Использование метода площадей и объемов при решении школьных геометрических задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Овчинникова, Елена Евгеньевна

• Овчинникова, Елена Евгеньевна
• кандидат педагогических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Овчинникова, Елена Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. МЕТОД ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ И ЕГО 9 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Методы решения геометрических задач

§2. Метод площадей и объемов

§3. Сравнительный анализ школьных учебников математики на 55 основе анализа теоретического содержания и системы задач и упражнений по темам «Площади» и «Объемы» Выводы по главе I

ГЛАВА II. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 75 МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

§4. Методика обучения методу площадей и объемов при решении 75 планиметрических задач ■

§5. Методика обучения методу площадей и объемов при решении 96 стереометрических задач

§6. Результаты педагогического эксперимента

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование метода площадей и объемов при решении школьных геометрических задач»

Тогда, подставляя полученные выражения в (1), имеем уравнение:

-сЬ-&та = -с-АВып — + -ЬАВ5т—. Откуда после преобразований: 2 2 2 2 2

2cb • cos—

AD =-2-. b + c

В условии этой задачи не говорилось о площадях, но, можно заметить, что биссектриса разбивает треугольник на части, площади которых, исходя из условия, молено легко вычислить, так же легко вычисляется и площадь самого треугольника. Поэтому оказывается полезным метод площадей. Введя площадь как вспомогательный элемент, мы получили решение, которое отличается от часто встречающегося в практике (без применения метода площадей) своей простотой и изяществом.

Рассмотрим еще несколько задач, в которых применение свойства аддитивности площади и формул для вычисления площадей поможет найти длины отрезков.

Задача 2. Стороны треугольника равны 10 см, 10 см, 12 см. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Решение.

Первый способ. Пусть г - радиус вписанной окружности треугольника ABC АС = ВС -10, АВ = 12), Г], г2 и г5 радиусы вневписанн ых окружностей, касающихся сторон АВ, АС и ВС соответственно, О и О 2 и Оз - их центры, S - площадь треугольника ABC, р - его полупериметр.

Поскольку высота СК треугольника АЗС равна 8, то S = 48.

Следовательно, г - — - — = 3. р 16

Если окружность с центром 0¡ касается продолжения стороны ВС в точке М, то из подобия треугольников CMO¡ и СКВ находим, что

ВК-СМ ВК-(ВС + ВМ) ВК-(ВС + ВК) 6-16 ^ г7 = 0,М =-=---- =---- =-= 12.

СК СК СК 8

Пусть окружность с центром О? касается продолжения стороны АВ в точке Е, а продолжения стороны ВС - в точке Е. Поскольку СО2 - биссектриса угла АСЕ, а СК - биссектриса его смежного угла АСВ, то А02СК = 90° . Поэтому 02СК? - прямоугольник. Следовательно, г2 = г3 = ОЕ = С К = 8.

В этом решении для нахождения радиуса вписанной окружности мы двояко выражали площадь данного треугольника. Отметим, что именно такое двоякое выражение площади иллюстрирует применение простейшего варианта метода площадей, о которой говорилось выше.

Радиус же вневписанной окружности, касающейся основания, находили из подобия треугольников. Для определения радиуса вневписанной окружности, касающейся боковой стороны, потребовалось заметить, что он равен высоте, опущенной на основание. Такое решение предполагает последовательное использование следующих геометрических фактов и свойств: высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой; теоремы Пифагора; формулы площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности 5 = р ■ г; перпендикулярность касательной радиусу, проведенному в точку касания; равенство касательных, проведенных к окружности из одной точки; признаков подобия треугольников; угол между биссектрисами смежных углов равен 90°; признаков и свойств прямоугольника.

Рассмотрим второй способ решения этой задачи, когда для нахождения и радиуса вписанной, и радиусов вневписанных окружностей будем пользоваться методом площадей.

Поскольку высота СК треугольника АВС равна 8, то 5 = 48.

Следовательно, /-= — = — = 3. Найдем заметив, что этот радиус р 16 является высотой в треугольниках 02СВ, 02ВА, 02АС. Тогда $АВС= ^о2св + $о2м - £о2лс = --г2-ВС + --г2-АВ---г2-АС. 1 1

С другой стороны, 3АВС = 48. Получаем уравнение:

2 • 48 = г2 • (10 +12 - 10), г2 = 8 = /■ Аналогично находим гг:

2-48 = ^ • (10 + 10 -12), гх =12.

Применение метода площадей явно упрощает решение данной задачи, причем сложность задачи уменьшается из-за отсутствия необходимости использовать такое количество логических рассуждений, как при первом способе решении. Более того, задача из синтетической и технической превращается в красивую задачу, являющуюся ключевой задачей на метод площадей.

Рассмотрим следующую довольно сложную задачу, решить которую помогает метод площадей. Она интересна тем, что точка М из условия является точкой Торричелли данного треугольника и обладает рядом интересных свойств. Одно из них - свойство минимальности, которое заключается в том, что если точка Торричелли лежит внутри треугольника, то сумма расстояний от нее до вершин треугольника есть минимум, то есть эта сумма меньше суммы расстояний от всякой другой точки плоскости треугольника до его вершин. Это свойство лежит в основе современной теории кратчайших сетей. Таким образом, решая задачу, мы имеем возможность познакомить учеников с красивейшими фактами из геометрии треугольника и выйти на проблемы современной математики.

Задача 3. Длины сторон остроугольного треугольника ABC соответственно равны а, Ъ и с. Точка М находится внутри треугольника. Величины углов АМВ, ВМС и СМА равны между собой. Найдите сумму длин отрезков АМ, ВЫ и СМ. Решение.

Каждый из указанных углов равен 120°. Пусть АМ = х,ВМ = у,

СМ = z, SABC = 5 .

Тогда

1 л/3

S = — (xj; + xz + yz) ■ sin 120° - (ху + xz + yz)---.

2 4 находим, что

Отсюда

3(ху + уг + хг) = 4т/з8. Выразим а2, Ъ2 и с2 по теореме косинусов из треугольников ВМС, АМС и АМВ соответственно, и сложим почленно полученные равенства. Тогда 2(х2 + у2 + г2) + (ху + хг + уг) = а2 +Ь2 + с2.

Сложив почленно это равенство с равенством 3(х^ + хг + уг) = 4Л/з£', получим: 2(х2 + у2 + г2 + 2ху + 2хг + 2уг) = а2 + ¿г + с2 + 4л/3£, или 2(х + у + г)2 - а2 +Ь2 +с2 + 4^35 .

I 2 ^2 2

Следовательно, ЛА/ + ВМ + СМ = х + у + г = + +е + 2л/з^, (где Б найдем по формуле Герона: 5 = у/р(р - а)(р - Ь)(р - с)).

Расширение сведений о площадях за счет введения свойств отношений площадей позволяет расширить диапазон применения метода площадей. Выделим свойства, связывающие отношение площадей и отношения соответствующих отрезков, которые полезны для решения задач методом площадей.

Свойство 1. Если два треугольника имеют общую вершину, а противолежащие этой вершине стороны лежат на одной прямой, то площади этих треугольников относятся как стороны, лежащие на одной прямой.

5] т

S., п m п

Свойство 2. Пусть в треугольнике ABC точка М лежит на стороне ВС, sabp вм точка Р - на AM. Тогда Доказательство. А S

АСР

МС ь

Пусть И] И /22 - ВЫСОТЫ в треугольниках АВР и АРС соответственно, проведенные к стороне АР.

Тогда

SACP h2 SACU МС

Свойство 3. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка О - точка

Sab п АО пересечения диагоналей. Тогда ABD S bcd

Доказательство. Ь

ОС

Пусть h\ и кг - высоты в треугольниках ADC и ABC соответственно, проведенные к стороне АС. Тогда abd АО + -к2 - АО

АО S bcd

- И, ■ ОС + -к2- ОС ОС 2 2

Отметим, что свойства 1, 2 и 3 являются частными случаями более общего свойства: в четырехугольнике АВСЭ точка О - точка пересечения диагоналей. Тогда 5 у4bd S bcd

АО ОС Но мы считаем, что методически более целесообразно изучать с учениками три случая, сформулированных в свойствах 1-3, не уточняя, что, по сути, это одно и тоже свойство, которое формулируется для вырожденного четырехугольника в свойстве 1, в свойстве 2 - для невыпуклого четырехугольника АВРС, а в свойстве 3 - для выпуклого.

Свойство 4. Если два треугольника имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих данный угол. * 6 М С рис.2 рис.3

На рисунках 1-3 показаны часто встречающиеся в задачах конфигурации расположения двух треугольников с равным углом, в каждом ^С АВ ■ АС случае

АК-АМ

Свойство 5. Если в двух треугольниках есть по углу, сумма которых составляет 180°, то площади таких треугольников относятся как произведения сторон, содержащих эти углы.

На рисунке углы

МАК + /ВАС = 180° (односторонние углы), тогда 5

4вс

М' Ж с 5 акм

АВ-АС АК-АМ

Свойство 6. Пусть четырехугольник АВСБ вписан в окружность. О

ВО АВ■ВС точка пересечения его диагоналей. Тогда

Доказательство.

ОО СО■ВА

ВО 5 бш /В-АВ-ВС абс

АВ-ВС

00 ^сл 1 з1п(180о -¿в)-АЛ- ОС АВ-ВС

Мы считаем методически оправданным изучение большего числа свойств отношений площадей, чем в школьных учебниках геометрии. Их использование позволяет больше внимания уделить самому методу решения задачи, а не попутному доказательству необходимых нам утверждений. А это, в свою очередь, дает возможность расширения круга задач, решаемых с применением метода площадей. Более того, все эти свойства легко доказываются.

Рассмотрим задачу на доказательство, на первый взгляд не связанную с площадью. Применение в ней метода площадей с опорой на выше изложенные свойства существенно облегчает решение.

Задача 4. Из точки А проведены две касательные АМ и АК к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках В и ¿), взятых в порядке следования. Отрезок МК и секущая пересекаются в точке С. Докажите, что

АВ ВС АО~ СО'

Решение.

М ^

Так как в задаче идет речь об отношении отрезков, то имеет смысл заменить их отношениями площадей.

В соответствии со свойством 6 для вписанного четырехугольника ОКВМ

ВС ВМ ■ ВК имеем-=-.

СО МО ■ ОК

1) (так как, с одной стороны эти треугольники S mab, S mda

ВА MA - MB ОА~ МО- OA имеют одинаковые высоты, а с другой - по равному углу: ZAMB = ZMOA).

ВК КА

Из подобия треугольников BKA и KDA получим - . Кроме того, согласно свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, КА=АМ. Тогда = Подставляя последнее равенство в равенство (1), ВА ВК-МВ ВС получим, что

ЭА МО- ОК СО

В данном случае использование метода площадей, в частности, свойств отношений площадей, позволяет последовательно вычислить отношения длин отрезков.

В рассмотренных выше примерах мы использовали для решения методом площадей только свойство аддитивности площади, или только свойства отношений площадей, но чаще встречаются задачи, в которых необходимо применить одновременно различные свойства площади. В такой ситуации мы или используем аддитивность площади для подсчета площади какой-либо фигуры, или для составления уравнения представляем площадь фигуры в виде суммы площадей ее частей, затем каждую из площадей, встречающихся в этом условии, выражаем через одну и ту же площадь (чаще это площадь всей фигуры).

В некоторых задачах использование метода площадей помогает вычислить отношение площадей фигур или отношение длин отрезков. Рассмотрим такое применение метода площадей на конкретных задачах.

Задача 5. В треугольнике ABC через точку М на стороне ВС проведены прямые, параллельные сторонам АВ и АС. Площадь образованного при этом параллелограмма составляет ^ площади треугольника ABC. Найдите отношение ВМ к МС.

Решение. При решении этой задачи отмечаем, что треугольники, ^ полученные при рассечении данного треугольника прямыми, параллельны ми его сторонам, подобны между собой. Замечаем еще из условия, что треугольник разбит на параллелограмм и два треугольника, причем мы знаем, какую часть составляет площадь параллелограмма от площади всего треугольника, тогда было бы хорошо найти зависимость площадей маленьких треугольников от площади данного.

Обозначим отношение = x,S- площадь треугольника ABC.

МС

ВС ВМ + МС , ВС ВС МС х +1

Тогда-=-= х +1, а-=---=-.

МС МС ВМ МС ВМ X

S x2

Так как треугольники BMP и ВСА подобны, то —=-т

S (х + 1)* отношение площадей подобных фигур с коэффициентом подобия-).

X + 1 как

Аналогично, 5

MDC 1 х + 1)

Так как SABC - SBPM + SDCM + SAPMD, то x2 1 5

-TS +--S + — S, или, после некоторых преобразований, х + 1) (х + 1)" 18 1

5х~ - 26х + 5 = 0, х, = - , х2=5.

В этой задаче и следующей мы используем аддитивность площади для составления уравнения, связывающего данные задачи и неизвестные, а площади частей, на которые разбит данный треугольник, выражаем через его площадь.

Задача 6. Из точки М, расположенной внутри треугольника ABC, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны а и к, b и т, сип. Вычислите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

Решение. Обозначим основания перпендикуляров, опущенных на

Ь стороны ВС, АС и АВ через A¡, В¡ и С? соответственно. Заметим, что в четырехугольниках AC¡MB¡, BAjMCi и CAjMBi суммы противоположных углов 180°. Тогда треугольники C¡MBU A¡MC¡, A ¡MB j, составляющие треугольник AjBjCi, и треугольник ABC имеют по углу, сумма которых 180°. Следовательно, по свойству с тп О о Ь? п отношении площадей таких треугольников, Ьсмв = — SABC, SAUB =—S

1 1 be 1 ' ab v -—s

C,MA¡ ' ABC ас или S

По свойству аддитивности площади, имеем: SABíC¡ = SMC¡B¡ + S'U4¡B¡ + SMlA¡,

S j яг* abe

A,B,Cj mn km 0 kn ^ ,Rr

T ABC +^-sabc +—sabc , откуда ----— be ab ас Л, „ mna + kmc + knb

В последней задаче показателен прием изменения точки наблюдения: более привычной является ситуация, когда треугольники, имеющие по углу, сумма которых равна 180°, расположены так, что эти углы являются смежными.

Для следующей хорошо известной задачи на вычисление можно предложить множество способов решения, одно из них с использованием метода площадей, причем в этом случае свойство аддитивности площади мы используем для подсчета площади одного из треугольников разбиения.

Задача 7. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты

AM MS

АК 2 BN 1 КС ~ Г NC~ 2 В каком соответственно точки М, N и К так, что отношении прямая МК делит отрезок AN1 Решение.

Пусть Р - точка пересечения прямой МК с отрезком AN.

Рассмотрим четырехугольник AMNK. По АР S свойству 3,-= АМК . Выразим x smnk через площадь треугольника ABC площади треугольников АМК и MNK. Площадь треугольника MNK найдем из условия, что 5^(1).

Треугольники АМК и ABC имеют общие углы, поэтому smnk ~ $

РОГ-.

41 ■■

ИБЛЙОТёла

АМ Ж 2 2 АМК ~ АВ ' АС ^ ~ 5 3^" 15 '

3 1 5 .

Аналогично находим, = — • - 5 ^дс = ——,

5 3 с - — 1 е - ^авс

3 3

1 2 14^вс

Подставляя в (1), получаем, что 8ШК = (1 - — - — - —= Следовательно,

5 9 15 45

АР ^ 4 Бж 45 6

РМ 15 14^с 7

Отметим, что такое техничное решение, в отличие от большинства решений этой задачи, обладает общностью, не привязано к числовым данным: ход решения не изменится и в том случае, если в условии вместо рациональных будут даны иррациональные числа. Распространенное решение с проведением отрезков через точки деления сторон ВС и АС параллельно КМ и использованием теоремы Фалеса о делении сторон угла параллельными прямыми даст результат при заданном отношении 2:1, так как в этом случае на сторонах треугольника совершенно естественно возникают равные отрезки, но ситуация с отношением л/2 : 1 вероятнее всего приведет в тупик.

Использование метода площадей для вычисления отношений площадей или отношений длин отрезков, которые мы так же заменяем отношением соответствующих площадей, позволяет нам сравнивать площади без известных числовых данных, относящихся к площадям.

Среди задач, в которых площадь выступает в качестве вспомогательного элемента, особое место занимают задачи на доказательство коллинеарности трех точек. Использование метода площадей для решения А задач указанного вида основано на свойстве аддитивности площади и следующем очевидном утверждении: если 8ав0 + 3АС0 = 5ЛВС, то точка О лежит на ВС. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача 8. На диагоналях Л С и СЕ правильного шестиугольника АВСВЕЕ взяты соответственно точки М и К такие, что АМ:АС=СК:СЕ=п. Известно, что точки В, М, К принадлежат одной прямой. Найдите п. Решение.

Р -~Е

Так как точки В,М и К лежат на одной прямой, то выполняется условие

Явск = 5р,/с + $мск ■ Подсчитаем каждую из этих площадей через площадь

АМ СК СМ всего шестиугольника, зная, что-=-= п . Тогда-= 1 - п. Пользуясь

А С СЕ А С свойствами СК отношении площадей, Я

2 1 получаем, 1 что вск ~ ^-г ' ивсе

СЕ

Аналогично

СК СМ

• 3 пгг? — и • 5 ягпя — . и 5 ¿лггм7т7, т.е. 5 — ^п • «^хвсдер 1 ' всое - 3 2 авсг)ее' $вмс - ' $вса - о п) ' £ 3авсбер и с - - »(1 - ») о ' ^ л ' ^сае - п ' v1 п) ~ ^авсиер - ~ авсвее •

СЬ СЛ 2 2

Подставим найденные выражения для площадей в условие

1 с 1 ~п о "О " я) о коллинеарности трех точек: -и • = ——-Б^бее +-"—¿лвся^ •

3 о 2

Решая уравнение, получаем, что п = ± —, по условию нам подходит и л/3

Остановимся на красивом примере, иллюстрирующем возможность доказательства некоторых формул тригонометрии методом площадей.

Рассмотрим прямоугольник АВСП и вписанный в него ромб МЫКР со стороной, равной 1 (рис. 4), и углами /АМР = а, /ВМ1V = /3. Ь

--" с^ ^^^ II г -f- 1 -и- А ,/ * / ' s D рис.4 рис.5 шкр ~ $abcd 2SAmN

Угол при вершине Р ромба равен а + (3, а его площадь smnkp =sm{a + ^).

С другой стороны, стороны ромба разбивают прямоугольник на пары равных треугольников АМР и CNK, MBN и PDK с катетами cosa, sum и cos/?, sin/? соответственно. Тогда из очевидного равенства после упрощений имеем

SK{NKP - sin a cos ¡3 + cos asm (3 (1).

Значит, sin (а + /?) = sin a cos f3 + cos a sin (3.

Заметим, что используя перекраивание четырехугольника ABCD (рис.5), можно сразу увидеть выполнение равенства (1).

При решении задач возникает вопрос как, анализируя условие задачи, в которой не идет речь о площадях, определить, будет ли полезным в данном случае применить метод площадей? Здесь не существует однозначных рекомендаций, скорее всего, помогут следующие советы, составленные на основе анализа большого числа задач, решаемых методом площадей.

Использование аддитивности площади при решении задачи методом площадей, наиболее вероятно, поможет в решении в том случае, если в задаче идет речь:

1) о вписанной или вневписанной в треугольник окружности, об окружностях, касающихся двух сторон треугольника (если требуется найти радиус, угол и т.д.);

2) о точках, лежащих на сторонах многоугольника;

3) о точке внутри треугольника, разбивающей его на несколько треугольников, о проекции этой точки на стороны треугольника;

4) о доказательстве того, что три точки лежат на одной прямой.

Именно в этих случаях данная фигура заведомо разбивается на части.

Однако заметим, что метод площадей применяем лишь тогда, когда площади этих частей легко вычислить.

Использование свойств отношений площадей при решении задач методом площадей более очевидно. Их целесообразно использовать в тех случаях, когда речь идет непосредственно об отношении площадей, длин отрезков, причем и в случае, когда эти отношения даны, и в том, когда их необходимо найти (в некоторых задачах говорится о равенстве площадей, то есть об отношении, равном 1).

Применение свойств площадей при решении задач, по сути, является подготовкой для применения свойств объемов. Пространственное расширение метода площадей для объемов происходит за счет увеличения числа характеристик фигуры. Общность понятий площади и объема как относящихся к единому понятию величины, аналогия свойств, характерных для площадей и объемов, ведет к аналогии в способе решения планиметрических и стереометрических задач. Такая аналогия позволяет изменить характер связи между стереометрией и планиметрией: большинство методов решения стереометрических задач нацелены на сведение пространственной задачи к работе в плоскости, что позволяет учащимся преодолеть трудности, связанные с пространственными представлениями конструкции; изучение применения свойств объемов как пространственного расширения метода площадей позволяет плавно перейти от плоскости к пространству, помогает развитию пространственных представлений.

Решения планиметрических и стереометрических задач разведены школьной программой во времени, но при изучении метода объемов было бы методически оправдано вспомнить решение некоторых планиметрических задач в курсе стереометрии, чтобы не лишать ученика возможности рассуждать по аналогии, узнать преемственность в методах, еще раз увидеть эстетику геометрии. Такой подход к изучению метода площадей и объемов ведет к частичной трансформации линейного изучения геометрии в линейно-концентрическую, что дает возможность проводить глубокие сравнения, широкие обобщения, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций ранее изученный материал.

Метод объемов менее разработан, чем метод площадей, отличается большим числом специальных приемов, что связано с особенностями решения стереометрических задач вообще. Приведем ряд примеров, которые проиллюстрируют аналогию между решением планиметрических и стереометрических задач методом площадей и объемов.

Следующая задача является обобщением на пространство задачи № 1 о нахождении длины биссектрисы треугольника по длинам сторон и углу: мы лишь заменяем треугольник тетраэдром, длины сторон - площадями граней, угол между сторонами - двугранным углом между гранями. Остается провести похожие рассуждения, основанные на свойстве аддитивности, характерном и для объема.

Задача 9. В тетраэдре АВСК площади граней АКБ и АКС равны 5] и 52 соответственно, двугранный угол между ними а. Найдите площадь треугольника АКЛ, по которому биссекторная плоскость указанного угла пересекает данный тетраэдр. Решение. Ь

Обозначим площадь биссекторной плоскости ADK через S. Из аддитивности объема, получаем, что VAKBD + VAKCd = ^авск (' )• Остается выразить объемы тетраэдров через площади граней. Легко доказывается формула для вычисления объема тетраэдра через площади двух

2 S граней, двугранный угол и ребро. Высота к стороне АК равна —-, тогда

АК

2 S высота тетраэдра, опущенная из вершины В, —- sin а . Значит объем равен

АК

ОС (X осс • л 2íS'1iS' sin — 2iS,5sin —

2^02 sin а 2 т т 1 3 АК ' —У^о—^Щ-. Ушп—йЦ—

Подставляя эти выражения в (1), после преобразований получим, что X

25i-S? eos — s, + s2

Отметим, что попутно доказана следующая формула для выражения

Tr 25,59 sin a объема тетраэдра VAbck =-"- через площади двух граней,

ЪАК двугранный угол и ребро.

Как и для метода площадей, расширение круга задач, решаемых методом объемов, происходит после изучения свойств отношений объемов. Выделим очевидное свойство, полезное для нахождения отношений объемов.

Свойство 1. Если у пирамид равны высоты, то их объемы относятся как площади оснований.

Следующее свойство об отношении объемов треугольных пирамид используется при решении многих задач и является пространственным обобщением свойства об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Свойство 2. Дана треугольная пирамида МАВС и точки А}, B¡, С/ на

Ушвс МА МВ МС ребрах МА, МВ, МС соответственно. Тогда

Ш, МВ1 МС1

Пусть АН и A]Hj - высоты тетраэдров МАВС и MA¡B¡Ci

АН МА соответственно. Тогда

4Яг МАЛ

V, 1 мавс мвс -AH-Sk vma,b,c =\л\н\ ' SMB]C] ■ Откуда

V, мавс

АН Smc МА 1

V, мафхсх шх К

Аналогия с планиметрией и использование последнего свойства полезны при решении следующей задачи.

Задача 10. Дана правильная четырехугольная пирамида ЗМЫКР.

Плоскость высекает на ребрах &Ц, Ж соответственно отрезки БВ и ЯС длиной а, Ь, с. Найдите длину отрезка отсекаемого этой плоскостью на ребре БР.

Решение. Идея решения этой задачи похожа на идею решения задачи 8 про коллинеарность трех точек, но простого изменения площади на объем в равенстве, которым мы пользовались для решения планиметрической задачи, явно не достаточно. В данном случае, если четыре точки лежат в одной плоскости, то попарно равны суммы соответствующих объемов треугольных пирамид, то есть У5АСВ + У5АВС = У8АВО + У5ВС[) (1).

M H

Пусть длина SA равна 1, a SD=x.

Пользуясь свойством об отношении объемов треугольных пирамид, выразим объемы пирамид SACD, SABC, SABD, SBCD через объем всей

SA SC SD 1 пирамиды: VSACD = — ■ — ■ — VSMPK = acxVSMPK = acx ■ - VSMNKD. abc abx bcx

Аналогично vsabc = v smnkd ■> "s.4bd ~ "smnkd > vsbcd = smnkd ■

Подставляя найденные выражения в соотношение (1), имеем уравнение осх abc abx bcx у smnkd + smnkd ~ у smnkd + vsmnkd vzà откуда abc x =-. ab + bc- ас

Можно записать соотношение между данными отрезками в более abex Jr красивои форме. Разделив почленно выражение (2) на ——Vsmnkd* получаем

1111 — + — = - + — . b х с а

Среди стереометрических задач на комбинации тел встречаются довольно сложные задачи на нахождение радиуса вписанного шара или те, в которых радиус вписанного шара требуется найти в процессе решения. Успешное решение таких задач в большинстве случаев зависит от умения представить положение тел, о которых говорится в задаче, определить расположение центра шара, что не всегда просто и требует от ученика достаточной геометрической зоркости и большого запаса теоретических сведений. Отметим и объективные трудности изображения круглых тел. В каждом случае в зависимости от расположения центра шара возникает необходимость рассмотреть разные сечения. Задачу с помощью метода сечений сводят к ряду планиметрических, которые помогают найти радиус вписанного шара.

Кроме традиционного решения такую задачу можно решить методом объемов, применение которого для нахождения радиуса вписанного (вневписанного) шара аналогично применению метода площадей в планиметрической задаче на нахождение радиуса вписанной (вневписанной) окружности. В пирамиде АВСМ г, г\ - радиусы вписанного и вневписанного шара, О, О] - их центры. Тогда г является высотой в пирамидах ОМВС, ОМАВ, ОМАС и ОАВС для вписанного шара, а г\ - высотой в пирамидах 0\МАС, ОМАВ, ОхМВС, ОхАВС.

Получаем, 1 что

V, млвс

- п Г($МВС + SМАВ + $МАС + $АВС ) и твс (Sмвс + + $лвс ) ■ о

Рассмотрим использование указанного приема в следующей задаче.

Задача 11. Четырехугольная пирамида MABCD - правильная, ABCD - ее основание. Через середины ребер АВ, ВС и ВМ проходит плоскость, разбивающая пирамиду на два многогранника, в каждый из которых можно вписать шар. Найдите отношение радиусов этих шаров.

Решение.

Часть учащихся после прочтения задачи откажется от ее решения, поскольку объективные трудности изображения пространственных тел не позволяют сделать качественный чертеж комбинации двух шаров и пирамиды. Более того, только учащиеся, обладающие «геометрическим видением» определят для себя, что шар, вписанный в больший из многогранников, является шаром, вписанным в пирамиду MABCD, местоположение лее центра второго шара необходимо уточнять с помощью дальнейших рассулсдений и анализа характеристических особенностей пирамиды, в которую вписан этот шар.

Применим метод объемов. В данном случае, отношение объема пирамиды MABCD и пирамиды РКВО равно 16, с другой стороны, выражая это отношение через радиусы вписанных шаров R, г соответственно и площади граней (5 - площадь боковой грани, х - площадь основания пирамиды MABCD, у - площадь сечения РКО), находим отношение радиусов данных шаров: — =-^ + Х-. Отношение объема многогранника,

R 2(45 + х + 8у) отсеченного от пирамиды, к объему пирамиды РКОВ равно 15, аналогично выражаем отношение объемов этих же тел через радиусы вписанных шаров, помня, что радиус шара, вписанного в многогранник, равен R. Тогда получаем, что 15 =

R(28S + 7х + 8у) R ( | 6(45 + JC) г(45 + л* + 8у) ~ г I 45 + х + 8у Из двух последних равенств легко получаем, что — = 3. г

Решение с помощью метода объемов помогает избежать выяснения точного местоположения центров шаров, что существенно облегчает решение. Полученное решение объединяет в себе алгебраические и геометрические приемы. Оно является наиболее предпочтительным, иногда далее единственно возмоленым, для учащихся с недостаточно развитым пространственным воображением, которые самоисключаются от решения сколько-нибудь слолсной геометрической задачи, требующей от решающего не только вычленения тела из конструкции, но и изменения точки наблюдения, активной работы по трансформации образа, применения чисто геометрических приемов.

Таким образом, владение учеником методом объемов как одним из системы методов решения геометрических задач позволяет ему выбирать предпочтительный для него метод решения задачи, что увеличивает число решаемых им стереометрических задач.

После рассмотрения различных задач, решаемых с помощью метода площадей и объемов, мы расклассифицируем их с точки зрения более успешного обучения их решению. С методической точки зрения особенный интерес представляет классификация, основанная на рассмотрении характера использования метода площадей и объемов при решении задачи. В качестве исходного класса мы рассматриваем задачи, где площадь или объем необходимо вычислить двумя способами, и считаем их простейшими и подготовительными с точки зрения метода.

В следующий класс мы включили задачи, в решении которых необходимо использовать свойство аддитивности площади или объема. Задачи, для решения которых необходимо использовать свойства отношений площадей или объемов, мы относим к другому классу.

Наиболее сложный по отношению к рассматриваемому методу класс задач, в решении которых необходимо одновременно использовать и свойство аддитивности площади или объема и свойства отношений площадей фигур или объемов тел.

Задачи каждого типа имеют две модификации метода решения: в каждом из этих случаев площадь или объем могут быть заведомо включены в условие задачи или же они явно не обозначены в условие, но включаются и выступают в качестве вспомогательного элемента. Во втором случае использование метода площадей и объемов требует от учащегося некоторого опыта в решении задач этим методом, геометрического видения и чутья. Решающий задачу вынужден не столько писать уравнения, описывающие свойства системы, а через них раскрывать внутренние геометрические свойства фигуры, выбирая наиболее подходящие для данного случая геометрические факты, связанные с площадью или объемом.

При решении задач методом площадей и объемов мы данные фигуры или тела делим на части, площади или объемы которых затем вычисляем через данные задачи или оцениваем их, сравнивая с какой-то площадью или объемом. Во всех этих задачах отрабатывается навык видоизменения изображения путем разбиения целого на части и рассматривания этих частей с точки зрения их включения в состав целого, что и при решении планиметрических, и стереометрических задач работает на развитие пространственного воображения.

Анализируя задачи, решаемые методом площадей и объемов, мы определили совокупность выполняемых в процессе решения действий. Решающие должны:

1) проанализировать заданную в условии задачи конфигурацию в целом и отдельно ее элементы с точки зрения включения площади или объема для решения задачи;

2) отобрать элементы заданной конфигурации, которые будут необходимы для опредмечивания выбранных свойств площадей или объемов;

3) выбрать конкретные свойства и формулы площади или объема, связанные с заданной конфигурацией;

4) найти площади или объемы выбранных фигур или тел и (или) их отношения;

5) подставить найденные значения и (или) отношения в выбранные свойства для получения результата.

Выделим основные характеристики метода площадей и объемов. Среди них отметим:

- универсальность: он сочетает в себе свойства, характерные как методам алгебраическим, так и геометрическим, как общим, так и частным.

- продуктивность: метод является мощным инструментом для решения большого числа задач различного уровня сложности.

- вариативность: он допускает различные уровни усвоения и доступен учащимся как с геометрическим, так и с аналитическим типом мышления.

- доступность: метод базируется на интуитивно понятных рассуждениях, опоре на небольшое число свойств и использовании простого вычислительного аппарата.

- традуктивность: допускает аналогию в применении для решения планиметрических и стереометрических задач.

- геометричность: он работает на развитие пространственного воображения.

Материал второй главы нашего исследования служит дальнейшему обоснованию перечисленных характеристик метода площадей и объемов.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Овчинникова, Елена Евгеньевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе теоретико-экспериментального исследования были решены все поставленные задачи и получены следующие основные результаты:

1. Обоснована необходимость и возможность специального изучения в курсе геометрии методов решения геометрических задач, предложен вариант включения метода площадей и объемов в школьный курс геометрии.

2. Описан метод площадей и объемов, определены его характеристики и диапазон применимости для решения различных задач.

3. Предложена классификация задач, решаемых с применением метода площадей и объемов, основанная на характере использования этого метода при решении задачи.

4. Раскрыта аналогия в применении метода площадей и объемов для планиметрических и стереометрических задач, позволяющая сформировать новые связи между изучением планиметрии и стереометрии, и учтена в разработанной методике.

5. Разработана и описана методика обучения учащихся решению геометрических задач с помощью метода площадей и объемов. Сформулированы требования к серии задач, направленной на овладение методом площадей и объемов. Описаны серии планиметрических и стереометрических задач, необходимых для овладения методом площадей и объемов.

6. Экспериментально подтверждена доступность и эффективность методики обучения методу площадей и объемов.

121

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Овчинникова, Елена Евгеньевна, 2002 год

1. Абремский Б.А. Учимся решать геометрические задачи на вычисления Математика в школе. 1990. №6. 31-

2. Адамар Ж. Исследование в психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970. 152 с. Адамар Ж. Элементарная геометрия. 4.

3. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1957.-608 с. Адамар Ж. Элементарная геометрия. 4.

4. Стереометрия. М.: Учпедгиз, 1951.-760 с. Алгоритмизация в обучении Под ред. Б.В. Гнеденко и Б.В. Бирюкова. М.: Просвещение, 1966. 523с. Александров А.Д. Диалектика геометрии Математика в школе. 1986. 1 С 12-

5. Александров А.Д. О геометрии Математика в школе. 1980. 3.

6. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 10-11 классов. М.: Просвещение, 1992. 464 с. Александров А.Д., Вернер А.Д., Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов. М.: Просвещение, 1991.-415 с.

7. Арсеньев Н.А. Приемы решения задач на сравнение площадей Математика в школе. пространственному 1952.- 6 С 20-26. Л.: Ленингр. ин-т водного

8. Артемьев М.Ф., Амосова В.Ф., Мерзон Э.Д. Сборник задач по представлению. транспорта, 1972. 11 с.

9. Астряб A.M. Курс опытной геометрии. Индуктивно лабораторный метод изложения. Л.: Госиздат, 1924. 272 с.

10. Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев СБ. и др. Геометрия: Учеб. для 79 классов сред. шк. М.: Просвещение, 1990. 366 с.

11. Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев СБ. и др. Геометрия: Учеб. для

12. Балл Г.А. Теория учебных задач. М.: Педагогика, 1990. 184 с.

13. Барбуя И.И. Первоначальное обучение геометрии. Диссертация канд. пед. наук. М 1966. 250 с.

14. Белошистая А.В. Почему школьникам так трудно дается геометрия? Математика в школе. 1999 №6. 14-19.

15. Березин В.Н., Березина Л.Ю. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. М.; Просвещение, 1985.

16. Богоявленский Д.Н. Формирование приемов умственной работы учащихся путь разврггия мышления и активизации учения Вопросы психологии.- 1962.- 4 С 74-82.

17. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: изд во Акад. пед. наук РСФСР, 1959. 347 с.

18. Болибрзо А.А., Уроев В.М., Шабунин М.И. Метрические соотношения в треугольнике Квант. 1985. №4. 48-52.

19. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М.: В.Г. Поворот и центральная симметрия Математика в Гостехиздат, 1956. 64с. школе.-1989.-№6.-С.108-120.

20. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного образования Математика в школе.

21. Болтянский В.Г., Яглом Просвещение, 1964.

22. Брунер Д. Процесс обучения. М.: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1962. 8 4 с.

23. Бруннер Дж. Психология познания. М.: Прогресс, 1977. 412 с.

24. Брушиинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. М.: Знание, 1983.-42 с. 1988. 3. 9-13. М.: И.М. Преобразования. Векторы.

25. Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач. Минск: Вышэйшаяшкола, 1969.-323 с.

26. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. 400 с.

27. Вейль Г. Симметрия. М Наука, 1968.-192 с.

28. Вернер А.Л. Цикл учебников геометрии Математика в школе. -1996. 6 34-37.

29. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. М.: Прогресс, 1987. 336с.

30. Возрастные возможности усвоения знаний Под ред. Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова. М Просвещение, 1966. -442 с.

31. Войтишек В.В, Вычисление площадей. В кн.: Лекции по математике. Для учащихся летней математической школы при НГУ. Под ред. Л.Я. Савельева. Новосибирск, 1974. С 3-29.

32. Волхонский А.И. Последовательности прямоугольных треугольников в решении геометрических задач Математика в школе. 1963. 4. 41-42.

33. Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. М.: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1956. 519 с.

34. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Книга для учителя. К.: Радяньска школа, 1989. 160с.

35. Габович И.Г. К решению стереометрических задач Математика в I j школе. -1977. 2. 23.

36. Гальперин Л.Я., Талызина Н.В. Управление познавательной деятельностью учащихся. М.: Педагогика, 1972. 262 с.

37. Гарднер М. Есть идея! М.: Мир, 1982. 305 с.

38. Герасимова А.Д. К стратегии поиска дополнительных построений Математика в школе. 1996. №3. 15-16.

39. Гильберт Д., Кон-Фоссен Наглядная геометрия. М.: Наука, 1979. 344 с.

40. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии Математика в школе.- 1991.- 4 С 68-71.

41. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985. 191 с.

42. Готман Э.Г. Геометрические задачи, решаемые с помоштью поворота Математика в ппсоле.

43. Готман Э.Г. 1989. 3. 108-114. задачи, решаемые с помощью Геометрические тригонометрии Вопросы совершенствования преподавания в средней школе. -Ярославль, 1963. 66-77.

44. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. 240с.

45. Готман Э.Г. Совершенствование содержания геометрических задач и методов их решения как средство повышения качества знаний учащихся 4 по математике. Диссертация канд. пед. наук. Арзамас, 1967. 202 с.

46. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. М.: Просвещение, 1979. 128 с.

47. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж: Изд. Воронежского ун-та, 1976. 327 с.

48. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? М.: Авангард, 1994.-168 с.

49. Гусев В.А. Методические 364 с.

50. Гусев В.А., Хан Д.И. Методика решения задач с помощью векторов Математика в пшоле. 1978. 3. 26-30.

51. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрической задачи. М Учпедгиз, 1961. 143 с.

52. Депман И.Я. Задачи на деление площадей Математика в ппсоле. 1946.- 2 С 10-14.

53. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного курса математического образования Математика в школе. 1990. 6. 2-5. основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Диссертация ...докт. пед. наук. М., 1990.

54. Дорофеев Г.В. Отношение отрезков, площадей и объемов Квант. 1975.- 1 С 55-59,77.

55. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Суворова СБ., Фирсов В.В. Дифференциация в обзении математике Математика в школе. 1990. 4 С 19-21.

56. Дюгамель М. Методы геометрии. СПб, 1880.

57. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников здшться математике. М.: Просвещение, 1990. 128с.

58. Жаров В.А. Основные принципы построения задачника по геометрии. Ярославль: изд-во ЯПИ, 1960. 188 с.

59. Журавлев Б. О математическом зрении Математика в школе. №5.

60. Зайцева Г.Д. О решении задач различными методами Математика в школе. 1982. №5. 50-52.

61. Изаак Д.Ф. Выручает описанная окружность Квант.. 1987. 2. 41-42.

62. Ионин Ю.И., Некрасов В.Б. Векторы в геометрических задачах Квант, 1985.-№10.-С. 21-24.

63. Извольский Н.А. Геометрия в пространстве. М.: Гостехиздат, 1923.

64. Извольский Н.А. Геометрия на плоскости. М.: Сотрудник школ, 1915. 293с.

65. Ильясов И.И. Система эвристических приемов решения задач. М.: издво Российского открытого ун-та, 1992. 140 с.

66. Имранов Б.Г. Применение векторов к решению задач на вычисление расстояний и углов Математика в школе. 1984. №2. 64-67.

67. Ионин Ю.И., Некрасов В.Б. Векторы в геометрических задачах Квант. 1985.- №10.

68. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. М.: Знание, 1981.-96 с.

69. Калмыкова З.И. Развитие продуктивного мыпшения школьника. М.: 1940 1975.-435 с.

70. Калошина И.П., Добровольская Н.А, Творческие задачи на создание

71. Кантор П.Р., Раббот Ж.М. Площади многоугольников Квант. 1972. 2 С 36-41.

72. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Планиметрия; 7-9 классы. М.: Дрофа, 1995.-352с.

73. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Стереометрия: 10-11 классы. М.: Дрофа, 1995.

74. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2-х томах. Т.

75. Геометрия. М.: Наука, 1987. 416 с.

76. Клопский В.М., Ягодовский М.И. Координатный метод в пространстве Математика в школе. 1976. 1. 25-35.

77. Козаченко А.Н. Координатный метод в решении конструктивных задач Актуальные проблемы преемственности в обучении математике, АлмаАта, 1980. 54-62.

78. Колмогоров Н.А. Величина. БСЭ, Т.9.

79. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977. -ч.1-110с.,ч.2-144с.

80. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Профильная дифференциация обучения математики Математика в школе. 1990. 4 С 21-27.

81. Концепция развития школьного математического образования Математика в школе. 1990.- 1.-С. 2-14.

82. Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат. М.-Л.. ГИТТЛ, 1952.- 159с.

83. Крамская В.А. Задачи по геометрии с применением тригонометрии и методика их преподавания в курсе средней щколы. Дис. канд.пед.наук., 1949. Ч

84. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. Диссертация докт. пед. наук. М., 1992. 395 с.

85. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии//Математика в школе. 1985.-144с.

86. Кузнецова Г.Б. Координатный метод решения планиметрических задач в средней школе. Автореф. диссертации канд. пед. наук. Ярославль, 1973.-23с.

87. Кузнецова Л.И., Скопец ЗА. Метод подобия при решении 58плакиметрических задач Математика в школе. 1977. №6. 63.

88. Кулюткин Ю.М. Эвристические методы в структуре решений. М.: Педагогика, 1970. -232 с.

89. Кумбс Ф. Кризис образования: системный анализ. М., 1970.

90. Кзщенок В.Е. Обучение методам решения геометрических задач, основанным на использовании вспомогательной окружности. Диссертация канд. пед. наук. М., 1992. 156 с.

91. Куценок В.Е. О методе вспомогательной окружности Репетитор. 1992. 6 С 34-39.

92. Кушнир И.А. Метод вспомогательного элемента Квант. 1974. 2. С 46-51.

93. Кушнир И.А. Применение гомотетии при решении некоторых задач по планиметрии //Математика в школе. 1978.- 5 82-84.

94. Лебег А. Об измерении величин. М.: Учпедгиз, 1960.

95. Леднев B.C. Содержание

96. Лернер И.Я. Дидактика основных методов обучения. М.: Педагогика, 1981.-185 с.

97. Либерзон М.Р. Вспомогательный куб Квант. 1986. 5. 48-50. 1966.- 6 18-21.

98. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука,

99. Литвиненко В.Н. Метод уравнивания в геометрических задачах Математика в школе. 1988. №6. 47-48.

100. Манова В.Н., Мордкович Обучение А.Г. Практикум задач на по элементарной геометрические математике: Геометрия. М.: «ABF». 352с. И.Е. решению преобразования в восьмилетней школе (на примере осевой и центральной симметрии). Диссертация канд. пед. наук. М 1983. 205с.

101. Маркушевич А.И. Некоторые проблемы обучения математике в школе Математика в школе. 1969. 6. 24.

102. Машбиц Е.И. Зависимость усвоения учащимися способа решения математической задачи от метода обзения. Киев, 1965.

103. Менчинская И.А. К проблеме психологии усвоения знаний. Изд. АПН РСФСР, вып. 61, 1954.

104. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. -Минск: Изд. БГУ, 1982. 256 с.

105. Методика преподавания математики Под ред. Ляпина Е., ч. 2 Д., 1956.

106. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. М.: Просвещение, 1980.-368 с.

107. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика/ Блох А.Я., Гусев В.А. и др./ Сост. Мишин В.И. М.: Просвещение, 1987. -416 с.

108. Мишин В.И. Учитесь обучать решению геометрических задач. М., 1983. 5 7 с.

109. Монахов В.М. Тенденции развития содержания общего среднего образования Советская педагогика. 1990. 2. 17-21. 114. На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов/ Сост. Маркушевич А.И. и др. М.: Просвещение, 1978.

110. Неванлинна Р. Реформа преподавания математики Математика в школе.- 1988.- 1.-С. 83-89.

111. Непшов К.И. и др. Функции задач в обучении Математика в школе.

112. Новиков И. Д. Метод площадей//Квант. 1971.- 12.-С. 41-46.

113. Ноздрачева Л.М. Аналитические методы решения геометрических задач в курсе планиметрии. Дис. канд.пед.наук.. М., 1992. 198с. 119. О преподавании математики в школе Под ред. Семупшна А.Д. М.: Изд. АПН РСФСР, 1959.

114. Оганесян В.А. Научные принципы отбора основного М., 1984.

115. Панов Д.Ю. Вычисление площадей. М.-Л.: Гостехиздат, 1946. 46.

116. Пали Ж. Геометрия в современном преподавании математики Математика в школе. 1967.- 1.

117. Парафило М.Г. Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии Математика в школе.

118. Погорелов А.В. Геометркся. М.: Наука, 1983. 288 с.

119. Погорелов А.В. Геометрия. Учебн. для 7 11 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1993. 383 с.

120. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. М.: Наука, 1974. 208 с.

121. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1961. 208 с.

122. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. -464 с.

123. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. 448 с.

124. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Геометрия: Задачник к школьному курсу. М.: ACT .ПРЕСС: Магистр-S, 1998. 256с.

125. Понарин Я. Вычисление площадей //Квант. 1976 7. 25-27.

126. Понарин Я.П. Преобразования подобия плоскости школе.- 1979.- Х£3.- 62-67. содержания обучения математики в средней школе. Диссертация докт. пед. наук. 1953. 2.

127. Пидоу Д. Геометрия и исскуство. М.; Мир, 1979. 338 с. Математика в при решении

128. Потоскуев Е.В. Векторно-координатный метод стереометрических задач Математика в школе. 1995. №1. 23-25.

129. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. М.: Наука, 1986. ч.1 270 с Ч.2-288С.

130. Прасолов В.В. Используя площадь Квант. 1986. 5. 16-19, 43.

131. Преподавание математики Пер. с фр. яз. и ред. Фетисова А.И. М.: Учпедгиз, 1960.

132. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. Просвещение, 1998. 240 с.

133. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. 560 с. 1

134. Рабинович Е.М. Равновеликие треугольники в задачах Математика в школе. 1993. 6. 63-65.

135. Ращупкина Л.П. Координатный метод решения задач в восьмилетней школе. Автореф. диссертации канд. пед. наук. М 1981. 16с.

136. Реформы образования в современном мире: глобальные и региональные тенденции. М.: Изд. Российского открытого ун-та, 1995. 272 с.

137. Розка Ю.А. Формирование приемов аналитико-синтетического поиска решения задач на доказательство в курсе стереометрии в 8 9 классах средней школы. Диссертация канд. пед. наук. М., 1984. 177 с. f

138. Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Измерения: Учеб. пособие. М.: Изд-во гимназии «Открытый мир», 1995. 64с.

139. Рубин К.Ф. Обоснование учения о геометрических величинах. Диссертация канд. пед. наук. Киев, 1952.

140. Рубинштейн Л. Проблемы общей психологии. М Педагогика, 1976. 423 с.

141. Рухадзе И.Ш. Управление развитием математического учащихся в процессе формирования метода мышления геометрических М.: преобразований. Диссертация канд. пед. наук. Тбилиси, 1984.

142. Саранцев Г.И. Система задач на геометрические преобразования в курсе математики восьмилетней школы. Диссертация канд. пед. наук.- М., 1971.-280с.

143. Саранцев Г.И., Лунина Л.С. Обучение методу аналогии Математика в iJ школе. 1989. №4. 42-47.

144. Саранцев Г.И., Потемкина Г.И. К вопросу формирования векторного метода в VII классе Математика в школе. 1994.- 5 С 16-24.

145. Силаев Е.В. Использование дополнительньпс построений при решении геометрических задач. М.: Прометей, 1994. 117 с.

146. Скаткин М.А. Совершенствование учебного процесса в школе. М.: Педагогика, 1971. 295 с.

147. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения. Автореферат диссертации докг. пед. наук. М 1995. 3 8 с.

148. Современные проблемы методики преподавания математики Сб. статей Сост. Антонов Н.С, Гусев В.А. М.: Просвещение, 1985. 304 с.

149. Спасский А.Ф. Измерение геометрических величин на разных ступенях обучения в политехнической школе. Диссертация канд. пед. наук. М., 1958.

150. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М., 1975. 205 с.

151. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании Математика в ппсоле. 1993. 4. 3 -9.

152. Тихомиров O.K. Психология мьппления. М МГУ, 1984. 272 с.

153. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. Том 2. М.: МЦНМО, 1997. 432с. 161. Унт И. Индивидуализация Педагогика, 1990.-192 с.

154. Управление познавательной деятельностью учащихся Под ред. и дифференциация обучевия. М.: 1978. 5. 36-38.

155. Сериков В.В. Личностно ориентированное образование Педагогика. П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной. М.: МГУ, 1972. с. 163 208.

156. Фетисов А.И. Геометрия в задачах. М.: Просвещение, 1977. 192 с.

157. Филатов В.Ф. Измерение и вычисление геометрических величин в старших классах средней школы методами математического анализа и векторной алгебры. Дисс... канд. пед. наук. Хабаровск, 1965. 294с.

158. Фишман В.М. Решение задач с помощью геометрических преобразований //Квант.- 1975.- №7.

159. Фридман Л.М. Дидактические основы применения задач в обучении. Диссертация докт. пед. наук, 1971.

160. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обзения математике. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. 224с. 1 168. Хан Д.И. Обучение решению задач с помощью векторов в курсе планиметрии. Дис. канд.пед.наук., М., 1975. 180с.

161. Хмель В.П. Формирование у школьников обобщенных приемов решения математических задач (на материале геометрии). Диссертация канд. пед. наук. Киев, 1983. 163 с. ПО.Цукарь А.Я. О типологии задач Современные проблемы методики преподавания математики; Сб. статей. Учебн. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов Сост. Просвещение, 1985. 304с. W

162. Цыганова Н.Я. О некоторых теоремах элементарной геометрии //Математика в школе. 1959. 4. 60-61. Н.С.Антонов, В.А.Гусев. М.;

163. Четверухин Н.Ф. О некоторых методологических вопросах преподавания геометрии. М.; Изд. АПН РСФСР, 1955.

164. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 классы. -М.: Дрофа, 1999. -208с. 174. П1арыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы. М.: Дрофа, 1997. 352с.

165. Шарыгин И.Ф. 2002 задачи по геометрии. -М.: Дрофа, 1999.

166. Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 1994. 252 с.

167. Шарыгин И.Ф. Учимся решать задачи по геометрии Математика в школе. 1989. №2. 87-101. №3. 95-103. №4. 73-81.

168. Шишлянникова В.Н. Измерение площадей фигур при изучении

169. Шоластер Н.Н. Задачи на геометрические преобразования Математика в школе. 1976.- №3.

170. Шохор Троцкий СИ: Геометрия на задачах. Спб., 1913. 435 с.

171. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. М.: Высшая школа, 1972.

172. Янченко A.M. Применение композиций симметрии при решении задач Математика в шасоле. 1975. №5.

173. Learning То Бе. Ed. By Edgar Fam-e. Paris, 1972

174. Sawyer W.W. Mathematicians Delight, Toronto, 1943. M-