Оптимизация рекуррентных моделей временных рядов на основе B-сплайнов 2-го и 3-го порядков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Эшаров, Элзарбек Асанович

• Эшаров, Элзарбек Асанович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эшаров, Элзарбек Асанович

ВВЕДЕНИЕ.

1. БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Нормализованные базисные сплайны.

2. Непараметрические модели экстраполяции временных рядов.

2.1. Приведение непараметрической модели временного ряда к рекуррентному виду (Метод движущихся средних).

3. Рекуррентные схемы аппроксимации сплайнами 1-й степени.

3.1. Рекуррентные формулы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины

3.2. Оптимизация рекуррентного аппроксимационного сплайна степени 1 глубины

4. Общая схема рекуррентной аппроксимации сплайнами на основе свойства точности на многочленах.

4.1. Доказательство теоремы 1.2.

4.2. Рекуррентные формулы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 2.

4.3. Оптимизация рекуррентного аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 2.

5. Вычислительные основы рекуррентных алгоритмов, использующих В-сплайны.

6. Выводы по 1-й главе.

2. РЕКУРРЕНТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ КВАДРАТИЧЕСКИМИ И КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2.

1.1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2 глубины

1.2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2 глубины 2.

1.3. Численные примеры и результаты экспериментов.

2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3'.

2.1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 глубины

2.2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 глубины 2.

2.3. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 произвольной глубины р.

2.4. Численные примеры и результаты экспериментов.

3. Рекуррентная аппроксимация кубическими сплайнами по заданным значениям в узлах сплайна.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Теорема характеризации.

3.3. Численные примеры и результаты экспериментов.

4. Выводы по 2-й главе.'.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО СПЛАЙН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАННЫХ С ПОГРЕШНОСТЯМИ

1. Постановка задачи.

2. Оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 в случае аппроксимации данных с погрешностями-.

2.1. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины

2.2. Оптимизация рекуррентных сплайнов степени 2 глубины

2.3. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 2.

2.4. Оптимизация рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 2.

3. Оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 3 в случае аппроксимации данных с погрешностями.

3.1. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 3 глубины

3.2. Асимптотическая оптимизация рекуррентных сплайнов степени 3 глубины

3.3. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени

3 глубины р.

3.4. Асимптотическая оптимизация рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 2.

4. Выводы по 3-й главе.

4. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СПЛАЙНОВ

1. Рекуррентная схема прогнозирования сплайнами 1-й степени.

1.1. Вывод рекуррентных формул прогнозирующего сплайна степени 1 глубины 1.

1.2. Оптимизация рекуррентного прогнозирующего сплайна степени 1 глубины 1.

2. Построение интервального прогноза.

3. Результаты численных экспериментов (Сравнение с методом Брауна и другими стандартными методами прогнозирования).

4. Примеры прогнозирования на основе рекуррентных сплайнов.

4.1. Прогнозирование цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов для случая степени

4.2. Прогнозирование цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов для случая степени 2.

5. Разработка метода краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов.

5.1. Экономическая модель выделения тренда из стоимости жилья

6. Выводы по 4-й главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация рекуррентных моделей временных рядов на основе B-сплайнов 2-го и 3-го порядков»

Актуальность работы. При решении широкого круга научно-технических задач встречаются явления, которые интересно и важно проследить- в их развитии и изменении во времени. Например, в задачах мониторинга окружающей среды, при обработке данных траекторных наблюдений, в задачах слежения и управления на рынке недвижимости. При этом весьма желательно получать результаты обработки получаемых временных рядов с некоторым опережением, т.е. в режиме прогнозирования. Это приводит к необходимости выделения трендов, то есть некоторых функций времени, описывающих изменение характеристик изучаемых явлений. Данному направлению посвящено много работ, из них выделим основные монографии [4, 9-11, 28, 51, 52].

Пусть предполагается, что измеряемый процесс flj) регистрируется в моменты времени th i= 1,2, ., со случайной погрешностью yrAtd+^ (1)

Различают две задачи оценивания J{t): восстановление значений тренда в моменты времени th i=I, 2, . и восстановление функциональной зависимости flj) по ограниченному набору измерений yh i— 1, ., п. В соответствии с этим для построения оценки f(t) функции f{t) могут использоваться непараметрические и параметрические методы оценивания. Непараметрические методы не предполагают связи оценки с некоторым базисом (координатными функциями), и выделяемый тренд представляется в виде дискретных значений восстановленной функции J{t). Параметрические методы оценки сводятся к вычислению некоторой заданной функции fit), зависящей от вектора неизвестных параметров а={аь а2,., а*}. Наиболее употребительный вид функции

Дг,а) = £ауфу(0> (2)

У=1 где (pj{t) ~ заданные базисные функции, а а,- — определяются из условия а^тт-/(¿(., а)]2, п а

3) а например, классический метод наименьших квадратов (МНК). Естественно, что при этом базисные функции, представленные набором своих измерений, восстанавливаются точно, т.е. с нулевой погрешностью.

Получающаяся задача хорошо исследована (см. монографии [3, 40]), но большинство разработанных методов работают в условиях апостериорного оценивания, т.е. когда априорной информации достаточно для получения состоятельных оценок а и построения простой параметрической модели (2) при малом к.

Типичной является ситуация, когда модель (2) может содержать лишь ограниченное число координатных функций и поэтому не всегда адекватно описывать процесс /(/). Например, для развивающихся рынков жилья различных городов закономерность изменения стоимости жилья имеет вид [43] где Г — средняя за период цена, t — порядковый номер периода, А, В, С -параметры модели. Использовать ее для целей прогнозирования можно только тогда, когда изменение тенденции не ожидается.

В противном случае целесообразно использовать модели типа (2), но с переменными параметрами а(7) на последовательности разбиений интервала измерения [28, 48].

Среди моделей с переменными параметрами особый интерес для систем реального времени представляют модели с кусочно-постоянными параметрами и полиномиальным базисом. Этот вид аппроксимации широко используется в различных прикладных задачах вследствие простоты реализации на ЭВМ и возможности использования в системах реального времени [1, 22, 31]. Однако на границах отрезков полученные многочлены являются разрывными функциями. Это порождает нежелательные свойства восстановленной зависимости, так как затрудняет

4) интерпретацию и исследование динамики процесса. Необходимо дополнить кусочно-многочленную аппроксимацию условиями, обеспечивающими непрерывность аппроксимирующей функции на границах участков и определенную степень гладкости. Такой подход приводит к использованию сплайн-функций, хорошо зарекомендовавших себя в вычислительной математике [2, 13-15, 18-21, 24, 25, 27, 30, 34, 39].

Основные достоинства сплайн-функций состоят в том, что они устойчивы относительно локальных возмущений, т.е. поведение сплайна в окрестности некоторой точки не оказывает существенного влияния на поведение сплайна в целом, как это имеет место в многочленной аппроксимации [24], а также хорошие свойства сходимости сплайнов для функций невысокой гладкости. И, наконец, заданная степень гладкости сплайна уменьшает количество оцениваемых параметров а по сравнению с кусочно-многочленной аппроксимацией. Все это делает целесообразным использование сплайн-функций для оценивания трендов случайных процессов с нерегулярными свойствами гладкости при наблюдении в реальном масштабе времени.

Для непараметрических методов оценивания, работающих в реальном масштабе времени, доказывается возможность построения рекуррентных моделей временных рядов [9, 10]. Использование рекуррентных сплайн-моделей временных рядов в сочетании с моделями множественной регрессии, устраняя имеющиеся недостатки непараметрических моделей, дает возможность обрабатывать эмпирические данные в реальном масштабе времени, опираясь при этом на методы факторного анализа, позволяющие решать такие задачи, как:

• отыскание скрытых, но объективно существующих закономерностей, которые определяются воздействием внутренних и внешних причин на изучаемый процесс;

• сжатие информации путем описания процесса при помощи общих факторов или главных компонент, число которых значительно меньше количества первоначально взятых признаков;

• выявление и изучение статистической связи признаков с факторами или главными компонентами. Руководитель же после выявления признаков, наиболее тесно связанных с данным фактором, может выработать научно-обоснованное управляющее решение, способное повысить эффективность функционирования процесса;

• гладкое восполнение и прогнозирование хода развития процесса на основе уравнения регрессии; уравнения регрессии, построенные при помощи результатов, полученных в факторном или компонентном анализе, обладают значительными преимуществами перед классическим регрессионным анализом [50].

Как известно, задача прогнозирования относится к числу плохо обусловленных задач в математике. Прогнозы можно разделить на длительные, среднесрочные и краткосрочные. Математическая теория по длительным прогнозам пока не существует. Среднесрочное прогнозирование обеспечивается построением нелинейной авторегрессии, включая применение детерминированного хаоса и нейро-сетевого моделирования [36]. Что касается краткосрочных прогнозов, то вполне уместно применять кусочно-многочленные (сплайновые) модели.

Методологическая предпосылка экстраполяции состоит в признании преимущественной связи между прошлым, настоящим и будущим. Суть методов прогнозирования состоит в том, чтобы по данным наблюдений предсказать будущее значение измеренных характеристик, или, более подробно, г-ый элемент представить как некоторую функцию от т предшествующих.

Однако существующие фундаментальные теории прогнозирования экономических систем обнаруживают ограничения в решении проблемы прогноза [8]. Наиболее перспективный подход в моделировании нестационарных экономических явлений основан на теории динамических систем. Основой нелинейно-динамического подхода является учет внутренних особенностей системы, в отличие от статистических методов, в которых все факторы полагаются случайными и неопределенными. Нелинейная динамика позволила предложить несколько действительно новых подходов к исследованию временных рядов, а также новые характеристики систем, которые могут быть использованы для их идентификации [36].

Восстановление динамических систем по экспериментальным данным состоит в решении задачи реконструкции фазового пространства системы по данным измерения зависимости от времени лишь одной переменной. Результатом решения данной задачи является т-мерная реконструированная траектория х(У), в заданном приближении воспроизводящая фазовый портрет исходной системы. В эту же задачу входит прогнозирование зависимости на время t > ^ , где ¿0 -длительность экспериментальной реализации. Если модель найдена, то решение с допустимой степенью точности должно воспроизводить экспериментальную зависимость и давать прогноз на время t > Го-Кроме того (и это главный результат), наличие реконструированных уравнений, дает возможность описания не только процесса но и его зависимость от управляющих параметров модельной системы.

Известно [24], что интерполяционные сплайны дефекта 1 определяются по заданным значениям интерполируемой функции на всем отрезке наблюдения. Это усложняет обработку данных в темпе их поступления, например, требуется введение дополнительных узлов [59]. С другой стороны, использование локального сглаживания [24] приводит к увеличению времени запаздывания в зависимости от степени сплайна и порядка аппроксимации.

Вопросы построения рекуррентных моделей временных рядов на основе полиномиальных сплайнов изучались в работах [32, 33, 45], ориентированных на обработку данных.

Недостатки работы [45], на наш взгляд, состоят в том, что рекуррентный сплайн степени 1 имеет значительное запаздывание, что затрудняет его использование в схеме с прогнозированием. В работе [45] была предпринята попытка построения рекуррентных сплайнов глубины 1 для случая произвольной степени. Однако точность построенных сплайнов понижалась с повышением степени. Видимо, это явилось следствием того, что при построении в схему не было заложено свойство точности на многочленах. Кроме этого, затруднения с использованием полиномиального базиса сплайнов не дало возможности построения рекуррентных сплайнов глубины выше 1. А повышение глубины фильтра, как правило, благоприятно сказывается на точности аппроксимации. Таким образом, основные направления развития состоят в использовании базиса Б-сплайнов и повышении степени сплайна, вплоть до третьей, увеличении глубины рекуррентного сплайн-фильтра и, наконец, разработке прогнозирующих сплайн-схем. Поэтому в диссертации на основе теории сплайн-схем, точных на многочленах [60], строятся формулы рекуррентной аппроксимации квадратическими и кубическими сплайнами, позволяющие за счет учета предыстории обработки уменьшить время запаздывания или снизить погрешность приближения. При этом ожидается, что для гладких функций с повышением степени сплайна погрешность будет уменьшаться.

Цель работы — разработка методов оптимизации рекуррентных моделей временных рядов на основе 5-сплайнов 2-го и 3-го порядков. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи:

• Построить серию вычислительных схем рекуррентной аппроксимации сплайнами 2-й и 3-й степени разной глубины.

• Провести оптимизацию рекуррентной аппроксимации сплайнами 2-й и 3-й степени с использованием критерия минимума остаточной дисперсии оценок.

• Разработать теоретическое обоснование использования рекуррентных сплайнов в решении проблемы точечного и интервального прогнозирования.

• Исследовать возможность применения рекуррентных методов сплайн-аппроксимации для краткосрочного прогнозирования временных рядов при разработке \УеЬ-приложений.

Состояние проблемы

Теория сплайн-функций (сплайнов) прошла к настоящему времени длинный путь развития. Термин «сплайн-функция» впервые был использован И. Шёнбергом (1946) для обозначения кусочно-полиномиальной функции, достаточно гладко «склеенной» в узлах сетки. В дальнейшем эта конструкция модифицировалась, но идея оставалась неизменной [56].

Значительные успехи в развитии алгебраической теории сплайнов принадлежат школе новосибирских математиков во главе с Завьяловым Ю.С. Решающее значение для распространения понятия сплайнов на новые объекты сыграли работы Холлидея (1957) [53] и Шёнберга (1962) [57], в которых была получена вариационная формулировка задачи сплайн-интерполяции, а также Корнейчука [30] и Тихомирова [47], в которых была установлена связь между сплайн-функциями и наилучшим приближением на классах дифференцируемых функций.

Методы сплайн-функций достаточно хорошо исследованы в рамках классической теории приближения функций [2, 13, 14, 24, 44], однако в условиях зашумленных данных эти методы малопригодны.

Свойства сплайн-функций могут быть применены не только для численного решения задач прикладной и вычислительной математики, но и для повышения точности восстановления трендов в задачах прогнозирования экономической динамики, уменьшения влияния случайных составляющих погрешности при динамических измерениях.

При использовании сплайн-функций большое значение имеет форма их представления, т.е. выбор базиса линейного пространства сплайнов. Известны возможные формы представления - в виде суммы усеченных степенных функций, через фундаментальные сплайны, кусочно-полиномиальные и с помощью 5-сплайнов [24, 44]. 5-сплайны подробно изложены в [21], полиномиальные сплайны рассмотрены во всех упомянутых выше работах.

Представление сплайнов в виде суммы усеченных степенных рядов, удобное для теоретических исследований, малопригодно для вычислений на практике даже для небольших объемов данных ввиду быстрого накопления ошибок округления.

Фундаментальные сплайны также малоупотребимы вследствие большого объема вычислений. Кроме того, эти формы представления не позволяют использовать сплайны при обработке данных в реальном масштабе времени.

Наиболее наглядную и простую интерпретацию физических явлений дает кусочно-полиномиальное представление сплайнов. При этом на каждом отрезке (участке) сплайн представлен моделью вида (2) с системой условий, обеспечивающих непрерывную склейку на границах отрезков (в узлах) и определенную степень гладкости. В этом случае задача определения коэффициентов а, в (2) обычно решается методом наименьших квадратов (МНК) [21, 32, 33, 45].

Особенностью большинство работ по использованию сплайнов с полиномиальным базисом является апостериорный режим обработки наблюдений. Такой подход приводит, как правило, к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений большой размерности, что при реализации на ЭВМ сопряжено с рядом известных трудностей. Кроме того, обеспечивая высокую точность оценок, такой подход усложняет обработку данных по мере их поступления.

Форма представления через 5-сплайны позволяет использовать сплайны при обработке данных в реальном масштабе времени. Она позволяет сглаживать информацию по мере ее поступления, а условия гладкой склейки в узлах сплайна выполняются автоматически в силу свойств 5-сплайнов. С этой точки зрения использование ^-сплайнов имеет преимущество в силу простоты и компактности представления [21]. При этом в силу финитности базиса Б-сплайнов, когда для каждого момента времени ^ используется значение базиса и коэффициенты разложения по этому базису только в окрестности момента Л-сплайны дают непараметрическую оценку функции, несмотря на наличие базиса.

В последнее время появился ряд работ, посвященных применению сплайн-функций, ориентированных на обработку данных. Дадим краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе. В работах [33, 45] оценки параметров аппроксимирующих сплайнов строятся с помощью метода наименьших квадратов. Работа [38] охватывает широкий круг вопросов, связанных с применением сплайн-функций в эконометрии. Здесь рассмотрены проблемы применения линейных, кубических и билинейных сплайнов, особое внимание уделяется различным параметризациям и методике проверки гипотез о наличии структурных изменений, представлены некоторые способы оценивания моделей с неизвестными точками структурных изменений.

Вообще говоря, число работ, рассматривающих различные вопросы, возникающие при использовании сплайновых моделей, а также применение этих моделей для решения конкретных прикладных задач, довольно велико. Существенной особенностью этих работ является тот факт, что аппроксимирующий сплайн строится на заданном интервале [а, Ь\ возможных значений независимой переменной, при этом оценки параметров используемых моделей строятся с учетом всего объема наблюдений, полученных с данного интервала, что, как правило, приводит к довольно громоздким алгоритмам. Кроме того, такой подход, хотя и обеспечивает достаточно высокую точность аппроксимации, лишает сплайновые модели одного из их преимуществ: возможности обработки данных по мере их поступления, т.е. в реальном масштабе времени. Примерами такого подхода могут служить работы [33, 45].

В работе Е. А. Кочегуровой [31] построение рекуррентных алгоритмов сглаживания кубическими сплайнами проведено на основе вариационного подхода.

В работе [33] предложен рекуррентный алгоритм построения сплайна 1-й степени на основе МНК. Для выделения тренда случайного процесса используется аппроксимация тренда кусочно-полиномиальным сплайном первого порядка. Также предложена рекуррентная оценка параметров сплайна на основе рекуррентного МНК и МНК для данных, объединенных в группы. Для всех случаев исследованы асимптотические свойства построенных оценок. При исследовании оценок, построенных с помощью МНК, получен интересный результат. Оказывается, что поведение сплайна на некотором участке существенно зависит лишь от поведения сплайна на участках, непосредственно примыкающих к рассматриваемому, т.е. построенный сплайн обладает свойством локальности [24]. Этот факт дает основание для построения более простых алгоритмов оценивания, не требующих пересчета уже оцененных параметров модели с поступлением новых данных [33].

В работе [45] предложенный подход развит на основе рекуррентной процедуры оценивания сплайнами «-порядка. Однако, как отмечают сами авторы, увеличение гладкости сплайна приводит к резкому ухудшению точности оценок и уже при третьем порядке сплайна становится невозможным использование приведенного подхода. Способом улучшения точности оценок авторы считают увеличение числа наблюдений внутри звена сплайна, и приводят результаты для двухсот наблюдений на участке. Однако такой способ улучшения делает неэффективным использование разработанных алгоритмов в системах реального времени, т.к. запаздывание результата в этом случае на несколько порядков превышает интервал дискретизации. Кроме того, при таком размере группы наблюдений целесообразнее использовать полиномиальный МНК, оценки которого обладают высокой точностью.

Способ, примененный в [33, 45], приводит к затруднениям при построении рекуррентного сплайн-фильтра и не позволяет эффективно использовать известное свойство сплайнов — повышения точности аппроксимации для гладких функций по мере увеличения степени сплайна.

Основные отличия работы от работ других авторов состоят в следующем:

1. Схемы рекуррентной аппроксимации данных сплайнами степени 2 и 3 глубины р получены на основе алгебраического подхода.

2. На основе теории сплайн-схем в схему построения рекуррентного сплайн-фильтра закладывается свойство точности на многочленах.

3. Устойчивость рекуррентного сплайн-фильтра произвольной глубины р доказана с использованием свойства диагонального преобладания построенных разностных уравнений.

Методы исследования. При решении поставленных задач применялись методы теории аппроксимации, теории матриц, теории разностных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, а также численное моделирование на ЭВМ.

Научная новизна. Кратко можно выделить следующие результаты, которые были получены в ходе выполнения работы:

• Построены рекуррентные сплайн-схемы, точные на многочленах: случаи 1-ой, 2-ой и 3-ей степени, обоснована устойчивость рекуррентных схем глубины 1,2 с применением спектральных свойств устойчивости разностных схем и устойчивость рекуррентных схем произвольной глубины р с использованием свойства диагонального преобладания эквивалентных разностных уравнений.

• Вычислена остаточная дисперсия рекуррентных оценок коэффициентов аппроксимационных сплайнов и выполнена оптимизация построенных схем по критерию минимума остаточной дисперсии оценок.

• Обоснованы несмещенность рекуррентных сплайн-апроксимаций для всех рассмотренных случаев.

• Построен интервальный прогноз для случая сплайнов 1-ой степени.

Научные положения, выносимые на защиту: • 1. Построение рекуррентных схем, точных на многочленах: случаи 1-ой, 2-ой и 3-ей степени.

2. Обоснование устойчивости рекуррентных схем глубины 1 и глубины 2 с применением спектральных свойств разностных схем и устойчивости рекуррентных схем произвольной глубины р с применением свойства диагонального преобладания.

3. Вычисление остаточной дисперсии рекуррентных оценок аппроксимационных сплайнов и оптимизация построенных схем по критерию минимума остаточной дисперсии оценок.

4. Обоснование несмещенности рекуррентных сплайн-апроксимаций для всех рассмотренных случаев.

5. Построение точечного и интервального прогнозов временных рядов на основе рекуррентных сплайнов первой степени.

Практическое значение работы состоит в том, что метод рекуррентной сплайн-аппроксимации применен к разработке систем автоматизации проектирования автомобильных дорог и для обработки и краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья при создании \УеЬ-приложения [П.З].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Материал изложен на 179 страницах, содержит 13 таблиц, 38 рисунков и 3 приложения. Список цитируемой литературы содержит 86 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Эшаров, Элзарбек Асанович

6. Выводы по 4-й главе

В настоящей главе изучены следующие ситуации: . Получены рекуррентные схемы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 2.

• Изучены рекуррентные схемы прогнозирующего сплайна 1-й степени. Обосновано применение рекуррентных сплайнов в задаче прогнозирования, включая построение интервального прогноза.

• Рассмотрена разработка методов краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов 1-й и 2-й степени глубины 1 и 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулированы основные результаты по диссертационной работе, приводимые ниже.

• Предложена и исследована серия вычислительных схем рекуррентной аппроксимации, точной на многочленах, сплайнами 2-й и 3-й степени разной глубины.

• Показана общая схема рекуррентной аппроксимации сплайнами на основе свойства точности на многочленах, получены условия характеризации для рекуррентного сплайн-фильтра степени 2 глубины 1, 2 и степени 3 глубины 1, 2 и произвольной глубины р.

• Доказаны теоремы устойчивости, несмещенности и оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 1, 2 и степени 3 глубины 1 и произвольной глубины р.

• Выполнена оптимизация рекуррентных сплайнов по критерию минимума дисперсии коэффициентов и получены оценки дисперсии коэффициентов оптимальных рекуррентных сплайнов степени 2 и 3 глубины р~ 1,2.

• Разработан метод краткосрочного прогнозирования временных рядов на основе рекуррентных сплайнов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эшаров, Элзарбек Асанович, 2008 год

1. Агеев Ю.М., Кочегурова Е.А. Последовательная сегментация временных рядов методом кусочной аппроксимации. — М.: 1985. 12 с.- Деп. в. ЦНИИ ТЭИ приборостроения 03.12.85, №3124-пр.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.-316 с.

3. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. — М.: Наука, 1977.-223 с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 775 с.

5. Бендат Дж. Пирсоль А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ. / Под ред. H.H. Коваленко. М.: Мир, 1974. - 463 с.

6. Бендат Дж. Пирсоль А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ.- М.: Мир, 1989. 540 с.

7. Бендат Дж. Пирсоль А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1989. - 540 с.

8. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем М.: Мир, 1999 - 412с.

9. Бокс Д., Дженикис Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.- М.: Мир, 1974, Вып. I. 406 с.

10. Ю.Бокс Д., Дженикис Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.- М.: Мир, 1974, Вып. II. 197 с.11 .Брилинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980, 536 с.

11. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, 13-е изд., исправл. — М.: Наука, ГФМЛ, 1986.-544 с.

12. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. 126 с.

13. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. 216 с.161

14. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов H.H. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск.: Наука, 1988. - 102 с.

15. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1967.-376 с.

16. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М., 1977.-440 с.

17. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. — М.: Изд-во МГУ, 1983, — 208 с.

18. Дарвин Дж. (Дарвин J.) Efficient estimation of parameters in moving average models.-Biometric, 1959, vol. 46, pp. 306-316.

19. Де Бор К. (De Boor С., Fix G. J.). Spline approximation by quasiinterpolants. J.Approxim. Theory, 1973, 8, №1, p. 19-45.

20. Де Бор К. (de Boor С). A practical Guide to Splines. Springer-Verlag, 1978. (Applied Math. Sciences; 27) / Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985 304 с.

21. Дмитриев А.Г. Методы кусочной аппроксимации многомерных кривых и их практическое использование: Автореф. дис. . канд. техн. наук. -М., 1985.-28 с.

22. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. М. Изд-во МГУ, 1982.-168 с.

23. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

24. Завьялов Ю.С., Леус В.А. Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. — М.: Машинастроение, 1985. 224 с.

25. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами.

26. М.: Физматлит, 2006. 360 с.

27. Кендалл М.Д., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. - 832 с.

29. Лившиц К.И. Выделения тренда случайного процесса сплайнами первого порядка // Автометрия. 1987. — №3. с. 30-37

30. Лившиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. -Томск: Изд-во ТГУ, 1991. 181 с.

31. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. 496 с.

32. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. -М., Статистика, 1979.-253 с.

33. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: 2000. 336 с.

34. Овсянникова Т., Празукин Д. Инвестиционный потенциал населения на региональном рынке жилья // Вопросы экономики, № 5, 2001. С. 107-112.

35. Пуарье Д. Эконометрия структурных изменений. (С применением сплайн функций). - М.: Финансы и статистика, 1981. - 183 с.

36. Рагозин Д.Л. (Ragozin D.L.) Error bounds for derivatives estimates based on spline smoothing of exact or noisy data // J. of approximation theory. 1983,37, P. 335-355.

37. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир. 1980. - 456 с.

38. Спраговская И.В., Шумилова Е.Б. Рекуррентная сплайн-функция временных рядов // Современное развитие и применение математических методов: Сб. статей студ. и асп. Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2001, С. 64-69.

39. Статистический ежегодник: Статистический сборник / Томскоблкомстат. Т. 2003. — 282 с.

40. Стерник Г.М. Статистический подход к прогнозированию цен на жилье // Экономика и математические методы. 1998. - Т. 34, вып. 1 — с. 85-90.

41. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

42. Сухотина JI. Ю. Рекуррентные алгоритмы оценки параметров онлайновых моделей временных рядов. Дисс. .канд. ф.-м. наук. -Томск. 1988.-169 с.

43. Сюдсетер Г. Справочник по математике для экономистов. М.: ЮНИТИ, 2001.-306 с.4

44. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-воМГУ, 1976.-304 с.

45. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. 284 с.

46. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995. - 384 с.

47. Хачатрян С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем. М. 2002. 192 с.

48. Хенан Э. Анализ временных рядов. М.: Наука, 1964. 215 с.

49. Хенан Э. Многомерные временные ряды. -М.: Мир, 1974. 575 с.

50. Холлидей Дж. (Xolladay J.C.) Smothest curve approximation // Math Tables Aids Computation. 1957, v. II. p. 233-243.

51. Цены и финансы Томской области. Статистический сборник. Томскоблкомстат. — Т. 2002. — 130 с.

52. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. — М.: Статистика, 1977. -384 с.

53. Шёнберг (Schoenberg I.J.). Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. P. 45-99, 112-141.

54. Шёнберг (Schoenberg I J.). On best approximation of linear operators // Kon. Neder. Akad. Weteusch. Proc, Scr. A. 1964. Vol. 67. P. 155-163.

55. Шумилов Б.М. Рекуррентная аппроксимация сплайнами // Известия вузов. Математика. 1996. -№1. - С. 85-87.

56. Шумилов Б.М. Рекуррентная интерполяция кубическими сплайнами с дополнительными узлами // Журн.вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.29.-№ 2. - С. 179-185.

57. Шумилов Б.М. Сплайн-аппроксимационные схемы, точные на многочленах // Журн.вычисл. матем. и матем. физ. — 1992. Т.32. № 8. -С. 1187-1196.

58. Шумилов Б.М., Карлова И.В., Ярушкина H.A. Рекуррентные и прогнозирующие сплайн-фильтры 1-го и 2-го порядков // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. 1, Новосибирск, изд-во ИВМ и МГСО РАН, 2004, С. 152-157.

59. Шумилов Б.М., Шумилова Е.Б. Анализ временных рядов и прогнозирование / Методические указания, часть I. — Томск: Томский государственный университет, 2004. — 31 с.

60. Шумилов Б.М., Шумилова Е.Б. Анализ временных рядов и прогнозирование / Методические указания, часть II. — Томск: Томский государственный университет, 2005. — 37 с.

61. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Методы рекуррентной сплайн-аппроксимации степени 3 глубины 1 на равномерной сетке // Наука. Технологии. Инновации. Всероссийская научная конференции молодых ученых. Новосибирск. - 2005. -Ч. I. - С. 177-178.

62. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Нестационарные сплайн-вейвлеты в ГИС и САПР линейно-протяженных пространственных объектов // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2006.-№ 1 (12).-С. 153-163 .

63. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Построение эрмитовых сплайн-вейвлетов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Кибернетика. Информатика. Приложение. 2006. - № 19. - С. 260 — 266.

64. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Рекуррентная сплайн-аппроксимация степени 3 произвольной глубины р // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007. Новосибирск. - 2007. - С. 32-33.

65. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Устойчивость рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 2 // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. / отв. ред. М. Иманалиев; Институт математики HAH Кыргызской Республики. Бишкек: Илим, 2007. - Вып. 36. - С. 54-61.

66. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Эрмитовы сплайн-вейвлеты // Всероссийская конференция «Математика в современном мире». — Новосибирск. 2007. С. 248-249.

67. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Анализ и прогнозирование цен на региональном рынке жилья // Современные техника и технологии. XIII Международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. С. 481-483.

68. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Рекуррентные сплайн-фильтры // Четвертая Сибирская школе-семинар по параллельным и высокопроизводительным вычислениям / под ред. проф. A.B. Старченко. Томск: Дельтаплан, 2008. - С. 218-233.

69. Эшаров Э.А. Две четырехточечные схемы прогнозирования рекуррентными кубическими сплайнами // Студент и научно-технический прогресс. Математика: XLIV Международная научная студенческая конференция // Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск, 2006.- С. 183-184.

70. Эшаров Э.А. Оптимизация инвестиционного портфеля на рынке недвижимости // Проблемы оптимизации сложных систем: Материалы Третьей азиатской международной школы-семинара. Труды ИВМиМГ СО РАН. Сер. Информатика. 2007. - Вып. 7. - С. 317-323.

71. Эшаров Э.А. Оценка погрешности и примеры рекуррентного сплайна третьей степени глубины 2 // Студент и научно-технический прогресс. Математика: XLV Международная научная студенческая конференция // Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007, - С. 213.

72. Эшаров Э.А. Рекуррентная сплайн-аппроксимация степени 3 произвольной глубиныр II Вычислительные технологии. — 2008. Т. 13. Вып. №4. С. 131-137.

73. Ярушкина H.A., Анализ и краткосрочное прогнозирование стоимости жилья методом рекуррентной сплайн-аппроксимации // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2005. -№ 1.-С. 221-225.