Исследование бесконечномерных симметрий точно решаемых моделей статистической механики и квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Пугай, Ярослав Петрович

• Пугай, Ярослав Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пугай, Ярослав Петрович

• Оглавление

1 Введение

2 Комбинаторика путей и фермионные характеры

2.1 Одномерные конфигурации.

2.1.1 Пути.

2.1.2 Веса, сегменты и вершины. ф 2.1.3 Веса одномерной конфигурации.

2.1.4 Полосы и четность.

2.1.5 Переопределение весов путей.

2.1.6 Фундаментальная последовательность пути.

2.2 Комбинаторные преобразования.

2.2.1 В- преобразования.

2.2.2 ¿^-преобразование.

2.2.3 ¿^-преобразование.

2.2.4 Движения частиц.

2.2.5 ¿^-преобразование.

2.2.6 Содержание частиц в пути.

2.2.7 Р-преобразование.

2.3 Фермионные характеры.

2.3.1 Цепные дроби и гпп-система.

2.3.2 Зоны.

2.3.3 шп-система.

2.3.4 Обобщенная матрица Картана.

II 2.3.5 Сектора.

2.3.6 Генерирующие функции и формулы для характеров

2.3.7 Формулы для характеров.

3 Алгебраический анализ

3.1 Решеточные модели.

3.1.1 Модели ВВГ.

3.1.2 Модели АБФ.

3.2 Эвристический подход.

3.2.1 Угловая трансфер матрица.

3.2.2 Спектр углового гамильтониана.

3.2.3 Многоточечные функции.

3.2.4 Двухточечная JIBB.

3.3 Представление свободными полями.

• 3.3.1 Бозонное представление операторов.

3.3.2 Комплекс Фельдера.

3.3.3 Вычисление следов

3.3.4 Интегральное представление.

3.4 Технические вопросы.

3.4.1 Матрицы U.

3.4.2 Доказательство коммутационных соотношений

3.4.3 Формулы для вычисления следов.

3.4.4 Вычисление простейшего интеграла.

4 Деформированная алгебра Вирасоро

4.1 Динамическая симметрия.

4.2 Экранирующий оператор Лукьянова.

4.3 Когомологии БРСТ комплекса.

5 Вакуумные ожидаемые значения

5.1 Операторы второго рода.

5.1.1 Первое связанное состояние.

5.1.2 Предписание для форм факторов.

5.2 Скейлинговый предел.

5.2.1 Операторы слияния.

5.2.2 Вакуумные ожидаемые значения

6 Деформированные W алгебры

6.1 Коммутационные соотношения

Л 6.1.1 A^lx модели Джимбо, Мивы и Окадо.

6.1.2 Коммутационные соотношения.

6.2 Антисимметричное слияние

6.2.1 Слияние больцмановских весов.

6.2.2 Дуальные вершинные операторы

6.3 Бозонизация вершинных операторов.

6.3.1 Бозоны.

6.3.2 Экспоненциальные операторы.

6.3.3 Вершинные операторы.

6.3.4 Графическое определение вершинных операторов

6.3.5 Доказательство обменных соотношений

6.3.6 Доказательства теорем 3.2 и 3.3.

6.4 БРСТ комплекс.

6.4.1 Обозначения для sln алгебры Ли

6.4.2 Базисные операторы.

6.4.3 XQ{\) как сплетающие операторы.

6.4.4 Конформный предел

7 Вершинные операторы восьмивершинноп модели

7.1 Разностные уравнения.

7.1.1 Связь с ВВГ моделями.

7.1.2 Бозонизация.

7.2 Корреляционные функции.

8 Деформированная парафермионная алгебра

8.1 Антиферромагнитные АБФ модели.

8.1.1 Больцмановских веса.

8.1.2 Вершинные операторы в наивном подходе.

8.1.3 Локальные спиновые вероятности.

8.2 Свободно-полевая реализация.

8.2.1 Основные операторы

8.2.2 Коммутационные соотношения.

8.2.3 Свободно-полевая резольвента.

8.2.4 Отождествление с решеточной теорией.

8.2.5 Правила слияния для парафермионных токов

8.3 Форм факторы на решетке

8.3.1 Следы операторов типа II

8.3.2 Спиновый оператор.

8.4 Технические вопросы-.

8.4.1 Формулы для бозонных операторов.

8.4.2 Резольвента £-r¡ системы.

8.4.3 Вычисление следа.

9 Форм факторы в моделях

9.1 Скейлинговый предел в режиме 2.

9.1.1 Модели Коберле Свиеки.

9.1.2 Проекционные операторы.

9.2 Форм факторы.

9.2.1 Двухчастичные форм факторы.

9.2.2 Случай многих частиц.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование бесконечномерных симметрий точно решаемых моделей статистической механики и квантовой теории поля»

В настоящее время теория точно решаемых (интегрируемых) моделей статистической механики и квантовой теории поля превратилась в обширную область науки со своими собственными проблемами, идеями и методами решения. Центральной и наиболее важной задачей в ней, безусловно, является точное вычисление всех корреляционных функций локальных операторов, дающих полное описание модели. Первоначально единственными примерами моделей с известными корреляционными функциями являлись модель свободного бозонного поля, знаменитая (решеточная и скейлинговая) модель Изинга в нулевом магнитном поле (Он-загер, 1944, Маккой, Ву и др. 1973) [108, 141] и конформные теории поля [20, 145, 41] (Белавин, Поляков, Замолодчиков, 1984; Доценко, Фатеев, 1984; Книжник, Замолодчиков, 1984; Фатеев, Замолодчиков, 1985). Эти примеры имели множество концептуальных приложений для развития квантовой теории поля, физики конденсированных состояний и статистической механики, а также стимулировали развитие теории интегрируемых моделей. В частности, они стали важным инструментом для проверки приближенных и численных методов и различных предположений в физике. Кроме того, некоторые черты интегрируемых моделей сохраняются при неинтегрируемых деформациях, поэтому знание интегрируй емых случаев может служить основой для правильных предположений о свойствах более реалистичных моделей.

До недавнего времени одной из основных трудностей нахождения корреляционных функций в некритических интегрируемых моделях являлось отсутствие каких либо очевидных неабелевых алгебр симметрий (обобщающих алгебру свободных бозонов, свободных фермионов модели Изинга или алгебру Вирасоро и ее расширений моделей конформной теории поля) которые бы описывали пространство состояний и характеризовали локальные операторы. В частности, спектр гамильтониана в некритических/массивных теориях со взаимодействием устроен более сложно чем в свободных теориях и двумерных конформных теориях поля. В то же время, начиная с 1984 г., когда были введены конформные теории поля Белавина-Полякова-Замолодчикова и, независимо, решеточные интегрируемые модели Андрюса-Бакстера-Форрестера, была замечено, что данные модели, по-видимому, могут описываться сходным образом. Именно, было сделано наблюдение, что в подходе Угловой Трансфер Матрицы (Бакстер, 1976) спектр Углового Гамильтониана совпадает со спектром градуирующего оператора в минимальных унитарных моделях конформной теории поля. В то же время из-за отсутствия конформной симметрии в некритических решеточных моделях появление алгебры Вирасоро казалось довольно неожиданным (так называемый "парадокс Вирасоро", Хьюз, 1984, Джимбо и др. 1986, Бауэр и Салер 1985). В последствии, это замечательное явление привлекло внимание большого числа специалистов по комбинаторике, теории представлений бесконечномерных алгебр и интегрируемым системам.

С комбинаторной точки зрения спектр углового гамильтониана [10, 14], описываемый характером сильновырожденных представлений алгебры Вирасоро, определяет (знакопеременную) часть тождеств типа Род-жерса-Рамануджана. Было найдено, что комбинаторные методы, примененные для моделей Андрюса-Бакстера-Форрестера, допускают обобщение на другие модели с расширенными алгебрами симметрий и, более того, позволяют получать как знакопеременную ("бозонную"), так и знакопостоянную ("фермионную") части тождеств типа Роджерса-Рамануджана, а также их полиномиальных обобщений. В диссертации обсуждается вопрос о структуре фермионных формул для характеров, в частности о наличии разнообразных комбинаторных преобразований для этих формул.

Важнейший шаг в применении методов теории представлений к нахождению корреляционных функций в некритических интегрируемых двумерных моделях был сделан в работах Фоды и Мивы (1991), и Дэвиса-Джимбо-Фоды-Мивы-Накаяшики (1992). Для случая б-вершинной модели (или спиновой XXZ цепочки Гейзенберга-Изинга) ими было найдено, что пространство состояний решеточной модели в подходе угловой трансфер матрицы описывается квантовой аффинной алгеброй, и что возможно эффективно обобщить технику и идеи конформной теории поля (неабелевы симметрии, конформные блоки, примарные поля) и применить развитый к тому времени аппарат теории представлений квантовых алгебр (вершинные операторы, бозонизация и т.д.) для точной диа-гонализации гамильтониана и нахождения корреляционных функций и матричных элементов локальных операторов (форм факторов) в виде контурных интегралов от некоторых мероморфных функций. Наиболее общие модели с больцмановскими весами, задаваемыми эллиптическими решениями уравнений Янга-Бакстера, некоторое время не поддавались подобному алгебраическому анализу в силу отсутствия понимания о существовании и виде скрытой динамической бесконечномерной алгебры симметрии, ее представлениях, вершинных операторах и т.д. Обсуждение и развитие этих вопросов является другой целью настоящей диссертации.

Для массивных интегрируемых моделей квантовой теории поля развитие алгебраических методов на основе подхода с использованием угловой трансфер матрицы и вершинных операторов оказалось не менее эффективным, так как позволило разработать мощный аппарат для вычисления точных форм факторов физически важных локальных операторов (Лукьянов, 1993). Данные вопросы, а также проблема нахождения точных вакуумных ожидаемых значений локальных операторов, определяющих как длинно- так и короткодистанционные асимптотики скейлин-говых корреляционных функций, также обсуждаются в диссертации.

Главной целью диссертации является развитие алгебраического (сим-метрийного) подхода для изучения структуры пространства состояний, кореляционных функций и матричных элементов локальных операторов в различных некритических/массивных интегрируемых двумерных моделях статистической механики и квантовой теории поля. Более конкретно, в диссертации ставятся следующие задачи.

1. Нахождение алгебр динамической симметрии в интегрируемых решеточных моделях со взаимодействием вокруг граней.

2. Построение неприводимых представлений новых неабелевых бесконечномерных алгебр симметрий различных решеточных моделей.

3. Построение спиновых операторов, и операторов, диагонализующих гамильтониан; определение их матричных элементов и, как следствие, получение новых (интегральных) представлений для корреляционных функций и форм факторов для решеточных теорий.

4. Построение новых форм факторов локальных операторов в соответствующих интегрируемых моделях квантовой теории поля и их применение для анализа корреляционных функций.

5. Прояснение алгебраической природы точных вакуумных ожидаемых значений локальных операторов в массивных возбуждениях конформной теории поля.

6. Изучение пространства состояний моделей Андрюса, Бакстера и Форрестера. Прояснение комбинаторных аспектов тождеств типа Щура-Роджерса-Рамануджана.

7. Изучение эллиптических алгебр для восьмивершинной модели и матричных элементов соответствующих вершинных операторов, а также нахождение интегральных представлений для корреляционных функций.

Задачи, поставленные в предлагаемой диссертации, являются весьма актуальными и их решение представляет интерес для специалистов в области интегрируемых моделей квантовой теории поля и статистической механики, теории представлений бесконечномерных квантовых групп.

Впервые поставлена и решена задача о нахождении алгебр динамической симметрии в бесконечных иерархиях моделей Андрюса, Бакстера и Форрестера, в Ап моделях Джимбо-Мивы-Окадо. Впервые описаны неприводимые полностью вырожденные представления деформированной алгебры Вирасоро и Ш алгебр. Впервые построены интегральные представления для многоточечных корреляционных функций в данных решеточных моделях. Впервые построены форм факторы локальных операторов (к > 3) симметричных моделей Коберле-Свиеки (параферми-онных конформных теорий, возмущенных первым оператором энергии). Фермионные формулы для полиномиальных характеров полностью вырожденных неунитарных представлений алгебры Вирасоро впервые построены путем комбинаторных преобразований, связывающих представления с разными центральными зарядами. Впервые найдено описание матричных элементов вершинных спиновых операторов для восьмивершинной модели и найдены интегральные представления для корреляционных функций. Предложена новая процедура получения вакуумных ожидаемых значений для интегрируемых возмущенных конформных теорий поля, основанная на анализе вершинных операторов соответствующей решеточной модели.

Все результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, неоднократно докладывались на международных семинарах и конференциях. Они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях. Результаты, лежащие в основе диссертации опубликованы в 1992-2004 годах в работах [110], [111], [113], [120], [114], [115], [118], [116], [121], [122], [123], [124]. Автору принадлежит постановка теоретических задач, определение метода решения и получение конкретных результатов.

Диссертация состоит из введения, 8 глав основного текста, содержащих 24 параграфа, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пугай, Ярослав Петрович

Глава 10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пугай, Ярослав Петрович, 2004 год

1. A. K. Agarwal and D. M. Bressoud Lattice paths and multiple basic hypergeometric series. Pac. J. Math. 136, 209-228 (1989).

2. G. E. Andrews, R. J. Baxter, and P. J. Forrester. Eight-vertex SOS model and generalized Rogers-Ramanujan-type identities. J. Stat. Phys. 35, 193-266 (1984).

3. G. E. Andrews, An analytic generalization of the Rogers-Ramanujan identities for odd moduli, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 71, 4082-4085 (1974).

4. G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 2, Addison-Wesley (1976).

5. G. E. Andrews, Multiple series Rogers-Ramanujan type identities. Pac. J. Math. 114, 267-283 (1984).

6. G. E. Andrews, R. J. Baxter, D. M. Bressoud, W. H. Bürge, P. J. Forrester, and G. X. Viennot, Partitions with prescribed hook differences, Europ. J. Comb. 8, 341-350 (1987).

7. H. Au-Yang, J.H.H. Perk. Critical correlations in a Z-invariant inho-mogeneous Ising model. Physica A144, 44-104 (1987).

8. H. Awata, H. Kubo, S. Odake, and J. Shiraishi. Quantum Wn algebras and Macdonald polynomials, 1995. q-alg/9508011.

9. W. N. Bailey, Identities of the Rogers-Ramanujan type, Proc. London Math. Soc. 50, 1-10 (1949).

10. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press (1982)

11. R. J. Baxter, Phys. Rev. Lett. 26, 832 (1971); Ann. Phys. (N. Y.) 70, 193 (1972).

12. R. J. Baxter. Partition function of the eight-vertex lattice model. Ann. Phys. 70, 193-228 (1972).

13. R. J. Baxter. Corner Transfer matrices of the eight vertex model. Low-temperature expansions and conjectured properties. J. Stat. Phys. 15, 485-503 (1976).

14. R. J. Baxter and S. B. Kelland, J. Phys. C7, L403 (1974).

15. M. N. Barber and R. J. Baxter, J. Phys. C6, 2913 (1973).

16. R. J. Baxter. Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A289, 315-346 (1978).

17. V. V. Bazhanov and N. Yu. Reshetikhin. Critical RSOS models and confromal field theory. Int. J. Mod. Phys., 4, 115-142 (1989).

18. V. V. Bazhanov and N. Yu. Reshetikhin. Scattering amplitudes in off-critical models and RSOS integrable models. Prog. Theor. Phys. Supplement. 102,301-318 (1990).

19. A. A. Belavin, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory. Nucl. Phys. B 241, 333-380 (1984).

20. A. Berkovich. Fermionic counting of RSOS-states and Virasora character formulas for the unitary minimal series M(v, v + 1). Exact results. Nucl. Phys. B431, 315-348 (1994).

21. A. Berkovich and B. M. McCoy, Continued fractions and fermionic representations for characters of M(p,p') minimal models. Lett. Math. Phys. 37, 49-66 (1996).

22. D. Bernard and G. Felder. Fock representations and BRST cohomology in SL(2) current algebra. Comm. Math. Phys. 127, 145-168 (1990).

23. A. H. Bougourzi, Bosonization of quantum affine groups and its application to the higher spin Heisenberg model, preprint ITP-SB-97-29, q-alg/9706015 (June 1997).

24. P. Bouwknegt, J. McCarthy, and K. Pilch. Free field appraoch to 2-dimensional conformal field theories. Prog. Theoret. Phys. Supplement. 102 67-135 (1990).

25. P. Bouwknegt, J. McCarthy, and K. Pilch. Quantum group structure in the Fock space resolution of sl(n) representations. Comm. Math. Phys. 131, 125-155 (1990).

26. P. Bouwknegt, J. McCarthy, and K. Pilch. Free field approach to 2-dimensional conformal field theories. Prog. Theoret. Phys. Supplement 102, 67-135 (1990).

27. V. Brazhnikov and S. Lukyanov. Angular quantization and form factors in massive integrable models. Nucl. Phys. B512, 616-636 (1998).

28. D. M. Bressoud, Lattice paths and the Rogers-Ramanujan identities, in Proceedings of the international Ramanujan centenary conference, 140-172, Madras, 1987, ed. K. Alladi. Lecture Notes in Mathematics 1395, Springer (1989).

29. W. H. Bürge, A three-way correspondence between partitions, Europ. J. Comb. 3, 195-213 (1982).

30. W. H. Bürge, Combinatorial interpretations of some identities of the Rogers-Ramanujan type, preprint (1982).

31. W. H. Bürge, Restricted partition pairs, J. Comb. Th. A 63, 210-222 (1993).

32. H. W. Capel. Physica (Utrecht) 32, 966 (1966); V. Blume. Phys. Rev. 141, 617 (1966).

33. L. Clavelli, J. A. Shapiro. Pomeron Factorization in General Dual Models. Nucl. Phys. B57, 490-535 (1973)

34. S. Dasmahapatra and O. Foda Strings, paths and standard tableaux, Int. J. Mod. Phys. A 13, 501-522 (1998).

35. D. Davies, O. Foda, M. Jimbo, T. Miwa, A. Nakayashiki. Diagonali-zation of the XXZ Hamiltonian by Vertex Operators. Commun. Math. Phys. 151, 89-153 (1993).

36. C. Domb, J. L. Lebowitz (eds). Phase transitions and Critical Phenomena, vol. 12, Academic Press, New York (1988).

37. Bji. C. JXoneuKO. }K9T<X> 75, 1083 (1978).

38. VI. S. Dotsenko. J. Stat. Phys. 34, 781 (1984).

39. C. Fan and F. Y. Wu, Phys. Rev. B2, 723 (1970).

40. V. A. Fateev. Integrable deformations in Z^-symmetrical models of the conformal quantum field theory. Int. J. Mod. Phys. A, 6, 2109-2132 (1991).

41. V. A. Fateev and S. L. Lukyanov. The models of two-dimensional conformal quantum field theory with with Zn symmetry. Int. J. Mod. Phys. A3, 507-520 (1988).

42. V. A. Fateev and S. L. Lukyanov. Additional symmetries and exactly soluble models in two-dimensional field theory. Soviet Sci. Rev. 15, 1-117 (1990).

43. V. Fateev, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov and Al. Zamolodchikov. Expectation values of local fields in Bullough-Dodd model and integrable perturbed conformal field theories. Nucl. Phys. B516, 652-674 (1998).

44. V. Fateev, D. Fradkin, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov and Al. Zamolodchikov. Expectation values of descendents fields in the sine-Gordon model. Nucl.Phys. B540, 587-609 (1999). hep-th/9807236]

45. P. Baseilhac, V. A. Fateev. Expectation values of local fields for a two-parameter family of integrable models and related perturbed conformal field theories. Nucl.Phys. B532, 567-587 (1998).

46. V. A. Fateev. Normalization factors in conformal field theory and their applications. Mod. Phys. Lett. A15 259-270 (2000).

47. C. Ahn, V. A. Fateev, C. Kim, C. Rim, B. Yang. Reflection Amplitudes of ADE Toda Theories and Thermodynamic Bethe Ansatz Nucl.Phys. B565 611-628, (2000).

48. B. L. Feigin and A. V. Odesskii. Vector bundles on elliptic curve and Sklyanin algebras, 1995. RIMS-1032, q-alg/9509021.

49. B. L. Feigin and D. B. Fuchs. Representations of the Virasoro algebra. In: Topology, proceedings, Leningrad 1982. L. D. Faddeev, A. A. Mal'cev (eds.)Lecture Notes in Mathematics, 1060, Berlin, Heidelberg, New York: Springer (1984).

50. B. L. Feigin, D. B. Fuchs. Representations of the Virasoro algebra. In: Topology, Proceedings, Leningrad 1982. Faddeev, L.D., Mal'cev, A.A. (eds.). Lecture Notes in Mathematics, vol. 1060. Berlin Heidelberg, New York: Springer (1984).

51. B. L. Feigin and E. V. Frenkel. Affine Kac-Moody algebras and semiinfinite flag manifold. Comm. Math. Phys. 128, 161-189 (1990).

52. B. L. Feigin and E. V. Frenkel. Quantum W-algebras and elliptic algebras. Comm. Math. Phys., 178, 653-678 (1996).

53. E. Frenkel, N. Reshetikhin. Quantum affine algebras and deformations of the Virasoro and W-algebras. Preprint (1995) (q-alg/9505025)

54. G. Felder. BRST approach to minimal models. Nucl. Phys. B317, 215-236 (1989).

55. G. Felder and A. Varchenko. On representations of the elliptic quantum group ET>r){sl2). (1996). q-alg/9601003.

56. Ph. Di Francesco, P. Mathieu and D. Senechal, Conformal Field Theory, Springer (1996).

57. O. Foda and S. 0. Warnaar, A bijection which implies Melzer's polynomial identities: thexi'f+1) case, Lett. Math. Phys. 36, 145-155 (1996).

58. P. J. Forrester and R. J. Baxter, Further exact solutions of the eight-vertex SOS model and generalizations of the Rogers-Ramanujan identities. J. Stat. Phys. 38, 435-472 (1985).

59. E. Fradkin, L. Kadanoff. Nucl. Phys. B170 FS1], 1 (1980).

60. D. Fridan, Z. Qiu, S. Shenker. Conformal invariance, unitarity and critical exponents ib two dimensions. Phys. Rev. Lett. 52, 1575 (1984).

61. D. Fridan, Z. Qiu, S. Shenker. Phys. Lett. B151, 37 (1985).

62. B. Gordon, A combinatorial generalisation of the Rogers-Ramanujan identities, Amer. J. Math. 83, 393-399 (1961).

63. D.A. Huse. Exact exponents for infinitely many new multi-critical points. Phys. Rev. B30, 3908-3915 (1984)

64. D.A. Huse, M.E. Fisher. Phys. Rev. B29, 239 (1984).

65. E. Itzykson, H. Saleur, J.B. Zuber (eds.). Conformal invariance and application to statistical mechanics. World Scientific (1988).

66. T. Jayaraman, K. S. Narain, and M. H. Sarmadi. SU(2)k WZW and Zk parafermion models on the torus. Nucl. Phys. B343, 418-449 (1990).

67. Jimbo, M. (ed.): Yang-Baxter equation in integrable systems, World Scientific, Singapore (1989).

68. M. Jimbo and T. Miwa. Quantum KZ equation with |g| = 1 and correlation functions of the XXZ model in the gapless regime. RIMS preprint RIMS-1058 (1996) (hep-th/9601135)

69. M. Jimbo and T. Miwa, Algebraic Analysis of Solvable Lattice Models, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 85, AMS, (1994)

70. M. Jimbo, T. Miwa, and M. Okado. Local state probabilities of solvable lattice models:an A^ family. Nucl. Phys., B300FS22],74-108 (1988).

71. M. Jimbo, T. Miwa, and M. Okado. Solvable lattice models whose states are dominant integral weights of A^^. Lett. Math. Phys., 14, 123-131 (1987).

72. E. Date, M. Jimbo, M. Okado. Lett. Math. Phys. 12, 209 (1986)

73. O. Foda, K. Iohara, M. Jimbo, R. Kedem, T. Miwa, and H. Yan, Lett. Math. Phys. 32, 258 (1994)

74. M. Jimbo, T. Miwa, and A. Nakayashiki, J. Phys. A26, 2199 (1993)

75. M. Jimbo, K. Miki, T. Miwa, A. Nakayashiki. Correlation functions of the XXZ model for A < -1. Phys. Lett. A168, 256-263 (1992)

76. B. Davies, O. Foda, M. Jimbo, T. Miwa, and A. Nakayashiki. Diago-nalization of the XXZ Hamiltonian by vertex operators. Comm. Math. Phys., 151:89-153, 1993.

77. M. Jimbo, T. Miwa, and Y. Ohta. Structure of the space of states in RSOS models. Int. J. Mod. Phys. A8, 1457-1477 (1993).

78. V. G. Kac and D. H. Peterson. Infinite-dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms. Adv. in Math., 53,125-264 (1984).

79. М. Karowski and P. Weisz. Exact form factors in (1 + l)-dimensional field theoretic models with soliton behaviour. Nucl. Phys. B139, 455476 (1978).

80. S.-J. Kang, M. Kashiwara, К. C. Misra, T. Miwa, T. Nakashima, and A. Nakayashiki, C. R. Acad. Sci. Paris, 3151, 375 (1992)

81. A. N. Kirillov, F. A. Smirnov. ITF preprint, ITF-88-73R, Kiev (1988).

82. T. R. Klassen and E. Melzer. Purely elastic scattering theories and their ultraviolet limits. Nucl. Phys., B338,485-528 (1990).

83. R. Koberle and J. A. Swieca. Factorizable Z(N) models. Phys. Lett. B86, 209-210 (1979).

84. V.E. Korepin, A.G. Izergin, F.H. Essler, D.B. Uglov. Correlation functions of the spin \ XXX antiferromagnet. Phys. Lett. A190, 182-184 (1994)

85. А. Кадейшвили. Письма в ЖЭТФ, 82, 1021 (1996).

86. Н. Konno. An elliptic algebra UqtP(sl2) and the fusion RSOS model. Comm. Math. Phys. 195, 373-403 (1998).

87. M. Lashkevich. Scaling limit of the six vertex model in the framework of free field representation. JHEP, 9710 003 (1997).

88. M. Yu. Lashkevich, Mod. Phys. Lett. BIO, 101 (1996) (hep-th/9408131)

89. M. Lashkevich. Free field contruction for the eight vertex model: representation for form factors. Nucl. Phys. B621, 587-621 (2002).

90. A. LeClair. Restricted Sine-Gordon theory and the minimal conformal series. Phys. Lett. B230, 103-107 (1989).

91. S. Lukyanov. Free field representation for massive integrable models. Comm. Math. Phys. 167 183-226 (1995).

92. S. Lukyanov. Form-factors of exponential fields in the sine-Gordon model. Mod. Phys. Lett. A12, 2543-2550 (1997).

93. Lukyanov, S.: A note on the deformed Virasoro algebra. Phys. Lett. B367, 121-125 (1996)

94. S. Lukyanov. Form-factors of exponential fields in the affine toda models. Phys. Lett. B, 408:192-200, 1997.

95. S. Lukyanov, A. Zamolodchikov. Exact expectation values of local fields in quantum sine-Gordon model. Nucl. Phys. B 493, 571-587 (1997)

96. S. L. Lukyanov. Correlators of the Jost functions in the sine-Gordon model. Phys. Lett. B, 325:409-417, 1994.

97. B. McCoy, T.T. Wu. The two dimensional Ising model. Harvard Uni-vesity press, Cambridge MA (1973).

98. A.Matsuo. A g-deformation of Wakimoto modules, primary fields and screening operators. Comm. Math. Phys., 161:33-48, 1994.

99. J. R. Reyes Martinez, Correlation functions for the Z-invariant Ising model, hep-th/9609135 (September 1996)

100. T. Miwa, R. Weston, Bondary ABF model. Nucl. Phys. B486 517-545 (1997)

101. Koubek, A. and Mussardo, G.: On the operator content of the sine-Gordon model. Phys. Lett. B311, 193-201 (1993)

102. L. Obnsager. Phys. Rev. 65, 117 (1944)

103. T. Oota. Functional equations of form factors for diagonal scattering theories. Nucl. Phys. B, 466:361-382, 1996.

104. S. Lukyanov and Ya. Pugai. Bosonization of ZF algebras: Direction toward deformed Virasoro algebra. J. Exp. Theor. Phys. 82, 1021-1045 (1996)

105. S. Lukyanov and Y. Pugai. Multi-point local height probabilities in the integrable RSOS model. Nucl. Phys. B473, 631-658, 1996.

106. M. Jimbo, M. Lashkevich, T. Miwa, and Y. Pugai. Lukyanov's screening operators for the deformed Virasoro algebra. Phys. Lett. A, 229:285-292, 1997.

107. О. Foda, K.L. Lee, Y. Pugai and T. A. Welsh, Path generating transforms. Contemporary Mathematics, 254, 157-186 (2000).

108. Y. Pugai, Lattice W algebras and quantum groups. Teop. Mam. Физ. 100, 132-147 (1994).

109. Y. Pugai, On normalization of form-factors and vertex operators. In "Statistical Field Theories", eds. A. Cappelli, G. Mussardo, Kluwer Academic Publisher, 2002, pp. 57-66.

110. Y. Pugai, Quantum Analogue of the Gel'fand-Dikii bracket. Phys.Lett. B279, 34-40 (1992).

111. Y. Asai, M. Jimbo, T. Miwa, Y. Pugai, Bosonization of Vertex operators for the A^ Face Model". J. Phys. A29, 6595-6616 (1996).

112. Y. Asai, M.Jimbo, T.Miwa, and Y. Pugai. Bosonization of vertex operators for the face model. J. Phys. A, A29:6595-6616, 1996.

113. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, A. Odesskii, and Y. Pugai. Algebra of screening operators for the deformed Wn algebra. Commun. Math. Phys., 191:501-541, 1998.

114. Y. Pugai, Notes on WGL(n) algebras and quantum Miura transformation. Int. J. Mod. Phys. A8, 5023-5039 (1993).

115. M. Lashkevich, Y. Pugai, Free field construction for correlation functions of the eight vertex model. Nucl. Phys. B516, 623-651 (1998).

116. M. Lashkevich, Y. Pugai, Nearest neighbour two-point function of the Z-invariant eight-vertex model. Письма в ЖЭТФ, 68, 257-262 (1998).

117. M. Jimbo, Н. Konno, S. Odake, J. Shiraishi, Y. Pugai, Free field construction for ABF models in the regime II. J. Statist. Phys. 102, 883921 (2001).

118. A. Belavin, V. Belavin, A. Litvinov, Y. Pugai and Al. Zamolodchikov, On correlation functions in the perturbed minimal models Л^2,2п+1-Nucl. Phys. B676, 587-614 (2004).

119. Y.-H. Quano. Bootstrap equations and correlation functions for the Heisenberg XYZ antiferromagnet. J. Phys. A35 9549-9572 (2002)

120. Rocha-Caridi, A.: Representation theory of the Virasoro and super Vi-rasoro algebras: irreducible characters. In: Infinite Lie Algebras and Conformal Invariance In Condensed Matter and Particle Physics, Proceedings, Bonn, 59-80 (1986)

121. H. Saleur, M. Bauer. On some relations between local height probabilities and conformal invariance, Nucí. Phys. B320, 591-624 (1989)

122. N. Reshetikhin, F.A. Smirnov. Hidden quantum group symmetry and integrable perturbations of conformal field theories. Commun. Math. Phys. 131, 157-177 (1990)

123. F.A. Smirnov. Form factors in completely integrable models of quantum field theory. Singapore: World Scientific (1992)

124. F.A. Smirnov. The perturbated с < 1 conformal field theories as reductions of sine-Gordon model. Int. J. Mod. Phys. A4 4213-4220 (1989)

125. F.A. Smirnov. Reductions of the sine-Gordon model as a perturbation of minimal models of conformal field theory. Nucl. Phys. B337, 156180 (1990)

126. F.A. Smirnov. Quantum groups and generalized statistics in integrable models. Comm. Math. Phys., 132:415-439, 1990.

127. F.A. Smirnov. Dynamical symmetries of massive integrable models. Int. J. Mod. Phys., A7 813-837; 839-858 (1992).

128. F.A. Smirnov. Counting the local fields in sine-Gordon theory Mucl. Phys., B453 807-824 (1995).

129. J. Shiraishi, H. Kubo, H. Awata, and S. Odake. A quantum deformation of the Virasoro algebra and the Macdonald symmetric functions, 1995, Lett. Math. Phys. 38, 33 (1996). q-alg/9507034.

130. B. Sutherland, J. Math. Phys. 11, 3183 (1970)

131. Tarasov, V. and Varchenko, A., arXiv:q-alg/9703044].

132. A. M. Tsvelik. The exact solution of 2D Zjv invariant statistical models. Nucl. Phys. B, 305:675-684, 1988.

133. S.O. Warnaar, Fermionic solution of the Andrews-Baxter-Forrester model I. Unification of TBA and CTM methods, J. Stat. Phys. 82 (1996) 657-685.

134. AJI. B. 3aM0ji0AHHK0B. )K9TO 75, 341 (1978).

135. A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov. Ann. Phys. 120 253-291 (1979)

136. A. B. Zamolodchikov and V. A. Fateev. Nonlocal (parafermion) currents in two-dimensional conformal quantum field theory and self-dual critical points in Z^-symmetric statistical models. Sov. Phys. JETP, 62(2):215-225, 1985.

137. Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov Al. B.: Conformal field theory and critical phenomena in two-dimensional systems. Physics reviews v.10, 269-433 (1989). (Ed.) I.M. Khalatnikov, London UK: Harwood 1989 (Soviet scientific reviews. Section A.10.4)

138. A. B. Zamolodchikov. Integrals of motion in scaling 3-state Potts model field theory. Int. J. Mod. Phys. A, 3:743-750, 1988.

139. A.B. Zamolodchikov. Integrable field theory from conformal field theory. Adv. Stud, in Pure Math. 19, 641-674 (1989)

140. Al. B. Zamolodchikov. Two-point correlation function in scaling LeeYang model. Nucl. Phys., B348:619-641, 1991.

141. Zamolodchikov Al. B.: Mass Scale In The Sine-Gordon Model And Its Reductions. Int.J.Mod.Phys., AlO, 1125 (1995)

142. A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov. Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory. arXive:hep=th/9506136