Исследование многоточечных начально-конечных задач для неклассических моделей математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Загребина, Софья Александровна

• Загребина, Софья Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Загребина, Софья Александровна

Содержание

Обозначения и соглашения

1 Линейная модель Осколкова транспортировки нефти по трубопроводу

1.1 Относительно р-ограниченные операторы

1.2 Голоморфные вырожденные группы операторов

1.3 Относительно спектральные проекторы

1.4 Многоточечная начально-конечная задача

1.5 Задача Штурма - Лиувилля

на геометрическом графе

1.6 Линейная модель Осколкова транспортировки нефти по трубопроводу

1.7 Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения решения многоточечной начально-конечной задачи на графе

1.8 Вычислительный эксперимент

2 Линейная модель плоскопараллельной термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости

2.1 Относительно р-секториальные операторы

2.2 Вырожденные разрешающие аналитические полугруппы операторов

2.3 Существование обратного оператора

2.4 Относительно спектральные проекторы

2.5 Многоточечная начально-конечная задача для уравнений еоболевского типа с относительно

р- с е кто р и а л ь н ы м оператором

2.6 Линейная модель плоскопараллельной термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости

2.7 Нахождение собственных значений для

задачи Бенара

2.8 Вычислительный эксперимент для модели термоконвекции

3 Линейная модель эволюции свободной

поверхности фильтрующейся жидкости

3.1 Относительно р-радиальные операторы

3.2 Сильно непрерывные полугруппы

3.3 Необходимые условия относительной сильной р-радиальности

3.4 Достаточные условия относительной сильной р-радиальности

3.5 Многоточечная начально-конечная задача

3.6 Линейная модель эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости

3.7 Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения решения многоточечной начально-конечной задачи для линейной модели эволюции свободной поверхности

фильтрующейся жидкости

3.8 Вычислительный эксперимент

4 Линейная модель

Баренблатта — Желтова - Кочиной

с аддитивным белым шумом

4.1 А^-Винеровские процессы

4.2 Многоточечная начально-конечная задача для уравнения соболевского типа с аддитивным белым шумом

4.3 Операторы Грина как ядерные операторы

4.4 Модель Баренблатта - Желтова - Кочиной с аддитивным белым шумом

4.5 Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения решения многоточечной начально-конечной задачи для линейной модели Баренблатта - Желтова - Кочиной с аддитивным белым шумом

4.6 Вычислительный эксперимент

Заключение

Список литературы

Обозначения и соглашения

Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например: N — множество натуральных чисел; М — множество действительных чисел, = {г £ I :

г > 0}, = {0}им+;

С — множество комплексных чисел: Ьр(0,) — пространства Лебега;

— пространства Соболева и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или, в особых случаях, греческого алфавитов. Например,

БраП{(/?], (¿>2, • • •

обозначает линейную оболочку векторов </?х, ср-2,

Множество, снабженное какой-либо структурой (как правило алгебраической и (или) топологической), называется пространством.

Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

£(11; — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве 11 и действующих в про-

странство £(11; = £(U) при 11 = 5"-

С/(It; 30 — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве И и действующих в пространство 5r, Cl{It; 5) = Cl(ii) при It =

Символами I и О обозначаются соответственно "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых ясны из контекста.

dorn А — область определения оператора А, im А — образ оператора А.

Символом const обозначаются, вообще говоря, различные константы.

Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных "вопросов вводится их естественная комплексифика-ция. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки "и ограничивают область, лежащую "сле-ва"при таком движении.

Символ • лежит в начале и конце доказательств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование многоточечных начально-конечных задач для неклассических моделей математической физики»

Введение

Обоснование интереса к проблеме. Многие физические. технические и технологические процессы и явления такие, как транспортировка нефти по трубопроводу, плоскопараллельная термоконвекция вязкоупругой несжимаемой жидкости, эволюция свободной поверхности фильтрующейся жидкости, динамика давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде моделируются уравнениями соболсвского типа. При этом часто есть необходимость в целях исключения аварийных ситуаций, например, гидродинамического удара при перепадах давления в трубопроводе либо нарушения непрерывности процесса термоконвекции в результате нарушения технологии и т.п.. осуществлять многочисленные наблюдения этих процессов с различных точек и в различные моменты времени. Для восстановления параметров этих процессов по результатам наблюдений применяются многоточечные начально-конечные задачи [175]. Решению таких задач для неклассических моделей математической физики посвящено данное исследование.

Постановка задачи. Рассмотрим несколько уравнений, моделирующих вышеперечисленные процессы и явле-

ния. Все это - уравнения соболевского типа вида

Lй=Mu+f. (0.0.1)

Одним из прообразом уравнения (0.0.1) служит уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной [4]

(А - А)щ = аАи + /', (0.0.2)

моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде. Кроме того, уравнение (0.0.2) является моделью процесса влагопереноса в почве [139] и процесса теплопроводности в среде с двумя температурами [125]. Еще одним прообразом уравнения (0.0.1) служит линейное уравнение Девиса [128]

(А - Д)гх, = аДи - (З^и + /, (0.0.3)

которое описывает эволюцию свободной поверхности жидкости. фильтрующейся в пласте ограниченной мощности.

Кроме того, прообразом уравнения (0.0.1) служат например - линеаризованная система уравнений Осколкова [65]

(А - = иЧи - Ур, V • и = 0, (0.0.4)

моделирующая динамику скорости и давления вязкоупру-гой несжимаемой жидкости. Если уравнение (0.0.4) рассмотреть в виде

\iijt - ир-гЛ = аи1:г:с, (0.0.5)

на конечном связном ориентированном графе G = G(QJ; (£), то оно моделирует транспортировку нефти по трубопроводу. Если же (0.0.4) рассмотреть в замкнутой области £7 с краевыми условиями Бенара, по получится модель нлоскопараллельной термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости

Необходимо отметить, что уравнения соболевского типа [50]. [154], [158] известные также как выроотденные уравнения [134], уравнения неразрешенные относительно старшей производной [19]. псевдопараболические уравнения [160] и даже уравнения не типа Кош,и - Ковалевской [51]. [69] составляют ныне обширную область среди неклассических уравнений математической физики [14], [38]. Число публикаций, посвященных им, растет в настоящее время лавинообразно, и упомянуть их все в нашем обзоре не представляется возможным. Перечислим лишь некоторые из вышедших монографий, целиком или частично посвященных изучению вопросов таких уравнений [15], [50], [130], [134], [145], [148], [156].

Здесь же отметим, что первым уравнения такого рода получил А. Пуанкаре в конце позапрошлого века, однако систематическое их исследование началось с середины прошлого века в работах C.JI. Соболева [107]. Термин "уравнения соболевского типа" ввел в обиход P.E. Шоуолтер [154].

Стандартной задачей для всех динамических и эволюционных уравнений соболевского тина [82] является задача Коши

Наряду с задачей (0.0.6) в настоящее время активно изучается задача Шоуолтера - Сидорова [190]

Обе задачи в зависимости от методов исследования могут пониматься в различных смыслах (классическом, обобщенном. ослабленном, сильном и т.д.), однако очевидно, что задача (0.0.7) более общая, нежели (0.0.6). В тривиальном случае (существование обратного оператора L) обе задачи совпадают, а значит, совпадают и их решения. Можно показать, что задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа более естественна, нежели задача Коши.

Задачу (0.0.7) в явном виде впервые поставил P.E. Шо-уолтер [152] в 1975 г. Для ее исследования ему пришлось создать весьма изысканную математическую конструкцию - 11 полу гильбертовы пространства с нехаусдорфовой метрикой". В дальнейшем этот оригинальный подход был развит в монографии [155]. Независимо и другим способом пришел к задаче (0.0.7) H.A. Сидоров [104] в 1984 г. Простой и естественный подход, развитый H.A. Сидоровым совместно с

и(0) = и0.

(0.0.6)

P(u(0) - щ) = 0.

(0.0.7)

его учениками [105], [106] заключается в следующем. Если формально проинтегрировать на промежутке (0, ¿) уравнение, скажем (0.0.1), то получим

Ь{и{1) - щ) = [ М{и{Б))с1з,

Л

откуда очевидным образом вытекает задача (0.0.7). Важная роль задачи Шоуолтера - Сидорова отмечена в ряде численных исследований экономических [35] и технических моделей [116].

Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова [166]

Р-(и{0) - щ) = 0, Р+(и{Т) - ит) = 0, (0.0.8)

для уравнений соболевского типа, где Р_, Р+ - относительно спектральные проекторы, соответствующие отрицательной и положительной частям ¿-спектра оператора М, или ее более частная постановка

Р_и(0) = щ, Р+и{Т) = ит, (0.0.9)

впервые появилась в работах автора [164], [165], [181]. где она названа "задачей Веригина". Причиной такого названия послужило большое число публикаций, например, статья Панкова А. А., Панковой Т. Е. [68], где рассмотрена такая задача, но проекторы Р_ и Р+ являются спектральными проекторами оператора Ь. Такая задача была названа "задачей Веригина", хотя и она, и поставленная

здесь задача, имеют мало общего с задачей, поставленной H.H. Веригиным. Наконец, обратим внимание на фундаментальную теорию С.Г. Пяткова [148], разработанную для задачи (0.0.9), где Р_ - спектральный проектор оператора L, построенный по отрицательной части спектра. С.Г. Пят-ковым такие задачи названы "задачами сопряжения", причем возникли они в уравнениях с меняющимся направлением времени. Необходимо отметить, что именно строгая, но конструктивная критика С.Г. Пяткова побудила внести ясность в терминологию. Автором была поставлена и рассмотрена новая, так называемая "начально-конечная" задача,

Pin{u{0) - щ) = 0, Р}т{и{т) - ит) = 0, (0.0.10)

причем удалось снять ограничение на относительно спектральные проекторы и получить результаты об однозначной разрешимости поставленной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа

Lü = Mu + f. (0.0.11)

В челябинской школе Г.А. Свиридюка задача (0.0.10) для уравнений соболевского типа (0.0.11) в последнее время весьма активно изучается в различных аспектах. Имеются результаты по оптимальному управлению решениями та-

ких задач [54]. [23], в том числе и для уравнений соболевского тина высокого порядка [26], [27].

Целью данного исследования является рассмотрение другой, более общей, задачи для уравнений соболевского типа (0.0.1). Рассмотрим многоточечную начально-конечную задачу

- и}) = 0, щ Е 11, .7 = 0

—оо < а < то < Т\ < ... < т) < т7+1 < .. . < Ь < +оо,

(0.0.12)

для уравнений соболевского типа (0.0.11). Все рассмотрения проводятся в банаховых пространствах 11 и причем операторы Ь, М Е £(Н;$), а Р] ~ относительно спектральные проекторы, о которых речь пойдет дальше. Заметим сразу, что если п — 1, то задача (0.0.12) становится начально-конечной задачей (0.0.10). а если г? = 0 - задачей Шоуолтера - Сидорова (0.0.7). Таким образом, многоточечная начально-конечная задача является естественным обобщением этих задач, а, следовательно, и задачи Коши (0.0.6).

Актуальность темы диссертации.

Все результаты по уравнениям соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных

производных, которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты В.Н. Врагова [14] и его учеников А.И. Кожанова [40], С.Г. Пяткова [71], [72] и других [161]: А.П. Осколкова [64], [65] и его учеников [66]; Г.В. Демиден-ко [19], [130] и многих других [126], [159].

В монографии В.Н. Врагова [14] исследована разрешимость начально-краевых задач для неклассических .уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов в своей .монографии [38], в частности, рассматривает уравнения вида

(I -А)щ= Ви + 1'{х, г),

где А и В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных

производных в операторах А, В.

Монография С.Г. Пяткова [148] посвящена исследованию краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений. Рассматривается вопрос о разрешимости уравнений вида

Виь + Ьи = /,

где Ь, В - самосопряженные (или диссипативные) операторы в гильбертовом пространстве Е, причем оператор В не знакоопределен или не обратим.

В монографии Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [130] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения. неразрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1-х

где Ло, Л\,. . ., Л1 - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (х\,... ,хп), причем оператор Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариа-са [15] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.

Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.0.1), а конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений, таких, как например. (0.0.2) - (0.0.5) служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики [57], [58], H.A. Сидоров и его ученики, в частности, М.В. Фалалеев [104] - [106], [145]. R.E. Showalter [152], А. Favini [132], [131], А. Favini и А. Yagi [135], А.Г. Свешников. A.B. Алыпин. М.О. Корпусов. Ю.Д. Плетнер [50] и многие другие [142], [143], [144].

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [146] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Си-ницина и М. А. Фалалеева [145] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения

(А - V2)(u(x, 0) - и0(ж)) = 0, х £ Ü

с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N.

В монографии А. Фавини и А. Яги [134] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения

xt € А(х)

с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского тина вида (0.0.1), если М - (L, <т)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии P.E. Шоуолтера [155] рассматриваются (полу)линейные уравнения дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильберто-

вых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехау-сдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

В монографии А.Г. Свешникова. A.B. Альшина. М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера [50] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном, и в слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая псевдопараболические уравнения и уравнения соболевского типа. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

К этому же разделу следует отнести работы Г. А. Свири-дюка и его учеников [78] - [102]. В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (0.0.6) для абстрактного операторного уравнения (0.0.1). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (0.0.1). Впервые термин "фазовое пространство" в данном контексте появился в ра-

ботах [87], [91], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений" [81], [82], [84], [88].

Перечислим сначала работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (0.0.1) изучены наиболее полно. Прежде всего здесь следует отметить цикл работ Г.А. Сви-ридюка, в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (0.0.1). Отправной точкой послужила работа [80], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Барен-блатта - Желтова - Кочиной (0.0.2). Затем эти результаты были развиты в работах [85], [88]. Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [89]. Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.0.1) в случаях, когда оператор М (Ь, <т)-ограничен и (1/,р)-секториален.

Работа [89] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е. Федорова [99], [100], в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0.0.1) при условии (Ь,р)-радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты А. Раупп и А. Yagi [135] и служат основой для многочисленных приложений [94].

В настоящее время исследования уравнений соболевского типа в школе Г.А. Свиридюка ведутся очень активно. Показателем этого является защита докторской диссерта-

ции A.B. Келлер [34] и выход четырех монографий [28]. [55], [75]. [192] учеников P.A. Свиридюка за последние три года. Докторская диссертация A.B. Келлер [34] посвящена разработке качественных и приближенных методов исследования математических моделей экономических и технических систем, реализуемых в виде класса задач оптимального управления для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнений леонтьевского типа (уравнений соболевского типа в конечномерных пространствах). Именно развитие общей теории уравнений соболевского типа и теории оптимального управления позволило поставить вопрос о численном исследовании существующих задач для уравнений леонтьевского типа. Необходимо отметить, что численные исследования задач оптимального управления, в том числе, жесткого, стартового, стартового жесткого управлений, проводились при использовании начальных условий Шоуолтера - Сидорова (частного случая многоточечных начально-конечных задач), впервые была доказана сходимость приближенного решения к точному.

Монография A.A. Замышляевой [28] посвящена проблемам разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка. Здесь доказаны теоремы существования и единственности решения этой задачи, исследуется фазовое пространство. Для уравнений со-

болевского тина второго порядка строятся семейства вырожденных косинус, синус оператор-функций и М, N-функций. Кроме того, здесь получен очень важный результат теории уравнений соболевского типа высокого порядка - необходимое и достаточное условие полиномиальной А-ограниченности пучка операторов. Абстрактные результаты иллюстрируются конкретными начально-краевыми задачами для неклассических уравнений математической физики.

Монография H.A. Манаковой [55] посвящена построению общей теории оптимального управления решениями полулинейных уравнений соболевского типа. Здесь продолжены исследования Г.А. Свиридюка и его учеников о простоте фазового пространства эволюционных уравнений соболевского типа и доказана простота фазового постран-ства для динамических уравнений соболевского типа. Кроме того, здесь решается важный вопрос о существовании оптимального управления решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для нелинейных уравнений соболевского типа - найдены необходимые условия минимума функционала. Абстрактные результаты иллюстрируются конкретными начально-краевыми задачами для неклассических уравнений математической физики и для них проводятся вычислительные эксперименты.

В монографии М.А. Сагадеевой [75] собраны и систематизированы результаты многолетних исследований устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений соболевского тина. Здесь рассмотрены три вида уравнений, общим для всех является метод экспоненциальных дихотомий. М.А. Сагадеевой были найдены условия существования экспоненциальных дихотомий линейного уравнения соболевского типа в случае (1/,р)-радиальности оператора М - самого общего случая уравнений соболевского типа из рассмотренных здесь. Также здесь приведены результаты исследований устойчивости и неустойчивости в терминах дихотомий решений задачи Коши - Дирихле для уравнений соболевского типа в ограниченной области в случае (L,p)-секториальности оператора М, впервые полученные Г.А. Свиридюком и A.B. Келлер [95]. Абстрактные результаты монографии иллюстрируются конкретными начально-краевыми задачами для неклассических уравнений математической физики на множествах различной геометрической структуры, таких, как конечный связный ориентированных граф, риманово многообразие.

Монография С.А. Загребиной и П.О. Мосвичевой [192] посвящена изучению устойчивости (полу)линейных уравнений соболевского типа методом Ляпунова на примере различных моделей Хоффа на множествах различной гео-

метрической структуры. Необходимо отметить, что устойчивость уравнений Хоффа нельзя исследовать методом экспоненциальных дихотомий. Поэтому здесь приведена теория устойчивости в терминах потока и функционала Ляпунова, адаитированая для уравнений соболевского тина. Его основным результатом является вторая теорема Ляпунова, заимствованная из монографии Д. Хенри [115] и модифицированная для случая неполных нормированных пространств.

Сделаем теперь обзор тех немногочисленных исследований, посвященных частной постановке многоточечной начально-конечной задаче, а именно, (0.0.9). Из работ, обнаруженных в математической литературе, необходимо прежде всего отметить статью С.Г. Суворова [109], где рассматривается вариационная постановка двухфазной задачи фильтрации с условиями Веригина на поверхности раздела. Оказывается, что в регулярном случае данный подход приводит "почти к решению "исходной задачи. Исследована также обобщенная разрешимость параболической задачи в нецилиндрических областях. Обсуждается возможность численной реализации вариационного метода. Кроме того, необходимо отметить статью A.A. Панкова и Т.Е. Панко-вой [68]. в которых мы находим развитие результатов H.H. Веригина и С.Г. Суворова.

В работе [162] Xu Gen Qi обсуждает корректность класса абстрактных уравнений в гильбертовом пространстве

= (0 < ж < +оо),

Q+m=Ит ||«ж)|| = 0.

.т-»+оо

Здесь Т - инъективный ограниченный самосопряженный оператор, Q+ - ортогональный проектор на максимальное Т-положительное Т-инвариантное пространство, А - ограниченный линейный оператор, удовлетворяющий некоторым условиям ( А необязательно самосопряжен. I — А не обязательно компактный.)

Позднее [163] в гильбертовом пространстве рассмотрена краевая задача

Т^- =-А{х)ф) + /О), 0 < х < а (0.0.13)

ÍL.JU

Q+ip{0) = atQ+{á) + д+,

(0.0.14)

Q-ip(á) = aQ-{0) + д-,0 < аь cv2 < 1

где Q+(Q-) - максимальная позитивная (негативная) спектральная проекция самосопряженного оператора Т, имеющая приложения в задачах переноса нейтронов. В предположении, что выполняются условия || Л (а;) || < М, Re(A((/9), ф) > £о||</?||2. решение исходной задачи строится через решение задачи новой. Полученная задача, в свою очередь, с учетом обратимости оператора (l+Tjj.) на классе функций с соответствующими граничными условиями,

сводится к решению интегральных уравнений:

га ра

(р(х)= K(x,s)B(s)(p(s)ds + / K{x,s)f(s)ds, J о J о

где Б(.х) = I - -4(.г1). К = /1+ + операторы (/v_) строятся через спектральную функцию оператора Т и зависят от Q'i (с^г), являются решением новой задачи.

В работе Эдельштейна C.JI. [117] на R рассматривается дифференциальное уравнение

du , ,. . „ — = kA(t)u + F

СLU

с большим асимптотическим параметром к и оператор-нозначным коэффициентом. Предполагается, что при каждом t существует пара проекторов P+(t) (P_(i)), коммутирующих с A{t), таких, что P+(t) + P-(i) = I, спектры cr+(t) (cr_(i)) частей A+{t) (A_(i)) оператора A(t) в подпространствах B+(t) = P+(t)B (B-(t) = P-(t)B) принадлежат соответственно правой и левой замкнутым полуплоскостям и не пересекаются. Ставится краевая задача с помощью условий

lim P±{t)u{t) = 0.

t—»±oo

Основные результаты состоят в асимптотическом представлении решения через решения вспомогательных эволюционных задач в подпространствах B±(t).

Наконец, обратим вш-шание на фундаментальную теорию С.Г. Пяткова [148], разработанную для задачи (0.0.9),

где Р- - спектральный проектор оператора Ь. построенный по отрицательной части спектра. Пятковым такие задачи названы "задачами сопряжения", причем возникли они в уравнениях с меняющимся направлением времени. В данном контексте задачи сопряжения хоть и не являются обобщениями задачи Шоуолтера - Сидорова, но они естественным образом обобщают задачу Коши и представляют собой новое перспективное направление в теории уравнений соболевского типа. Работы С.Г. Пяткова являются продолжением исследований таких авторов, как Р.Биле, Н.В. Кислов, В. Гринберг, К.В.М. ван дер Ми, П.Ф. Звейфел, П. Гривар.

Н.В. Кислов в [36] рассматривал дифференциально-операторные уравнения вида

Ай(г) + Ви{г) = /(¿), г е (о, т) (0.0.15)

в случае, когда операторы А, В симметричные в гильбертовом пространстве Н, причем В строго положительный, а оператор А имеет произвольное расположение спектра. Краевая задача (0.0.9) где Р+, Р- - спектральные проекторы А, соответствующие положительной, отрицательной частям спектра, исследуется им в вариационной постановке. В работе доказана некоторая абстрактная теорема типа теоремы Лакса - Мильграма, позволяющая доказывать существование и единственность слабых и сильных решений

краевых задач (0.0.9). (0.0.15). Схема, предложенная Н.В. Кисловым, применима и в случае, когда оператор В дис-сипативный.

Р. Биле [121] исследовал уравнение (0.0.15), когда А -ограниченный, самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н с кег А = {0}, В положительно определенный, ограниченный и существует ограниченный В~1. Поставлены краевые условия

Р+и{0) = Р~и{Т) = и?, Т — оо. (0.0.16)

Были применены два подхода: вариционный и операторно-теоретический. В первом случае краевые условия (0.0.15), (0.0.16) возникают естественным образом. Доказаны теоремы существования слабого решения задачи (0.0.15), (0.0.16) и убывающего на бесконечности слабого решения задачи (0.0.15), (0.0.16). Второй подход является конструктивным и состоит в сведении задачи (0.0.15), (0.0.16) к задачам (0.0.15) и

Р+и{0) = г^, Р~и(Т) {Т < оо) (0.0.17)

Здесь Р+, Р~ - спектральные проекторы оператора Ь~1В. самосопрянного относительно скалярного произведения (и,у)\ = (Ьи, и). Решение представлено в явном виде. Эти результаты были обобщены на случай, когда оператор В

не предполагался ограниченным, а оператор L ограниченный, самосопряженный, неотрицательный с замкнутой областью значений R(L) и конечномерный ядром ker L. Дополнительно предполагалось, что Biker L) инвариантно относительно оператора L.

Пусть Е - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•) и || • || и В, L - линейные операторы, действующие в нем. Рассматривается уравнение

But = Lu + f, te{0,T), Т< оо. (0.0.18)

Также предполагается, что оператор В необратим, в частности. он может иметь ненулевое ядро, и он имеет произвольное расположение спектра. С.Г. Пятковым [24] и H.JI. Абашеевой [1] рассматривается задача, когда оператор L равномерно диссипативен, т.е. Re( — Lu,u) > ÖЦиЦ2 для всех и £ domL. Также рассматривается более слабое условие, когда оператор L диссипативен, т.е. Re(—Lu,u) > 0 для всех и € dorn L и равномерно диссипативен на dorn L U М, где М - некоторое подпространство конечной коразмерности. Рассматриваются также уравнения

B(t)ut = L(t)u + /, te (О, Т), (0.0.19)

B(t)ut = G(t, и) + /, te (О, Г), (0.0.20)

где В(£). Ь(Ь) - семейство линейных операторов, действующих в пространстве Е. (?(£, •) - семейство монотонных операторов, действующих в Е. И ставятся краевые условия вида

Е+и(0) = гг(|, Е~и{Т) = и?, (г < оо), (0.0.21)

Е+и{0) = (* = оо), (0.0.22)

где Е+ и Е~ - спектральные проекторы оператора В, соответствующие положительной и отрицательной части спектра. При всех предположениях установлена разрешимость краевых задач для уравнений (0.0.19), (0.0.20).

Наш подход основан на концепции относительного спектра. предложенной Г.А. Свиридюком, и развитой его учениками [158]. Первые результаты в этом направлении изложены в [164], где рассмотрен частный случай задачи (0.0.12) причем с более жесткими чем здесь условия.ми на ¿-спектр оператора М. В [166] рассмотрена задача (0.0.12), но для тех же условий на ¿-спектр оператора М, что и в [164], однако в этом случае отмечена возможность большего произвола в относительно спектральных условиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Загребина, Софья Александровна, 2013 год

Список литературы

[lj Абашеева, Н.Л. Неклассические операторио-дифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи: дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Н.Л. Абашеева. - Новосибирск. 2000.

[2] Александрии, P.A. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева / P.A. Александрии /7 Тр. ММО. - 1960. - Т. 9. - С. 455-505.

[3] Амфилохиев, В. Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Войткунский, Н.П. Мазаева // Тр. Лен. кораблестр. ин-та.- 1975.- Т. 96 - С. 3-9.

[4] Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трсщинноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, H.H. Кочина /'/' Прикл. математика и механика. - 1960. - Т.24, №5. - С.58-73.

[5] Берс, Л. Уравнения с частными производными /Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. - М.: Мир. 1966.

[6] Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториаль-

ными операторами: дис. . .. канд. физ.-мат. наук / Т.А. Бокарева. - Санкт-Петербург. 1993.

[7| Бурбаки, Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / Н. Бурбаки. - М.: Мир, 1975.

[8] Вайиберг, М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов /' М.М. Вайнберг. - М.: Мир, 1983.

[9] Вайиберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг. В.А. Треногин. - М.: Наука, 1969.

[10] Васильев, В. В. Полугруппы операторов, косинус функции и линейные дифференциальные уравнения / В.В. Васильев, С.Г. Крейн. С.И. Пискарев /'/ Итоги науки и техники. Математический анализ. - Т. 28. -М.: ВИНИТИ, 1990.

[11] Веригии, H.H. Об одном классе гидромеханических задач для областей с подвижными границами/ H.H. Веригин // "Динамика сплошной среды". - Новосибирск. 1980. - №46. - С.23-34.

[12] Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и при-

ближенный метод их решения /' М.И. Вишик // Мат. сб. - 1956. - 39(81): 1. - С. 51-148.

[13] Вишик, М.И. Квазилинейные эллиптические уравнения и фредгольмовы многообразия / М.И. Вишик // Вестн. МГУ. сер. мат., мех. - 1985. - №6. - С. 23-50.

[14] Врагов. В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. -Новосибирск: НГУ. 1983.

[15] Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - М.: Мир. 1978.

[16] Гальперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперн // Тр. ММО. - 1960. - Т. 9. - С. 401-403.

[17] Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов /' И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1965.

[18] Дапфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. - М.: ИЛ. 1962.

[19] Демидепко, Г. В. Уравнения и системы неразрешенные относительно старшей производной /Г.В. Деми-

денко, C.B. Успенский. - Новосибирск: Науч. кн.. 1998.

[20] Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзек-цер // Докл. акад. наук СССР. - 1972. - Т. 72.. №5. -С. 1031-1033.

[211 Дубин,ский, Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения /Ю.А. Дубинский // Совр. проблемы математики., мат. анализ, Т. 9, М.: ВИНИТИ, С. 5-130.

[221 Дудко: Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. . . . канд. физ.-мат. наук / J1.J1. Дудко. -Новгород, 1996.

[231 Дылъков, А.Г. Исследование оптимального управления решениями начально-конечной задачи для неклассических моделей математической физики: дис. .. . канд. физ.-мат. наук / А.Г. Дыльков. - Магнитогорск, 2012.

[241 Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е.Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов. - Новосибирск: Наука, 2000.

[25] Ефремов, A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями тина Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.A. Ефремов. - Челябинск, 1996.

[26] Замышляева. A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, A.B. Юзеева // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2010. - Т. 3, № 2. - С. 85-95.

[27] Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска- Лява /' A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - №5 (264), вып. И. - С. 13-24.

[28] Зам/ышляева. A.A. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева. - Челябинск: Изд. Центр ЮУрГУ, 2012.

[29] Замышляева, A.A. Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом / A.A. Замышляева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. — Челябинск, 2012. - №40 (299), вып. 14. - С. 73-82.

[30] Зубова, С. П.О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при старшей производной /С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применения. - 1976. - Т.14. - С.21-39.

[31] Иосида, К. Функциональный анализ. /' К. Иосида. -М.: Мир, 1967.

[32] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов /' Т. Като. - М.: Мир. 1972.

[33] Келлер. А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. . . . канд. физ.-мат. наук / A.B. Келлер. - Челябинск, 1997.

[34] Келлер, A.B. Численное исследование задач оптимального управления для моделей леонтьсвского типа — дисс. ... д-ра. физ.-мат. наук / A.B. Келлер. — Челябинск, 2011.

[35] Келлер, A.B. Алгоритм решения задачи Шоуолтера-Сидорова для моделей леонтьевского типа / A.B. Келлер // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск. 2011. -№ 4 (241), вып. 7. - С. 40-46.

[36] Кислое, Н.В. Неоднородные краевые задачи дифференциально-операторных уравнений сме-

шанного типа и их приложение / Н.В. Кислов // Мат. сборник. - 1984. - Т. 125 (167), №1 (9). - С.19-37.

[37] Клемент, Ф. Однопараметрические полугруппы. Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями. /Ф. Клемент, X. Хейманс, С. Ангенент и др. - М.: Мир, 1992.

[38] Коэ/саиов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. - Новосибирск: НГУ, 1990.

[39] Коэ/саиов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопарабол л и ческих уравнений /А.И. Кожанов // Докл. акад. наук. - 1992. - Т. 326, №5. -С. 781-786.

[40] Коокмиов, А.И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами / А.И. Кожанов // Вест. Челяб. ун-та. Сер. математика и мехика. - 1999. - С. 31-47.

[41] Корпусов, М. О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии / М.О. Корпусов. ЮД. Плетнер, А.Г. Свешников // Журн. вычислит, математики и мат. физики. - 2000. - Т. 40, №8. -С. 1237 -1249.

[42] Костючеико, Л.Г.Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперина / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т. 10. С. 273-285.

[43] Крейн,, С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, М.И. Хазан // Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1983. - С. 130263.

[44] Крейн,, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышев. - Новосибирск, 1979. - 18 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики).

[45] Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. . .. канд. физ.-мат. наук / Г.А. Кузнецов. - Челябинск. 1999.

[46] Ладыглсеиская, O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2-ое изд. / O.A. Ладыженская. - М.: Наука. 1970.

[47] Ладыоюенская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа /O.A. Ладыжен-

екая. В.А. Солонников, H.H. Уральцева. - М.: Наука. 1967.

[48] Ладыэюепская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения элиптического тина. 2-ое изд /O.A. Ладыженская. H.H. Уральцева. - М.: Наука, 1973.

[49] Лет, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий./' С. Ленг. - М.: Мир, 1967.

[50] Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников. A.B. Альшин. М.О. Корпусов. Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007.

[51] Лион,с, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. - М.: Мир, 1972.

[52] Лионе. Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения /Ж.-Л. Лионе,Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971.

[53] Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое течение // В сб. Странные аттракторы. - М. Мир, 1981.

[54] Манакова, H.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа /H.A. Манакова, А.Г.Дыльков /7 Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирова-

нис и программирование. - Челябинск, 2011. - № 17 (234), выи. 8. С. 113-114.

[55] Маиакова, H.A. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского тина / H.A. Манакова -Челябинск: Изд. Центр ЮУрГУ. 2012.

[56] Мазья, В.Г. Пространства С.Л. Соболева / В.Г. Ма-зья. - Л.: ЛГУ, 1985.

[57] Мельникова, И. В.Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы / И.В. Мельникова, М.А. Альшанский /7 Докл. акад. наук. - 1995. - Т.343, №4. - С.448-451.

[58] Мельникова И. В. Интегрированные полугруппы и С-полугруипы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач / И.В. Мельникова. А.И. Филинков /7 Успехи мат. наук. - 1994. -Т. 49. №6. - С. 111-150.

[59] Мельникова. И.В. Абстрактная задача Коши в пространствах стохастических распределений / И.В. Мельникова, А. Филинков // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2006. - Т. 16. -С. 96-109.

[60] Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными /' С. Мизохата. - М.: Мир, 1977.

[61] Морен, К. Методы гильбертова пространства / К. Морен. - М.: Мир. 1965.

[62] Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу /' Л. Ниренберг. - М.: Мир, 1977.

[63] Олейник, O.A. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа /' O.A. Олейник // Мат. сб. - 1949. -Т. 24 (66), № 1. - С. 3-14.

[64] Осколков, А.П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков /7 Зап. науч. сем. ЛОМИ. -1992. Т. 200. - С. 139-148.

[65] Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков /'/' Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.

[66] Осколхов, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных диссипативных уравнений типа Соболева / А.П.Осколков, A.A. Котсиолис, Р.Д. Ща-

диев // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т. 199. С. 91113.

[67] Павловский В.А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров / В.А. Павловский // Докл. акад. наук СССР. - 1971. - Т.200, вын.4. - С.809-813.

[68] Панков, А. А.Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной /' А. А. Панков, Т. Е. Панкова /'/ Докл. АН Укр. - 1993. - №9. - С. 18-20.

[69] Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными /' И.Г. Петровский. - М.: Физматгиз, 1961.

[70] Пол,уба,ринова-Коч,ина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. - М.:Наука, 1977.

[71] Пятков, С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи / С.Г. Пятков // Сиб. мат. журн. - 1998. - Т. 39, №2. - С. 409-426.

[72] Пятков, С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков /' С.Г. Пятков // Сиб. мат. журн. - 1989. - Т. 30, №4. - С. 111-124.

[73] Рид, М. Методы современной математической физики. Т.1. / М. Рид, Б.Саймон. - М.: Мир, 1977.

[74] Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б.Секефальви-Надь. - М.: Мир, 1979.

[75] Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевекого типа /' М.А. Сагадеева - Челябинск: Изд. Центр ЮУрГУ, 2012.

[76] Сапронов, Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук. - 1996. - Т. 51, №1,- С. 101-132.

[77] Сапронов, Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, С.Л.Царев // Мат. заметки. - 2000. - Т.58, №5. - С. 745-754.

[78] Свиридюк, Г.А. К общей теории псевдопараболических уравнений / Г.А. Свиридюк // Рук. деп. ВИНИТИ. 1984, №6552 ДЕП.

[79] Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения /' Г.А. Свиридюк // Докл. акад. наук СССР. - 1986. - Т.289, №6. - С.1315-1318.

[80] Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения тина Соболева / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, №12. - С. 21692171.

[81] Свиридюк, Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк /7 Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24,№10.

- С. 1846-1848.

[82] Свиридюк,, Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г.А. Свиридюк // Докл. акад. наук СССР. - 1989. - Т. 304, №2.

- С. 301-304.

[83] Свиридюк, Г.А. О разрешимости одной модельной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк //' Совр. анализ и его приложения: сб. науч. трудов. - Киев: Наукова думка, 1989. С. 508515.

[84] Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1990. - №12. -С. 65-70.

[85] Свиридюк, Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева е относительно ограниченным оператором /' Г.А.Свиридюк // Докл. Акад. наук СССР. — 1991.

- Т. 318, №4. - С. 828-831.

[86] Свиридюк, Г. А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: дис. . . . д-ра физ.-мат. наук / Г.А. Свиридюк. - Челябинск, 1993.

[87] Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. акад. наук СССР, сер. мат.

- 1993. - Т. 57, №3. - С. 192-207.

[88] Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Докл. акад. наук СССР. - 1993. -Т. 329, №3. - С. 274-277.

[89] Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов /' Г.А.Свиридюк // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, №4. - С. 47-74.

[90] Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих опе-

раторов с ядрами / Г.А. Свиридюк /'/' Докл. акад. наук. - 1994. - Т. 337. №5. - С. 581-584.

[91] Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабоежимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1994. - №1. - С. 62-70.

[92] Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно секториаль-ным оператором /' Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ. - 1994. - Т.6, №5. - С. 252-272.

[93] Свиридюк, Г.А. Морфология фазового пространства одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк /'/' Вест. ЧелГУ. сер. математика., механика. - 1999. - №2. - С. 68-86.

[94] Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк. Т.В. Апетова // Докл. акад. наук. - 1993. -Т. 330, №6 С. 696-699.

[95] Свиридюк, Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк. А.В.Келлер //' Изв. вузов. Математика. - 1997. - №5. - С. 60-68.

[96] Свиридюк, Г.А. Быстро-медленная динамика вязко-упругих сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Докл. акад. наук СССР. - 1989. - Т.308, №4. - С. 791-794.

[97] Свиридюк, Г.А. Необходимые и достаточные условия относительной ^-ограниченности линейных операторов /' Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева, J1.JI. Дудко /7 Докл. акад. наук. - 1995. - Т.345, №1. - С. 25-27.

[98] Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи Коши для линейных сингулярных уравнений эволюционного типа / Г.А. Свиридюк. М.В. Суханова /'/' Дифференц. уравнения. - 1992. - Т.28. №3. - С. 508-515.

[99] Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров /7 Сиб. мат. журн. - 1995. - Т.36. №5. - С. 252-272.

[100] Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами /' Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров /7 Сиб. мат. журн. - 1998. - Т. 39. №3. -С. 604-612.

[101] Свиридюк, Г.А. Об устойчивости решений уравнений Ос жолкова на графе / Г.А. Свиридюк. A.C. Шипилов

// Дифференц. уравнения. - 2010. - Т.46, №5- С.737-742.

[102] Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32, №11. - С. 1538-1543.

[103] Серрии Дэ1с. Математические основы классической механики жидкости / Дж. Серрин. - М.: Мир, 1975.

[104] Сидоров. H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / H.A. Сидоров // Мат. заметки. - 1984. - Т. 25,№4. - С. 569-578.

[105] Сидоров, H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, №9. - С. 1516-1526.

[106] Сидоров H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старших производных / H.A. Сидоров, М.В.Фалалеев // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, №9. -С. 1516-1526.

[107] Соболев. С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т. 18. С. 3-50.

[108] Соболев. С.Л. Применение функционального анализа к математической физике /' С.Л. Соболев. - J1.: Наука. 19G1.

[109] Суворов. С.Г. Вариационная постановка эллиптически-параболической задачи Веригина / С.Г. Суворов /'/' Исслсд. матем. моделей фильтр, жидкости и газа в пористых средах. Киев. 1987. С.20-29. (Препринт / АН УССР Ин-т математики; №87. - 7)

[110] Триб ель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. / X. Трибель. - М.: Мир, 1980.

[111] Трубников, К).В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. - Минск: Наука и техника, 1986.

[112] Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: дис. . .. канд. физ.-мат. наук / В.Е. Федоров. - Челябинск. 1996.

[113] Федоров. В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов / В.Е. Федоров // Изв. вузов. Математика. - 2000. - №3. - С. 54-65.

[114] Хатсон, В. Приложение функционального анализа к теории операторов / В. Хатсон. Дж. Пим. - М.: Мир, 1983.

[115] Хеири, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М.: Мир, 1985.

[116] Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / A.J1. Шестаков, A.B. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2011. -№12. - С. 56-68.

[117] Эделъштейи, С.Л. Асимптотическое расщепление краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений / С.Л. Эдельштейн /7 Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30, №5. - С. 797-805.

[118] Якупов. М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. .. . канд. физ.-мат. наук / М.М. Якупов. - Челябинск, 1999.

[119] AI'shin, A.B. Blow-up in nonlinear Sobolev-type equations / A.B. Al'shin. M.O. Korpusov,

A.G. Sveshnikov. - Berlin; N.-Y.: Walter de Gruyter GmbH& Co.KG. 2011.

[120] Baouendi, M.S. Sur une equation d'évolution changeante de type / M.S. Baouendi. 3. Grisvard // J. Functional Analysis. - 1968. - V.2, №3. - P. 352-367.

[121] Beals, R. Indefinite Sturm -Liouville problemsand and Half - Range Completeness / R. Beals // J. of Differential equations. - 1985. - V. 56. - P. 391-407.

[122] Beals. R. On an equation of mixed type from electron scattering / R. Beals // J. Math. Anal. Appl. - 1977. -V. 58, №1. - P. 32-45.

[123] Beals, R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering / R. Beals // J. Funct. Anal. - 1979. - V. 34, M. - P. 1-20.

[124] Beals, R. Protopopescu V. Half-range completeness for the Fokker-Planck equation /' R. Beals // J. Statist. Phys. - 1983. - V. 32. №. - P. 565-584.

[125] Chen, P.J.On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen , M.E. Gurtin // Z.Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.

[126] Coleman, B. D. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip

/ B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1965. - V. 19. - P. 100-116.

f 127] Da Prato, G. Stochastic equations in infinite dimensions / G. Da Prato, J. Zabczyk. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

[128] Davis, P.L. A quasilinear parabolic and a related third order problem / P.L. Davis // J. Math. Anal, and Appl.

- 1972. - V. 40, №2. - P. 327-335.

[129] Demidenko, G. V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations / G.V. Demidenko // Part. Diff. Eq. Banach center publ. - V. 27. Warzava. - 1992.

- P. 101-109.

[130] Demidenko, G. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest - order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.-Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

[131] Favini, A. An operational method for abstract degenerate evolution equations of hiperbolic type / A. Favini // Funct. Anal. - 1988. - V. 76. - P. 432-456.

[132] Favini, A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems / A. Favini // Rend, math. - 1979. - V. 12,№3-4. - P. 511-536.

[133] Favini, A. Sobolev type equaitons / A. Favini // Part. Diff. Eq. Banaeh center publ. Warzava. - 1992. - V. 27.

- P. 101-109.

[134] Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. - N.-Y.: Marcel Dekker, Inc. 1999.

[135] Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi /' / // Ann. Mat. Pure ed Appl. - 1993. - V.CLXIII.- P. 353-384.

[136] Gliklikh, Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh.

- London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 2011.

[137] Greenberg, W. Generalized kinetik equatons / W. Greenberg, C.V.M. van der Mee, P.F. Zweifel // Integral Equations and Operator Theory. - 1984 - V. 7.- P. 60

- 95.

[138] Gevrey, M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique / M. Gevrey.// J. Math. Pures Appl. -1913. - 6: 9. - P. 305-475.

[139] Halla,ire, M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. - 1964.

[140] Klaus, M. Protopopescu V. Half-range solutions of indefinite. Sturm-Liouville problems / M. Klaus. C.V.M. Van der Mee C.V.M.// J. Funct. Anal. - 1987. - V. 70. №. 2. - P. 254-288.

[141] Kovacs, M. Introduction to stochastic partial differential equations / M. Kovacs. S. Larsson // Proceedings of "New Directions in the Mathematical and Computer Sciences National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12. 2007. Publications of the ICMCS. - V. 4. - 2008. - P. 159-232.

[142] Lagnuese, J.E. Singular differential equations in Hilbert space /' J.E. Lagnuese /7 SIAM J. Math. Anal. 1973. V.4. №4. P.623-637.

[143] Levine, H.A. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au + F{u). / H.A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1973. - V. 51, №5. - P. 371-386.

[144] Lightbourne, J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type / J.H.A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl. - 1983. - V. 93. №2. - P. 328-337.

[145] Lyapunov — Shmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn,

M. Faiaieev. - Dordrecht; Boston; London: Kiuwer Academic Publishers, 2002.

[146] Melnikova, I. Abstract Cauchy problem: three approaches / I. Melnikova, A. Filinkov. - Boca Raton: Chapman and Hall, 2001.

[147] Melnikova, I. V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions In Spaces Of Abstract Stochastic Distributions /' I.V. Melnikova, A.I. Filinkov. M.A. Alshansky //J. of Mathematical Sciences. - 2003. - V. 116, №5. - P. 36203656.

[148] Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems /' S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2002.

[149] Schwartz, L. Theorie des Distributiones. T.l. /L. Schwartz. - Paris: Hermann, 1950.

[150] Schwartz, L. Theorie des Distributiones. T.2. /L. Schwartz. - Paris: Hermann, 1951.

[151] Shestakov, A.L. On the measurement of the "white noise"/ A.L. Shestakov. G.A. Sviridyuk // Bulletin of South Ural State University. Ser. "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software". — 2012. - no. 27 (286), issue 13. - P. 99-108.

[152] Showalter, R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. - 1975. - V. 6, №. - P. 25-42.

[153] Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type /' R.E. Showalter // Pacific J. Math. -1963. - V. 31. №3. - P. 787-794.

[154] Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I (II) /' R.E. Showalter // Appl. Anal. - 1975. - V.5. №1. - P. 15-22 (№2. - P.81-89).

[155] Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations / R.E. Showalter. - London; San Francisco; Melbourne: Pitman. 1977.

[156] Showalter, R.E. Monotone operators in Banach Space and and nonlinear partial differential equations /' R.E. Showalter. - Providence: AMS, 1997.

[157] Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differential equations / R.E. Showalter, T.W. Ting // SIAM J. Math. Anal. - 1970. - V. 1, №. - P. 1-26.

[158] Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk.

V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.

[159] Ting, T. W. Certain non-steady flows of second order fluids / T.W. Ting // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1963. -V.14, mi. - P. 28-57.

[160] Ting, T. W. Parabolic and pseudoparabolic partial differential equations / T.W. Ting //J. Math. Soc. Jap. - 1969. - V. 21, №3. - P. 440-453.

[161] On the theory of nonclassical equations of mathematical physics / V.N. Vragov. A.I. Kozhanov. S.G. Pyatkov, S.N. Glazatov /7 Conditionally wellposed problems. -Moscow, Utrecht: TVP/TSP. 1993. - P. 299-321.

[162] Xi Gen Qi, Well-posedness of abstract dynamical equations /' Xi Gen Qi //' Acta Math. Sei. - 1992. -V. 12, №1. - P. 56-67. (Chinese)

[163] Xu Gen Qi, Well-posedness of abctract kinetic equation boundary value problems / Xi Gen Qi /'/' Acta. Math. Sei. - 1993. - V.13., №3. - P.323-334.

Статьи списка, рекомендованого ВАК

[164] Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского тина с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А.

Загребина //' Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, №12. - С. 1646-1652.

[165] Свиридюк, Г. А. О задаче Веригина для обобщенного фильтрационного уравнения Буесинеека / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. -2003. - №7. - С. 54-58.

[166] Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова /' С.А. Загребина //' Изв. вузов. Математика. - 2007. -№3. - С. 22-28.

[167] Свиридюк, Г.А. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина, И.О. Пивова-рова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: "Физ.-мат. науки". - Самара, 2010. - №1 (20). - С.6-15.

[168] Загребина, С.А. Устойчивость линейных уравнений Хоффа на графе /' С.А. Загребина. П.О. Пивоварова /'/ Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2010. - №16 (192). вып. 5. - С.11-16.

[169] Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребина /'/' Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделиро-

вание и программирование. - Челябинск, 2011. - №4 (221), вып. 7. - С.35-39.

[170] Загребина, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Хоффа /' С.А. Загребина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - №5 (264), вып. 11. - С.4-12.

[171] Загребина, С.А. Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно (1/,р)-радиальным оператором /' С.А. Загребина // Мат. заметки ЯГУ. -Якутск. 2012. - Т. 19. вып.2. - С.39-48.

[172] Свиридюк, Г.А. Неклассические модели математической физики / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - №40 (299), выи. 14. - С.7-18.

[173] Загребина. С.А. Линейные уравнения соболевского типа с относительно р-ограниченными операторами и аддитивным белым шумом /' С.А. Загребина, Е.А. Солдатова // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. "Математика". - 2013. - Т.6, №1. - С.20-34.

[174] Загребииа, С.А. Начально-конечные задачи для

/

неклаееичееких моделей математической физики /' С.А. Загребина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск. 2013. - T.G, №2. - С.5-24.

[175] Загребииа, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для стохастической модели Баренблатта -Желтова - Кочиной / С. А. Загребина // Вестн. Юж,-Урал. гос. ун-та. Сер.: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника". - Челябинск, 2013. - Т.13, №4. - С.103-111.

[176] Загребииа, С А. Численное исследование динамики вязкоупругой жидкости в трубопроводе: свидетельство № 2013618938 / Загребина С.A. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет (НИУ)". - 2013616859; заявл. 31.07.2013; зарегистр. 23.09.2013, реестр программ для ЭВМ.

[177] Загребииа, С.А. Численное решение .многоточечной начально-конечной задачи для уравнения Навье -Стокса: свидетельство № 2013618937 / Загребина С.A. (RU): правообладатель ФГБОУ ВПО " ЮжноУральский государственный университет (НИУ)". -

2013616858; заявл. 31.07.2013; зарегистр. 23.09.2013, реестр программ для ЭВМ.

Другие статьи

[178] Загребииа. С.А. Исследование системы уравнений Осколкова /' С.А. Загребина /7 Рук. деп. ВИНИТИ. - 1998. - №2442-В98 от 28.07.98.

[179] Загребииа, С.А. Задача Веригина для одного класса линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Рук. деп. ВИНИТИ. - 2000. - №3248-В00 ДЕП.

[180] Загребииа, С.А. О задаче Веригина - Дирихле для уравнений соболевского типа /' С.А. Загребина // Уравнения соболевского типа: сб. работ под ред. В.Е.Федорова. - Челябинск, 2002. - С.196 -199.

[181] Загребииа, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. . .. канд. физ.-мат. наук / С.А. Загребина. - Челябинск, 2002.

[182] Загребииа, С.А. О задаче Дирихле - Веригина для линейного уравнения Осколкова /' С.А. Загребина /'/' Вестн. Челяб. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. - 2003. - №1 (7). - С.57-65.

|183| Загребииа, С. А. О существовании и устойчивости решений уравнений Навье - Стокса /' С.А. Загребина /'/' Вестн. МаГУ. Сер. Математика. - Магнитогорск. 2005. - Вып. 8. - С.74-86.

[184] Загребииа. С.А. Об одном обобщении задачи Шо-уолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Оптимизация. управление, интеллект: тр. Рос. ассоциации мат. программирования, Между нар. акад. нелинейных наук, Рос. ассоциации искусств, интеллекта. - Иркутск, 2005. - №2(10). - С.169-175.

[185] Загребииа, С.А. Обобщенная задача Шоуолтера -Сидорова для уравнений соболевского типа с сильно (1/,р)-радиальным оператором / С.А. Загребина, М.А. Сагадеева // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. -Магнитогорск, 2006. - Вып. 9. - С. 17-27.

[186] Загребииа, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения соболевского типа на графе / С.А. Загребина /7 Оптимизация, управление, интеллект: тр. Рос. ассоциации мат. программирования. Междунар. акад. нелинейных наук, Рос. ассоциации искусств, интеллекта. - Иркутск, 2006. - №1(12). - С.42-49.

[187] Загребииа, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова -Веригина для линейных уравнений соболевского типа

/ С.А. Загребина //' Неклассические уравнения математической физики: тр. междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И.Н. Векуа / отв. ред. А.И. Кожанов; Рос. Акад. наук, Сиб. отд., ин-т математики им. С.Л. Соболева. - Новосибирск, 2007. - С. 150-157.

[188] Загребина, С.А. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Всстн. Юж.-Урал, гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. -№15 (115), вып. 1. - С. 23-26.

[189] Загребина, С. А. Существование и устойчивость решений одного класса полулинейных уравнений соболевского типа /' С.А. Загребина, М.М. Якупов /7 Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - №27 (127). вып. 2. - С. 10-18.

[190] Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа /' Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского гос. унта. Сер. "Математика". - 2010. - Т.З, №1. - С.104-125.

[1911 Загребииа, С. А. Устойчивость и неустойчивость решений уравнений Хоффа. Численный эксперимент /' С.А.Загребина, П.О. Пивоварова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Кожанова. - Новосибирск, 2010. - С.88-94.

[192] Загребииа, С.А. Устойчивость в моделях Хоффа /' С.А. Загребина, П.О. Москвичёва. - Saarbrücken: LAMBERT Academic Publishing. 2012.

[193] Загребииа. С.А. Об одной новой задаче для уравнений Баренблатта - Желтова - Кочиной / С.А. Загребина, A.C. Конкина // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. -Магнитогорск. 2012. - Вып. 14. - С. 67-77.

[194] Загреби,на. С.А. Измерение динамики выпучивания двутавровой балки в конструкции / С.А. Загребина. A.B. Белов // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Кожа-нова. - Новосибирск. 2012. - С.99-104.

Тезисы докладов

[195] Свиридюк. Г.А. Об одной новой задаче для уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загре-

бина //' Дифференц. и интегр. уравнения: тез. докл. Междунар. науч. конф. - Челябинск, 1999. - С.101.

[196] Свиридюк, Г. А. Об одной новой задаче для уравнений соболевского тина /' Г.А. Свиридюк, С.А. За-гребина // Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе: материалы Всерос. науч.-практ. конф. 1618 марта 1999 г. - Магнитогорск. 1999. - Ч. 2. - С.31-32.

[197] Загребина. С.А. О задаче Веригина - Дирихле для уравнения Осколкова / С.А. Загребина // Дифференц. и интегр. уравнения: тез. докл. Междунар. конф. - Одесса. 2000. - С. 107.

[198] Загребина. С.А. Задача Веригина - Дирихле для уравнения Хоффа / С.А. Загребина /7 Четвертый сиб. конгресс но приклад, и индустр. математике (ИН-ПРИМ - 2000): тез. докл. 4.1. - Новосибирск, 2000. -С.57-58.

[199] Загребина. С.А. О задаче Веригина - Дирихле для линейных уравнений фильтрации /' С.А. Загребина /7 Междунар. шк.-семинар по геометрии и анализу. - Ростов н/'Д, 2000. - С.227-228.

[200] Загребииа, С. А. Задача Веригина для уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / С.А. Загребина /'/ Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всерос. науч. конф. - Екатеринбург, 2001. - С. 147-148.

[201] Загребииа. С.А. Задача Веригина для уравнений соболевского типа с ( L, р ) - с е к т о р и а л ь н ы .vi и операторами / С.А. Загребина // Проблемы математического образования в пед. вузах на соврем, этапе: тез. докл. науч.-практ. конф. вузов Урал. зоны. - Челябинск.

2001. - С.15-16.

[202] Sviridyuk, G.A. On the Verigin-problem for one class of Sobolev-type linear equations / G.A. Sviridyuk, S.A. Zagrebina // III Межд. конф. по мат. моделированию: тез. докл. - Якутск, 2001. - С.5-6.

[203] Загребииа. С.А. Задача Веригина для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска/ С.А. Загребина // Дифференц. и интегр. уравнения. Мат. модели: тез. докл. Мсждунар. науч. конф. - Челябинск,

2002. - С. 37.

[204] Загребииа. С.А. Задача Жеврея - Веригина для линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференц.

уравнениям и динам, системам. - Суздаль, 2002. - С. 78-80.

[205] ЗагребтI,а, С. А. Задача Веригина для одного класса уравнений соболевского типа /' С.А. Загребина // Обратные задачи: теория и приложения: тез. докл. Междунар. шк.-конф. 4.2. - Ханты-Мансийск. 2002. - С.16 - 17.

[206] Zagrebina; S.A. The Verigin-Dirichlet problem for the Oskolkov equation / S.A. Zagrebina // 111-Posed and Inverse Problems: Inter. Conf. Novosibirsk, 2002. -P.176.

[207] Zagrebina, S.A. The Verigin-Dirichlet problem for the linear Oskolkov equation / S.A. Zagrebina // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер.: Ест. и техн. науки. - Тамбов, 2003. - Т.8, вып.З. - С. 385.

[208] Загребина, С.А. Задача Веригина для линейного уравнения Осколкова /' С.А. Загребина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф.; Воронеж, зим. мат. шк.. 26 янв. -2 февр. 2003 1'. - Воронеж, 2003. - С. 102-103.

[209] Zagrebina. S.A. On the Verigin problem for one linear Sobolev type equation / S.A. Zagrebina // Kolmogorov

and contemporary mathematics: abstracts of the int. Conf. - Moscow.. 2003. - P.258 - 259.

[210] Zagrebina. S.A. Phase space of the Verigin problem for semilinear Sobolev type equation / S.A. Zagrebina // Nonlinear partial differential equations: abstracts of the Int. Conf. - Alushta, Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NASU. - 2003. - P. 220.

[211] Загребипа, С.А. О задаче Жеврея - Веригина для уравнений еоболевского типа / С.А. Загребина // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всерос. конф. - Екатеринбург. 2004. - С.162-163.

[212] Zagrebina, S.A. On the Verigin problem for linear Sobolev type eguation / S.A. Zagrebina //' Тр. участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета "Лиманчик 5-11 сентября 2004 года. - Ростов н/Д., 2004. - С. 170-171.

[213] Zagrebina, S.A. On generalized Showalter - Sidorov problem for linear Hoff equation / S.A. Zagrebina // Nonlinear partial differential equations: abstracts of the Int. Conf. - Alushta, 2005. - P.lll.

[214] Загребина. С. А. Об обобщенной задаче Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-ограниченным оператором /' С.А. Загребина /'/' Лаврентьев, чтения по математике, механике и физике: тез. докл. междунар. конф. - Новосибирск, 2005.

- С.47-48.

[215] Загребипа, С.А. Существование и устойчивость решений уравнений Навье - Стокса / С.А. Загребина /'/' Проблемы математического образования в пед. вузах на соврем, этапе: тез. докл. науч.-практ. конф. вузов Урал. зоны. - Челябинск, 2006. - С.5-6.

[216] Zagrebina, S.A. Existence and stability of solution to a nonclassical equation of mathematical physics / S.A. Zagrebina // Tikhonov and contemporary athematics: functional analysis and differential equations: International conference: abstracts of session. Moscow, June 19 - 25 2006. - M., 2006. - P.298.

[217] Загребииа, С.А. Задача сопряжения для уравнения термоконвекции /' С.А. Загребина // Математика в современном мире: тез. докл. рос. конф., посвящ. 50-летию Ин-та математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

- Новосибирск, 2007. - С. 164.

[218] Загреби,на, С.А. Начально-конечная задача для уравнений еоболевекого типа на графе / С.А. Загреби-на. Н.П. Соловьева // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: междунар. конф. носвящ. 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева: тез. докл. - Новосибирск. 2008. - С. 138.

[219] Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейных эволюционных уравнений еоболевекого типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Обозрение приклад, и пром. математики. - М.. 2009. -Т.16. вып. 2. - С.329-330.

[220] Загребина, С.А. Устойчивость решений уравнения Хоффа / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова /7 Обозрение приклад, и пром. математики. - М.. 2009. -Т.16, вып. 2. - С.330-331.

[221] Загребина, С.А. Существование и устойчивость задачи Бенара для уравнения термоконвекции / С.А. Загребина // Обозрение приклад, и пром. математики. - М., 2009. - Т.16, вып. 4. - С.651-652.

[222] Загребина, С.А. Второй метод Ляпунова в нормированных пространствах / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Воронежская зимняя математическая шко-

ла С.Г. Крейна-2010: тез. докл. - Воронеж, 2010. -С.59-60.

[223] Загребина, С. А. Начально-конечные задачи для уравнений соболевского типа / С.А. Загребина, A.B. Аб-дуллин /'/' Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам : тез. докл.. Суздаль, 2-7 июля 2010 г. - М., 2010. -С.85-86.

[224] Загребина, С. А. Начально-конечные задачи для уравнений соболевского типа как обобщения задачи Шо-уолтера - Сидорова // С.А. Загребина // Обозрение приклад, и пром. математики. - М., 2010. -Т.17, выи. 4. - С.552-553.

[225] Загребина, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для уравнения соболевского типа // С.А. Загребина, Н.П. Семенова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Междунар. конф., ио-свящ. памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 31окт. - 5 нояб. 2011 г. - Екатеринбург, 2011. - С. 227.

[226] Пивоварова, П. О. Численное исследование неустойчивости в модели Хоффа / П.О. Пивоварова, С.А. Загребина /'/' Международная конференция "Современные проблемы прикладной .математики и механи-

ки: теория, эксперимент и практика посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко: тез. докл. - Новосибирск. 2011. - С.99.

[227] Загребииа. С. А. Уравнение Баренблатта - Желтова -Кониной с белым шумом / С.А. Загребина, Е.А. Сол-датова /'/' Обозрение приклад, и пром. математики. -М., 2012. - Т.19, вып. 2. - С.252-254.

[228] Загребина, С.А. Обобщенная теорема о расщеплении / С.А. Загребина // Обозрение приклад, и пром. математики. - М., 2012. - Т.19, выи. 4. - С.563-564.

[229] Загребииа, С.А. Об измерении динамики выпучивания двутавровой балки в конструкции / С.А. Загребина, A.B. Белов // Измерения: состояние, перспективы развития: тез. докл. междунар. науч.-практ. конф., г. Челябинск, 25-27 сент. 2012 г. В 2 т. - Челябинск, 2012. - Т.1. - С.101-103.

[230] Солдатова, Е.А. Модель Дэвиса с аддитивным белым шумом / Е.А. Солдатова, С.А. Загребина /'/' Измерения: состояние, перспективы развития: тез. докл. междунар. науч.-практ. конф., г. Челябинск, 25-27 сент. 2012 г. В 2 т. - Челябинск, 2012. - Т.1. - С.218-220.

[231] Загреби,па, С.А. Уравнения Баренблата - Желтова -Кочиной с белым шумом на графе / С.А. Загребина, Е.А. Солдатова // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов междунар. конф. (г. Белгород. 26-31 мая 2013 г.). - Белгород, 2013. - С.78-79.

[232] Загребина, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Навье - Стокса / С.А. Загребина /7 Международная летняя математическая школа памяти В.А. Плотникова (15-22 июня 2013 г., Одесса, Украина): тез. докл. - Одесса, 2013. - С.54.

38?

Ш

■щ

т

у?

Л А

<1

й

Ь4-

Га

РЛ Ш

В

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2013618938

Численное исследование динамики вязкоупругой жидкости

в трубопроводе

Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образоватььпае учреждён ие высшего*профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет}) (национальный исследовательский университет) (ФГБОУ ВПО «ЮУрГУ» (НИУ)У (№) • !(> " ^

с V

Автор: Загребина Софья Александровна (Е11)

Заявка № 2013616859

Ч N

Дата, поступления;. 31 , И ЮЛ Я 2013, Г.

Дата государственной регистрации

в Реестре программ для эвм 23 сентября 2013

- Руководитель Федеральной службы 4, по интеллектуаньиой собственности

Б. П. Симонов,,

УУ Ч V

ш р.

| Ь&

к

! ,

■й* $

Й

кз-

■¡&д

г.

т

> ш ш т ш ш ш ш шш ш ш ш ш ш ш ш ш ш т ш ш ш & ■ш ш ж ш ш ш ш ш ш <

шшштш

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2013618937

Численное решение многоточечной начально-конечной задачи для уравнёнияНавье - Стокса

т',' Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет) (ФГБОУВПО, «ЮУрГУ» (НИУ)) (ЯУ)

Автор: Загребина Софья Александровна (Я11)

4 </

т

ЗЙ

Заявка № 2013616858 . '

Дата поступления 3 Г ИЮЛЯ 2013 Г. ' Дата государствен ной >ре гистраци и

в Реестре программ для ЭВМ 23 Сентября, 2013 г.

ч < < \ * > ~ 4 > - '4 х

, , ' , ;, - , - V, , , ^ , ^

Руководитель Федеральной службы по иитёллектусаыюй собственности " - *

< * Ч ' * • V

Б. П. Симонов

"Ш>шшшшшштшштшшшшшшшшш шшш ш ш ш м т т т ш ш