Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и источников энергии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Северина, Елена Владимировна

• Северина, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Северина, Елена Владимировна

ГЛАВА I ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИОННОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА И ОБЪЕМНЫХ ИСТОЧНИКОВ (СТОКОВ) ЭНЕРГИИ

§ 1. Математическая модель теплопереноса

§ 2. Математическая модель теплопереноса с учетом газовой динамики и источников (стоков) энергии.

§ 3. Законы сохранения на фронте сильного разрыва. Два сильных разрыва

1. Законы сохранения на фронте разрыва

2. Два сильных разрыва в случае релаксационного теплопереноса

§ 4. Автомодельные решения. Условия автомодельности решения задачи о поршне с учетом релаксации тепла и источников (стоков) энергии

§ 5. Автомодельные решения. Качественный анализ.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЯ ТИПА БЕГУЩИХ ВОЛН

§ 1. Решение типа бегущих волн без учета газовой динамики и источника энергии

§ 2. Решение типа бегущих волн с учетом газовой динамики

1. Случай зависимости коэффициента теплопроводности и времени релаксации потока тепла от температуры

2. Случай зависимости коэффициентов теплопроводности и релаксации потока тепла от плотности и температуры

§ 3. Влияние источников энергии

§ 4. Устойчивость разрывных решений

ГЛАВА III. КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММDIANA-S И FLORA-S.

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

§ 1. Программные комплексы DIANA—S и FLORA—S.

§ 2. Результаты вычислительных экспериментов по решению ряда тестовых задач

§ 3. Прикладные задачи: оптимизация газонаполненных мишеней

1. Оптимизация мишени. Первая гармоника. Модель Фурье

2. Оптимизация мишени. Третья и четвертая гармоника. Модель Фурье

3. Сравнение полученных результатов с результатами для релаксационной модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и источников энергии»

В физике всегда большое внимание уделялось процессам переноса тепла в различных средах. В последнее время мощным иструментом исследования стали математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Перед тем как выполняется построение разностных схем и численных алгоритмов программы, моделирующей поведение изучаемого явления, его необходимо детально изучить с помощью математической модели. Для этого используются все традиционные методы и средства, такие как отыскание аналитических решений в частных случаях, построение различного вида асимптотик, качественный анализ дифференциальных уравнений, построение и анализ инвариантных решений и другие. При построении математической модели особое внимание обращается на область ее применимости и упрощения, принятые по сравнению с реальным процессом. При моделировании явления теплопереноса можно было бы назвать «универсальной» модель, основанную на кинетических уравнениях, однако проведение серийных вычислительных экспериментов с ее использованием в большинстве случаев потребовало бы неоправданно много ресурсов. Поэтому в настоящее время активно используется множество других, упрощенных моделей теплопереноса.

Чаще всего для моделирования теплопередачи используют закон Фурье [1], гласящий, что поток тепла пропорционален градиенту температуры:

W = —К gradT, (1) где W — тепловой поток, Г — температура, К — коэффициент теплопроводности. Широкий класс автомодельных задач посвящен анализу специфических свойств распространения тепловых возмущений при нелинейном коэффициенте теплопроводности (К = К0Та, К0 = const), например, в работах [2, 3] исследовался процесс переноса тепла в неподвижной холодной среде, в [4, 5] рассмотрен случай наличия в среде источников тепла. Модели, использующие закон Фурье, в настоящее время очень хорошо изучены.

Описание переноса тепла является важнейшим вопросом в изучении процессов, происходящих в высокотемпературной плазме, теплопереносу принадлежит важнейшая роль в процессах лазерного нагнетания и сжатия термоядерной плазмы [6, 7]. Передача энергии от зоны поглощения к границе ядра мишени целиком обусловлена механизмом электронной теплопроводности. Для достижения высоких плотностей необходимо, чтобы вещество впереди волны сжатия оставалось достаточно холодным, для чего тепловая волна должна распространяться с дозвуковой скоростью, т.е. действовать подобно поршню, формирующему волну сжатия.

Правильный учет электронной теплопроводности сталкивается с определенными трудностями. Дело в том, что в мишенях пробеги электронов часто оказываются одного порядка с радиусами «короны», и приближение закона Фурье становится неверным. Это связано с тем, что рамки применимости закона ограничены требованием малости градиентов температуры по сравнению с отношением температуры к длине пробега частиц. Также стоит отметить, что поток, вычисленный по закону Фурье, может превысить «вакуумный» поток, то есть поток энергии, переносимой электронами в условной ситуации, когда они изменили бы направление своего движения и полетели в одну сторону

ТТЛ

Жтах « пекТе^1 у^ J. Величина «вакуумного» потока уменьшается в действительности во много раз за счет различных физических процессов, сопутствующих движению электронов [8 —10]. Реальный ограничивающий поток обычно записывают в виде где Те — температура, пе — концентрация электронов, те — масса электрона, к — постоянная Больцмана, /0 - некоторая константа. Численное значение параметра /о различные авторы предлагают брать в диапазоне от 0.01 до 1, в зависимости от учета тех или иных физических явлений [6, 8, 11, 12].

2)

Для многих задач высокотемпературной плазмы, в том числе, для задач лазерного термоядерного синтеза (ЛТС), учет существования предела для функции теплового потока является критически важным при больших плотностях потока излучения. Например, численные эксперименты в ЛТС и исследование влияния различных физических факторов на параметры плазмы показывают, что при уменьшении энергетический выход падает, необходимая для его достижения полная энергия лазерного импульса растет, требуемая мощность лазера увеличивается.

Указанные выше недостатки модели Фурье для высокотемпературных сред привели к поиску других способов расчета теплопереноса. Попытки учесть ограничение потока тепла сверху выражением (2) при выполнении вычислительных экспериментов сводились в основном к использованию интерполяционных формул следующего вида:

Г = шш(^,Жтах), (3) и

Ж~1=Жр-1+Жтах-\ или = Л ж "тахУ

4) здесь ]¥р - поток, вычисленный по закону Фурье. Введение модуля в (4) обеспечивает нужный знак у потока при ». Простейшая математическая модель этой серии используется, например, авторами работ [11, 13], а интерполяционная формула вида (4), называемая условно моделью «обратных потоков», применяется в подавляющем большинстве программ для численного решения задач ЛТС [6 — 8, 14].

Достаточно подробно недостатки этих математических моделей обсуждались в [14, 15]. В модели (3) распространение тепла при \^Р\<Жтах описывается уравнениями параболического, при \МгР\>1¥так — гиперболического типа. В этом случае после достижения электронным потоком предельного значения процесс передачи тепла меняется и в количественном, и в качественном отношении, что может сильно сказаться на результатах и дать побочные «паразитические» эффекты. Возникает также вопрос о корректности постановки задачи с соответствующими начальными и граничными условиями. Поток тепла в уравнении (2) всегда одного знака. Для того чтобы знак потока соответствовал направлению распространения тепла, следует брать, например, постоянную К{ положительной или отрицательной в зависимости от направления процесса. Тогда уравнение для переноса тепла, записанное в плоском одномерном случае, сведется к виду: У?л/Г—= 0, при Кх> 0; д{ дх

Зу/Т — = 0, при К{< 0; дt дх где ув = ——. Оба полученных уравнения - гиперболического типа. Выраже

2 Су ния для характеристик запишутся как У?л/г, при К, > 0; Ж -У?л/г, при Кх <0.

Видно, что при Кх > 0 (см. Рис. 1) постановка краевой задачи правомерна, т.к. тепло распространяется вдоль характеристик, отходящих от оси ординат и направленных в сторону увеличения переменной х > 0. В случае К{ < 0 (см. Рис. 2) характеристики направлены в обратную сторону и пересекают ось 01, принося с собой возмущения, связанные с начальными данными. Произвольно задавать граничные условия в точке х = 0 нельзя, так как задача становится некорректной. ч ч о о X X

Рис. 1 Случай Кх> О

Рис. 2 Случай Кх < О

При расчетах практических задач часто образуются профили как с положительными, так и с отрицательными градиентами. Если при этом используется модель (3) и К— достигает предельного значения Жтах, то возникает краевая задача, где в качестве начальных данных фигурирует уже сформированный профиль температуры, причем производные от температуры по пространственной переменной могут иметь любой знак. В таком случае математическая модель (3) может привести к некорректной постановке задачи.

При использовании же уравнения (4) в численном эксперименте можно получить совершенно другой характер решения в том диапазоне физических параметров, в котором справедливо приближение теплопроводности, вычисленной по закону Фурье. В работе [14] приведен пример численного расчета задачи ЛТС, который иллюстрирует влияние ограничения потока по формуле (4). Введение его в случае, когда потоки были достаточно далеки от предельных, резко замедлило динамику процесса, качественно изменило профили физических величин по сравнению с расчетом по закону Фурье. Искусственное введение ограничения потока по формуле (4) может с самого начала привести к искажению описания процесса и создать условия для неестественного самоподдерживающегося роста градиента температуры, влекущего за собой необходимость учитывать предельный поток. дх

Простейшая модель (3) и модель «обратных потоков» (4), по сути, являются сугубо математическими моделями без должного физического обоснования, и нельзя гарантировать истинность результатов расчетов, проведенных с их использованием. Таким образом, вопрос построения физико-математической модели теплопереноса, которая может успешно использоваться при решении задач физики высокотемпературной плазмы, по-прежнему актуален.

Целью данной квалификационной работы ставились разработка и последующее изучение свойств математической модели переноса тепла, которая позволит учитывать движение среды и источники энергии, и сможет быть использована для задач физики высокотемпературных сред. Также, используя построенную модель, требовалось создать программный комплекс, ориентированный, в том числе, на решение задач высокотемпературных сред, провести функциональное тестирование комплекса и выполнить расчеты для задач ЛТС в случае использования построенной модели и в случае использования модели Фурье.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Северина, Елена Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью данной квалификационной работы являлись:

• разработка и последующее изучение свойств математической модели переноса тепла, которая позволит учитывать движение среды и источники энергии, и сможет быть использована для задач физики высокотемпературных сред;

• создание программного комплекса для расчета уравнений газовой динамики с теплопроводностью и с учетом различных физических эффектов для случаев плоской, цилиндрической и сферической геометрий с помощью построенной модели. Комплекс должен быть ориентирован на решение задач высокотемпературной плазмы;

• сравнение результатов численного моделирования задач ЛТС в случае использования разработанной модели и в случае использования модели Фурье.

Сформулируем основные результаты, полученные в данной работе.

1. Построена математическая модель теплопереноса — модель релаксационного переноса тепла с учетом газовой динамики и источников энергии для случаев как неподвижной, так и движущейся среды. Изучены свойства системы, описывающей модель: показано существование двух сильных разрывов, их устойчивость, получены соотношение на фронтах разрывов.

2. Получены и исследованы классы инвариантных решений (автомодельных и типа бегущих волн) уравнений газовой динамики с учетом релаксационного теплопереноса и источников энергии при различных значениях безразмерных параметров. Полученные решения позволили установить зависимости характерных величин от параметров задачи, выявить новые эффекты. Автомодельные решения представляют собой хорошие тесты для отработки численной методики, так как дают представление о происходящих нелинейных процессах в высокотемпературных средах.

3. На базе программ DIANA и FLORA, использующих для расчета те-плопереноса модель Фурье, созданы программные комплексы DIANA-S и FLORA-S для численного решения задач высокотемпературной плазмы, использующих для расчетов модель релаксационного теплопереноса и учитывающих влияние источников энергии.

4. Выполнена серия численных экспериментов на программных комплексах DIANA-S и FLORA-S с использованием модели релаксационного теплопереноса и ее частного случая — модели Фурье. Проведена численная оптимизация газонаполненной мишени DHe для случая облучения ее TVäf-лазером мощности 5 МДж по следующим параметрам: масса газа и оболочки, аспектное отношение, длительность лазерного импульса, гармоника излечения лазера. Для ряда мишеней, в том числе оптимальной, выполнено сравнение результатов вычислительных экспериментов при использовании модели Фурье и при использовании модели релаксационного теплопереноса с различными значениями коэффициента релаксации потока тепла.

В заключении автор пользуется приятной возможностью выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю Евгению Ивановичу Леванову за постановку задачи, постоянный интерес к работе и ценные советы. Автор также выражает искреннюю признательность Петру Петровичу Волосе-вичу, Николаю Васильевичу Змитренко, Ирине Ильиничне Галигузовой за внимание к работе, плодотворную совместную работу, полезные дискуссии и советы. Автор благодарен сотрудникам Института математического моделирования РАН и Физического института АН, вместе с которыми проводилось активное сотрудничество на всех этапах работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Северина, Елена Владимировна, 2009 год

1. Fourier J.B. Theorie analytique de la chaleur. Paris, 1822.

2. Зельдович Я.Б., Компанеец A.C. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. в кн.: Сборник к семидесятилетию академика А.Ф. Йоффе. М.: Изд-во АН СССР, 1950. - С. 61-71.

3. Баренблатт Г.И., Вигиик И.М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. — ПММ, 1956. -Т.20,№3.-С. 411-417.

4. Самарский A.A., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемными источниками тепла Докл. АН СССР, 1976. Т. 227, № 2.-С. 321-324.

5. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П. Автомодельный режим сжатия конечной массы плазмы в задачах z и в- пинча: Препринт ИПМ АН СССР. М., 1974.-N 19.-70 с.

6. Прохоров A.M., Анисимов С.И., Пашин 77.77. Лазерный термоядерный синтез УФН, 1976. Т.119, Вып. 3. - С. 401-424.

7. Теория нагрева и сжатия низкоэнтропийных термоядерных мишеней: Труды ФИАН, т. 134 /под ред. Н.Г. Басова, М.:Наука, 1982. 176 с.

8. Зуев А.И., Карлыханов Н.Г., Лыков В.А., Черняков В.Е. О роли быстрых электронов и ограничениях электронной теплопроводности в экспериментах с газонаполненными оболочками. М., 1980. — 21 с. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 37).

9. Косарев В.И., Леванов Е.И., Сотский E.H. Об одном способе описания процесса электронной теплопроводности в высокотемпературной плазме: Препринт / ИПМ АН СССР. M., 1981. № 142. - 25 с.

10. Быченков В.Ю., Силин В.П. Ионно-звуковая турбулентность плазмы. ЖЭТФ, 1982, Т. 82, Вып 6. - С. 1886-1903.

11. Max С.Е., McKee C.F., Mead W.C. A model for laser driven ablativeimplosions. -Phys. Fluids, 1980. V 23.-P. 1620-1645.

12. Bickerton R.J. Thermal conduction limitations in laser fusion. — Nucl. Fusion, 1973. V 13, N 3. P. 457-458.

13. Max C.E., McKee C.F., Mead W.C. Scaling of ablative laser-fusion implosions. Phys. Rev. Lett., 1980, V 45, N 1. P. 28-31.

14. Волосевич 77.77., Косарев В.И., Леванов Е.И. Об учете ограничения теплового потока в численном эксперименте: Препринт / ИПМ АН СССР. М., 1978.-№21.-22 с.

15. Леванов Е.И., Сотский Е.Н. Ограничение теплового потока и способы его учета в численном эксперименте. В кн.: Математические моедли в теории тепло- и массообмена (Материалы международной школы-семинара). — Минск, ИТМО АН БССР, 1982. - С. 84-89.

16. Исиченко М.Б. Влияние эффекта ограничения теплового потока на структуру тепловых волн в плазме. Физика плазмы, 1985. — Т. 11, Вып. 8. — С. 936-943.

17. Clause P. J., Balescu R. A non-linear approach to the kinetic theory of heat conductivity in a plasma. Plasma Phys., 1982, v. 24, N 11, P. 1429-1448.

18. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases. Philos. Trans Roy.Soc. London, 1867. - V 157. - P. 49-88.

19. Осокин A.E., Суворова Ю.В. Некоторые задачи теплопроводности для наследственно-упругих материалов. Изв. АН СССР, Машиноведение, 1983. -№ 1.- С. 87-92.

20. Хонъкин А.Д. О парадоксе бесконечной скорости распространения возмущений в гидродинамике вязкой теплопроводной среды и уравнениях гидродинамики быстрых процессов. — в кн.: Аэромеханика. М., Наука, 1976. — С. 289-299.

21. Хонъкин А.Д. О распространении высокочастотного звука в разреженных одноатомных газах. в кн.: Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М., ЦАГИ, 1977.-С. 300-306.

22. Гутфельд Р. Распространение тепловых импульсов. — в. кн.: Физическая акустика / под ред. У. Мэзона, Т. 5, М.: Мир, 1973, С. 267-329.

23. Подстригая Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976. — 312 С.

24. Moses G.A., Duderstadt J.J. Improved treatment of electron thermal conduction in plasma hydrodynamics calculations. — Phys. Fluids, 1977, V 20, N 5, P. 762-770.

25. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена. — ИФЖ, 1965, Т. 9, № 3. — С. 287— 304.

26. Choi S.H., Wilhelm Н.Е. similarity transformation for explosions in two-component plasmas with thermal energy and heat-flux relaxation. — Phys.Rev.A., 1976, V. 14, N5, P. 1825-1834.

27. Bell A.R., Evans R.G., Nicholas D.J. Electron energy transport in steep temperature gradients in laser-produced plasmas. — Phys.Rev.Lett., 1981, V 46, N 4, P. 243-246.

28. Matte J. P., Virmont J. Electron heat transport down steep temperature gradients. Phys.Rev.Lett., 1982, V. 49, N 26, P. 1936-1939.

29. Wilhelm H.E., Choi S.H. Nonlinear hyperbolic theory of thermal waves in metals. J. of Chem. Phys., 1975, V 63, N 5, P. 2119-2123.

30. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Северина E.B. Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и объемных источников энергии // Известия ВУЗов. Математика № 1(512), 2005.-С. 31-39

31. Шабловский О.Н. Релаксационный процесс в нелинейных средах. — Гомель, Учреждение образования Гомельский Государственный технический университет им. П.О. Сухого, 2003. 382 с.

32. Шабловский О.Н. Распространение плоской ударной тепловой волны в нелинейной среде // Инженеро-физический журнал, 1985, Т. 49, № 3. С. 499-500.

33. Леванов Е. И., Сотский Е. Н. О бегущих волнах в среде с теплопроводностью гиперболического типа: Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. М., 1982.-№ 193.

34. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

35. Самарский А. А., Курдюмов С. П., Волосевич 77. 77. Бегущие волны в среде с нелинейной теплопроводностью // ЖВМиМФ. 1965. Т. 5, № 2. С. 199217.

36. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.

37. Волосевич 77.77., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Северина Е.В. Динамика и нагрев плазмы с учетом релаксации теплового потока // Математическое моделирование. 2008. — Т.20, № 4. — С. 57-68.

38. Леванов Е.И., Сотский E.H. Теплоперенос с учетом релаксации теплового потока. Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. -М: Наука, 1987. С. 155-190.

39. Спитцер Л. Физика полностью ионизированного газа. М.: Мир,1965.

40. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966. 686 с.

41. Волосевич 77.77., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса — М.: Изд-во МФТИ, 1997. — 240 с.

42. Самарский A.A., Гайфулин С.А., Захаров A.B. и др. — Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 1983, вып. 2(513), С. 38-45.

43. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Фетисов С.А. Автомодельные решения задач нагрева и динамики плазмы. — М: издательство МФТИ, 2001. — 256 с.

44. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Северина Е.В. Температурные ударные волны в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла // Инженерно-физический журнал. — 2006. — Т.79, № 4. — С. 57-68.

45. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. — М.: Наука,1985.-400 с.

46. Волосевич П.П., Курдюмов С.П., Бусурина Л.Н., Крус В.П. Решение одномерной плоской задачи о движении поршня в идеальном теплопроводном газе//ЖВМиМФ.-1963.-Т.3,№ 1.-С. 159-169.

47. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Северина Е.В. Решение типа бегущих волн с учетом гиперболического теплопереноса // Инженерно-физический журнал. 2008. - Т.81, № 2. - С. 290-302.

48. P.P. Volosevich, N.V. Zmitrenko, E.I. Levanov, and E.V. Severina. The influence of heat flow relaxation on the dynamics and heating of plasma // Mathematical models and computer simulations. 2009. - V.l, N 2. - P. 189-199.

49. Леванов Е.И., Сотский E.H. Некоторые свойства процесса теплопереноса в неподвижной среде с учетом релаксации теплового потока // Инженерно-физический журнал, Т. L, № 6, Минск, 1986.

50. Волосевич 77.77., Ларионов Е.А., Леванов Е.И. Бегущие тепловые волны в высокотемпературной среде // Тр. 4-й международной конференции по математическому моделированию — М: Изд-во Станкин, 2001. С. 112—120.

51. Волосевич 77.77., Леванов Е.И. Анализ процессов теплопереноса с учетом в среде релаксации теплового потока и объемных источников энергии .//Известия Высших Учебных Заведений. Математика №1 (488), 2003. — С. 38-44

52. Волосевич 77.77., Галигузова И.И., Леванов Е.И., Северина Е.В. Разрывные решения уравнений газовой динамики с учетом теплопереноса при наличии релаксации потока тепла // Инженерно-физический журнал. — 2009. — Т.82, № 2. С. 350-357.

53. Брагинский С. И Явления переноса в плазме //Вопросы теории плазмы/ Под редакцией М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963. Вып. 1. — С. 183-271.

54. Волосевич 77.77., Карпов В.Я., Леванов Е.И., Маслянкин В.И., Шела-путин И.И. САФРА. Функциональное наполнение. Расчет переноса излучения в трехтемпературном приближении: Препринт / ИПМ АН СССР. М., 1983. — № 77.-21 с.

55. Ахромеева Т.С., Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Карпов В.Я., Маслянкин В.И., Шелапутин И.И. Алгоритмы решения системы уравнений трехтемпе-ратурной гидродинамики м пакете прикладных программ САФРА. Дифф. Уравнения, 1984, Т. 20, №7. - С. 1127-1134.

56. Змитренко Н.В., Карпов В.Я., Фадеев А.И и др. — Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 1983, вып. 2(513). — С. 34-37.

57. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М: Наука, 1980. — 350 с.

58. Басов Н. Г., Гарина С. М., Гуськов С. Ю. и др. Коэффициенты усиления лазерных мишеней с дейтериевым горючим. // Письма в ЖЭТФ, 1988, т.48, №5). С. 245-247.

59. Басов Н. Г., Гуськов С. Ю., Данилова Г. В. и др. Термоядерный выход мишеней для мощных лазеров коротковолнового диапазона: Препринт / ИПМ РАН СССР, 1884, №89, 12 е.; Квант. Электроника, 1985, Т. 12, № 6). С. 1289-1292.

60. Гуськов С. Ю., Змитренко Н. В., Розанов В. Б. Термоядерная мишень «Лазерный парник» с распределенным поглощением лазерной энергии. // ЖЭТФ, 1995, Т. 108, Вып. 2(8). С. 548-566.

61. Розанов В. Б. О возможности сферического сжатия мишеней с термоядерным горючим при использовании для облучения двух лазерных пучков // Успехи физических наук, 2004. -Т.174, № 4. С. 371-382.

62. Lindl J., Amenât P., Berger R. et al. Phys. Plasmas 11, 2004. P. 339.

63. Волосевич 77.77., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Оптимизация безнейтронных мишеней лазерного термоядерного синтеза // Математическое моделирование. — 2009. Т. 21, №4. — С. 35-43.