило получить ряд новых результатов, а также расширить область применимости логистического уравнения с запаздыванием в моделировании процессов экологии.

Еще в XIX веке при исследовании задач небесной механики, где встречаются гамильтоновы системы с малым параметром, были разработаны асимптотические методы, которые позволили найти приближенное решение таких задач, справедливое на длительном промежутке времени. Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов в XX веке внесли большой вклад в развитие асимптотических методов теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Ими были разработаны методы, позволяющие отыскать приближенные решения для негамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Разработанные методы получили широкое распространение в различных прикладных задачах. Для построения асимптотических разложений систем со многими степенями свободы Н.Н. Боголюбовым был разработан специальный метод, основанный на идее усреднения. В последствии этот метод был модифицирован Ю.А. Митропольским, что позволило построить асимптотическое разложение для нелинейных колебательных систем, параметры которых медленно изменяются со временем. Применению принципа усреднения посвящена часть четвертой главы настоящей диссертационной работы.

Цели и задачи исследования

Объектом исследования являются динамические системы с отклонением временного аргумента. Для исследования данного объекта была поставлена цель - изучить асимптотические свойства поведения решений в окрестности состояния равновесия и

провести бифуркационный анализ решений при изменении параметров рассматриваемой системы.

В ходе работы аналитические результаты были подтверждены численными экспериментами. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Провести оценку параметра логистического уравнение с запаздыванием, при котором все положительные решения стремятся к единичному состоянию равновесия.

2. Изучить вопрос о влиянии коэффициентов граничных условий на устойчивость нулевого состояния равновесия в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией.

3. Исследовать применимость принципа усреднения и построить асимптотические приближения решений логистического уравнения с запаздыванием, диффузией и быстро осциллирующими периодическими коэффициентами.

4. Провести асимптотический анализ поведения решений логистического уравнении с запаздыванием, диффузией и неоднородным множителем, описывающим сопротивление внешней среды, при запаздывающем слагаемом.

Научная новизна результатов

В ходе исследования были получены следующие новые результаты:

1. Приведено доказательство гипотезы Райта об оценке параметра, при котором положительные решения логистического уравнения с запаздыванием стремятся к единичному состоянию равновесия. Разработан алгоритм последовательного улучшения оценки.

2. Изучено влияние коэффициентов граничных условий на устойчивость нулевого состояния равновесия в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией.

3. Разработан алгоритм построения асимптотики решений и исследования их устойчивости для усредненного логистического уравнения с запаздыванием и диффузией.

4. Установлено влияние коэффициента сопротивления внешней среды на амплитуду популяционных волн. Проведен численный эксперимент в логистическом уравнении с запаздыванием, диффузией и неоднородным множителем, описывающим сопротивление внешней среды, при запаздывающем слагаемом.

Теоретическая и практическая значимость проведенных исследований

Разработанные в работе аналитические методы оценки области устойчивости и построения асимптотики решений могут быть применимы к широкому классу задач математической биологии и физики. Оценка влияния коэффициентов граничных условий на область устойчивости решений может быть использована для изучения различных проблем математической биологии и популяционной динамики.

Методология и методы исследования

В работе для исследования качественного поведения решений задач в работе использовались методы бифуркационного анализа и построения асимптотических приближений. Стоит отметить, что в силу высокой потребности в аналитических методах исследования систем дифференциальных уравнений с отклонением аргументов, в том числе и систем дифференциальных уравнений в частных производных, высокую значимость приобретает разработка новых асимптотических методов.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказана гипотеза Райта для случая 0 < г < 37/24 и разработан метод последовательного улучшения оценки параметра г.

2. Численно-аналитическими методами получены результаты о поведении решений краевой задачи с пространственно неоднородным множителем при слагаемом с запаздыванием.

3. Изучено влияние коэффициентов в граничных условиях на устойчивость нулевого состояния равновесия в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией.

4. На основе принципа усреднения разработан алгоритм построения асимптотического приближения решений логистического уравнения с запаздыванием, диффузией и быстро осциллирующими периодическими коэффициентами.

Личный вклад автора

Все основные результаты получены автором самостоятельно. Научному руководителю (соавтору) принадлежит постановка задач. Интерпретация результатов, представленных в диссертационной работе, выполнялась совместно с научным руководителем.

Апробация результатов исследования

Результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1. 5th International Conference on INTEGRABLE SYSTEMS & NONLINEAR DYNAMICS, October 7 - 11, 2024, Yaroslavl, Russia.

2. The 9th International Conference on Differential and Functional Differential Equations, June 28 - July 5, 2022, Moscow, Russia.

3. International Conference "Topological methods in dynamics and related topics. Shilnikov workshop", December 9-13, 2019, Nizhny Novgorod, Russia.

4. International Conference "Scientific Heritage of Sergey A. Chaplygin: nonholonomic mechanics, vortex structures and hydrodynamics", June 2-6, 2019, Cheboksary, Russia.

5. Международная молодежная научно-практическая конференция "Путь в науку. Математика", 22-27 апреля, 2019, г. Ярославль.

6. 7th International conference "Problems of Mathematical Physics and Mathematical Modelling", June 25-27, 2018, Moscow, Russia.

7. Shilnikov Workshop 2017, December 15-16, 2017, Nizhny Novgorod, Russia.

8. Международная молодежная научно-практическая конференция "Путь в науку. Математика", 20-29 апреля, 2016, г. Ярославль.

Часть результатов получена в рамках реализации программы развития регионального научно-образовательного математического центра (ЯрГУ) при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (Соглашение о предоставлении из федерального бюджета субсидии № 075-02-2024-1442).

Публикации

По теме работы автором опубликовано 14 статей и тезисов докладов, в том числе 8 тезисов докладов и 6 статей из списка ВАК, в том числе 5 статей опубликовано в журналах, индексируемых в системах цитирования Scopus и Web of Science.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 93 страницы. Список литературы содержит 80 наименований.

Оценка области глобальной устойчивости состояния равновесия логистического уравнения с запаздыванием

Постановка задачи

Логистическое уравнение с запаздыванием

й = г [1 — — Т )]й

(1.1)

возникает во многих прикладных задачах (см., например, [34], [37], [41]). Исследованию его решений посвящена значительная литература. По смыслу задачи коэффициенты г и Т положительны. Пространством начальных условий для (1.1) является пространство С[-т,о]. Поскольку интерес представляет изучение лишь неотрицательных решений (1.1), то начальные функции из С[_т,0] рассматриваются только неотрицательные. Решение с неотрицательной начальной функцией, заданной при £ = £0, остается неотрицательным при всех £ > £0. Термин "решение" в дальнейшем применяется только к неотрицательным решениям уравнения (1.1).

Количество параметров в (1.1) можно уменьшить с помощью нормализующей замены времени £ ^ Т£. В результате приходим к уравнению

й = А[1 — и(£ — 1)]й,

А = гТ.

(1.2)

В этом уравнении удобно сделать замену и = 1 + х. Тогда получаем уравнение

х= -Ах(£ - 1)[1+ х], х >-1. (1.3)

Перечислим известные и необходимые для дальнейшего свойства решений (1.3):

1. Каждое решение (1.3) при всех достаточно больших £ удовлетворяет неравенству

х(£) < ехр(А) - 1. (1.4)

2. Устойчивость состояния равновесия хо = 0 определяется расположением корней характеристического квазиполинома (линеаризованного на х0 уравнения)

^ = —А ехр(—(1.5)

При условии

п

0 < А < п (1.6)

все корни (1.5) имеют отрицательные вещественные части, поэтому состояние равновесия х0 в (1.3) является асимптотически устойчивым. Отметим, что при А = п/2 уравнение (1.5) имеет пару чисто мнимых корней, а все остальные его корни имеют отрицательные вещественные части. Нелинейный анализ уравнения (1.3) в малой окрестности х0, приведенный в работах многих авторов (см., например, [33], [34]), показал, что при А = п/2 нулевое состояние равновесия в (1.3) тоже асимптотически устойчиво. Добавим еще, что при А > п/2 это состояние равновесия неустойчиво и из него бифурцирует устойчивый цикл.

В настоящей главе рассматривается вопрос о глобальной устойчивости состояния равновесия и0 = 1 в (1.2) или, что то же самое, состояние равновесия х0 = 0 в (1.3). Это означает, что ставится задача нахождения таких значений параметра А, при которых все решения (1.2) с положительными начальными функциями (или все решения (1.3) с начальными функциями, удовлетворяющими неравенству х > —1) стремятся к и0 (соответственно к х0) при £ ^ то. В работах [33], [34], [37], [41], [42] было показано, что в область глобальной устойчивости входят все значения параметра А, удовлетворяющие неравенству 0 <А < 3/2. В [34] высказано предположение, что имеет место более сильный результат, согласно которому множество таких значений А задается неравенством

0 < А < 37/24. (1.7)

Ниже будет доказана оценка (1.7) и разработан алгоритм последовательного улучшения оценки (1.7). С помощью этого алгоритма открывается возможность получения более точных по сравнению с (1.4) оценок на решения (1.2) при невыполнении условия (1.7). В силу сказанного выше, для значений А из области глобальной устойчивости заведомо выполнено неравенство А < п/2.

Основная конструкция

Сначала отметим, что для каждого решения х(£) уравнения (1.3) и для каждого целого п > 1 найдется такое £п, что при £ > £п функция х(£) является п раз непрерывно дифференцируемой. Кроме этого из (1.4) открывается возможность нахождения значений коэффициентов ап и Ьп, для которых

—Ьп < х(п)(£) < ап (п = 1,2,...). (1.8)

Например, при п = 0 имеем Ь0 = —1, а0 = ехр(А) — 1.

Предположим, что решение х(£) уравнения (1.3) для некоторых а £ (0,1) и М £ (0, ехр(А) — 1) удовлетворяет неравенствам

—а < х(£) < М (£ > £0). (1.9)

Тогда для каждого п из (1.3) можно получить явные формулы для коэффициентов ап = ап(а, М) и Ьп = Ьп(а, М), фигурирующих в (1.8).

Фиксируем произвольно номер т > 0. Через С(т, а,М) и 5(т,а,М) обозначим экстремумы функционалов

С(т, а, М) = т£ [ (1.10)

0

и

5(т,а,М) = вир / (1.11)

0

где нижняя и верхняя грани берутся по всем т раз непрерывно дифференцируемым решениям (1.3), удовлетворяющим неравенствам (1.8) при п = 1,...,т и для которых х(1) = 0.

Обратим внимание, что условие Х(£) = 0 решения (1.3) может не выполнятся, т.е. некоторое решение может быть знакопостоянным (при £ > £0). Но тогда это решение, как следует из (1.3), монотонно стремится к нулю при £ ^ то и интерес такие решения не

представляют. В этой связи укажем, что такие, т.е. монотонно стремящиеся к нулю, решения могут существовать лишь при условии 0 < А < exp(—1).

Переход к двумерному отображению

Положим

M1 = exp(-AC(m,a,M)) - 1, (1.12)

a1 = 1 — exp(-AS(m,a,M)). (1.13)

Таким образом, возникает двумерное отображение

t лл\ ф(а'М) ( л л \ ф(а1 M) ( л л \ ф("2 M) (Л 1 л\

(a,M) —> (ai,Mi) —^ (a2,M2) —^ ... (1.14)

Теорема 1.1. Для стремления к нулю всех решений уравнения (1.3), удовлетворяющих неравенству x > —1, достаточно, чтобы при всех а Е (0,1) и M е (0, exp(A) — 1) выполнялись неравенства

а1 < a, M1 < M. (1.15)

Доказательство. Для произвольно фиксированного решения (1.3) положим

a = — lim inf x(t), M = lim supx(t). (1.16)

T^ГО t>T Tt>T

Для x(t) имеет место формула

ti

х(£) = -1 + (1+ х(т))exp(- / х(з)^з). (1.17)

ит -1

Как уже отмечалось, достаточно рассмотреть лишь те решения х(£), которые имеют бесконечно много нулей на каждом промежутке (п, то) (п = п0; п0 - достаточно велико).

Важно заметить, что экстремумы х(£) реализуются через отрезок времени длины 1 после обращения в нуль этой функции. Отсюда и из (1.17) сразу вытекает, что

0 < М < exp(А) - 1; 0 < а < 1 - exp(-А(exp(А) - 1)).

Фиксируем произвольно т > 0 и 0 < е < min(а, 1 - а) и пусть при £ > г£ выполнено неравенство

-(а + е) < х(£) < М + е. (1.18)

Из уравнения (1.3) и оценок (1.18) находим коэффициенты ак(е) = ак(а + е, М + е), Ьк(е) = Ьк (а + е, М + е) (к = 0, ...,т). Очевидно, что ак (е),Ьк (е), а также С (т, а + е, М + е) и

S(m, a+е, M+е) непрерывно зависят от е. Обозначим через т0 и т0 какие-то точки локального минимума и локального максимума x(t) соответственно. Из (1.18) при т = т0 и т = т0 имеем

¡•т0-1

—a£ = х(т0) = — 1 + exp(-Л / x(s)ds), (1.19)

J то-2

р т 0-1

M£ = х(т0) = exp(—Л / x(s)ds) — 1, (1.20)

т0-2

где

a < a£ < a + е и M < M£ < M + е. Формула (1.20) приводит к оценке

M£ < —1 + exp(—ЛС(m, a + е, M + е)).

Отсюда следует неравенство

M < —1 + exp(—ЛС(m, a, M)) = Mb

Из (1.19) получаем, что

a£ < 1 — exp(—ЛS(m, a, M)) = a1.

Используя произвол в выборе е и неравенства (1.15), приходим к выводу, что a = M = 0, т.е. функция x(t) имеет нулевой предел при t ^ то. □

зЗамечание. Вместо условий (1.15) можно на Ф(a,M) наложить требование существования единственного аттрактора - нулевой неподвижной точки.

Замечание. Рассмотрим итерации (an, Mn) (n = 2, 3,...) отображения Ф^, M):

(a„+i ,Mn+i = Ф(ara,Mra). (1.21)

Пусть при некотором Л имеем

a0(Л) = lim supak, M0^) = lim supMk.

k>n n—tx k>n

Тогда для решений (1.3) выполнены неравенства

lim inf х(т) > —a0(Л), lim supх(т) < M0^). (1.22)

t—У^О Т>t t—У^О T>t

Основная роль теоремы 1.1 состоит в том, что она намечает путь получения необходимых оценок. Уже при m = 2 для применения этой теоремы необходимо её существенно модернизировать. Этому посвящен следующий раздел 2.2.

Сведение двумерного отображения (1.12), (1.13) к двум отображениям первого порядка

Здесь предполагаем, что m > 2.

Пусть для некоторого решения x(t) при всех t > t0 выполнено неравенство

x(t) > -а (0 < а < 1). (1.23)

Сначала отметим, что при m =1 выражение C(1,а,М) не зависит от M. Положим C (а) = C (1, а, M) = .... Пусть

Mi = exp(-AC(а)) - 1. Рассмотрим выражение C(m, а, Mi) и положим

M2 = exp(-AC(m, а, Mi)) - 1.

Затем определим M3,... по формуле

Mra+i = exp(-AC (m, а, M„)) - 1 (n = 2, 3,...). (1.24)

Отметим, что имеют место неравенства

Mn+i < Mn.

Обозначим через M(а) предельное значение последовательности Mn:

M(а) = lim Mn.

Тем самым M(а) - устойчивая неподвижная точка отображения (1.24). На следующем этапе рассмотрим выражение

а1 = 1 - exp(-А5(а, M(а)))

и

ап+1 = 1 - exp(-AS (аn(а),M (ап(а))) (n = 1, 2,...). (1.25)

Сформулируем итоговый результат.

Теорема 1.2. Пусть при всех а £ (0,1) выполнено предельное равенство

lim ап(а) = 0.

Тогда все решения уравнения (1.3) стремятся к нулю при t ^ то.

Обоснование этой теоремы вытекает из приведенного выше обоснования теоремы 1.1.

зЗамечание. Для справедливости утверждения теоремы 1.2 достаточно выполнения при всех а £ (0,1) неравенства ai < а.

Следующие два раздела посвящены рассмотрению случаев, когда m = 0 и m = 1 соответственно. Как будет показано, в этих случаях двумерное отображение (1.12), (1.13) сводится к одномерному. Случай m = 0 тривиален, а уже при m =1 показана важность получения априорных оценок для решений. В этой связи сначала приведены результаты в случае довольно грубых оценок, а затем показано, что более точные оценки позволяют обосновать существенное расширение области глобальной устойчивости. Наконец, в разделе 1.5 при m =2 сначала на основе теоремы 1.2 учтены только грубые оценки решений, а затем - в случае использования более точных оценок, обоснована оценка (1.7).

Случай m = 0

Пусть сначала m = 0. В этом случае

C(0, а, M) = -а, S(0, а, M) = M.

Отсюда получаем, что

а1 = 1 - exp(-AM), Mi = ехр(Ла) - 1. (1.26)

При условии

0 < Л < 1 (1.27)

выполнены неравенства

а1 < а и M1 < M,

поэтому заключаем, что при условии (1.27) все решения (1.3) стремятся к нулю при t ^ то.

Отметим, что двумерное отображение (1.26) можно свести к одномерному. Положим ßn = а2„. Тогда

вп+1 = f (Л,вп), f (Л, в) = 1 - ехр[-Л(ехр(Лв) - 1)]. (1.28)

Для функции f (А, в) выполнено равенство |в=0 = А2.На рис. 1.1 и рис. 1.2 представлены графики функций f (А, в) при различных значениях А. При А = 2 и А =1 - рис. 1.1 и при А = п - рис. 1.2.

Обозначим через в0 положительную неподвижную точку отображения (1.28). Ее численное значение близко к в0 = 0.9974065436.

Рис. 1.1: пунктирная линия - А = 1; штрихпунктирная линия - А = 1

Рис. 1.2: штрихпунктирная линия - А = п в0 = 0.9974065436

Поскольку в0 = 0.9974065436 < 1, то для всех решений (1.3) при всех А < 2 выполнены при достаточно больших £ неравенства

п

х(£) > -в0, х(£) < exp(2в0) - 1.

Таким образом, при А < 1 выполнено условие f (А, в) < в, т.е. все итерации а2п стремятся к нулю при п ^ то. Отсюда следует, что при А < 1 все решения (1.3) стремятся к нулю при £ ^ то. При А < 2 можно утверждать что для решений (1.3) выполнена при больших £ оценка х(£) > -в0.

Случай т =1

Пусть т = 1. Согласно предыдущему разделу имеет смысл рассмотреть лишь случай А > 1.

Грубая оценка параметров решений

Из уравнения (1.3) и оценок (1.9) вытекает, что при достаточно больших х(£) и при условии х(£) < 0 имеем х(£) < Аа, а при х(£) > 0 имеем х(£) > —А ■ М(1 + М), т.е.

а! = Аа, Ь1 = А ■ М ■ (1 + М). Значения С(1, а, М) и 5(1, а, М) тогда реализуются соответственно на функциях

Х0(£)

—а, 0 < £ < 1 — £, Аа(£ — 1), 1 — £ <£ < 1,

х0(£)

М, 0 <£ < 1 — (А(1 + М))

1

— АМ(1 + М)(£ — 1), 1 — (АМ(1 + М))-1 < £ < 1.

Примерные графики функций х0(£) и х0(£) представлены на рис. 1.3 и рис. 1.4 соответственно.

Рис. 1.3: График функции х0(£)

Рис. 1.4: График функции х0 (£)

Для С(1, а, М) и 5(1, а, М) имеют место формулы

С(1, а, М) = — а ( 1 — -1

2А

5(1, а, М) = М(1 — 2А(1 + М)-1)

И в этом случае отображение (1.12), (1.13) можно свести к одномерному отображению

вп+1 = f (вп) (вп = а2п, (1.29)

где

f (А,в) = 1 - exp[-Аm(в)(1 - (2А(1 + т(в)))-1)]

т(в) = 1 - exp ( Ав(1 - 2А)

Отметим, что f'в(А, 0) = ^А - , поэтому 0 < /в(А, 0) < 1 при 0 < А < |. При 0 < А < 1.44865 выполнено неравенство f (А, в) < в. При А = 1.44865 график f (А, в) приведен на рис. 1.5, а при А = п - на рис. 1.6.

Рис. 1.5: График функции f (А, в) при А = 1.44865

Рис. 1.6: График функции f (А, в) при А = §,в0 = 0.7710977301

Таким образом, здесь установлено стремление к нулю всех решений только при

0 < А < 1.44865.

Г1.30)

2

Более точная априорная оценка решений

Покажем, что при более точной априорной оценке решений можно расширить по сравнению с неравенством (1.30) область тех значений А, при которых имеет место глобальная устойчивость нулевого состояния равновесия в (1.3).

Теорема 1.3. Пусть

Рис. 1.7: График функции f (А, в) при А = п,в0 = 0.8876428991

0<А<2 •

Тогда все решения уравнения (1.3) стремятся к нулю при £ ^ то. Доказательство. Уравнение (1.3) при х = 0 эквивалентно уравнению

(1 + х) X = — Ах(£ — 1).

1.31)

Из оценок (1.9) тогда получаем, что

— АМ < (1 + х) X < Аа

1.32)

Таким образом для х(£) приходим к более точным оценкам

— АМехр(—АМ(£ — 1)) < х < Ааехр(Аа(£ — 1)),

— 1 + ехр(—Аа(1 — £)) < х(£) < — 1 + ехр(АМ(1 — £)). Отсюда следует, что

1.33)

х0(£)

—а, £ £ [0, £0], £0 = 1 + (Аа)-11п(1 — а)

— 1 +ехр(—Аа(1 — £)),

£ £ (¿0,1],

х0(£) =

М, £ € [0,£0], -1 +exp(АM(1 - £)),

1 - (АМ)-1 1п(1 + М), £ € (£0, 1].

Рис. 1.8: График функции х0(£)

Рис. 1.9: График функции х0(£)

Для С(1, а, М) и 5(1, а, М) верны равенства

г1 1

С(1, а, М) = / х0(з)^ = -а + - + (1 - а)(Аа)-1 1п(1 - а), 0А

Г1 1

5(1, а, М) = / х0(з)^ = М + - - (1 + М)(АМ)-1 1п(1 + М). 0А

И в этой ситуации двумерное отображение (1.12), (1.13) сводится к одномерному отображению (1.29), в котором f (А,в) задана равенством

f (А,в) = 1 - exp[—1 - Ат(в) + т-1(в)(1 + т(в))1п(1 + т(в))]

и

т(в) = -1 + exp[—1 + Ав - в-1(1 - в) 1п(1 - в)].

Отметим, что ^(0) = ^А - , поэтому ^(0) < 1 при А < §.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Логинов Дмитрий Олегович, 2025 год

Литература

[1] Виккер Д. А. Динамика автоматических регуляторов напряжения // Электричество. 1934. № 9. С. 26-30.

[2] Frisc R., Holme H. The Characteristic Solutions of a Mixed Difference and Differential Equation Occuring in Economic Dynamics // Econometrica. 1935. III. P. 225-230.

[3] Kalecki M. A Macrodynamic Theory of Business Cycles // Econometrica. 1935. III. P. 327-334.

[4] Bowschewerow V. Systemes auto-oscillatoires regis par des equatious fonctionnelles // Physik. Zeit. Sowjetunion. 1936. 9(5). P. 523-532.

[5] Callender A., Hartree D. R., Porter A. Time-Lag in a Control System // Philos. Trans. Roy. Soc. London (A). 1936. 235(756). P. 415-444.

[6] James R. W., Beiz M. H. On a Mixed Difference and Differential Equation // Econometrica. 1936. 4. P. 157-160.

[7] Виккер Д. А. Эффект запаздывания в процессах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1937. № 6. С. 59-76.

[8] Герасимов С. Г. Физические основы динамики регулирования тепловых процессов. М.: Энергоизд, 1937. С. 71-75.

[9] Hartree D. R., Porter A., Callender А., Stevenson A. B. Time-Lag in a Control System, II // Proc. Roy. Soc. London (A). 1937. 161(907). P. 460-476.

[10] Горелик Г. К теории запаздывающей обратной связи // Журнал технической физики. 1939. IX. С. 450-454.

[11] Кощеев П. С. К теории следящих систем // Автоматика и телемеханика. 1940. № 5. С. 77-88.

[12] Рубин Б. И., Хейман Ю. Г. Основы авиационной автоматики. Изд. ЛИИГВФ, 1940. С. 27-32.

[13] Чистяков Н. И. Об учёте влияния фазового запаздывания в усилителе на автоматическую подстройку // Электросвязь. 1940. № 7. С. 27-29.

[14] Silberstein L. On a Hystero-Differential Equation Arising in a Probability Problem // Phil. Mag. (7). 1940. 29(192). P. 75-84.

[15] Богомолов В. А. Автоматическое регулирование мощности гидростанций по водотоку // Автоматика и телемеханика. 1941. № 4-5. С. 103-129.

[16] Андронов А. А., Майер А. Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. VII(2-3). С. 95-106.

[17] Цыпкин Я. З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. 1946. VII(2-3). С. 107-129.

[18] Hole N. On the Statistical Treatment of Counting Experiments in Nuclear Physics // Ark. Mat. Astr. Fys. 1946. 33A(11). P. 1-11.

[19] Цыпкин Я. З. Степень устойчивости систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. 1947. VIII(3). С. 145-155.

[20] Hole N. On the Distribution on Counts in a Counting Apparatus // Ark. Mat. Astr. Fys. 1947. 33(3B)(8). P. 1-8.

[21] Волошин Н. Учёт явления запаздывания // Автоматика и телемеханика. 1948. VIII(4). P. 285-292.

[22] Лурь А. И., Фиалко Г. М. Об устойчивости регулирования при наличии запаздывания в измерительном органе регулирования // Инженерный сборник. 1948. IV(2). С. 109-112.

[23] Свирский И. В. Определение числа корней, лежащих в правой полуплоскости, для функций вида F(ez, z), где F(ez, z)—рациональная функция от аргументов ez и z

и применение результатов к исследованию автоматического регулирования паровых турбин // Известия Казанского филиала АН СССР (физ.-мат.). 1948. № 1. С. 51-61.

[24] Фиалко Г. М. Динамика регулирования концентрации сернистого газа на сернокислых заводах при наличии в схеме электрического газоанализатора // Автоматика и телемеханика. 1948. IX(6). С. 432-452.

[25] Minorsky N. Sur une classe d'oscillations auto-entretenues // C.R. Acad. Sci. Paris. 1948. 226. P. 1122-1124.

[26] Minorsky N. Self-Excited Mechanical Oscillations // Journ. Appl. Phys. 1948. 19. P. 332-338.

[27] Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С. 247-250.

[28] Аносов Д. В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145. № 4. С. 707-709.

[29] Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. М.: Наука (Труды МИАН СССР), 1967. Т. 90.

[30] Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук. 1970. Т. 25. № 1. С. 113-185.

[31] Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations. Blackie & Son Limited, 1930.

[32] Hutchinson G. E. Circular Causal in Ecology // Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. № 50. P. 221-246.

[33] Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Regular and Chaotic Pulsations in Laser Diode with Delayed Feedback // Int. J. Bifur. Chaos. 1993. Vol. 3. № 3. P. 1515-1528.

[34] Wright E.M. A non-linear difference-differential equation // Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1955. Vol. 106. P. 66-87.

[35] Jones G. S. The existence of periodic solutions of /'(ж) = —af (x — 1){1 + / (x)} // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. Vol. 5. P. 435-450.

[36] Britton N.F. Reaction-diffusion equations and their applications to biology. New York: Academic Press, 1986.

[37] Gourley S.A., So J., Wu J. Non-locality of reaction-diffusion equations induced by delay: Biological modeling and nonlinear dynamics // Journal of Mathematical Sciences. 2004. Vol. 124. № 4. P. 5119-5153.

[38] Murray J.D. Mathematical biology. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1993.

[39] Britton N.F. Spatial structures and periodic travelling waves in an integro-differential reaction-diffusion population model // SIAM J. Appl. Math. 1990. Vol. 50. P. 1663-1688.

[40] Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и Механика. 1937. № 1. С. 6.

[41] Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. In: Mathematics in Science and Engineering. New York: Academic Press, 1993. Vol. 191.

[42] Kakutani S., Markus L. On the nonlinear difference differential equation y'(t) = [A + — Y)]y(t) // Contributions Theory Nonlinear Oscillations. Princeton, 1958. 4. P. 411-418.

[43] Кащенко С.А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. ЯрГУ, Ярославль, 1985. С. 55-62.

[44] Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщенного уровнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19. № 13. С. 32-61. (Перевод на английский: Kashchenko S.A. Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47. № 7. P. 470-494.)

[45] Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

[46] Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36. № 1. С. 177-185.

[47] Кащенко С.А., Логинов Д.О. Оценка области глобальной устойчивости состояния равновесия логистического уравнения с запаздыванием // Известия вузов. Математика. 2020. № 9. С. 39-55. (Перевод на английский: Kaschenko S.A., Loginov D.O. Estimation

of the region of global stability of the equilibrium state of the logistic equation with delay // Russian Mathematics. 2020. Vol. 64. P. 34-49.)

[48] Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer Verlag, 1996.

[49] Cushing J. M. Integrodifferential Equations and Delay Models in Population Dynamics. Berlin, Heidelberg: Springer, 1977. Lecture Notes in Biomathematics. Vol. 20.

[50] Murray J. D. Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications. 3rd Ed. New York: Springer Verlag, 2001. Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 18.

[51] Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Труды МИАН. Под ред. Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1993. Т. 199. С. 126.

[52] Oster G, Guckenheimer J. Bifurcation Phenomena in Population Models // Jerrold Eldon Marsden, Marjorie F. McCracken, Applied Mathematical Sciences. New York: Springer, 1976. Vol. 19. P. 327-353.

[53] Кащенко С. А. Усреднение по пространственной переменной в нелинейных параболических системах // Труды Московского математического общества. 2019. Т. 80. № 1. С. 63-86.

[54] Кащенко С. А. Применение принципа усреднения к исследованию динамики логистического уравнения с запаздыванием // Математические заметки. 2018. Т. 104. № 2. С. 216-230.

[55] Кащенко С. А. Динамика систем с запаздыванием и быстро осциллирующими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. № 1. С. 15-29.

[56] Marsden J. E., McCracken M. F. The Hopf Bifurcation and Its Applications. Applied Mathematical Sciences. New York: Springer, 1976. Vol. 19.

[57] Hale J. Theory of functional differential equations. New York: Springer, 1977.

[58] Hartman P. Ordinary Differential Equations. Appl. Math. Sci., 1964.

[59] Кащенко С.А., Логинов Д.О. Бифуркация Андронова-Хопфа в логистическом уравнении с запаздыванием, диффузией и быстро осциллирующими коэффициентами //

Математические заметки. 2020. Т. 108, № 1. С. 47-63. (перевод на английский: Kaschenko S.A., Loginov D.O. Andronov-Hopf Bifurcation in Logistic Delay Equations with Diffusion and Rapidly Oscillating Coefficients // Mathematical Notes. 2020. Vol. 108, No. 1. pp. 47-63.)

[60] Kaschenko S. A. Bifurcational Features in Systems of Nonlinear Parabolic Equations with Weak Diffusion // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2005. 15. С. 3595-3606.

[61] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

[62] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978.

[63] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 3. С. 799-851.

[64] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

[65] Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

[66] Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах. Киев: АН УССР, 1955.

[67] Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971.

[68] Колесов Ю.С., Колесов В.С., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979.

[69] Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 10. С. 1778-1788.

[70] Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures // Studies in Mathematics and its Applications. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1978.

[71] Клепцина М.Л., Пятницкий А.Л. Усреднение случайной нестационарной задачи конвекции-диффузии // Успехи математических наук. 2002. Т. 57, № 4. С. 95-118.

[72] Marusic-Paloka E., Piatnitski A.L. Homogenization of a Nonlinear Convection-Diffusion Equation with Rapidly Oscillating Coefficients and Strong Convection // Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 2005. 72(2). P. 391-409.

[73] Allaire G., Pankratova I., Piatnitski A. Homogenization of a Nonstationary Convection-Diffusion Equation in a Thin Rod and in a Layer // SeMA Journal. 2012. 58(1). P. 53-95.

[74] Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование параболических задач с большими высокочастотными слагаемыми // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 4. С. 805-821.

[75] Кащенко С.А. Асимптотика установившихся режимов параболических уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами и переменной областью определения // Украинский математический журнал. 1987. Т. 39, № 5. С. 578-582.

[76] Бутузов В.Ф., Левенштам В.Б. О системе типа реакция-диффузия-перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43, № 7. С. 1005-1017.

[77] Кащенко С.А. Асимптотика периодических решений автономных параболических уравнений с малой диффузией // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27, № 6. С. 116-127.

[78] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1977.

[79] Кащенко С.А., Логинов Д.О. Бифуркации при варьировании граничных условий в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией // Математические заметки. 2019. Т. 106, № 1. С. 138-143. (перевод на английский: Kaschenko S.A., Loginov D.O.

Bifurcations Due to the Variation of Boundary Conditions in the Logistic Equation with Delay and Diffusion // Mathematical Notes. 2019. Vol. 106, No. 1. pp. 47-63.)

[80] Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. Т. 21, № 5. С. 588.

Примеры графиков решения уравнения с запаздыванием, диффузией и варьировании коэффициентов граничных

условий

На рис. А.1 и А.2 представлены графики решения задачи (3.1), (3.2) при фиксированном х = 0.5. Значение г, при котором происходит потеря устойчивости нулевого состояния равновесия в данном случае, г = 2.19.

Рис. А.1: График решения задачи (3.1), (3.2) Рис. А.2: График решения задачи (3.1), (3.2)

при х = 0.5, d = 1,

при х = 0.5, d = 1,

г = 2.1,к = 0,7 = -1.36

г = 2.3,к = 0,7 = -1.36

На рис. А.3 представлен график решения задачи (3.1), (3.2). Значение г, при котором происходит потеря устойчивости нулевого состояния равновесия в данном случае, г = 1. 19.

Рис. А.3: График решения задачи (3.1), (3.2) при х = 0.5^ = 1, г = 1.2, к = 0.6,7 = 0.74516

На рис. А.4 и А.5 представлены графики решения задачи (3.1), (3.2) при 7 ^ —то. Значение г при котором происходит потеря устойчивости нулевого состояния равновесия в данном случае г = 3.43.

Рис. А.4: График решения задачи (3.1), (3.2) Рис. А.5: График решения задачи (3.1), (3.2) при х = 0.5^ = 1, при х = 0.5^ = 1,

г = 3.3, к = 0 г = 3.5, к = 0

Выдержки

из

программного

кода алгоритма расчета решений

Для проведения численных экспериментов в задачах глав 2 и 3 было написано программное обеспечение. Ниже представлен алгоритмическая часть программной реализации на примере задачи (3.1), (3.2).

use crate::constants::{D, DELTA_X, DELTA_T, SIZE}; use rayon::prelude::*;

fn get_equation_value(u_prev: f64, u_cur: f64, u_next: f64, u_del: f64, r: f64, is_linear: bool) -> f64 { if is_linear {

return DELTA_T * (D * (u_prev - 2.0 * u_cur + u_next) / DELTA_X.powf(2.0) - r * u_del);

логистического

уравнения

с

запаздыванием и диффузией

}

DELTA_T * (D * (u_prev - 2.0 * u_cur + u_next) / DELTA_X.powf(2.0) - r * u_del * (u_cur + 1.0))

}

fn get_u_minus_one_value(u_zero: f64, u_one: f64, kappa: f64) -> f64 {

fn get_u_n_value(u_penultimate: f64, u_last: f64, gamma: f64) -> f64 {

u_penultimate + 2.0 * DELTA_X * gamma * u_last }

fn get_kl_values(u: Vec<f64>, u_del: Vec<f64>, kappa: f64, gamma: f64, r: f64, is_linear: bool) -> Vec<f64> { (0..SIZE).into_par_iter().map(|i| { if i == 0 {

if kappa == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(get_u_minus_one_value(u[0], u[l], kappa),

u[0],

u[l],

u_del[0],

r, is_linear) }

if i == SIZE - l { if gamma == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(u[SIZE - 2], u[SIZE - l],

get_u_n_value(u[SIZE - 2], u[SIZE - l], gamma), u_del[SIZE - l],

r, is_linear) }

get_equation_value(u[i - l], u[i], u[i + l], u[i], r, is_linear) }

).collect() }

fn get_k2_values(u: Vec<f64>, u_del: Vec<f64>, k1: Vec<f64>, kappa: f64, gamma: f64, r: f64, is_linear: bool) -> Vec<f64> { (0..SIZE).into_par_iter().map(|i| { if i == 0 {

if kappa == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(

get_u_minus_one_value(u[0] + 0.5 * k1[0], u[1] + 0.5 * k1[1], kappa), u[0] + 0.5 * k1[0], u[1] + 0.5 * k1[1], u_del[0],

r, is_linear) }

if i == SIZE - 1 { if gamma == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(u[SIZE - 2] + 0.5 * k1[SIZE - 2],

u[SIZE - 1]+ 0.5 * k1[SIZE - 1],

get_u_n_value(u[SIZE - 2] + 0.5 * k1[SIZE - 2],

u[SIZE - 1] + 0.5 * k1[SIZE - 1], gamma),

u_del[SIZE - 1],

r, is_linear) }

get_equation_value(u[i - 1] +0.5 * k1[i - 1], u[i] +0.5 * k1[i],

u[i + 1] + 0.5 * k1[i + 1], u[i], r, is_linear) }

).collect() }

fn get_k3_values(u: Vec<f64>, u_del: Vec<f64>, k1: Vec<f64>,

k2: Vec<f64>, kappa: f64, gamma: f64, r: f64, is_linear: bool) -> Vec<f64> {

if kappa == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(

get_u_minus_one_value(u[0] + 0.25 * (k1[0] + k2[0]),

u[1] + 0.25 * (k1[1] + k2[1]), kappa),

u[0] + 0.25 * (k1[0] + k2[0]),

u[1] + 0.25 * (k1[1] + k2[1]),

u_del[0],

r, is_linear) }

if i == SIZE - 1 { if gamma == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(u[SIZE - 2] + 0.25 * (k1[SIZE - 2] + k2[SIZE - 2]),

u[SIZE - 1]+ 0.25 * (k1[SIZE - 1] + k2[SIZE - 1]),

get_u_n_value(u[SIZE - 2] + 0.25 * (k1[SIZE - 2] + k2[SIZE - 2]),

u[SIZE - 1] + 0.25 * (k1[SIZE - 1] + k2[SIZE - 1]), gamma),

u_del[SIZE - 1],

r, is_linear) }

get_equation_value(u[i - 1] + 0.25 * (k1[i - 1] + k2[i - 1]), u[i] + 0.25 * (k1[i] + k2[i]),

u[i + 1] + 0.25 * (k1[i + 1] + k2[i + 1]), u[i], r, is_linear) }

).collect() }

fn get_k4_values(u: Vec<f64>, u_del: Vec<f64>, k2: Vec<f64>, k3: Vec<f64>, kappa: f64, gamma: f64, r: f64, is_linear: bool) -> Vec<f64> {

if kappa == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(

get_u_minus_one_value(u[0] - k2[0] + 2.0 * k3[0],

u[l] - k2[l] + 2.0 * k3[l], kappa),

u[0] - k2[0] + 2.0 * k3[0],

u[l] - k2[l] + 2.0 * k3[l],

u_del[0],

r, is_linear) }

if i == SIZE - 1 { if gamma == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(u[SIZE - 2] - k2[SIZE - 2] + 2.0 * k3[SIZE - 2],

u[SIZE - 1] - k2[SIZE - 1] + 2.0 * k3[SIZE - 1],

get_u_n_value(u[SIZE - 2] - k2[SIZE - 2] + 2.0 * k3[SIZE - 2],

u[SIZE - 1] - k2[SIZE - 1] + 2.0 * k3[SIZE - 1], gamma),

u_del[SIZE - 1],

r, is_linear) }

get_equation_value(u[i - 1] - k2[i - 1] + 2.0 * k3[i - 1], u[i] - k2[i] + 2.0 * k3[i],

u[i + 1] - k2[i + 1] + 2.0 * k3[i + 1], u[i], r, is_linear) }

).collect() }

fn get_k5_values(u: Vec<f64>, u_del: Vec<f64>, kl: Vec<f64>, k2: Vec<f64>, k4: Vec<f64>, kappa: f64, gamma: f64, r: f64, is_linear: bool) -> Vec<f64> {

if kappa == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(

get_u_minus_one_value(u[0] + (7.0 * k1[0] + 10.0 * k2[0] + k4[0]) I 27.0, u[1] + (7.0 * k1[1] + 10.0 * k2[1] + k4[1]) I 27.0, kappa), u[0] + (7.0 * k1[0] + 10.0 * k2[0] + k4[0]) I 27.0, u[1] + (7.0 * k1[1] + 10.0 * k2[1] + k4[1]) I 27.0, u_del[0],

r, is_linear) }

if i == SIZE - 1 { if gamma == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return

get_equation_value( u[SIZE - 2] + (7.0 * k1[SIZE - 2] u[SIZE - 1] + (7.0 * k1[SIZE - 1] get_u_n_value(

u[SIZE - 2] + (7.0 * k1[SIZE - 2] u[SIZE - 1] + (7.0 * k1[SIZE - 1] gamma),

u_del[SIZE - 1],

r, is_linear) }

get_equation_value( u[i - 1] + (7.0 * k1[i - 1] + 10.0 * k2[i - 1] + k4[i - 1]) I 27.0, u[i] + (7.0 * k1[i] + 10.0 * k2[i] + k4[i]) I 27.0,

u[i + 1] + (7.0 * k1[i + 1] + 10.0 * k2[i + 1] + k4[i + 1]) I 27.0, u[i],

+ 10.0 * k2[SIZE - 2]

+ 10.0 * k2[SIZE - 1]

+ 10.0 * k2[SIZE - 2]

+ 10.0 * k2[SIZE - 1]

+ k4[SIZE - 2]) I 27.0,

+ k4[SIZE - 1]) I 27.0,

+ k4[SIZE - 2]) I 27.0,

+ k4[SIZE - 1]) I 27.0,

).collect() }

fn get_k6_values(u: Vec<f64>, u_del: Vec<f64>, kl: Vec<f64>, k2: Vec<f64>, k3: Vec<f64>, k4: Vec<f64>, k5: Vec<f64>, kappa: f64, gamma: f64, r: f64, is_linear: bool) -> Vec<f64> { (0..SIZE).into_par_iter().map(|i| { if i == 0 {

if kappa == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(

get_u_minus_one_value(

u[0]

+ (28.0 * kl[0] - 125.0 * k2[0] + 546.0 * k3[0] + 54.0 * k4[0] - 378.0 * k5[0]) I 625.0, u[l]

+ (28.0 * kl[l] - 125.0 * k2[l] + 546.0 * k3[l] + 54.0 * k4[l] - 378.0 * k5[l])

I 625.0, kappa),

u[0]

+ (28.0 * kl[0] - 125.0 * k2[0] + 546.0 * k3[0] + 54.0 * k4[0] - 378.0 * k5[0]) I 625.0, u[l]

+ (28.0 * kl[l] - 125.0 * k2[l] + 546.0 * k3[l] + 54.0 * k4[l] - 378.0 * k5[l])

I 625.0,

u_del[0],

r, is_linear) }

if i == SIZE - 1 { if gamma == f64::INFINITY {

return 0.0 }

return get_equation_value(

u[SIZE - 2] + (28.0 * k1[SIZE - 2] - 125.0 * k2[SIZE - 2] + 546.0 * k3[SIZE - 2]

+ 54.0 * k4[SIZE - 2] - 378.0 * k5[SIZE - 2]) I 625.0,

u[SIZE - 1] + (28.0 * k1[SIZE - 1] - 125.0 * k2[SIZE - 1] + 546.0 * k3[SIZE - 1]

+ 54.0 * k4[SIZE - 1] - 378.0 * k5[SIZE - 1]) I 625.0,

get_u_n_value(

u[SIZE - 2] + (28.0 * k1[SIZE - 2] - 125.0 * k2[SIZE - 2] + 546.0 * k3[SIZE - 2]

+ 54.0 * k4[SIZE - 2] - 378.0 * k5[SIZE - 2]) I 625.0,

u[SIZE - 1] + (28.0 * k1[SIZE - 1] - 125.0 * k2[SIZE - 1] + 546.0 * k3[SIZE - 1]

+ 54.0 * k4[SIZE - 1] - 378.0 * k5[SIZE - 1]) I 625.0,

gamma),

u_del[SIZE - 1],

r, is_linear) }

get_equation_value(

u[i - 1] + (28.0 * k1[i - 1] - 125.0 * k2[i - 1] + 546.0 * k3[i - 1] + 54.0 * k4[i - 1] - 378.0 * k5[i - 1]) I 625.0, u[i] + (28.0 * k1[i] - 125.0 * k2[i] + 546.0 * k3[i] + 54.0 * k4[i] - 378.0 * k5[i]) I 625.0,

u[i + 1] + (28.0 * k1[i + 1] - 125.0 * k2[i + 1] + 546.0 * k3[i + 1]

+ 54.0 * k4[i + 1] - 378.0 * k5[i + 1]) I 625.0, u[i], r, is_linear) }

).collect() }

fn get_defect_value(k_one:f64, k_three: f64, k_four: f64, k_five: f64, k_six: f64) -> f64 {

-(42.0 * k_one + 224.0 * k_three + 21.0 * k_four - 162.0 * k_five - 125.0 * k_six)

I 336.0 }

pub fn get_next_layer_values(u: Vec<f64>, u_del: Vec<f64>, kappa: f64, gamma: f64, r: f64, is_linear: bool) -> Vec<f64> {

let kl = get_k1_values(u.clone(), u_del.clone(), kappa, gamma, r, is_linear); let k2 = get_k2_values(u.clone(), u_del.clone(), k1.clone(),

let k3 = get_k3_values(u.clone(), u_del.clone(), kl.clone(), k2.clone(), kappa, gamma, r, is_linear);

let k4 = get_k4_values(u.clone(), u_del.clone(), k2.clone(), k3.clone(), kappa, gamma, r, is_linear);

let k5 = get_k5_values(u.clone(), u_del.clone(), kl.clone(), k2.clone(), k4.clone(), kappa, gamma, r, is_linear);

let k6 = get_k6_values(u.clone(), u_del.clone(), kl.clone(), k2.clone(), k3.clone(), k4.clone(), k5.clone(), kappa, gamma, r, is_linear); (0..SIZE).into_par_iter().map(|i| { if i == 0 && kappa == f64::INFINITY {

return 0.0; }

if i == SIZE - 1 && gamma == f64::INFINITY {

return 0.0; }

u[i] + (kl[i] + 4.0 * k3[i] + k4[i] ) I 6.0 + get_defect_value(kl[i] , k3[i], k4[i], k5[i], k6[i])

}).collect() }