Осесимметричные течения вязко-пластической среды с застойными зонами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Сергей Федорович

• Кузнецов, Сергей Федорович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Сергей Федорович

СОДЕРЖАНИЕ

С.

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

1.1. Основные соотношения для вязко-пластических сред

1.2. Постановка задачи

1.3. Уравнение течения несжимаемой вязко-пластической среды

1.4. Застойные зоны

2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ

2.1. Метод решения

2.2. Реализация процесса решения для случая течения с застойными зонами

2.3. Механические характеристики течения

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ

3.1. Установившееся течение вязко-пластической среды между двумя концентрическими сферами

3.2. Течение вязко-пластической среды между сферой и эллипсоидом

3.3. Течение вязко-пластической среды между сферой и параболическим телом

3.4.Течение вязко-пластической среды между сферой и коническим телом

3.5. Продолжение решения в жесткую область

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Осесимметричные течения вязко-пластической среды с застойными зонами»

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе исследуются задачи установившегося течения вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями, которое возникает вследствие вращения одной из поверхностей с постоянной угловой скоростью. Другая'поверхность остается неподвижной.

Модель вязко-пластического тела используется для изучения поведения многих материалов, находящих широкое применение в различных отраслях промышленности. К таким материалам относятся строительные растворы, смазочные масла, краски, топливные, пищевые и кондитерские смеси, эмульсии. Кроме того, нефти и густые нефтепродукты (мазут, пластичные смазки - литол, солидол и т. п.) могут быть отнесены к вязко-пластическим средам. Как вязко-пластические среды ведут себя в процессе обработки при высоких температурах и давлении многие металлы. Исследования в области вязко-пластичности находят применение в нефтяном деле, в химической и перерабатывающей промышленностях, в фармацевтике и медицине, при обработке металлов давлением. Не менее актуален расчет технологических процессов, в которых обрабатываемым материалом является вязко-пластическое тело.

В производственных процессах, связанных с перемещением вязко-пластических материалов, при определенных условиях могут возникать застойные зоны - области, где среда остается в жестком состоянии. Это явление нежелательно, когда приходиться иметь дело с перемешиванием пищевых масс. В других случаях застойная зона может защитить стенки от химически агрессивных сред. Информация о распределении скоростей и границах возникающих застойных зон, а также механических характеристиках течения необходима для выбора оптимальных режимов обработки материалов, обладающих вязко-пластическими свойствами.

Именно с этих позиций задача разработки и использования методов исследования деформирования вязко-пластических сред является актуальной и представляет не только теоретический, но и практический интерес.

С позиции механики сплошной среды материалы, у которых наряду с пластическими обнаруживается присутствие и вязких свойств, с достаточной степенью точности для инженерных расчетов могут быть описаны упруго-вязко-пластичной моделью. Ознакомиться с теорией вязкопластичности и примерами использования вязко-пластических сред, найти обширную библиографию и обзоры полученных результатов можно в работах [14, 24, 53, 55, 61, 66, 77, 78, 88].

Сен-Венаном [82] была отмечена возможность получения уравнений для изучения движений жидкости, в которой существуют касательные напряжения двух типов: одни - зависящие от скорости (вязкие) и другие - не зависящие от скорости (жесткопластические), путем прибавления к компонентам напряжений для жесткопластической среды слагаемых, пропорциональных компонентам тензора скоростей деформации и соответствующих трению в вязких жидкостях.

Однако, интерес к вязко-пластической модели возник на рубеже XIX-XX столетий как в связи с запросами промышленной технологии, так и с интересами коллоидной химии и биологии. В работах Ф. Н. Шведова [115], Е. Бин-гама и Г. Грина [101] было показано, что ряд реальных материалов обладает свойствами не только вязкой жидкости, но и упруго-пластического тела. К такому выводу пришел Шведов в 1889 году, исследуя поведение коллоидных дисперсий. В 1919 году Бингам и Грин обнаружили комбинацию пластичности и вязкости у масляной краски.

Модель вязко-пластической среды впервые была предложена Шведовым [116] и, независимо от него, Бингамом [102] для описания движения структуро-образующих суспензий в условиях чистого сдвига.

Кроме того, возрождение интереса к модели вязко-пластической среды было обусловлено технологическими задачами обработки металлов давлением при достаточно высоких температурах [19, 36, 37]. Г. Генки [19] и А. А. Ильюшин [37] обобщили гипотезу Шведова-Бингама, предложенную для случая чистого сдвига. Ими были предложены дифференциальные уравнения движения несжимаемых вязко-пластических сред. А. А. Ильюшиным [37], Дж. Олдрой-дом [107] и В. Прагером [111] был сформулирован вариационный принцип вязко-пластических течений. В работе [39] с применением условий пластичности Мизеса получены уравнения пространственного деформирования вязко-пластичных сред. Различные формы уравнений движения даны в [53]. В [5] получены дифференциальные уравнения движения сжимаемых вязко-пластических сред с использованием уравнения состояния Г. Н. Ляхова. В работе [72] с использованием кусочно-линейных потенциалов производится линеаризация уравнений движения вязко-пластической среды. Уравнение пространственного движения при кусочно-линейных потенциалах, соответствующих максимальному напряжению, рассмотрено в [33]. Физическая теория вязкопластичности развита в работах [40, 73, 74]. В [52] предложена вязко-пластическая модель для описания поведения грунтов. В [88] обсуждаются различные обобщения реологического уравнения Шведова-Бингама. Полная система уравнений осе-симметричной задачи для вязко-пластичной среды, вязкое сопротивление которой описывается законом Ньютона, получено в работе [18].

Известно небольшое число задач, для которых было проинтегрировано уравнение стационарного вязко-пластического течения вещества [102] и получено точное решение. Как правило, при их решении отличной от нуля является лишь одна компонента скорости. В основном решены одномерные стационарные и нестационарные задачи для вязко-пластических сред, приводящиеся к линейным уравнениям. Основная сложность, возникающая при решении задач деформирования вязко-пластических сред связана с тем, что в области, заполненной средой, часть среды не деформируется и все время остается в жестком

состоянии. Эту часть называют застойной зоной. В жестких зонах касательные напряжения ниже предела текучести. Уравнение границ застойных зон заранее неизвестно и определяется в процессе решения задачи.

Задача об установившемся течении в круглой трубе под действием перепада давления была решена в [103], а позднее в [36]. Было получено распределение скоростей, выведена формула для расхода среды, найдены размеры жесткого ядра. В работе [12] получено точное решение задачи о течении вязко-пластической среды под действием постоянного перепада давления в трубах некругового сечения.

В [15] решена задача о стационарном движении через щелевой и кольцеобразный капилляры. В работе [109] приведены некоторые точные решения о прямолинейном установившемся течении вязко-пластической среды между двумя цилиндрическими поверхностями.

В [113] найдено соотношение между крутящим моментом и угловой скоростью вращения внешнего цилиндра при установившемся течении в зазоре между двумя вращающимися соосными круговыми цилиндрами. Другие примеры точных решений для стационарных течений вязко-пластического материала в трубах и между вращающимися коаксиальными цилиндрами приведены в [68].

Продольное движение в вязко-пластической среде круглого цилиндра под действием постоянной приложенной к нему силы исследовано в [87]. В [62] линеаризовано уравнение движения при помощи преобразования Лежанд-ра и получены точные решения задачи о продольном установившемся движении бесконечно длинного цилиндра в безграничной вязко-пластической среде. Решение задачи о вращении круглого цилиндра в вязко-пластичной среде приведено в [53].

В [16] найдено решение задачи о течении вязко-пластического материала по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Определена толщина слоя, при которой течение не возникает.

Задачи о течении вязко-пластической среды в условиях сложного сдвига представлены в [9, 63, 112]. Рассмотрены задачи о течении в плоском зазоре и между двумя коаксиальными круговыми цилиндрами. Причинами течения являются: для первого случая - перепад давления и движение одной из плоскостей, и перепад давления и вращение внутреннего цилиндра для второго. Характер возникающего течения исследован в зависимости от соотношения между этими параметрами.

Одномерные стационарные течения вязко-пластической среды при нелинейной вязкости изучались в работах [49, 93]. Рассмотрено течение, вызываемое продольным движением цилиндра [49] и течение в области, клинообразной в плане [93].

Установившееся течение внутри двугранного угла исследовано в работах [95, 96]. В [95, 97] решена задача о деформировании вязко-пластического материала между соосными конусами.

Вращательное движение вязко-пластичных сред рассмотрено в [53, 78]. Формулирование граничных условий при вращательном движении вязко-пластических сред и задачи, связанные с теорией ротационных вискозиметров, даны в монографии [1].

Стационарному вращению осесимметричных тел в неограниченной вязко-пластической среде посвящены работы [2, 4, 25]. При этом рассматривались простейшие осесимметричные тела: сфера [4], цилиндр [2], конус [25].

В [48] рассмотрен вопрос о движении вязко-пластичной жидкости в зазоре коаксиальных цилиндров при вращении внутреннего цилиндра. Теоретическое решение задачи течения нелинейной жидкости для аналогичного случая получено в [90]. В [29] рассмотрено плоское осесимметричное вращение линейной вязкопластичной среды над круглым отверстием. В [26] исследовано течение между жесткими вращающимися параллельными дисками. Течение среды на вращающемся конусе, а также в зазоре между соосными конусами одинакового раствора, дано в [27]. В работе [80] рассмотрено течение вязко-

пластической среды, примыкающей к цилидру, вращающемуся с переменной угловой скоростью. Найдены распределение скоростей течения и радиус его распространения.

Если коэффициент вязкости вязко-пластической среды стремится к нулю, то вязко-пластическое течение локализуется внутри сравнительно узких областей, заключенных между жесткой границей и областями жесткого состояния среды. Возникают условия пограничного слоя, который впервые для плоских течений был проанализирован в [108] в задаче об обтекании пластины потоком вязко-пластической среды. Полная постановка задачи обтекания затупленных тел вязко-пластической средой рассмотрена в работе [64]. Теоретические выводы [64] подтверждены экспериментальными исследованиями [10,11]. Показано, что при определенных условиях впереди затупленного тела при его обтекании существует передняя застойная зона, движущаяся как твердое целое вместе с ним. Некоторые задачи, связанные с пограничным слоем на двумерных поверхностях, рассмотрены в [3]. Исследование пограничного слоя при сдавливании вязко-пластической среды жесткими плитами выполнено в работе [65]. Уравнения пограничного слоя нелинейной вязко-пластичной среды на произвольной криволинейной поверхности выведены в [100].

В [41] с использованием приближений, принятых в теории пограничного слоя, исследуется стационарное вращение произвольного выпуклого осе-симметричного тела. Получены общие формулы для толщины зоны сдвигового течения, касательного напряжения на поверхности вращающегося тела, крутящего момента и объема среды, увлекаемого телом. Используя результаты [100] в работе [42] исследовано стационарное вращение твердой сферы в нелинейно-вязкопластической среде методами теории пограничного слоя. Отмечено, что полученные результаты согласуются с [41].

В [79] рассмотрено вращение буровой колонны в глинистом растворе, являющейся нелинейной вязко-пластической средой Гершеля-Балкли. Выявлен критерий существования застойной зоны. В [104] рассчитаны ламинарные осе-

симметричные течения вязко-пластичной жидкости с использованием реологической модели Гершеля-Балкли. Гидродинамика ламинарного изотермического слоя в сферической паре трения рассмотрена в [70].

В работе [37] была отмечена возможность применения метода Ритца к построению приближенного решения для течения вязко-пластической среды. Но, не смотря на это, возможность вариационной постановки соответствующих задач долгое время не использовалась. Основная трудность применения вариационных методов к теории движения вязко-пластических сред состояла в установлении эквивалентности традиционной постановки задачи в терминах дифференциальных соотношений некоторой задаче о минимуме функционала.

Возможность такой связи отмечалась в [37, 107]. Однако в этих работах не рассматривался основной для вязко-пластической среды случай, когда в области, заполненой средой, существуют области жесткого состояния.

С выходом работ [55, 56, 57, 58, 59] положение изменилось. Было показано, что вариационная постановка обладает рядом преимуществ: отпадает необходимость в записи дополнительных краевых условий на неизвестных границах, отделяющих области течения от областей, внутри которых среда не деформируется. Определение этой границы представляет одно из основных затруднений при численном исследовании задачи.

В работе [55] проведено качественное исследование характера установившегося течения несжимаемой вязко-пластической среды в трубах произвольного поперечного сечения, доказаны теоремы существования и единственности решения, установлены необходимые и достаточные условия существования решения с отличной от нуля скоростью. Доказано существование хотя бы одного жесткого ядра внутри области течения. Отмечено, что из-за существования областей жесткого состояния среды функционал является недифферен-цируемым, и переход от вариационного принципа к соответствующим уравнениям Эйлера требует дополнительного исследования. В [54] дано обоснование эквивалентности дифференциальной и вариационной постановок задачи.

В [56] рассмотрено существование застойных зон при течении в трубах. Дана оценка кривизны границ застойных зон и жестких ядер. Сформулированы необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяет функция, минимизирующая исходный функционал. Показано, что уравнение Эйлера применимо в областях, для которых градиент скорости отличен от нуля.

В [58, 59] даны примеры использования вариационного асимптотического метода. В [61] содержится последовательное изложение механики жестко- и вязко-пластических сред на основе неклассического вариационного исчисления.

Исследованию течений вязко-пластической среды методом вариационных неравенств посвящены работы [21, 30]. В работе [21] уделено внимание задаче о течении среды Бингама-Шведова в трубах. Приведены возможные аппроксимации исходной задачи на основе методов конечных элементов и конечных разностей, доказана их сходимость. Рассмотрены различные методы решения соответствующих конечномерных задач и проведено сравнение их эффективности. Исследованы методы регуляризации и двойственности, причем использование последних признано более предпочтительным. Изучены как стационарные, так и нестационарные задачи.

Решение задач течения вязко-пластических сред связано с математическими трудностями. Наличие жестких областей при дифференциальной постановке задачи приводит к краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в областях с неизвестными границами. При вариационной постановке в этом случае получают задачу отыскания минимума нелинейного недифференцируемого функционала. Поэтому для решения задач вязко-пластического течения разрабатывают и используют приближенные методы.

Для преодоления недифференцируемости функционала можно использовать метод регуляризации, примером применения которого является работа [51]. В ней используется реологическое уравнение Уильямсона [88], которое в

предельном случае переходит в уравнение Бингама-Шведова. Правомерность использования близких реологических моделей обсуждается в [59, 61].

При решении краевых задач, полученных с помощью модели Уильям-сона, возможно использование методов, изложенных в [50] применительно к движению нелинейно-вязкой жидкости.

Методика нахождения приближенного решения вариационной задачи о стационарном течении вязко-пластической среды в цилиндрических трубах под действием перепада давления изложена в [44].

Исследование пограничного слоя в вязко-пластической среде при малой вязкости в рамках вариационного подхода дано в [60] на примере задачи о движении цилиндра в направлении его оси. Процедура построения решения краевой задачи вязко-пластичности применима как к дифференцируемому, так и к недифференцируемому функционалам. Получены количественные оценки точности приближения.

В [46] задача о нагружении слоя полимера силами сведена к поиску минимума функционала, недифференцируемость которого преодолевается с помощью регуляризации. В [118] сформулирован параметрический вариационный принцип для решения краевых задач теории вязкопластичности в рамках модели Пэжины.

А. А. Ильюшин [37] для решения простых задач вязко-пластичной среды предложил метод "близких движений", в котором известная функция тока определенной задачи с определенными граничными условиями используется для определения функций тока задачи с граничными условиями, каждая из которых лишь незначительно отличается от предыдущей задачи. Этот метод был использован для анализа устойчивости движения. Устойчивость вязко-пластического течения Куэтта-Тейлора исследована в [20] методом интегральных соотношений.

В [17] предложен приближенный метод решения задач без линеаризации уравнений вязко-пластического течения на примере движения среды в трубе круглого сечения и в ротационном вискозиметре.

При решении краевых задач вязко-пластичности используется метод возмущений [13, 31]. В работах [8, 31, 32, 94] рассмотрено образование застойных зон на возмущенных границах. Решение ищется методом малого параметра.

В [8] решены задачи о течении вязко-пластического материала при постоянном перепаде давления в эллиптической трубе и в пространстве между двумя соосными цилиндрами эллиптического сечения. Течение в канале с возмущенной границей рассмотрено в [31].

В [32] решена задача о течении между двумя цилиндрами, из которых внешний движется, а внутренний покоится. Продольное установившееся движение цилиндра в вязко-пластической среде рассмотрено в [94]. В [110] получены аналитические выражения, содержащие функцию Бесселя, для характеристик течения жидкости Бингама между двумя соосными круговыми цилиндрами при движении внутреннего вдоль оси поступательно с постоянной скоростью. В [22] предложен метод исследования вязко-пластических сред при сложных граничных условиях, основанный на введении понятия "эквивалентная вязкость" и ее последующем определении, что позволяет обосновать переход от уравнений Генки к уравнениям Навье-Стокса в анализируемых задачах при относительно малых числах Сен-Венана. В [23] в рамках модели Бингама решена задача о течении между двумя круглыми цилиндрическими пластинами при их соосном поступательном движении относительно друг друга.

В [75, 76] приближенное решение для случая течения при наличии развитых застойных зон находится с помощью итерационного метода, на каждом шаге которого решается краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Решение задачи о винтовом движении бингамовской жидкости между соосными цилиндрами путем метода группового анализа дифференциальных уравнений дано в [83]. В [105] решение нелинейной системы алгебраических уравнений для вязко-пластичной модели строится при помощи проекционного метода в комбинации с методом Ньютона.

В работе [85] методом конечных разностей получено решение некоторых задач одномерного нестационарного движения вязко-пластической среды в полупространстве и вне кругового бесконечного цилиндра.

В работе [6] методом локальных вариаций найдено приближенное решение задач стационарного течения в квадратной трубе и в наклонном канале прямоугольного сечения с использованием конечно-разностной аппроксимации. В статье [81] на основе вариационного принципа и конечно-элементной [67, 86] аппроксимации исследовано кинематическое состояние вязко-пластического течения.

В [114] обсуждается применение метода конечных элементов (МКЭ) к решению осесимметричных задач вязкопластичности. В [45] изложены методы . решения осесимметричных задач теории течения вязко-пластической среды по МКЭ. В [46] получено численное решение задачи МКЭ.

В [106] описаны различные формулировки метода граничных элементов (МГЭ) и МКЭ, используемых при численном решении задач с учетом конечных деформаций и конечных перемещений. В [71] решение краевой задачи сводится к МГЭ.

Приложение метода граничных интегральных уравнений к решению задач вязкопластичности рассмотрено в [117]. После дискретизации полученные уравнения преобразуются к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно напряжений в фиксированных граничных узлах и внутренних точках.

Таким образом, приведенный обзор работ, являющихся частью существующей обширной исследовательской литературы по экспериментально-

теоретическим вопросам вязкопластичности, позволяет сделать следующий вывод: проблема разработки и использования методов решения задач деформирования вязко-пластических сред остается актуальной и имеет большое практическое значение.

Целью настоящей работы является исследование течения несжимаемой вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями, одна из которых неподвижна, а другая вращается с постоянной угловой скоростью, и получение качественного и количественного описания процесса деформирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1) выбор математической модели, описывающей поведение вязко-пластической среды;

2) формулировка краевой задачи для данной модели, учитывая наличие застойных зон;

3) применение специального метода для решения полученной краевой задачи, позволяющего сделать упрощения и получить решение дифференциального уравнения в частных производных в области с неизвестной границей;

4) определение неизвестной границы, отделяющей область течения от области жесткого состояния среды (застойной зоны).

Научная новизна. На основе модели Бингама-Шведова проведено исследование ряда конкретных случаев установившегося осесимметричного течения вязко-пластической среды с застойными зонами, не встречающееся в публикациях других авторов. Рассмотрены задачи деформирования вязко-пластического материала между двумя концентрическими сферами, между сферой и эллипсоидом, между сферой.и параболическим телом, между сферой и коническим телом. Для отыскания неизвестной границы, отделяющей область течения от области жесткого состояния, предложен прием, основанный на упрощении дифференциального уравнения, описывающего течение среды.

Показан способ нахождения характерных значений параметра среды, связанных с процессом возникновения и развития застойных зон.

Практическая значимость. Полученные результаты могут найти применение для вычисления значений реологических констант среды при экспериментальных определениях этих величин в ротационных вискозиметрах, при инженерных расчетах различных случаев течения сред (теория смазок, процессы, связанные с перемешиванием масс и т.д.) и при разработке проектов различных технологических процессов. Представленный алгоритм решения краевой задачи может быть развит как метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Метод исследования. Для исследования процесса деформирования вязко-пластической среды были использованы методы механики сплошной среды. Получено уравнение течения и сформулированы соответствующие граничные условия. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных было сведено эвристическим методом к специальному итерационному процессу, на каждом шаге которого осуществлялось решение обычными численными методами краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.

Достоверность и обоснованность результатов работы базируется на аргументированности исходных предпосылок и корректной математической постановке задачи деформирования вязко-пластической среды. Полученные в работе результаты согласуются с физическими представлениями. Правильность функционирования элементов программы проверена путем решения тестовых задач.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы: - прием для нахождения неизвестной заранее границы, разделяющей область течения и область жесткого состояния среды;

- решение ряда ранее не исследованных задач установившегося течения вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями, которое возникает вследствие вращения одной из поверхностей;

- нахождение характерных значений параметра среды, связанных с возникновением и процессом развития застойных зон;

- выявление влияния геометрических параметров и параметра среды на форму застойной зоны и величину механических характеристик течения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в Воронежской государственной технологической академии и Воронежском государственном университете, на региональном межвузовском семинаре "Процессы теплообмена в энергомашиностроении" (г. Воронеж, 1996), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (1997), а также на научных конференциях ВГТА (1993, 1994, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы представлены в следующих публикациях:

1. Кузнецов С.Ф., Чернышов А.Д. О движении вязко-пластической среды между двумя сферическими поверхностями // Матер. XXXIII отчет, науч. конф. за 1993 год / Воронеж, технол. ин-т. - Воронеж, 1994. - С. 283.

2. Кузнецов С.Ф., Чернышов А.Д. Исследование деформирования вязко-пластического материала между двумя сферами // Матер. XXXIV отчет, науч. конф. за 1994 год / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 1994. - С. 290.

3. Кузнецов С.Ф. Образование застойных зон между двумя вращающимися эллипсоидальными телами // Процессы теплообмена в энергомашиностроении: Тез. докл. регион, межвуз. семинара / Воронеж, гос. техн. ун-т. - Воронеж, 1996. - С. 63.

4. Кузнецов С.Ф., Чернышов А.Д. Эволюция застойных зон между двумя вращающимися эллиптическими поверхностями // Современные методы

теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. школы / Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1997.-С. 100.

5. Кузнецов С.Ф. Движение вязко-пластической среды между сферой и коническим телом внутри сферы // Матер. XXXV отчет, науч. конф. за 1996 год. В 2 ч. / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 1997.- Ч 2. - С. 41.

6. Кузнецов С.Ф., Чернышов А.Д. Вращение сферического тела в неограниченной вязко-пластической среде // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тез. докл. школы / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1998.- С. 153.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, а также списка литературы из 118 наименований и содержит 87 страниц текста. Работа включает 20 рисунков.

В первой главе приведены основные соотношения для вязко-пластических сред и сведения о процессе ее деформирования. Дана постановка задачи о течении вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями, одна из которых неподвижна, а другая вращается с постоянной угловой скоростью. Выведено уравнение движения несжимаемой вязко-пластической среды и сформулирована краевая задача для случая течения без застойных зон и с застойными зонами.

Во второй главе описан эвристический метод приближенного решения поставленной задачи, позволяющий организовать итерационный процесс, на каждом шаге которого решается одна краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения. Предложен прием для нахождения заранее неизвестной границы застойной зоны, основанный на упрощении исходного дифференциального уравнения, описывающего течение среды. Рассмотрены механические характеристики течения.

В третьей главе на основе модели Бингама-Шведова проведено исследование ряда задач установившегося вращательного движения вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями. Рассмотрены

задачи течения в области между двумя концентрическими сферами, между сферой и эллипсоидом, между сферой и параболическим телом, между сферой и коническим телом. Найдено численное решение указанных задач для различных значений параметра среды при определенных значениях параметров, характеризующих геометрию области течения. Определена граница застойных зон. По полученному полю скоростей рассчитаны характеристики течения. Вычислены момент сил трения, действующих на поверхности вращающегося тела, объем среды, увлекаемый в движение вращением. Приведены их зависимости от параметра среды. Рассмотрена возможность продолжения решения в жесткую область на примере задачи для концентрических сфер.

1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

1Л. Основные соотношения для вязко-пластических сред

Для изучения математическими методами материалов, обладающих вязко-пластическими свойствами, используется модель вязко-пластического тела Бингама-Шведова. Его реологическая кривая, изображенная на рис. 1.1,

Рис. 1.1. Реологическая кривая тела Бингама-Шведова задается уравнением [102]

т = т0+|иу, (1.1.1)

где х - напряжение сдвига; То - предел текучести; ц - коэффициент вязкости; у - скорость сдвига.

Течение возникает, если интенсивность касательных напряжений превышает предел текучести т0, о котором будем предполагать, что он определяется условием Мизеса [34]. Там, где напряжения ниже этого предела, среда не деформируется (остается твердой).

В области вязкого течения закон поведения вязко-пластической среды определяется соотношением [35, 89]

а, = (л/2 т0 (еи би)"ш +2ц)8,-рЬу,

(1.1.2)

Р = 3,

где а,у - тензор напряжений; .е,у - тензор скоростей деформаций; р - гидростатическое давление.

В предельном случае , когда р = 0, имеем идеально-пластическое тело, удовлетворяющее условию Мизеса [34]. Другой предельный случай ( т0 = 0) соответствует несжимаемой вязкой жидкости Ньютона. То есть модель вязко-пластического тела содержит в себе как частные случаи модели идеально-пластической среды и вязкой жидкости.

Если не учитывать инерционные эффекты, то уравнения движения произвольной сплошной среды

(1-1-3)

записанные в предположении отсутствия внешних сил, упрощаются,

<^=0, (1.1.4)

Уц = 0 (¿=1,2,3).

(1.1.5)

Уравнения (1.1.4) называются уравнениями равновесия, а уравнение (1.1.5) представляет собой условие несжимаемости.

1.2. Постановка задачи

Пусть область течения вязко-пластической среды ограничена двумя осесимметричными поверхностями. Одна из поверхностей неподвижна, а другая вращается с постоянной угловой скоростью со0- Все дальнейшие рассуждения для данной задачи будем проводить в сферической системе координат (р, ф, 9). При вращении тела естественно предположить, что отличной от нуля будет лишь одна компонента скорости течения среды , обозначаемая в дальнейшем V. Из уравнения неразрывности (1.1.5) в сферической системе координат следует

т. е. профиль распределения скоростей в любой плоскости ср = const будет один и тот же.

Контуры сечений подвижной и неподвижной поверхностей, между которыми заключена вязко-пластическая среда , обозначим Г0 и Г\ соответственно и зададим уравнениями

Скорость течения среды V связана с угловой скоростью со следующим соотношением:

V=V(p,Q),

(1.2.1)

p = R0{Q), р = 2Ы9).

(1.2.2)

V= р со(р,Э) sin 0 .

(1.2.3)

Используя условие прилипания частиц среды к жестким поверхностям, получим два граничных условия

col =оз0, col = 0, (1.2.4)

11 „ 111

которые выполняются в случае, если в области течения между подвижной и неподвижной поверхностями нет застойных зон.

1.3. Уравнение течения несжимаемой вязко-пластической среды

Компоненты тензора скоростей деформации вгу связаны с компонентами вектора скорости частиц среды соотношением

Ц=(Гц+ГмУ 2- (1-3.1)

В рассматриваемом случае отличными от нуля будут следующие компоненты тензора скоростей деформации и тензора напряжений, записанные в сферических координатах:

8 =

r\ dv ctge

.р эе р j

стй,„ =

2ц +

/2,2 Г

\80ф 8РФ/ -

Se

8 Л

рф 2

dV V

V3p р

(1.3.2)

2fi +

То

(£0Ф'+8Рф) J

'рф

С^рр = = CJee = -р.

Учитывая соотношение (1.2.3), можно переписать формулы (1.3.2) в более удобной форме

80ф = О)0 sinG/2, Sp(p = PC0psin9/2:

Ga„ =

JLl sinO +

(со e+P

,1/2

2 2 <V J

coe,

a =

рф

]i sin9

2 , 2 ,036+P CO

,1/2

pCO(

p /

(1.3.3)

а = а = агш = - р.

рр фф 09 -Г

Уравнения равновесия (1.1.4) для вязко-пластической среды в сферической системе координат примут вид

до 1 Э(Т 1 до 1

рф A w Am 1 w mm 1

+ ■

фф

Эр p 59 psinG Эф p

dp/dp = 0, dp/dQ = 0,

(3crP9+2ae<pctge) = o,

(1.3.4)

Отсюда следует, что p - р(ф) и ф/ckp = const. Из условия периодичности давленияр(ф) =р{ф +'2тг) получаем dp/dф = 0, т. е. р = const. Поэтому

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кузнецов, Сергей Федорович

8. Результаты работы можно использовать при инженерных расчетах в теории смазок, при изучении вискозиметрических течений, в технологических процессах перемешивания масс. Кроме того, полученные результаты могут быть полезны при решении других подобных задач, а представленный алгоритм нахождения решения краевой задачи может быть развит как метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема, связанная с деформированием вязко-пластических материалов, довольно обширна. В данной работе выделена и рассмотрена одна из множества возникающих в связи с этим задач: задача деформирования вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями, одна из которых неподвижна, а другая вращается с постоянной угловой скоростью. В таких течениях могут возникать области жесткого состояния среды (застойные зоны), граница которых заранее неизвестна, что в значительной мере усложняет нахождение решения.

Для исследования поставленной задачи, используя методы механики сплошной среды, получено уравнение течения и сформулированы соответствующие граничные условия. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных эвристическим методом была сведена к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, решение которой осуществлялось обычными численными методами.

Основные полученные результаты и выводы работы заключаются в следующем:

1. Для исследования процесса деформирования вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями получено дифференциальное уравнение течения и сформулирована краевая задача для случая течения без застойных зон и с застойными зонами.

2. Применительно к случаям осесимметричного течения описан эвристический метод приближенного решения задачи деформирования вязко-пластической среды, в основе которого лежит идея об использовании имеющейся информации о поведении искомого решения для упрощении исходных уравнений. Решение найдено с помощью организованного итерационного процесса, на каждом шаге которого решалась одна краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения. Приближенное решение, соответствующее одной простой итерации, получено в аналитическом виде.

3. Решение задач деформирования (течения) вязко-пластических сред связано с необходимостью отыскания неизвестной границы, отделяющей область вязкого течения от области жесткого состояния. Для определения формы границы предложен простой прием, основанный на некотором упрощении дифференциального уравнения, описывающего течение среды.

4. Для ускорения сходимости последовательности приближений к решению краевых задач использована схема, комбинирующая метод Эйткена-Стеффенсена и простейший однопараметрический итерационный процесс.

5. Показан способ нахождения характерных значений параметра среды, связанных с возникновением и процессом развития застойных зон.

6. Проведено численное исследование ряда конкретных случаев установившегося течения вязко-пластической среды с застойными зонами. Рассмотрены задачи деформирования вязко-пластического материала между двумя концентрическими сферами, между сферой и эллипсоидом, между сферой и параболическим телом, между сферой и коническим телом. Для этих задач определены распределение угловых скоростей, форма границы застойной зоны, момент сил трения, действующих на поверхности вращающегося тела; объем среды, увлекаемый вращающейся поверхностью.

7. Выявлено влияние геометрических параметров и параметра среды на форму застойной зоны и величину механических характеристик течения. Информация о распределении скоростей частиц и механических характеристиках течения необходима для выбора оптимального режима управления технологическими процессами, связанными с обработкой вязко-пластических материалов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Сергей Федорович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аббасов А. А. Гидродинамические исследования вопросов движения вязких и вязко-пластичных жидкостей. - Баку: Изд-во АН АзССР, 1967. - 80 с.

2. Астрахан И. М. Круговое вращательное движение вязко-пластичной жидкости в пограничном слое на круговом цилиндре // Изв. вузов. Нефть и газ. -1960.-№7.- С. 85-90.

3. Астрахан И. М. Об уравнениях движения вязкопластической жидкости в пограничном слое на произвольной поверхности // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. Механика и машиностроение. - 1960. - № 2. - С. 54-59.

4. Астрахан И. М. Некоторые решения уравнений пограничного слоя в вязко-пластичной жидкости // Тр. Моск. ин-та нефтехим. и газовой пром-ти. - 1964. - вып. 46. - С. 94-100.

5. Астрахан И. М., Григорян С. С. О полной системе уравнений сжимаемой вязко-пластичной жидкости // Прикл. математика и механика. - 1959. - Т. 23, вып. 6.-С. 1142-1143.

6. Баничук Н. В. Расчет течений вязко-пластической среды в трубах методом локальных вариаций // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1966. -№6.- С. 197-200.

7. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 632 с.

8. Белозеров В. Б., Знаменский В. А., Листров А. Т. О течении вязко-пластической среды в трубах некругового сечения // Прикл. механика и техн. физика. - 1965. -№ 4. - С. 131-136.

9. Бостанджиян С. А., Столин А. М. Некоторые случаи течения вязко-пластической жидкости в плоском зазоре и между двумя коаксиальными цилиндрами // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - № 4. - С. 160-164.

10. Булина И. Г, Савин В. Г. Образование передней застойной зоны при обтекании затупленных тел вязко-пластической жидкостью // Докл. АН СССР. -1962.-Т. 145, № 1.-С. 56-58.

11. Булина И. Г., Мясников В. П., Савин В. Г. Экспериментальное исследование обтекания затупленных тел плоским потоком вязко-пластической среды //Прикл. механика и техн. физика. - 1964. - № 5. - С. 127-131.

12. Быковцев Г. И., Чернышов А. Д. О вязкопластическом течении в некруговых цилиндрах при наличии перепада давления // Прикл. механика и техн. физика. - 1964. - № 4: - С. 76-87.

13 Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. - М.: Мир, 1967. -310 с.

14. Воларович М.П. Исследование реологических свойств дисперсных систем // Коллоид, журн. - 1954. - Т. 16, № 3. - С. 227-240.

15. Воларович М. П., Гуткин А. М. Течение пластично-вязкого тела между двумя параллельными плоскими стенками и в кольцевом пространстве между двумя коаксиальными трубами // Журн. техн. физики. - 1946. - Т. 16, вып. З.-С. 321-328.

16. Воларович М. П., Гуткин А. М. Дискуссия к вопросу о теории течения вязко-пластической среды // Коллоид, журн. - 1953. - Т. 15, № 2. - С. 155-160.

17. Воларович М. П., Гуткин А. М. Некоторые задачи теории течения вязко-пластичной среды // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. - 1955. - № 9. -С. 37-42.

18. Вульфсон С. 3., Гениев Г. А. Осесимметрическая задача для вязко-пластической среды // Исследования по теории и методам расчета строит, конструкций. - М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1984. - С.30-45.

19. Генки Г. О медленных стационарных течениях в пластических с приложениями к прокатке, штамповке, волочению // Теория пластичности. - М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 136-151.

20. Георгиевский Д. В. Вязкопластическое течение Куэтта-Тейлора: распределение жестких зон и устойчивость // Изв. АН. Механика твердого тела. -1994.- №6.-С. 101-106.

21. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - М.: Мир, 1979. - 574 с.

22. Гноевой А. В., Климов Д. М., Чесноков В. Н. Об одном методе исследования пространственных течений вязко-пластических сред // Изв. АН. Механика твердого тела. -1993. - № 4. - С. 150-158.

23. Гноевой А. В., Климов Д. М., Петров А. Г., Чесноков В. Н. Течение вязко-пластичной среды между круглыми параллельными пластинами при их сближении и удалении // Изв. АН. Механика жидкости и газа. - 1996. - № 1. -С. 9-17.

24. Гурбанов Р. С., Касимов А. Ф., Мирзаджанзаде А. X. Гидродинамика вязко-пластических сред // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1967. -№3.- С. 171-179.

25. Гуткин А. М. Движения вязко-пластической среды в зазоре между двумя вращающимися конусами // Коллоид, журн. - 1955. - Т. 17, № 6. - С. 421423.

26. Гуткин А. М. Течение вязко-пластичной среды между вращающимися дисками // Докл. АН СССР. - 1960. - Т. 134, № 5. - С. 1048-1050.

27. Гуткин А. М. Течение вязко-пластичной дисперсной системы на вращающемся конусе // Коллоид, журн. - 1962. - Т. 24, № 3. - С. 283-288.

28. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. П. Численные методы анализа.

- М.: Физматгиз, 1962. - 368 с.

29. Дудко А. С. Влияние стока конечного размера на вращение линейной вяз-копластичной среды // Гидромеханика. - Киев, 1989. - № 59. - С. 44-49.

30. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980.

- 384 с.'

31. Емельянов Е. М., Чернышов А. Д. Об образовании жестких зон в вязко-пластической среде // Прикл. механика и техн. физика. - 1974. - № 3. -С. 143-148.

32. Емельянов Е. М., Чернышев А. Д. Об образовании застойных зон в вязко-пластических материалах на выпуклых и вогнутых участках жестких границ //Прикл. механика и техн. физика. - 1978. - № 5. - С. 158-165.

33. Знаменский В. А., Ивлев Д. Д. Об уравнениях вязко-пластичного тела при кусочно-линейных потенциалах // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. Механика и машиностроение. - 1963. - № 6. - С. 12-16.

34. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука, 1966. - 232 с.

35. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1971.-231 с.

36.Ильюшин А. А. К вопросу о вязко-пластичном течении материала // Тр. конф. по пласт, деформациям (декабрь 1936). - М.: Изд-во АН СССР, 1938. -С. 5-18.

37. Ильюшин А. А. Деформация вязко-пластичного тела // Уч. зап. Моск. унта. Механика. - 1940. - вып. 39. - С. 3-81.

38. Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бри-нелля // Прикл. математика и механика. - 1944. - Т. 8, вып. 3. - С. 201-224.

39. Ишлинский А. Ю. Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. - 1945. - № 3. -С. 250-260.

40. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. - М.: Мир, 1979. - 302 с.

41. Колбовский Ю. Я. Стационарное вращение произвольного осесимметрич-ного тела в неограниченной вязко-пластичной среде // Прикл. механика. -1983.-Т. 19, №2.-С. 68-72.

42. Колбовский Ю. Я., Шанин Н. П. Стационарное вращение твердой сферы в нелинейно-вязкопластичной среде // Машины и технология переработки каучуков, полимеров и резиновых смесей. - Ярославль, 1984. - С. 26-29.

43. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. - М.: Мир, 1969. - 442 с.

44. Корниенко О. Г. Расчет течений вязко-пластической жидкости в цилиндрических трубах произвольного поперечного сечения // Докл. АН УССР. Серия А. - 1980. - № 7. - С. 52-55.

45. Кравчук А. С., Будников Г. В. Решение на ЭВМ некоторых задач теории вязкопластического течения // Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение, 1985.-№26.-С. 134-146.

46. Кузьмич С. И. Течение вязко-пластического слоя в поле поверхностных и объемных сил // Исследования в обл. теории, технологии и оборуд. штамп, пр-ва. - Тула, 1990. - С. 85-89.

47. Кузьмич С. И. Течение вязко-пластической среды в канале // Механика де-формир. тела / Тул. гос. техн. ун-т. - Тула, 1994. - С. 61-66.

48. Лещева Э. К., Кудрявцева Н. А., Антипьев В. Н. Движение вязкопластичной жидкости в зазоре коаксиальных цилиндров // Изв. вузов. Нефть и газ. -1980.-№9. -С. 55-58.

49. Листров А. Т., Чернышов А. Д. Об установившемся течении вязко-пластической среды при нелинейной вязкости // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 4.- С. 805-807.

50. Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. - М.: Наука, 1982. -376 с.

51. Любимова Т. П. Численное исследование конвекции вязкопластичной жидкости в замкнутой области // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1977.-№ 1.-С. 3-8.

52.Ляхов Г. М. Определение вязких свойств грунта // Прикл. механика, и техн. физика. - 1968. - № 4. - С. 171-179.

53.Мирзаджанзаде А. X. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче. -Баку: Азнефтеиздат, 1959.- 409 с.

54. Мосолов П. П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластических сред // Прикл. математика и механика. - 1978. -Т. 42, вып. 4. - С. 737-746.

55. Мосолов П. П., Мясников В. П. Вариационные методы в теории течений вязкопластической среды // Прикл. математика и механика. - 1965. - Т. 29, вып. 3. - С. 468-492.

56. Мосолов П. П., Мясников В. П. О застойных зонах течения вязкопластической среды в трубах // Прикл. математика и механика. - 1966. - Т. 30, вып. 4. -С. 706-717.

57. Мосолов П. П., Мясников В. П. О качественных особенностях течения вязкопластической среды в трубах // Прикл. математика и механика. - 1967. -Т. 31, вып. 3.-С. 581-585.

58. Мосолов П. П., Мясников В. П. О прямолинейных стационарных движениях вязкопластической среды // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 174, № 2. -С. 312-314.

59. Мосолов П. П., Мясников В. П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических тел. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. - 114 с.

60. Мосолов П. П., Мясников В. П. Пограничный слой в задаче о продольном движении цилиндра в вязкопластической среде // Прикл. математика и механика. - 1974. - Т. 38, вып. 4. - С. 682-692.

61. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред. - М.: Наука, 1981.-208 с.

62. Мясников В. П. Некоторые точные решения для прямолинейных движений вязко-пластической среды // Прикл. механика и техн. физика. - 1961. - № 2. - С. 54-60.

63. Мясников В. П. Течение вязко-пластической среды при сложном сдвиге // Прикл. механика и техн. физика. - 1961. - № 5. - С. 76-87.

64. Мясников В. П. О постановке задачи обтекания тел вязко-пластической жидкостью // Прикл. механика и техн. физика. - 1962. - № 4. - С. 52-59.

65. Мясников В. П. О сдавливании вязко-пластического слоя жесткими плитами // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. Механика и машиностроение. -1963.-№ 4.-С. 92-96.

66. Огибалов П. М., Мирзаджанзаде А. X. Нестационарные движения вязко-пластичных сред. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1970. - 416 с.

67. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошной среды. -М.: Мир, 1976.-464 с.

68. Олдройд Дж. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел // Реология. Теория и приложения. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - С. 757-793.

69. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 220 с.

70. Пинус Ю. М., Алехнович Г. Н. Течение нелинейно-вязкопластичной среды в сферической паре трения // Теорет. и прикл. механика. - Минск, 1989. -№ 16.- С. 137-139.

71. Полищук Е. Г. Метод граничных элементов для расчета вязкожесткоплас-тических течений // Прикл. математика и механика. - 1992. - Т. 56, № 5. -С. 796-800.

72. Прагер В. Линеаризация в теории вязкопластических сред // Механика. -1962.-№2.-С. 142-147.

73. ПэжинаП. Основные вопросы вязкопластичности. - М.: Мир, 1968. - 176 с.

74. Пэжина П. Физическая теория вязкопластичности // Механика. Новое в зарубежной науке. - М.: Мир, 1976. - С. 91-110.

75. Резунов А. В., Чернышев А. Д. Задача о чистом сдвиге вязко пластической среды между двумя некоаксиальными круговыми цилиндрами // Прикл. механика и техн. физика. - 1979. - № 4. - С. 135-141.

76. Резунов А. В. Численное исследование прямолинейных вязкопластических течений с развитыми застойными зонами // Прикл. задачи механики сплошных сред. - Воронеж, 1989. - С. 44-48.

77. Рейнер М. Деформация и течение. - М.: Гостоптехиздат, 1963. -381 с.

78. Рейнер М. Реология. - М.: Наука, 1965. - 223 с.

79. Руденко П. М. Движение нелинейно-вязкопластичной жидкости между вращающимися и неподвижными соосными цилиндрами //. Изв. Сев.-Кавк. науч. центра высш. шк. Техн. н. - 1987. - № 3. - С. 103-106.

80. Сафрончик А.И. Вращение цилиндра с переменной угловой скоростью в вязко-пластичной среде // Прикл. математика и механика. - 1959. - Т. 23, вып. 6.- С. 1051-1056.

81. Сегал В. М., Свирид Г. П. Исследование кинематического состояния вязко-пластического течения методом конечных элементов // Прикл. механика.

- 1977,- Т. 13, №8.-С. 88-92.

82. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых телах за пределами упругости // Теория пластичности. -М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 11-19.

83. Сенашев С. И., Чугунов В. А. Инвариантные решения уравнений вязко-пластичности и решение задачи о винтовом движении бингамовской жидкости между соосными цилиндрами // Прикл. механика и техн. физика. -1991.-№4.-С. 95-102.

84. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1979. - 312 с.

85. Соколовский В. В. Одномерные нестационарные движения вязкопластиче-ской среды // Прикл. математика и механика. - 1949. - Т. 13, вып. 6. - С. 623632.

86. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977. -349 с.

87. Толстой Д. М. Новая методика исследования пластичности высококонцентрированных дисперсных систем // Журн. техн. физики. - 1934. - Т. 5, вып. 5.

- С. 548-556.

88. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. - М.: Мир, 1964. - 216 с.

89. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. - М.: Физматгиз, 1962. - 432 с.

90. Фройштетер Г. Б., Бегоулев П. Б. Течение нелинейно-вязкопластичной жидкости в кольцевом зазоре между вращающимися коаксиальными цилиндрами // Нефтепереработка и нефтехимия. - Киев, 1987. - № 32. - С. 50-53.

91. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир, 1990. - 512 с.

92. Хаусхолдер А. С. Основы численного анализа. - М.: Изд-во иностр. лит., 1956.-320 с.

93. Чернышов А. Д. О течении в клине вязкопластической среды с нелинейной вязкостью // Прикл. механика и техн. физика. - 1966. - № 4. - С. 152-154.

94. Чернышов А. Д. О застойных зонах в вязко-пластических средах // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1967. - № 3. - С. 168-170.

95. Чернышов А. Д. Установившееся движение вязкопластической среды между двумя соосными конусами и внутри двугранного угла // Прикл. механика и техн. физика. - 1970. - № 5. - С. 93-99.

96. Чернышов А. Д. О движении вязкопластической среды внутри двугранного угла // Прикл. механика. - 1971. - Т. 7, № 1. - С. 120-124.

97. Чернышов А. Д. О движении вязкопластической среды между вращающимися соосными конусами с изменяющимися углами при их вершинах // Механика деформируемых тел и конструкций. - М.: Машиностроение, 1975. -С. 517-519.

98.Чернышов А. Д. Об одном эвристическом методе решения нелинейных задач эллиптического типа для двусвязных областей // Прикл. математика и механика. - 1978. - Т. 42, вып. 2. - С. 321-326.

99. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Механика. - 1957. - № 1. - С. 126-138.

100. Шульман 3. П., Байков В. И. Вывод уравнений пограничного слоя нелинейной вязко-пластической среды // Изв. АН БССР. Серия физ.-энерг. наук. -1971.-№ 1.-С. 86-95.

101. Bingham E. C., Green H. Paint, a plastic material and not a viscous liquid // Proc. Amer. Soc. Testing. Materials. - 1919. - V. 2, № 19. - P. 640.

102. Bingham E. C. Fluidity and Plastisity. - New-York: McGrow-Hill book co., Inc., 1922.-P. 215-218.

103. Buckingham E. On the plastic flow through capillary tubes // Proc. Amer. Soc. Test. Mat. - 1921.-№21.-P. 1154.

104. Fordham E. J., Bittleston S. H., Tehrani M. A. Viscoplastic flow in centered annuli, pipes and stols // Ind. and Eng. Chem. Res. - 1991. - V. 30, № 3. -P. 517-524.

105. Hornberger K., Stamm H. An implicit integration algorithm with a projection method for viscoplastic constitutive eqations // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1989. - V. 28, № 10.-P. 2397-2421.

106. Mukherjee S., Chandra A. Boundary element formulation for large strain-large deformation problems of plasticity and viscoplasticity // Dev. Boundary Elem. Meth. Vol. 3. - London. New-York, 1984. - P. 27-58.

107. Oldroyd J. G. A rational formulation of the equation of plastic flow for a Bingham Solid // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1947. - V. 43, P. 100.

108. Oldroyd J. G. Two-dimentional plastic flow for a Bingham Solid. A plastic boundary-layer theory for a slow motion // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1947. -V. 43, P. 383.

109. Oldroyd J. G. Rectilinear plastic flow of a Bingham Solid // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1948.-V. 44, P. 200.

110. Oroveanu T., Albulescu M. Unsteady flow of a Bingham plastic between two coaxial tubes of circular cross-sction // Rev. roum. sci. techn. Ser. Mec. Appl. -1993.- V. 38, №2. -P. 129-137.

111. Prager W. Mises Memorial volume. - New-York, 1954. - P. 208.

112. Puslay P. R., Slibar A. Criterion for flow of a Bingham plastic between two cylinders loaded by torgue and pressure gradient // J. Appl. Mech. - 1958. - V. 25, № 2. - P. 284-285.

113. Reiner M., Riwlin R. Ueber die Stroemung einer elastischen Flüssigkeit in Couette Apparat // Kolloid-Z. - 1927. - № 43. - S. 1-5.

114. Sarihan V., Mukherjee S. Axisymmetric viscoplastic deformation by the boundary element method // Int. J. Solids and Struct. - 1982. - v. 18, № 12. - P. 11131128.

115. Schwedoff T. Recherches experimentales sur la cohesion des liquides // J. de Phys. -1890. -V. 9, P. 34.

116. Schwedoff T. La rigidite de liquides // Rapp. Pres. Congr. Intern. Phys. - 1900. -V. 1,P. 478-486.

117. Teiles J. C. F., Brebbia C. A. Viscoplasticity and creep using boundary elements // Progr. Boundary Elem. Meth. Vol. 2. - London. Plymouth, 1983. - P. 200-215.

118. Zeng Pan, Zhong Wan-xie. The parametric variational principle for Perzyna model in viscoplasticity // Appl. Math, and Mech. - 1991. - V. 12, № 5. - P. 433437.