Методы вейвлет-анализа численного решения одномерных задач электродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рогова, Наталья Вячеславовна

• Рогова, Наталья Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рогова, Наталья Вячеславовна

ВВЕДЕНИЕ. ^

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ АНТЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ,

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ.

§1. Классическая модель излучения.

1.1 Численный метод решения задачи электродинамики в тонкопроволочном приближении.

1.2 Результаты численных расчетов.

§2. Антенная задача, как задача о рассеянии электромагнитного поля на сложной ферменной металлоконструкции.

ГЛАВА 2. ПОЛУОРТОГОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНОВЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ

НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ.

§3. Построение и простейшие свойства сплайновых вейвлет на конечном отрезке.

3.1 Элементы теории сплайнов. Определение сплайнов.

3.2 В-сплайны.

3.3 Теоремы К. де Бора о сплайновых аппроксимациях.

3.4 Построение вейвлет-базиса.

3.5 Алгоритм построения вейвлет-базиса и их графики.

§4. Аппроксимационные свойства функций с ограниченной и переменной гладкостью.

4.1 Аппроксимационные свойства на функциях с ограниченной 1-й производной.

4.2 Аппроксимационные свойства на функция переменной гладкости.

ГЛАВА 3. МЕТОД ВЕЙВЛЕТ-ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА. СВОЙСТВА МАТРИЦ.

§5. Оценки элементов прямой и обратной матрицы.

§6. Метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений

Фредгольма.

§7. Оценки элементов LU и (^/^-факторизации.

ГЛАВА 4. РАЗРЕЖЕННЫЕ АППРОКСИМАЦИИ МАТРИЦ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И БЫСТРЫЕ

АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

§8. Прямое и обратное быстрое вейвлет-преобразование.

8.1 Построение дискретных вейвлет-функций.

8.2 Быстрое дискретное вейвлет-преобразование.

§9. Разреженные аппроксимации и предобусловленные градиентные методы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы вейвлет-анализа численного решения одномерных задач электродинамики»

Прогресс современной вычислительной техники дал новый толчок развитию целого ряда разделов математической физики и вычислительной математики в различных областях науки и техники, в частности антенного моделирования. В этой области был достигнут ряд успехов: расширился класс задач, поддающихся расчету, и изменился сам подход к их решению. Однако существует и ряд препятствий, которые возникают при реализации данных методов. В современных условиях актуальной является проблема снижения издержек на разработку, уменьшение объемов экспериментальных работ по настройке изделий, а также постоянный рост требований к техническим характеристикам антенно-фидерных устройств.

В настоящее время существует ряд проблем, связанных с антенно-фидерными устройствами. Во-первых, для получения хороших антенных характеристик необходимо усложнять объект электродинамического анализа, что не позволяет использовать известные классические алгоритмы. Во-вторых, мы сталкиваемся со значительными вычислительными затратами, связанными с построением устойчивых алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, при увеличении антенной конструкции. В свою очередь, повышение точности невозможно без обеспечения универсальности расчетных методик. Все это требует разработки новых высокоэффективных численных методов.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема развития и внедрения эффективных расчетных методик и алгоритмов, решения задач электродинамического анализа теории антенн. Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы на основе метода вейвлет-Галеркина на базе сплайновых вейвлет применительно к интегральным уравнениям Фредгольма первого и второго рода.

Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.

До появления ЭВМ существовало считанное число модельных задач, решаемых классическими математическими методами (метод Галеркина, ч метод механических квадратур и т.д.) основанными на использовании специальных координатных и базисных функций. Относительно данных методов существует множество литературы [11, 28, 29, 36, 37, 43, 53]. В этих случаях решение заключалось в точном или приближенном аналитическом представлении искомых функций. Применение современных ЭВМ добавляет к многообразию подходов решения электродинамических задач широкий класс численных методов, основанных на классических дискретизациях дифференциальных или интегральных моделей. При наличии эффективного алгоритма решение таких задач на ЭВМ является столь же правомерным, что и решение задач известными аналитическими методами.

Из числа методов, основанных на интегральных уравнениях, в данной диссертационной работе рассматриваются задачи относительно осевых источников. Это направление представляет собой большую группу методов, основанных на тонкопроволочном приближении с использованием интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода. Этот подход является исторически первым и получившим широкое распространение. Данный подход освещался в работах Е. Галлена, Р.Ф. Харрингтона, Дж.Х. Ричмонда и многих других ученых [23, 31, 39, 61, 71, 78, 82], и имеет серьезный недостаток связанный с некорректностью задачи по Адамару, хотя отличается простотой алгоритмизации и небольшой потребностью в вычислительных ресурсах в случае простых антенных структур.

Для разрешения данной некорректности в рамках осевого приближения используется регуляризация и рассматривается в работах А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина и других работах [7, 54, 55]. Также разработаны методы, учитывающие физическую специфику задачи, в работах A.JI. Бузова, В.В. Юдина и др. [21 - 27, 60, 61].

Что же касается методов, основанных на дифференциальных уравнениях с граничными условиями [56], то данные подходы не эффективны на антенных задачах из-за построения конечно-разностной схемы в неограниченном пространстве.

Но непосредственное применение метода интегральных уравнений не всегда возможно, т.к. ограничивается объемом памяти и быстродействием современной вычислительной техники. Если рассматривать интегральное уравнение в задачах электродинамики на контуре небольшой длины, то его молено решить любым методом, но что делать если контур, например, имеет вид мачты с большим числом звеньев? Традиционные численные методы приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с заполненными матрицами высоких порядков. Это связано с огромными объемами вычислений, особенно в задачах моделирования двумерных структур (например, параболических антенн).

Для решения таких задач целесообразно использовать вейвлет-системы (они же "волночки", всплески), которые представляют собой ортогональные системы функций, появившиеся сравнительно недавно (в середине 80-х годов), и завоевавшие популярность в связи с рядом преимуществ, которые они имеют для широкого круга задач перед классическими ортогональными системами функций (включая тригонометрические полиномы, анализ Фурье, алгебраические полиномы). Математическая теория вейвлет-систем была создана в работах [18, 20, 32, 57, 62, 67]. Отметим, что И.Я. Новиковым были построены системы финитных ортогональных вейвлет-функций с равномерно ограниченными константами неопределенности [50, 51].

В настоящее время имеется ряд монографий [57, 62, 66, 79], в которых достаточно полно изложены математические основы теории вейвлет, а также их приложения к информационным технологиям, вместе с тем отметим отсутствие доступной русскоязычной литературы по применению вейвлет к вычислительной математике. Многие важные для вычислений темы: квадратурные формулы высокой точности для интегралов от вейвлет-функций, простые в вычислительном плане алгоритмы для вейвлет-систем на конечном отрезке разработаны недостаточно. Имеющиеся работы [8, 41] и ряд других, либо носят ознакомительно-обзорный характер и отсылают читателя к цитированным выше источникам, либо являются теоретико-функциональными исследованиями, весьма далекими от потребностей вычислений. Монографии [30, 57, 66] частично восполняют имеющийся пробел, но их непосредственное использование для математического моделирования и прикладного программирования весьма проблематично.

Вместе с тем несомненные достоинства вейвлет-анализа требуют разработки простых алгоритмов построения вейвлет-систем, адаптированных к конкретным классам прикладных задач, вместе с соответствующим математическим обеспечением: алгоритмами прямого и обратного вейвлет-преобразований, квадратурными формулами, вычислительными методами линейной алгебры.

Особо следует отметить применение вейвлет-систем к численному решению интегральных уравнений. Сочетание финитности и ортогональности вейвлет-функций приводит к тому, что матрицы СЛАУ, возникающие в методах Бубнова-Галеркина, коллокаций и т.п. оказываются псевдоразреженными [13 - 17, 63], т.е., вообще говоря, не имея ни одного нулевого элемента, хорошо аппроксимируются по норме разреженными матрицами. Это обстоятельство отмечалось в работах [62, 64, 65, 69, 72 - 77, 81, 83, 84, 87]. Однако авторы данных работ ограничивались констатацией факта псевдоразреженности, либо разработкой на ее основе быстрых алгоритмов умножения соответствующей матрицы на вектор.

Отметим, что основы общей теории псевдоразреженных матриц (ПРМ) и ее применение к вычислительным методам линейной алгебры были разработаны И.А. Блатовым [13 - 17, 63]. В работах И.А. Блатова показано, что для построения и обоснования эффективных методов решения СЛАУ с ПРМ необходимо помимо оценок элементов самих матриц иметь аналогичные оценки обратных матриц, а также, в зависимости от выбора метода, оценки их треугольных и ортогональных факторизаций. Для некоторых классов матриц эти вопросы изучались в работах А.Г. Баскакова, Т.Д. Азарновой, И.А. Колесникова [1, 2, 9, 10]. Но для матриц, возникающих при применении вейвлет-функций в численном анализе, эти вопросы в настоящее время совершенно не изучены. В связи с этим актуальной является задача разработки численных методов решения интегральных уравнений на основе вейвлет-функций и теории ПРМ.

Цель работы - разработка и исследование вычислительных алгоритмов для систем тонких кругоцилиндрических проводников, сводящихся к решению интегральных уравнений Фредгольма.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе выполнена следующая программа исследований.

1) Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов построения вейвлет-функций на базе полиномиальных сплайнов дефекта 1 произвольной степени.

2) Разработка и оценка трудоемкости алгоритмов быстрого прямого и обратного преобразований для построенных вейвлет.

3) Изучение аппроксимационных свойств сплайновых вейвлет на различных классах функций.

4) Изучение возможностей применения разреженных технологий, в частности оценки элементов прямой и обратной матрицы, и элементов LU и QR факторизации.

5) Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения функции тока и диаграммы направленности (ДН) для системы тонких кругоцилиндрических проводников.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы. Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рогова, Наталья Вячеславовна

Основные результаты диссертационного исследования изложены в публикациях автора [90 - 104].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках диссертационной работы получены следующие научные и научно-прикладные результаты:

1 Метод построения и свойства полуортогональных сплайновых вейвлет на конечном отрезке.

2 Алгоритмы вычислительной алгебры для построенных вейвлет-систем.

3 Теоремы о существовании и сходимости приближенных решений в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода.

4 Теоремы об оценках элементов матриц, обратных матриц, LU и QR-факторизации в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений.

5 Теоремы об аппроксимации матриц в методе вейвлет-Галеркина разреженными матрицами.

6 Алгоритмы расчета и результаты численных экспериментов по определению характеристик тонкопроволочных антенн.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рогова, Наталья Вячеславовна, 2008 год

1. Азарнова Т.В., Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами // Сиб. журн. вычисл. матем. 2000. - Т. 3 - № 4. - С. 323 - 331.

2. Азарнова Т.В. Оценки элементов обратных матриц для одного класса операторов с матрицами специальной структуры // Матем. заметки. -2002. Т. 72. - вып. 1 - С. 3 - 10.

3. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн: Учебник для ВУЗов / Г.А. Ерохин, О.В. Чернышев, Н.Д. Козырев, В.Г. Кочержевский; Под редакцией Г.А. Ерохина. 2-е изд., испр. - М.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 491 с.

4. Аронов В.Ю., Бузова М.А., Петров М.А. Проблема выбора вида интегрального уравнения при решении задач антенной электродинамики // Радиотехника (журнал в журнале). — 2004. — №1. -С. 57-63.

5. Арсенин В.Я. О решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма первого рода методом регуляризации Текст] / В.Я. Арсенин, В.В. Иванов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики -1968. Т. 8, №2. - С. 310-321.

6. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1974.

7. Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Некорректные задачи / Математическая энциклопедия. М.: Радио и связь, 1998. - 221 с.

8. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. - Т.166 - №11 - С. 1145-1170.

9. Баскаков А.Г. О спектральных свойствах некоторых классов линейных операторов // Функ. анал. и его прил. 1995. - Т 29. - № 2. - С.62 - 64.

10. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. - 61:6. -С. 3-26.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 1987.

12. Берк Дж., Левстрин Интерполяционное пространство. М.: Мир. -1969.

13. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложения // Сибирский мат. журнал. 1996. - Т. 37. -№1.-С.36-59.

14. Блатов И.А. Об оценках L/-разложений матриц и их приложениях к методам неполной факторизации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. - Т. 3. - №3. - С. 259 - 276.

15. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем // Воронеж. Изд - во ВГУ.- 1997.-С. 406.

16. Блатов И.А., Пименов А., Юдин В.В. Применение сплайновых вейвлет-функций к численному моделированию тонкопроволочных антенн // Инфотелекоммуникационные технологии. 2003. - Т. 1. -№4.-С. 29-32.

17. Блатов И.А., Бузова М.А., Юдин В.В. Регуляризация уравнений Фредгольма первого рода на основе априорного ограничения вариации искомой функции в задачах антенной электродинамики // Вестник СОНИИР. 2004. - № 2(6). - С. 19 - 26.

18. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера. 2004. -С. 280.

19. Бор К. Де Практическое руководство по сплайнам. М,: Радио и связь. 1985.

20. Бузов A.J1., Филлипов Д.В., Юдин В.В. Применение метода Галеркина для решения сингулярного интегрального уравнения тонкого вибратора // Труды НИИР: Сб. статей. М., 2000. - С. 64 - 66.

21. Бузов А.Л., Сподобаев Ю.М., Филиппов Д.В., Юдин В.В. Электродинамические методы анализа проволочных антенн. М.: Радио и связь. - 2000. - С. 153.

22. Бузов АЛ., Сподобаев Ю.М., Юдин В.В. Электромагнитные поля и волны. Термины и определения: Справочное пособие Самара.: СОНИИР. - 1999. - С.70.

23. Бузов А.Л., Бузова М.А. Применение методов математической физики решения задачи рассеяния электромагнитного поля на проводящих телах произвольной формы // Тезисы докл. IX Российской научной конференции ПГАТИ. Самара. - 2002. - С. 89 - 90.

24. Бузова М.А., Юдин В.В Проектирование проволочных антенн на основе интегральных уравнений. Учебное пособие для ВУЗов. М.: Радио и связь. - 2005. - С. 172.

25. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука.-1

26. Гл. ред. физ. мат. лит-ры., - 1984. - С.320.

27. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит-ры., -1987.-С.320.

28. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразований СПб., Изд-во ВУС. - 1999.

29. Вычислительные методы в электродинамике: Под ред. Р. Митры. Пер. с англ. / Под ред. Э.Л. Бурштейна. М.: Мир. - 1977. - С.487.

30. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск. - НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". - 2001. - С. 464.

31. Дорохов А.П. Расчет и конструирование антенно-фидерных устройств // Харьков, Изд-во Харьк. Ордена трудового красного знамени гос. Университета им. A.M. Гортького. — 1960.

32. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике М.: СОЛОН - Р. -2002.

33. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций М.: Наука. - 1980. - С. 352.

34. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем М.: Наука. - 1995. - С. 287.

35. Калиткин Н.Н. Численные методы М.: Наука. - 1977. - С. 512.

36. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа-М.: Наука. 1981. - С. 544.

37. Корнилов М.В., Калашников Н.В., Рунов А.В. и др. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн // Радиотехника. 1989. - №7. - С. 82 - 83.

38. Кравцов В.В. Интегральные уравнения в задачах дифракции В кн.: Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд. МГУ. - 1966. -Вып. 5.-С. 260-293.

39. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. Вейвлет-системы и их применение в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. - №4. - С. 3-20.

40. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики М.: Сов. радио. - 1983. - С. 296.

41. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Учеб. пособие. -М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. - 1989. - С. 608.

42. Неганов В.А., Корнев М.Г., Матвеев И.В. Новое интегральное уравнение для расчета тонкого вибратора // Письма в ЖТВ. 2001. — Т. 27.-Вып. 4.-С. 62-71.

43. Неганов В.А., Матвеев И.В. Сингулярное интегральное уравнение для расчета тонкого вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. - Т. 2. - №2. - С. 27 - 33.

44. Неганов В.А., Матвеев И.В., Медведев С.В. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению // Письма в ЖТВ. 2000. - Т. 26. - Вып. 12. -С. 86-93.

45. Неганов В.А., Павловская Э.А., Яровой Г.П. Излучение и дифракция электромагнитных волн / Под ред. В.А. Неганова М.: Радио и связь. -2004. - С. 264.

46. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн — 3-е. изд., перераб. и доп. М.: Наука. - 1989. - С. 544.

47. Никольский В.В. Антенны М.: Связь. - 1966. - С. 368.

48. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ. 2005. - С. 616.

49. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53. - №6. - С. 53 - 128.

50. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков СПб. Изд-во СПбГТУ. - 1999.

51. Писсанецки С. Технология разреженных матриц М.: Мир. - 1988. -С. 410.

52. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Наука. -1966.-С. 443.

53. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнение математической физики. -М.: Наука.-1972.-С. 735.

54. Ф. Франк, Р. Мизес Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. JL - М.: ОНТИ. - 1937. - С. 998.

55. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир. - 2001.

56. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. Т. 38. - 1993. - Вып. 12. - С. 2160 -2168.

57. Эстербрю О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц. -М.: Мир. 1983.-С.120.

58. Юдин В.В. Условия корректной постановки антенных задач на основе уравнений Фредгольма 1-го рода // Тезисы докл. IX Российской научной конференции ПГАТИ. Самара. - 2002. - С. 95 - 96.

59. Юдин В.В. Анализ проволочных антенн на основе интегрального уравнения Харрингтона методом моментов с использованием различных весовых функций // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ.- 1996.-Т. 4.-№4.-С. 116-124.

60. Beylkin G., Coifman R., Rochlin V. Fast wavelet transforms and numerical algorithms // Comm. Pure. Appl. Math. 1991. - Vol. 44. - P. 141 - 183.

61. Dahmen W., Harbrecht H. and Schneider R. Adaptive methods for boundary integral equations: Complexity and convergence estimates. Math. Comput., 76(259): 1243 1274, 2007.

62. Dahmen W., Harbrecht H. and Schneider R. Compression techniques for boundary integral equation. Asymptotically optimal complexity estimates. SIAM J. Numer. Anal., 43(6):2251 -2271, 2006.

63. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Comm. Pure Appl. Math. 1988. - V. 46. - P. 909-996.

64. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF. Regional conference seriesin applied mathematics, SIAM. - 1992.

65. Demko S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projection // SIAM J. Numer. Anal. 1997. - 14. - № 4. - P. 616 - 619.

66. Gantumur T. and Stevenson R. Computation of singular integral operators in wavelet coordinates // Computing. 2006. - P. 77 - 107.

67. Glinsky B.M., Kovalevsky V.V., Alekseev A.S. Composition of wave fields of vibrators and calibration shots of the OMEGA series // Third international conference "Monitoring of nuclear tests and their consequences". Borovoye. - 2002. - P. 23 - 25.

68. Hallen E. Theoretical inverstigation into the transmitting and receiving qualities of antennas // Nova Acta Soc. Sci. Upsal. 1938. - V.l. - № 4. -P. 1-44.

69. Harbrecht H. Shape optimization using wavelet BEM // Oberwolfach Reports, 1 (3): 1809 1811, 2004.

70. Harbrecht H. Wavelet Galerkin schemes for the boundary element method in three dimensions // Ph. D. Thesis, Technische Universitat Chemnitz. Germany. -2001.

71. Harbrecht H., Kahler U. and Schneider R. Wavelet matrix compression for boundary integral equations // Berlin Heidelberg - New York. - 2006.

72. Harbrecht H. and Schneider R. Wavelet Galerkin schemes for 2D BEM. -Operator Theory, Advances and Applications. Vol. 121. - 2001. - P. 221 -260.

73. Harbrecht H. and Schneider R. Wavelet Galerkin schemes for boundary integral equations- implementation and quadrature // SIAM J. Sci. Comput., 27(4): 1347- 1370, 2006.

74. Harrington R.F. Field computation by moment method. New York: Macmillan. - 1968. - P. 240.

75. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets // Trans. AMS. -1989.-315.-P. 69-88.

76. Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Paris.: Hermann. - 1990.

77. Perez C. and Schneider R. Wavelet Galerkin methods for boundary integral equations and the coupling with FEM // In "Wavelet Transform and Time Frequency Analysis", Appl. Numer. Harmonic Analysis, Birkhauser Verlag. — 2001. P. 145-175.

78. Richmond J.H. Computer analysis of three-dimensional wire antennas. -Techn. Rept. № 2708 - 4. - Ohio, Columbus, Ohio State University: Electro - Science Lab. - 1969. - P. 146.

79. Schneider R. Multiskalen- und Wavelet-Matrixkompression: Analysisbasierte Methoden zur effizienten Losung grober vollbesetzter

80. Gleigungssysteme // Advances in Numerical Mathematics, B.G. Teubner. -1998.

81. Schoneberg I.J. Contribution to the problem of approximation of equidistant date by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1964. - 4. - P. 45-46, 112- 141.

82. Yermakov S.M. On the analogue of the von- Neumann-Ulam scheme in the nonlinear case // Journal of computational maths and math. Physics. -1973. V. 13. -№ 3. - P. 564 - 573.

83. Taylor D.J. Accurate and efficient numerical integration of weakly singular integrals in Galerkin EFIE solution // IEEE Trans, on Ant. and Prop.-2003.-V. 51.-№7.-P. 1630- 1637.

84. T. von Petersdorff, C. Schwab Wavelet approximation for first kind integral equations on polygons // Numer. Math. 1996. - P. 479 - 519.

85. Van der Vorst H.A. Bi CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi- CG for the solution of nonsymmetric linear systems: Preprint 633. - Univ. Utrecht. - 1990.

86. Venkatarayalu N.V., Ray T. Optimum design of Yagi- Uda antennas using computational intelligence // IEEE Trans, on Ant. and Prop. 2004. -V. 52. -№ 7. - P. 1811-1818.

87. Блатов И.А., Бубнова H.B. Об оценках элементов матриц в методе вейвлет-Галеркина для сингулярных интегральных уравнений // Вестник Сам. гос. универ. Самара. - 2004. - С. 68 - 80.

88. Бубнова Н.В. Свойства разреженных матриц в методе Бубнова-Галеркина // Матем. модел. и краев, задачи. Труды всероссийской научной конференции. Самара - 2004. - С. 33 - 36.

89. Бубнова Н.В. Технология разреженных матриц в методе wavelet-Галеркина // Междун. семинар. Нелинейное моделирование и управление. Самара. - 2004. - С. 9 - 10.

90. Бубнова Н.В. Использование разреженных технологий для приближенного решения интегральных уравнений // Актуал. проб, совр. науки. Труды 5-й междунар. конфер. молодых ученых и студентов. Самара. - 2004. - С. 27 - 30.

91. Бубнова Н.В. Быстрое wavelet-преобразование в методе Галеркина для интегральных уравнений // Матем. модел. и краев, задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Самара - 2005. - С. 40 -43.

92. Бубнова Н.В. Быстрые вейвлет-алгоритмы для расчета тонкопроволочных антенн // Физика и техн. приложения волновых процессов. Самара. - 2005. — С. 185 — 186.

93. Бубнова Н.В. Вейвлет-анализ и быстрые алгоритмы расчета тонкопроволочных антенн // Матем. модел. и краев, задачи. Труды всероссийской научной конференции. — Самара 2006. — С. 24 — 27.

94. Блатов И.А., Пименов А.С., Бубнова Н.В. Псевдоразреженные матрицы и прикладной вейвлет анализ // Системы управ, и информ. Технологий. Научно техн. журнал. - Москва - Воронеж. - 2006. -№ 1(23).-С. 68-73.

95. Блатов И.А., Рогова Н.В. Метод вейвлет Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн // Междун. конфер. дифф. урав. и смежные вопросы памяти И.Г. Петровского. - Москва. - 2007. -С. 41.

96. Блатов И.А., Рогова Н.В. О приближенном решении одного класса интегральных уравнений // Матем. модел. и краев, задачи. Труды всероссийской научной конференции. Самара - 2007. - С. 41 - 44.

97. Блатов И.А., Рогова Н.В. О применении разреженных технологий в численном моделировании тонкопроволочных антенн // Восьмая Междун. научно техн. конференция. ПТ и ТТ. - Уфа. - 2007. - С. 185 - 186.

98. Блатов И.А., Рогова Н.В. Об оценках элементов обратных матриц в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Воронежская зимняя матем. школа С.Г. Крейна. -Воронеж. 2008. - С. 25 - 26.

99. Алашеева Е.А., Блатов И.А., Рогова Н.В. Сплайновые вейвлеты и численное решение задач антенного моделирования // Весенняя математ. школа "Понтрягинские чтения XIX ". - Воронеж. - 2008. -С. 18.

100. Бубнова Н.В. Метод вейвлет-Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн // Вычислительные технологии, Новосибирск. 2008. - Т. 13. - Специальный выпуск № 4. - С. 12 - 19.