Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Брычев, Сергей Викторович

• Брычев, Сергей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Брычев, Сергей Викторович

1 Задача Коши

1.1 Относительные резольвенты

1.2 Относительно регулярные операторы

1.3 Относительно присоединенные векторы

1.4 Регулярные пучки матриц.

1.5 Разрешающие группы операторов.

1.6 Фазовые пространства.

1.7 Разрешимость задачи Коши.

1.8 Пример Леонтьева.

2 Алгоритм решения задачи Коши

2.1 Относительные р-резольвенты

2.2 Проекторы

2.3 Разрешающие группы.

2.4 Подынтегральный оператор.

2.5 Решение задачи Коши.

2.6 Об оценках сходимости

3 Коммунальное хозяйство малого города (г. Еманжелинск Челябинской области)

3.1 Историко-географическая и экономическая характеристика Еманжелинска.

3.2 Построение матриц Ь и М

3.3 Программный продукт.

Обозначения и соглашения

Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N — множество натуральных чисел;

R — множество действительных чисел, R+ = {г Е 1 : г > 0}, Ё+ = {0} U R+;

Rn — декартово произведение п экземпляров множества R;

С — множество комплексных чисел.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или. в особых случаях, греческого алфавитов. Например,

Span{(/?i, tf2i - • ■ ч fm} обозначает линейную оболочку векторов ipi, ip2,., <рт.

Через dim Я обозначается размерность конечномерного линеала. Множество, снабженное какой-либо структурой (как правило алгебраической и (или) топологической), называется пространством.

Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например: £(11; $) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве 11 и действующих в пространство £ £(И; 3) = £(Д) при Я ее £ £(11; 3") = £(11) 11 = £

Поскольку наши пространства, как правило, конечномерны, то мы условимся матрицы, поставленные в соответствие операторам, обозначать теми же символами, что и операторы.

Символами I и О обозначаются соответственно "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых ясны из контекста. dorn А — область определения оператора А, im А — образ оператора А.

Символом const обозначаются, вообще говоря, различные константы.

Все рассуждения проводятся в вещественных конечномерных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки "и ограничивают область, лежащую "слева"при таком движении.

Символ • лежит, в начале и конце доказательств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов»

Постановка задачи. Пусть И и $ - конечномерные банаховы пространства, dim 11 = dim^, операторы L,M & £(U; Поставим задачу Коши

О) = щ (0.1) для линейного операторного уравнения соболевского типа

Lu = Mu + f, кет L ф {0}. (0.2)

Если в пространствах 11 и $ фиксировать некоторые базисы, то операторам L и М можно поставить в соответствие квадратные матрицы L и М порядка dim И, а уравнению - вырожденную (т.е. det L = 0) линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Целью диссертации является построение численного алгоритма для решения задачи (0.1), (0.2) и разработка экономических приложений системы уравнений (0.2). Отправными точками послужили теория относительно <т-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических и сильно непрерывных групп операторов, разработанная Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым, и динамическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева "затраты-выпуск"с учетом запасов.

Терминология. Первым начал изучать уравнения вида (0.2) С.JI. Соболев [76]. В дальнейшем уравнения не разрешенные относительно старшей производной по времени стали называть "уравнениями типа Соболева"[4], [16], [38], [39], [56], [57], [58], [61], [62], [63], [64], [65], [69], [72] или "уравнениями соболевского типа" [92], [94], [95], [96]. Мы будем пользоваться вторым термином наряду с термином "вырожденная система обыкновенных дифференциальных уравнений"[5], считая его синонимом термина "сингулярная система" [86].

Обоснование интереса к проблеме. Как хорошо известно, первые результаты о разрешимости однородного (т.е. / = 0) уравнения (0.2) были получены Ф.Р. Гантмахером [11]. Основываясь на общей теории пучков матриц уЬ — М, где Ь и М - произвольные прямоугольные матрицы одних и тех же размеров, разработанной К. Вейерштрассом и Л. Кронекером, Ф.Р. Гантмахер дал исчерпывающий ответ о решениях однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Именно эти результаты легли в основу работ С.Г. Крейна и его учеников [8], [18], [26], в которых изучена задача (0.1) для однородного уравнения

Ьй = Ми, кег Ь ф {0} (0.3) в бесконечномерных банаховых пространствах при условии фред-гольмовости оператора Ь (т.е. тс! Ь = 0). Независимо от этих результатов М.И. Вишик [9] предложил свой подход к решению задачи (0.1), (0.3). Однако ввиду большой технической сложности методы работ [9], [11], [18], [26] до сих пор не превратились в численные алгоритмы.

С другой стороны предположим, что национальная экономика некоторой страны состоит из п отраслей, и пусть а^ представляет собой коэффициент затрат, показывающий количество единиц продукции отрасли г, необходимое для производства единицы продукции отрасли Тогда взаимосвязи между валовыми выпусками Х2, ■ ■ ■ хп п отраслей экономики и так называемым конечным спросом, включающим в себя потребление и новые инвестиции, удовлетворяют следующей системе

Матрица А представляет собой сжатое количественное описание структурных свойств некоторой экономической системы; она суммирует результаты трудоемкого и систематизированного эмпирического исследования. Даже высокоагрегированное описание экономики США, представленное матрицей порядка 100, требует примерно года фактических исследований, производимых 20 подготовленными экономистами; более детализированная матрица порядка 200 - двух лет работы 75 человек.

Система (0.4) в экономической литературе получила название "система Леонтьева "затраты-выпуск. Численное решение системы (0.4) при произвольном выборе коэффициентов а^ будет очень неустойчивым, конечный результат вряд ли будет содержать что-либо большее, чем ошибки округления. Однако, как замечает В. Леонтьев [30], "экономика США функционирует как своего рода большая вычислительная машина, постоянно вырабатывающая решение тех проблем, которые сама же и ставит". Поэтому в действительности решение системы (0.4) оказывается очень устойчивым, что легко проверяется по традиционным критериям точности вычислений.

Для исследования динамики зависимости валового выпуска от конечного спроса В. Леонтьевым [30] была предложена модифицированная система

Здесь В ~ квадратная матрица того же порядка, что и матрица А

I - А)х = у.

0.4)

I - А)х - Вх = у.

0.5)

Элемент Ъ^ матрицы В представляет собой запас продукции отрасли г, требуемый для производства единицы продукции отрасли у. Поэтому компоненты вектора Вх описывают скорость прироста всех видов запасов, т.е. скорость накопления или свертывания всех видов капитала в их взаимосвязи с изменениями скоростей выпуска х всех отраслей. Определение величины элементов матрицы В включает в себя серию эмпирических исследований еще более трудоемких, чем в случае определения элементов матрицы А. Система уравнений (0.5) была названа "системой Леонтьева "затраты-выпуск"с учетом запасов "или "динамической моделью Леонтьева"в отличие от "стационарной модели Леонтьева"(0.4). По системе (0.5) В. Леонтьев рассчитал экономику послевоенной Японии и обнаружил, что традиционные отрасли японской экономики - производство риса и шелка - нерентабельны, ибо шелк дешевле импортировать из США, а рис - из Китая. Рентабельными же оказались наукоемкие отрасли, основанные на "высоких технологиях". Неудивительно, что после этого В. Леонтьев был назван "отцом японского экономического чуда". За свои исследования В. Леонтьев был удостоен многих наград и премий, главной из которых является Нобелевская премия по экономике в 1973 г.

Однако, расчеты В. Леонтьева нам кажутся небезупречными. Дело в том, что если рассчитывать экономику всех отраслей, включая такую отрасль как домашние хозяйства, производящие человеческий труд, то матрица В в системе (0.5) окажется вырожденной (т.е. В = 0). Это происходит потому, что труд запасти невозможно, значит, строка матрицы В, соответствующая отрасли домашних хозяйств, содержит только нулевые элементы. В. Леонтьев, пользуется продуктивностью матрицы А и поэтому легко редуцирует систему (0.5) к системе на единицу меньшей размерности с невырожденной матрицей при производной. Решение задачи Коши (0.1) для полученной системы - дело техники.

Наш упрек адресован редукции системы (0.5). Продуктивность матрицы А означает, прежде всего, неотрицательность всех ее элементов. Между тем, довольно часто встречаются примеры "затратной "экономической деятельности. Основным таким примером служит экономика коммунального хозяйства. Как мы покажем ниже, некоторые элементы матрицы А, моделирующей коммунальное хозяйство г. Еманжелинска Челябинской области, являются отрицательными. Поэтому условие продуктивности матрицы А снижает эвристическую ценность модели (0.5).

Методы исследования. Основным методом наших исследований является метод фазового пространства. Суть его вкратце сводится к следующему. Сингулярное уравнение (0.3) редуцируется к регулярному определенному, однако, не на пространстве Я, а на некотором его подмножестве ф С И, понимаемом нами как фазовое пространство исходного уравнения (0.3). Затем ищется разрешающая (по-лу)группа уравнения (0.6), которая оказывается разрешающей (полу) группой уравнения (0.3).

Поясним последнее чуть подробнее. Пусть оператор 5* 6 £(Н). Тогда существует аналитическая (во всей плоскости С) разрешающая группа уравнения (0.6), представимая интегралом Данфорда-Тейлора й — Би

0.6)

0.7) где t е К, Rfj,{S) = (ßl — 5)-1 - резольвента оператора S, а Г С С -контур, ограничивающий область, содержащую спектр cr(S) оператора S.

Введем в рассмотрение L-резольвентное множество pL{M) = {ß € C:(ßL- М)~1 G £(3"; il)} и L-спектр crL(M) = C\pL(M) оператора M. Назовем оператор М а-ограниченным относительно оператора L (короче, (L, <т)-ограниченным), еели

За > 0 V/xGC (М>а)=*.(де/(М)), и построим семейство операторов г где = (/iL — M)~lL - правая L-резолъвента оператора М, а контур Г С С ограничивает область, содержащую L-спектр оператора М. Оказывается, что семейство (0.8) является разрешающей аналитической группой уравнения (0.3), причем при некоторых дополнительных условиях она совпадает с группой (0.7) на фазовом пространстве.

Пусть теперь оператор S радиален, т.е. существуют константы а £ R и К Е Е+ такие, что луч (а, Н-оо) С p{S), причем

Тогда существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа (со-полугруппа в терминологии К. Иосиды) уравнения (0.3), которая может быть получена посредством аппроксимаций Поста-Уиддера

Ub = a - lim (I - yS)k . (0.9) k-Н-оо k

11

Оператор М назовем р-радиалъным относительно оператора Ь (короче, (Ь,р)-радиальным), еели р) За£ М У/и > а [л£ р1(М)] (п) ЗК > 0 \ffik > а, к = 0,1,.,. ,р Уп€ N

Ц^'^гнад, \\(ь^р)(м)пт} < р С0П8Ь . к=О

Здесь правая, а левая р-резольвенты оператора М, Е рь(М), q = 0,1,. ,р).

Пусть оператор М (Ь, р)-радиален. Тогда существует равномерно ограниченная и сильно непрерывная разрешающая полугруппа уравнения (0.3), которая может быть получена посредством аппроксимаций типа Посгпа-Уиддера

1 \ к(р+1) -^М) ь) . (0.10)

Оказывается, что полугруппа (0.10) тоже совпадает с полугруппой (0.9) на фазовом пространстве уравнения (0.3).

Аналитические группы (0.8) и сильно непрерывные полугруппы (0.10) обладают рядом свойств, решительно отличающих их от прототипов (0.7) и (0.9). Поскольку в конечномерном случае группы (0.8) и полугруппы (0.10) совпадают, то мы воспользуемся свойствами тех и других для создания численного алгоритма решения задачи (0.1), (0.2).

Актуальность темы диссертации. Уравнения Леонтьева (0.4) и (0.5) стали объектом многих глубоких как теоретических, так и прикладных исследований. К первым следует отнести фундаментальный трактат [36]. В нем рассмотрен широкий круг проблем как экономической теории в целом, так и собственно математической экономики. Центральная проблема - функционирование экономической системы - базируется на фундаментальном понятии экономического равновесия. Основное внимание уделяется моделям экономической динамики. Рассматриваются, в частности, в новом свете известные модели Леонтьева, Неймана и другие. В моделях экономической динамики определяется понятие равновесного сбалансированного роста. Подробно изучаются свойства цен, выпусков и других показателей в состоянии равновесного сбалансированного роста. Вводится также понятие эффективной траектории развития экономики и показывается, что при определенных условиях эффективная траектория приближается к состоянию равновесного сбалансированного роста.

Так как В. Леонтьев неоднократно заявлял о том, что его уравнения "опираются на марксизм"[29], то, в связи с этим небезинтересна работа [85], в которой автор применяет теорию матриц для описания марксистской теории прибавочной стоимости. Интерес вызывает схожесть полученных Хошимурой [85] уравнений с уравнениями (0.4). Кроме того, уравнения Леонтьева в разных математико-экономических аспектах рассматривались в [15], [37].

В свою очередь уравнение (0.2) является объектом пристального внимания многих математиков. Так Н.В.Зубов [17] получил локальную теорему существования единственного решения задачи Копти для квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Ах = /(х,^, х(г0) = х0. (0.11)

А - квадратная постоянная особенная матрица порядка п, х € К", / £ C2((—tQ—T, t0+T); Rn). Доказано, что начальные данные должны удовлетворять некоторой системе алгебраических уравнений, и что решение может быть получено методом последовательных приближений. Задаче Коши (0.11) с А = A(x,t), гапкА(ж, t) = const в некоторой окрестности точки (xo,to) посвящены многие из работ В.Ф. Чистякова (например, [87]). Автор отмечает, что задача (0.11) имеет решения не для любого начального вектора xq. Поэтому он вводит понятие допустимого для системы (0.11) начального условия xq. а также критерий "ранг-степень", на основе которых и доказывает локальные теоремы существования и единственности решения задачи Коши (0.11). (Ненулевой многочлен det(AX — В), где А и В -постоянные матрицы, удовлетворяет критерию "ранг-степень", если степень многочлена равна рангу А). В.Ф. Чистяков наряду с квазилинейным уравнением (0.11) исследовал линейное уравнение (0.2) в предположении f = f(t), и £Жп, L = L(t), М = M(t) - матрицы, причем L{t) вырождена [86]. На основе введенного автором понятия индекса системы доказана теорема о существовании общего решения системы (0.2) в предположении, что индекс пучка матриц не превышает двух.

В монографии Ю.Е. Бояринцева [5] излагаются приближенные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанные на использовании обобщенных обратных матриц. Большое внимание уделено построению сходящихся числовых алгоритмов. На основе алгоритмов разработан пакет прикладных программ численного интегрирования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Цикл работ [40], [41], [42] посвящен методу решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанный на вычислении матричной экспоненты и интеграла от нее с помощью реккурентных соотношений. Приводятся формулы для вычисления глобальной погрешности численного решения.

Особое место в этом кратком обзоре занимают работы Г.А. Сви-ридюка [53] и Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукачевой [68], в которых метод фазового пространства применяется к исследованию задачи (0.1), (0.2) при условии, что вектор-функция / = /(и). При некоторых дополнительных условиях на вектор-функцию / показано, что фазовым пространством уравнения (0.2) является гладкое С°°-многообразие.

В заключение отметим, что важность и необходимость изучения уравнений вида (0.2), (0.6) отмечали И.Г. Петровский [43] и Ж.-П. Лионе [31].

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации следует считать построение численного алгоритма решения задачи (0.1), (0.2), основанного на теории относительно <т-ограниченных и относительно ^»-радиальных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. По численному алгоритму создан программный продукт для расчета экономики коммунального хозяйства малых городов по заказу администрации города Еманжелинска. Созданные программы могут быть тиражированы для других малых городов России.

Содержание диссертации. Диссертация кроме трех глав содержит Введение, Приложение и Список литературы. Отметим сразу, что Список составлен только с учетом личных вкусов и пристрастий автора, содержит только работы, непосредственно относящиеся

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Брычев, Сергей Викторович, 2002 год

1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

2. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Илъяшенко Ю.С., Шильни-ков Л.П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Динам, системы-5. М.: ВИНИТИ, 1986.С.5-218.

3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965.

4. Вокарева Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993.

5. Вояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

6. Вояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.

7. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

8. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус функции и линейные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. Матем. анал. Т.28. М.: ВИНИТИ, 1990.

9. Вишик M. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. 39(81):1. С.51-148.

10. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ. 1983. 84 с.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, 4-ое изд. М.: Наука, 1988.

12. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969.

13. Дудко JI.JI. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новгород, 1996.

14. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

15. Еремин И.И., Мазуров Вл.Д., Скарин В.Д., Хачай М.Ю. Математические методы в экономике. Екатеринбург: УрГУ, 2000.

16. Ефремов А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

17. Зубов Н.В. Теорема существования и единственности для одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не приводимой к нормальному виду //В кн. Матем. теория управления техн. объектами. JL: Изд. ЛГУ, 1982. С.19-26.

18. Зубова С.П., Чернышев К. И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при старшей производной // Дифференц. уравн. и их прим. 1976. Т.14. С.21-39.

19. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

20. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

21. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

22. Келлер A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1997.

23. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990.

24. Кожанов А.И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вест. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех. 1999. С.31-47.

25. Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Матем. анал. М.: ВИНИТИ, 1983. С.130-263. (Итоги науки и техники; Т.21).

26. Крейн С.Г., Чернышев К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Новосибирск, 1979. 18 с. (Препринт / СО АН СССР, ИМ).

27. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

28. Ланкастер П. Теория матриц, 2-ое изд. М.: Наука, 1982.

29. Леонтьев В. Экономические эссе. М.: Изд. полит, литер., 1990.

30. Леонтьев В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика, 1977.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

32. Маценис И. Структура решений вырожденной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. и их прим. Вильнюс. 1986. Т.38. С.53-57.

33. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т.343, №4. С.448-451.

34. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // УМН. 1994. Т.49, №6. С. 111-150.

35. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

36. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972.

37. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.

38. Осколков А.П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т.200. С.139-148.

39. Осколков А.П., Котсиолис A.A., Щадиев Р.Д. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных диссипативных уравнений типа Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т. 199. С.91-113.

40. Павлов Б.В., Повзнер А.Я. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т.13., №4. С.1056-1059.

41. Павлов Б.В., Родионова O.E. Метод локальной линеаризации при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т.27., №5. С.688-699.

42. Павлов Б.В., Родионова O.E. Численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34., Ш. С.622-627.

43. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

44. Пятков С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сиб. матем. журн. 1989. Т.ЗО, №4. С.111-124.

45. Радбелъ Н.И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = 0 // Дифференц. уравн. 1979. Т.15, №6. С.1142-1143.

46. Pud М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. М.: Мир, 1977.

47. Рисс Ф., Секефалъви-Надъ Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

48. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ах'(£)+Вх(х) = /(£) // Дифференц. уравн. 1975. Т.11, №11. С.1996-2010.

49. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах //УМН. 1996. Т.51, №1. С.101-132.

50. Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах //Матем. заметки. 2000. Т.58, №5. С.745-754.

51. Свиридюк Г.А. Линейные соболевские уравнения. Рук. деп. ВИНИТИ, 1985. №4265-85 ДЕП.

52. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения // ДАН. 1986. Т. 289, №6. С. 1315-1318.

53. Свиридюк Г.А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №9. С.1637-1639.

54. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вяз-коупругой жидкости // Изв. ВУЗ. Матем. 1988. №1. С. 74-79.

55. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // ДАН СССР. 1989. Т.304, т. с.301-304.

56. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН. 1991. Т. 318, №4. С. 828-831.

57. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН, сер. ма-тем. 1993. Т. 57, №3. С. 192-207.

58. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальным оператором // ДАН. 1993. Т. 329, №3. С. 274-277.

59. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупру-гой жидкости // Изв. ВУЗ. Матем. 1994. М. С. 62-70.

60. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // УМН. 1994. Т. 49, №4. С. 47-74.

61. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т. 337, №5. С. 581-584.

62. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно секториальным оператором // Алгебра и анал. 1994. Т. 6, №2. С. 216-237.

63. Свиридюк Г.А., Апетова Т.В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // ДАН. 1993. Т. 330, №6. С. 696-699.

64. Свиридюк Г.А., Ефремов А.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Дифференц. уравн. 1995. Т. 31, №11. С. 1912-1919.

65. Свиридюк Г.А., Келлер A.B. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв. ВУЗ. Матем. 1997. №5. С. 60-68.

66. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях уравнений типа Соболева // Изв ВУЗ. Матем. 1989. №10. С.44-47.

67. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, №5. С. 109-119.

68. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. (Качеств, теор.). Рязань, 1990. С.108-115.

69. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений типа Соболева / / Дифференц. уравн. 1990. Т. 26, №9. С. 250-258.

70. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко JI.JI. Необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности линейных операторов // ДАН. 1995. Т.345, М, С.25-27.

71. Свиридюк Г.А., Суханова М.В. Разрешимость задачи Коши для линейных сингулярных уравнений эволюционного типа // Дифференц. уравн. 1992. Т. 28, №3. С. 323-330.

72. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, №5. С. 1130-1145.

73. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39, т. с. 604-616.

74. Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова // Дифференц. уравн. 1996. Т. 32, №11. С. 1538-1543.

75. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией // Матем. заметки. 1984. Т.25,№4. С. 569-578.

76. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т.18. С.3-50.

77. Федоров В.Е. Сильно непрерывные полугруппы и относительно р-радиальные операторы // Деп. в ВИНИТИ, 1995, №2665В-95.

78. Федоров В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами // ДАН. 1996. Т.351, №3. С.316-318.

79. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

80. Федоров В.Е. Группы и полугруппы операторов с ядрами. Учеб. пособ. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

81. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов // Изв. ВУЗ. Матем. 2000. №3. С.54-65.

82. В.Е.Федоров. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т.12, вып.З. С.173-200.

83. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

84. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

85. Хошимура Ш. Теория воспроизводства и накопления капитала. М.: Прогресс, 1978.

86. Чистяков В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // В кн. Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск. 1986. С. 123-128.

87. Чистяков В. Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений //В кн. Динамика нелинейных систем. Новосибирск. 1983. С. 163-173.

88. Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.

89. Якупов М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

90. Campbell S.L., Petzold L.R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations // SIAM Alg. Discr. Methods. 1983. V.4., №4. P.517-521.

91. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip 11 Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.19. P.100-116.

92. Demidenko G. V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations // Part. Diff. Eq. Banach center publ. V.27. Warzava. 1992. P.101-109.

93. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces N.-Y.: Marcel Dekker, Inc. 1999.

94. Lightbourne J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type //J. Math. Anal. Appl. 1983. V.93, №2. P.328-337.

95. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V.31, №. P.787-794.

96. Showalter R.E. The Sobolev type equations. I(II) // Appl. Anal. 1975. V.5. m. P.15-22 (№2. P.81-89).

97. Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G., Glazatov S.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical physics // Conditionally wellposed problems. Moscow, Utrecht: TVP/TSP. 1993. P.299-321.

98. Wilkinson J.H. The differential system Bx = Ax and generalized eigenvalue problem Au = Bu // Nat. Phis. Lab. Rep. NAC 73. 1977.

99. Брычев С.В. Задача Коши для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Рук. деп.ВИНИТИ, 2000, ДО3247-В00 ДЕП 22.12.00.

100. Брычев С. В. Решения замкнутой системы уравнений Леонтьева // Межд. конф. "Дифференц. и интегр. уравн.". Одесса, 2000. С.39-40.

101. Брычев C.B. Замкнутая система уравнений межотраслевого баланса // Тез. докл. Четв. сиб. конг. прикл. и индустр. ма-тем., ИНПРИМ 2000. Новосибирск, 2000. С.46-47.

102. Брычев C.B. О решениях системы Леонтьева // Уравнения соболевского типа: Сб. работ под ред. В.Е.Федорова. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 193-196

103. Свиридюк Г.А., Брычев C.B. О неотрицательных решениях системы Леонтьева // Вор. зимн. мат. шк. Воронеж. 1999. С. 178.

104. Свиридюк Г.А., Брычев C.B. Об одной модели межотраслевой экономики // Вор. вес. мат. шк. Воронеж. 1999. С. 291.

105. Свиридюк Г.А., Брычев C.B. О решениях системы уравнений Леонтьева // "Проблемы физ.-мат. образования в пед. вузах России на совр. этапе": Матер. Всеросс. науч.-практ. конф. 4.2. Магнитогорск: МГПИ, 1999. С.30-31.

106. Georgy A. Sviridyuk, Sergei V. Brychev. One numerical approach for decision of Leontief-type systems // Тез. докл. Ill Межд. конф. по мат. моделированию. Якутск. 2001. С. 4-5.