Экспоненциальная дихотомия линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Клевцова, Юлия Юрьевна

• Клевцова, Юлия Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Клевцова, Юлия Юрьевна

Введение

Глава 1. Условие эскпоненциальной дихотомии линейных систем с периодическими коэффициентами

§ 1.1. Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения Ляпунова со специальной правой частью.

§ 1.2. Оценки матрицы Грина, нормы решения краевой задачи (1.0.3) и параметров дихотомии

§ 1.3. Оценки мультипликаторов системы (1.0.1) и взаимного наклона подпространств.

§ 1.4. Об исследовании асимптотической устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами

Глава 2. Системы дифференциальных уравнений с периодическими возмущениями

§ 2.1. Теорема о непрерывной зависимости решения краевой задачи (1.1.2) от элементов матрицы A(t)

§ 2.2. Дихотомия относительно единичной окружности Г матрицы мо-нодромии возмущенной системы (2.0.1)

§ 2.3. Теоремы о непрерывной зависимости краевой задачи (1.4.1) от элементов матриц A(t), C(t) и условия асимптотической устойчивости решений возмущенной системы (2.0.2)

§ 2.4. Оценки границы области притяжения нулевого решения и скорости убывания решений при t —оо системы (2.0.3)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспоненциальная дихотомия линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами»

В диссертации рассматриваются линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами = Л(0у, (1) где A(t) — Т-периодическая непрерывная матрица размера N х N, т. е. A(t + Т) = A(t). Проводятся исследования задачи об экспоненциальной дихотомии системы (1).

Напомним определение экспоненциальной дихотомии для линейной системы дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами (см., например, [16]).

Определение. Система дифференциальных уравнений (1) с непрерывной матрицей A(t) называется экспоненциально дихотомичной, если пространство CN распадается в прямую сумму замкнутых подпространств

С^ = С1(0)©С2(0), причем выполняются следующие условия: а) решения yi(t) = Y(t)yi уравнения (1), где Y(t) — матрицант системы (1), выходящие в момент t = 0 из подпространства Ci(0) (г/® Е Ci(0)), подчиняются оценке yi(t)\\ < М.е-^-^Щ (t>S] t,se (-00,00)) с некоторым показателем v\ > О, М\ = const; б) решения y2(t) = Yfyy® уравнения (1), выходящие в момент t = О из подпространства Сг(0) {у2 £ ^2(0)), подчиняются оценке

Ыт < M2e-^s-»\\y2(s)\\ (t < S] t, s, e (-00, 00)) с некоторым показателем и2 > О, М2 = const; в) взаимный наклон подпространств

Ci(*) = y(*)Ci(0), C2(t) = Y(t)C2{ 0) не может при изменении t стать слишком малым; точнее при некотором (3 > 0 выполняется условие

Sn(Ci(i), C2(t)) = inf \\Z1 + £21| > P, te (-00, 00). zk£Ck{t)(k=l,2),\\zk\\=l

Будем называть величины //ь i/2, Mi, М2, /3 — параметрами дихотомии.

Исследования дихотомии дифференциальных уравнений были начаты в работах О. Перрона, М. Г. Крейна, А. Д. Майзеля, X. Массеры и X. Ше-фера (см., например, [16], [44], [46], [71]). В настоящее время имеется ряд критериев экспоненциальной дихотомии. Наиболее изученными являются уравнения с постоянными коэффициентами. В этом случае критерии формулируются с использованием функции Ляпунова, мультипликаторов, в терминах разрешимости краевой задачи для неоднородного дифференциального уравнения на числовой прямой (см., например, [11], [16], [46], [65]). В работах М. Г. Крейна было получено условие экспоненциальной дихотомии в терминах разрешимости уравнения Ляпунова (см. [16])

НА + А*Н = -С со специальной правой частью С. В терминах решения этого уравнения С. К. Годунов и А. Я. Булгаков получили оценки на параметры дихотомии в случае постоянных коэффициентов и для этого случая разработали алгоритмы с гарантированной точностью для численного решения задачи о дихотомии (см., например, [9], [10], [11]). Следует отметить, что в литературе имеется ряд алгоритмов численного решения задачи о дихотомии системы (1) с постоянными коэффициентами, основанные на других критериях (см., например, [1], [14], [59], [60], [64], [73]).

В случае дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами также имеется большое количество результатов по решению задачи о дихотомии. Существенный вклад в её решение внесли работы М. Г. Крейна, А. Д. Майзеля, X. Массеры и X. Шефера, П. Хартма-на, В. Коппеля, Е. Н. Розенвассера, А. М. Самойленко, В. Л. Кулика (см., например, [16], [40], [44], [46], [49], [51], [55], [65]). Отметим, что не все результаты, полученные для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеют аналоги в случае дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В частности, в случае переменных коэффициентов в литературе не было аналогов ряда важных результатов М. Г. Крейна о дихотомии дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые имеют очень важное значение при разработке и обосновании алгоритмов численного решения задачи о дихотомии. Следует добавить, что в настоящее время в литературе нет численных алгоритмов по решению задачи о дихотомии дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами такого уровня строгости, как в случае постоянных коэффициентов. Поэтому продолжение исследований дихотомии дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является актуальной задачей.

В настоящей диссертации мы проводим исследования задачи об экспоненциальной дихотомии системы (1) с периодическими коэффициентами и получаем условия дихотомии, которые можно рассматривать, как аналоги условий М. Г. Крейна в случае систем с постоянными коэффициентами. Установленный признак экспоненциальной дихотомии формулируется в терминах разрешимости специальной краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова

-Н + HA(t) + A*{t)H = Fit).

Л L

В терминах решения этой задачи в диссертации получены оценки параметров дихотомии и модулей мультипликаторов системы (1), а также доказаны теоремы о возмущении и непрерывной зависимости.

Проведенные нами исследования основаны на результатах М. Г. Крейна [16], [39], полученных для задачи о дихотомии системы (1) с постоянными коэффициентами и для дискретного уравнения Ляпунова, а также на работах [19], [20], в которых проводились исследования асимптотической устойчивости решений системы (1) в терминах разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова

H + HA{t)+A*{t)H = -C{t), 0 < t <Т, (2)

Н(0) = Н(Т) > 0.

В частности, в работах [19], [20], используя решения этой задачи получены оценки скорости убывания матрицанта системы (1) при t —> оо, которые в случае постоянных коэффициентов совпадают с известной оценкой М. Г. Крейна [16] нормы матричной экспоненты.

В данной диссертации показывается также, что на основе задачи (2) можно проводить численные исследования асимптотической устойчивости решений системы (1).

Настоящая диссертация состоит из трех глав. Приведем описание основных результатов.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Клевцова, Юлия Юрьевна

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты диссертации.

1. Установлены новые условия экспоненциальной дихотомии систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Эти условия формулируются в терминах разрешимости специальной краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова.

2. В терминах решений краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова: а) получены оценки параметров экспоненциальной дихотомии; б) получены оценки модулей мультипликаторов, характеризующие их расстояние до единичной окружности; в) доказаны теоремы о возмущении коэффициентов, при которых сохраняется дихотомия; г) доказаны теоремы о непрерывной зависимости, из которых вытекает, что задача о построении решений краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова хорошо обусловлена.

3. На основе теоретических результатов разработаны алгоритмы для численного исследования асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в линейных членах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Клевцова, Юлия Юрьевна, 2007 год

1. АБРАМОВ А. А. О граничных условиях в особой точке для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1971. Т. И, № 1. С. 275-278.

2. АКУЛЕНКО Л. Д. Оптимальная эволюция динамической системы при высокочастотных воздействиях // ДАН. 2005. Т. 405, №1. С. 35-38.

3. Айдын К., Булгаков А. Я., Демиденко Г. В. Числовые характеристики асимптотической устойчивости решений линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1227-1237.

4. Айдын К., Булгаков А. Я., Демиденко Г. В. Асимптотическая устойчивость решений возмущенных линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 3. С. 493-507.

5. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.6. баталова 3. е., Бухалова н. в. О структуре фазового пространства параметрически возбуждаемого ротора // Динам, систем: Качеств.-числ. исслед. динам, систем. Горький, 1988. С. 18-33.

6. Голуб Дж., ван Лоун ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

7. ГОРЯЧЕНКО В. Д. Элементы теории колебаний. М.: Высш. шк., 2001.

8. ДалецкиЙ Ю. Л., крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

9. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 332-348.

10. ДЖАКОВ П., МИТЯГИН Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и Дирака // УМН. 2006. Т. 61, вып. 4. С. 77-182.

11. Добровольский С. М., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 6. С. 10-14.

12. КАТТАНИ К., СеЙРАНЯН А. П. Области неустойчивости системы с периодически изменяющимся моментом инерции // ПММ. 2005. Вып. 6. С. 905-911.

13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.38. коняев С. и. К исследованию устойчивости решения уравнения Уиттекера // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200, № 5. С. 1048-1050.

14. ЛАПТИНСКИЙ В. Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. Минск, 1998.

15. МАЙЗЕЛЬ А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политех, ин-та, 51, сер. ма-тем. 1954. С. 20-50.45. малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952.

16. МАССЕРА X. Л., шеффер X. X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

17. Якубович В. А., СтаржинскиЙ В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

18. Bittanti S., Bolzern P., colaneri P. The extended periodic Lyapunov lemma // Automatica. 1985. V. 21. P. 603-605.

19. BULGAK A., BULGAK H. Linear algebra. Konya: Selguk University, 2001.

20. BULGAKOV A. YA. Matrix computation with guarateed accuracy in stability theory. Konya: Selguk University, 1995.

21. Demidenko g. v., KlevtsovA y. y. A modification of the matrix sign function method // Selguk Journal of Applied Mathematics. 2001. V. 2, № 1. P. 47-58.

22. KANO H., NlSHIMURA T. Lyapunov equations, inequalities and stability theorems for periodic systems // Trans. Inst. Systems Control Inform. Engrs. 2000. V. 13, № 3. P. 134-140.

23. SANSONE G. The Minor sky stroboscopic method applied to the Mathieu Van der Pol oscillator // В кн.: Комплексный анализ и его приложения. М. Наука, 1978. С. 531-533.

24. ZHOU Q., Wang Н. Periodic solution in electron beam focusing theory // Acta Math. Appl. Sin. 1988. V. 11, № 4. P. 433-443.