Исследование одного класса задач о контакте упругих конечных цилиндров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Нерсисян, Гриша Геворкович

• Нерсисян, Гриша Геворкович
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нерсисян, Гриша Геворкович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СОСТАВНОГО ЦИЛИНДРА

ПРИ СКОЛЬЗЯЩЕЙ. ЗАДЕЛКЕ.БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

1.1. Основные уравнения и решение осесимметричной задачи теории упругости.

1.2. Оеесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров, загруженных по торцам

1.2.1. Решение парных рядов - уравнений

1.2.2. Численные примеры

1.3. Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров с защемленным нижним торцом

1.3.1. Численные примеры.

1.4. Осесимметричная контактная задача для трех конечных цилиндров

1.4.1. Численные примеры.

ГЛАВА 2. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СОСТАВНОГО КОНЕЧНОГО

ЦИЛЩЦРА СО СВОБОДНОЙ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

2.1. Контактная задача для двух цилиндров, нагруженных по свободным торцам.

2.1.1. Доказательство регулярности бесконечной системы.

2.1.2. Численные примеры

2.2. Контактная задача для двух цилиндров с одним защемленным торцом.

2.2.1. Численные примеры.

2.3. Контактная задача для трех соосных цилиндров.

2.3.1. Численные примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование одного класса задач о контакте упругих конечных цилиндров»

Современные технические средства чрезвычайно сложны и многообразны. Некоторые машины и приборы работают в условиях высоких скоростей, давлений, температур и других экстремальных воздействий. Повышение эксплуатационных требований приводит к необходимости применения разнообразных новых материалов и разработок более совершенных технологических процессов при конструировании и изготовлении машин. Это ставит перед конструкторами современных машин все более сложные задачи, решение которых связано с дальнейшим развитием теории упругости, призванной быть надежным фундаментом при расчетах на прочность, жесткость и точность машин и приборов. В этой связи определенный интерес представляют контактные задачи, решениям которых были посвящены классические работы Герца [П8], служащие основой многочисленных технических предложений.

Исследованиям контактных задач теории упругости посвящены многочисленные работы советских и зарубежных исследований. Этим задачам много места уделено в фундаментальном труде Н.И.Мусхели-швили [53].

Обширный обзор этих работ содержится в обзорных статьях Д.И.Шер-мана [93,94], Б.Л.Абрамяна [2,3,4], Б.Л.Абрамяна и А.Я.Александрова [5], В.Л.Рвачева [72], Г.Я.Попова [бб], Г.Я.Попова и Н.А.Ростовцева [68], А.И.Каландия, А.Н.Лурье, Г.Ф.Манджавидзе, В.К.Прокопова и Я.С.Уфлянда [32], В.И.Моссаковского [51,52], в монографиях Л.А.Галина [23,24], Бабушки, Ректорыса и Выйяхло [100], И.Я.Штаермана [95], О.И.Снеддона [7б], Я.С.Уфлянда [87,88], В.З.Партона и Г.П.Черепанова [65], В.З.Партона и Е.М.Морозова [б4], Г.П.Черепанова [92], В.В.Панасюка, М.П.Саврюка и А.П.Дапыщина [63], И.Й.Воровича, В.М.Александрова и В.А.Бабешко [21], А.Ф.Улитко [85], В.Т.Гринченко [27], Г.Я.Попова [67], И.И.Воровича [22], Ю.А.Амензаде [10], В.М.Александрова и С.М.Мхитаряна [9], В.С.Саркисяна [73], в работах Б.Л.Абрамяна [I], Н.Х.Арутюняна [7], В.М.Александрова [8], Б.М.Нуллера [62], В.Т.Гринченко и А.Ф.Улитко [28],

B.В.Дробязко, В.Н.Никитенко и А.Ф.Улитко [29], В.Д.Купрадзе [Зб], А.В.Белоконь [16], Г.М.Валова [17], А.А.Баблояна и В.С.Тонояна [12], В.С.Тонояна [78,79], В.А.Сазонова и И.Е.Троянского [74],

C.М.Мхитаряна и Ф.С.Торосяна [54] и др., а также в коллективной монографии [71]. Дальнейшее развитие этих задач связано с усложнением поверхностей контакта, разнообразием физико-механических свойств материалов контактирующих тел и уменьшением степени идеализации модели контакта.

В последнее время большое внимание исследователей привлекают задачи с неизвестными зонами контакта, с возможным отрывом контактирующих тел. При этом определяются внешние нагрузки и параметры, обеспечивающие отсутствие отрыва или величину зоны отрыва. Подобные задачи могут возникнуть при диффузионной сварке, проектировании различных опор и фундаментов и т.д., где необходимо надежное прижатие по всей поверхности контакта. Решения подобных задач основаны на допущении, что при достаточно гладких соприкасаемых поверхностях контактирующих тел нормальные напряжения и их взаимодействия на линии отрыва равны нулю. Из этого условия получают уравнения, необходимые для определения величины зоны контакта или другого неизвестного параметра задачи.

По этому методу исследованы многие контактные задачи для бесконечной плоскости с круговыми или эллиптическими вставками, задачи о контакте тел, имеющих вид полуплоскостей, полупростарнств, полос, слоев, а также некоторые контактные задачи для ограниченных тел.

В большинстве перечисленных задач принимается, что область контакта или отрыва задана и вычисляются контактные напряжения.

В работе [l22] рассматривается равномерное растяжение плоскости с круговым включением при отсутствии сил сцепления между ними. Для определения зоны контакта определяются точки, где напряжения меняют знак, а в бесконтактной зоне напряжения приравниваются нулю.

В работе [120] аналогичная задача решена для случая упругого включения из другого материала.

Задача о контакте бесконечной упругой пластинки с жесткой эллиптической вставкой рассмотрена в [83]. Задача сведена к решению интегро-дифференциального уравнения относительно нормальных контактных напряжений. Зона контакта определяется с использованием дополнительных условий на перемещение точек линии контакта. В работе [90] эта же задача приведена к уравнению Фредгольма, с неизвестным верхним пределом интегрирования. Размеры области контакта определяются приравниванием нулю напряжений на линии отрыва. Подобные задачи для пластины с жесткой или упругой круговой вставкой рассмотрены в работах [133] и [140].

Осесимметричная задача о контакте между растянутым упругим пространством с сферической плоскостью и жесткой гладкой сферой, вставленной в плоскость, рассмотрена в [18]. Величина контактного сегмента и контактные напряжения определяются решением системы уравнений, содержащих двойные ряды. Эта же задача при упругой гладкой сферической вставке рассмотрена в [84].

Аналогичные задачи рассмотрены в работах [Пб], В.С.Тонояна [78,79], В.С.Тонояна и А.Ф.Минасяна [80,8l], А.Ф.Минасяна и В.С.Тонояна [49].

Приближенному определению радиуса зоны контакта между упругим полупространством и прижатой к нему сосредоточенной силой упругой пластинкой посвящены работы [20,70,125]. Между пластинкой и полупространством сцепление отсутствует, и задача сводится к уравнению

Фредгольма с фиксированным неизвестным верхним пределом интегрирования.

Точное решение этой задачи по линейной теории упругости приведена в работе [34]. Рассмотрена контактная задача с уменьшающейся зоной контакта для гладкого упругого слоя, вдавливаемого в гладкое упругое полупространство. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно некоторой вспомогательной функции, непосредственно связанной с контактным давлением. Интегральное уравнение однородно, и задачу об определении размеров контактной зоны можно рассматривать как задачу о собственных значениях. Это уравнение можно решить численно с любой требуемой степенью точности. В частности, для плоской и осесим-метричной задач найдены размеры зоны контакта и контактные напряжения, вызванные приложением сосредоточенной и равномерно распределенной нагрузок. Полученное решение хорошо согласуется с данными, приведенными в [20].

В другой работе тех же авторов [10?], указанная задача сводится к неоднородному интегральному уравнению Фредгольма. Это уравнение предлагается решить численно. Указан путь определения размеров области контакта. Приведены соответствующие графики. Решение этой задачи для случая контакт со сцеплением получено в работе [119].

Аналогичная задача о контакте с упругим полупространством решена в работе [69]. Показано, что бесконечный гладкий упругий слой, свободно лежащий на упругом полупространстве, отрывается от последнего под действием любой нормальной нагрузки, прижимающей слой к основанию и приложенной к ограниченной области поверхности слоя. Для случая, когда на слой действует нормальная сосредоточенная сила, определена величина площади контакта слоя с полупространством и распределение контактных напряжений на ней. Задача решена методом парных интегральных уравнений.

В работе [60] рассматриваются две контактные задачи теории упругости для слоя прижатого к упругому полупространству под действием локальной осесимметричной нагрузки, приложенной к поверхности слоя. При этом рассматриваются два случая: когда слой весом, а в другом - невесом. В обоих случаях трение между слоем и основанием отсутствует.

Под действием нагрузки весомый слой отходит от основания в кольцевой области. Невесомый слой принимается закрепленным на бесконечности, так что после приложения к нему нагрузки напряжения и перемещения на бесконечности остаются равными нулю. В таком случае невесомый слой под действием нагрузки отходит от основания в кольцевой области как весомый слой. Упругие характеристики слоя и полупространства задаются произвольно. Обе задачи сведены к неоднородным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Дано численное решение задачи о невесомом слое. Определены радиус площади контакта между слоем и полупространством и напряжения на этой площадке.

В работе В.Д.Ламзюка [39] исследуются два типа задач теории упругости о неполном контакте тяжелого слоя с упругим многослойным основанием.Предлагается метод решения задач об отставании весомого слоя от основания при воздействии сжимающих внешних нагрузок и об отрыве слоев друг от друга растягивающими усилиями. Обе задачи рассмотрены в условиях как плоской, так и осесимметричной деформации. Выяснены условия, при которых отставание и отрыв возможны.

Задача первого типа сводится к решению сингулярных интегральных уравнений, а второго - к решению парных интегральных уравнений. В обоих случаях эти уравнения сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, для которых приводятся численные приближенные аналитические решения. Конкретные вычисления проведены в случае, когда внешняя нагрузка, действующая на слой, представляет собой сосредоточенную силу. Исследования показали, что учет веса слоя приводит к существенному изменению характера контакта его с основанием. В отличие от случая невесомого слоя, тяжелый слой отстает от основания лишь при выполнении определенных условий.

Задача о контакте слоя с упругим полупространством решена и в работах [91,135]. В работе [91] с помощью преобразований Фурье и Фурье-Ханкеля получено однородное интегральное уравнение Фред-гольма второго рода относительно вспомогательной функции, связанной с контактным давлением.

В работе [ill] рассматривается осесимметричная контактная задача для бесконечного упругого слоя, расположенного на упругом полупространстве. Материалы слоя и полупространства считаются однородными и изотропными, но обладающими различными упругими характеристиками. Вдавливание слоя в упругое полупространство происходит под действием равномерно распределенных по всей внешней поверхности слоя нормальных усилий, а также под действием собственного веса слоя. Дополнительно, к слою прикладываются нормальные усилия, распределенные по круговой линии на внешней границе слоя. Предполагается, что силы трения при контакте слоя с основанием не возникают и что только сжимающие нормальные напряжения передаются через поверхность раздела. Отдельно рассматриваются случаи, когда распределенные по круговой линии внешние усилия являются сжимающими и растягивающими. Каждый из этих случаев допускает различные варианты взаимодействия слоя с основанием. А именно, если величина распределенных по круговой линии усилий меньше некоторой критической величины, то нормальные напряжения на всей поверхности раздела являются сжимающими и контакт является непрерывным. В противном случае появляются участки отставания слоя от полупространства. Решение указанных задач, отвечающих случаю, когда область отставания слоя от полупространства имеет форму кругового кольца, сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое решается с использованием формул интегрирования Гаусса-Чебышева.

В работе С.М.Мхитаряна и Ф.С.Торосяна [54] рассмотрена задача о контактном взаимодействии круглого диска и бесконечной пластины.

В работе Е.Д.Фесенко и др. [89] рассмотрена контактная задача в случае сжатия двух круговых цилиндров, радиусы которых почти равны.

В работе [юз] рассматривается плоская задача о контакте без трения упругого слоя с абсолютно жестким основанием. На слой действуют силы тяжести и равномерно распределенная по верхней грани нагрузка. Обе эти нагрузки прижимают слой к основанию. Кроме того, к слою приложена сосредоточенная сила, стремящаяся оторвать ее от основания. Определялись: I - величина указанной силы, когда контактное напряжение становится растягивающим, то есть слой начинает отрываться от основания; 2 - контактное напряжение и размеры области контакта, когда величина отрывающей силы становится больше критической. Задача I достаточно проста и решена в явном виде. Задача 2 является смешанной краевой задачей и сводится к сингулярному уравнению, которая решается численно.

В работе [Ю2] указанная задача при сжимающей сосредоточенной силе тоже сводится к сингулярному интегральному уравнению. Исследование осуществляется с применением формул Гаусса-Чебышева и связано с решением систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, осуществляемым по интеграционно-интерполяционной схеме.

В работе [112] решена аналогичная задача при сжимающей нагрузке, распределенной по кругу.

В работе [75] на основании известного решения контактной задачи для слоя, лежащего без трения на жестком основании, использована аналитическая зависимость для расчета фактической площади касания при контакте шероховатого индентра и гладкого тонкого слоя.

В работе [134] рассматривается задача о давлении однородной и изотропной упругой полуплоскости на жесткое основание, имеющее выступ прямоугольной формы. Контакт в этом случае осуществляется по трем площадкам - одной конечной и двум полубесконечным, разделенным участками отсутствия контакта конечной протяженности. При этом протяженность участков без контакта будет тем меньше, чем больше величина внешних усилий, прикладываемых к упругой полуплоскости. Положение переменных границ указанных участков определяется из условия ограниченности напряжений. Решение строится с помощью функции напряжений Эри, которая представляется интегралом Фурье. Удовлетворение смешанным краевым условием приводит к тройным интегральным уравнениям, которые, в свою очередь, сводятся к задаче Гильберта. Получены точные представления для контактных напряжений и перемещений точек границы полуплоскости. Рассматривается задача о давлении упругой полуплоскости на жесткое основание, содержащее вырез прямоугольной формы. Предварительно определяется величина внешних усилий, необходимых для того, чтобы контакт осуществлялся не только по основной поверхности жесткого основания, но и по части дна выреза.

В работе [126] показано, что если невесомый слой лежит на жестком основании, то контактное напряжение и размеры области контакта не зависят от свойств материалов, а если слой лежит на упругом основании, то они будут зависеть от упругих свойств материалов слоя и основания.

В работе [35] рассмотрены две смешанные краевые задачи для полуполосы. Первая из этих задач посвящена изгибу полуполосы, покоящейся на гладком жестком основании, и равномерно нагруженной силой, специальным образом приложенной к ее концу. Во второй задаче рассмотрена полуполоса с краевой трещиной, раскрывающейся в срединной плоскости в результате приложения нагрузок на краю полуполосы. Решение задачи сведена к интегральному уравнению Фред-го льма второго рода. Для обеих задач найдены характеристики упругого поля.

В работе [114] рассматриваются три контактные задачи теории упругости с неизвестной зоной контакта: I - вдавливание балки в упругую полуплоскость с учетом отставания ее от основания; 2 -вдавливание абсолютно жесткого круглого цилиндра в упругую полосуй - обжатие упругого округлого цилиндра двумя абсолютно жесткими плитами. Задача решена приближенно.

В работе [Юб] рассматривается контактная задача для двух упругих полуплоскостей, имеющих слегка волнистые границы, которые вдавливаются друг в друга равномерно распределенной нагрузкой, приложенной на бесконечности. Полагается, что границы обеих полуплоскостей очерчены по синусоиде с одной и той же длиной волны. Трение между упругими телами не учитывается. Задача сначала сведена к парным рядовым уравнениям, а затем к одному интегральному уравнению Абеля. Решение уравнения Абеля получено в замкнутой форме. Найдены формулы для определения всех компонент тензора напряжений в любой точке каждой из двух полуплоскостей. В частности, получено выражение для определения напряжений на площадке контакта. Выяснен весьма детально вопрос о величине области контакта. Решение получено в предположении, что наибольший зазор между упругими телами после деформации и амплитуды обоих синусоид малы по сравнению с длиной волны этих синусоид.

В работе Б.Л.Абрамяна [б] рассматривается осесимметричная задача о контакте между двумя слоями из различных материалов с учетом трения между слоями. Оеесимметричная сжимающая внешняя нагрузка берется таким образом, что между слоями образуется контактная область в виде круга. Задача решена при помощи функции Лява, которая берется в виде интеграла Ханкеля. Решение задачи сводится к решению парных интегральных уравнений, содержащих функции Бесселя. Выражая функции интегрирования через функции, определяющие контактные давление и трение, система парных уравнений сводится к системе сингулярных интегральных уравнений второго рода. В конечном итоге решение задачи сводится к квазивпол-не регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

В работе Ю.А.Наумова и В.Д.Никофорова [5б] рассмотрена задача сжатия однородных изотропных полос неограниченной длины. Каждая полоса имеет постоянную толщину и упругие константы. Пакет покоится на упругом основании, а на верхнюю его границу действует нормальная распределенная симметричная нагрузка. Касательными напряжениями на границах полос пренебрегают. Решение задачи сводится к решению интегральных уравнений. В случае одного слоя получается одно уравнение. В этом случае показано, что отношение модулей упругости слоя и основания больше семи, слой ведет себя как пластинка, и область контакта вычисляется по формуле, полученной в работе [55].

Аналогичная задача о контакте произвольного числа гладких круглых пластин под действием осесимметричных нагрузок рассматривается в работе [97]. Распределение контактных давлений между пластинами предетавленр в виде рядов по бесселевым функциям, коэффициенты которых определяются из системы линейных уравнений. С помощью теории тонких пластин получено упрощенное решение задачи, использованное для определения расчетных параметров при контакте двух пластин под действием сосредоточенных нагрузок.

В работе В.Д.Ламзюка и А.Н.Приварникова [38] приводится решение задачи теории упругости для бесконечного невесомого однородного и изотропного слоя. На одну из границ слоя действует нормальная сосредоточенная сила, которая прижимает его к неподвижному гладкому штампу, представляющий собой выпуклое тело вращения, ось которого совпадает с линией действия сосредоточенной силы. Требуется определить наибольшее возможное значение радиуса области контакта штампа со слоем для различных штампов и различных значений величины сосредоточенной силы. Решение задачи сводится к решению парных интегральных уравнений, содержащих функции Бесселя, а решения парных уравнений сведены к интегральному уравнению Абеля.

К другой работе тех же авторов [37] приводится решение контактной задачи,для слоя, который может отставать от основания.

В работе [101] рассмотрена осесимметричная контактная задача о давлении цилиндрического упругого штампа на слой, лежащий на упругом полупространстве. Задача сведена к системе двух сингулярных интегральных уравнений относительно контактных давлений, возникающих между штампом и слоем, а также между слоем и полупространством. Для двух вариантов формы основания штампа (плоского и сферического) приведено большое число графического материала в широком диапазоне параметров.

В работе [127] рассмотрена двумерная задача теории упругости для полосы, лежащей без трения на полуплоскости из другого материала. Внешняя симметричная нагрузка прикладывается к полосе через жесткий штамп. Предполагается, что размеры области контакта между полосой и плоскостью неизвестны. Решение задачи сведено к решению систем двух сингулярных интегральных уравнений, ядро которых выражается некоторыми несобственными интегралами, а неизвестные функции - суть искомые контактные давления. Решение доведено до расчета контактного давления как в случае плоского штампа, так и криволинейного. Рассмотрены также более симметрично расположенные сосредоточенные силы.

В работе [117] рассматривается плоская контактная задача о вдавливании упругого цилиндра (плоская деформация) в упругое основание, состоящее из упругого слоя, сцепленного с упругим полупространством. Касательные контактные напряжения между цилиндрами и основанием не учитываются. Требуется найти нормальное контактное напряжение и ширину области контакта. Используя при подсчете упругих перемещений в цилиндре формулы для упругого полупространства, авторы традиционным способом приводят задачу к интегральному уравнению первого рода относительно искомого контактного напряжения. Последнее решается численным методом. Приведен обширный числовой материал, иллюстрирующий изменение наибольшего значения контактного напряжения и ширины области контакта от параметров задачи.

В работе В.С.Никишина и Г.С.Шапиро [59] рассматривается задача о сжатии слоистых сред под действием кругового или кольцевого штампов. В качестве слоистой среды рассмотрен пакет из двух скрепленных между собой слоев, лежащий без трения на жестком основании. Упругие характеристики и геометрические параметры слоев различны. Показана возможность появления растягивающих контактных напряжений слоистых сред при наличии полного контакта с ними кругового или кольцевого штампа и даны новые решения контактных задач о сжатии слоистых сред и об изгибе однородного слоя под действием кругового и кольцевого штампов с учетом отставания упругой среды от их оснований.

Две контактные задачи с односторонними связями рассматриваются в другой работе [61] тех же авторов.

Задачи с определением области контакта для трех тел рассмотрены в работах Албласа [98,99], Ердогана и Ратвани [ill], Гладве-ла [114,115] , Прасада и Дасгупта [108,124], Стернберга и Туртел-тауба [132], Ту и-о и Гезиса [82] и др.

В работе [99] рассматриваются два других изотропных слоев из одного и того же материала, прижатых друг к другу. Между ними вставлен гладкий жесткий цилиндр, поперечное сечение которого очерчено двумя параболическими дугами с закрепленными углами. При |ЗС|<С имеет место контакт слоев с цилиндром, при слои не касаются друг друга и при |0С|^С + & слои контактируют между собой. В результате решения задачи найдены величины С и CL , как функция приложенного давления. Кроме того, получены выражения для определения напряжений и перемещений. Решение доведено до числовых результатов.

В работе [98] тот же автор решил аналогичную задачу, когда жесткий цилиндр вставлен между двумя упругими полуплоскостями. Эта задача решена также в работе [115]. Здесь решение задачи для двух полупространств строится в виде разложения по полиномам Че-бышева, сводящихся к решению по [98]. В общем случае двух контактирующих слоев решение также приводится в виде разложения по полиномам Чебышева, для коэффициентов которого получается бесконечная система линейных уравнений. Сходимость разложений ухудшается с уменьшением толщины слоев.

Аналогичная задача, когда упругий прямоугольник сжимается по двум противоположным сторонам жесткими шероховатыми плоскостями, рассмотрена в работе [124]. Другие две стороны прямоугольника свободны от напряжений. Рассматривается случай плоской деформации. Каждая сторона прямоугольника, соприкасающаяся с жесткой плоскостью, делится на три участка: на внутреннем участке имеет место сцепление, на двух наружных - трение. Решение задачи сведено к решению двух сингулярных интегральных уравнений для двух функций, представляющих собой касательные напряжения на участках сцепления и проскальзывания. Система сингулярных уравнений превращена в систему двух интегральных уравнений второго рода. Получены формулы для определения нормальных и касательных напряжений на площадке контакта и указан способ нахождения размера участка, где имеет место сцепление.

В работе [108] рассматривается плоская задача о напряженном состоянии прямоугольного упругого диска. Две противоположные грани диска свободны от напряжений, а две другие сдавливаются одинаковыми штампами, к которым приложены дополнительно сдвигающие силы, уравновешенные силами трения по участкам контакта. Участки контакта включают соответствующие угловые точки диска, а положение двух других точек названных участков подлежат определению. Предполагается, что на участках контакта касательные и нормальные напряжения связаны законом Кулона. Решение задачи доведено до числовых результатов.

В работе [132] решена аналогичная задача для упругого цилиндра, который сжимается между двумя жесткими плитами.

В работе [82] рассматривается общая задача об упругом контакте плиты с двумя осесимметричными телами с различными упругими свойствами и различной кривизны. Решение двух результирующих интегральных уравнений дается в виде усеченных рядов по полиномам Лежандра четного порядка, коэффициенты которого могут быть определены из системы линейных алгебраических уравнений. Через эти коэффициенты выражены соотношения между полной нагрузкой, радиусами кривизны тел, радиусами площадок контакта поверхностей сближения, радиальными перемещениями, максимальным контактным напряжением и толщиной плиты. Числовые расчеты были проведены для случая контакта плиты с двумя одинаковыми сферами.

Контактные задачи с определением области контакта или отрыва для упругих тел конечных размеров рассмотрены в работах В.М.Александрова [8], З.А.Мартиросяна [43-45], З.А.Мартиросяна и В.М.Тонояна [4б], А.А.Баблояна, М.Г.Мелконяна [15], М.Г.Мелконя-на и А.М.Мкртчяна [48], Мкнари Орло [121], Г.А.Морар и Г.Я.Попова [50], Г.И.Слитера [129] и др.

В работе В.А.Александрова [в] предложен новый аналитический метод решения контактных задач для упругих тел конечных размеров, который основан на построении и использовании системы однородных решений. В конечном итоге решение задачи сведено к интегральному уравнению первого рода того же типа, что и в случае контактной задачи для соответствующего полубесконечного упругого тела, а также к нормальной бесконечной алгебраической системе Пуанкаре-Коха.

В работе [121] рассматривается осесимметричная контактная задача для других конечных цилиндров, которые контактируют между собой торцами.

Предполагается, что цилиндры имеют одинаковые длины и диаметры и изготовлены из одного материала. Гладкий контакт происходит по торцам, имеющим выпуклые поверхности. Размеры области контакта двух цилиндров считаются неизвестными. Задача решается численно методом конечных элементов. Определены радиусы области контакта и контакты напряжения.

В работе [48]рассматривается плоская контактная задача теории упругости для двух прямоугольников из различных материалов, которые прижимаются друг к другу вдоль одной стороны без сцепления. Действия прижимающих сил, приложенных к сторонам прямоугольников, параллельных линии прижатия, передаются либо через жесткие гладкие штампы, либо непосредственно. Касательные напряжения по контуру прямоугольников отсутствуют. Зона контакта двух прямоугольников считается неизвестной. Решение задачи представляется в виде рядов Фурье с неизвестными коэффициентами, для определения которых получены бесконечные системы линейных уравнений и системы парных рядов уравнений, содержащих тригонометрические функции. Решения их сводятся к решению квазивполнерегулярных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. В общем случае размер зоны контакта зависит от упругих характеристик материалов. В частном случае, когда имеется двуосная геометрическая симметрия, размер зоны контакта не зависит от упругих параметров материалов.

В работе З.А.Мартиросяна [45] рассматривается осесимметричная контактная задача теории упругости для двух цилиндров с различными упругими свойствами, имеющих конечные длины, одинаковые диаметры, и контактированные между собой торцами, когда одна из них по нижней торцевой плоскости опирается на жесткое, гладкое основание, fia боковых поверхностях цилиндров нормальные и касательные напряжения равны нулю. Контакт между цилиндрами принимается гладким, а зона контакта двух цилиндров и между нижним цилиндром и основанием считаются неизвестными. К верхнему торцу верхнего цилиндра приложена осесимметричная сжимающая нагрузка таким способом, что образуются контактные области в виде круга. Решение задачи представляется в виде рядов Фурье и Фурье-Дини, при этом для определения коэффициентов этих рядов получена система из двух бесконечных систем линейных уравнений и двух парных рядов - уравнений, содержащих функции Бесселя. Решение их сводится к решению квази-вполне регулярных бесконечных систем, свободные члены которых стремятся к нулю.

В этой работе решена также аналогичная задача, когда на боковых поверхностях цилиндров выполнены условия симметрии, то есть когда на боковых поверхностях цилиндров нормальные перемещения и касательные напряжения равны нулю.

Приведенный обзор показывает, что исследования контактных задач с заранее неизвестной величиной зоны контакта, проведены в основном для полубесконечных упругих тел в виде полос, слоев, полуплоскостей и полупространств. При этом большинство проведенных исследований относятся к плоской задаче.

Во всех исследованиях из возможных внешних факторов, влияющих на величину зоны контакта, рассматривалось лишь влияние распределенных и сосредоточенных сил, и в некоторых случаях влияние собственного веса контактирующих тел.

Таким образом, не исследованы многие вопросы контакта и отрыва упругих тел, остаются не выясненными вопросы влияния на величину зоны контакта разнообразных внешних факторов, видов нагру-жения, граничных условий и форм областей, зажимаемых контактирующими телами. Исследованию некоторых из приведенных вопросов и посвящена настоящая работа.

Работа состоит из введения и двух глав.

В первой главе приведены решения трех задач о контакте по торцам конечных цилиндров из различных материалов, заделанных по цилиндрическим поверхностям.

В первом параграфе приведены основные уравнения и общие решения осесимметричной задачи теории упругости, используемые в дальнейшем.

Второй параграф посвящен решению задачи о контакте двух цилиндров конечной длины с скользящей заделкой по цилиндрическим поверхностям, под воздействием внешних распределенных сил, приложенных по их свободным торцам. Исследовано влияние упругих характеристик и размеров цилиндров, а также распределения внешней нагрузки на величину зоны контакта между ними.

В третьем параграфе решена та же задача о контакте двух цилиндров, когда один из них заделан по нижнему торцу.

Исследованию контактной задачи трех цилиндров посвящен четвертый параграф. Рассматривается задача о контактах трех цилиндров одинакового диаметра, при скользящей заделке по боковым поверхностям, когда крайние цилиндры одинаковы по размерам и своим упругим характеристикам.

Во второй главе исследованы три задачи о контакте конечных цилиндров со свободными поверхностями с определением размера области контакта.

В первом параграфе второй главы исследовано влияние размеров цилиндров и распределения нагрузки на величину зоны отрыва в контакте двух конечных цилиндров с свободными боковыми поверхностями и нагруженными по торцам.

Во втором параграфе приведено решение контактной задачи двух цилиндров, когда один из них со скользящей заделкой боковой поверхности заделан по одному торцу, а второй цилиндр имеет свободную боковую поверхность и нагружен по торцу.

Решение задачи о контакте трех цилиндров со свободными боковыми поверхностями и нагруженных по свободным торцам, приведено в третьем параграфе второй главы.

Все приведенные задачи решены единно - методом Фурье. Решение представлено в виде суммы двух рядов Фурье и Фурье-Дини. Определение неизвестных коэффициентов первоначально приведено к решению парных рядов уравнения, а затем к решению регулярных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Во всех задачах внешние нагрузки и геометрические параметры цилиндров выбраны таким образом, что образуется контактная область в виде кольца. Внутренний радиус области контакта двух цилиндров считается неизвестным и определяется из условий непрерывности контактных нормальных напряжений.

Решения всех приведенных задач доведены до численных результатов. Для некоторых значений внешней нагрузки приведены таблицы и построены графики для контактных напряжений и зависимости размера области контакта от длины цилиндров и упругих характеристик материала.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [141-145], доложены на всесоюзных научных конференциях, и обсуждались на заседании кафедры теоретической механики ЕрПИ имени К.Маркса.

Для всех задач составлены программы на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4 [33,42], численные результаты получены на ЭМ ЕС-1020 и ЕС-1022.

Автор вьфажает свою глубокую благодарность к.ф.м.н. В.С.Тонояну, под руководством которого была выполнена настоящая работа, а также старшему преподавателю кафедры "Теоретическая механика" ЕрПИ, к.ф.м.н. З.А.Мартиросяну за помощь и ценные указания.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Нерсисян, Гриша Геворкович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. В работе развит метод решения парных рядов уравнений, решения которых приведены к бесконечной системе алгебраических уравнений, содержащих функции Бесселя первого рода, и применены в исследованиях ранее не рассматриваемых осесимметричных задач о напряженно-деформированных состояниях в контактирующих системах типа двух и трех упругих конечных цилиндров, с неизвестной кольцеобразной контактной зоной.

2. Доказано, что бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, к которым сводятся все приведенные в работе контактные задачи при любых значениях геометрических и физических параметров, являются квазивполне регулярными.

3. Получены удобные для инженерного применения формулы контактных напряжений и коэффициенты при их особенностях, а также зависимости длин цилиндров от области контакта.

4. Получены уравнения для определения величин зон контакта.

5. Приведен численный анализ всех рассматриваемых задач при различных значениях входных параметров.

6. В случае двух цилиндров одинаковой длины и диаметра, прижатых друг к другу по торцам симметричными нормальными, равномерно распределенными кольцеобразными нагрузками при отсутствии сцепления, в контактирующих поверхностях выявлено: а) когда на боковой поверхности цилиндров нормальные перемещения и касательные напряжения равны нулю при наличии геометрической симметрии, размер области контакта не зависит от интенсивности внешней нагрузки и от свойств материалов; б) когда на боковой поверхности цилиндров нормальные и касательные напряжения равны нулю даже при наличии геометрической симметрии, размер области контакта зависит от упругих характеристик материалов и геометрических параметров цилиндров; в) в случаях а) и б) изменение модулей сдвига и коэффициентов Пуассона материалов мало влияет на напряженное состояние цилиндров. В остальных рассматриваемых задачах размеры области контакта зависят от упругих характеристик материалов и геометрических параметров задачи.

7. В контактных задачах двух цилиндров с заделанным нижним торцом нормальные напряжения на заделке знакопеременны, что свидетельствует о возможности отрыва.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нерсисян, Гриша Геворкович, 1983 год

1. Абрамян Б.Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра. Докл. АН Арм.ССР, 1954, 19, »1, с.3-12.

2. Абрамян Б.Л. Обзор результатов, полученных по контактным задачам в АН Арм.ССР. Докл. конф-ций "Контактные задачи и их инженерное применение". М., 1969, с.3-7.

3. Абрамян Б.Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969, JM, с.181-197.

4. Абрамян Б.Л. О некоторых результатах, полученных армянскими исследователями в области теории упругости и пластичности. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1976, т.29, №1, с.12-26.

5. Абрамян Б.Л., Александров А.Я. Осесимметричная задача теории упругости. Труды П Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., 1966, вып.З. Механика твердого тела. М., "Наука", 1966, с.7-37.

6. Абрамян Б.Л., Макарян B.C. Осесимметричная задача о контакте между двумя слоями из различных материалов с учетом трения между слоями. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1976, т.29, №5, с.З-14.

7. Арутюнян Н.Х. Контактная задача для полуплоскости с упругим креплением. ПММ, т.32, вып.4. 1968, с.632-646.

8. Александров В.М. Некоторые контактные задачи для балок, пластинок и оболочек. "Инж.ж.", 1965, 5, №4, с.782-785.

9. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими перекрытиями и прослойками. М., "Наука", 1983, 488с.

10. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., "Высшая школа", 1976, 272с.

11. Баблоян А.А. Решение некоторых "парных" рядов. Докл. АН Арм. ССР, 1964, т.39, Ю, с.149-157.

12. Баблоян A.A., Тоноян B.C. Изгиб двуслойной толстой круглой плиты осесимметричной нагрузки. Изв. АН Арм.ССР, серия физ.-мат.н., 1963, т.16, №1, с.

13. Баблоян A.A., Мелконян А.П. О двух смешанных осесимметричных задачах теории упругости. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1969, т.22, №5, с.3-14.

14. Баблоян A.A., Мелконян А.П. Об одной осесимметричной контактной задаче для цилиндра конечной длины. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1973, т.24, №5, с.3-19.

15. Баблоян A.A., Мелконян М.Г. О контакте двух прямоугольников без сцепления с определением области контакта. Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1974, т.24, №5, с.3-18.

16. Белоконь A.B. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров. ДАН СССР,1977,т.233,И, с.56-59.

17. Валов Г.М. Решение контактной задачи для упругого бесконечного цилиндра с двумя участками контакта методом тройных интегральных уравнений. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1972, №5, с.57-63.

18. Ван-И-чи. Задача о контактных напряжениях для жесткой гладкой сферы в растягиваемом упругом пространстве. ПМ (Труды /¡SMЕ t сер.Е), 1965, 32, ЖЗ, с.199-204.

19. Ватсон Г.Н. Теория Бесселевых функций. ИЛ., a.I, М., 1949, 798с.

20. Вейман . О контакте без сцепления между пластиной и упругим полупространством. ПМ (Труды /ISME, сер.Е), 1969 , 36, №2,с.58-62.

21. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Не классические смешанные задачи теории упругости. М., Наука, 1974, 320с.

22. Ворович И.И. Статистические и динамические смешанные задачи теории упругости. Изд.Ростовского университета, 1983, 264с.

23. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М., 1953, 264с. .

24. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругос-ти. М., Наука, 1980, 304с.

25. Грандштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1962, 1100с.

26. Грей Э., Метьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М., ИЛ., 1953.

27. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев (Наукова думка), 1978, 264с.

28. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного кольцевой трещиной. ПМ, 1965, т.1, МО, с.61-64.

29. Дрбязко В.В., Никитенко В.Н., Улитко А.Ф. Периодическая контактная задача с трением на упругой полосе. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1978, т.31, №1, с.30-39.

30. Златин А.Н. Растяжение цилиндра, содержащего периодически расположенные дискообразные трещины. Докл. АН СССР, 1978, т.241, т, с. 1300-1302.

31. Ингленд. Трещина между двумя разными средами. ПМ (Труды /15МЕ, сер.Е), 1965, т.32, №2, с.165-169.

32. Каландия А.И., Лурье А.И., Манджавадзе Г.Ф., Проколов В.К., Уфлянд Я.С. Линейная теория упругости. Сборник "Механика в

33. СССР за 50 лет", З.М., "Наука", 1972, с.5-71.

34. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Гостехиздат, Л.-М., 1959, 708с.

35. Кир, Дандерс, Цзай. Контактная задача для слоя, лежащего на полупространстве. ПМ (Труды Д5МЕ , сер. Е), 1972 , 39, №4, с.260-266.

36. Кир, Сильва. Две смешанные задачи для полуполосы. ПМ (Труды Л5МЕ » сеР* Е)» 1972' 39» с.266-270.

37. Купрадзе В.Д. О контактных задачах теории упругости. Всесоюзная конференция по теории упругости. Тезисы докладов, Ереван, 1979, с.6-13.

38. Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Действие штампа на слой, который может отставать от основания. Сб. Вопросы прочности и пластичности. Изд. Днепропетровск, гос. университет, 1971.

39. Ламзюк В.Д., Приварников А.Н. О максимальном значении радиуса площади контакта штампа со слоем. ПММ, 1971, т.35, JF6, с.1047-1052.

40. Ламзюк В.Д. Деформация тяжелого слоя на упругом основании. Тезисы докладов. Смешанные задачи механики деформируемого тела. П Всесоюзная научная конференция, Днепропетровск, 1981, с.89-90.

41. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.-Л., Физ-матгиз, 1963, 358с.

42. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., Гос-техиздат, 1955, 491с.

43. Мак-Кракен Д., Дерн У. Численные метода и программирование на Фортране. Изд. Мир, М., 1977, 584с. ,

44. Мартиросян З.А. О двух контактных задачах для круглых упругих цилиндров конечной длины. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1978, №5, с.36-47.

45. Мартиросян З.А. Осесимметричная контактная задача для двух цилиндров. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 19.79, т.32, №2, с.14-25.

46. Мартиросян З.А. Некоторые контактные задачи для двух цилиндров С-неизвестной зоной контакта. Тезисы докладов. Всесоюзная конференция по теории упругости. Ереван, 1979, с.215-217.

47. Мартиросян З.А., Тоноян B.C. О контактном взаимодействии трех соосных упругих цилиндров конечных длин. Изв. АН СССР, МТТ, 1981, №6, с.94-103.

48. Мелконян А.П. Об одной смешанной осесимметричной задаче теории упругости для цилиндра конечной длины. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1971, т.24, Ш, с.3-15.

49. Мелконян М.Г., Мкртчян A.M. Об одной контактной задаче для двух прямоугольников. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1975, т.22, Ю, с. 13-28.

50. Минасян А.Ф., Тоноян B.C. О контактной задаче для составной полуплоскости с вертикальным конечным разрезом. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1980, т.33, №6, с.18-42.

51. Морарь Г.А., Попов Г.Я. К теории контактных задач для цилиндрических тел учетом сил трения. МТТ, 1976, Ш, с.87-96.

52. Моссаковский В.И. Контактные задачи для не круговых областей. "Тр. симпоз. по мех. сплош. среды и родственным пробл. анализа, 1971", т.2, Тбилиси "Мецниереба", 1974, 341с.

53. Моссаковский В.И., Голикова С.С. Контактная задача с неизвестной заранее несимметричной областью контакта. Днепропетровск, 1980, 26с.

54. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Наука. М., 1966, 707с.

55. Мхитарян С.М., Торосян Ф.С. О контактном взаимодействии круглого диска и бесконечной пластины с круговым отверстием, подкрепленным тонким кольцевым покрытием. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1978, т.31, №5, с.3-19.

56. Наумов Б.А., Шевляков Ю.А. Изгиб балочных плит на упругом основании при неполном контакте. Сб. "Гидроаэромеханика и теорияупругости". Изд. Харьковского ун-та, 1968, вып.9, с.23-28.

57. Наумов Ю.А., Никофорова В.Д. Об оставлении упругого слоя. ПМ, АН УССР, 1971, т.7, Ш, с.25-31.

58. Наумов Ю.А., Соломаха С.П. К вопросу взаимодействия бесконечного цилиндра с неограниченной упругой средой. "Устойчивость ипрочность элементов конструкции". Днепропетровск, 1979, Ш, с.91-97.

59. Никишин B.C., Шапиро Г.С. О локальном осесимметричном сжатии упругого слоя, ослабленного кольцевой или круговой щелью. ПММ, 1974, т.38, И, с.139-144.

60. Никишин B.C./ Шапиро Г.С. Контактные задачи теории упругости с односторонними связями. Докл. АН Арм.ССР, 1976, т.63, М, с.224-231.

61. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Контактная задача теории упругости для слоя, локально прижатого к полупространству. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1976, т.29, №2, с.3-15.

62. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Две контактные задачи односторонними связями. Изв. АН СССР, МТГ, 1977, №4, с.195.

63. Нуллер Б.М. Контактные задачи для упругого полубесконечного цилиндра. ПММ, 1970, 34, вып.4, с.621-631.

64. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочек, "Наукова думка", Киев, 1976, 443с.

65. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластичного разрушения. М., "Наука", 1974, 416с.

66. Партон В.З., Черепанов Г.П. Механика разрушения. Сб. "Механика в СССР за 50 лет, 3", М., Наука, 1972, с.365-468.

67. Попов Г.Я. Пластинки на линейно-деформируемом основании (обзор). ПМ, 1972, .8, вып.З, с.3-18.

68. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов разрезов тонких включения и подкреплений. М., Наука, 1982, 344с.

69. Попов Г.Я., Ростовцев H.A. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. МТТ, Труды П съезда по механике, обзорные докл. вып.З, Наука, М., 1966, с.235-252.

70. Приварников А.К. О контакте слоя с упругим полупространством.

71. Изв. АН СССР, МТТ, 1972, М, с.163-167.

72. Пу, Хуссейн. К вопросу о контакте без сцепления между пластиной и упругим полупространством. ПМ (Труды (\$ ME , сер. Е), 1970, т.37, Ш, с.286-288.

73. Развитие теории контактных задач в СССР. М., "Наука", 1976, 492с.

74. Рвачев В.Л. Исследования ученых Украины в области контактных задач теории упругости. ПМ., 1967, т.З, вып.10, с.109-117.

75. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван, изд-во ЕГУ, 1983, 260с.

76. Сазонов В.А., Троянский И.Е. Решение контактной задачи при неизвестной области контакта. "Расчеты на прочность и жесткость" М., 1979, Ш, C.II6-II9.

77. Свириденок А.И., Савкин В.Л., Проценко B.C., Миронович Е.М. К оценке влияния механических свойств поверхностных слоев на фактическую площадь касания при упругом контакте. Изв. АН БССР, сер. физ.-тех. н., 1976, №1, с. 124-128.

78. Снедцон О.И. Преобразование Фурье. ИЛ. М., 1965, 667с.

79. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., "Наука", 1975, 567с.

80. Тоноян B.C. О решении симметричной контактной задачи для полуплоскости с включением. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1968, т.21, Ю, с.3-18.

81. Тоноян B.C. Осесимметричная контактная задача теории упругости для полного конечного цилиндра. Всесоюзная конференция по теории упругости. Тезисы докладов, Ереван, 1979, с.335-337.

82. Тоноян B.C., Минасян А.Ф. Об одной контактной задаче для упругой составной полуплоскости. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1979, т.32, Ш, с.3-18.

83. Тоноян B.C., Минасян А.Ф. Несимметричная контактная задача дляполуплоскости с вертикальным конечным разрезом. Докл. АН Арм. ССР, 1975, т.61, №5, с.289-298.

84. Ту И-е, Гезис. Контактная задача о плите, сжатой между двумя сферами. ПМ (Труды ASME, сер. Е), 1964, т.ЗГ, №4, с.93-101.

85. Уилсон. Контактные напряжения в бёсконечной пластинке, содержащей гладкую жесткую элиптическую вставку. ПМ (Труды ASME, сер. Е), 1964, т.31, М, с.145-149.

86. Уилсон., Гори. Осесимметричное распределение контактных напряжений, возникапцих около гладкой упругой сферы в бесконечном упругом пространстве, равномерно нагруженном на бесконечности. ПМ (Труды ASME, сер. Е), 1967, т.34, №4, с.239-247.

87. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев, "Наукова думка", 1979, 264с.

88. Улитко А.Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного двумя круговыми трещинами, расположенными в одной плоскости СБ. "Концентрация напряжений", вып. 2, Киев, "Наукова думка",1968, с.201-108.

89. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. "Наука", Л., 1967, 402с.

90. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л., "Наука", 1977, 220с.

91. Фесенко Е.Д., Проценко B.C. и др. О контактной задаче теории упругости. ПММ, 1979, т.15, №3, с.102-103.

92. Хуссейн, Цу., Садовский. Образование полостей у концов эллиптического включения, находящихся внутри растягиваемой пластинки. ПМ (труды ASME, сер Е), 1968, т.35, Ю, с.82-87.

93. Цзай, Дандерс, Кир. Контакт между упругим слоем со слабо искривленным основанием и полупространством. ПМ (Труды ASME, сер.Е), 1972, т.39, JR3, с.185-188.

94. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. "Наука", М., 1974, 640с.

95. Шерман Д.И. Основные плоские и контактные (смешанные) задачи статистической теории упругости. Сб. "Механика" в СССР за 30 лет", М.,-Л., 1950, с.192-225.

96. Шерман Д.И. Труды I Всесоюзного съезда по теорет. и приклад, механике (обзорный доклад) М., "Наука", 1962, с.405-467.

97. Штаерман И.Я. Контактные задачи теории упругости. М., 1949, 270с.

98. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. М., физ.-мат. гиз. 1959, 420с.

99. Aihara Tamihiko.On the axisymmejbric problem of elastic contact bfetween Bmooth circular plates. "Вй11 Jsme" ,1979,22,N166,1. PP.483-490.

100. Alblas J.В .On the two-dimensional contact problem of a rigid cylinder,pressed between two elastic half-planes."Mech.Res. Communs.",1974,41 ,N3,PP.15-20.

101. Alblas J.B.On the two-dimensional contact problem of a rugid cylender,pressed between two-elastic layers."Mech.Contact Deform.Bodies.",Delft.,1975,PP.110-126.

102. Babuska I.,Roktorys K.,Vyecho F. Matematika theorie rovinne pruznosti.Praha,1953.

103. Ciwelek M.B. »Erdogan P. The axis.ymmetric doubll contact problem for a frictionless elastic layer."Int;J .Solids and Struct." 1974,10,N6,PP.639-659.

104. Ciwelek M.B. ,Basar,Erdogan P.Interface separation in a frictionless contact problem for an elastic layer.( Trans.ASME,ser.B) 1976,43,171,PP. 175-177.

105. Ciwelek M.B.,Erdogan P.The frictionless contact problem for anelastic layer under gravity .J .Appl.Mech.(Trans.ASME,ser.E), 1975,42,11,PP.136-140.

106. Cooke J.C.,Tranter C.Dual Fourier-Bessel series.Quart.Journ. Mech.and Appl.Math.,1959,12,N3,PP.379-386.

107. Sundurs J. Properties of elastic bodies in contact. The mecha-hdcs of the contact "between deformable bodies.Proceedingsof IUTAM symposium. Enschede?»Netherlands,1974,Ed-rs A.D.de Pater. J .J .Kalker.Delf University Press. 1975,PP. 54-^66.

108. Dundurs J.,Tsai K.C.,Keer L.M.Contact between elastic bogies with wavy surfaces. "J.Elast.,f ,1973,3,N2,PP. 109-115.

109. Dundurs J.,Tsai K.C.,Keer L.M.Some observations on the smooth contact between a layer and a half space. "Trans.ASME,ser.E" , 1975,42,N1,PP.221-222.

110. Dusgupta S.,Prasad S.N.On the phenomenon of separation during compression and frictional sliding of elastic reitangle.

111. Trans.ASME,ser.E),1976,43,N2,PP.268-274.

112. Erdol K.,Erdogan P.A thick-walled Cylinder with an axisymmetric infernel or edge crook.J.Appl.Mech.,1978,vol.45,N2,PP.281-286.

113. Erdogan F.,ArinK. Penny-shaped interface crack between an elastic layer and half space.Intern.J.Eng.Sci.,1972,vol.10, N 2,P.

114. Erdogan F.,Ratwani M. The contact problem for an elastic*layer supported by two elastic Qyarter Planes.J.Appl.Mech. (Trans.ASME,ser.E) ,1974,41 ,N3,PP.673-678.

115. Gecit M.R.,Erdogan F.Frictionless contact problem for an elastic layer under axisymmetric loading."Jnt.J.Solids and struct.",1978,14,N9,PP.771-785.

116. Geeit M.R.Axisymmetric contact problem for an elastic layer and elastic foundation." Int.J.Eng.Sci.",1981,19,N6,PP.747-755.

117. Gladwell G.M.L.On some unb onded contact problem in plane elasticity theory.(Trans.ASME,ser.E),1976,43,N2,PP.263-267.

118. Gladwell G.M.L.The contact problem for a rigid cylinder pressed between two elastic layers.(Trans.ASME,ser.E),1977, 44,N1,PP.36-40.

119. Goodman L.E.,Keer L.M.The contact problem for an elasticr *sphere indenting an elastic cavity.Int.J.Solids and Structures, 1965,v olPP.407-415.

120. Gupta P.K.,Walowit J.A.Contact stresses between an elastic cylinder and a layered elastic solid.(Trans,ASME,ser.E), 1974,96, N2, PP. 250-257.

121. Hertz H.Gesammeite Werke,bd.1 »Leipzig,1895.

122. Hogg A.H.A."Equilibrium of a thin plate,symmetrically,loaded, resting on an elastic foundation of infinite depth "»Philosophical Magazine,1938,vol.25,PP.576-582.

123. Keer L.M,»Dundurs J. ,Kiattikomol K.Sepeyation of a smooth c±±cular incluaion fram a matrix. Int.J.Eng.Sci. ,=1973,11,1. N11,PP.1221-2233.

124. Mknary O.The axial contact of finite elastic cylinders with application to thermal contact resistancl. Int.J.Heat and Mass Tran sfer,1971,14,N9.

125. Mizushima Iwao.,Hamada Minoru, Shakudo Taketomi. " Нихо Кикой4 ' •

126. Гаккай Ромбуного, Trans Jar.Soc.Eng" ,1978,44,N377,PP.15-21.

127. Noble В . ,Hussain M.A .Variational Method for Inclusion and1.den tion problems. ,Math.Research С enter,U .S .Army »University✓ 1 • *of Wisconsin,Report N812,Dec.1967,PP.1149-1156.

128. Prasad S.N.»Dasgupta S.Effect of sliding friction on contact;stresses in a rectangle compressed by rigid planes.(Trans.» *

129. ASME.ser.E),1975,42,N3,PP.656-662.

130. Pu S .L. »Hussain M.A. »Anderson G.Lifting of a plate form thefoudation due to axisjmmetric pressure.Developments in Mecha*nics,Proceedings of the 11-th Midwestern Mechanics Conferens. 1969,vol.5,PP.507-590.

131. Ramkomaz H.C.,Frederick Daniel.Axisymmetrie delamination in layered cylinders.Int.J.Fracture,1978,vol.14,N4,PP.381-399.

132. Ratwani M.,Erdogan F.On the plate contact problem for a fric-tioless elastic layer. Int.J.Solids and Structures, 1973,vol. 9,H 8,PP.921-936.

133. Shyam N.,Prasad.,Peter K.,Chiu and Dasgupta S.Compression and sliding of an elastic rectangle fixed rigidly at the base. Int.J.Eng,1976,vol.14,N7.

134. S liter G .E.A contact problem for an elastic quasi-rectangular region.Doct.Doct.Diss.U niv.111.,1964.

135. Strivastava K.N.,Saxena V.P.Axisymmetri problem of an infinite elastic plate in contact with two punches."Indian J.Pure and Appl.Math.",1972,3,H6.

136. Srivastav R.P.,Lee D.Axisymmetrie external crack problems for media with cylindrical cavities. IntJ.Eng.Sci., 1972,vol. 10,113.

137. Tsai K.C.,Dundurs J.,Keer L.M.Contact between an elastic layer

138. With a slightly curved botton and a substrate.(Trans,ASME,ser.E),1972,39,N3,PP.185-187.i , i ~

139. Tsai K.C.,Dundurs J.,Keer L.M.Elastic layer pressed againsta half space.J.Appl.Mech,(Trans,ASME,ser.E) ,1974,41 ,N3,' >1. PP.703-707.

140. Wang I.A. contact stress problem for a rapid smooth shhere in an extnded elastic solid.(Trans.ASME,ser.E) ,1965,32,U3,P.

141. Watanada K.,Atsumi A.,Cong.Circular cylinder having an infinite* *row of penny-shaped cracks.Int.J.Eng.Sci.,1972,vol.10,N2,P.

142. Weitsman J.A. tensionlecs contact between a beam and an elastic half-spacl.Int.J.Eng.Sci.,1972,vol.*10,^1.PP.

143. Wilson H.B.J."Approximate determination of contact stresses in an infinite plane with a smooth circular insert"to be published in the proceedinge of the second southeastern conferens on theoretical mechanics held in March,1964.

144. Мартиросян 3.A., Нерсисян Г.Г. Некоторые контактные задачи для двух конечных цилиндров из различных материалов. Изв. АН Арм.ССР, с.т.н., 1980, №1, с.40-46.

145. Нерсисян Г.Г. Об одной контактной задаче для двух цилиндров с неизвестной зоной контакта. Изв. АН Арм.ССР, с.т.н., 1980, »6, с.7-14.

146. Мартиросян З.А., Нерсисян Г.Г. Контактные задачи для круглых упругих цилиндров. Тезисы докладов П Всесоюзной кон. смеш. задачи, механика деформируемого тела, Днепропетровск, 1981,с.93.

147. Мартиросян З.А., Нерсисян Г.Г. Осесимметричная контактная задача для двух цилиндров с неизвестной зоной контакта. Изв. АН Арм.ССР, с.т.н., 1981, №6, с.10-17.

148. Нерсисян Г.Г. Об одной контактной задаче для двух упругих конечных цилиндров. Ереван, ЕрГУ, Механика, вып.1, 1982, с.108-118.