Исследование оптимального управления в моделях Буссинеска - Лява тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Цыпленкова, Ольга Николаевна

• Цыпленкова, Ольга Николаевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Цыпленкова, Ольга Николаевна

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Относительно полиномиально ограниченные пучки

операторов и пропагаторы

1.2. Классическое решение начально-конечной задачи для

неоднородного уравнения

1.3. Задача Коши для уравнения соболевского типа

второго порядка с относительно диссипативным пучком операторов

1.4. Функциональные пространства

1.5. Относительная резольвента гильбертово сопряженного

операторного пучка

Глава 2. Оптимальное управление в модели Буссинеска — Лява

2.1. Описание математической модели Буссинеска - Лява

2.2. Сильное решение в математической модели Буссинеска -

Лява

2.3. Оптимальное управление в модели Буссинеска - Лява

2.4. Необходимое условие оптимальности управления

2.5. Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения оптимального управления в модели Буссинеска - Лява на отрезке

2.6. Вычислительный эксперимент

Глава 3. Оптимальное управление в модели

Буссинеска — Лява на графе

3.1. Задача Штурма - Лиувилля на геометрическом графе

3.2. Оптимальное управление в модели Буссинеска - Лява

на графе

3.3. Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения оптимального управления в математической модели Буссинеска - Лява на графе

3.4. Вычислительный эксперимент

Заключение

Список литературы

Приложения

Обозначения и соглашения

1. Множества, как правило обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N - множество натуральных чисел;

К - множество действительных чисел;

Ж+ - множество а £ К : а > 0;

С - множество комплексных чисел;

ЬР(П) - пространства Лебега;

- пространства Соболева и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавитов.

2. Отображения множеств, называемые операторами, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например:

Ь : X —» 2) - оператор, действующий из пространства X в пространство 2), причем с!отЬ - область определения, ипЬ - образ, а кегЬ - ядро оператора Ь.

3. Множества операторов обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

с(х] 2)) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве X и действующих в пространство 2);

с1(х] 2)) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве X и действующих в пространство 2);

С°°(х] 2)) — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше любого порядка, определенных на X и действующих в 2). Отметим, что вместо и С°°(Х; X) ради крат-

кости будем писать соответственно £(х), с1(х) и С°°(х). Элемен-

ты множеств операторов мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Кроме того, символами I и О мы будем обозначать соответственно «единичный» и «нулевой» операторы, области определения которых ясны из контекста.

4. Все контуры ориентированы движением «против часовой стрелки» и ограничивают область, лежащую «слева» при таком движении.

5. Основные результаты каждого параграфа называются теоремами. Второстепенные и вспомогательные результаты называются леммами. Частные случаи условий теорем и лемм, а также выводы из них формулируются как следствия. Очевидные факты излагаются в замечаниях. Полные доказательства приведены только для новых результатов. Символ > лежит в конце доказательства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование оптимального управления в моделях Буссинеска - Лява»

Введение

Постановка задач

В работе исследуется оптимальное управление решениями в математической модели Буссинеска - Лява в области

(А - А)хи = а(А - Х')х1 + /3(Д - Х")х + и (0.0.1)

с граничным условием

ф, г) = 0, (5, £) € дП х Е. (0.0.2)

Если О, - отрезок, то модель (0.0.1) - (0.0.2) описывает колебания в упругом стержне с учетом инерции. Параметры а, (3, А, А', X" характеризуют свойства материала, из которого изготовлен стержень, и связывают между собой плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент упругости. Функция х(з,1) характеризует продольное смещение, а функция г/,(з,£) - управление, определяющее внешнее воздействие.

Если Г2 - область в К2, то модель (0.0.1) - (0.0.2) описывает распространение волн на мелкой воде. Параметры а, (3, А, А', X" связывают глубину, гравитационную постоянную и число Бонда. Функция определяет высоту волны в момент времени t в

точке 5, - управление, задающее внешние силы.

В работе также исследуется оптимальное управление решениями в математической модели продольных колебаний в конструкции. Пусть С = С(У, 8) - конечный связный ориентированный граф, где V = {К} - множество вершин, а 8 — {Е3} - множество ребер. Предполагаем, что каждое ребро имеет длину ^ > 0 и площадь поперечного сечения ф > 0. На графе С рассмотрим уравнения

Буссинеска - Лява

\xjtt - х^33и = - \'х#) + В{х]33 - \"хз) + щ, 5 е (О, Ц), г <Е М.

(0.0.3)

Для уравнений (0.0.3) в каждой вершине Ц зададим краевые условия

^ акхка(1к,г) = 0; (0.0.4)

Хп{0,г) = ^(М) = Хк{1к,£) = ^ 0

для всех Еп,Е, е Еа(у{),Ек)Ет е где Еа>ш(Уг) - множество ребер с началом (концом) в вершине Условие (0.0.4) требует, чтобы вектор-функция х^в^Ь) была непрерывна в вершинах графа, и поэтому называется «условием непрерывности». Заметим, что в этом условии «отсутствовать» не значит «быть равным нулю». Например, если в некоторую вершину У{ все ребра входят, то первые два равенства в (0.0.4) отсутствуют, а не равны нулю. Условия (0.0.5) - аналог условий Кирхгоффа. В частном случае, когда граф С состоит из единственной нециклической дуги, условие (0.0.5) исчезает, а условие (0.0.4) превращается в однородное условие Неймана. Функция х^ - продольное смещение в точке 5 ^'-ого ребра, а щ - внешнее воздействие на ;'-ый элемент в конструкции. Разрешимость начально-краевых задач для уравнения Буссинеска - Лява исследовалась в работах А.А. Замышляе-вой.

Нас будут интересовать решения задач (0.0.1) - (0.0.2) и (0.0.3)— (0.0.5), удовлетворяющие условиям Шоуолтера - Сидорова

р{х{0) - х0) = 0, Р{х{0) - хг) = 0; (0.0.6)

или начально-конечным условиям

Pin(x(0) - ®5) = 0, Р<„(ж(0) - а® = 0;

pfin(x{r) - х\) = 0, Pfin(x(r) - хъ) = 0;

(0.0.7)

где Р, Р{п(/т) - некоторые спектральные проекторы в пространстве X, которые будут определены далее.

Математические модели (0.0.1) - (0.0.2), (0.0.7) и (0.0.3) - (0.0.5), (0.0.7) удается свести к начально-конечной задаче для абстрактного уравнения соболевского типа второго порядка

Операторы А:ВиВ0 е £(£; 2)), С £ £(Н; 2)), функции и : [0,т) С Я, у : [0, г) С М+ ^ 2) (г < оо). Задача (0.0.6), (0.0.8) называется задачей Шоуолтера - Сидорова, а задача (0.0.7), (0.0.8) начально-конечной, которая в свою очередь является естественным обобщением задачи Шоуолтера - Сидорова, подробнее о них будет сказано далее.

Вектор-функцию х 6 X назовем состоянием системы (0.0.7), (0.0.8), если она является сильным решением задачи (0.0.7), (0.0.8). Зафиксировав ж®, ж®, Xq, х\, у, воздействие на систему (0.0.7), (0.0.8) осуществляется изменением функции п, называемой управлением. В конкретных моделях, встречающихся на практике, на функцию управления, как правило, накладываются некоторые естественные ограничения, что приводит к необходимости рассмотрения некоторого замкнутого и выпуклого множества iiad - множества допустимых управлений.

Наша задача состоит в отыскании такой пары (х, й) € X х ila(i,

Ах = В\Х + В0х + у + Си.

(0.0.8)

для которой выполняется соотношение

где все пары (х,и) удовлетворяют (0.0.7), (0.0.8).

Цель работы - качественно и численно исследовать оптимальное управление в моделях Буссинеска - Лява в области и на графе с начально-конечными условиями с последующей разработкой программ для ЭВМ.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать оптимальное управление решениями в математической модели Буссинеска - Лява в области как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка.

2. Исследовать оптимальное управление решениями в математической модели продольных колебаний в конструкции как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка на графе.

3. Доказать существование и единственность сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для абстрактного уравнения соболевского типа второго порядка.

4. Разработать алгоритмы численных методов нахождения оптимального управления в математических моделях Буссинеска -Лява.

5. Реализовать разработанные алгоритмы в виде программ для ЭВМ.

Актуальность темы исследования В литературе уравнения и системы уравнений, неразрешенные относительно старшей производной называют уравнениями и системами соболевского типа, поскольку именно работы С.Л. Соболева послужили началом систематического изучения таких уравнений. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С.Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [2], [25], [89], [90]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий.

В монографии В.Н. Врагова [8] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида

Ьх = Мж, (0.0.9)

где ¿и М - дифференциальные операторы по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [88] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения

жь б А{ж)

с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.0.9), если М -(I/, сг)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в

бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Г.В. Демиденко, C.B. Успенского [10] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

/-1

AoDltu + Y,Al-kDtu = ^

к=О

где ao,ai,...,ai~ линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (жх,..., хп), причем оператор ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

Монография С. Г. Пяткова [100] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.0.9), где операторы Ь,М - самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [50] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

В работах M.B. Фалалеева [68], [69] рассматриваются задачи о построении решений вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах. Основным инструментом является разработанный им аппарат обобщенных функций в банаховых пространствах, а именно конструкция фундаментальной оператор-функции.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [36], рассматривает уравнения вида

(I ~A)ut = Bu + f(x,t),

где Аи В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [101], в которой рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.0.9) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

Начиная с работ P.E. Шоуолтера стало принято абстрактные уравнения вида (0.0.9) называть уравнениями соболевского типа. К настоящему времени данная терминология стала общепринятой [37], [52], [62], [96], [101], [102]. Далее всюду мы считаем этот тер-

мин синонимом терминов «вырожденные дифференциальные уравнения» [87], [97], «неклассические дифференциально-операторные уравнения» [100], «дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной» [10], «псевдопараболические» и «псевдогиперболические» уравнения [10], [94] и «уравнения не типа Коши - Ковалевской» [43], [75]. Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы [48].

Данное диссертационное исследование выполнено в рамках направления, развиваемого Г.А. Свиридюком. В его совместной монографии с В.Е. Федоровым [102] вводятся и изучаются относительно ^-ограниченные (относительно р-секториальные) операторы и порождаемые ими разрешающие группы (аналитические разрешающие полугруппы) операторов. Также вводятся в рассмотрение относительно р-радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы операторов. В эту монографию вошли результаты Т.А. Бокаревой [3], Т.Г. Сукачевой [66], Л.Л. Дудко [13], В.Е. Федорова [71], A.A. Ефремова [15], Г.А. Кузнецова [40], A.B. Келлер [32]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации М.М. Якупова [83], С.А. Загре-бипой [16], C.B. Брычева [5], A.A. Замышляевой [19], И.В. Бурлачко [7], В.О. Казака [30], В.В. Шеметовой [79], О.Г. Китаевой [35], Д.Е. Шафранова [78], докторская диссертация В.Е. Федорова [70] и A.B. Келлер [33]. Данная диссертационная работа посвящена исследованию оптимального управления решениями линейных уравнений соболевского типа второго порядка, и базируется па результатах A.A. Замышляевой по исследованию разрешимости таких уравнений.

Впервые задача (0.0.7) для линейного уравнения соболевского типа первого порядка появилась в работах Г. А. Свиридюка и С.А. За-гребиной [60], где она названа, вследствие непроизвольно возникшей терминологической путаницы, «задачей Веригина». В дальнейшем данная задача была названа начально-конечной и рассмотрена в работах [61], [17].

Теория дифференциальных уравнений на графах интенсивно развивается в последние десятилетия [77], [91], [93], [105]. В России основоположником этой теории является Ю.В. Покорный [54]. Первым начально-краевую задачу для дифференциального уравнения соболевского типа на графе стал изучать Г.А. Свиридюк [58]. В диссертации В.В. Шеметовой [79] продолжены исследования в данном направлении. А.А. Баязитова [1] исследовала прямые и обратные задачи для уравнений Хоффа, заданных в области и на конечном связном ориентированном графе. П.О. Пивоварова исследовала устойчивость нулевого решения в моделях Хоффа в области и на графе [53].

Высокий темп развития современных технологий приводит к необходимости исследования возникающих в технике и производстве физических процессов, что предполагает построение адекватных математических моделей и их дальнейшее изучение (см., например, [39], [51]). Моделируемые процессы, как правило, управляемы, а потому естественным образом возникает вопрос о нахождении наилучшего, в том или ином смысле, оптимального управления.

JI.C. Понтрягин [55] вместе со своими учениками и соратниками рассматривал управляемые процессы, каждый из которых может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравне-

ний

Xi = fi{xi,... ,хп,щ,... ,Ur), i = l,...,n. (0.0.10)

Разрешимость таких задач устанавливалась одним общим приемом — принципом максимума Понтрягина.

Для систем (0.0.10) H.H. Красовским [38] и его учениками были рассмотрены задачи о построении управляющего воздействия и, которое приводит объект в заданное состояние, а также проведена аналогия между теорией линейных управляемых систем и теорией игр.

Работа В.И. Зубова [26] содержит решение проблемы стабилизации программных движений, включая их построение, а также методы синтеза управлений, в том числе построения оптимальных управлений. На основе второго метода Ляпунова строится подход к нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности в различных вариационных задачах, а также развиваются на этой основе вычислительные процедуры.

В.М. Матросов [49] со своими учениками применял метод вектор-функций Ляпунова для исследования широкого класса нелинейных задач управления, рассматривал вопросы устойчивости нелинейных систем вида (0.0.10) и получил теоремы сравнения и теоремы экспоненциальной устойчивости.

Другое направление представлено в работах Ж.-Л. Лионса [43], A.B. Фурсикова [73] и многих других. Работы этих авторов посвящены теории оптимального управления распределенными системами, то есть системами, которые описываются с помощью краевой задачи для уравнения с частными производными или для системы таких уравнений. В монографии [43] впервые систематически изу-

чены задачи оптимального управления для уравнений с частными производными, уделено немало внимания линейным эллиптическим, параболическим, гиперболическим задачам с квадратичной минимизируемой функцией, рассмотрены соответствующие односторонние граничные задачи и задачи эволюционного типа, а также вопросы существования и аппроксимации оптимальных решений. В монографии [44] изложены основы теории управления сингулярными распределенными системами. При изучении задач такого рода заданному управлению может не соответствовать единственное устойчивое состояние. Для решения этой проблемы Ж.-Л. Лионе изучал вопрос о существовании обобщенных оптимальных пар и их свойствах.

В монографии К.А. Лурье [45] дается общая постановка задач оптимизации для систем с частными производными и указываются особенности вывода необходимых условий оптимальности типа принципа максимума Понтрягина.

В монографии A.B. Фурсикова [73] строится общая теория оптимального управления распределенными системами. В наиболее общей форме исследуемый в монографии класс задач можно записать в виде

J(x, и) —>• inf, F(x,u) = О, и е Had,

где J — некоторый функционал, F — некоторый оператор, действующий в соответствующих пространствах. Большое количество абстрактных теоретических результатов монографии применены к различным классам задач оптимального управления.

Монография Ф. Трёльч [104] также посвящена вопросам оптимального управления уравнениями с частными производными. В ней рассмотрены вопросы существования и единственности оптимального управления решениями линейных и нелинейных уравнений с частными производными, необходимые условия оптимальности и сопряженные уравнения. В монографии разработаны численные методы решения указанных задач.

В работах Г.А. Куриной изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления [42] для сингулярно возмущенной системы

(A + eB)^ = C(t)x + D{t)u

CLL/

с условиями Коши. Также в работах Г.А. Куриной с соавторами исследуются решения дискретных задач оптимального управления слабоуправляемых систем. В работе [41] приведены достаточные условия существования ограниченного обратного оператора для линейного оператора, появляющегося в теории оптимального управления линейными системами в гильбертовом пространстве и имеющего матричное представление.

Впервые исследованием задач оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа стали заниматься Г.А. Свири-дюк и A.A. Ефремов [59]. Оптимальное управление решениями задачи Коши для линейных уравнений соболевского типа рассматривалось в [102]. В дальнейшем начатые исследования в этой области продолжили ученики Г.А. Свиридюка, среди которых H.A. Манако-ва [46], [47], A.B. Келлер [33] и др. Результаты A.A. Ефремова [15] инициировали изучение O.A. Рузаковой вопросов управляемости уравнений соболевского типа [56]. Вопросы управляемости уравне-

ний соболевского типа также изучены в работах К. Балачандран и Дж. Дауэр [84).

Во многих направлениях исследования разрабатываются численные методы решения прикладных задач, например [29], [57]. В настоящее время численные методы решения как начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и задач оптимального управления для этих систем находятся в стадии формирования. Отметим работы представителей иркутской математической школы Ю. Е. Боярипцева [4], В. Ф. Чистякова [75], М.В. Булатова [6], A.A. Щегловой [82]. В.Ф. Чистяков и C.B. Гайдомак [74] исследовали задачи оптимального управления вырожденными гиперболическими системами (0.0.9), где L, M — матрицы порядка п с переменными коэффициентами, зависящими от временной и пространственной переменных. Создан комплекс программ, позволяющий решать задачи оптимального управления для таких систем с квадратичным функционалом.

Л. Папдолфи [99] впервые рассмотрел управление системой

ж(0) - х0,

Кх = Ах + Ви, ж б Rn, и б

где В — постоянная п х m-матрица, К, А — постоянные п х п-матрицы, причем det(ii) = 0. Аналогичные задачи управления исследуют в своих работах Ф. Лэвис [95] и Г.А. Курина [41], [42].

С. Кэмпбэлл и В. Террел [85], [103] исследовали наблюдаемость системы

E(t)x + f(t)x = B(t)u У = C{t)x, 18

где E,F — квадратные матрицы, Е идентично сингулярна не некотором интервале ш, х Е Шп, и — гладкая вещественнозначная функция входа, C{t) — гладкая матричная функция I хп, определяющая вход системы у.

П. Мюллер [98] рассматривает дескрипторную линейную систему уравнений

E{t)x = Ax(t) + B(t)u, y(t) = Cx(t) + Du(t)> где x — n-мерный вектор, и — n-мерный вектор управления, у — ш-мерный вектор наблюдения. Е,А- матрицы размерности n х п, a B,C,D - матрицы размерности n x г, m x n и m х г соответственно. Основное свойство рассматриваемой системы заключается в том, что rankE1 < п. Алгоритм решения системы (0.0.11) основан на приведении пучка матриц (sE — А) к канонической форме Вейерштрасса - Кронекера.

Впервые алгоритм численного решения задачи Коши для неоднородного уравнения соболевского типа первого порядка в конечномерном случае, когда / = const, разработан в диссертации C.B. Бры-чева [5]. Исследования в этом направлении продолжены в диссертации И.В. Бурлачко [7], где эти результаты распространены на случай / = f(t) и применены к модели коммунального хозяйства г. Еманжелинска Челябинской области.

A.B. Келлер [33], [34] разработаны и реализованы в виде комплекса программ численные методы решения широкого круга задач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа — конечномерного аналога линейных уравнений соболевского типа. Алгоритмы A.B. Келлер нашли применение не только для их

естественных приложений, но и для похожих - в методах решения задач о восстановлении динамически искаженного сигнала — задач оптимального измерения [80]. В настоящее время исследования в этом направлении ведутся A.JI. Шестаковым, Г.А. Свири-дюком, A.B. Келлер [81].

Для уравнения Хоффа, заданного в области и на конечном связном ориентированном графе, A.A. Баязитовой разработаны алгоритмы, позволяющие численно решать данное уравнение и строить его фазовое пространство [1], П.О. Пивоваровой [53] численно исследована неустойчивость нулевого решения данного уравнения. Оптимальное управление в модели Хоффа на графе рассмотрел в своей диссертации А.Г. Дыльков [14].

Вопросами оптимального управления решениями различных краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных занимаются многие современные авторы [И], [24], [31], [88], [92].

Научная новизна. При исследовании математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейным уравнением Бусси-неска - Лява, заданным в области и на графе, показано существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа второго порядка. Получены необходимые условия оптимальности управления. Разработан и реализован с помощью программ для ЭВМ алгоритм численного метода нахождения оптимального управления для указанных математических моделей.

Методы исследования. В работе используются следующие методы: метод редукции конкретных математических моделей к начальным задачам для уравнения соболсвского типа, метод фазового пространства при качественном исследовании уравнений соболевского типа, методы теории оптимального управления, методы Галеркина и Ритца при разработке алгоритмов численных методов исследования математических моделей.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертационного исследования, полученные при изучении математических моделей оптимального управления, основанных на уравнении Буссинеска - Лява, развивают теории уравнений соболевского типа, дифференциальных уравнений на графах, оптимального управления. Результаты применимы для дальнейшего качественного и численного исследования других неклассических моделей математической физики. Практическая значимость обусловлена использованием результатов исследований при изучении процессов, описываемых уравнением Буссинеска - Лява, заданным в области и на графе, и возможностью их применения при решении задач теории упругости, гидродинамики, электродинамики. Разработанный комплекс программ позволяет проводить вычислительные эксперименты по определению оптимального управления в рассматриваемых моделях.

Краткое содержание диссертации

Диссертационная работа помимо введения, заключения, списка литературы и приложений содержит три главы. Список литературы включает 122 наименования.

Первая глава состоит из пяти пунктов. Они содержат опре-

деления, теоремы и вспомогательные утверждения, опираясь, на которые получены основные результаты исследования. В первом пункте приводятся без доказательств основные положения относительно полиномиально ограниченных пучков операторов и проекторов [23]. Во втором пункте приводится теорема о существовании и единственности решения начально-конечной задачи для неоднородного уравнения соболевского типа второго порядка [21]. В третьем пункте вводится понятие относительной диссипативности пучка операторов, являющееся обобщением условий, рассмотренных в теории аккретивных операторов 11.Е. 31ю\¥акег [101] и условия относительной диссипативности оператора (для уравнения соболевского типа первого порядка). Здесь же автором диссертации впервые исследовано уравнение с относительно диссипативным пучком операторов, что не предполагает ограниченности относительного спектра пучка. В четвертом пункте определяются пространства Соболева [64], приводятся теоремы вложения Соболева и Реллиха -Кондрашова [67], [76]. В п.1.5 содержатся результаты об относительной резольвенте гильбертово сопряженного операторного пучка, полученные впервые.

Вторая глава содержит шесть пунктов и посвящена исследованию оптимального управления в математической модели Бусси-неска - Лява в области как задачи оптимального управления решениями уравнения соболевского типа второго порядка с начально-конечными условиями.

В пункте 2.1 описана математической модель Буссинеска - Лява. В п. 2.2 доказаны существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи для абстрактного уравнения со-

болевского типа второго порядка, а также существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи для модели Буссинеска - Лява. В п. 2.3 исследована абстрактная задача оптимального управления. Полученные результаты применены к модели продольных колебаний в упругом стержне, находящемся под постоянной нагрузкой. В п. 2.4 найдены необходимые условия оптимальности управления в терминах сопряженной к (0.0.7)

- (0.0.8) задачи. В п. 2.5 содержится описание алгоритма численного метода и программы «Программа оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска

- Лява», написанной в вычислительной среде Maple и предназначенной для нахождения приближенного численного решения исследуемой задачи оптимального управления для рассматриваемой модели. П. 2.6 содержит результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие работу программы. Рассмотрены примеры нахождения решений исследуемой задачи оптимального управления для модели Буссинеска - Лява на отрезке.

Третья глава состоит из четырех пунктов и посвящена изучению математической модели продольных колебаний в конструкции как задачи оптимального управления решениями уравнения соболевского типа второго порядка на графе с начально-конечными условиями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Цыпленкова, Ольга Николаевна, 2013 год

Список литературы

[1] Баязитова, A.A. Исследование прямых и обратных задач в моделях Хоффа : дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.A. Баязитова. - Челябинск, 2011. - 124 с.

[2] Белоносов, В. С. Качественные свойства одной математической модели вращающейся жидкости / В. С. Белоносов, Т. И. Зеле-няк // Сиб. журн. индустр. мат. - 2002. - Т.5, № 4 - С.3-13.

[3] Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными оператора-

ми:дис____канд.физ.-мат.наук / Т.А. Бокарева; ЛГПИ им. А.И.

Герцена. - СПб., 1993. - 107 с.

[4] Бояринцев, Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальых уравнений / Ю. Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1988. - 257 с.

[5] Брычев, C.B. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов : дис. ... канд. физ.-мат. наук / C.B. Брычев. — Челябинск, 2002. — 124 с.

[6] Булатов, М. В. Об одном классе разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических систем / М. В. Булатов // ЖВМиМФ. - 1998. - Т. 38, № 10. - С. 16411650.

[7] Бурлачко, И.В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа : дис. ... канд. физ.-мат. наук / И.В. Бурлачко. — Челябинск, 2005. — 122 с.

[8] Врагов, В.H. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. — Новосибирск : НГУ, 1983. - 179 с.

[9] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

[10] Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский. - Новосибирск: Науч. кн., 1998.

[И] Дружинина, О.В. Об оптимальном управлении по времени для эволюционных уравнений в банаховом пространстве / О.В. Дружинина, О.Н. Масина // Тр. ИСА РАН. - 2008. -Т. 32, № 3. - С. 41-45.

[12] Дубровский, В.В. Об асимптотике спектральной функции обыкновенного дифференциального самосопряженного оператора / В.В. Дубровский // Фундамент, и прикл. матем. — 2001.

- Т.7, вып. 1. - С. 271-274.

[13] Дудко, JI.JI. Исследование полугрупп операторов с ядра-ми:дис.... канд.физ.-мат.иаук / JI.JI. Дудко. - Новгород, 1996.

- 88 с.

[14] Дыльков, А.Г. Исследование оптимального управления решениями начально-конечной задачи для неклассических моделей математической физики : дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.Г. Дыльков. — Магнитогорск, 2012. — 114 с.

[15] Ефремов, A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева : дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.A. Ефремов. — Екатеринбург, 1996. — 102 с.

[16] Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис.... канд. физ.-мат. наук / С.А. Загребина. - Челябинск, 2002. - 100 с.

[17] Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2011. - № 4 (221), вып. 7. - С. 35-39.

[18] Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв.вузов. Математика. - 2007. - № 3, - С. 22-28.

[19] Замышляева, A.A. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высого порядка: дис____ канд. физ.-

мат. наук / A.A. Замышляева; ЧелГУ. - Челябинск, 2003. -101 с.

[20] Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява / A.A. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 22-29.

[21] Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява/ A.A. Замышляева, А.В.Юзеева// Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. Челябинск, 2010. Вып.5. С. 23-31.

[22] Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска — Лява на графе // A.A. Замышляева, A.B. Юзеева / Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика, 2010. Т. 3, № 2. С. 18 - 29.

[23] Замышляева, A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка/ А.А.Замышляева// Вычислительные технологии. 2003. Т.8, №4. С. 45-54.

[24] Звягин, В.Г. Оптимальное управление в модели движения вяз-коупругой среды с объективной производной / В.Г. Звягин, A.B. Кузнецов // Изв. вузов. Математика. — 2009. — JNT^ 5. — С. 55-61.

[25] Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк. - Новосибирск, 1970. - 164 с.

[26] Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. — М. : Наука. - 1975. - 494 с.

[27] Искандеров, Б.А. Смешанная задача для внутренних гравитационных волн в неограниченной цилиндрической области / Б.А. Искандеров, А.И. Мамедова // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. - 2006. - Т. 46, №8. - С. 1475-1493.

[28] Искандеров, Б.А. Смешанная задача уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска в неограниченной цилиндрической области / Б.А.

Искандеров, Д.Ю. Мамедов, С.Э. Сулейманов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2009. - Т. 49, № 9. - С. 1659-1675.

[29] Кадченко, С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // ДАН. 2001. Т. 381. № 3. С. 320-324.

[30] Казак, В.О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. ... канд. физ.-мат. наук / В.О. Казак; ЧелГУ. - Челябинск, 2005. - 99 с.

[31] Капустян, В.Е. О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Пробл. упр. и информат. - 2010. - № 3. - С. 78-85.

[32] Келлер, A.B. Исследование ограниченных решений линей-

иых уравнений типа Соболева:дис____канд.физ.-мат.наук / A.B.

Келлер. - Челябинск, 1997. - 115 с.

[33] Келлер, A.B. Численное исследование задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа : дис. ... д-ра физ.-мат. наук / A.B. Келлер. — Челябинск, 2011. — 249 с.

[34] Келлер, A.B. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / A.B. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. - 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 345-346.

[35] Китаева, О.Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевско-

го типа: дис____канд.физ.-мат.наук / О.Г. Китаева. - Магнитогорск, 2006. - 111 с.

[36] Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. — Новосибирск : НГУ, 1990. - 132 с.

[37] Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнения Соболева -Гальперна / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. об-ва. - 1961. - Т. 10. - С. 273-284.

[38] Красовский, H.H. Теория управления движением / H.H. Кра-совский. - М. : Наука, 1968. — 475 с.

[39] Кризский, В.Н. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред / В.Н. Кризский, И.А. Герасимов, М.Б. Заваруева // Математическое моделирование. — 2000. — Т. 12, j\s 3. - С. 32-33.

[40] Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных

свойств линейных операторов:дис____канд.физ.-мат.наук /

Г.А.Кузнецов - Челяб.гос.ун-т. - Челябинск, 1999. - 105 с.

[41] Курина, Г. А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г. А. Курина // Мат. заметки. - 2001. - Т. 70, вып. 2. - С. 230-236.

[42] Курина, Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной / Г.А. Курина // Известия РАН. Техническая кибернетика. - 1992. - № 4. - С. 20-48.

[43] Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. - М.: Мир, 1972.

[44] Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. — М. : Наука, 1987. — 456 с.

[45] Лурье, К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К.А. Лурье. — М. : Наука, 1975. — 478 с.

[46] Манакова, H.A. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / H.A. Манакова // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. - С. 1185-1192.

[47] Манакова, H.A. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида / H.A. Манакова,

A.Г. Дыльков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия «Физ.-мат. науки». - 2011. - № 4 (25). - С. 18-24.

[48] Маслов, В. П. Уравнения одномерного баротропного газа /

B. П. Маслов, П. П. Мосолов. - М.: Наука, 1990. - 216 с.

[49] Нелинейная теория управления и ее приложения: динамика, управление, оптимизация / Под ред. В.М. Матросова. — М. : Физматлит, 2003. - 352 с.

[50] Мельникова, И.В. Интегрированное семейство М, jY-фуикций/ И.В. Мельникова, А.И.Филинков// ДАН. 1993. Т. 46, №2.

C. 214-219.

[51] Мустафина, С.А.Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов / С.А. Мустафина,

Ю.А. Валиева, P.C. Давлетшин, A.B. Бадаев, С.И. Спивак // Кинетика и катализ. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 749-756.

[52] Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа C.JI. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.

[53] Пивоварова, П.О. Исследование устойчивости в моделях Хоффа : дис. ... канд. физ.-мат. наук / П.О. Пивоварова. — Челябинск, 2011. — 96 с.

[54] Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. — М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. - 272 с.

[55] Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понт-рягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. — М. : Наука, 1976. - 391 с.

[56] Рузакова, O.A. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа : дис. ... канд. физ.-мат. наук / O.A. Рузакова. — Челябинск, 2004. — 110 с.

[57] Сапронов, Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариавционных задачах / Ю. И. Сапронов, С. Л. Царев // Математические заметки. - 2000. - Т. 200. -С. 745-754.

[58] Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск, 2002. - С. 221-225.

[59] Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, A.A. Ефремов // Дифференц. уравнения. - 1995. - Т. 31, № 11. - С. 1912-1919.

[60] Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 12. - С. 1646-1652.

[61] Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. «Математика». - 2010. -Т. 3, № 1. - С. 104-125.

[62] Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения - 1990. - Т. 26, № 2. -С. 250-258.

[63] Соболев, C.JI. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1954. - Т. 18.

- С. 3-50.

[64] Соболев, С.Л. Применение функционального анализа к математической физики / С.Л. Соболев. - Л.: Наука, 1961.

[65] Солдатов, А.П. Краевые задачи с нелокальными условиями A.A. Самарского для псевдопараболического уравнения высокого порядка / А.П. Солдатов, М.Х. Шхануков // ДАН. - 1987.

- Т. 297. № 3. - С. 547-552.

[66] Сукачева, Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис... канд. физ.-мат. наук / Т.Г. Сукачева; НГПИ. - Новгород, 1990. -112 с.

[67] Трибель, Л. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Л. Трибель. - М.: Мир, 1980.

[68] Фалалеев, М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн. - 2008. Т.41, №5. С. 1167-1182.

[69] Фалалеев, М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. Т.49, №4. С.916-927.

[70] Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространств: дис... .д-рафиз.-мат.наук / В.Е.Федоров. - Челябинск, 2005. - 271 с.

[71] Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева:дис____канд.физ.-мат.наук / В.Е.Федоров. -

Челябинск, 1996. - 104 с.

[72] Федоров, В.Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах/ В.Е.Федоров// Сиб. мат. жури. 2005. Т.46, №2. С.426-448.

[73] Фурсиков, A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье — Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Матем. сборник. - 1981. - Т. 115 (157), № 2 (6). -С. 281-306.

[74] Чистяков, В.Ф. О системах не типа Коши - Ковалевской индекса (1,/с) / В.Ф. Чистяков, C.B. Гайдомак // Вычислительные технологии. - 2005. - Т. 10, № 2. - С. 45-59.

[75] Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальиых систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова. — Новосибирск : Наука, 2003. — 320 с.

[76] Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим. - М.: Мир, 1983.

[77] Шафаревич, А.И. Обобщенные уравнения Прандтля - Масло-ва на графах, описывающие растянутые вихри несжимаемой жидкости / А.И. Шафаревич // Докл. РАН. - 1998. - Т. 358, № 6. - С. 752-755.

[78] Шафранов, Д.Е. Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях: дис.... канд.физ.-мат.наук / Д.Е. Шафранов. - Челябинск, 2006. - 95 с.

[79] Шеметова, В.В.Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графе : дис.... канд. физ.-мат. наук / В.В. Шеметова. — Магнитогорск, 2005. — 109 с.

[80] Шестаков, A.JI. Динамические измерения как задача оптимального управления / A.JI. Шестаков, Г.А. Свиридюк,

Е.В. Захарова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, № 4. - С. 732-733.

[81] Шестаков, A.JI. Численное решение задачи оптимального измерения / A.JI. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 1. — С. 107-115.

[82] Щеглова, А. А. Устойчивость линейных алгебро- дифференциальных систем / А. А. Щеглова, В. Ф. Чистяков // Дифференц. уравнения. - 2004. Т 40, № 1. - С. 47-57.

[83] Якупов, М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис____канд.физ.-мат.наук / М.М. Якупов; Челяб.

гос. ун-т. - Челябинск, 1999. - 83 с.

[84] Balachandran, К. Controllability of Sobolev-Type Integro-differential Systems in Banach Spaces / K. Balachandran, J.P. Dauer // J. Math. Anal Appl. - 1998. - Vol. 217, V. 2.

- P. 335-348.

[85] Campbell, S.L. Observability of Linear Time Varying Descriptor Systems / S.L. Campbell, W.J. Terrell // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 1991. - Vol. 3. - P. 484-496

[86] Chen, G. Cauchy problem for a damped generalized IMBq equation / G. Chen, W. Rui, X. Chen // Journal of mathematical physics.

- 2011. - №-.52. P. 1-19.

[87] Favini, A. Abstract second order differentional equations with applications / A. Favini, A. Yagi // Funkc. Ekvac - 1995. - V. 38, № 1. - P. 81-99.

[88] Favini, A. Degenerate differential equations is Banach spase/ A.Favini, A.Yagi// N.Y., Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.

[89] Fokin, M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. - 1994,- V. 4, № 1- P. 18-51.

[90] Fokin, M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. - 1994.- V. 4, № 2,- P. 16-53.

[91] Hale, J.K. Reaction - Diffusion Equations on Thin Domains / J.K. Hale, G. Raugel // J. Math. Pures Appl. - 1991. - Vol. 71.

- P. 33-95.

[92] Hwang, J.Optimal Control Problems for an Extensible Beam equation / J. Hwang //J. Math. Anal, and Appl. — 2009. — Vol. 353, № 1. - P. 436-448.

[93] Kosugi, S. A Semilinear Elliptic Equation in a Thin Network -Shaped Domain / S. Kosugi // J. Math. Soc. Jap. — 2000. — Vol. 52, № 3. - P. 672-697.

[94] Kozhanov, A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov. -Utrecht: VSP, 1999. - 171 p.

[95] Lewis, F.L. A Survey of Linear Singular Systems / F.L. Lewis // Circuits, Systems and Signal Processing. — 1986. — Vol. 5, № 1.

- P. 3-36.

[96] Lightbourne, J.H.A. Partial Functional Equations of Sobolev Type / J.H.A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl. - 1983. - Vol. 93, № 2. - P. 328-337.

[97] Melnikova, I. Abstract Cauchy Problem: Three Approaches / I. Melnikova, A. Filinkov. — Boca Raton : Chapman and Hall, 2001.- 264 p.

[98] Miiller, P.C. Linear Control Design of Linear Descriptor Systems / P.C. Miiller // 14th Triennial world congress. — Beijing, 1999.

[99] Pandolfi, L. Controllability and stabilization for linear systems of algebraic and differential equations / L. Pandolfi //J. Optimiz. Theory and Appl. - 1980. - Vol. 30, № 4. - P. 601-620.

[100] Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo : VSP, 2002. -346 p.

[101] Showalter, R.E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations/ R.E.Showalter. -Providence: AMS, 1997. - XIII, 278 p.

[102] Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. -Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.

[103] Terrell, W.J. The Output-Nulling Space, Projected Dynamics, and System Decomposition for Linear Time-Varying Singular Systems / W.J. Terrell // SIAM J. Contr. and Optimiz. - 1994. - V. 32, № 14. - P. 876-889.

[104] Tröltzsch, F. Optimale Steuerung Partieller Differentialgleichungen: Theorie, Verfahren und Anwendungen / F. Tröltzsch.

— Wiesbaden : Vieweg+Teubner Verlag, 2005. — 297 s.

[105] Yanagida, E. Stability of nonconstant steady states in reaction-diffusion systems on graphs / E. Yanagida // Japan J. Induct. Appl. Math. - 2001. - Vol. 18. - P. 25-42.

[106] Замышляева, A.A. О задаче Коши для уравнения соболевского типа с относительно диссипативным пучком операторов /A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2010: тез. докл. - Воронеж, 2010. - С.62-63.

[107] Замышляева, A.A. Задача оптимального управления для одного уравнения соболевского типа /A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Всероссийский научный семинар «Неклассн-ческие уравнения математической физики», посвященный 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова: тез. докл-Якутск, 2010. - 4.1. - С.53-56.

[108] Замышляева, A.A. Задача оптимального управления для уравнения соболевского типа второго порядка /A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова //// Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Кожанова.

- Новосибирск, 2010. - С. 95-101.

[109] Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Буссинеска - Ля-ва / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Международная

конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко: тез. докл.

- Новосибирск, 2011. - С.65.

[110] Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка /А.А.Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Международная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященная памяти В.К. Иванова: тез. докл.-Екатеринбург, 2011. - С.230-231.

[111] Цыпленкова, О.Н. О Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для одного уравнения соболевского типа / О.Н. Цыпленкова // Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна -2012»: тез. докл. - Воронеж, 2012. - С.209-211.

[112] Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссипеска - Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование.

- Челябинск, 2012. - № 5 (264), вып. И. - С. 13-24.

[ИЗ] Замышляева, A.A. Уравнения соболевского типа второго порядка с относительно диссипативным пучком операторов / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - Самара, 2012. - вып. 2 (27) . -С. 26-33

[114] Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Бусеинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева: тез. докл. - Новосибирск, 2012. - С. 370.

[115] Цыпленкова, О.Н. Численное решение задачи оптимального управления в модели Буссинеска - Лява / О.Н. Цыпленкова // Международная конференция «Измерения: состояние, перспективы развития»: тез. докл. - Челябинск, 2012. - С. 245-246.

[116] Цыпленкова, О.Н. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи в модели Буссинеска - Лява на графе / О.Н. Цыпленкова // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск; 2012 - Вып. 14. - С.157-167.

[117] Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Всероссийская научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»: тез. докл. - Самара, 2013. - С. 34-35.

[118J Замышляева, A.A. Численное решение задачи оптимального управления в модели Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные прострап-

ства. Теория приближений.»: тез. докл. - Новосибирск, 2013. -С. 139.

[119] Замышляева, А.А.Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова - Дирихле для уравнения Бусси-неска - Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифферент уравнения. - 2013. - Т. 49, № 11. - С. 1390-1398.

[120] Программа оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява: свидетельство № 2012619932/ Цыпленкова О.Н. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный универ-ситет (НИУ)». - 2012619932; заявл. 20.09.2012; заре-гистр. 02.11.2012, реестр программ для ЭВМ.

[121] Программа нахождения решения начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява: свидетельство № 2012619933/ Замышляева A.A., Цыпленкова O.H.(RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет (НИУ)». - 2012619933; заявл. 20.09.2012; за-регистр. 02.11.2012, реестр программ для ЭВМ.

[122] Оптимальное управление в модели Буссинеска - Лява на графе: свидетельство № 2013611107/ Цыпленкова О.Н. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет (НИУ)». - 2013611107; заявл. 11.12.2012; за-регистр. 09.01.2013, реестр программ для ЭВМ.