Динамика сингулярно возмущенных нелинейных систем с запаздыванием и систем параболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Кащенко Илья Сергеевич

• Кащенко Илья Сергеевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Кащенко Илья Сергеевич

Введение

§1.1. Локальная динамика уравнения первого порядка

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Расположение корней характеристического уравнения

1.1.3 Асимптотика корней

1.1.4 Квазинормальные формы

1.1.5 Многопараметрические задачи

1.1.6 Численные результаты

§1.2. Локальная динамика уравнения второго порядка

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Случай а > л/2

1.2.3 Случай 0 < а < л/2

1.2.4 Многопараметрические краевые задачи

1.2.5 Численные результаты

§1.3. Уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Основные конструкции

1.3.3 Многопараметрические краевые задачи

1.3.4 О динамике уравнения (1.46)

1.3.5 Динамика уравнения (1-47)

1.3.6 "Большое" запаздывание

1.3.7 Динамика в случае малого коэффициента запаздывания

§1.4. Асимптотическое исследование корпоративной динамики систем уравнений,

связанных через запаздывающее управление

1.4.1 Постановка задачи

1.4.2 Динамика при отсутствии запаздывания

1.4.3 Динамика системы с ненулевым запаздыванием

1.4.4 Корпоративная динамика системы трех уравнений

§1.5. Динамика системы уравнений Лэнга-Кобаяши с большим коэффициентом

управления

1.5.1 Модель

1.5.2 Сведение к параболической краевой задаче

1.5.3 Общая конструкция

1.5.4 О решениях квазинормальной формы

Выводы

2. Уравнения с двумя запаздываниями

Введение

§2.1. Случай большого и фиксированного запаздывании

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Линейный анализ

2.1.3 Нелинейный анализ

2.1.4 Роль малых возмущений

§2.2. Случай двух больших одноиорядковых запаздывании

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Линейный анализ

2.2.3 Локальная динамика в случае а <

2.2.4 Случай а =

2.2.5 Нелинейный анализ в случае а >

§2.3. Случай двух больших разнопорядковых запаздываний

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Линейный анализ

2.3.3 Случай a0 ^ 0 b0 >

2.3.4 Случай малого множителя при большем запаздывании

Выводы

3. Уравнения с запаздыванием более сложного вида

Введение

§3.1. Локальная динамика уравнения с длительным экспоненциально распределенным запаздыванием

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Построение квазинормальной формы

§3.2. Нормализация уравнения с линейно-распределенным запаздыванием

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Результаты

§3.3. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием, зависящим от искомой функции

3.3.1 Постановка задачи

3.3.2 Квазинормальные формы

3.3.3 Уравнение второго порядка

Выводы

4. Сингулярно возмущенные уравнения параболического типа

Введение

§4.1. Мультистабильность в нелинейных параболических системах с малой диффузией

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Случай пары чисто мнимых собственных значений матрицы A(0)

4.1.3 Случай простого нулевого собственного значения A(z0)

§4.2. Квазинормальные формы для параболических систем с сильной нелинейностью и малой диффузией

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2 Случай простого нулевого собственного A(0)

4.2.3 Случай пары чисто мнимых собственных A(0)

4.2.4 Случай нулевого собственного значения матрицы A(zo)

§4.3. Локальная динамика двухкомпонентных контрастных систем параболического

типа

4.3.1 Постановка задачи

4.3.2 Основные конструкции в случае Д = 0, a4 = 0 и а ^

4.3.3 Динамика в случае 0 < а <

4.3.4 Семейства быстро осциллирующих решений

4.3.5 Бифуркация Андронова-Хопфа

4.3.6 Бифуркации при дополнительном условии вырождения Д =

§4.4. Квазинормальные формы двухкомпонентных сингулярно возмущенных систем

4.4.1 Постановка задачи

4.4.2 Квазинормальные формы при условии a3 = Д =

4.4.3 Квазинормальные формы, описывающие взаимодействие нескольких групп мод

4.4.4 Квазинормальные формы при условии ao = Д =

Выводы

5. Уравнения с распределением по пространственной переменной

Введение

§5.1. Быстро осциллирующие пространственно-неоднородные структуры в когерентных нелинейно-оптических системах

5.1.1 Постановка задачи

5.1.2 Быстро осциллирующие структуры

5.1.3 Усложнение динамики при увеличении параметра ^

§5.2. Динамика уравнения с большим пространственно-распределенным управлением

5.2.1 Введение

5.2.2 Медленно осциллирующие структуры

5.2.3 Быстро осциллирующие структуры

5.2.4 Случай существенно несимметричной F(x)

§5.3. Корпоративная динамика сильно связанных распределенных систем

5.3.1 Постановка задачи

5.3.2 Корпоративная динамика в случае симметричной F(s)

5.3.3 Корпоративная динамика в случае несимметричной F(s)

§5.4. Динамика логистического уравнения с малой диффузией и отклонением пространственной переменной

5.4.1 Постановка задачи

5.4.2 Случай симметричной функции F(s,e)

5.4.3 Случай несимметричной функции F(s,e)

§5.5. Динамика логистического уравнения с распределением пространственной переменной на двумерной области определения

5.5.1 Постановка задачи

5.5.2 Случай центральносиммертричной функции F(x,y)

5.5.3 Случай несимметричной F(x,y)

§5.6. Локальная динамика пространственно-распределенного логистического уравнения с запаздыванием

5.6.1 Постановка задачи

5.6.2 Первый случай

5.6.3 Второй случай

§5.7. Динамика сильно связанных пространственно-распределенных логистических

уравнений с запаздыванием

5.7.1 Постановка задачи

5.7.2 Локальная динамика в случае симметричной функции Г(х)

5.7.3 Динамика в случае несимметричной Г(х)

5.7.4 Квазинормальные формы в случае существенной несимметричности функции Г(х)

§5.8. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием и распределенным

отклонением пространственной переменной

5.8.1 Постановка задачи

5.В.2 Основные построения

Выводы

Заключение

Литература

Введение

Актуальность темы исследования

При исследовании многих физических явлений и процессов часто выделяется малый либо большой параметр, в связи с чем математические модели этих явлений либо процессов могут оказаться сингулярно возмущенными динамическими системами. Исследование динамики уравнений такого типа очевидным образом представляет большой интерес.

В работе изучается несколько типов сингулярно возмущенных систем с бесконечномерным фазовым пространством: исследуются уравнения с большим запаздыванием и уравнения параболического типа с малой диффузией. Для них решается задача исследовать локальную динамику, т. е. поведение решений при Ь ^ то в некоторой малой фиксированной окрестности состояния равновесия, и найти асимптотическое приближение установившихся режимов.

Рассматриваемые в работе уравнения с запаздыванием возникают естественным образом в качестве математических моделей во многих приложениях [1-6], особенно в биологии [7-10], медицине [11-14], нейродинамике [15-17], радиофизике и электронике [18-20], лазерной физике [21-24] и системах обработки и передачи информации [25,26]. Среди них важное место занимают системы, в которых время запаздывания относительно велико. Также, математическими моделями широкого класса задач являются системы уравнений параболического типа [27-37] и задачи, содержащие распределение по пространственной переменной [9,10,15,34,35,38-44]).

Вопросы асимптотического приближения решений сингулярно возмущенных уравнений исследовались многими авторами. Большой цикл работ А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, Н. Н. Нефедова, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розова, С. А. Ломова (см. например, [45-47]) посвящен асимптотике решений таких уравнений с произвольным начальным условием на конечном отрезке времени.

В настоящей работе развивается и обобщается асимптотический метод исследования локальной динамики в окрестности состояния равновесия, предложенный Ю. С. Колесовым для уравнений с малой диффузией (см., например, [48]) и перенесенный С. А. Кащенко на уравнения с большим запаздыванием [49] и уравнения с отклонением пространственной переменной [50]. Главное отличие этих статей от настоящей работы состоит в том, что малые параметры находятся в одном, строго заданном соотношении.

Мультистабильность, индуцированная запаздыванием обсуждается в работах М. Воль-фрума, С. Янчука, Т. Эрню и других авторов (см., например, [51-53] и ссылки в них). Для лазерных систем мультистабильность была описана ранее в работах Е. В. Григорьевой, С. А. Кащенко, Г. Хакена [54,55] методами нелокального анализа релаксационных режимов.

Вопросы существования и устойчивости решений определенного вида в сингулярно возмутденных уравнениях параболического типа изучались многими авторами (см., например, [56-62]). Численные исследования параболических систем описаны, например, в работах Т. С. Ахромеевой, С. П. Курдюмова, Г. Г. Малинецковго, А. А. Самарского, С. Д. Глызина, А. Ю. Колесова, Н. X. Розова [63-66].

Динамика решений функционально-дифференциальных уравнений с частными производными и отклонением пространственного аргумента изучалась в работах А. В. Разгулина, П. Перликовского, С. Янчука, А. Л. Скубачевского, С. А. Кащенко, Е. П. Белана, А. Ю. Колесова, С. Д. Глызина, Н. X. Розова и др. [67-74].

Отметим, что В. П. Масловым разработан способ построения асимптотических по невязке решении на бесконечном промежутке времени — метод канонического оператора [75]. Способы, которые будут применяться в работе, созвучны с методом канонического оператора,

но опираются на идеологически другой подход, использующий формализм метода нормальных форм [76-78].

Цели и задачи

Целями работы являются^ во-первых^ необходимость разработать эффективный, универсальный метод, пригодный в том числе и для инженерных расчетов, исследования локальной (в окрестности состояния равновесия) динамики сингулярно возмущенных систем с бесконечномерным фазовым пространством. Во-вторых, предложить алгоритм построения с помощью разработанного метода асимптотических приближений установившихся решений. В-третьих, дать объяснение сложным динамическим эффектам, возникающих в уравнениях с большим запаздыванием и в пространственно-распределенных системах.

В диссертационной работе исследуются уравнения и системы уравнений с запаздыванием различного вида, системы параболического типа, в том числе содержащие запаздывание и интегральное распределение по пространственной переменной. Исследования проводятся для уравнений с одним запаздыванием, уравнений с двумя запаздываниями, уравнений, содержащих распределенное запаздывание, а также запаздывание, зависящее от неизвестной функции; для сингулярно возмущенных уравнений параболического типа, а также параболических уравнений с запаздыванием и распределением по пространственной переменной.

Для всех изучаемых уравнений и систем ставится задача исследовать поведение решений из некоторой малой фиксированной окрестности состояния равновесия. Для решения этой задачи, в свою очередь, ставятся задачи:

- провести анализ расположения корней характеристического уравнения, выделить критические случаи;

- в случаях, близких к критическим, свести исходную сингулярно возмущенную задачу к семейству эволюционных уравнений - квазинормальных форм (как правило, это уравнения параболического типа);

- получить явные формулы для асимптотических по невязке решений исходных задач.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Разработан метод исследования сингулярно возмущенных систем в критических случаях бесконечной размерности при различных соотношениях малых параметров. Суть этого метода состоит в сведении с помощью асимптотической замены исходной задачи к квазинормальной форме, не содержащей малых параметров.

2. Для применения метода были построены асимптотические приближения корней характеристических уравнений. Эти асимптотические приближения являются, с одной стороны, достаточно простыми для дальнейшего анализа, а с другой - позволяют строить замены для построения квазинормальных форм.

3. Разработанный метод применен к широкому классу сингулярно возмущенных задач: задачам с одним и двумя запаздываниями, распределенным запаздыванием, запаздыванием, зависящим от искомой функции, а также к задачам, содержащим распределение по пространственному аргументу. Для всех задач построены квазинормальные формы, которые не содержат вообще малых параметров, либо зависят от него регулярно. Показано, что квазинормальные формы, как правило, являются семействами нелинейных краевых задач параболического типа.

4. Показано, что решения квазинормальных форм являются нулевым приближением для асимптотических по невязке решений исходных задач. Приведены равномерные асимптотические формулы.

5. Математически описано в поставленных задачах явление гипермультистабильности, т. е. ситуации, когда количество установившихся режимов неограниченно возрастает при подходящем выборе малых параметров.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая ценность научной работы определяется тем, что предложенный метод квазинормальных форм является достаточно универсальным и может применяться для исследования большого класса сингулярно возмущенных задач с бесконечномерным фазовым пространством.

Исследованные системы с запаздыванием являются основами для математических моделей, описывающих различные классы лазеров, результаты относительно их динамики представляют интерес при изучении оптоэлектронных систем, систем передачи информации. Уравнения с распределением по пространственной переменной используются в задачах химической кинетики, поэтому результаты о динамике таких систем также имеют большое прикладное значение.

Разработанный метод построения приближенных решений сингулярно возмущенных систем позволяет получать явные формулы для решений и будет полезен при инженерных расчетах.

Методология и методы исследования

Основной используемый в работе метод - это метод построения так называемых квазинормальных форм для произвольного соотношения малых параметров. Это асимптотический метод, суть которого состоит в том, что система, параметры которой близки к критическим значениям, с помощью специальной замены сводится к семейству уравнений, не содержащих малых параметров либо зависящих от них регулярным образом. Решения квазинормальной формы доставляют главные части (и определяют построение следующих приближений) асимптотических по невязке решений равномерно при всех положительных значениях времени. Метод квазинормальных форм имеет в своей основе методы нормальных форм, которые в бесконечномерных критических случаях непосредственно неприменимы.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработан метод сведения сингулярно возмущенной задачи в бесконечномерном критическом случае к специальному семейству эволюционных уравнений, не содержащего малого параметра, либо зависящего от него регулярным образом, - квазинормальной форме.

2. В бесконечномерных критических случаях в задачах об устойчивости состояния равновесия построены специальные асимптотические представления корней характеристических уравнений.

3. Построены квазинормальные формы и приведены явные асимптотические формулы, связывающие решения исходных уравнений и построенных квазинормальных форм, для задач первого и второго порядка с одним большим запаздыванием, а также уравнений и систем с сильным запаздывающим управлением.

4. Выделены области устойчивости и неустойчивости состояния равновесия, а также критические случаи в уравнениях с двумя запаздываниями, в случае когда хотя бы одно из них велико, а также для уравнений с распределенным запаздыванием и запаздыванием, зависящим от неизвестной функции. Построены полные наборы квазинормальных форм, получены формулы для асимптотических приближений решений в критических случаях.

5. Приведена классификация критических случаев в сингулярно возмущенных двух-компонентных параболических системах. Построены квазинормальные формы, получены формулы для асимптотических приближений решений.

6. Развитые методы применены к задачам с запаздыванием и малой диффузией, а также к задачам, содержащим с распределение по пространственной переменной. В критических случаях построены квазинормальные формы, получены результаты относительно асимптотических по невязке решений таких задач.

7. Показано, что важную роль играет соотношение между малыми параметрами: основным, характеризующим «размер» области определения, и малым параметром, характеризующим «надкритичность», т. е. отклонение спектра соответствующего линейного оператора от мнимой оси. Как правило, увеличение «надкритичности» приводит к появлению семейств квазинормальных форм, зависящих от произвольных параметров и, как следствие, к гипер-мультистабильности.

8. Показано, что в ряде случаев присутствует чувствительная зависимость решений от малого параметра, выражающаяся в том, что при стремлении малого параметра к нулю в системе может идти бесконечный процесс прямых и обратных бифуркаций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика сингулярно возмущенных нелинейных систем с запаздыванием и систем параболического типа»

Апробация работы

Результаты, изложенные в тексте диссертации, докладывались на следующих международных и российских научных конференциях и семинарах: «Тихонов и современная математика» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2006); «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль, ЯГТУ, 2007); «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, СГУ, 2007, 2010, 2013, 2016); «Synergetics: Self-Organization Principles in Animate and Inanimate Systems» (Германия, Бад Хоннеф, Физический центр, 2007), воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна (Воронеж, ВорГУ, 2008); международная научная конференция памяти А.Ю. Левина «Математика, кибернетика, информатика» (Ярославль, ЯрГУ им. П.Г. Демидова, 2008); научная школа «Нелинейный волны» (Нижний Новгород, III1Ф РАН, 2010, 2012); IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES2010) (Германия, Дрезден, 2010); «Nonlinear Dynamics on Networks» (Киев, 2010); «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, СамГУ, 2011); «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к проблемам естествознания» (Москва, ИМ РАН им. Стеклова, 2011); «Emergent Dynamics of Oscillatory Networks» (Меллас, 2012); «Foundations & Advances in Nonlinear Science and Advances in Nonlinear Photonic» (Минск, БГУ, 2012, 2014, 2016); «Моделирование и анализ информационных систем» (Ярославль, ЯрГУ, 2012); «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», посвященная 90-летию со дня рождения академика Е. Ф. Мищенко (Москва, ИМ РАН им. Стеклова, 2012); «Dynamics, Bifurcations and Strange attractors», посвященная памяти Л. П. Шильникова (Нижний Новгород, ННГУ, 2013); «Нелинейная динамика и ее приложения», посвященная 150-летию со дня рождения П. Пенлеве (Ярославль, ЯрГУ, 2013); международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, РУДН, 2014, 2017); «Актуальные проблемы математической физики» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2014); «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование» (Москва, НИЯУ МИФИ, 2015, 2016, 2017); «Nonlinear Photonics: intheory, Materials, Application» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2015); «Infinite-dimentional dynamics, dissipative systems, and attractors» (Ннижний Новгород, ННГУ, 2015); «Нелинейные методы в физике и механике» (Ярославль, ЯрГУ, 2015); «13th Annual Workshop on Numerical Methods for Problems with Layer Phenomena» (Москва, МГУ им. M. В. Ломоносова); «Dynamics, Bifurcations and Chaos» (Нижний Новгород, ННГУ, 2016, 2017); «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики»

(Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2016); «Dynamics Days Europe» (Венгрия, Сегед, 2017); «Новые тенденции в нелинейной динамике» (Ярославль, ЯрГУ им. П. Г. Демидова, 2017); «Shilnikov Workshop 2017» (Нижний Новгород, ННГУ, 2017).

Результаты заслушивались на заседаниях следующих научных семинаров: «Нелинейная динамика» под руководством профессоров С. Д. Глызина и С. А. Кащенко (Ярославль. ЯрГУ им. П.Г. Демидова, 2007-2017); «Nichtlineare Dynamik» под руководством профессора Б. Фидлера (Германия, Берлин, Свободный университет, 2010), «Laser Dynamics» под руководством профессора А. Владимирова (Германия, Берлин, Институт анализа и стохастики им. Вейерштрасса, 2010, 2012, 2013); семинар кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессоров В. Ф. Бутузова и Н. Н. Нефедова (Москва, МГУ, 2012, 2016); семинар кафедры общей математики факультета ВМК МГУ под руководством профессора И. С. Ломова (Москва. МГУ, 2016); семинар кафедры высшей математики МЭИ под руководством профессоров В. Ф. Сафонова и А. А. Бободжанова (Москва. МЭИ, 2016); семинар кафедры математической физики факультета ВМК МГУ под руководством профессора А. В. Разгулина (Москва, МГУ, 2016); семинар «Асимптотические методы в математической физике» под руководством профессора С. Ю. Доброхотова (Москва, ИПМех им. А.Ю. Ишлинского РАН, 2016); семинар «Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения» под руководством профессора А. Л. Скубачевского (Москва, РУДН, 2017); семинар лаборатории «Хаотические динамические системы» ФИЦ «Информатика и управление» РАН ИСА (Москва, ФИЦ «Информатика и управление» РАН ИСА, 2017).

Публикации

Результаты диссертации полностью опубликованы. Основные работы [79-107] опубликованы в рецензируемых изданиях, входящих в список ВАК, базы Web of Science, Scopus.

Работы [79,80,82,83,86,87,89,93,94,97,104,106,107] выполнены без соавторов.

Работы [81,84,85,90-92,95,96,99-103,105] посвящены задачам, которые в разное время исследовались Кащенко С.А. в одном частном случае. Соавтором сделана постановка задачи и получены результаты, относящиеся к одному (базовому) случаю соотношения между малыми параметрами Это не выносится на защиту. В то время как метод исследований и новые результаты принадлежат автору диссертационной работы.

В работах [88,98], выполненных совместно с Григорьевой Е. В. и Кащенко С. А., соавторам принадлежат физическая и математическая постановка задачи, выделение критических случаев, а также трактовка полученных результатов. Это не входит в диссертацию и на защиту не выносится. Автору диссертационной работы принадлежит метод исследований, построенные квазинормальные формы, асимптотические формулы и итоговые теоремы.

Объекты исследования

В работе изучается несколько типов сингулярно возмущенных систем с бесконечномерным фазовым пространством: исследуются уравнения с большим запаздыванием и уравнения параболического типа с малой диффузией. Отметим, что уравнения с малой диффузией эквивалентны уравнениям, заданным на асимптотически большой области изменения пространственной переменной. Таким образом фазовое пространство в каждой задаче - это пространство функций с большой областью определения.

Основная задача, которая решается, - это задача исследования локальной динамики этих систем, т. е. поведения решений при t ^ ж в некоторой малой фиксированной окрестности состояния равновесия.

Центральное место исследований занимает изучение критических случаев - ситуаций, когда теорема об устойчивости по первому приближению не применима из-за того, что есть корни характеристического уравнения, сколь угодно близкие к мнимои оси. Главный ре-

зультат - описание поведения решений в таких случаях, а также асимптотический метод, с помощью которого исходная система сводится к квазинормалъной форме - уравнению без малых параметров, поведение решений которого доставляет главную часть асимптотического приближения решений исходной задачи.

При изучении случая, близкого к критическому, возникает второй малый параметр. Соотношение малых параметров играет важную роль и открывает путь к объяснению феномена гипермультистабильности - ситуации, когда количество установившихся решений может быть сколь угодно большим. Это объясняется тем фактом, что в качестве квазинормальных форм, как будет показано, получим семейство уравнений, зависящее от произвольного параметра (либо набора таких параметров).

Приводятся способы построения асимптотического приближения устойчивых решений для исходного уравнения.

Общая идея исследований

Предположим, что поставлена задача исследовать поведение решений в окрестности состояния равновесия нелинейного уравнения, содержащего малый параметр е, причем зависимость от этого параметра сингулярная. Например, е стоит при старшей производной в уравнении с запаздыванием, либо при коэффициенте диффузии в уравнении параболического типа.

Идея исследований состоит в следующем. Для определения поведения решений вблизи состояния равновесия линеаризуем исходную задачу и построим характеристическое уравнение. Затем в пространстве параметров выделим области, когда при всех достаточно малых

е

нуля вещественные части. При таких значениях параметров в исходной задаче наблюдается тривиальная динамика - все решения из некоторой малой (но фиксированной) окрестности

е

область параметров, при которых существует отделенный от мнимой оси корень характеристического уравнения с положительной вещественной частью. В этой области динамика становится нелокальной - в некоторой фиксированной окрестности состояния равновесия при

е

что при таких значениях параметров существует корень характеристического уравнения, сколь угодно близкий к мнимой оси (и при этом нет корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от мнимой оси). В работе изучаются случаи, когда число таких корней бесконечно. Такие критические случаи будем называть бесконечномерными. Дальнейшие исследования посвящены изучению ситуации, когда параметры близки к критическим. На этом этапе появляется еще один малый параметр

Далее нам потребуется выписать асимптотические приближения для корней характеристического уравнения, которые стремятся к мнимой оси. В простейших ситуациях такие корни можно представить в виде

Аи(е, ц) = ±гАо(е) + гкАт(е) + епАи2(е) + + • • •, к €

Здесь А0(е) некоторая те зависящая от к величина (допустимо А0(е) ^ то), Ат(е) близка к константе, п - некоторая константа, а Аи2 представляется в виде Аи2 = (^к2 + й2к + ^3) + о(1). Важно отметить, что всегда Яв < 0.

Предположим, что малые параметры связаны: ц = аеа. Тогда в случае а > п имеем еа = о(еп), а значит влияние ц слишком мало. Поэтому этот случай равносилен случаю а = п а = 0 а < п учесть вещественные из Аи2 необхо-

димо рассмотреть номера к, которые имеют порядок е(а~п)2. Нам будет удобно представить их как (хе^а~'П)/2 + вг(е))к. Здесь г — произвольное, фиксированное число, а вг(е) € [0,1) дополняет ге(а~п')/2 до целого значения. При таких номерах оба «главных» слагаемых в Яе Аи

е идея состоит в том, чтобы построить специаль-

ную замену, с помощью которой можно упростить исходную задачу. Такую замену бы будем строить в виде асимптотического ряда

x(t,e) — eh (exp(Anit)u + exp(-\nit)u) + e02u + e03щ + o(e&3), (1)

где функция u — u(r,r), дъ Uj — Uj (t, т, r). Причем зависимость щ u2 и u3 от t и r периодическая. Через т обозначено медленное время, r — \imt, 0 < ^ < ô2 < S3. Подставляя этот формальный ряд в исходную задачу и собирая слагаемые одного порядка малости, мы последовательно получим уравнения относительно u2 и u3. Условие разрешимости этих уравнений в классе периодических функций будет представлять из себя эволюционное уравнение отно-u

Обычно, квазинормальная форма - это параболическая система, которая не содержит малых либо больших параметров.

Изложенные идеи применяются к различным задачам. Опишем кратко полученные результаты.

Уравнения с одним большим запаздыванием

В главе 1 изучается локальная динамика в окрестности состояния равновесия уравнений и систем уравнений с одним большим запаздыванием. Рассматриваются уравнения первого и второго порядков, а также системы таких уравнений. В том числе будут рассмотрены уравнения с большим коэффициентом запаздывающей обратной связи и системы уравнений, связанных через сильное запаздывающее управление - они сводятся к задачам с большим запаздыванием. В завершение главы, в качестве приложения, рассматривается система с запаздыванием, возникающая в задачах лазерной динамики.

В §1.1 изучается поведение решений в окрестности нулевого состояния равновесия скалярного дифференциально-разностного уравнения первого порядка

dx

— + x — F(x(t - T)), x E R.

dt

Здесь T > 0, a F (x) достаточно гладкая функция (F (0) — 0). Главным предположением является то, что время запаздывания является достаточно большим, т. е. T ^ 1. В качестве фазового пространства этой системы удобно выбрать пространство непрерывных на отрезке длины T функций С—та] со стандартной нормой. После перенормировки времени приходим к эквивалентной задаче в пространстве С[_1)о].

eddx + x — F(x(t - 1)). (2)

dF

Пусть a — —j— (0) Установлено, что при |a| < 1 все решения (2) из некоторой окрестности нулевого состояния равновесия стремятся к нулю, т. е. динамика тривиальна. При | a| > 1 в некоторой окрестности нуля нет устойчивых решений - динамика становится нелокальной. В дальнейшем исследовании нуждается случай, когда a — ±(1 + a1ep).

В случае a — (1 + a1ep) замена, аналогичная (1), имеет вид

x(t, e) — epu(T, r) + e2pu2(T, r) + ...,

где т — ept, r — (ze~Y + Qz + el~Y(z + o(1)))t, a u(T,r) и u2(T,r) периодичны по второму аргументу с периодом 1. Подставим это в уравнение (2) и будем собирать слагаемые при одинаковых степенях малого параметра. Из разрешимости уравнения относительно u2 в классе

u

du z2 32u 2

дт — 2~âr2 + aiu - J2u , u(T,r) — u (т,г + 1). (3)

Отметим, что выбор г был абсолютно произволен. Следовательно, если мы возьмем другое значение параметра г = г1у то получим аналогичную (3) краевую задачу, но с другим значением параметра. Таким образом, мы получили сразу целый класс уравнений, являющихся квазинормальными формами. Однако, у краевой задачи (3) могут быть устойчивы только пространственно-однородные состояния равновесия^ которые не зависят от выбора г. Таким образом связь решений квазинормальной формы (3) и уравнения (2) описывается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть а1 > 0. Тогда нулевое решение уравнения (2) неустойчиво, и существует

асимптотически устойчивое стационарное решение х0(Ь,е), допускающее представление

а

хо(1,е) = ер а1 (1 + о(1)). /2

Если же а1 < 0, то нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво, а решение х0(Ь,е) неустойчиво.

Ситуация в случае а = — (1 + а1ер) более интересная. Замена принимает вид

х(Ь, е) = ер/2и(т, г) + ери2(т, г) + е3р/2 и3(т, г) + ...,

где т = ерЬ, г = (ге-1 + 9г + е1-1 (г + o(1)))t. Действуя так же, как и выше, получим для определения и(т,г) уравнение параболического типа

ди х2 д2и

дт = 2 дк2 + а1и + (/2 + /з)и3, и(т,г) = —и(т,г + 1). (4)

Так же, как и выше, мы получили в качестве квазинормальной формы семейство краевых задач (4), зависящее от непрерывного параметра г. При различных значениях параметра динамика этой задачи может быть, вообще говоря, различной.

Теорема 2. Пусть при некотором фиксированном г краевая задача (4), имеет периодическое по т решение и*(т, г). Тогда исходное уравнение (2) имеет асимптотическое по невязке с точностью до 0(е2р) решение вида

х*(Ь, е) = ер/2щ(т,г) — ер ^ и2 (т,г) — еЪр/22/2и^{т,г) ^ (т,г),

2 дг

где т = ерЬ, а г = (гер/2-1 + 0Х + ер/2(г + о(1)))Ь.

Замечание. Если дополнительно потребовать грубость периодического решения и*(т,г), то можно построить асимптотическое по невязке решение с любой точностью.

Замечание. Условие периодичности и*(т,г) по т можно заменить требованием ограниченности и* (т, г) вместе со своими производными вплоть до третьего порядка.

Замечание. Из последней теоремы нельзя сделать вывод, существует ли у (2) точное решение с приведенной асимптотикой. Однако, можно утверждать, что если и* неустойчиво, то даже если точное решение и существует, то оно заведомо неустойчиво. Поэтому рассматривать нужно только устойчивые решения квазинормальной формы.

В конце параграфа приведено сравнение полученных асимптотических формул и результатов численного исследования.

В §1.2 мы изучим поведение решений уравнения второго порядка с запаздыванием

сРх йх

— + а— + х = ах(Ь — Т) + ^(х(Ь — Т)), х Е К аЬ2 аЬ

при условии Т ^ 1 и а > 0. Функция Г имеет в нуле порядок малости выше первого. После перенормировки времени приходим к уравнению с малым множителем при производной

(О1 X (X

е2 — + еа— + х = ах(Ь - 1) + Г(х(Ь - 1)). (5)

аЬ2 аЬ

Таким образом, стоит задача исследовать поведение решений (5) в некоторой малой, но не зависящей от е, окрестности состояния равновесия в фазовом пространстве непрерывно дифференцируемых функций на отрезке единичной длины С—щ.

Устойчивость нулевого решения (5) существенно зависит от а. Для формулировки результата введем функцию а(а)

{ 1, а >

а(а) = \ а у/1 - а2/4, а<^2.

Если |а| < а(а), то при достаточно малых е нулевое решение (5) асимптотически устойчи-

е

окрестности стремятся к нулю. Если |а| > а(а), то нулевое решение (5) неустойчиво и в его

е

Критические случаи возникают при а = ±(а(а) + ера1) (0 < у ^ 1). При а > л/2 исследование этих ситуаций не имеет принципиальных отличий от аналогичных для уравнения первого порядка. Пусть 0 < а < л/2.

При р = 2 получаем в качестве квазинормальной формы комплексное параболическое уравнение типа Гинзбурга-Ландау

ди д 2и ди

— = ((1 +1(2+ 2(1(в(е) + Ы)—г + (1(9(е) + 9)2и + а1и + (з|и|2и, и(т,г) = и(т,г + 1). (6) дт дг2 дг

Точные значения параметров здесь приводить не будем, отметим только, что (1 > 0, а функция 9(е) такова, что ее значения лежат в полуинтервале [0; 2п) и е-1 ш0 + 9 является кратным 2п числом. Таким образом, коэффициенты уравнения (6) через 9 зависят от малого параметра е. При е — 0 функция 9(е) принимает бесконечное количество раз каждое значение из промежутка [0, 2п). Обозначим через еп = еп(а) такую последовательноеть, что еп(а) — 0 и 9(еп(а)) = а (а Е [0, 2п)). Итоговый результат будет сформулирован уже не для всех сколь угодно малых е, а только для элементов последовательности еп(а).

Теорема 3. Пусть при 9 = а Е [0, 2п) краевая задача (6) имеет периодическое решение и*(т,т). Тогда уравнение (5) при е Е {еп(а)} имеет асимптотическое по невязке (при п — ж) с точностью до О (е^) равномерно по Ь ^ 0 решение вида

х*(Ь,е) = е (ехр (йо) щ(е2Ь, т) + ехр (—Но) щ(е2Ь, т)) ,

где Ь0 = (е_1ш0 + 9 + О(1))Ь, т = (1 + о(1))Ь.

9

динамику. Это дает бесконечный процесс прямых и обратных бифуркаций в (5) при е — 0.

р < 2

ди д2 и

— = ( + (2 + а1и + ¿зЫ^и, и(т,т) = и(т,т + 1). (7)

дт дт2

Здесь присутствует произвольный параметр г, однако, здесь нет зависимости от 9.

Теорема 4. Пусть при некотором г = 0 краевая задача (7) имеет периодическое решение и*(т,т). Тогда уравнение (5) имеет асимптотическое по невязке с точностью до 0(ер) равномерно по Ь ^ 0 решение вида

х*(Ь,е) = ер/2 (е'°ги*(ер1,т) + е-г°гй^(ерг,т)) ,

где т = (ге1-р/2 + в, + а(1))Ь, ^ = (е-1и0 + в + 0(1))г.

Довольно много задач приводит к необходимости изучения нелинейных систем с запаздыванием вида

й = е(и) + к(и(г) — и(г — Т)), и е кга, где К и Т положительные параметры. Слагаемое К (и (г) — и(Ь — Т)) будем называть запаз-

к

фициент управления) является достаточно большим: К ^ 1. Все построения будет удобно проиллюстрировать на простейшем, и в то же время достаточно распространенном комплексном уравнении Стюарта-Ландау

и=[а + ¿\и\2]и + К (и(г — Т) — и(г)),

в котором а0 = Яе а > 0 й0 = Яе й < 0, а запаздывание Т > 0

К

еи = е[а + ¿\и\2]и + и(Ь — Т) — и(Ь), е = К-1 < 1. (8)

Основной результат состоит в том, что при достаточно малых е квазинормальной формой для уравнения (8) является семейство краевых задач

Т^Г = Т2г2 5X2 + а£ + й\£\% £(т, х + Т) = £(т, х). (9)

Теорема 5. Пусть краевая задача (9) имеет при некотором значении г периодическое по т решение £0(т,х). Тогда уравнение (8) имеет асимптотическое по невязке решение и0(Ь,е) с точностью до 0(е) равномерно по Ь ^ 0, для которого

и0(г,е) = е2£0 (еЬ, 2пТ-1(ге-2 + в,)(1 — еТ-1 .

Также разработанные методы применены к некоторым более общим — зависящим от еще одного параметра ф е [0, 2п) — уравнениям:

и = [а + и\2 ]и + Кегф[и(г — Т) — и]

и

и = [а + ¿\и\2]и + К [егф и(Ь — Т) — и].

К

Т > 1.

В §1.4 рассмотрена задача изучения динамических свойств системы

и = Р(и) + К [у(г — Т) — и], кга

ь = с(ь) + К [и(г — Т) — у], и ,У '

К является достаточно большим. После деления на К, эта система преобразуется к виду (е = К 1 1)

еи = еЕ (и) + у(Ь — К) — и, , ч

(10)

еу = еС(у) + и(г — К) — у.

В качестве квазинормальной формы здесь выступает система двух параболических уравнений, зависящая от произвольного параметра г

д£

1

д 2£

^ = 4 Г(£ + п) + Г(£ - п) + С(£ + п) + С(£ - п)] + 2к дт2,

дп 1

д 2п

дт = 4 Г(£ + п) - Г(£ - п) + о(£ + п) - с(£ - п)] + 2к дт2

с краевыми условиями

£(т, т + 1) = £(т, т), п(т, т + 1) = -п(т, т).

(П)

(12)

(13)

Теорема 6. Пусть при некотором значении г краевая задача (11)-(13) имеет периодическое по т решение (£0(т,т),п0(т,т)). Тогда систем,а уравнений (10) имеет асимптотическое по невязке с точностью до О(е) при е — 0 равномерно по Ь ^ 0 решение

( и(г,е)\ = ( £0(т,т) + т(т,т) \ \ь(г,е)) V £0(т,т) - п0(т,т) )

где т = еЬ,т = пН_1(ге_1/2 + 9Х)(1 - ек_1)Ь.

Развитые методы применены для исследования математических моделей лазерных систем. В §1.5 рассмотрена система уравнений Лэнга-Кобаяши для комплексной амплитуды электрического поля Е(Ь) и инверсии носителей у(Ь) полупроводникового лазера:

(Е 1

— = -у(1 + га)(у - 1)Е + Ъегф0Е(Ь - Т),

(ь = 5 - у - у ^| .

В отличие от предыдущих задач, здесь в качестве квазинормальной формы выступает более сложное уравнение

тди 1 2 д 2и дт 2 дх2

ди

+ га^^г——+ ти дх

1

1

сТ

5 1 1 + Т ]0 ЫТ,^ ¿в

)

1

- (1 - с)

и(т, х + Т) = и(т, х) .

Периодическому решению этой задачи соответствует такое асимптотическое по невязке с точностью до О(е1/2) равномерно по Ь ^ 0 решение Е(Ь,е), у(Ь,е), для которого

Е(Ь,е)=ехр(гф(1 - Т)Ь)и(т,х) + О(е1/2),

у(Ь, е) = ^ 1 + Т 0 | и(т, в) ^ + О(е1/2)

где т = еЬ,х = (ге_1/2 + 9)(1 - т

Уравнения с двумя запаздываниями

Глава 2 посвящена локальной динамике более сложных объектов - уравнений с двумя запаздываниями вида

х + х = f (х,х(Ь - Т),х(Ь - Т^), х Е К,

где 0 < Т < Т1. Такие уравнения^ во-первых^ являются естественным обобщением уравнений с одним запаздыванием, а во-вторых, часто возникают при моделировании процессов в медицине, математической биологии, лазерной физикеи других отраслях знаний.

2

2

Как и в главе 1, основным предположением является то, что хотя бы одно запаздывание является достаточно большим. В силу этого, изучаются три основные задачи. В §2.1 одно запаздывание предполагается большим, а второе фиксированным. В §2.2 оба запаздывания асимптотически велики и при этом одинаковы по порядку. Наконец, в §2.3 оба запаздывания велики, но при этом различны по порядку.

Уравнение, изучаемое в §2.1, после нормировки времени принимает вид

ex + x = ax(t — eT) + bx(t — 1) + f (x), (14)

Ставится задача исследовать локальную динамику в некоторой окрестности нуля фазового пространства C[_1;0] при достаточно малых е.

Пусть ш(Т) - это наименьший положительный корень уравнения —ш = tg шТ. Определим значение a0(T) = — ^/Y+U^T). Пусть P(ш) — комплексная функция вещественного аргумента ш такая, что P(ш) = гш + 1 — a exp(—iuT) = р(ш) ехр(гф(ш)). Обозначим bo = bo(a) = min р(ш) = р(шо).

При a0(T) < a < 1 и \b\ < b0 динамика уравнения (14) тривиальная, а при a > 1, a < a0(T) или \b\ >b0 нелокальная. Таким образом, в рассмотрении нуждаются случаи b = ±b0(1 + epbi).

Если точкой минимума функции р является ноль, т.е. ш0 = 0, то соответствующие квазинормальные формы - это скалярные параболические уравнения с периодическими краевыми условиями. Все их устойчивые решения - это пространственно-однородные состояния равновесия. Справедлив результат аналогичный теореме 1.

Если же ш0 > 0, то результаты отличаются для p = 2 и для p < 2. Так, при p = 2 квазинормальная форма - это комплексное уравнение типа Гинзбурга-Ландау

du d2u du 2

= di7—т + + a3u + du\u\ , п(т,г) = п(т,г + 1), (15)

дт dr2 дг

где коэффициенты d2 и d3

зависят от

00 = 00(е) - функции со значениями из [0, 2п), такой что ш0е-1 + 90 кратно 2п. При е ^ 0 функция 00(е) принимает бесконечное количество раз каждое значение из промежутка [0, 2п). Обозначим через еп(а) такую последовательность, что еп(а) ^ 0 и 90(еп(а)) = а (а Е [0, 2п)).

Теорема 7. Пусть при 90 = а уравнение (15) имеет периодическое по т решение щ(т,г). Тогда исходное уравнение (Ц) при е = еп(а) имеет асимптотическое по невязке решение с точностью до 0(е2) равномерно по t ^ 0

x*(t) = е (eit0u*(еЧ,t(1 — еф(ш0)) + e_it0й*(еЧ^(1 — еф'М)) , где t0 = t^0е-1 + 00 + 0(1)). p < 2

уравнений

du d2u

— = d1z+ b1u + du\u\2, u(т, r) = u (т,г + 1) , дт dr2

z

по невязке с точностью до O(е3р/2) равномерно по t ^ 0 решение (14) вида

x^t^) = ер/2 (в(ш0е-1+в0+°1))йщ(ерt,r) + в_(ш0е-1+в0+о(1))Ч*(еЧ,г)^ + о(ер/2), где r = (zер/2-1 + 0z + o(1))t.

Отдельного внимания заслуживают случаи а = 1 и а = а(Т). В этих случаях Ь0 = 0, т.е. мы имеем уравнение, в котором при большом запаздывании стоит малый множитель Ь = цЬ1 (ц ^ 1). Если а = 1 + ца1, то квазинормальная форма - это уравнение с запаздыванием

(1 + Т) = а1£(т) + Ь1£(т - це_1) + f2£2. (16)

Теорема 8. Пусть уравнение (16) имеет периодическое решение £*(т). Тогда уравнение (Ц) имеет асимптотическое по невязке решение с точностью до О(ц3) равномерно по Ь ^ 0 х(Ь,е) = ц£*(це_1 Ь).

Отметим, что если це_1 ^ 1, то уравнение (16) является уравнением с большим запаздыванием. Для исследования его динамики, в том числе, применимы методы, изложенные в главе 1.

Аналогично, при а = а(Т)(1+ ца1) и Ь = цЬ1 квазинормальная форма - это комплексное уравнение с запаздыванием

- А£ = В£(т - це_1) + а1|£|2£, (17)

периодические решения которого дают асимптотическое по невязке решение (14) с точностью О (ц2) равномерно по Ь ^ 0 вида

х*(Ь,е) = ц1/2 (£,(це_1Ь)егШ0(Т)е-1' + £,(це_1 Ь)в_шо(Т)е-1^ (1 + о(1)).

Таким образом, показано, что добавление второго запаздывания, даже асимптотически меньшего, чем первое, делает динамику сложнее.

В §2.2 изучается случай, когда оба запаздывания большие и одинаковые по порядку. После нормировки времени приходим к задаче

ех + х = ах(Ь - 1) + Ьх(Ь - к0 - еак1) + f (х). (18)

Как показано, важную роль играют алгебраические свойства числа к0. Принципиально раз-

к0

а

а < 1 а = 1 а > 1

Пусть к0 = гДе "п целые, взаимно простые числа. Опишем результаты линейного анализа. Для а < 1 получаем следующую теорему.

Теорема 9. Пусть а < 1. Тогда при |а| + |Ь| < 1 и достаточно малых е нулевое состояние

е

| а| + | Ь| > 1 е

(18) неустойчиво, и в его окрестности не существует устойчивых режимов.

Для описания результатов для а = 1 рассмотрим систему

{

1 = а сое П + Ь оо8(к00, + к1ш0), -и0 = а П + Ь 8т(к0П + к1ш0),

Обозначим через Б область на плоскости параметров (а, Ь), содержащую точку (0, 0), такую, что эта система неразрешима при значениях параметров из этой области.

Теорема 10. Пусть а = 1. Тогда при (а,Ь) Е Б и достаточно малых е все решения (18)

е

нулю. При (а,Ь) Е Б и всех достаточно малых е е некоторой малой (и не зависящей от е) окрестности нуля, нет устойчивых решений.

Наконец, рассмотрим оставшийся случай а > 1. Обозначим R(Q) = a cosQ + b cos k0Q. Так как k0 предполагается рациональным, то существует максимум этой функции. Обозначим его R0 = R0(a,b).

Теорема 11. Пусть а > 1. Тогда если R0 < 1, то при всех достаточно малых е нулевое состояние равновесия (18) асимптотически устойчиво, все решения из некоторой его фиксированной окрестности стремятся к нулю. Если R0 > 1, то при всех достаточно малых ее окрестности нет устойчивых режимов.

В критических случаях построены квазинормальные формы. Показано, что при а ^ 1 их роль играют семейства уравнений параболического типа, некоторые коэффициенты которых зависят от функции, аналогичной описанным ранее функциям в (е). В с лучае а < 1 ситуация существенно сложнее. Пусть

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кащенко Илья Сергеевич, 2018 год

Литература

[1] Кузнецов, С. П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) / С. П. Кузнецов // Известия вузов. Радиофизика. — 1982.

[2] Ланда, П. С. Автоколебания в распределенных системах / П. С. Ланда. — М. : Наука, 1983. - 320 с.

[3] Erneux, T. Applied delay differential equations / T. Erneux. — Berlin : Springer, 2009.

[4] Wu, J. Theory and applications of partial functional differential equations / J. Wu. — New York : Springer-Verlag, 1996.

[5] Delay Differential Equations and Applications / Ed. by O. Arino, M. Hbid, E. Ait Dads.

— New-York : Springer, 2006.

[6] Kolmanovskii, V. Introduction to the theory and applications of functional differential equations / V. Kolmanovskii, A. Myshkis. — Berlin : Springer Science & Business Media, 2013.

[7] Горяченко, В. Д. Исследование динамики численности отдельной популяции с учетом последействия. Краткий обзор / В. Д. Горяченко // Нелинейные колебания и экология.

— Ярославль : ЯрГУ, 1984. — С. 66-82.

[8] Колесов, Ю. С. Устойчивость и бифуркация бегущих волн / Ю. С. Колесов / / Нел и-неиные колебания в задачах экологии. — Ярославль : ЯрГУ, 1985. — С. 3-10.

[9] Свирежев, Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии / Ю. М. Свирежев. — М. : Наука, 1987.

[10] Winfree, A. T. The geometry of biological time, 2nd edition / A. T. Winfree. — New-York : Springer, 2002.

[11] Age-structured and delay differential-difference model of hematopoietic stem cell dynamics / M. Adimy, A. Chekroun, T.-M. Touaoula, Y. Kuang // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. — 2015. — Vol. 20. — P. 2765-2791.

[12] Banerjee, S. Immunotherapy with interleukin-2: a study based on mathematical modeling / S. Banerjee // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. — 2008. — Vol. 18, no. 3. — P. 389-398.

[13] Jafelice, R. Study of the dynamics of HIV under treatment considering fuzzy delay / R. Jafe-lice, L. Barros, R. Bassanezi // Computational and Applied Mathematics. — 2014. — Vol. 33. — P. 45-61.

[14] Ryser, M. The cellular dynamics of bone remodeling: A mathematical model / M. Ryser, S. Komarova, N. Nigam // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 2010. — Vol. 70.

— P. 1899-1921.

[15] Haken, H. Brain dynamics; synchronization and activity patterns in pulse-coupled neural nets with delays and noise / H. Haken. — Berlin : Springer, 2002.

[16] Izhikevich, E. Polychronization: computation with spikes / E. Izhikevich // Neural computation. — 2006. — Vol. 18, no. 2. — P. 245-282.

[17] Кащенко, С. А. Модели волновой памяти / С. А. Кащенко, В. В. Майоров. — М. : Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009.

[18] Дмитриев, А. С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А. С. Дмитриев, В. . Кислов. — М. : Наука, 1989. — 280 с.

[19] Electronic chaos generators - design and applications / T. Kilias, K. Kutzer, A. Moegel, W. Schwarz // International Journal of Electronics. — 1995. — Vol. 79, no. 6. — P. 737-753.

[20] Elliott, D. F. Handbook of digital signal processing: engineering applications / D. F. Elliott. — London : Academic press, 2013.

[21] Lang, R. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang, K. Kobayashi // IEEE J. Quantum Electron. — 1980. — Vol. QE-16. — P. 347-35)5).

[22] Vladimirov, A. Model for passive mode locking in semiconductor lasers / A. Vladimirov, D. Turaev // Physical Review A. — 2005. — Vol. 72. — P. 033808.

[23] Dynamics of Fourier domain mode-locked lasers / S. Slepneva, B. Kelleher, B. O'Shaughnessy [et al.] // Optics Express. — 2013. — Vol. 21, no. 16. — P. 19240.

[24]

щенко. - M. : УРСС, 2012.

[25] Дмитриев, А. С. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи / А. С. Дмитриев, А. И. Панас. — М. : Физматлит, 2002.

Information processing using a single dynamical node as complex system / L. Appellant, M. Soriano, G. Van der Sande [et al.] // Nature Communications. — 2011. — Vol. 2, no. 468.

[27] Гинзбург, В. К теории сверхпроводимости / В. Гинзбург, Л. Ландау // ЖЭТФ. — 1950. - Т. 20. - С. 1064.

[28] Кудряшов, Н. А. Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие / Н. А. Кудряшов. — Долгопрудный : Издательский дом „Интеллект", 2010. — 368 с.

[29] Aranson, I. The world of cubic Ginzburg-Landau equation / I. Aranson, L. Kramer // Rev. Mod. Phys. — 2002. — Vol. 74. — P. 99-143.

[30] Turing, A. The Chemical Basis of Morphogenesis / A. Turing // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. — 1952. — Vol. 237. — P. 37-72.

[31] Kuramoto, Y. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems / Y. Kuramoto, T. Tsuzuki // Progress of Theoretical Physics. — 1975. — Vol. 54. — P. 687-699.

[32] Kuramoto, Y. Reductive perturbation approach to chemical instabilities / Y. Kuramoto, T. Tsuzuki // Progr. Theor. Phys. — 1975. — Vol. 52. — P. 1399-1401.

[33] Kuramoto, Y. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium / Y. Kuramoto, T. Tsuzuki // Progress of theoretical physics. — 1976.

— Vol. 55, no. 2. — P. 356-369.

[34] Haken, H. Synergetics; An Introducion, 3rd Revised and Enlarged Edition / H. Haken. — Berlin : Springer, 1983.

[35] Kuramoto, Y. Chemical oscillations, waves and turbulence / Y. Kuramoto. — New-York : Springer, 1984.

[36] Newell, A. C. Order parameter equations for patterns / A. C. Newell, T. Passot, J. Lega // Annual review of fluid mechanics. — 1993. — Vol. 25, no. 1. — P. 399-453.

[37] Pismen, L. M. Vortices in nonlinear fields: From liquid crystals to superfluids, from non-equilibrium patterns to cosmic strings / L. M. Pismen. — London : Oxford University Press, 1999.

[38]

стемах, охваченных двумерной обратной связью / С. А. Ахманов, М. Воронцов // Нелинейные волны. Динамика и эволюция. — М. : Наука, 1989. — С. 228-238.

[39] Leven, S. Pattern generation in space and aspect / S. Leven, L. Segel // SIAM Review. — 1985. — Vol. 27. — P. 45-67.

[40]

В. Г. Яхно. — M. : Наука, 1987.

Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback / E. V. Grigorieva, H. Haken, S. A. Kaschenko, A. Pelster // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1999. — Vol. 125, no. 1-2. — P. 123-141.

[42] Pikovcky, A. Synchronization; A universal concept in nonlinear science / A. Pikovcky, M. Rosemblum, J. Kurths. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2001.

[43] Kuramoto, Y. Coexisting of coherence and incoherence in nonlocally coupled phase oscillators / Y. Kuramoto, D. Battogtokh // Nonlinear phenomena in complex systems. — 2002.

— Vol. 5, no. 4. — P. 380-385.

[44] Kuramoto, Y. Reduction methods applied to non-locally coupled oscillator system / Y. Kuramoto // Nonlinear Dynamics and Chaos; Where do we go from here. — Bristol : IOP, 2003.

[45]

нений / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева. — М. : Наука, 1973.

[46] Мищенко, Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов. — М. : Наука, 1975.

[47] Ломов, С. А. Основы математической тории пограничного слоя / С. А. Ломов, И. С. Ломов. — М. : Издательство Московского университета, 2011.

[48] Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / А. Б. Васильева, С. А. Кащенко, Ю. С. Колесов, H. X. Розов // Математический сборник. - 1986. - Т. 130(172), № 4(8). - С. 488-499.

[49] Кащенко, С. А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной / С. А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25, № 8. — С. 1448-1451.

[50] Кащенко, С. А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухком-понентных систем с малой диффузией / С. А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25, № 2. - С. 262-270.

[51] Wolfrum, M. Eckhaus instability in systems with large delay / M. Wolfrum, S. Yanchuk // Physical Review Letters. — 2006. — Vol. 96. — P. 220201.

[52] Yanchuk, S. Delay and periodicity / S. Yanchuk, P. Perlikowski // Physical Review E. — 2009. — Vol. 79. — P. 046221.

[53] Erneux, T. Limit-cycle oscillators subject to a delayed feedback / T. Erneux, J. Grasman // Physical Review E. — 2008. — Vol. 78. — P. 026209.

[54] Nonlinear dynamics in a laser with a negative delayed feedback / E. V. Grigorieva, S. A. Kashchenko, N. A. Loiko, A. M. Samson // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1992. — Vol. 59. — P. 297-319.

[55] Grigorieva, E. Theory of quasiperiodicity in model of lasers with delayed optoelectronic feedback / E. Grigorieva, H. Haken, S. Kaschenko // Optics Communications. — 1999. — Vol. 165. — P. 279-292.

[56] с диффузией / E. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колесов, H. X. Розов. — М. : Физматлит, 2005.

[57] Кащенко, А. А. Устойчивость бегущих волн в уравнении Гинзбурга-Ландау с малой диффузией / А. А. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2011. - Т. 18, № 3. - С. 58-62.

[58] Бутузов, В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями / В. Бутузов, И. В. Неделько // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 2. — С. 198-208.

[59] Бутузов, В. Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения / В. Ф. Бутузов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 3. - С. 433-444.

[60] Periodic Solutions with a Boundary Layerof Reaction-Diffusion Equations with Singular-lyPerturbed Neumann Boundary Conditions / V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2014. — Vol. 24, no. 8. — P. 1440019.

[61] Божевольнов, Ю. В. Движение фронта в параболической задаче реакция — диффузия / Ю. В. Божевольнов, H. Н. Нефедов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. — Т. 50, № 2. — С. 276-285.

[62] Kashchenko, S. A. Bifurcational features in systems of nonlinear parabolic equations with weak diffusion / S. A. Kashchenko // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2005. — Vol. 15, no. 11. — P. 3595-3606.

[63] Нестационарные структуры и диффузионный хаос / Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1992.

[64] Глызин, С. Д. Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи «реакция-диффузия» / С. Д. Глызин // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33, № 6. - С. 805-811.

[65] Глызин, С. Д. Конечномерные модели диффузионного хаоса / С. Д. Глызин, А. Коле-сов, Н. X. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. _ 2010. - Т. 50, № 5. - С. 860-875.

[66] Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнении / А. Ю. Колесов, Н. X. Розов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 1994.

[67] Razgulin, A. V. Bifurcation modes in a nonlinear optical system with distributed rotation / A. V. Razgulin, K. A. Chechkina // Computational Mathematics and Modeling. — 1997.

— Vol. 8, no. 3. — P. 262-269.

[68]

системе с запаздыванием в контуре обратной связи / Т. Е. Романенко, А. В. Разгулин // Матем. моделирование. — 2014. — Т. 26, № 11. — С. 123-136.

[69] Routes to complex dynamics in a ring of unidirectionally coupled systems / P. Perlikowski, S. Yanchuk, M. Wolfrum [et al.] // Chaos. — 2010. — Vol. 20, no. 1. — P. 1-10.

[70] пространственно-неоднородных структур в когерентных нелинейно-оптических системах / С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1990. — Т. 29, № 2. — С. 467-473.

[71] Скубачевский, А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения / А. Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34. — С. 1394-1401.

[72] Skubachevskii, A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics / A. L. Skubachevskii // Nonlinear Analysis: TMA. — 1998. — Vol. 32. — P. 261-278.

[73]

ем сдвига пространственной переменной / Е. П. Белан // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1. — С. 3-34.

[74] Глызин, С. Д. Авто вол новые процессы в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // ТМФ. — 2014.

- Т. 181, № 2. - С. 254-275.

[75] Маслов, В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях / В. П. Маслов. — М. : Наука, 1977.

[76] Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. — М. : Наука, 1978. — 304 с.

[77] Марсден, Д. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Д. Марсден, М. Мак-Кракен. — М. : Мир, 1980.

[78] Брюно, А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А. Д. Брюно. — М. : Наука, 1979.

[79] Кащенко, И. С. Асимптотический анализ поведения решений уравнения с большим запаздыванием / И. С. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 421, № 5.

- С. 586-589.

[80] Кащенко, И. С. Локальная динамика уравнений с большим запаздыванием / И. С. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008. — Т. 48, № 12. - С. 2141-2150.

[81] Кащенко, И. С. Асимптотика сложных пространственно-временных структур в системах с большим запаздыванием / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Известия вузов. Прикладная нелинайная динамика. — 2008. — Т. 16, № 4. — С. 137-146.

[82] Кащенко, И. С. Мультистабильность в нелинейных параболических системах с малой диффузией / И. С. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2010. — Т. 435, № 2. — С. 164-167.

[83] Кащенко, И. С. Нормализация в системе с двумя близкими большими запаздываниями / И. С. Кащенко // Нелинейная динамика. — 2010. — Т. 6, № 1. — С. 169-180.

[84] Кащенко, И. С. Быстро осциллирующие пространственно-неоднородные структуры в когерентных нелинейно-оптических системах / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2010. — Т. 435, № 1. — С. 14-17.

[85] Кащенко, И. С. Динамика уравнения с большим пространственно распределенным управлением / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2011. — "Г. 138. .V" 1. С. 30-34.

[86] Кащенко, И. С. Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления / И. С. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2011. — Т. 437, № 6.

- С. 743-747.

[87] Kashchenko, I. Local dynamics of spatially distributed Hutchinson equation / I. Kashchenko // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2011. — Vol. 16, no. 9. — P. 3520-3524.

[88] Grigorieva, E. V. Dynamics of Lang-Kobayashi equations with large control coefficient / E. V. Grigorieva, I. S. Kashchenko, S. A. Kaschenko // Nonlinear phenomena in complex systems. — 2012. — Vol. 15, no. 4. — P. 403-409.

[89]

нении, связанных через запаздывающее управление / И. С. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2012. — Т. 443, № 1. — С. 9-13.

[90] Кащенко, И. С. Квазинормальные формы двухкомпонентных сингулярно возмущенных систем / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2012. — Т. 447, № 4. — С. 376-381.

[91] Кащенко, И. Корпоративная динамика сильно связанных распределенных систем / И. Кащенко, С. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2012. — Т. 442, № 5. — С. 600-604.

[92] Кащенко, И. С. Квазинормальные формы для параболических систем с сильной нелинейностью и малой диффузией / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2012. — Т. 52, № 8. — С. 1482-1491.

[93] Kashchenko, I. S. Spatial properties of high-mode bifurcations of distributed logistic equations / I. S. Kashchenko // Automatic Control and Computer Sciences. — 2013. — Vol. 47, no. 7. — P. 516-525.

[94] Kashchenko, I. Normalization of a system with two large delays / I. Kashchenko // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2014. — Vol. 24, no. 8. — P. 1440021.

[95]

ленным отклонением пространственной переменной / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Сибирский математический журнал. — 2014. — Т. 55, № 2. — С. 315-323.

[96] Кащенко, И. С. Динамика логистического уравнения с запаздыванием и с большим коэффициентом пространственно распределенного управления / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014.

- Т. 54, № 5. - С. 766-778.

[97] Кащенко, И. С. Локальная динамика уравнения с распределенным запаздыванием / И. С. Кащенко // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 17-26.

[98] Grigorieva, E. V. Multistability in a laser model with large delay / E. V. Grigorieva, I. S. Kaschenko, S. A. Kaschenko // Automatic Control and Computer Sciences. — 2014. — Vol. 48, no. 7. — P. 564-570.

[99] Kashchenko, I. Local dynamics of the two-component singular perturbed systems of parabolic type / I. Kashchenko, S. Kaschenko // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2015. — Vol. 25, no. 11. — P. 1550142.

[100]

от искомой функции / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2015. - Т. 464, № 5. - С. 521-524.

[101] Кащенко, И. С. Динамика сильно связанных пространственно-распределенных логистических уравнений с запаздыванием / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 4. — С. 610— 620.

[102] Kashchenko, I. Normal and quasinormal forms for systems of difference and differential-difference equations / I. Kashchenko, S. Kaschenko // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2016. — Vol. 38. — P. 243-256.

[103] Kashchenko, I. Dynamics of the Kuramoto equation with spatially distributed control / I. Kashchenko, S. Kaschenko // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.

— 2016. — Vol. 34. — P. 123-129.

[104] Кащенко, И. С. Локальная динамика уравнения с двумя большими различными по порядку запаздываниями / И. С. Кащенко // Доклады Академии наук. — 2016. — Т. 470, № 6. - С. 632-636.

[105] Кащенко, И. С. Локальная динамика двухкомпонентных сингулярно возмущённых параболических систем / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Труды Московского математического общества. — 2016. — Т. 77, № 1. — С. 133-148.

[106] Кащенко, И. С. Исследование динамики уравнения с двумя большими разнопорядковыми запаздываниями / И. С. Кащенко // Вестник Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ". — 2016. — Т. 5, № 1. — С. 32-37.

[107] Кащенко, И. С. Локальная динамика дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием у первой производной / И. С. Кащенко // Математические заметки. — 2017. — Т. 101, № 2. — С. 318-320.

[108] Кащенко, С. А. Уравнения Гинзбурга-Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим 3 3jii эзды в э/~ нием / С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 3. - С. 457-465.

[109] Кащенко, С. А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / С. А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, до ю. _ С. 1343-1355.

Tristability of a semiconductor laser due to time-delayed optical feedback / A. Loose, B. K. Goswami, H.-J. Wunsche, F. Henneberger // Physical Review E. — 2009. — Vol. 79.

— P. 036211.

[111] Grigorieva, E. V. Regular and chaotic pulsations in lazer diode with delayed feedback / E. V. Grigorieva, S. A. Kaschenko // Bifurcations and chaos. — 1993. — Vol. 6. — P. 1515-1528.

[112] Hale, J. Introdution to functional differential equations / J. Hale, M. Sjoerd. — New York : Springer-Verlag, 1993.

[113] Майстренко, Ю. Л. Разностные уравнения и их приложения / Ю. Л. Майстренко, Е. И. Романенко, А. И. Шарковский. — Киев : Наукова Думка, 1986.

[114] Кащенко, И. С. Локальная динамика систем разностных и дифференциально-разностных уравнении / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2014. — Т. 22, № 1. — С. 71-92.

[115] Ikeda, K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system / K. Ikeda // Optic Communications. — 1979. — Vol. 30, no. 2. — P. 257-261.

[116] Mixed-mode oscillations in slow-fast delayed optoelectronic systems / J. H. Talla Mbe, A. F. Talla, G. R. G. Chengui [et al.] // Phys. Rev. E. — 2015. — Vol. 91. — P. 012902.

[117] Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием / Д. В. Санду-ляк // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15. — С. 18-25.

[118] Gauthier, D. J. Resource letter: Controlling chaos / D. J. Gauthier // Am.J.Phys. — 2003.

— Vol. 71. — P. 750.

[119] Handbook of Chaos Control / Ed. by E. Shoell, H. G. Schuster. — New-York : Wiley-VCH, 2007.

[120] Pyragas, K. Continious control of chaos by self-controlling feedback / K. Pyragas // Physical Letters A. — 1992. — Vol. 170. — P. 421.

ских орбит / В. Г. Богаевская, И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2014. — Т. 21, № 1. — С. 53-65.

Bogaevskaya, V. G. Influence of delayed feedback control on the stability of periodic orbits / V. G. Bogaevskaya, I. S. Kashchenko // Automatic Control and Computer Sciences. — 2014.

— Vol. 48, no. 7. — P. 477-486.

[123] Bogaevskaya, V. Cycle stabilization by one and two delay feedback control / V. Bogaevskaya, I. Kashchenko // Nonlinear Phenomena In Complex Systems. — 2015. — Vol. 18, no. 2.

— P. 175-180.

[124] Beyond odd number limitation: a bifurcation analysis of time-delayed feedback control / B. Fiedler, V. Flunkert, M. Georgi [et al.] // Physical Review Letters. — 2007. — Vol. 98.

— P. 114101.

[125] Leonov, G. A. Pyragas stabilizability via delayed feedback with periodic control gain / G. A. Leonov // Systems and Control Letters. — 2014. — Vol. 69. — P. 34-37.

[126] Hovel, P. Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods / P. Hovel, E. Scholl // Physical Review E. — 2005. — Vol. 75. — P. 046203.

[127] Amann, A. Some basic remarks on eigenmode expansions of time-delay dynamics / A. Amann, E. Scholl, W. Just // Physica A. — 2007. — Vol. 272. — P. 191-202.

[128] Kuramoto, Y. Co-operative dynamics of oscillator community / Y. Kuramoto // Progress of Theoretical Physics Suppl. — 1984. — Vol. 79. — P. 223-240.

[129] Pomplun, J. Long-term correlations in stochastic systems with extended time-delayed feedback / J. Pomplun, A. G. Balanov, E. Schoell // Physical Review E. — 2007. — Vol. 75, no. 4. — P. 040101.

[130]

E. В. Григорьева, И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2010. — Т. 17, № 2. — С. 17-27.

[131] Кащенко, И. С. Динамические свойства одной модели пассивного захвата мод / И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2011. — Т. 18, до 1. _ с. 32-36.

[132] Григорьева, Е. В. Гипермультистабильность в моделях лазеров с большим зсшэздывсх-нием / Е. В. Григорьева, И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2011. — Т. 19, № 3. — С. 1-15.

[133] Кащенко, Д. С. Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием (учебное пособие) / Д. С. Кащенко, И. С. Кащенко. — Ярославль : Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2006.

[134] Кащенко, И. С. Динамические свойства уравнений первого порядка с большим запаз-дывсшибм / И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. - Т. 14, № 2. - С. 58-62.

[135] Кащенко, И. С. Буферность в уравнениях второго порядка с большим запаздыванием / И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, до 2. _ С. 31-35.

[136] Григорьева, Е. В. Квазинормальные формы для уравнений Лэнга-Кобаяши с большим коэффициентом управления / Е. В. Григорьева, И. Кащенко, С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2013. — Т. 20, № 1. — С. 18-29.

[137] Глызин, Д. С. О нулях некоторых характеристических квазиполиномов / Д. С. Глызин, Е. П. Кубышкин, А. Р. Морякова // Моделирование и анализ информационных систем. _ 2014. - Т. 22, № 1. - С. 74-84.

[138] Глызин, С. Д. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. — Т. 49, № 1. — С. 76-89.

[139] Баутин, Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. — М. : Наука, 1990.

[140] Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. — М. : Наука, 1969.

[141] Кащенко, С. А. Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэфф-циентами: учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. / С. А. Кащенко. — Ярославль : Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2006.

[142] Кащенко, С. А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием / С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2000. — Т. 40, № 4. — С. 693-702.

[143] Heil, T. Influence of amplitude-phase coupling on the dynamics of semiconductor lasers subject to optical feedback / T. Heil, I. Fischer, W. Elsasser // Phys. Rev. A. — 1999. — Vol. 60. — P. 634-640.

[144] Adimy, M. Asymptotic behavior of a discrete maturity structured system of hematopoietic stem cell dynamics with several delays / M. Adimy, F. Crauste, A. El Abdllaoui // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. — 2006. — Vol. 1, no. 2. — P. 1-22.

[145] Колесов, Ю. Моделирование популяций насекомых / Ю. Колесов // Биофизика. — 1983. - Т. 28, № 3. - С. 513-514.

[146] Кащенко, С. А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых / С. А. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2012. — Т. 19, № 5. — С. 18-34.

Arkhipov, R. M. Pulse repetition-frequency multiplication in a coupled cavity passively mode-locked semiconductor lasers / R. M. Arkhipov, A. Amann, A. G. Vladimirov // Applied Physics B. — 2015. — Vol. 118. — P. 539-548.

[148] Crenelated fast oscillatory outputs of a two-delay electro-optic oscillator / L. Weicker, T. Erneux, M. Jacquot [et al.] // Physical Review E. — 2012. — Vol. 85. — P. 026206.

[149] Бобок, А. С. Экстремальная динамика системы трех однонаправленно связанных сингулярно возмущенных уравнений из нейродинамики / А. С. Бобок, С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2013. — Т. 20, № 5. - С. 158-167.

[150] Глызин, С. Д. Релаксационные ЦИКЛЫ в обобщенной нейронной модели с двумя запаздываниями / С. Д. Глызин, Е. А. Марушкина // Моделирование и анализ информационных систем. — 2013. — Т. 20, № 6. — С. 179-199.

[151] Преображенская, М. М. Применение метода квазинормальных форм к математической модели отдельного нейрона / М. М. Преображенская // Моделирование и анализ информационных систем. — 2014. — Т. 21, № 5. — С. 38-48.

[152] Yanchuk, S. Dynamical systems with multiple long-delayed feedbacks: Multiscale analysis and spatiotemporal equivalence / S. Yanchuk, G. Giacomelli // Phys. Rev. E. — 2015. — Vol. 92. — P. 042903.

[153] Sutton, G. Rocket Propulsion Elements. 8th Edition / G. Sutton. — 8th edition. — New York : Wiley, 2010.

[154] Валентайн, P. Экономичность, устойчивость и работоспособность ЖРД / Р. Вален-тайн // Вопросы ракетной техники. — 1973. — Т. 1. — С. 217.

[155] Sabersky, R. H. Effect of wave propagation in feed lines on low frequency rocket instability / R. H. Sabersky // Jet Propulsion. — 1954. — Vol. 24. — P. 172-174.

[156]

Crocco, L. Transverse combustion instability in liquid propellant rocket motors / L. Crocco, D. T. Harrje, F. H. Reardon // ARS Journal. — 1962. — Vol. 32, no. 3. — P. 366-373.

[158] Reardon, F. H. Velocity effects in transverse mode liquid propellant rocket combustion instability / F. H. Reardon, L. Crocco, D. T. Harrje // AIAA Journal. — 1964. — Vol. 2, no. 9. — P. 1631-1641.

[159]

го ракетного двигателя / Ю. Колесов, Д. И. Швитра // Литовский математический сборник. - 1975. - Т. 15, № 5. - С. 46-68.

[160] Driver, R. D. Existence theory for a delay-differential system / R. D. Driver // Contrib. Different. Equat. — 1963. — Vol. 1. — P. 317-336.

[161]

аргументом / Л. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. — М. : Наука, 1971.

Halanay, A. Some new results and problems in the theory of differential-delay equations / A. Halanay, J. Yorke // SIAM Review. — 1971. — Vol. 13. — P. 55-80.

[163] Кащенко, И. С. Нормализация уравнения с линейно распределенным запаздыванием / И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16, до 4 _ с. Ю9-116.

[164] Кащенко, И. С. Локальная динамика уравнения с длительным экспоненциально распределенным запаздыванием / И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2011. — Т. 18, № 3. — С. 42-49.

[165] Кащенко, С. А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией / С. А. Кащенко // Доклады Академии наук СССР. — 1988. — Т. 299, до 5_ _ с. Ю49-1053.

[166] Кащенко, С. А. О коротковолновых бифуркациях в системах с малой диффузией / С. А. Кащенко // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 307, № 2. - С. 269-273.

Kaschenko, S. A. Normalization in the systems with small diffusion / S. A. Kaschenko // International Journal of Bifurcations and Chaos. — 1996. — Vol. 6, no. 7. — P. 1093-1109.

окрестности точки бифуркации / С. А. Кащенко // Доклады Академии наук. — 1990.

- Т. 312, № 2. - С. 345-350.

[169] Бутузов, В. Ф. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор) / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов // Автоматика и телемеханика. — 1997. — Т. 7. — С. 4-32.

[170] Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. — М. : Мир, 1970.

[171] Арнольд, В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах / В. И. Арнольд // Успехи математических наук. — 1972. — Т. 27, № 5. — С. 119-184.

[172] Bogdanov, R. Bifurcations of a limit cycle for a family of vector fields on the plane / R. Bogdanov // Selecta Math. Soviet. — 1981. — Vol. 1. — P. 373-388.

[173] Кащенко, С. А. Построение нормализованных систем для исследования динамики гибридных и гиперболических уравнений / С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1994. — Т. 34, № 4. — С. 564-575.

[174] Hutchinson, G. E. Circular causal in ecology / G. E. Hutchinson // Ann. N.Y. Acad. Sci.

— 1948. — Vol. 50. — P. 221-246.

[175] Kakutani, S. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a — by(t — т)) y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations / S. Kakutani, L. Markus // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. — 1958. — Vol. IV. — P. 1-18.

[176] Григорьева, E. В. Параметры порядка в моделях лазеров с запаздывающей обратной связью / Е. В. Григорьева, С. А. Кащенко // Синергетика: Исследования и технологии / Под ред. Г. Малинецкий. — Серия "Синергетика: от прошлого к будущему". М. : УРСС, 2007. - С. 156-192.

[177] Кащенко, С. А. Динамика пространственно-распределенного логистического уравнения с малой диффузией и малым запаздыванием / С. А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 1-10.

[178] Delay Equations: Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis / O. Diekmann, S. A. van Gils, S. M. Verduyn Lunel, H.-O. Walther. — New York : Springer-Verlag, 1995.

[179] Кащенко, Д. С. Динамика параболического уравнения с малой диффузией и отклонением пространственной переменной / Д. С. Кащенко, И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 89-93.

[180] Кащенко, Д. С. Динамика логистического уравнения с пространственно-распределенным насыщением / Д. С. Кащенко, И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16, № 1. — С. 54-61.

[181] Кащенко, И. С. Динамика уравнения Курамото с пространственно-распределенным управлением / И. С. Кащенко, С. А. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2012. — Т. 19, № 1. — С. 24-35.

[182] Кащенко, И. С. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций в распределенном логистическом уравнении / И. С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2013. — Т. 20, № 3. — С. 29-42.

[183] Куликов, А. Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве / А. Н. Куликов // Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвуз. сб. — Ярославль : Яро-сл. ун-т., 1976. — С. 114-129.

[184] Глызин, С. Д. Диффузионный хаос в задаче «реакция-диффузия» с гантелеобразной областью определения пространственной переменной / С. Д. Глызин, П. Л. Шокин // Моделирование и анализ информационных систем. — 2013. — Т. 20, № 3. — С. 43-57.

[185] Кубышкин, Е. П. Эффект области в поведении решений распределенной кинетической системы / Е. П. Кубышкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 6. - С. 988-999.

[186] Кащенко, С. А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией / С. А. Кащенко // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1991. — Т. 15. — С. 128-155.

[187] Stokes, A. On the approximation of nonlinear oscillation / A. Stokes // Труды 5-й международной конференции по нелинейным колебаниям. — Т. 2. — Киев : [б. и.], 1970. — С. 480-491.