Исследование пространственного движения спутника-гиростата как системы твердых тел с полостями, заполненными жидкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат технических наук Алексеев, Алексей Владимирович

• Алексеев, Алексей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Алексеев, Алексей Владимирович

Основные обозначения

1. Проблема пространственного движения твердых тел с жидкостью, задачи и методы исследования

1.1 Блок выведения «Икар»

1.2 Состояние проблемы

1.3 Постановка задачи

2. Пространственное движение твердого тела с жидкостью малой вязкости

2.1 Математическая модель движения твердого тела с жидкостью малой вязкости

2.2 Плоские колебания маятника с жидкостью. Приближенное аналитическое решение уравнения движения

2.3 Движение космического аппарата с жидким топливом вокруг центра масс под действием гравитационного момента

3. Движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости

3.1 Математическая модель движения

3.2 Уравнения движения системы двух тел с вязкой жидкостью

3.3 Приближенное аналитическое решение уравнений движения

4. Приведение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью, к системам твердых тел с вязким трением

4.1 Математические модели движения

4.2 Сопоставление и приведение математических моделей

4.3 Численное моделирование движения систем твердых тел с жидкостью

5. Асимптотическое исследование движения трехроторного гиростата

5.1 Приведение уравнений движения к безразмерному виду

5.2 Решение динамической системы методом Пуанкаре

5.3 Решение динамической системы методом Ван-дер-Поля

5.4 Решение динамической системы методом усреднения

5.5 Сравнение результатов, полученных асимптотическими методами

5.6 Решение задачи Дарбу

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование пространственного движения спутника-гиростата как системы твердых тел с полостями, заполненными жидкостью»

Применение систем управления, высокоточных приборов и чувствительного оборудования требует исследования влияния на движение космических аппаратов (КА) малых возмущений. Подобные возмущения, в том числе, могут быть вызваны влиянием жидкого топлива, находящегося на борту КА с жидкостными ракетными двигателями. Влияние жидкости на поведение КА обусловлено рядом причин. Так в частично заполненном баке имеются колебания свободной поверхности жидкости, из-за которых происходит относительное перемещение центра масс аппарата, а также изменение других инерционно-массовых характеристик. Эта проблема может решаться с помощью поддавливающих мембран, которые исключают свободную поверхность. Другим возмущающим фактором является само внутреннее движение жидкости в баке, оказывающее влияние на кинетический момент корпуса КА, а также изменяющее другие параметры движения в связи с наличием внутреннего вязкого трения. Возможны и другие факторы. В данной работе проводится исследование движения КА с жидким топливом, целиком заполняющем бак. Рассматривается пространственное движение КА с жидкостью большой и малой вязкости, при этом КА моделируется как одним твердым телом, так и системой тел.Для исследования движения КА в качестве механической модели принимается твердое тело с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью. Пространственное движение КА, движущегося по орбите под действием гравитационного момента во многом подобно движению физического маятника. Поэтому большое внимание в настоящей работе уделяется изучению динамики плоских колебаний твердого тела с жидкостью.Также в работе исследуется движение гиростата с жидкостью, представляющего собой систему, состоящую из основного твердого тела и массивных маховиков, использующихся для гироскопической стабилизации пространственного положения. В данной работе гиростат состоит из четырех твердых тел: несущего тела с жидкостью и трех роторов, вращающихся вокруг осей, совпадающих с главными осями инерции системы.Проблеме исследования движения систем тел с жидкостью в научной литературе уделяется большое внимание ввиду ее практической важности и возможности непосредственного применения результатов исследования для анализа динамики соосных КА и спутников-гиростатов. Основополагающие результаты, связанные с анализом движения тел с жидким наполнением, получены отечественными и зарубежными учеными, в том числе, Жуковским Н.Е. [30], Черноусько Ф.Л. [67-70], Моисеевым Н.Н. [46-50], Румянцевым В.В. [50, 60-63], Рабиновичем Б.И. [56-59], Наримановым Г.С. [53, 54], Докучаевым Л.В. [27-29, 53], A. Clebsch [72], G. Halphen [74], F. Kotter [75], R. Liouville [76], H. Minkowski [78], V.A. Stekloff [79, 80], H. Weber [81] и многими другими.Актуальность настоящей работы определяется получением математических моделей и аналитических зависимостей, описывающих режимы пространственного движения КА, содержащего массивные маховики и баки с жидкостью, а также связана с дальнейшим развитием задач исследования движения систем твердых тел с жидкостью.Целью работы является разработка математических моделей движения твердых тел и систем твердых тел с жидкостью различной вязкости и получение аналитических зависимостей, позволяющих проводить анализ движения КА с массивными вращающимися элементами и жидкостью.К основным методам исследования, используемым в настоящей работе, следует отнести известные методы теоретической механики, механики жидкости и газа, теории колебаний, асимптотические и численные методы решения дифференциальных уравнений.Научная новизна работы состоит в следующем. ь 1. Построена математическая модель движения и получены аналитические зависимости для параметров плоских колебаний физического маятника с жидкостью малой вязкости.2. Разработаны и сопоставлены математические модели пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью, твердого тела с внутренним сферическим демпфером и трехроторного гиростата с вязким трением между несущим телом и вращающимися роторами.3. Получены асимптотические решения для параметров свободного пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью и гиростата с медленно вращающимися роторами.4. Решена задача Дарбу, состоящая в определении угловых параметров движения по известным компонентам угловой скорости.Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных математических моделей и аналитических зависимостей для описания движения КА вокруг центра масс и синтеза на их основе начальных условий, инерционно-массовых, кинематических и других параметров КА. Апробация результатов, полученных в настоящей диссертационной работе, осуществлялась в рамках научных конференций: VII Всероссийская молодежная научная конференция «Королевские чтения», г. Самара (октябрь 2003 г.); XII, XIII и XIV международная молодежная научная конференция «Туполевские чтения», г. Казань (ноябрь 2004, 2005, 2006 гг.); IX международная научная конференция «Решетневские чтения», г. Красноярск (ноябрь 2005 г.); XXXII и XXXIII международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения», г. Москва (апрель 2006 и 2007 гг.); XII и XIII Всероссийские научно-технические семинары по управлению движением и навигации летательных аппаратов, г. Самара (июнь 2005 и 2007 гг.). б Результаты исследований вошли в научные отчеты по следующим проектам Российского фонда фундаментальных исследований: 1. Проект РФФИ № 06-01-000355 «Возмущенное движение систем твердых тел постоянного и переменного состава», руководитель д.т.н., профессор Асланов B.C., 2006-2008 гг.; 2. Проект РФФИ № 06-08-00325 «Динамические процессы, движение и управление составными космическими аппаратами переменной массы», руководитель к.т.н., доцент Дорошин А.В., 2006-2007гг.Материалы, вошедшие в диссертацию, опубликованы в 14 печатных работах [1-14]*, в частности, в журналах «Полет» [4]*, «Известия Саратовского университета» [2]*, «Известия Самарского научного центра Российской академии наук» [6]*, включенных в перечень ВАК, а также в сборниках научных трудов Всероссийских научно-технических семинаров «Управление движением и навигация летательных аппаратов» [1, З]* 1 .Результаты диссертационных исследований получили высокую оценку «Программы поддержки технического образования Фонда Alcoa»: 1. AYF 07 - 003s, 2007 г., 2. AYF 08 - 005s, 2008 г.Структура диссертации.В первой главе осуществляется краткий обзор полученных к настоящему времени результатов, опубликованных различными учеными, описывается круг задач, рассматриваемых в диссертационной работе, и указываются методы их решения.Во второй главе исследуется пространственное движение твердого телас полостью, заполненной жидкостью малой вязкости. Для общего случая строится векторное интегро-дифференциальное уравнение движения, которое применяется для анализа движения физического маятника с полостью с жидкостью, а также для исследования движения спутника с жидким топливом на борту. Находятся аналитические зависимости параметров движения от времени. Проводится анализ влияния параметров 1 Здесь и далее звездочкой отмечены работы, содержащие результаты, полученные автором жидкости малой вязкости на пространственное движение рассматриваемых систем.В третьей главе исследуется движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости. Спутник состоит из несущего тела с полостью и трех роторов, вращающихся относительно несущего тела вокруг своих осей симметрии. На основе теоремы об изменении кинетического момента составляются уравнения движения системы относительно центра масс. Для случая вращения одного ротора уравнения приводятся к безразмерному виду, и определяется их приближенное аналитическое решение. Проводится анализ влияния жидкости большой вязкости.В четвертой главе рассматривается пространственное движение вокруг центра масс спутника-гиростата с полостью, содержащей жидкость, при малых числах Рейнольдса. Математическая модель движения гиростата, содержащего полость с жидкостью, приводится к двум более простым: к модели гиростата с вязким трением между телом-носителем и роторами и к модели твердого тела, содержащего внутри сферический демпфер. Переход от гиростата с полостью, содержащей жидкость, имеющего бесконечное число степеней свободы, к. указанным системам, обладающим шестью степенями свободы, важен с прикладной точки зрения, так как существенно облегчает анализ динамики движения спутников-гиростатов и космических аппаратов с двойным вращением, содержащих жидкостные ракетные двигатели, на пассивных участках их орбитального движения.В пятой главе рассматривается одна из эквивалентных систем: система четырех тел без полости с жидкостью, для исследования невозмущенного движения. В работах Жуковского Н.Е. [30], а также Моисеева Н.Н. и Румянцева В.В. [50] говорится об эквивалентности движений твердого тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью, и твердого тела с присоединенными вращающимися роторами, в том числе и с постоянными относительными угловыми скоростями. Строятся уравнения движения системы, вводится малый параметр, и находится приближенное аналитическое решение системы уравнений движения различными методами.Результаты, полученные разными методами, сравниваются, и выбираются наиболее точный и наиболее удобный методы. Находится решение задачи Дарбу, связанной с определением угловых параметров движения по известным угловым скоростям.Разработанные математические модели могут применяться для описания движения простых и составных КА, содержащих жидкость различной вязкости, а найденные аналитические решения представлены в достаточно общем виде, что определяет возможность использования их в других областях науки и техники.Основные обозначения А, В,С - моменты инерции твердого тела относительно главных осей инерции. J - тензор инерции. Q — вектор количества движения.К — вектор кинетического момента. F - главный вектор внешних сил.М - главный момент внешних сил. г - радиус вектор какой-либо точки. р — плотность жидкости. v — кинематическая вязкость жидкости. V — скорость какой-либо точки системы. т —масса. со - вектор угловой скорости. p,q,r — компоненты вектора угловой скорости в связанной системе координат. \f/,6,(p — углы Эйлера.5г — угол относительного закручивания ротора. <т1 — скорость относительного закручивания ротора. D - параметр полости. D — тензор, задающий форму полости. а,Ь — вспомогательные векторы, используемые для определения кинетического момента жидкости малой вязкости. L - кинетический момент жидкости большой вязкости. t — время. т - безразмерное время. ех, s2, БЪ — малые параметры.ГХ,Г2,Г3 — величины, характеризующие гироскопические моменты. / - момент инерции динамически симметричного ротора относительно оси симметрии или сферического демпфера относительно диаметра. P,Q,R,Ht — безразмерные компоненты угловой скорости и скорости относительного закручивания.А,В,С — безразмерные моменты инерции.Х<г>— коэффициент при s' в разложении по степеням s величины X. a,b,c,d - вспомогательные величины, используемые при решении дифференциальных уравнений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Алексеев, Алексей Владимирович

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Построена математическая модель движения и получены аналитические зависимости для параметров плоских колебаний физического маятника с жидкостью малой вязкости.

2. Разработаны и сопоставлены математические модели пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью, твердого тела с внутренним сферическим демпфером и трехроторного гиростата с вязким трением между несущим телом и вращающимися роторами.

3. Получены асимптотические решения для параметров свободного пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью и гиростата с медленно вращающимися роторами.

4. Решена задача Дарбу, состоящая в определении угловых параметров движения по известным компонентам угловой скорости.

Полученные результаты позволяют производить исследование движения летательных аппаратов, имеющих на борту запас жидкого топлива, осуществлять выбор начальных условий движения, инерционно-массовых, кинематических и других параметров КА, обеспечивающих реализацию тех или иных режимов движения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование движения твердых тел и систем твердых тел с полостями, заполненными жидкостью различной вязкости. Решен ряд самостоятельных задач с использованием классических и современных методов механики, теории колебаний, решения дифференциальных уравнений, а также проведено численное моделирование движений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Алексеев, Алексей Владимирович, 2008 год

1. Алексеев, A.B. Движение твердого тела с жидкостью малой вязкости Текст. / A.B. Алексеев, B.C. Асланов // Известия Саратовского университета. 2007. Т.7. Сер. Математика, Механика. Информатика, вып.2. Саратов. - 2007. - С. 44-48.

2. Алексеев, A.B. Приведение спутника-гиростата с полостью с жидкостью к системам твердых тел с вязким трением Текст. / A.B. Алексеев, A.B. Дорошин // Общероссийский научно-технический журнал «Полёт». 2007. - № 9. - С. 26-33.

3. Алексеев, A.B. Движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости Текст. / A.B. Алексеев // Известия СНЦ РАН. № 9. 2007. - С.671-676.

4. Алексеев, A.B. Моделирование движения соосных тел с полостью заполненной жидкостью Текст. / A.B. Алексеев // XIV Туполевские чтения: Материалы конференции. Том 1. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 2006. - С. 3-5.

5. Алексеев, К.Б. Управление космическими летательными аппаратами Текст. / К.Б. Алексеев, Г.Г. Бебенин // М.: Машиностроение. — 1974.

6. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / В.И. Арнольд // М.: Наука. — 1978.

7. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учеб. пособие для вузов Текст. / В.И. Арнольд // М.: Наука. — 1984.

8. Асланов, B.C. Движение системы соосных тел переменной массы Текст. / B.C. Асланов, A.B. Дорошин // Прикладная математика и механика. -2004.-№ 6. С. 999-1010.

9. Асланов, B.C. Стабилизация спускаемого аппарата частичной закруткой при осуществлении неуправляемого спуска в атмосфере Текст. / B.C. Асланов, A.B. Дорошин // Космические исследования. — 2002. Т. 40. № 2. - С. 193-200.

10. Асланов, B.C. Уменьшение ошибок стабилизации соосных тел переменного состава при входе в атмосферу Текст. / B.C. Асланов, A.B. Дорошин, Г.Е. Круглов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. 2002. — № 1. - С. 126-134.

11. Бабаков, И.М. Теория колебаний Текст. / И.М. Бабаков // Учеб. пособие. М.: Дрофа. - 2004.

12. Белецкий, В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс Текст. /В.В. Белецкий // М.: Наука. 1965.

13. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Текст. / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский // М.: Наука. 1974.

14. Бухгольц, H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. 2 Текст. / H.H. Бухгольц // М.: Наука. 1972.о

15. Виттенбург, И. Динамика систем твердых тел Текст. / И. Виттенбург // М.: Мир.-1977.

16. Докучаев, JT.B. Влияние жидкого наполнения на устойчивость быстрого вращения тела с периферийно расположенными полостями Текст. / JI.B. Докучаев, B.JI. Ездаков // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука. 1985. С. 123-127.

17. Докучаев, JI.B. МГД-элемент в задачах ориентации и стабилизации вращающихся космических аппаратов Текст. / JI.B. Докучаев, А.И. Мытарев, P.P. Назиров, Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». 2006. - № 11. - С. 23-31.

18. Докучаев, JI.B. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами Текст. / JI.B. Докучаев // М.: Машиностроение. 1987.

19. Жуковский, Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью Текст. / Н.Е. Жуковский // Собрание сочинений. Т. 2. Гидродинамика. М.: Гостехиздат. — 1949.

20. Заболотнов, Ю.М. Теория колебаний. Конспект лекций Текст. / Ю.М. Заболотнов // Самар. гос. аэрокосм. ун-т. — Самара. — 1999.

21. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров Текст. / Г. Корн, Т. Корн // М.: Наука. 1974.

22. Крементуло, В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся масс Текст. / В.В. Крементуло // М.: Наука. 1977.

23. Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику Текст. / Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов // Киев: Изд. АН УССР. 1937.

24. Лампер, P.E. Методы конечных и граничных элементов в задачах динамики упругих сосудов с жидкостью Текст. / P.E. Лампер, В.Е. Левин // Прикладная математика и механика. 2004. - Т. 68, вып. 1. -С. 91-97.

25. Луковский, И.А. Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках Текст. / И.А. Луковский, A.B. Солодун, А.Н. Тимоха // Акустический вестник. 2006. — Т. 9, № 3. - С. 42-61.

26. Луковский, И.А. Введение в нелинейную динамику тел с полостями, частично заполненными жидкостью Текст. / И.А. Луковский // К.: Наук. Думка. 1990.

27. Маркеев, А.П. Теоретическая механика: учеб. Пособие для университетов Текст. / А.П. Маркеев // М.: Наука. — 1990.

28. Меркулов, A.B. О стабилизации объектов с жидким наполнением на основе использования магнитогидродинамических эффектов Текст. / A.B. Меркулов, А.И. Мытарев, Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». 2000. - № 2. — С. 40-44.

29. Механика. Новое в зарубежной науке. Задачи стабилизации составных спутников Текст. // Сборник статей под редакцией Белецкого В.В. М.: Мир. 1975.

30. Моисеев, H.H. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / H.H. Моисеев // М.: Наука. 1969.

31. Моисеев, H.H. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью Текст. / H.H. Моисеев // ДАН СССР. 1952. - т. 85, № 4. - С. 719-722.

32. Моисеев, H.H. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие свободную поверхность Текст. / H.H. Моисеев // Математический сборник, т. 32, вып. 1. — 1953.

33. Моисеев, H.H. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы Текст. / H.H. Моисеев // Укр. матем. жур. 1952. - т. 4, № 2. - С. 168-173.

34. Моисеев, H.H. О колебаниях тяжелой идеальной и несжимаемой жидкости в сосуде Текст. / H.H. Моисеев // ДАН СССР. 1952. - т. 85, №5.-С. 963-965.

35. Моисеев, H.H. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость Текст. / H.H. Моисеев, В.В. Румянцев // М.: Наука. 1965.

36. Мытарев, А.И. Об устойчивости вращающегося космического аппарата, частично заполненного жидкостью. Случай одной полости Текст. / А.И. Мытарев, Б.И. Рабинович //Космические исследования. — 2006. т. 44, № 3. - с. 239-248.

37. Назиров, P.P. О гировертикали с маятниковой МГД-коррекцией. Общая концепция Текст. / P.P. Назиров, Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». — 2004. — № 11. — С. 43-50.

38. Нариманов, Г.С. Нелинейная динамика JIA с жидкостью Текст. / Г.С. Нариманов, JI.B. Докучаев, И.А. Луковский // М.: Машиностроение. — 1977.

39. Нариманов, Г.С. О движении симметричного гироскопа, полость которого частично заполнена жидкостью Текст. / Г.С. Нариманов // Прикладная математика и механика. 1957. — Т. 21. Вып. 2. - С. 696700.

40. Нейштадт, А.И. Переход через сепаратрису в динамике спутника с двойным вращением Текст. / А.И. Нейштадт, М.Л. Пивоваров // Прикладная математика и механика. 2000. - Т. 64. Вып. 5. - С. 741746.

41. Рабинович, Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов Текст. / Б.И. Рабинович // — М.: Машиностроение. — 1977.

42. Рабинович, Б.И. Космический аппарат с жидкостью, стабилизированный вращением, плазменный тор и задача Альвена Текст. / Б.И. Рабинович, В.И. Прохоренко // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». 1999. - № 5. — С. 9-16.

43. Рабинович, Б.И. Математическая модель космического аппарата с полостью, частично заполненной жидкостью. Режим стационарного вращения Текст. / Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». — 2003. — № 8. — С. 55-60.

44. Рабинович, Б.И. Об учете вязкости жидкого топлива при исследовании движения управляемых аппаратов с ЖРД Текст. / Б.И. Рабинович, В.М. Роговой // Космические исследования. 1970. - Т. VIII, № 3. - С. 315-328.

45. Румянцев, В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1959. - т. 23, вып. 6. - С. 1057-1065.

46. Румянцев, В.В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1960. - т. 24, вып. 4. — С. 603-609.

47. Румянцев, В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1962. — т. 26, вып. 6. - С. 977991.

48. Румянцев, В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1957, т. 21, вып. 6. -Москва. 1957. - С. 740-748.

49. Соболев, C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью Текст. / C.J1. Соболев // ПМТФ, № 3. — 1960. -С. 20-65.

50. Троценко, В.А. О колебаниях жидкости в сосудах, свободная поверхность которой закрыта мембранной оболочкой из гиперупругого материала Текст. / В.А. Троценко // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980. - № 6. — С. 166-177.

51. Хапаев, М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. Учеб. пособие для вузов Текст. / М.М. Хапаев // М.: Высш. шк. - 1988.

52. Черноусько, Ф.Л. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью Текст. / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика, т. 31, вып. 3. Москва. - 1967. — С. 416-432.

53. Черноусько, Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса Текст. / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика, т. 30, вып. 3. — Москва. 1966. - С. 476-494.

54. Черноусько, Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса Текст. / Ф.Л. Черноусько // Вычислительная математика и математическая физика, т. 5, № 6. Москва. - 1965. - С. 1049-1070.

55. Черноусько, Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость Текст. / Ф.Л. Черноусько // М.: Изд. ВЦ АН СССР. - 1968.

56. Янке, Е. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы Текст. / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш // М.: Наука. - 1968.

57. Clebsch, A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flüssigkeit Текст. / A. Clebsch // Math. Annalen, Bd. 3. 1871. - S. 238-262.

58. Gavrilyuk, I. Linear and nonlinear sloshing in a circular conical tank Текст. / I. Gavrilyuk, I.A. Lukovsky, A.N. Timokha // Fluid Dyn. Resch. 2005. -V. 37.-P. 399-429.

59. Halphen, G. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide Текст. / G. Halphen // J. Math. Pure et appl. 1988. - v. 4. - p. 28-37.

60. Kotter, F. Uber die Bewegung eines festen Korpers in einer Flüssigkeit, I, II Текст. / F. Kotter // J. Reine Angew. Math. 1892. - Bd. 109. - S. 51-81, 89-111.

61. Liouville, R. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide indéfini Текст. / R. Liouville // Comp. Rend. Ac. Sc. ser. 2. - 1896. - p. 874-876.

62. Lukovsky, I.A. Variational methods of solving dynamic problems for fluid-containing bodies Текст. / I.A. Lukovsky // Int. Appl. Mech. 2004. - V. 40, № 10.-P. 1092-1128.

63. Minkowski, H. Uber die Bewegung eines festen Korpers in einer Flüssigkeit Текст. / H. Minkowski // Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. -1888.-v.30.-p. 1095-1110.

64. Stekloff, V.A. Remarque sur un problème de Clebsch sur le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini en sur le problème de M. De Brun Текст. / V.A. Stekloff// Comp. Rend. Ac. Sc. Paris. 1902. - v. 135. - p. 526-528.

65. Stekloff, V.A. Sur le mouvement d'un corps solide ayant une cavité de forme ellipsoïdale remple par un liquide incompressible en sur les variation des latitudes Текст. / V.A. Stekloff// Ann. de la fac. des Sei.: de Toulouse. -Ser. 3.-1909.-v. 1.

66. Weber, H. Anwendung der Thetafunktionen zweiter Verandlicher auf Theorie der Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit Текст. / H. Weber // Math. Ann. 1879. - Bd. 14. - P. 143-206.

67. С Л + - С) ■- ф + <т30 )2 (С - А- ВХ(А - В) + /Х/70 + С710 )21. А-ф-1) (В — 1\С -/)1. Г* + «■ Уг + <т + + +л^о ","с'2оЛ/о (В—1\а — 1) '1. ООО ~ (зо °"20 ) г,000т201 —5./

68. С-А + В\В -сХг0 + ^30 )2 В\А-В\р, + сг10 )2л-/) (С-/)с-л5./11. С-/тш (р0 + )-(С-ф-1)-'011.^0+СГ20; (С-ф-1)лс-1+а-в\с-а+1) -К'о + <Гэо) (в-ф-1))(С-1-а + ВХ(С-В)+1)зо) (С-ф-1) тюо ~{Ро+сг1оАг0+сг30)-(В-ф-1)-'т200т020

69. V ^A-B-C + l\2(C-B)+l)-l(C-B + l) = feo + 0-20 X'o + О"зо )--(A-I\C-I)-- ;(В A + C\(B - C) + I\q0 +cr20)2 + (Л-Д + CX(^Í - C) + l\pQ + a J1. A-I)(C-I)1. B-IXC-I)(ro +О"зо )1. С-/

70. A-B-CjB cX<7o + <T20)2 (Л - g + C\C - ^Xpo + ^io)2 (A-I) (B-I)

71. Значения инерционно-массовых характеристик и начальных условий, принятые для численных экспериментов в четвертой главе.