Задачи механики разрушения для сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Белякова, Татьяна Александровна

• Белякова, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белякова, Татьяна Александровна

ВВЕДЕНИЕ

1. Методы построения определяющих соотношений для поврежденных сред с учетом зависимости деформационных свойств от вида напряженного состояния

2. Физическая природа чувствительности деформационных характеристик материала к изменению вида напряженного состояния

3. Основные уравнения плоской задачи

4. Инвариантный интеграл Черепанова-Райса

ГЛАВА 1. Определяющие соотношения и экспериментальные диаграммы деформирования поврежденной дилатирующей среды

1.1 Экспериментальные данные и диаграммы деформирования

1.2 Параметры вида напряженного состояния

1.3 Определяющие соотношения упруго-пластического деформирования изотропного материала с зависимостью свойств от вида напряженного состояния

1.4 Определяющие соотношения упругого деформирования изотропного материала с зависимостью "¿войств от вида напряженного состояния

1.5 Определение функций вида напряженного состояния для конкретного материала. Экспериментальные диаграммы и их аппроксимации

ГЛАВА 2. Асимптотическое решение для трещины нормального разрыва в материале с изменяющимися свойствами в условиях плоского напряженного состояния

2.1 Трещина нормального разрыва в упругой среде с зависимостью деформационных свойств от вида напряженного состояния

2.2 Трещина нормального разрыва в упруго-пластической среде с зависимостью свойств от вида напряженного состояния

ГЛАВА 3. Асимптотические решения задач плоской деформации для трещин в упругой среде с зависящими от вида напряженного состояния свойствами

3.1 Трещина нормального разрыва в условиях плоской деформации

1) Постановка задачи и обоснование методов решения

2) Формулировка граничных условий и определение мультипликативных постоянных в решении

3) Анализ полученных численных решений

3.2 Трещина в поле сдвига при плоской деформации

1) Постановка задачи и формулировка краевых условий

2) Анализ полученных численных решений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА...

121

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи механики разрушения для сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами»

ВВЕДЕНИЕ

В классической теории упругости модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V полностью описывают упругое поведение тела. Однако существует широкий класс материалов, которые, часто не обладая заметной анизотропией, проявляют существенное различие механических свойств в зависимости от вида напряженного состояния. К таким средам в большинстве своем относятся грунты и горные породы, композиционные материалы различного типа, огнеупоры, чугун, бетон, конструкционные графиты и многие другие. Общим свойством данных материалов является наличие разнообразных дефектов структуры (пор, микротрещин, включений и т.п.), существенным образом усложняющих механизм деформирования.

Различными авторами было показано [9,10,28,34,42,44,46,47], что совпадение кривых течения для различных видов напряженного состояния наблюдается преимущественно при исследовании чистых металлов. Для многих сплавов, композитов, горных пород расхождение кривых течения, рассчитанное по результатам опытов на растяжение, сжатие и кручение оказывалось довольно значительным. Экспериментальные данные показывают, что при исследовании деформационных свойств таких материалов гипотеза единой кривой, используемая в деформационной теории пластичности, неприменима.

Подобным образом часто не подтверждаются экспериментами предположения о сжимаемости по упругому закону или несжимаемости материала. Деформирование поврежденных сред может сопровождаться необратимой объемной деформацией — дилатансией. Ее механизм, наиболее ярко проявляющийся при деформировании сыпучих сред, по-видимому, впервые был отмечен

Рейнольдсом [69]. В различных работах отмечалось [5,6,19,28,46], что величина объемной деформации включает в себя составляющую, вызванную касательными напряжениями, т. е. в поврежденном материале процессы объемного и сдвигового деформирования взаимосвязаны.

В связи с этим приобретает значение изучение ряда вопросов механики разрушения поврежденных сред, для которых классические предположения теории упругости и пластичности не могут быть использованы. В том числе представляется важным исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности трещин, где учет зависимости свойств материала от вида напряженного состояния становится особенно необходимым.

1. Методы построения определяющих соотношений для поврежденных сред с учетом зависимости деформационных свойств от вида напряженного состояния

Разработкой теоретических основ деформирования материалов, поведение которых не может быть описано классическими теориями, занимались различные авторы.

Первоначально в экспериментальных исследованиях для некоторых материалов наблюдалось расхождение диаграмм деформирования, в основном, только при одноосном растяжении и сжатии, поскольку эти типы испытаний являются наиболее распространенными. Достаточно долго несовпадение средних экспериментальных значений модуля упругости при растяжении

Е+ и модуля упругости при сжатии Е~не принималось во

внимание, и расчетный модуль упругости устанавливался либо Е +,

либо Е ~ в зависимости от преимущественного типа

эксплуатационной нагрузки. Позже это явление, получившее название разномодульности, отмечалось для различных материалов в работах [1-6,34-37,50,53,61-63]. Некоторыми авторами были предложены определяющие соотношения, основанные на различии деформационных характеристик материала только для двух видов испытаний. Это направление известно как разномодульная теория упругости.

Согласно модели, предложенной в [1-3,5] упругие свойства в окрестности точки изотропной среды меняются в зависимости от знаков главных напряжений. Постоянными материала, описывающими деформационные свойства, являются модуль

упругости при одноосном растяжении в любом направлении Е +, модуль упругости при одноосном сжатии Е ~, коэффициент Пуассона V характеризующий поперечное сужение при

растяжении и коэффициент Пуассона у ~, характеризующий

поперечное расширение при сжатии. В каждой точке или области тела, где главные напряжения сг ^ имеют одинаковые знаки (сг ^ > 0 ,

[ =1, 2, 3 или ег ^ < 0 , ¡=1, 2, 3) система упругих постоянных сводится к системе упругих постоянных классической теории упругости (Е +, V + или Е ~, V ~ соответственно). Предполагается, что рассматриваемый материал при любом напряженном состоянии претерпевает только малые упругие деформации и подчиняется общим закономерностям сплошной упругой среды. Следовательно, многие основные уравнения и соотношения классической теории упругости остаются неизменными: уравнения

равновесия, уравнения совместности деформаций и другие. Расхождения возникают только в связи между статикой и геометрией задачи — в определяющих соотношениях между напряжениями и деформациями. В зависимости от комбинации знаков главных напряжений используются соотношения упругости различных типов, которые могут существенным образом изменить картину определения напряженного состояния рассматриваемого объекта. Обобщенный закон упругости для изотропного разномодульного материала в главных осях напряжений а , /? ,у

принимает вид

еа = ли ^а + ЬпОр +ав ' £ау = 0>

£Р = *-п Яа + Ьп^р + а23 <*г ' £0г = 0' ^

ег = лп<та + ачг<т0 <*г ' £сф = ®-

Постоянные а - в зависимости от знаков главных напряжений

определяются соотношениями

1) Если сга , (Ту > 0, то а и = а 22 = а 1/е + ,

а - V + / Е + при 1 * к .

2) Если <та , <7р , оу < 0, то а.п = а, п = а. п=\/е~,

3) Если сга> 0 , сгр < 0 , агу > 0 , то ап = а33 =

а22 = 1/Е~' а12=а32 = -1/~/Е~' а21==а31 = а13=а23 = -1/+/Е+ '

4) Если <та > 0 , (Тр < 0 , сгу< О

, то а 22 - а зз -

1/Е",

ап = + , а21 = а31 = -1/+/Е + , а 12 = а 32 = а 13 = а 23 = - V /Е ит. д.

Для симметрии матрицы податливостей необходимо выполнение условия

что существенно сужает рассматриваемый класс материалов. При рассмотрении конкретных задач с использованием данной модели среды могут также возникать проблемы определения границ областей с разными типами напряженного состояния.

Обобщенный закон упругости (1) можно записать в декартовой системе координат, относительно которой положение главных направлений будет определяться девятью направляющими косинусами. Полученные определяющие соотношения существенно отличаются от закона Гука классической теории упругости. Входящие в них произведения направляющих косинусов и главных напряжений [5] представляют собой нелинейные функции характеристик напряженного состояния рассматриваемой точки, т. е. функции компонентов тензора напряжений.

Объемная деформация разномодульного тела существенным образом зависит от знаков главных напряжений. Объемная деформация равна нулю только в случае, когда одновременно

выполняются условия Е+ = Е", у+ - у~ = \ 12 . В случае чистого сдвига (та=-стр=т , ег^ =0 величина объемной деформации

составляет

что отражает в рамках данной модели факт изменения объема разномодульного тела под действием касательных напряжений. В случае произвольного напряженного состояния объемная

деформация тела будет иметь составляющую, вызванную касательными напряжениями.

Для разномодульного тела, которое описывается определяющими соотношениями (1), (2) доказано существование потенциала напряжений U [5], <т » = ¿?U j дs у. Несмотря на

нелинейность определяющих соотношений (1), для потенциала U справедлива теорема Клапейрона, вариационные уравнения Лагранжа и Кастильяно [5]. Единственность решения краевой задачи для разномодульного тела доказывается в [5,48,49].

В [4,73] на основе аналогичного подхода получены соотношения между напряжениями и деформациями в случае ортотропного разномодульного тепа. Для существования потенциала необходимо, чтобы матрица податливостей была симметричной. Это условие в главных осях материала приводит к соотношениям

v 12 = 12 21 _ ^21 ^ eJ" EJ Е2

Для того, чтобы симметрия выполнялась в любой системе координат, необходимо выполнение условий

111111

EÍ" Ei Е i Е Е+ Е

(4)

1 с2 с2 В соотношениях (4) Е+ и Е- — модули при растяжении и сжатии под углом 45° к главным направлениям материала.

Данная модель обобщена также на случай анизотропного материала [4]. В [11] предполагается существование потенциала, зависящего от знаков главных напряжений и содержащего не 3 а 5

независимых констант материала: Е + , Е~, V V ~ и модуль сдвига при чистом сдвиге в.

В рассмотренных моделях значение каждой из податливостей определялось знаком только одного напряжения, при котором стоит сомножителем данная податливость. Чтобы избежать ограничений (3), (4), налагаемых на характеристики упругости в результате этого допущения, в [61-63] предложена модель материала с матрицей взвешенных податливостей, в которой введены весовые коэффициенты, зависящие от абсолютных величин двух главных напряжений. Для изотропного разномодульного тела в условиях плоского напряженного состояния зависимость деформаций от напряжений в главных осях тензора напряжений а , J3 записывается в виде

£а = ли <та + г-\г<т0 '

£ а а + я 21er р •

Постоянные а - в зависимости от знаков главных напряжений

определяются соотношениями

1) Если сга, стр > 0 , то аи = а 22 = l/E + , а - v + /e + при

.

2) Если <та, <?р< 0 , то au = a22=l/E~ , а^= -v~/Е~ при

3) Если <та > 0, о-р < 0, то an=l/E + , а22 = 1 /Е~, a12=a21 = -ka v+/E + -k^ v~ ¡Е~.

4) Если сга < 0, стр > 0, то an=l/e~, a22 = l/e + , а12 = а21 = -ка v~ ¡E'-kp v + /e + ,

где весовые коэффициенты k а и к р определяются выражениями

+

<*а +

В результате введения весовых коэффициентов матрица податливостей получается симметричной в любой системе координат без наложения дополнительных условий на упругие постоянные. Податливости зависят не только от знаков главных напряжений, но и от их величин и меняются при изменении напряжений непрерывно от значений, когда все напряжения растягивающие, до значений, когда все напряжения сжимающие. В [63] отмечается, что эту зависимость можно сделать гладкой за счет выбора другой весовой функции, отличной от (5). Окончательный вид этой функции может быть определен после постановки специальных экспериментов. Аналогично построены соотношения теории упругости для модели ортотропного материала. Модель материала с матрицей взвешенных податливостей можно рассматривать как модификацию модели [1-5,48,49], в которой предпринята попытка учесть влияние на значение податливости не одного, а двух главных напряжений.

В работах Walsh [74-76] при исследовании деформирования горных пород предложена модель упругой изотропной среды со случайно ориентированными микротрещинами. При этом видимая анизотропия материала объясняется наличием в среде трещин и особенностями их ориентации. С учетом пористости материала выводятся соотношения для эффективных упругих модулей поврежденной среды. Отмечено, что при полном закрытии узких трещин эффективные упругие модули достигают соответствующих значений для неповрежденного материала и остаются практически постоянными при увеличении давления. Это наблюдается в

экспериментах над горными породами, пористость которых обусловлена в большой мере трещинами.

Подобный подход к описанию деформирования поврежденных сред использован в работах Салганика [45], Budiansky and O'Connel [55]. В работе [45] отмечено, что при упорядоченном расположении дефектов среда проявляет анизотропные свойства. Механические характеристики материала сильно зависят от концентрации трещин. В направлении, ортогональном направлению разреза, становится существенным различие характеристик упругости при растяжении и сжатии. В условиях сжатия происходит закрытие определенного числа микротрещин, и значение упругих модулей стремится к их величинам для сплошного материала. При растяжении трещины раскрываются, ослабляя сопротивление среды растягивающей нагрузке.

В работе [6] также отмечается, что основная особенность деформирования поврежденных материалов состоит в том, что они по-разному сопротивляются растяжению и сжатию. При построении определяющих соотношений для поврежденных сред предполагается, что значения упругих постоянных в окрестности точки материала зависят от знаков действующих в ней нормальных и касательных напряжений. При этом поврежденный материал заменяется сплошной средой, эквивалентной поврежденной в энергетическом смысле. Трещины, содержащиеся в материале представляются эллиптическими, случайно распределенными по размеру и ориентации. Берега трещин взаимодействуют по закону сухого трения. Податливости эффективной сплошной среды, моделирующей поврежденный материал, определяются как сумма податливостей сплошного материала и податливостей, обуславливающих изменение плотности энергии деформирования,

вызванное трещиноватостью материала. Показано, что при различных видах напряженного состояния эффективная сплошная среда может вести себя как изотропная, ортотропная и, в общем случае, анизотропная. Для решения конкретных краевых задач в модели [6] предлагается использовать метод последовательных приближений. В качестве первого приближения можно принять решение задачи в сплошном материале, второе приближение определяется системой знаков и значений напряжений, полученных на первом шаге и т. д. Метод последовательных приближений был предложен также для решения задач разномодульной теории упругости в [11]

В рассмотренных моделях изотропный разномодульный материал представлял собой, по сути дела, ортотропный материал, который ведет себя как изотропный в том случае, когда все главные напряжения одного знака [23,63]. Аналогично для разномодульного ортотропного материала можно найти эквивалентный анизотропный материал.

Рассмотренные выше модели основываются на различии диаграмм деформирования только для двух типов напряженного состояния. Однако, как свидетельствуют опытные данные, если деформационные характеристики имеют разные значения при простом растяжении и сжатии, то они меняют свои значения и при других видах напряженного состояния. Расхождение диаграмм деформирования для двухосного растяжения и двухосного сжатая обычно намного превышает расхождение диаграмм для простого растяжения и сжатия [28].

Другой подход состоит в использовании предположения о зависимости характеристик упругости от знака среднего напряжения. В работе Шапиро [53] использованы определяющие соотношения Каудерера, с тем отличием что модуль объемного

расширения и модуль сдвига меняются в зависимости от знака среднего напряжения.

В работах Новожилова [38,39] деформационные свойства нелинейно упругой изотропной среды характеризуются заданием трех скалярных функций от инвариантов тензора деформаций. Две из них могут быть названы обобщенным модулем объемного расширения К = ег / Зе и обобщенным модулем сдвига в = сг 0/ е 0,

поскольку в соотношениях, связывающих напряжения и деформации для нелинейно упругого тела, они играют роль, аналогичную роли упругих констант в формулах закона Гука. В

использованных обозначениях <г = ^вгу£у — среднее

напряжение, е = — объемная деформация, е0 = ^зецец —

интенсивность деформаций, е^ = — девиатор

деформаций, сг0 = — интенсивность касательных

напряжений, = <ту-<г <5 у — девиатор напряжений. Третья функция инвариантов предсталяет собой фазу подобия девиаторов

тензора напряжений и тензора деформаций а* = 3* - [}*, где 3 * „ *

и р соответственно угол вида напряженного состояния и угол вида деформированного состояния

совЗЗ* = 9/2 Ъш/<т*, вп^^^,

совЗ/?* = 4/3 еш/, еш = е1кек]ец •

Функция т * является мерой отклонения от закона подобия

девиаторов тензора напряжений и тензора деформаций. Отмечено, что вносимые ею в определяющие соотношения поправки обычно невелики, и во многих случаях ими можно пренебрегать, но

введение т позволяет теоретически описать поведение

материалов, у которых кривые испытаний на растяжение и сжатие неодинаковы. В [28] показано, что данный эффект можно описать

без привлечения параметра т * .

В [38] отмечается, что изотропный материал, работающий в области напряжений и деформаций, в которой фаза подобия девиаторов заметно отлична от нуля, будет в некоторой степени подобен анизотропному материалу. В частности, чистому сдвигу по напряжениям не будет соответствовать чистый сдвиг по деформациям. В материале, таким образом, наблюдается деформационная анизотропия: при деформировании в теле происходят структурные изменения, различные в разных направлениях. Направления этих структурных изменений будут не наперед заданными, независимыми от компонентов тензора деформаций направлениями, а наоборот, будут полностью определяться самой деформацией.

В работах Быкова [12,13] представлена модель физически-нелинейного тела, которая является обобщением теории малых упруго-пластических деформаций при активном нагружении. Определяющие соотношения предложены в виде

= ¥ + ^у * <6)

На функции в соотношениях (6) накладываются определенные условия, среди которых <т(0, £0) = 0, £ (0,ег0) = 0, сг / б >0, что

не всегда приемлемо при описании поведения некоторых материалов.

В ряде работ при формулировке определяющих соотношений используется в качестве параметра угол вида напряженного

состояния 3 *. Матченко и Толоконниковым [35] предложено

рассматривать потенциал деформаций в виде функции трех инвариантов тензора напряжений

Ф = Ф ^ ¿г, сх q , cos 319 * |. (7)

Фазовый инвариант cos33 * считается качественной

характеристикой напряженного состояния, в то время как среднее напряжение <т и интенсивность напряжений <т 0 —

количественными характеристиками напряженного состояния. Представляя (7) в виде полинома по количественным инвариантам напряженного состояния и удерживая при этом только квадратичные члены, можно получить

Поскольку параметр 3 * не определен в условиях равномерного трехосного напряженного состояния, только коэффициент А 2 считается функцией фазового инварианта. В

простейшем варианте обобщения классической теории

А2=:В2+С2 cos33*. Зависимость объемной деформации от

среднего напряжения предполагается линейной с постоянным коэффициентом пропорциональности, таким образом объемный модуль не зависит от вида напряженного состояния, что не согласуется с анализом деформирования пористых и трещиноватых сред и влечет за собой существенное ограничение на константы материала, а именно

l-2v + _ \-2v~ Е+ Е"

Зависимости деформаций от напряжений для предложенной формы потенциала являются линейными только при пропорциональном нагружении. Потенциал деформаций не

определен в случае равномерного трехосного нагружения, так как для этого вида нагружения не определен параметр 3 *.

Близкие по форме определяющие соотношения использовались Цвелодубом в работе [50].

Несколько иные предположения были сделаны в работах [36,37], где потенциал считался функцией направляющих косинусов вектора напряжений в главных осях и модуля вектора напряжений, что эквивалентно [28] введению в выражение для потенциала двух

параметров вида напряженного состояния ег /<г 0 и 3*

Ф = а<т2 + А(£)<т1 + В(%)<т1со833*.

В работе Мартыновой [34] отмечается зависимость сопротивления материала от вида напряженного состояния при пластическом деформировании алюминиевых и магниевых сплавов. При описании механических свойств рассматриваемых сред интенсивность касательных напряжений считалась функцией не только интенсивности деформаций, но зависела также от вида напряженного состояния, который характеризовался третьим инвариантом тензора деформаций и средним гидростатическим напряжением. В данной работе предполагалась пластическая несжимаемость материала.

В определяющих соотношениях, предложенных Панферовым [41], модуль объемного расширения К зависит от знака объемной деформации £ , а в выражение для девиаторной составляющей тензора напряжений входит параметр вида деформированного состояния у = е ¡£ 0- Введенные соотношения не допускали

существования потенциала в случае активного нагружения. Впоследствии в [40] этим же автором был предложен другой вариант выражений, связывающих напряжения и деформации, где

объемный модуль являлся функцией параметра у и знака

объемной деформации. Зависимость среднего напряжения от объемной деформации в процессе пластического деформирования предполагалась линейной. Характеристики упругости и пластичности для данного вида определяющих соотношений одинаковым образом зависели от вида напряженного состояния, что в общем случае не подтверждается экспериментами.

В работах [9,10] для описания деформационных свойств изотропных графитовых материалов предлагался потенциал в виде

Ф = Ф j (<т 0 <р (£ )) + Ф 2(0*) • Приведены условия, которым должны

удовлетворять введенные функции, для того чтобы обеспечивалось выполнение постулата устойчивости der у d£ у > 0 или

эквивалентное требование выпуклости потенциала деформаций. На основе предложенных зависимостей получено решение задачи об определении сингулярного поля напряжений в окрестности вершины трещины нормального разрыва. При решении использовался приближенный метод, основанный на разложении полярного угла в ряд по малому параметру.

В работах Ломакина [20-33] процессы деформирования и разрушения поврежденных материалов исследуются на основе представлений о характере поведения дефектов при различных условиях нагружения и деформирования. Введение в определяющие соотношения параметра вида напряженного состояния £

позволило описать зависимость макросвойств материала, в частности, диаграмм деформирования, от вида напряженного состояния, взаимосвязь процессов сдвигового и объемного деформирования, дилатансию материала при сдвиге, возможность объемного расширения в случаях, когда среднее нормальное напряжение сжимающее. При этом показано, что коэффициент

взаимосвязи между объемной деформацией и интенсивностью деформаций является функцией параметра вида напряженного состояния. В результате этой взаимосвязи оказалось, что традиционные постановки краевых задач в некотором случае не могут быть использованы, в частности, для задач продольного сдвига и кручения, поэтому в [27] были разработаны новые методы исследования данных проблем.

На основе анализа общих закономерностей поведения данных материалов построены определяющие соотношения упругого и упруго-пластического деформирования [20,21,24,25,27,31]. Предложен вариант деформационной теории пластичности, хорошо описывающий экспериментальные зависимости для чугуна и других материалов [22]. Предложенная форма определяющих соотношений деформационного типа позволяет получать асимптотические решения вблизи вершин трещин [7,32,33]. Для анализа предельного состояния поврежденных тел разработана жестко-пластическая модель материала [29,30] позволяющая определить предельные нагрузки, а также значения предельной пластической объемной деформации. Выражение для пластического потенциала не нарушает принципа нормальности, в отличие от работы Rudnicki and Rice [72] и позволяет установить взаимосвязь между пластическим разрыхлением материала и интенсивностью пластических деформаций. На основе решения задач о пластическом течении тел при различных условиях нагружения показано, что связанная с наличием повреждений зависимость пластических свойств материала от вида напряженного состояния существенным образом изменяет значения предельных нагрузок [16,17,29,30].

Исследованию напряженного состояния вблизи вершин трещин в физически нелинейных средах посвящено большое количество работ. Обычно авторами при рассмотрении пластических деформаций предполагалась несжимаемость материала, а также малость области нелинейного деформирования при использовании соотношений деформационной теории пластичности.

В работах Hutchinson [58,59] распределение напряжений, деформаций и перемещений в окрестности вершины трещины исследуются на основе соотношений деформационной теории со степенным упрочнением в предположении пластической несжимаемости материала. С вершиной трещины связывается полярная система координат (г, &) (рис. 7, 8). Область

пластических деформаций в окрестности разреза предполагалась малой по сравнению с длиной трещины и характерным геометрическим размером тела, поэтому упругими составляющими деформаций в определяющих соотношениях можно было пренебречь. Главный член асимптотического разложения функции

напряжений рассматривался в форме <I> = Krs 0 (ß ). Параметр s,

связанный с показателем упрочнения, определялся численно, при этом полученное значение с достаточной точностью обеспечивало асимптотику вида сг^е^ ->v(& )/г при г->• 0. Рассматривались

случаи плоской деформации и плоского напряженного состояния для трещин нормального разрыва [58] и сдвига [59]. Отмечено, что в задаче плоской деформации напряжения перед вершиной трещины оказываются выше, чем для случая плоского напряженного состояния, что подтверждается экспериментальными исследованиями. Коэффициент К, имеющий смысл коэффициента интенсивности напряжений, определялся на основе инвариантного

интеграла Черепанова-Райса. Границы пластических областей, рассчитанные по полученному решению, демонстрируют хорошее соответствие эксперименту.

В работе Rice and Rosengren [71] при решении аналогичной задачи были введены функция напряжений и функция тока, позволившие удовлетворить уравнениям равновесия, условиям несжимаемости и совместности деформаций. Уравнения для определения двух неизвестных функций выводились из определяющих соотношений. Мультипликативная постоянная в решении определялась с помощью инвариантного интеграла [52,70]. В полученной серии решений для различных степеней упрочнения проявились два предельных случая, соответствующих упругой и идеально пластической задачам.

В работах Pan и Pan and Shih [66-68] дан упруго-пластический анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях произвольной смешанной нагрузки вдали от разреза. Исследуется тип сингулярности, угловые и радиальные вариации напряжений для различных смешанных нагрузок. Упруго-пластическое поведение материала описывается теми же определяющими соотношениями, что и в работах [58,59,71]. Чтобы охарактеризовать смешанные нагрузки, вводятся пластические коэффициенты смешанной нагрузки (mixity factors), изменяющиеся от 0 до 1 для разных типов нагружения

„р/ч 2 4 =

MP3(r) = -arctg^M = o),

2 ¿г q (г, «9 = 0) М |3(г) = - arctg ; , (8)

,, Р / Ч 2 # <ГмМ = 0) Mfefr)*-«*, м = 0).

Функция напряжений в плоскости задачи (г, & ) вводится в

виде Ф = Krs ф («9 ); вне плоскости — в виде ¥ = Lrх у/ ($), где s

и t в общем случае различны. Таким образом, зависимость по г не выделяется в чистом виде, и приходится использовать при решении метод конечных элементов. При анализе смешанных нагрузок, близких к классическим модам I, II или III, предлагается использовать метод возмущений. В предположении малости пластической области напряженное состояние вдали от трещины характеризуется линейно упругими коэффициентами интенсивности напряжений Kj, Кд и Кщ, при этом упругие

коэффициенты смешанной нагрузки имеют вид

_ 2 К т 2 К.Т 2 ■^■тт

М1 % = — arctg ——i-, Mf2 = — arctg—-*-, M |з = — arctg —.

f Кщ 1t jv jj 1t К jjj

Тип сингулярности, определяемый полученным решением, задает особенность вида I¡Я в случае линеинои упругости и соответствует сингулярности в решении Хачинсона-Райса-Розенгрена (HRR-сингулярностъ) для случаев нагрузок по моде I, моде II, моде III и смешанному случаю мод I и II.

В общем случае произвольной смешанной нагрузки пластическая область несимметрична по отношению к линии трещины.

Работы Dong and Pan [56,57] посвящены анализу напряженно-деформированного состояния в окрестности вершин трещин в жестко-пластическом материале в условиях плоской задачи. Рассматривался общий случай смешанной нагрузки вдали от трещины. В работе [57] для случая плоского напряженного состояния поле напряжений у вершины разреза представлялось

u w т%

секторами постоянных напряжении и криволинеиными веерами. В жестко-пластической сетке характеристик предполагалось наличие

двух линий разрыва компоненты тензора напряжений сг гг. Сетка

линий скольжения для предельного случая нагружения, соответствующего трещине нормального разрыва, отличалась от жестко-пластического решения Хачинсона наличием малого сектора постоянных напряжений впереди трещины.

В работе [56], посвященной случаю плоской деформации, показано на основе анализа уравнений равновесия, ассоциативного закона пластичности и условий текучести, что поля напряжений в окрестности трещины могут состоять только из секторов постоянных напряжений, вееров и упругих областей вблизи верхнего берега разреза для некоторого интервала коэффициента

= ^ ап*§ (К I / К ц), характеризующего характер

смешанного нагружения вдали от трещины. Решения не содержат разрыва в <т гг, но условие текучести может не выполняться вблизи

верхней границы трещины. Зависимость напряжений от г, полученная численно, дает сингулярность вида г-1^2 вне пределов пластической области. Сингулярность практически отсутствует в упругом секторе у конца трещины и отсутствует в пластических секторах — поле напряжений, таким образом является ограниченным, несмотря на наличие области упругих деформаций. Аналитически определенные зависимости, соответствующие указанным сеткам линий скольжения, обнаруживают хорошее совпадение с распределениями, полученными методом конечных элементов.

В предельных случаях М ^^ 1 и М = О решение авторов

совпадает с жестко-пластическими полями напряжений, полученными Райсом для трещины нормального разрыва (поле Прандтля) и Хачинсоном в случае трещины сдвига. Однако в

общем случае смешанной нагрузки полученное решение не совпадает с зависимостями, которые получаются как жестко-пластический предел из задачи со степенным упрочнением, что объясняется различием в типах систем уравнений для этих классов задач: эллиптической у Хачинсона, Райса и Розенгрена и гиперболической в данной работе.

В работе Rudnicki and Rice [72] при исследовании зон локализации деформаций в хрупких горных породах под действием сжимающих напряжений предполагается существование объемных пластических деформаций. Локализация деформаций трактуется как неустойчивость определяющих уравнений, существование точки бифуркации, приводящей к неединственности решения для деформаций. Пластические объемные деформации, возникающие в результате трения при скольжении поверхностей трещин относительно друг друга, описываются с помощью поверхностей текучести, имеющих угловые точки. При этом в определяющих соотношениях направление вектора пластических приращений не определяется нормалью к поверхности текучести. Эти особенности предложенной модели приводят к тому, что результаты данных исследований существенно отличны от решения, полученного в предположении гладкой поверхности текучести с нормальным к ней вектором приращения пластических деформаций.

В работе Li and Pan [65] также рассматривались материалы с пластическими объемными деформациями и пластическим деформированием под действием гидростатического давления. Закон текучести предлагалось ввести в виде <x0 + //er = Q, где fi —

материальная постоянная, определяющая влияние гидростатического давления на пластическое деформирование материала. Гипотеза о сонаправленности вектора приращения пластических деформаций с нормалью к поверхности текучести

приводила к заключению, что параметр ¡л выражает также

отношение объемной пластической деформации к интенсивности касательных деформаций — в отличие от работы Рудницкого и Райса, где были введены два различных параметра. Исследуются поля напряжений, деформаций и перемещений в окрестности конца разреза при плоской деформации. При /л , больших некоторого

значения ¡л ^, перед вершиной трещины возникает равномерное

трехосное напряженное состояние. Характер введенных определяющих соотношений таков, что в пренебрежении упругой составляющей деформаций условие плоской деформации при трехосном напряженном состоянии может быть удовлетворено только если предположить несжимаемость материала. В том же диапазоне значений параметра, где решение может быть получено при М - № Пса' наблюдается сильная зависимость полученных

распределений от // . В этой же работе приведено решение

аналогичной задачи для случая жестко-пластической среды.

2. Физическая природа чувствительности деформационных характеристик материала к

изменению вида напряженного состояния

В общем случае построение теории деформирования для материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, требует учета изменения деформационных характеристик среды не только при переходе от растяжения или сжатию, но и включения в рассмотрение других видов напряженного состояния. Даже в том случае, когда деформационные свойства материала практически

совпадают для растяжения и сжатия, может быть обнаружено заметное различие для других типов нагружения [28].

Среди возможных причин зависимости деформационных свойств материала от вида напряженного состояния можно отметить влияние поврежденности среды, вызванной особенностями структуры и технологической обработки материала или развивающимися процессами разрушения [28,6,44,45,55,74-76]. Трещины, поры и другого рода дефекты различным образом ориентированы и распределены по объему материала. Условия роста трещин при растяжении и сжатей существенно различаются, что приводит к различию параметров кривых деформации. Если ориентация дефектов такова, что при сжатии берега трещин смыкаются, то материал обнаруживает меньшую податливость, чем при растяжении. При сжатии влияние процессов разрушения на развитие процессов течения минимально. Материалы, хрупкие при испытании на растяжение, могут вести себя как пластичные при сжатии.

В земной коре включения, заполненные жидкостью или сыпучими средами, оказывают такое же влияние на эффективные характеристики упругости среды, как и полости, из-за отсутствия сопротивления растягивающим напряжениям. При действии сжимающих напряжений, влияние дефектов структуры проявляется не так сильно, хотя полное закрытие трещин может и не осуществляться. К горным породам по характеру деформирования близки многие строительные материалы, например, бетон.

Зависимость механических характеристик материала от вида нагружения наблюдается также у некоторых композитных материалов. Соотношение величин упругих модулей для волокнистых и зернистых композитов может определяться соотношением жесткости волокон или зерен и жесткости матрицы,

а также характером дефектов структуры [28,63]. В зависимости от соотношения жесткостей может получиться так, что либо волокна или зерна при сжатии, соприкасаясь одно с другим, сделают материал более жестким, либо отдельные волокна потеряют устойчивость, изгибаясь в пространство пор, и материал станет менее жестким. При испытании композитов углерод-углерод в условиях растягивающих напряжений обнаружено, что волокна несут основную нагрузку, и в этом случае характеристики упругости композита определяются, в основном, объемной долей углеродных волокон и углеродной матрицы, поэтому жесткость при растяжении может быть выше, чем при сжатии. Углепластики на тканевой основе или с трехосным плетением волокон, как правило, имеют значительную пористость, и диаграмма растяжения для них лежит выше диаграммы сжатия.

Отмеченные свойства могут приобретаться в процессе эксплуатации материалом, для которого в исходном состоянии эти особенности деформирования не обнаруживались или не имели существенного значения [28]. В волокнистых композитах усталость материала сопровождается разрывом волокон, расслоением, растрескиванием матрицы. Если в исходном состоянии различия между характеристиками упругости образцов при растяжении и сжатии было мало, то после усталостных испытаний значения жесткости для данных видов испытаний могут различаться в несколько раз, и это расхождение существенно при весьма низких напряжениях. В металлах, строительных материалах происходит образование, накопление и развитие микротрещин, пор и других дефектов. Связанное с этими процессами изменение деформационных свойств необходимо принимать во внимание при расчете характеристик долговечности.

3. Основные уравнения плоской задачи

В условиях плоской задачи при соответствующем выборе декартовой системы координат Ох^х2х3 характеристики

движения и состояния считаются независимыми от координаты х 3 .

Теория плоской задачи включает в себя случаи плоской деформации и плоского напряженного (обобщенного плоского напряженного) состояний.

При описании плоского напряженного состояния по определению принимается условие на компоненты тензора напряжений

<т13=<т23 = <т33 = °- <9)

Такое состояние с известным приближением реализуется в тонкой пластине, нагруженной силами, лежащими в ее средней плоскости, которая принимается за плоскость х ^ х 2 [43].

В случае плоской деформации отсутствуют перемещения вдоль оси Ох3, т. е. и 3 = О, что влечет за собой выполнение

следующих условий для компонент тензора деформаций

*13=гг23=*33 = 0- (10)

Уравнения равновесия в плоской задаче в отсутствие

массовых сил имеют вид

¿?<Т ,, д <7 л ¿?СГ|<) дет ^ -» + -12 = 0, -12 + -21 = 0

Компоненты тензора деформаций должны удовлетворять условию совместности деформаций

+-^¿ = 2-(12)

Переходя к полярным координатам г, 3 в плоскости Х1Х2, для уравнений равновесия (11) получим

дг г 03 г ' 0т г 03 г

Уравнение совместности деформаций (12) в полярной системе координат принимает вид

2

г

0 г

д£Х&\ 0 де„ д (г£ ад)

—^ =---*-(14)

03 * Л 4 7

03 2 дг <?г2

Уравнениям равновесия в плоской задаче можно удовлетворить, введя представление для компонентов тензора

напряжений через функцию напряжений Эри (х |, х 2), которое в

декартовой системе координат задается соотношениями

_д1у¥ _02х¥ _ 02х¥ 0X2 0х(

В полярных координатах выражения, определяющие функцию напряжений ¥ ( г, 3 ) принимают вид

104* 1 02Ч* _01х¥ _\0Ч 1 02Ч*

4. Инвариантный интеграл Черепанова-Райса

Рассмотрим трещину в нелинейно упругом материале в условиях плоской задачи (рис. 7, 8). В работах [52,70] вводится контурный интеграл

5 =

с!х

ш

0X1 ; ~0Х

1=1,2.

(16)

В выражении (16) и ^ ц ) = ^ ^ та^^

в9

плотность

тп

о

1 и и

энергии деформации, являющаяся в упругой среде однозначной функцией деформаций, X ^ - сг - п ^ — поверхностные нагрузки на

пути интегрирования Г, определяемые в соответствии с внешней нормалью, и г— компоненты вектора перемещений, сЬ —

дифференциальный элемент длины дуги. В [52,70] показано, что интеграл (16) имеет одно и то же значение для всех путей Г, окружающих вершину трещины, характеризуя, таким образом, состояние концевой зоны трещины.

Для кругового пути радиуса г интеграл (16) принимает вид

1=г|[исо8^ -т~1Х )]<*& , 07)

1

2

иг и и 3 — компоненты перемещения; штрихом обозначено

дифференцирование по 3 .

Структура каждого слагаемого в подынтегральном выражении может быть сведена к произведению компонент тензора напряжений на компоненты тензора деформаций. Поэтому из инвариантности интеграла Черепанова-Райса следует ожидать, что каждое слагаемое должно иметь особенность вида 1 / г

О-..^.. ->—^ при г->0. (18)

Это связано также с требованием ограниченности энергии деформации в любой области, охватывающей вершину трещины [15]. Такой тип сингулярности наблюдается в классических

решениях для трещин в линейной механике разрушения и подтверждается численными решениями для случая трещин в упрочняющемся материале в условиях плоской задачи [58,59]. Асимптотические поля деформаций и напряжений, предполагающие выполнение условия (18), принимались также при решении задач о трещинах в условиях смешанного нагружения в работах [56,57,65-68] и в случае трещин в неклассической упругой среде [7,8,28,32,33].

Для трещины длины 2£ в линейно упругом материале в условиях плоской деформации значение инвариантного интеграла (16) составляет

] = 2х(\-У2)К219/Е, = (19)

в случае трещины нормального разрыва, где К10 — коэффициент

интенсивности напряжений в решении соответствующей задачи линейной теории упругости. Аналогично в случае трещины сдвига можно получить

1 = 2Яг(1-у2)К2ь/Е, Кц^г^/Л/2. (20)

В выражениях (19), (20) а — нормальное к плоскости трещины

растягивающее напряжение, т — касательное напряжение вдали

от трещины. Для трещины нормального разрыва в условиях плоского напряженного состояния линейно упругое решение дает

1 = 2* К^/Е. (21)

Структура работы.

В первой главе приведены использованные в работе определяющие соотношения деформирования поврежденной среды с зависимостью свойств от вида напряженного состояния. Анализ обобщенных экспериментальных диаграмм деформирования, позволяет отметить в качестве общего свойства для материалов самой разной природы отсутствие единой диаграммы зависимости интенсивности касательных напряжений <т0 от интенсивности

деформаций £ 0. Кроме того, результаты экспериментальных

исследований свидетельствуют, что процесс деформирования сопровождается нелинейной зависимостью между объемной деформацией £ и средним напряжением <т . Таким образом, гипотеза несжимаемости или упругой сжимаемости материала не может быть принята.

Отмечено, что в качестве параметра вида напряженного состояния может быть использовано отношение среднего напряжения к интенсивности напряжений. Приведенные уравнения связи напряжений с деформациями для нелинейного деформирования рассматриваемого класса материалов построены по типу соотношений деформационной теории пластичности. Обсуждаются возможные аппроксимации функций параметра вида напряженного состояния, способные описать характер экспериментальных диаграмм.

Во второй главе исследуется влияние зависимости свойств материала от вида напряженного состояния на асимптотическое решение задачи о трещине нормального разрыва. Рассмотрен случай плоского напряженного состояния. С помощью введения функции напряжений Эри получены распределения перемещений, деформаций и напряжений в окрестности вершины трещины в

случае упругого и упруго-пластического деформирования и проведен сравнительный анализ данных зависимостей с решением соответствующей задачи в линейно упругой и пластически несжимаемой среде. В численных расчетах материальные функции определялись на основе экспериментальных диаграмм деформирования конструкционных графитов и чугуна.

Показано, что, несмотря на нелинейность определяющих соотношений, существует точное решение упругой задачи. Определение коэффициентов интенсивности напряжений дало возможность на основе силового критерия охарактеризовать уровень критических напряжений, при котором начинается рост трещин.

В третьей главе предложен метод получения решений для случая плоской деформации, основанный на соответствующем представлении для компонентов тензора деформаций, поскольку показано, что введение функции Эри не позволяет упростить решение данных задач. С использованием линейной аппроксимации обобщенных диаграмм деформирования определены асимптотические поля напряжений, деформаций и перемещений в окрестности вершины трещины нормального разрыва и трещины в поле сдвига для различных значений параметра чувствительности материала к изменению вида напряженного состояния. Показано, что в случае чистого сдвига вдали от разреза возникающая при нагружении неоднородность деформационных свойств среды может привести к нарушению симметрии или антисимметрии распределения напряжений в окрестности вершины трещины. Введение в определяющие соотношения параметра вида напряженного состояния позволяет описать взаимосвязь объемного и сдвигового деформирования. В

условиях сдвига происходит раскрытие трещины, в чем проявилось принципиальное отличие полученного решения от известных.

С помощью инвариантного интеграла вычислены значения коэффициента интенсивности напряжений, на основе которых проведен анализ условий начала роста трещин.

Основные результаты работы приведены в заключении.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Белякова, Татьяна Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование особенностей полей напряжений, деформаций и перемещений в окрестности вершин трещин в поврежденной среде с зависимостью механических характеристик от вида напряженного состояния дает основания для следующих выводов:

1. На основе определяющих соотношений для рассмотренного класса материалов получены асимптотические решения вблизи вершины трещины нормального разрыва при плоском напряженном состоянии в случае линейной аппроксимации слабонелинейных диаграмм деформирования. Показано, что, несмотря на нелинейность определяющих соотношений, существует точное решение упругой задачи вне зависимости от вида материальных функций. Полученные решения позволяют уточнить характер распределения напряжений, деформаций и перемещений вблизи вершины трещины путем учета зависимости деформационных характеристик материала от вида напряженного состояния. Это представляется особенно важным для поврежденных сред, где на поведение дефектов сильно влияет характер нагружения.

2. Получено решение задачи о трещине нормального разрыва в упруго-пластической среде, свойства которой зависят от вида напряженного состояния (отсутствует "единая кривая" между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций), процесс пластического деформирования сопровождается необратимым изменением объема и характеристики объемной и сдвиговых деформаций взаимосвязаны. Представлены результаты расчетов применительно к различным материалам. Учет сжимаемости и зависимости свойств среды от вида напряженного состояния приводит к снижению уровня напряжений в окрестности вершины трещины, но в то же время к существенному увеличению деформаций по сравнению с несжимаемым материалом.

3. Предложен метод построения решений задач о трещинах применительно к условиям плоской деформации, основанный на соответствующем представлении для компонентов тензора деформаций, использованный в задачах о трещинах в поле сдвига и нормального разрыва.

4. С помощью инвариантного интеграла определены величины критических напряжений, характеризующих начало продвижения трещины, которые в случае плоской деформации оказываются существенно ниже, чем их значения в линейно-упругой задаче. Значения критических напряжений уменьшались с ростом чувствительности материала к виду напряженного состояния, что эквивалентно росту поврежденности среды.

5. Решение рассмотренных задач усложняет возникающая при нагружении неоднородность деформационных свойств среды, макрооднородной до деформирования. Характер неоднородности определяется в ходе решения краевых задач. Несмотря на то, что эта приобретенная в процессе деформирования неоднородность свойств материала представляется непрерывно дифференцируемыми функциями координат, решение заметно отличается от асимптотического решения соответствующей задачи линейной теории упругости.

6. Показано, что обычно принимаемые при решении задач о трещинах предположения о симметрии или антисимметрии распределения напряжений относительно плоскости трещины для рассматриваемых сред могут быть приняты не всегда, так как в общем случае не позволяют удовлетворить всем граничным условиям. Возникающая при нагружении неоднородность деформационных свойств среды может привести к нарушению симметрии (или антисимметрии) в распределении компонентов тензора напряжений, тензора деформаций и вектора перемещений, что наглядно продемонстрировано в случае трещины в поле сдвига. Вследствие несимметричности возникает необходимость удовлетворения граничным условиям в трех точках, что существенно усложняет построение решений задач и требует использования вычислительных методов аналогичных методу стрельбы.

7. Величины деформаций для рассмотренного класса материалов существенно превосходят соответствующие значения для классических упругой и упругопластической сред, и это отличие возрастает с увеличением чувствительности материала к виду напряженного состояния. Наблюдается существенное объемное деформирование в окрестности трещины. Направления, по которым достигают максимальных значений среднее напряжение и объемная деформация, могут не совпадать.

8. Введение в определяющие соотношения параметра вида напряженного состояния позволило описать взаимосвязь объемного и сдвигового деформирования. Показано, что в условиях сдвига происходит раскрытие трещины, в чем проявилось принципиальное отличие полученного решения от известных.

9. На основе имеющихся экспериментальных данных можно уточнить характер распределений напряжений, деформаций и перемещений для конкретных материалов путем выбора наиболее подходящих аппроксимаций материальных функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белякова, Татьяна Александровна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА:

1. Амбарцумян С. А. Уравнения плоской задачи разносопротив-ляющейся или разномодульной теории упругости // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1966. Т. 19. № 2.

2. Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Инж. журнал МТТ. 1966. № 2.

3. Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А. К разномодульной теории упругости // Инж. журнал МТТ. 1966. № 6.

А. Амбарцумян С. А. Основные уравнения и соотношения разномодульной теории упругости анизотропного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №3.

5. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука. 1982.317 с.

6. Бабич Д. В. Приближенный учет поврежденности материала в задачах о равновесии упругих оболочек Н Проблемы прочности. 1996. №3.

7. Белякова Т. А., Ломакин Е. В. Трещина нормального разрыва в упругой среде с изменяющимися свойствами в условиях плоской деформации. // Изв. РАН. МТТ. 1999, 34. № 3.

8. Белякова Т. А. Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины в неклассической упругой среде в условиях плоского напряженного состояния. // Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН. 19. 07. 1999, № 2341-В99.

9. Березин А. В., Строков В. И., Барабанов В. Н. Деформируемость и разрушение изотропных графитовых материалов // В сб.: Конструкционные материалы на основе углерода, вып. И. М., "Металлургия", 1976.

10.Березин А. В., Ломакин Е. В., Строков В. И., Барабанов В. Н. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния // Проблемы прочности, 1979, № 2.

11 .Бригадиров Г. В., Матненко Н. М. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №5.

12.Быков Д. Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически-нелинейных средах // В кн.: Упругость и неупругостъ. Вып. 2. М.: Изд-во МГУ. 1971. С. 114-128.

13.Быков Д. Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности IIВ кн.: Упругость и неупругостъ. Вып. 4. М.: Изд-во МГУ. 1975. С. 119-138.

1 А.Иванов Г. П. Исследование несовершенной упругости металлов. Автореферат диссертации. Минск. 1973.

15.Кочанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

16.Ковардакова А. Ю., Ломакин Е. В. Пластическое течение при изгибе полос из материала, чувствительного к виду напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 5. С. 102 - 112.

17.Ковардакова А. Ю., Ломакин Е. В. Пластический изгиб надрезанных полос из материала, свойства которого зависят от вида напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 5. С. 109 -115.

18.Лебедев А. А., КовалъчукБ. И., Гигиняк Ф. Ф., Ламашевский В. П. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наук, думка, 1983. 366 с.

19.Леонов М. Я., Паняев В. А., Русинко К. Н. Зависимость между деформациями и напряжениями для полухрупких тел // Инж. журнал МТТ. 1967. № 6. С. 26-32.

20.Ломакин Е. В., Работное Ю. Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела II Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №6. С. 29-34.

21.Ломакин Е. В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 2. С. 42 - 45

22 Ломакин Е. В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. MIT. 1980. № 4. С. 92 - 99.

23 Ломакин Е. В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел // Препр. Ин-та проблем механики АН СССР, №159. М., 1980.

24Ломакин Е. В. Разномодульность композитных материалов // Механика композитных материалов. 1981. № 1. С. 23 - 29. 25 Ломакин Е. В. Соотношение теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которого зависят от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №3. С. 63-69

26Ломакин Е. В., Гаспарян Г. О. О средах, чувствительных к виду напряженного состояния // В кн.: Нелинейные модели и задачи механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1984. С. 59 -76.

21 Ломакин Е. В., Злочевский Д. А. Особенности деформирования материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, в условиях продольного сдвига // Машиноведение. 1986. № 4. С. 47 -51.

28 Ломакин Е. В. Деформирование и разрушение сред, характеристики которых зависят от вида напряженного состояния. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук.

// МГУ им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет. М., 1988. 285 с.

29.Ломакин Е. В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния I. Экспериментальные зависимости и определяющие соотношения. //Механика композитных материалов. 1988. № 2.

30.Ломакин Е. В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния II. Плоская деформация. II Механика композитных материалов. 1988. №2.

31 Ломакин Е. В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 6. С. 66 - 75.

Ъ2.Ломакин Е. В. Трещины нормального разрыва в средах, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния II Веста. МГУ, Сер. 1, Математика, механика. 1994. № 6. С. 54 - 61.

ЪЪЛомакш Е. В. Деформирование дилатирующей среды вблизи вершины трещины в условиях плоского напряженного состояния. // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 5. С. 99 - 109.

Ъ4.Мартынова Т. Н. О зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для некоторых метастабильных сплавов // Вестн. МГУ. 1955. № 12. ЪЪ.Матченко Н. М, Толоконников Л. А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инж. журнал МТТ. 1968. № 6.

36. Матченко Н. М., Шерешевский Л. А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости // Тула: Тульск. политехи, ин-т. 1983. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 13.07.1983 № 3904-83

37.Матченко H. MШерешевский Л. А., Легнау Н. А. Вариант построения уравнений разномодульной теории упругости // Тула: Тульск. политехи, ин-т. 1981. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 20.05.1981 № 2352-81

Ш.Новожилов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно упругой среде // Прикл. матем. и механика. Т. 15. Вып. 2. 1951. С. 183-194.

Ъ9 .Новожилов В. В. О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластичности // Прикл. матем. и механика. Т. 16. Вып. 5. 1952. С. 617-619.

40.Оптимально-напряженный свод (ОНС-П). Научные труды ин-та механики МГУ. № 34. Под ред. Панферова В. M. М.: Изд-во МГУ. 1974. 66 с.

41.Панферов В. М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для твердых тел с разными свойствами на сжатие, растяжение и кручение // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180. № 1.

42.Писарепко Г. С., Лебедев А. А., Ламашевский В. П. Экспериментальное исследование закономерностей деформирования углеродистой стали в условиях сложного напряженного состояния при низких температурах // Проблемы прочности. 1969. № 5.

АЪ.Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

44.Регелъ В. Р., Бережкова Г. В. Влияние вида напряженного состояния на параметры кривых течения некоторых пластмасс // В кн.: Некоторые проблемы прочности твердого тела. M.-JL: Изд. АН СССР. 1959.

45.Салганик Р. Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С. 149 - 158.

46.Ставрогин А. И., Протосеня А. Г. Пластичность горных пород. М.: Недра, 1979. 301 с.

47.Строков В. И., Барабанов В. Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния // Завод, лаб. 1974. № 9. С. 11411144.

4%.Хачатрян А. А. О единственности решения задачи в разномодульной теории упругости // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1972. Т. 25. №6.

49.Хачатрян А. А. Единственность решения в разномодульной теории упругости // ДАН Арм. ССР. Механика. 1973. Т. 61. № 4.

50 .Цвелодуб И. Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов // В сб.: Динамика сплошной среды. Вып. 32. Новосибирск, Изд-во ин-та гидродинамики СО АН СССР. 1977.

51 .Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

52. Черепанов Г. П. О распространении трещин в сплошной среде // Прикладная математика и механика. Т. 31. № 3. 1967. ЪЪ.Шапиро Г. С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Инж. журнал МТТ. 1966. №2.

54.Bromberg К. В. Critical review of some methods in non-linear fracture mechanics//Eng. Fract. Mech. 1995. Vol. 50. №2. P. 157-164.

55.Budiansky В., O'Connel R. J. Elastic moduli of a cracked solid // Int. J. Solids Structures. 1976. Vol. 12. № 2. P. 81 - 97.

56.Dong P., Pan J. Plain-strain mixed-mode near-tip fields in elastic perfectly plastic solids under small-scale yielding conditions // Int. J. Fract. Vol. 45. 1990. P. 243-262.

51.Dong P., Pan J. Asymptotic crack-tip fields for perfectly plastic solids under plane-stress and mixed-mode loading conditions // J. Appl. Mech. Vol. 57. 1990. P. 635-638.

5%.Hutchinson J. W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material // J. Mech. and Phys. Solids. 1968. V. 16. № 1. P. 13 -31.

59.Hutchinson J. W. Plastic stress and strain fields at crack tip // J. Mech. and Phys. Solids. 1968. V. 16. № 5. P. 337 - 347. 60.Irwin G. R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack transversing a plate I I J. Appl. Mech. 1957. V. 24. № 3. P. 361 -364. 61 .Jones R. M., Nelson D. A. R. Material models for non-linear deformation of graphite //AIAA Journal. 1976. Vol. 14. № 6. b2.Jones R. M., Nelson D. A. R. Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite // AIAA Journal. 1976. Vol. 14. № 10. . (Рус. перев.: Ракетная техника и космонавтика. 1976. № 10.)

63.Jones JR. М. Stress-strain relation for materials with different moduli in tension and compression // AIAA Journal. 1977. Vol. 15. № 1. (Рус. перев.: Ракетная техника и космонавтика. 1977. № 1.)

64.Kratsch К. М., Schutzler J. С., Eitman D. A. Carbon-carbon 3-D orthogonal material behaviour // AIAA Paper. 1972. № 365.

65Х/ F. Z., Pan J. Plain-strain crack-tip fields for pressure-sensitive dilatant materials // J. Appl. Mech. Vol. 57. 1990. P. 40-49. 66.Pan J. Asymptotic analysis of a crack in a power-law material under combined in-plane and out-of-plane shear loading conditions // J. Mech. Phys. Solids. 1990. Vol. 38. P. 133 -159.

61.Pan J., Shih C. F. Elastic-plastic analysis of combined mode I and III crack-tip fields under small-scale yielding conditions // J. Mech. Phys. Solids. 1990. Vol. 38. P. 161 -181.

6%.Pan J., Shih C. F. Elastic-plastic analysis of combined mode I, II and III crack-tip fields under small-scale yielding conditions // Int. J. Solids Structures. 1992. Vol. 29. № 22. P. 2795 -2814.

69 .Reynolds O. On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact. Phylos. Mag., Ser. 5. 1885. Vol. 20. M> 127. P. 469-481.

10.Rice J. R. Mathematical analysis in the mechanics of fracture // B kh.: "Fracture". V. 2. "Academic Press", N.-Y.— London, 1968. l\.Rice J. R., Rosengren G. F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material // J. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16. № 1. P. 1 - 12.

11.Rudnicki W., Rice J. R. Condition for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials // J. Mech. Phys. Solids. 1975. V. 23. P. 371 - 394.

13.Tabaddor F. Two-dimensional bi-linear orthotropic elastic materials // J. Composite Materials. 1969. Vol. 3. № 4.

74. Walsh J. B. The effect of cracks on the uniaxial elastic compression of rocks // J. Geophys. Res. 1965. V. 70. № 2. P. 399-411. 1 S.Walsh J. B. The effect of cracks on the compressibility of rocks // J.

Geophys. Res. 1965. V. 70. № 2. P. 381 - 389. 16. Walsh J. B. The effect of cracks in rocks on Poisson's ratio // J. Geophys. Res. 1965. V. 70. № 2. P. 5249-