Исследование и моделирование численного метода определения параметров движения центра масс космического аппарата с помощью комбинированного вейвлет-фильтра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Яковлев, Евгений Кириллович

• Яковлев, Евгений Кириллович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Яковлев, Евгений Кириллович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТЫ С ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕМ РЕЗУЛЬТАТОВ ОДНОМОМЕНТНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

§ 1. Исходные данные

§2. Блок-схема и структура модели технологии определения орбиты космического аппарата

ГЛАВА 2. ПОЛУОРТОГОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНОВЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ

§3. Построение и простейшие свойства сплайновых вейвлетов на конечном отрезке

3.1 Элементы теории сплайнов. Определение сплайнов

3.2 В-сплайны

3.3 Теоремы К. де Бора о сплайновых аппроксимациях

3.4 Построение вейвлет-базиса

3.5 Алгоритм построения-^ вейвлет-базиса и графики базисных вейвлетов

§4. Аппроксимационные свойства функций с ограниченной и переменной гладкостью

4.1 Аппроксимационные свойства на функциях с ограниченной 1-й производной

4.2 Аппроксимационные свойства на функциях переменной гладкости

ГЛАВА 3. БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ

ДИСКРЕТНЫХ СПЛАЙНОВЫХ ВЕЙВЛЕТОВ

§5. Прямое и обратное быстрое дискретное вейвлет-преобразование

5.1 Построение дискретных вейвлет-функций

5.2 Быстрое дискретное вейвлет-преобразование

ГЛАВА 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛБТР

§6 Теоремы о вейвлетной предфильтрации

§7. Алгоритм комбинированного вейвлет-фильтра

§8 Результаты численных экспериментов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и моделирование численного метода определения параметров движения центра масс космического аппарата с помощью комбинированного вейвлет-фильтра»

ВВЕДЕНИЕ

Спутниковые радионавигационные системы стали неотъемлемой частью человеческой деятельности. Технологии спутникового координатно-временного обеспечения используются в различных технических системах, быту, науке и образовании, в экономике и т.д.

В последнее время актуальными стали задачи создания бортовых систем навигации. Это связано с тем, что перспективная система спутниковой навигации должна решать проблему глобального координатно-временного обеспечения, а так же обеспечивать бортовой комплекс управления в любой момент времени возможностью определять три пространственно-временные координаты, вектор скорости и точное время. Использование сигналов спутниковых радионавигационных систем ГЛОНАСС (Россия), GPS (США) открывает широкие возможности построения бортовых систем навигации космических аппаратов. Это определяет актуальность задачи разработки надежных методов построения бортовых навигационных алгоритмов для широкого класса космических аппаратов.

Развитие спутниковых радионавигационных систем открывает новые возможности и ставит новые задачи в математической физике и вычислительной математике. В этих направлениях были достигнуты определенные успехи. В настоящее время полностью развернуты спутниковые навигационные системы GPS, ГЛОНАСС, ежегодно запускаются десятки космических аппаратов, работающих по сигналам навигационных систем. Однако технологию определения орбиты по беззапросным межспутниковым измерениям нельзя считать полностью отработанной. В современных условиях актуальной является проблема снижения затрат на баллистико-навигационное обеспечение полета космического аппарата, постоянный рост требований к точностным характеристикам систем спутниковой навигации.

В настоящее время существует ряд проблем, связанных с автономными системами спутниковой навигации [2, 28, 32, 35, 45, 46, 55, 59, 79, 80, 81]. Во-

первых, для получения высоких точностных характеристик необходимо усложнять алгоритмы обработки и фильтрации одномоментных навигационных определений [59, 60, 63, 65]. Во-вторых, мы сталкиваемся со значительными временными и вычислительными затратами, связанными с построением устойчивых алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, в условиях ограничения по времени и затратам памяти. В свою очередь, повышение точности невозможно без обеспечения универсальности расчетных методик. Все это требует разработки новых высокоэффективных численных алгоритмов.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема разработки надежных и высокоточных методов построения бортовых навигационных алгоритмов для решения навигационной задачи, а именно, определения параметров движения центра масс (ПДЦМ) космического аппарата (КА). Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы путем построения комбинированного вейвлет-фильтра на базе сплайновых вейвлетов и фильтра Калмана.

Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.

Современная основа вейвлет-анализа была заложена в работах И. Добеши [25], К. Чуй [78], С. Малла [44], И.Я. Новикова [52,53], однако финитные сплайновые вейвлеты изучены недостаточно. Классическая задача метода динамической фильтрации была сформулирована Р.Э. Калманом. Далее это направление развивалось в работах К. Браммера [17], Г. Зиффлинга [17], И.Н. Синицына [69].

В настоящее время существует много различных методов навигации КА. По способу математической обработки поступающей навигационной информации разделяются на детерминированные и статистические. Последние, в свою очередь, делятся на методы обработки полной выборки измерений (статические) и методы обработки выборки нарастающего объема (динамические методы). Главный недостаток детерминированных методов навигации заключается в их относительно низкой точности, поскольку неизбежные случайные погрешности

измерений приводят к соизмеримым ошибкам определения параметров движения КА. Данный подход применим в случаях, когда требования со стороны потребителя навигационной информации невелики.

Из числа методов, основанных на статистической обработке навигационных измерений, в данной диссертационной работе рассматриваются задачи динамической фильтрации. Это направление представляет собой большую группу методов, основанных на обработке одномоментных навигационных измерений. Этот подход является исторически первым и получившим широкое распространение. Данный подход освещался в работах P.E. Калмана и многих других ученых [10, 17, 69], и имеет несколько существенных недостатков. Во-первых, алгоритм динамической фильтрации содержит операцию обращения матрицы. Элементы этой матрицы с течением времени уменьшаются и становятся соизмеримыми с ошибками счета цифровой вычислительной машины. Во-вторых, в основе построения динамического фильтра положено предположение о том, что уравнения движения и измерений являются линейными. В действительности допущение о линейности уравнений справедливо тогда, когда истинная орбита незначительно отличается от опорной.

Для разрешения данного недостатка используется локальная линеализация, учитывающая физическую специфику задачи.

Существующие методы, основанные на статистической обработке, работают эффективно тогда, когда спектр ошибок сигнала соответствует случайному сигналу, распределенному по нормальному закону, с нулевой корреляцией. Реальный спектр ошибок отличается от этой желаемой модели. Он содержит и систематические, и коррелированные ошибки, а так же аномальные погрешности, которые не соответствуют никакому закону. Возникает задача предфильтрации полученного сигнала. При этом классический метод наименьших квадратов не гарантирует получение высокоточной оценки параметров в заданный момент времени. Поэтому необходима разработка методов предфильтрации более точно учитывающих локальную информацию об объекте в данный момент времени.

Основой математического аппарата этой задачи могут стать вейвлет-функции [15, 16, 25, 78], сочетающие в себе свойства ортогональности, финитности, гладкости и возможности эффективной численной реализации. Однако для большинства уже изученных вейвлет-систем недостаточно разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, требования к которым являются весьма жесткими с учетом производительности аппаратуры на борту КА. Такие алгоритмы существуют для полиномиальных и кусочно-полиномиальных функций, но для известных вейвлет-систем требования кусочной полиномиальности приводят к потере финитности. Поэтому целесообразным представляется построение кусочно-полиномиальных вейвлет-систем, обладающих всеми указанными выше свойствами и разработка для них вычислительных алгоритмов.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема разработки надежных и точных методов построения бортовых навигационных алгоритмов для решения навигационной задачи, а именно, определения параметров движения центра масс (ПДЦМ) космического аппарата. Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы путем построения комбинированного вейвлет-фильтра на базе дискретных финитных кусочно-полиномиальных вейвлетов и фильтра Калмана.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка алгоритма комбинированного вейвлет-фильтра одномоментных навигационных определений для получения ПДЦМ КА требуемой точности с использованием имитационной модели движения КА, а также разработка, обоснование и тестирование численных методов и алгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в виде комплекса программ на языке высокого уровня С++.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следующие задачи:

1) Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов построения вейвлет-функций на базе полиномиальных сплайнов дефекта 1 произвольной степени.

2) Создание, разработка и оценка эффективности алгоритма комбинированного вейвлет-фильтра на базе построенных вейвлет-функций для определения ПДЦМ КА.

3) Построение имитационной модели процесса движения космического аппарата на орбите для обоснования и тестирования предлагаемого комбинированного вейвлет-фильтра.

4) Создание комплекса программ для моделирования процессов получения ПДЦМ КА и проведение численных экспериментов для определения ПДЦМ КА.

5) Выполнено полунатурное моделирование: обработка векторов ПДЦМ из информации оперативного контроля (ИОК) и телеметрической информации (ТМИ) КА Ресурс-ДК.

Методы исследования. Работа выполнена на основе методов теории движения КА на орбите, математического моделирования, математической статистики, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна.

1) Разработан и исследован новый комбинированный вейвлет-фильтр, определены перспективы его практического использования.

2) Доказаны теоремы об оценке погрешности вейвлетной предфильтрации.

3) Построена новая система полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов на конечном отрезке.

4) Разработаны методы быстрого дискретного вейвлет-преобразования в пространстве сплайновых вейвлетов и обоснована их вычислительная эффективность.

5) Разработана система компьютерного и имитационного моделирования ПДЦМ КА, комплекс программ, реализующий алгоритмы быстрого дискретного вейвлет-преобразования.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Комбинированный вейвлет-фильтр - фильтр Калмана.

2. Теоремы об оценке погрешности вейвлетной пред фильтрации.

3. Система полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов на конечном отрезке.

4. Быстрые алгоритмы в пространстве полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов.

5. Результаты имитационного моделирования движения КА на орбите. Совпадение результатов вычислительного эксперимента, полунатурного эксперимента с теоретическими выводами и предположениями.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и корректностью применения математических методов получения основных результатов. Достоверность результатов подтверждается вычислительным и полунатурным экспериментом.

Теоретическая и практическая значимость. Разработан комбинированный вейвлет-фильтр, и построена система сплайновых вейвлетов, которые могут быть использованы для решения широкого класса задач математического и численного моделирования. Разработанные и реализованные численные методы и алгоритмы быстрого дискретного вейвлет-преобразования могут найти применение в различных программах и программных комплексах.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 16-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Крым - Евпатория, 3-10 июля 2011 г.), Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники»(П Козловские чтения) (Самара, 14-16 сентября 2011 г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций» (Воронеж, 26 января-1 февраля 2011 г.), Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (Украина - Одесса, 19-30 марта 2013 г.), Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 11-13 сентября 2013 г.), Международной

научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития» (Украина - Одесса, 1-12 октября 2013 г.).

Личный вклад автора. Постановка задачи осуществлялась совместно диссертантом и научным руководителем профессором Блатовым И.А. Доказательство теорем и утверждений, разработка моделей, комбинированного вейвлет-фильтра - фильтра Калмана и его компьютерное исследование, анализ полученных результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований источников. Она содержит 130 страниц и 30 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика современного состояния проблемы решения задачи навигации КА и используемых при этом методов, также обоснована актуальность темы диссертации. Приводится аннотация работы.

В первой главе ставится задача навигации КА. Строится модель определения орбиты с воспроизведением и фильтрацией результатов одномоментных навигационных определений. В п.1 описываются исходные данные для модели движения. В п.2 приводится блок-схема и структура модели определения параметров орбиты. Реализованы численные алгоритмы движения КА для проведения вычислительного эксперимента.

Обработка навигационных измерений и определение ПДЦМ КА производятся на заранее выбранном интервале времени. К параметрам движения, полученным после обработки и выдаваемым потребителям в бортовом комплексе управления, и предъявляются требования по точностным характеристикам.

Формируются начальные условия (НУ) навигационных КА (НКА) и КА-потребителя (КАП). Вычисляются возмущенное (уточняемое) значение вектора

определяемых параметров КАП на текущий момент времени (¿и&и'Уи'ги' ^хи> ^Уи> У2и) , эталонные значения ПДЦМ НКА (¿ы(хы> Ул/< Уум, Угм) , геометрическая дальность [(хи — хм)2 +

(.Уи ~ Ум)2 + (2и ~ Яы)2]1^2 • Имитационные значения измерений псевдодальности и псевдоскорости определяются формулами (1), (2):

Д- = Д + 8Ф - 8Ф{ + АИ, (1)

% = Д + 8Р- + АЬ, (2)

где Д и [)( - геометрические дальность и радиальная скорость между КА-потребителем и НКА с системным номером 1, 8Ф и - эталонные смещения фазы и частоты генератора КАП относительно системного времени ГНСС, 5Ф,- и - случайные некомпенсированные ошибки фазы и частоты генератора /-го НКА, ДО и ДО - случайные ошибки измерения псевдодальности и псевдоскорости.

Вычисляются коэффициенты условного линейного уравнения относительно

поправок к вектору определяемых параметров для измерения псевдодальности.

Это уравнение имеет вид:

дО дБ дВ дИ дИ ЭО

-—Ахи + -—Д уи + —Аги + ——АУхи + -ттг—АУуи + —-АУгц + дхи дуи дги дУхи дУуи дУги

дй д£>

■АФ + —АР = ДО (3)

дФ дР

Вычисляются коэффициенты условного линейного уравнения относительно поправок к вектору определяемых параметров для измерения радиальной псевдоскорости. Это уравнение имеет вид:

дЬ дЬ дЬ дЬ дЬ дЬ

дхи дуи и дги и дУхи и дУуи дУги

дЬ дЬ ■ДФ + — АР = АВ (4)

дФ дР

Для определения поправок к уточняемому вектору определяемых параметров формируется вектор правых частей и матрица системы нормальных уравнений по вычисленным коэффициентам. Так как ковариационная матрица

одномоментных беззапросных измерений псевдодальности и радиальной псевдоскорости по допущению является диагональной, эти операции выполняются по рекуррентным формулам метода наименьших квадратов для некоррелированных неравноточных измерений (координаты вектора положения и координаты вектора скорости являются неравноточными):

Ат+1 ~ Ащ + Ст+гС-т+г/Мт < = 0'

Вт+1 = Вт + > = 0,

где А - матрица, В - вектор свободных членов системы нормальных уравнений, т - текущий номер измерения, Ст - вектор-строка коэффициентов {дВ/д(}и) или (дЬ/д(2и) уравнений (3) или (4), соответственно, Дг - правая часть уравнений (3) или (4), м/т - весовой коэффициент измерения, задаваемый в исходных данных.

Вычисляется вектор поправок для уточняемого вектора определяемых параметров 8(2и = А~ХВ . Производится уточняющее суммирование текущего расчетного значения вектора определяемых параметров и вектора поправок Шк = Шк-1+80ик.

При обработке сигналов, изображений в вычислительных алгоритмах чаще *

всего приходится иметь дело с дискретно заданной информацией, т.е. с функциями, заданными на сетке. Для их обработки нужен дискретный аппарат.

Вторая глава посвящена дискретному вейвлет-базису. В п.З излагаются некоторые необходимые для дальнейшего факты из теории сплайнов и строятся полуортогональные дискретные сплайновые вейвлеты на конечном отрезке. В п.4 рассматриваются и доказываются аппроксимационные свойства функций с ограниченной и переменной гладкостью.

Если функция f{x) отлична от нуля лишь на некотором компактном множестве, то она называется финитной.

Построенные сплайновые вейвлеты являются полуортогональными в том смысле, что скалярные произведения разноуровневых вейвлетов, а также одноуровневых вейвлетов, носители которых не пересекаются, равны нулю.

Пусть [а, Ь] - произвольный отрезок, т - натуральное число и п0 - такое целое число, что 2П° < 2т — 1 < 2По+1 . Рассмотрим семейство

Д = {Дп,п = щ,п0 + 1,...} разбиений отрезка [а, Ь]Ап\а = х^ < х" < ••■ < х%п = Ъ с постоянным шагом к = кп = (Ь — а)/2п . На каждом из разбиений Дп рассмотрим пространство сплайнов степени т — 1 дефекта 1 Ьп = 5(ДП, т —1,1). Тогда для каждого к>щ пространство Ьк = 5(Дк, тп — 1,1) можно представить в виде прямой суммы

ь* = ч © ^по-ы © игПо+2 ©... © уук,

где через У/к обозначено ортогональное дополнение пространства до

пространства Ьк. Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в 1Пй и всех базисов в пространствах 1Уп,п0 + 1 < п < к.

Вначале построим базис в ортогональном дополнении Шп пространства 1п-\ до пространства Ьп . Зафиксируем п > п0 + 1. В случае необходимости будем считать, что каждое из разбиений Дп продолжено с тем же шагом на всю числовую ось узлами х", — оо < £ < оо. Нормализованные В-сплайны на разбиении Дп будем обозначать Л/гп_1; л.

Зафиксируем некоторое целое I > 0 такое, что I + 2т — 1 < 2П_1 , т.е. отрезок Целиком содержится в [а,Ь]. Будем искать функцию

ф1>п (я) еШп в виде

И+Зт—2

Ф^пМ = ^ ¿ = 0,1,...,2п-1-2т+1. (5)

;=21

Для того чтобы тр1П е И^, достаточно потребовать выполнения условий

0/>/,п' = 0, к = I - т + 1,1 - т + 2,..., I + 2т - 2. (6)

поскольку остальные условия ортогональности выполняются автоматически в силу дизъюнктности носителей.

Подставляя представление (5) в (6), получим однородную систему 3т — 2

уравнений с Зт — 1 неизвестными, 21+Зш-2

^ О/ ■ (Лг-1,У,П' ^т-1,к,п-1) = од = г - т + 1,1 - тп + 2,..., г + 2т - 2 (7)

]=21

которая всегда имеет нетривиальное решение. Находя это нетривиальное решение, получаем искомый набор коэффициентов и функцию 1/>1>п(х) в виде (5).

Таким образом, мы построили совокупность полуортогональных линейно независимых вейвлетов [гр1п (я:)}, I = 0,1,... ,2п~1 — 2т + 1. Однако размерность ортогонального дополнения И^ равна 2П-1, т.е. до базиса И^ нам не хватает ровно 2(т—1) функций. Построим недостающие вейвлет-функции. Для этого рассмотрим функции ^¿|П(л:) при — 2т + 2 < / < 2П-1 — 1 на расширенном разбиении Дп.

Первую группу из т — 1 недостающих вейвлетов будем искать в виде

—те

= О) - ^ О/ ■ Ф],п(-Х)> - т + 1 < I < -1 (8) ;'=—2т+2

из условий

и (*), = 0, к — 772 + 1, 771 + 2, ..., -1, (9)

где скалярное произведение понимается в смысле Ь2\а, Ь].

Подставляя (8) в (9), получим СЛАУ

—то

^ О/ ■ ЬР],п. Мт-1,к,п-1) = (^.^-и,»-!), к = -т + 1,..., -1 (10)

;'=-2т+2

для определения . Матрица системы (10) невырождена, так как в противном случае существовало бы нетривиальное решение соответствующей однородной системы, что означало бы, что функция Т,у=-2т+2 а] ' является вейвлет-

функцией на [а, Ь] с носителем [хо'^гт-г]* что невозможно в силу доказанной в работе теоремы. Решая систему (10), получаем, что функция (8) является искомой вейвлет-функцией, так как ортогональность к В-сплайнам при к > 0

имеет место в силу ортогональности им всех вейвлетов из линейной комбинации (8), а при — т + 1<к<—1-в силу условий (9).

Тем самым мы построили совокупность т — 1 вейвлет-функций (8). Их линейная независимость с ранее построенными функциями вытекает из вида (8) и доказанного следствия.

Вторую группу из т — 1 недостающих вейвлетов будем искать в виде

2п~1—1

Й.п(*) = - ^ «У 2П_1 - 2т + 2 < / < 2П_1 - т, (11)

у'=2п_1—т+1

из условий

№.п^т-и.п-1) = к = 2П-1 -т + 1,271-1 - т + 2,..., 2П_1 - 1, (12) Подставляя (11) в (12), получим СЛАУ 2"-1—1

у'=2п_1—т+1

£ = 2«-1 -т + 1,2П-1 - т + 2,..., г71"1 - 1. (13)

для определения . Решая систему (13), получаем, что функция (11) является искомой вейвлет-функцией. Тем самым мы построили совокупность т — 1 вейвлет-функций (13). Вместе с функциями (5) и (8) они образуют искомый базис в Шп, если 2П-1 > 2т - 1.

В качестве базиса в 1По выберем совокупность «усеченных» В-сплайнов

{ffm-u.no, -т + 1 < к < 2*0 - 1} (14)

Итак, совокупность функций (14) и (5), (8), (11) при п0 + 1 < п < к образует искомый вейвлет-базис в пространстве Ьп.

На рисунках 1-3 представлены графики базовых вейвлетов.

Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3

Линейный вейвлет, Параболический вейвлет, Кубический вейвлет, т - 1 = 1 т — 1 = 2 т - 1 = 3

Все указанные построения переносятся на функции дискретного аргумента следующим образом. Зафиксируем произвольные натуральные т > 2, к > 2 ■

т— 1. Рассмотрим на отрезке некоторую квадратурную формулу

численного интегрирования функций одной переменной, точную для всех многочленов степени 2т — 2

гк

х1 +1 5

| = ■/(*;;)+Д.

хк 7=1

На каждом отрезке с Дк,0 < ¿' < 2к — 1 введем дополнительные узлы

< у < я, совпадающие с узлами данной квадратурной формулы на этом отрезке. Пусть Дк - разбиение отрезка [а,Ь], множество узлов которого состоит из узлов Хц, 0 < / < 2к — 1 . Рассмотрим пространство сеточных функций к скалярное произведение в котором введем по формуле

2*-1 5

{Г,9)= ^^-ГЫ-аЫ. (15)

/=0 ;'=1

В пространстве ¿2)к[Дд;] рассмотрим пространство 5(Дк,т — 1Д) всех сеточных функций, каждая из которых в узлах Дк совпадает с некоторым сплайном из 5(Дк,тп — 1Д). Поскольку квадратурная формула (15) точна для функций из ^(Дд., т — 1,1), то сеточные функции, совпадающие с функциями ^/.п' Фип > построенными ранее, будут образовывать полуортогональный базис пространства 5(Дк,т — 1,1) . Систему этих функций назовем системой полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов в пространстве ¿2к[Дк] и, чтобы избежать дополнительных индексов, сохраним за ними прежние обозначения.

В Главе 3 (п.5) строятся алгоритмы прямого и обратного быстрого дискретного вейвлет-преобразования дня построенной системы функций.

В приложениях важно уметь решать две следующие задачи.

Задача 1. По заданному набору коэффициентов

к-п0

{¿0;,-т + 1 < ; < 2П° - 1} У У [сц,-т + 1 < у < 2п^[~1 - т} (16)

¿=1

восстановить все значения , 0 < г < 2к — 1, 1 < у < 5 функции {£/} € 5(Дл,т - 1,1), если

210-1 к 72-0 2"0+'-1-т

/= ^ ¿¿О; ■ Ф;,п0 + ^ ^ С0 -^У,п0+1 (17)

У=-т+1 ¿=1 у=—т+1

Задача 2. По заданной функции / = 0 < I < 2к — 1, 1 < у < я (17) найти все ее коэффициенты разложения (16).

Решение задачи 1 называется обратным вейвлет-преобразованием, а решение задачи 2 - прямым вейвлет-преобразованием.

Алгоритм решения задачи 1 имеет следующий вид:

1. Полагаем п = щ.

2. Находим числа йп+1_п0 г, — т + 1 < г < 2п+1 — 1 по формулам

^П+1 — По,1 ^П—Под ^П-ПоД>

^ сп_п0д • ач, —т + 1 < у < Зт — 4,

^ Сп-под ■ац,3т-3<]<2п-4т + 3

сп-п0,У »

£ сп_п0, ■ аЦш 2п — 4т + 4 < у < 2П — 1,

^71-По,У

^П-П0,( ' А/ ■ ¿Етах

3. Полагаем п = п + 1. Если п < к, переходим к шагу 2.

4. Для всех узлов Хц & Ак вычисляем значения функции / по формулам 1 2к-1

/¿7 =/(*(/) = ^ ¿к-по*' ФкАхц)-

5=-т+1

Алгоритм решения задачи 2 имеет следующий вид:

1. Вычисляем все значения = ф^ (*)), —т + 1 < I < 2к — 1.

2. Полагаем п = к — 1.

3. Вычисляем значения din,—m + 1 < i < 2п — 1 , по формулам

2 i+m

di,n = (.f><Pi,n(.X)) = ^ Pij 'dj,n+1,

j=2i

4. Если n = п0, переходим к шагу 6.

5. Вычисляем значения ci n по формулам

2i+3m-2

Ci,n = (/, *Pi,n О)) = Yj ' dí'n+1' 0 ~ 1 ~ 2П_1 ~2m + 1>

j=2i

2n—1

Ci,n = (/^uW) = ^ «y " d;,n+i, 2"-1 -2m + 2<i< 2n_1 - m,

j=2i 2i+3m—2

Ci,n = (/>feO)) = <Zij ■ dj.n+1 ,-m + l<i<-l,

j=-m+1

6. Полагаем n = n — 1. Если n > n0, переходим к шагу 3.

Глава 4 посвящена комбинированному вейвлет-фильтру - фильтру Калмана. В п.6 сформулированы теоремы о вейвлетной предфильтрации, об эффективности комбинированного вейвлет-фильтра.

Будем считать, что базисные сплайны и вейвлеты и ipj п нормированы на единицу в L2[a,b] . Пусть v G (n0,k]t Pv:L2[a,b]S(Av,m — 1,1) -ортогональный в L2[a,b] проектор на S(Av,m — 1,1) ■ Пусть Afl(fe(X) - В-сплайн первой степени на разбиении Afe, нормированный на единицу в С[а, Ь].

Теорема 1. Для любого v G (п0, к], i 6 [—1,2к — 1] справедлива оценка

Теорема 2. При вейвлетной предфильтрации в пространстве S(Av,m — 1,1) коэффициент погашения импульсной помехи оценивается числом С2v~k, где С - константа, независящая от v, к.

В п.7 изложен алгоритм комбинированного вейвлет-фильтра. Краткое описание алгоритма комбинированного вейвлет-фильтра приводится ниже.

Задается длина промежутка сглаживания. Затем в качестве функции f последовательно выбираются составляющие

вектора ПДЦМ ц^) и строятся проекции каждой компоненты на пространство дискретных вейвлетов т —1,1) путем выполнения прямого быстрого

дискретного вейвлет-преобразования. По заданным значениям / = Д,- находятся коэффициенты (16) разложения (17) этой функции по базисным сплайнам и вейвлетам 0Мо и

Далее получаем сглаженную кривую. Решается обратная задача:

восстанавливаются значения функций (17) по коэффициентам разложения

у-п0

{¿оу, -т + 1<]<2п»-1)УУ ¡Су, -т + 1 < < 2По+1'-1 - т],

¿=1

у е (п0, к]

Дальнейшая обработка полученного вектора ПДЦМ проводится методом динамической фильтрации (фильтром Калмана). При этом предполагается, что шум не сосредоточен в какой-либо части вейвлет-спектра сигнала, а является «размазанным» по всему спектру. Вейвлет-спектр рассматривается как сигнал, содержащий шум и подлежащий сглаживанию с помощью фильтра Калмана.

Таким образом, вейвлет-фильтрация (предварительная обработка) сигнала с помощью вейвлет-фильтра на основе дискретных финитных кусочно-полиномиальных полуортогональных сплайновых вейвлетов позволяет избавиться от сильнокоррелированных и аномальных ошибок, понизить уровень случайных ошибок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яковлев, Евгений Кириллович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев, К .Б. Управление космическими летательными аппаратами / Алексеев К .Б., Бебенин Г. Г. - М. : Машиностроение, 1974.-340 с.

2. Аншаков, Г.П. Автономная навигация космических аппаратов / Аншаков Г.П. - Самара: Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ-Прогресс», 2011. - 486 с.

3. Аншаков, Г. П. Бортовое навигационное обеспечение космического аппарата дистанционного зондирования Земли «Ресурс-ДК» / Аншаков Г. П.,Мантуров А. И., Мостовой Я. А., Рублев В. И., Усталов Ю. М // Сб. трудов XIII Санкт-Петербурской конференции по интегрированным навигационным системам. - 2006. - 187-193 с.

4. Аншаков, Г. П. Методы и средства управления в высокоинформативном наблюдении Земли из космоса / Аншаков Г. П., Макаров В. П., Мантуров А. И., Мостовой Я. А.// Сб. трудов XIV Санкт-Петербурской конференции по интегрированным навигационным системам. -2007.-160-165 с.

5. Анучин, О. Н. Бортовые системы навигации и ориентации искусственных спутников Земли / Анучин О. Н., Комарова И. Э., Порфирьев Л. Ф. - Спб.: ГНП РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004. - 326 с.

6. Ахметов, Р. Н. Некоторые результаты анализа эксплуатации системы спутниковой навигации на КА «Ресурс-ДК» / Ахметов, Р. Н., Мантуров А. И., Мостовой Я. А., Рублев В. И., Усталов Ю. М., Дзесов Р. А // Сб. трудов XIII Санкт-Петербурской конференции по интегрированным навигационным системам. - 2005. - 318-323 с.

7. Баженов, В. И. Моделирование основных характеристик и процессов функционирования космических аппаратов / Баженов В. И., Осин М. И, Захаров Ю.В. - М.: Машиностроение, 1983.

8. Бакитько, Р.В. Использование весовых функций для предварительной обработки шумоподобных сигналов при наличии сильных интерференционных помех / Бакитько Р.В., Полыциков В.П., Шилов А.И., Хацкелевич Я.Д., Болденков E.H. - М.: Радиотехника. - 2006 - №6. - 13-17 с.

9. Бакланов, А. И. Системы наблюдения и мониторинга / Бакланов

A. И. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 234 с.

10. Балакришнан, А. В.Теория фильтрации Калмана / Балакришнан А.

B.; пер. с англ. С. М. Зуева; под ред. А. А. Новикова. - Москва: Мир, 1985. - 166 с.

11. Балк, М. Б. Элементы динамики космического полёта / М. Б. Балк. -М.: Наука, 1965.-340 с.

12. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. -М.: Наука, 1987.

13. Белецкий, В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс / Белецкий В. В. - М.: Наука, 1965. - 416 с.

14. Березин, И. С. Методы вычислений / Березин И. С., Жидков Н. П. -М.: Изд-во физ-мат. литературы, 1962. - Т.1. - 464 с.

15. Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории / Блаттер К. М.: Техносфера, 2004. - 280 с.

16. Бор, К. Д. Практическое руководство по сплайнам / Бор К. Д. - М.: Радио и связь, 1985.

17. Браммер, К., Фильтр Калмана-Бьюси: Детерминированное наблюдение и стохастическая фильтрация / К. Браммер, Г. Зиффлинг; пер. с нем. В. Б. Колмановского. М.: Наука, 1982. - 196 с.

18. Брандин, В.Н. Основы экспериментальной космической баллистики / Брандин В.Н., Васильев A.A., Худяков С.Т. - М.: Машиностроение, 1974. - 340 с.

19. Воробьев, В.И. Теория и практика вейвлет-преобразований / Воробьев В.И., Грибунин В.Г. - СПб.: Изд-во ВУСД996.

20. Гарбук, С. В. Космические системы дистанционного зондирования / Гарбук С. В., Гершензон В. Е. - М.: Изд-во А и Б, 1997. - 296 с.

21. Гальченко, В.Я. Подавление шумов в изображениях с помощью комбинированного вейвлет-фильтра и фильтра Калмана / Гальченко В.Я., Гринь Н.Ю // Информационные технологии. - 2005. - № 16. -59-63 с.

22. ГОСТ 25645.101-83. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для проектных баллистических расчетов искусственных спутников Земли. - М.: Изд-во стандартов, 1984. - 168 с.

23. ГОСТ Р 7.0.11-2011 Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Диссертация и автореферат диссертации. Структура и правила оформления. - М.: Стандартинформ, 2012. - 11 с.

24. Демидович, Б. П. Численные методы анализа / Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. - М.: Наука, 1967. - 368 с.

25. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / Добеши И. - Ижевск. -НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

26. Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике / Дьяконов В.П. -М.: Солон-Р, 2002.

27. Дронг, В. И. Курс теоретической механики / Дронг В. И., ДубининВ. В., ИльинМ. М. и др.; под общ. ред. К.С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 736 с.

28. Журавлев, С. Г. Движение искусственных спутников Земли. «Исследования космического пространства»: Итоги науки и техники / Журавлев С. Г., Емельянов Н. В., Носков Б. Н., Поляхова Е. Н., Уральская В. С. -М.: ВИНИТИ, 1980. Т.Н. - 160 с.

29. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

30. Занин, К. А. Формирование требований к динамике космических аппаратов дистанционного зондирования Земли / Занин К. А., Хайлов M. H // Полет. - 2006. - №5. - 32-37 с.

31. Злобин, В. К. Обработка аэрокосмических изображений / Злобин В. К.,, Еремеев В. В. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 288 с.

32. Кирилин, А. Н. Основные результаты и планы ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс» по созданию космических средств ДЗЗ социально-экономического назначения / А. Н. Кирилин, Р. Н. Ахметов, Г. П. Аншаков // Вопросы электромеханики. Труды НПП ВНИИЭМ, 2005. - Т.105. - 40-45 с.

33. Козлов, В. И. Системы автономного управления летательными аппаратами / В. И. Козлов. - М.: Машиностроение, 1976. - 216 с.

34. Козлов, Д.И. Управление космическими аппаратами зондирования Земли: Компьютерные технологии / Козлов Д.И., Аншаков Г. П., Мостовой Я. А., Соллогуб А. В. М.: Машиностроение, 1995. - 368 с.

35. Козлов, Д.И. Конструирование автоматических космических аппаратов/ Козлов Д.И.; под ред. чл.-корр. РАН. Козлова Д.И. - М.: Машиностроение, 1996.^148 с. ~~

36. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / Колмогоров А.Н., Фомин C.B.- М.: Наука, 1981. 544 с.

37. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Корн Г., КорнТ. - М.: Наука, 1965. - 720 с.

38. Космический комплекс «Ресурс-ДК1»: Справочные материалы / Под ред. д.т.н. Ю. Н. Носенко. - М.: Маджерик, 2006. - 68 с.

39. Кравченко, В.Ф. Вейвлет-системы и их применение в обработке сигналов / Кравченко В.Ф., Рвачев В.А // Зарубежная радиоэлектроника. - 1996. - №4. - С. 3-20.

40. Красовский, H. Н. Теория управления движением. Линейные системы / Красовский H. H. - М.: Наука, 1965. - 476 с.

41. Лукьященко, В. И. Малые космические аппараты / Лукьященко В. И // Полёт. - 2004. - №5. - С. 57-60.

42. Лурье, И. К. Теория и практика цифровой обработки изображений: Дистанционное зондирование и географические информационные системы / Лурье И. К., Косиков А. Г. - М.: Научный мир, 2003. - 168 с.

43. Лысенко, И. В. Синтез алгоритмов оценивания характеристик летательных аппаратов при отсутствии надёжной информации для применения классических методов / Лысенко И. В., Бетанов В. В // Полёт. - 2010. - №10. - С. 34-36.

44. Малла, С. Вейвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ / Малла С. -М.: Мир. 2005.-671 с.

45. Малышев, В.В. Спутниковые системы мониторинга / Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Бобронников В.Т., Нестеренко О.П., Федоров A.B. - М.: Изд-во МАИ. 2000.

46. Малышев, В.В. Введение в спутниковую навигацию: учебное пособие / Малышев В.В., Куршин В.В., Ревнивых С.Г. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2005. - 192 с.

47. Малышев, В. В. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов / Малышев В. В., Красильщиков М. Н., Карлов В. И. -М.: Машиностроение, 1986. - 312 с.

48. Мантуров, А. И. Механика управления движением космических аппаратов: учебное пособие / Мантуров А. И. - Самарский государственный аэрокосмический университет, Самара, - 2003. - 62 с.

49. Маркеев, А. П. Теоретическая механика: учебное пособие для мехмат. спец. ун-тов / Маркеев А. П. - М.: Наука, 1990. - 414 с.

50. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики. Учебное пособие / Марчук Г.И. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит. - 1986. 605 с.

51. Микрин, Е. А. Бортовые комплексы управления космическими аппаратами и проектирование их программного обеспечение / Микрин Е. А. -МГТУ им. Баумана, 2003. - 300 с.

52. Новиков, И.Я. Теория всплесков / Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2005. - 616 с.

53. Новиков, И.Я. Основы теории всплесков Новиков И.Я., Стечкин С.Б. // Успехи математических наук. - 1995. - Т. 53. - №6. - С. 53-125.

54. Одинцов, Б. В. К задаче повышения точности определения ориентации КА ДЗЗ / Одинцов Б. В. // Гироскопия и навигация, 2010. - №2(69). -С. 5-15.

55. Основы теории полета космических аппаратов / Под редакцией Г. С. Нариманова. -М.: Машиностроение, 1972. - 601 с.

56. Официальный сайт Федерального государственного унитарного предприятия «Научное производственное объединение имени С.А. Лавочкина» - www.laspace.ru.

57. Павленко, Л. Я. Дистанционное зондирование Земли из космоса / Павленко Л. Я.// Новости космонавтики. - 2003. - № 4 (229). - С. 33-47.

58. Параметры общего земного эллипсоида и гравитационного поля Земли (Параметры Земли 1990 года) . - М: Ред.-изд. отдел ТС ВС РФ, 1991.-68 с.

59. Перов, А.И. Синтез оптимального алгоритма обработки сигналов в приемнике спутниковой навигации при воздействии гармонической помехи / Перов А.И. // М.: Радиотехника. Радиосистемы, 2005, №7, С.36^12.

60. Перов, А.И. Исследование адаптивных трансверсальных фильтров для приемников спутниковой навигации при воздействии узкополосных помех / Перов А.И., Болденков E.H. // М.: Радиотехника. 2006, №7. С. 98-105.

61. Петрищев, В. Ф. Оптимальное сканирование космическим аппаратом поверхности Земли / Петрищев В. Ф. // - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм, ун-та, 2007. - 96 с.

62. Петухов, А.П. Введение в теорию всплесков / Петухов А.П. - СПб. Изд-во СПбГТУ. - 1996.

63. Поваляев, A.A. Определение относительных координат по радиосигналам системы ГЛОНАСС / Поваляев А. А., Тюбалин В. В., Хвальков А. А. // - Радиотехника. - 1996. - №4. - С. 48-51.

64. Полищук, Г. М. Новая серия космических аппаратов «Аркон» / Полищук Г. М., Пичхадзе К. М., Моишеев А. А., Ефанов В. В., Шостак С. В. // Полёт. -2006. - №11. - С. 3-6.

65. Порфирьев, Л. Ф. Аналитические оценки точности автономных методов определения орбит / Порфирьев Л. Ф., Смирнов В. В., Кузнецов В. И. -М.: Машиностроение, 1987. - 280 с.

66. Разыграев, А. П. Основы управления полётом космических аппаратов / Разыграев А. П. - М.: Машиностроение, 1990. - 480 с.

67. Ревнивых, С.Г. ГЛОНАСС - основа современного координатно-временного и навигационного обеспечения / Ревнивых С.Г., Шилов А.Е. // Космонавтика и ракетостроение, 2007, №3 (48).

68. Рис, У. Г. Основы дистанционного зондирования / Рис У. Г. - М.: Техносфера, 2006. - 336 с.

69. Синицын, И. Н. Фильтры Калмана и Пугачева. Учебное пособие / Синицын И. Н. Изд-во: Логос, Университетская книга. - 2006. 640 с.

70. Сихарулидзе, Ю. Г. Баллистика летательных аппаратов / Сихарулидзе Ю. Г. - М.: Наука, 1982. - 352 с.

71. Скопина, М.А. Теория всплесков / Скопина М.А. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2005. - 616 с.

72. Соллогуб, А. В. Комические аппараты систем зондирования поверхности Земли / Соллогуб А. В., Аншаков Г. П., Данилов В. В. - М.: Машиностроение, 1993. - 368 с.

73. Соловьев, Ю.А. Системы спутниковой навигации / Соловьев Ю.А. - М.: ЭКО - ТРЕНДЗ. - 2000.

74. Соловьев, Г. М. Уравнения движения искусственных спутников Земли / Соловьев Г. М. - М.: НИИ КС, 2007. - 224 с.

75. Ханцеверов, Ф. Р. Моделирование космических систем изучения природных ресурсов Земли / Ханцеверов Ф. Р., Остроухов В. В. - М.: Машиностроение, 1986.-264 с.

76. Харин, Е.Г. Эталонные определения траектории движения летательного аппарата на основе оптимальной комплексной обработки информации инерциальной и спутниковой навигационных систем / Харин Е.Г., Якушев А.Ф., Копелович В.А. // Интегрированные инерциально-спутниковые системы навигации. - СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». - 2004. С. 162181.

77. Хромов, О. Е. Новые информационные технологии измерений и управления КА / Хромов О. Е. // Двойные технологии. - 2007. -№2(39). - С. 67-73.

78. Чуй, К. Введение в вейвлеты / Чуй К. - М.: Мир. - 2001.

79. Шебшаевич, B.C. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / Шебшаевич B.C., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. и др. - М.: Радио и связь, 1982.

80. Шебшаевич, В. С. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / Шебшаевич В. С. и др. - М.: Радио и связь, 1993. - 414 с.

81. Шовенгердт, Р.А. Дистанционное зондирование. Модели и методы обработки изображений / Шовенгердт Р.А. - М.: Техносфера, 2010.-560 с.

82. Шухостанов, В.К. Космическая диагностика техносферы с использованием данных дистанционного зондирования высокого и сверхвысокого разрешения [Электронный ресурс] / Шухостанов В.К., Цыбанов А.Г., Ведешин JI.A. Режим доступа: http://www.credospb.com/ArcReview/ number_34/l 8_Tehnosf.html.

83. Beylkin, G. Fast wavelet transforms and numerical algorithms / Beylkin G„ Coifman R., Rochlin V. // Comm. Pure Appl. Math. - 1991. - Vol. 44. - P. 141183.

84. Blatov, I.A. On estimates of the inverse matrices elements for the Galerkin method for singular integral equation based on the splain wavelets / Blatov I.A. // Proceedings of the International conference on computational mathematics. -Part 2. - Novosibirsk. - 2002. - P. 356-361.

85. Dahmen, W. Adaptive methods for boundary integral equations: Complexity and convergence estimates. Math. Comput / Dahmen W., Harbrecht H. and Schneider R. - 79(259): 1243-1274,2007.

86. Dahmen, W. Compression techniques for boundary integral equation: Asymptotically optimal complexity estimates. SIAM J. Numer. Anal. / Dahmen W., Harbrecht H. and Schneider R. - 43(6): 2251-2271, 2006.

87. Daubechies, I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets / Daubechies I. // Comm. Pure Appl. Math. - 1998. - V. 46. - P. 909-996.

88. Daubechies, I. Ten lectures on wavelets / Daubechies I. - CBMS-NSF. Regional conference series in applied mathematics, SIAM. - 1992.

89. Demko, S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projection / Demko S. // SIAM J. Numer. Anal. - 1997. - 14. -№4. -P. 616-619.

90. Gantumur, T. Computation of singular integral operators in wavelet coordinates / Gantumur T. and Stevenson R. // Computing. - 2006. - P. 77-107.

91. Harbrecht, H. Wavelet matrix compression for boundary integral equations / Harbrecht H., Kahler U. and Schneider R. // Berlin - Heidelberg - New

--York.-2006. '

92. Harbrecht, H. Wavelet based fast solution of boundary integral equations. In N.C. et al., editor, Abstract and applied analysis/ Harbrecht H. and Schneider R. // Proceedings of the international conference. Hanoi, Vietnam. - 2002.

- P. 139-162. River Edge, NJ, 2004. World Scientific.

93. Harrington, R.F. Field computation by moment method / Harrington R.F. - New York: Macmillan. - 1968. - P.240.

94. Mallat, S. Multiresolution approximation and wavelets / Mallat S. // Trans. AMS.- 1989.-315-P. 69-88.

95. Schoneberg, I.J. Contribution to the problem of approximation of equidistant date by analytic functions / Schoneberg I.J. // Quart. Appl. Math. - 1964.

- 4. -P.45^16, 112-141.

96. T. von Petersdorff. Wavelet approximation for first kind integral equations on polygons / T. von Petersdorff, С. Schwab // Number. Math. - 1996. - P. 479-519.

97. Van der Vorst H.A. Bi - CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems / Van der Vorst H.A. - Preprint 633. - Univ. Utrecht. - 1990.

98. Яковлев, E.K. Определение параметров движения центра масс космического аппарата с помощью комбинированного вейвлет фильтра и фильтра Калмана / Яковлев Е.К., Блатов И.А. // Известия Самарского научного центра Российской академии наук - Том 14. №6-1 .С. 212-215.

99. Яковлев, Е.К. Моделирование параметров движения центра масс космического аппарата и методы обработки / Яковлев Е.К., Блатов И.А. // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия, №6 (107). Самара: Самарский Университет. 2013. С.147-152.

100. Яковлев, Е.К. Анализ точности определения параметров на борту КА с одноосной ориентацией / Яковлев Е.К., Рублев В.И., Мунтян Р.Ю. // Тезисы докладов 16-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация». - М.: МАИ-ПРИНТ. - 2011. - С. 75.

101. Яковлев, Е.К. Применение быстрого вейвлет-преобразования к вычислению кратных интегралов в методе Галеркина для сингулярных интегральных уравнений / Яковлев Е.К., Блатов И.А., Старов А.Р. // «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ. -2011.-С. 46.

102. Яковлев, Е.К. Точность определения параметров движения на борту КА / Яковлев Е.К., Рублев В.И. // Материалы II Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники» (II Козловские чтения). - 2011. - С.423-424.

103. Яковлев, Е.К. Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет / Яковлев Е.К. // Сборник научных трудов БХУогИ. Материалы международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2013». - Вып. 1. Т. 11. - Одесса: КУПРИЕНКО. - 2013. С. 114.

104. Яковлев, Е.К. Быстрое вейвлет-преобразование в пространстве дискретных полиномиальных полуортогональных вейвлет / Яковлев Е.К., Блатов И.А. // Сборник научных трудов З'МэгШ. Материалы международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2013». - Вып. 1. Т. 12. -Одесса: КУПРИЕНКО. - 2013. - С. 123.

105. Яковлев, Е.К. Использование комбинированного вейвлет фильтра и фильтра Калмана для определения параметров движения центра масс космического аппарата / Яковлев Е.К., Блатов И.А. // Сборник трудов VI международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий». - Воронеж: ВГУ. - 2013. -С.44-46.