Испарение и рост крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц при больших относительных перепадах температуры в окрестности частицы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.04, кандидат физико-математических наук Надыкто, Алексей Борисович

• Надыкто, Алексей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Надыкто, Алексей Борисович

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИСПАРЕНИЕ И РОСТ КРУПНЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ ПРИ МАЛЫХ КОНЦЕНТРАЦИЯХ МОЛЕКУЛ ВЕЩЕСТВА ЧАСТИЦЫ

1.1.Введени е

1.2. Особенности диффузионных испарения и роста крупных одиночных аэрозольных частиц и ансамблей N крупных взаимодействующих частиц с произвольной формой поверхности

1.3. Диффузионные испарение и рост крупных частиц при наличии внутреннего тепловыделения и лучистого теплообмена

1.4. Аналитические соотношения

1.5. Анализ основных результатов

Глава 2. ИСПАРЕНИЕ И РОСТ КРУПНЫХ И УМЕРЕННО КРУПНЫХ ЧАСТИЦ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕПАДАХ КОНЦЕНТРАЦИЙ ГАЗООБРАЗНЫХ КОМПОНЕНТОВ

2.1.Введени е

2.2. Конвективные испарение и рост при малых перепадах концентрации газообразных компонентов

2.3. Диффузионные испарение и рост крупных и умеренно крупных частиц

2.4. Анализ основных результатов

Глава 3. КОНВЕКТИВНЫЕ ИСПАРЕНИЕ И РОСТ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ ПРИ ЗНАЧИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕПАДАХ КОНЦЕНТРАЦИЙ ГАЗООБРАЗНЫХ КОМПОНЕНТОВ

3.1.Введение

3.2.Постановка задачи. Преобразование уравнений переноса

3.3. Конвективные испарение и рост при значительных перепадах

температуры

3.4. Аналитические соотношения

3.5.Анализ полученных результатов. Сравнение теоретических

результатов с экспериментальными

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

П. 1.1. Гетерогенное горение твердых частиц при малых концентрациях химически активных компонентов

П. 1.2. Рисунки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Испарение и рост крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц при больших относительных перепадах температуры в окрестности частицы»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность тематики исследования.

Изучение аэродисперсных систем является важной проблемой современной науки. Природные, антропогенные и технические аэрозоли являются предметом многочисленних исследований. В настоящее время продолжается разработка количественной теории , описывающей поведение аэрозолей. Исследование процессов испарения и роста аэрозольных частиц является составной частью описанной выше фундаментальной проблемы. Хотя аэродисперсные системы чаще всего являются нестационарными, при описании установившегося режима можно применять, квазистационарные приближения. Аэродисперсные системы состоят из газообразной среды и взвешенных в ней частиц. Аэрозольные частицы различаются по форме , размерам , агрегатному состоянию. Если слой Кнудсена не оказывает значительного влияния на скорость испарения и роста , то аэрозольную частицу считают крупной. В противном случае её относят к умеренно крупным .

В реальных аэрозолях присутствуют частицы с различной формой поверхности. Их можно условно разделить на 4 основных класса: сферические частицы, правильные многогранники , пластинки и волокна. Форма частиц зависит от способа их получения и свойств вещества частицы. Частицы , возникающие при конденсации паров , чаще всего имеют форму , близкую к сферической . Капли с несферической формой поверхности образуются при конденсации молекул на поверхности смачиваемых твердых аэрозольных частиц (частиц кальцита, кварца, большинства силикатов и окисных минераллов , галогенидов щелочных металлов) . Частицы , образующиеся при дроблении больших образцов ( например, пыль) обычно бывают несферическими.

Теоретическое рассмотрение , как правило , ограничивается описанием процессов с участием сферических частиц . Кинетика испарения и роста несферических частиц может иметь существенные отличия. Поэтому построение подхода, позволяющего расчитывать

4

основные характеристики процессов испарения и роста частиц с различной формой поверхности , представляется весьма актуальной задачей.

Процессы испарения и роста могут протекать как при малых, так и при больших относительных перепадах температуры в системе частица -газообразная среда . Аэрозоли, в состав которых входят частицы, испытывающие фазовый переход на поверхности, присутствуют во многих природных экосистемах (атмосферная облачность, туманы , промышленные выбросы, смог) [1-3} и целом ряде промышленных процессов [4-8].

Теоретическое описание процессов испарения и роста аэрозольных частиц при больших перепадах температуры необходимо : -при расчетах промышленных процессов , связанных с сушкой и охлаждением аэрозольных потоков;

-при конструировании двигателей внутреннего сгорания , жидкостно-реактивных двигателей, тшло- и массобменников, химических реакторов;

-для описания технологических процессов , связанных с ректификацией; - при изучении процессов детонации в газожидкостных системах; -при моделировании процессов происходящих в облаках , туманах , в зонах просветления лазерным излучением

При малых концентрациях паров вещества частицы испарение и рост протекают в диффузионном режиме .В этом случае основными механизмами переноса молекул в газообразной среде являются диффузия и термодиффузия. При сравнимых величинах концентраций паров вещества частицы и молекул, не испытывающих фазовый переход на поверхности частицы, массовое (стефановское) движение газообразной среды может оказать заметное влияние на скорость процессов. Такой режим называют конвективным.

Процессы испарения и роста , протекающие при отсутствии внутреннего тепловыделения и лучистого теплообмена частиц с газообразной средой , называют свободными.

В настоящее время наиболее подробно теоретически исследованы

5

диффузионные испарение и рост крупных сферических капель (преимущественно при малых относительных перепадах температуры). Проблема разработки подхода , позволяющего в рамках единых модельных представлений описывать диффузионные испарение и рост одиночных крупных частиц и ансамблей N крупных взаимодействующих частиц с произвольной формой поверхности , до последнего времени оставалась нерешенной ( даже в случае малых перепадов температуры ) . При больших перепадах температуры достаточно подробно не исследовался конвективный (стефановский) режим испарения И роста одиночных крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц . Важной прикладной задачей представляется получение аналитических и полуаналитических соотношений , позволяющих с достаточной для практического использования точностью описывать тепло-и массообмен в окрестности одиночной частицы. Результаты , полученные в аналитическом виде , могут непосредственно применяться в математическом моделировании и инженерно-технических расчетах. Цель работы.

Целью работы является теоретическое описание процессов испарения и роста крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц чистых веществ с различной формой поверхности, находящихся в ^ двухкомпонёнтном газе при больших относительных перепадах * температуры в системе частица - газообразная среда. Основные' результаты . представленные к защите .

' 1. Получены соотношения, позволяющие описать свободные

диффузионные испарение и рост одиночных крупных частиц и

конечной совокупности N крупных взаимодействующих частиц с

произвольной формой поверхности . Теоретически и расчетно

^ исследованы основные закономерности тепло- и массобмена при

испарении и росте ансамбля взаимодействующих частиц. В случаях ,

допускающих интегрирование в квадратурах, получены аналитические

\ /решения. Решение системы нелинейных уравнений переноса проведено

при произвольной зависимости коэффициентов молекулярной

6

диффузии и термодиффузии от температуры и линейной зависимости от концентраций газообразных компонентов.

2. Получены обобщенные соотношения, описывающие диффузионные испарение и рост одиночных крупных частиц с произвольной формой поверхности при наличии внутреннего тепловыделения и лучистого теплообмена . В случаях , допускающих интегрирование в квадратурах, получены аналитические решения. Решение системы нелинейных уравнений переноса проведено при произвольной зависимости коэффициентов молекулярной диффузии и термодиффузии от температуры и линейной зависимости от концентраций газообразных компонентов.

3. Получены обобщенные соотношения , описывающие диффузионные и конвективные испарение и рост умеренно крупных частиц сферической формы как в свободном режиме ,так и при наличии внутреннего тепловыделения и лучистого теплоообмена. Помимо молекулярной диффузии и термодиффузии учитывается эффект Дюфура-выделение тепловой энергии, обусловленное градиентами концентраций газообразных компонентов. В случаях , допускающих интегрирование в квадратурах, получены аналитические решения. Решение системы нелинейных уравнений переноса проведено с учетом зависимости коэффициентов молекулярной диффузии и термодиффузии от температуры и концентраций газообразных компонентов.

Научная новизна.

Получены обобщенные соотношения , позволяющие описывать кинетику свободного диффузионного испарения и роста крупных одиночных аэрозольных частиц и конечных совокупностей N крупных взаимодействующих частиц с произвольной формой поверхности.

Получены обобщенные выражения , описывающие тепло- и массоперенос в окрестности крупной одиночной аэрозольной частицы произвольной формы с учетом термодиффузии как в свободном режиме , так и при наличии внутреннего тепловыделения и лучистого теплообмена . Выведенны соотношения , позволяющие описывать диффузионные испарение и рост умеренно крупных частиц сферической

7

|юрмы как в свободном режиме ,так и при наличии внутреннего тепловыделения и лучистого теплоообмена. Помимо термодиффузии учтен эффект Дюфура.

Выведены обобщенные соотношения , описывающие основные

(

характеристики конвективного испарения и роста крупных и умеренно

1

. крупных аэрозольных частиц сферической формы с учетом внутреннего 7 тепловыделения , лучистого теплообмена, термодиффузии и эффекта

А ■

^ Дюфура.

Получены аналитические выражения, описывающие /диффузионные и конвективные испарение и рост крупных одиночных ^частиц с точностью , достаточной для непосредственного применения в < математическом моделировании и инженерных расчетах. * Основные результаты диссертации могут применяться для описания испарения в смесях как с близкими, так и с сильно различающимися массами молекул.

■V _

Практическое значение. ^ Практическое значение диссертации состоит в том , что развитые в ней представления о механизмах испарения и роста крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц создают основу для получения более точных сведений о процессах , происходящих внутри аэродисперсных систем. Приведенные в диссертации результаты магут быть применены при моделировании процессов детонации в газожидкостных системах, при оценках скорости испарения частиц в зонах просветления. Теоретические представления о механизмах испарения и роста частиц в перегретых и переохлажденных средах необходимы для расчета процессов , связанных с сушкой и охлаждением аэрозольных потоков, при конструировании двигателей внутреннего сгорания , жидкостно-реактивных двигателей, тепло- и массобменников, химических реакторов. Результаты проведенных исследований могут применяться для описания технологических процессов, связанных с ректификацией.

Математические методы , развитые в диссертации , могут ч использоваться при построении теории парофазного горения жидких

капель и теории гетерогенного горения твердых частиц . Многие из

8

приведенных в диссертации результатов получены в аналитическом виде, что определяет возможность непосредственного применения разработанных представлений для задач математического моделирования и прикладных расчетов. Публикации.

По результатам выполненных исследований опубликовано 8 научных работ. Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на 111-й Международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений , переноса , динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1998 г.) , на теоретическом семинаре отдела аэрозолей ГНЦ НИФХИ им. Л.Я. Карпова , на семинарах и коллоквиумах в МГИУ , МЭИ , ОИВТ РАН . Структура и обьем диссертации.

Диссертационная работа состоит из общего введения , глав 1-3 , основных результатов и выводов, и приложений . Содержание диссертации изложено на 142 страницах машинописного текста . В тексте имеется 27 рисунков. Список цитируемой литературы включает 90 наименований.

Заключение диссертации по теме «Физическая химия», Надыкто, Алексей Борисович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации в квазистационарном приближении проведено теоретическое описание процессов испарения и роста в нелинейных средах как одиночных частиц, так и частиц , испаряющихся или растущих в составе ансамбля взаимодействующих частиц [68] ,[81].

В первой главе диссертации проведено теоретическое описание процессов тепло- и массопереноса в окрестности как одиночных крупных частиц , так и частиц , испаряющихся или растущих в составе ансамбля N крупных взаимодействующих частиц , взвешенных в газообразной среде с малой концетрацией паров вещества частицы [68],[81]. Получены формулы для потоков молекул вещества частицы , скоростей и времен испарения и роста, позволяющие оценивать изменение размеров частиц как сферической , так и несферической формы. При решении нелинейных уравнений переноса учтена произвольная зависимость коэффициентов молекулярного переноса и термодиффузии от температуры газообразной среды и линейная зависимость от относительных концентраций газообразных компонентов, что существенно расширяет возможности использования полученных расчетных формул. Решение задач об испарении и росте крупных частиц проведено как для свободного режима , так и для случая, когда испарение и рост происходят при наличии внутреннего тепловыделения и лучистого теплообмена.

Получено выражение для времени испарения и роста одиночных частиц (30), которое в случае испарения сферических частиц при малых перепадах температуры переходит в классическую формулу Срезневского .

В случае , если расстояния между частицами ансамбля велики по сравнению с их размерами, задача о испарении ансамбля N частиц сводится к N одночастичным задачам.

Формулы первой главы для сферических частиц в пределе малых перепадов температуры и при малом влиянии термодиффузии переходят в классические формулы Максвелла.

Анализ теоретических результатов первой главы и данных численных расчетов позволяет определить некоторые закономерности диффузионных процессов испарения и роста одиночных крупных неподвижных частиц и произвольных ансамблей N крупных неподвижных частиц:

1. В установившемся свободном режиме все частицы ансамбля одновременно либо растут, либо испаряются при одинаковой температуре поверхности.При этом температура испарения или роста частиц не зависит от пространственного распределения вещества частиц.

2. Вид зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры газообразной среды Те и концентраций газообразных компонентов может оказать заметное влияние на величину температуры испарения или роста частиц.

3. Скорость испарения и роста ансамбля крупных частиц зависит от распределения вещества внутри системы.

4. Сближение частиц может привести к существенному изменению времени испарения и роста . Наиболее существенно меняется скорость и время испарения межой частицы испаряющейся или растущей в присутствии более крупной.

5. Сравнение данных по испарению крупных частиц различной формы показывает ,что в одинаковых условиях при равных обьемах испарение сферических частиц происходит с наименьшей скоростью.

Во второй и третьей главах при малых и значительных перепадах концентрации несущей компоненты решены задачи о испарении и росте крупных и умеренно крупных частиц сферической формы с учетом конвективного (стефановского ) движения газообразной среды . При решении уравнений переноса в выражениях для потоков учтены термодиффузия и эффект Дюфура.

При малых концентрациях вещества и при малых перепадах концентраций газообразных компонентов учитывается линейная форма зависимости коэффициентов молекулярного переноса и термодаффузии от относительных концентраций газообразных компонентов. Получены формулы , описывающие как конвективные, так и диффузионные испарение и-рост крупных и умеренно крупных частиц сферической формы

При решении задачи о конвективном испарении при больших перепадах концентраций учитывается произвольная форма зависимости коэффициентов молекулярного переноса и термодиффузии от относительной концентрации газообразных компонентов и температуры среды. В третьей главе диссертации также приводится анализ применимости формул , полученных в диффузионном приближении . Формулы второй и третьей главы , полученные при больших и малых перепадах концентраций газообразных компонентов , в предельном случае малых концентраций молекул вещества частицы переходят в выражения , полученные в диффузионном приближении в первой главе диссертации.

Анализ теоретических результатов второй и третьей главы и данных численных расчетов позволяет определить некоторые закономерности конвективных испарения и роста одиночных крупных и умеренно крупных частиц сферической т|>ормът:

1. Температура поверхности свободно испаряющейся крупной частицы не завсит от ее радиуса . Для свободного режима испарения и роста крупных частиц характерна линейная зависимость от времени I квадрата радиуса крупной частицы как при малых , так и при значительных перепадах температуры и концентраций молекул в системе частица -газообразная среда и Т1роизвольной зависимости коэффициентов молекулярного переноса от параметров среды . Учет термодиффузии и эффекта Дюфура не приводит к отклонениям от приведенных выше закономерностей.

2. Вид зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры и концентраций газообразных компонентов может оказать существенное влияние-на скорость и время испарения частицы.

3. Влияние термодиффузии может быть различным. Термодиффузия не оказывает существенного влияния на свободные испарение и рост в конвективном режиме. Влияние термо диффузии может быть заметным, если испарение и рост протекают при фиксированной температуре поверхности частицы.

4. Эффект Дюфура не оказывает существенного влияния на испарение и рост крупных и умеренно крупных частиц в конвективном режиме.

Большинство результатов диссертации получены в аналитическом виде [11],[12],[68],[69],[73], [74] ,[81], [89], что дает возможность непосредственного использования для инженерно-практических расчетов и задач математического моделирования.

В первой , второй и третьей главах приведены аналитические формулы , позволяющие ^ достаточной для практического использования точностью описывать испарение и рост одиночных частиц различной формы . Основные результаты диссертации могут быть использованы при описании испарения и роста частиц в тазовых смесях не только с близкими, но и с сильно различающимися массами молекул.

Теоретическое результаты диссертации могут применены для расчетов промышленных процессов , связанных с сушкой и охлаждением аэрозольных потоков, при конструировании двигателей внутреннего сгорания , жидкостно- реактивных двигателей, тепло- и массобменни-ков, химических реакторов; для описания технологических процессов , связанных с ректификацией ; при изучении процессов детонации в газожидкостных системах, при моделировании процессов, происходящих в зонах атмосферной облачности, туманах, в зовах просветления лазерным излучением.

Результаты первой главы дополнительно могут применяться при моделировании процессов испарения и роста коадесцирующих и коагулирующих частиц произвольной формы, при изучении эволюции жидко-капельных систем.

Математические методы , разработанные в диссертации, были применены при описании процесса гетерогенного горения твердой аэрозольной частицы в многокомпонентной газообразной среде при больших ошеситеяьных перепадах температуры в системе частица- газообразная среда и малых концентрациях химически активного компонента .

В диссертации проведено сравнение полученных с ранее известными теоретическими результатами других авторов и имеющимися экспериментальными данными. Теоретические результаты диссертации достаточно хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными дан-нымигвбобщенные формулы , полученные в диссертации , в предельных случаях переходят « ранее известные достоверные результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Надыкто, Алексей Борисович, 1998 год

Литература

1. Колосов М.А. Ослабление лазерного излучения в гидрометеорах. М.: Наука, 1977. 175с.

2. Волковицкий С.А., Седунов Ю.С., Семенов Л.П. Распространение интенсивного лазерного изучения в облаках. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 312с.

3. Зуев В.Е., Землянин A.A., Копытин Ю.Д., Кузиковский A.B. Мощное лазерное излучение в атмосферном аэрозоле. Новосибирск: Наука, 1984. 224с.

4. Амелин А.Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара. М.: Химия, 1972. 304с.

5. Ужов В.Н., Вальдберг А.Ю. Очистка газов мокрыми фильтрами. М.: Химия, 1972. 246с.

6. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Е.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985. 336с.

7. Воинов А.И. Сгорание в быстроходных поршневых двигателях. М.: Машиностроение. 1977. 382с.

8. Пчелкин Ю.М. Камеры сгорания газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1984.342с.

9. Фукс H.A. Испарение и рост капель в газообразное среде. М.: Изд-во АН СССР, 1958.91с.

Ю.Смирнов В.Н. Скорость коагуляционного и конденсационного роста частиц аэрозолей. //Тр.ЦА0.1969.Вып.2.сЗ-106.

П.Надыкто А.Б., Щукин Е.Р,Загайнов В.А. Кинетика процессов диффузионного испарения и роста крупных аэрозольных частиц при наличии внутреннего тепловыделения//ВАНТ.Серия " Теоретическая и прикладная физика" 1998. Вып.1.С.39-41

12.Е.Р.Щукин, А.Б. Надыкто .Влияние несферичности на свободное диффузионное испарение и рост крупных аэрозольных частиц// Тез.

докл . межд. научной конф. "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах". Тверь. 1998.149 с.

13.Яламов Ю.И., Галоян B.C. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985.208с.

14.Loylka S.K. Approximate method in the kinetic theory//Phys.Fluids. 1971.V. 14. № 11. P.2291-2294.

15.Sone Y., Onishi Y. Kinetic theory of evaporation and condensation//J,Phys.Soc.Japan. 1973.V.35, № 6. P.1773-1776.

16.Onishi Y., Sone Y. Kinetic theory of evaporation and condensation. -Hydrodinamic equation and slip - boundary condition //J.Phys.Soc.Japan. 1978.V.44. № 6. P.1981-1994.

17.Яламов Е.И., Ивченко И.Н., Мурадян C.M. Теория испарения сферических капель при произвольных числах Кнудсена //Докл. АН СССР. 1981.Т.258, № 5. С. 1106-1110

18.Onishi Y., Donara N. The behavior of a vapor gas around its spherical droplet//J.Phys.Soc.Japan. 1984.Y.53. №1.P. 178-186.

19.Шен Цин. Коэффициент скачка концентрации в разреженной бинарной газовой смеси// ЖТФ.1985.Т.55. № 9. С. 1808-1814.

20.Углов А.А., Гнедовец А.Г. Конденсация и испарение капли в смеси пара и газа с сильно отличающимися массами молекул // Докл. АН СССР. 1986. Т.286, № 5. С. 1112-1115.

21.Ивченко И.Н. О нестационарном испарении с плоской поверхности жидкости//ТВТ. 1987.Т.25. № 4.С.823-825.

22.0сипов А.Д., Семена М.Г., Сергеев Ю.Ю. О температурном скачке при фазовом переходе чистых жидкостей на плоской границе раздела фаз// ИФЖ.1988.Т.54, № 5. С.793-797.

23.Углов А.А., Гнедовец А.Г. Испарение и конденсационный рост капли в поле лазерного излучения. //Физика и химия обработки материалов. 1988.№ 2.С.28-38.

24.Углов А.А., Гнедовец А.Г. Движение и нагрев металлической микрочастицы в разреженном плазменном потоке. //ТВТ.1983.№ 2. С. 159 - 162.

25. Paul В. Compilation of evaporation coefficient //Amer. Rocket. Soc .J. 1962. V.32.P. 1321 -1328.

26.Неизвестный А.И. Результаты экспериментального определения коэффициента конденсации воды. Обзор/ Обнинск.: Изд. ВНИИГМИ МИД. 1976. 51с.

27.Maxwell J.C. Collected Scientific Papers. Cambridge.l890.V.ll. P.625.

28.Апашев M.Д., Малов P.B. Испарение единичных свободных мелких капель различных жидкостей при малых значениях критерия Рейнольдса обтекания капель потоком //Изв. АН СССР.Энергетика и автоматика. 1960.№ 2.С. 185-191.

29.Иванов В.М., Смирнова Е.Э. Испарение капли жидкости в высокотемпературное среде. /Тр.ИГИ.Т.19.с 48.

30.Янковский В.М., Образцов И.А., Сабиров И.Х. Исследование процесса испарения топлива в предкамере// Изв.Вузов. Авиационная техника. 1983. № 3. 50с.

31.Зуев В.Е. Распространение видимых и инфракрасных волн в атмосфере. М.: Сов. Радио, 1970. 496с.

32.Романов Г.С., Пустовалов В.К. Просветление облачной атмосферы, содержащей капли воды, интенсивным монохроматическим излучением//Журнал прикладной спектроскопиопии. 1973.Т.19. С.332-339.

33.Armstrong R.L. Aérosol heating vaporization by pulsed light beams //Applied Optics.1984. V.23. № 1. P.148-155.

34.Романов Г.С., Пустовалов В.К. Просветление полидисперсной облачной среды, содержащей капли воды, под действием интенсивного монохроматического излучения// ЖТФ.1977.Т.47. Вып.1. С. 168-173.

35.Bennet U.S., Rosasco G.J. Heating microscopic particles with laser beams// J.Appl.Phys. 1978. V.49, № 2. P.640-647.

36.Бурашов B.C., Кондратов Н.Г., Ставров A.A. и др. Нагрев и сублимация сажистых частиц пламени под действием лазерного излучения

37.Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Кутуков В.Б., Малышев B.J1. О диффузионном испарении капель в поле электромагнитного излучения при произвольных перепадах температуры// Изв. АН СССР. ТВТ.1977.Т.15, № 2.С.434-436.

38.Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Кокоре А.Н. Лазерная обработка материалов// М.: Машиностроение, 1975.293с.

39.Зуев В.Е., Копытин Ю.Д., Кузиковский А.В. Нелинейные оптические эффекты в аэрозолях. Новосибирск: Наука, 1980.185с.

40.Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 719с.

41.Шифрин К.С. Расчеты радиационных характеристик облаков// Труды ГГО им. Воейкова. Л.,Гидрометеоиздат, 1961. № 109. С. 179-190.

42.Пинчук В.П., Романов Г.С. Сечение поглощения сферических частиц произвольного размера с умеренным поглощением// Прикладная спектроскопия. 1977.Т.27.С.109-116.

43.Williams F.A. On vaporisation for mist by radiation//International J. of Heat and Mass Transfer. 1965. V.8.P.575-587.

44.Шифрин K.C., Золотова Ш.К. Кинетика испарения капли в радиационном поле//Изв. АН СССР. ФАОЛ966.Т.11. С.1311-1315.

45.Букатый В.И., Погодаев В.А. Испарение водяной капли под действием инфракрасного излучения//Изв. ВУЗов Физика.1970.№ 1.С.141-142.

46.Зуев В.Е., Кузиковский A.B., Погодаев В.А., Хмелевцов С.С., Чистякова JT.K. Тепловое воздействие оптического излучения на водные капли малого размера// ДАН СССР. 1972.Т.20.-С. 1069-1072.

47.Рудаш В.К., Бисяргин В.П., Ильин Н.М., Соколов A.B., Стрелков Г.М. Испарение больших капель воды под действием инфракрасного излучения// Квантовая электроника. 1973.№ 5.С.21-26.

48.Стрелков Г.М. Об испарении водяной капли // Изв.АН СССР. ФАО. 1973.Т.9.-С.652-655.

49.Стрелков Г.М. О диффузионном испарении водяной капли.// Изв. АН СССР, ФАО. 1974.Т. 10.С. 1224-1227.

50.Пустовалов В.К., Романов P.C. Испарение капли в диффузионном режиме под действием монохроматического излучения// Квант, электроника. 1977.Т.4. № 1.С.64-94.

51. Sutton C.W. Рассеивание тумана, мощным лазером// Ракетная техника и космонавтика. 1970.Т.8, № 10.С.196-199.

52.Кузиковский A.B., Погодаев В.А., Хмелевцов С.С. Испарение водное капли под действием светового импульса// ИФЖ.1971. Т.20.С.21-25.

53.Букздорф И.В., Погодаев В.А., Чистякова JI.K. О связи неоднородностей внутреннего оптического поля облучения капли с ее взрывом// Квант, электроника. 1975.Т.2.С. 1062-1064.

54.3емлянов A.A., Погодаев В.А., Погодаев В.Н., Чистякова JI.K. Оптическая прочность слабопоглощающих капель в интенсивных световых полях// Прикл. Матем. и тех. физ.1977, № 4.C.33-37.

55.Погодаев В.А., Рождественский А.Е., Хмелевцов С.С., Чистякова J1.K. Тепловой взрыв водяных частиц под действием мощного лазерного излучения// Квант. электрон.1977.Т.4. С. 157-159.

56. Кузиковский A.B. Динамика сферической частицы в мощном оптическом поле// Изв. ВУЗов. Физика. 1970.№ 5.С.89-94.

57.Стрелков Г.М., Рудаш B.K. Конвективное испарение водяной капли в поле излучения// Препринт № 20 (132). М. Изд. инст-та радист, и электрон. АН СССР.1973.С.28.

58.Грачев Ю.Н., Стрелков Г.М. Влияние коэффициента аккомодации на процесс испарения// Изв. ВУЗов. Физика. 1975.№ 11. С.27-33.

59.Иванов Р.В., Коровин В.Я. Испарение капель воды в поле непрерывного излучения С02 - лазера// ИФЖ.1978.Т.34, № 5. С.807-812.

60.Алексеев И.М., Свиркунов П.Н. Испарение твердых частиц под действием лазерного излучения/Л Всесоюзное совещание по атмосферной оптике. Тезисы докл., ч.2.Томск.,1976.-С.200-202.

61.Яламов Ю.И., Силин H.A., Сидоров А.Н., Баринова М.Ф., Шукин Е.Р. Об испарении капель тугоплавких веществ в поле электромагнитного излучения//ЖТФ.1980.Т.50. № 2. С.380-384.

62.Пустовалов К.В., Романов Г.С. Испарение капли в диффузионном режиме интенсивным оптическим излучением с учетом температурных зависимостей теплофизических параметров//Докл. АН СССР.1985.Т.24. № 1.С.50-53.

63.Кутуков В.Б., Лесскис А.Г., Малышев В.Л., Щукин Е.Р. Конвекивное испарение аэрозольной частицы в поле электромагнитного излучения при значительных перегревах //Материалы физ.-хим. промышленной и приборной секции III Всесоюзной конференции по аэрозолям. Ереван, 1977.C.33-34.

64.Яламов Ю.И., Уварова Л.А., Щукин Е.Р. Несимметричное испарение капель подцействием электромагнитного излучения в конвективном режиме //Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика: Сборник/ МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1979.Вып.4. 4.1. С.230-238.Деп. в ВИНИТИ, № 3828-79.

65.Щукин Е.Р. Теория испарения крупных взаимодействующих капель//Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика:Сборник/

МОПИ им. Н.К. Крупской М.,1979, Вып.4, ч.2. С. 176-215. Деп. в ВИНИТИ, № 3828-79.

66.Яламов Ю.И., Баринова М.Ф., Островский Ю.К., Щукин Е.Р. Теория испарения двух капель находящихся на произвольных расстояниях друг от друга// ДАН СССР. Физика. 1985.Т.284, № 2.С.341-344.

67.Грин X., Лейн 3. Аэрозоли-дымы, пыли и туманы. Л.: Химия, 1972 .с 462.

68. Е.Р.Щукин, А.Б. Надыкто. Кинетика свободного диффузионного испарения и роста крупных аэрозольных частиц //ВАНТ.Серия " Теоретическая и прикладная физика" 1998. Вып.1.С.43-52.

69.Е.Р.Щукин, А.Б. Надыкто . Конвективное испарение крупных и умеренно крупных сферических аэрозольных частиц // Тез. докл . межд. научной конф. "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах". Тверь. 1998.147 с.

70. Варгафтик Н.Б. Справочник по тепло-физическим свойствам газов и жидкостей.Наука, 1972.721 с.

71. Schmitz R., Felderhot B.U. Creeping flow about a sphere //Physica. 1978. V.92A.P.423-437.

72.Кульбицкии Ю.Н., Струминский В.В. Общее решение задач о движений частиц в приближении Стокса // АН СССР.ст. мех. неод. сред, препринт № 17.88, вып. 2. 43с.

73. Nadykto А.В. Features of large aerosol particle diffusive vaporization and growth processes given internal heat release//Annual reports of the International Conference "Mathematical Models of Non - Linear Excitations,Transfer,Dynamics, and Control in Condensed Systems and Other Media".Tver. 1998.p.97.

74. Е.Р. Щукин,Надыкто А.Б., Шулиманова 3. Л. О гетерогенном горении твердых частиц при малых концентрациях химически активных

компонентов// ВАНТ.Серия " Теоретическая и прикладная физика" 1997. Вып.2.С 26-30.

75.Griffin J.L., Loyalka S.K. Vapor condensation on multiple spheres and spheroids in the near - continuum regime // J. Aerosol Sci. 1994. V.25. N7. P.1271-1290.

76.Griffin J.L., Loyalka S.K. Condensation on aerosol particles: boundary element formulation // J. Aerosol Sci. 1996. V.27. N1. P.3-18.

77.Carstens J.C., Williams A., Zung J.T. Theory of droplet growth in clouds: II Diffusional interaction between two growing droplets //J.Atmos.Sci. 1970.V.27. № 8 .P.798-803.

78.Williams A., Carstens J.C. //J.Atmos.Sci. 1971.V.28. P.1298-1299. 79.3игель P., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением// Мир. 1975. 934 с .

80. Свет Д.Я. Температурное излучение металлов и некоторых веществ. М.Металлургия.1964.15 с.

81. Е.Р.Щукин, А.Б. Надыкто. Особенности свободных испарения и роста конечной совокупности крупных взаимодействующих аэрозольных частиц с произвольной геометрией поверхности // Тез. докл. межд. научной конф. "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" .Тверь. 1998.150 с.

82. Основы практической теории горения // Под. ред.В.В. Померанцева. Л.: Энергия, 1973. 263 с.

83. Вулис Л.А. Тепловой режим горения. М.: Госэнергоиздат. 1958. 358 с.

84. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Эйдинов Л.Г., Шулиманова З.Л. К вопросу о поверхностном горении аэрозольных частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла // ФГВ. 1982. N 4. С. 42-44.

85. Букатый В.Н., Жданов Е.П., Шайдук A.M. О горении аэрозольных частиц в поле электромагнитного излучения //ФГВ. 1982. N 3. С. 56-59.

86. Букатый В.Н., Копытин Ю.Д., Погодаев В.А. Горение углеродных частиц инициированное лазерным излучением // Изв. ВУЗОВ 1983. N 2. С. 14-22.

87. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука. 1967. 492с.

88. Гиршфельдер Д., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: И. Л., 1961. 971 с.

89. Надыкто А.Б. Применения приближения обмена одиночной сферической капли с бесконечной средой для задач о испарении и росте аэрозольных частиц // Тез. докл. межд. научной конф. "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" .Тверь. 1998. 96 с.

90. Васина Э. Г., Бабаев Ю.Н., Баженов C.B., Базин A.A., Горев В.В., Дементьев Ю. А. и другие .Методики и программы ВНИИЭФ для решения двумерных и трехмерных задач переноса излучения в областях сложной формы//ВАНТ.Сер. "Математичекое моделирование физических процессов".Вып.4.1996.21 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 П.1. О ГЕТЕРОГЕННОМ ГОРЕНИИ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ ПРИ МАЛЫХ КОНЦЕНТРАЦИЯХ ХИМИЧЕСКИ АКТИВНЫХ КОМПОНЕНТОВ

Гетерогенное горение частиц происходит в тех случаях, когда молекулы газообразной среды вступают в химическую реакцию с молекулами твердой частицы. Гетерогенное горение может происходить, например, в топках тепло-энергетических установок [82,83], зонах просветления аэродисперсных систем лазерным излучением [84-86].

При малых концентрациях молекул химически активных компонентов макроскопический перенос молекул в окрестности неподвижной частицы происходит вследствие диффузионного и термодиффузионного механизмов [87]. В случае малых перепадов температуры термодиффузионным переносом молекулможно пренебречь. При повышении температуры поверхности частицы влияние термодиффузии на макроскопическое движение молекул возрастает. В связи с этим представляет интерес вывод формул, с помощью которых можно оценивать возможную степень влияния термодиффузии на скорость гетерогенного горения частиц при значительных перепадах температуры в их окрестности.

Формулы, полученные в настоящей работе, позволяют определить скорость и время гетерогенного горения нагреваемых внутренними источниками тепла неподвижных твердых аэрозольных частиц сферической формы при произвольной зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры с учетомвлияния термодиффузии на процесс тегою-массопереноса в окрестности частиц.

Горение частиц рассмотрено в газовой смеси, состоящей из N компонентов. Молекулы первого компонента вступают в химическую реакцию с веществом частицы. Молекулы И-го несущего компонента химических превращений на поверхности частицы не испытывают. Химическая реакция протекает в соответствии со схемой [87]

№

где символы А] , А(р) служат соответственно для, обозначения атомов или молекул окислителя (А1), окислов и частицы (А(р))\ у , -стехиометрические коэффициенты химической реакции, положительные у вступающих в химическую реакцию молекул (^>0, }/р)>Щ и отрицательные у молекул, образующихся в результате реакции (^<0 при 2<

По указанной схеме протекает, например, следующая реакция окисления атомов углеродной частицы молекулами кислорода при температуре поверхности частицы, превышающей 2200 К [82]: 02 +2С-2СО-0. В этом случае символы Аг , А2 , А(р) служат, соответственно, для обозначения кислорода 02 , окиси углерода СО и углерода С; у1 = 1,у2 =-2, у^ -2. На поверхности частицы протекает

химическая реакция первого порядка [82,83].

Радиус частицы Я много больше максимальной из средних длин свободного пробега газовых молекул. Перепады температуры в окрестности частицы могут быть значительными. Внутри частицы происходит выделение тепловой энергии. Тепловые источники могут быть произвольной природы (например, электромагнитной). Суммарная мощность тепловых источников считается известной. В силу малости времен тепловой и диффузионной релаксаций процесс тепло -и массообмена частицы с окружающей средой протекает квазистационарно. Коэффициент теплопроводности вещества частицы много больше коэффициента теплопроводности газообразной среды. При этом распределение температуры вдоль поверхности частицы близко к однородному. В связи с этим решение задачи о гетерогенном горении частицы можно проводить, исходя из сферически симметричной модели горения чаетн*«*. Размеры частицы достаточно малы, чтобы

123

можно было пренебречь влиянием гравитационной конвекции на процесс тепло- и массообмена частицы с окружающей газообразной средой. Горение частицы происходит при малой концентрации молекул окислителя и продуктов реакции, когда в окрестности частицы

N-1 N

« 1. В неравенстве = п^ / п ,п- ^Иу ; щ - концентрации молекул

№ 7=1

ЛМ

газообразных компонентов. Следует отметить, что при « 1

7=1

основными механизмами переноса молекул являются молекулярная диффузия и термодиффузия. При этом выражения для радиальных проекций плотностей потоков молекул газообразных компонентов имеют следующий вид:

--+Кт ;---

с1г г'] Т Ф

(П.1)

где />7ту - бинарные коэффициенты диффузии [87,88]; Т - температура газообразной среды; Кц - термодиффузионные отношения молекул вида у в двухкомпонентных газовых смесях, состоящих соответственно из молекул 7-го и Л^-го сорта [87,88]; г - радиальная координата. При

м-1

С] =0 коэффициент К^ равен нулю. В связи с этим при «1

7=1

выражения для термодиффузионных отношений можно представить в виде [87,88]:

КТ ] = а¡с^ , (П.2)

где коэффициенты аj - функции, зависящие от температуры газа Т. При

ЛГ-1

«1 можно пренебречь зависимостью от коэффициентов и

7=1

теплопроводности к.

При выполнении рассмотренных выше ограничений распределения в окрестности частицы Т и с7 описываются следующей системой уравнении [87,88]:

в которой пу и С/, массы и удельные энтальпии молекул у'-го компонента,

йТ

4т = Х^Д/ '

Значения qj находятся по формуле (П. 1).

Решение (П.З) проведем совместно с граничными условиями

V,

г=Л

•ч

VI

. ^=т>'

г=Я

С1

= С;Ж , 71 =7^, (П.4)

где к] - константа скорости реакции, зависящая от температуры поверхности частицы Т{. Если скорость реакции зависит от Т-[ по закону Аррениуса [82,83], то

/?! = Н10 ехр(-Е1 / кТ{) , (П-5)

где Е1 - энергия активации, к - постоянная Больцмана. Первое из граничных условий (П.4) получено, исходя из условия равенства плотности потока молекул окислителя (подводимых к поверхности частицы) числу молекул, вступающих в химическую реакцию с веществом частицы. Второе из условий (П.4) учитывает сохранение атомов молекул в процессе химической реакции. Оно связывает значения плотностей потоков молекул окислителя и молекул, образовавшихся в результате химической реакции. В связи с малыми перепадами в окрестности частицы давления значения суммарной концентрации молекул п можно находить по формуле: п = рх / кТ, в

которой рар - давление газообразной среды.

В результате решения граничной задачи (П.3)-(П.4) были получены следующие выражения для распределений с} и Т в окрестности частицы и потоков молекул окислителя qh окисла и> обусловленного молекулярной теплопроводностью, тепла qтв окрестности частицы :

125

1 т

сс

С} = {<> + (01 ^ / йтп)фДт)} - } ^¡гЛТ

V г

1

ЛМ

бг-йЕ^Ь/^)

м

4 лг

(П.6)

(П.7)

в которых

- соответственно потоки молекул первого вида и тепла;

(П.8)

/с

Ж

V /=1 )

-ехр

( гр \

Г

J <т

471 i

(П.9)

В выражения (П.6) и (П.7) входят потоки <27 и Их зависимость от радиуса частицы Я и температуры поверхности 7} находится в ходе решения следующей системы уравнений (П. 10), (ПЛ1) :

а =-4 яя2А,{с1оо+(а /бг^й)}^

\ г

^ х сп

в которой и^ = ^ = («а, Т^о / 7}) - суммарная концентрация молекул у

поверхности частицы. Система уравнений (ПЛО), (П.11) была получена после подстановки формул (П.6) и (П.7) в первое и третье из граничных условий (П.4). При решении системы (П.10)-(П.11) величину отношения а /<2г удобно находить, исходя из уравнения

кйТ

N-1,

Х-^Р^Ду/йтУх)

./=1

(ПЛО)

(П.11)

кйТ

т

N-1,

м

( т ^

V Г

Коэффициенты ау- слабо зависят от температуры Г. При фиксированной величине а ^

ехр

а,

V?; - у

В тех случаях , когда можно пренебречь влиянием движения сферы на распределение температуры Т и перенос тепла выражения для распределений с,- , Т и потоков молекул (2/ и йт непосредственно зависят от температуры поверхности частицы 7}

СГ

Т

т 00

/

к т

тг

ухКх |кйТ т

т,

ехр

а

г т ^

Г

Т

J гр

V?; i

йТ

/

V т

(П.12)

Я

£

г г т

Щ

<2,- = / V,) / А, , бг = 4жК/ я/Г ,

т

в которых

(П.13)

(П.14)

т;

1 + -Лл

Шхпх' \г л

т т

При фиксированной величине а

- 4 00 (т Л -

к ехр 1 \Т 4 лсо ах йТ У

Щм ~Т

(П.15)

йТ>

т

к

пВ

'лГ'

йТ/ у{Ах /кйТ

-* 00 т)

Т, т,

¡кат/1

т т

л ОО ЛСП

к

Г т\а1

пТ>

йТ ,

А, =

1 +

{ у 1

В случае постоянных «7-и следующей степенной зависимости коэффициентов молекулярного переноса от Т

к~кг

( Т\Р

В} д г -

г 1

Выражения для распределений сДП.12) , Т{П.13) потока тепла Q7{HЛЛ) и входящих в формулу для потоков <2/(П.14) коэффициентов у/^) и А! принимают следующий вид:

с • = <

^у'оо ^1<Х> У ]

(1 ^+ах-гд{в1+Р+а^-\)

(П. 16)

1 1

¿1 =

1 +

Ккп

где О,-Т/Т со , 0/=Т/Т по , у-г/К. В выражения для распределений Т, с} и потоков Qj , ()т входит температура поверхности частицы 7} , которую можно определить в ходе решения системы уравнений (П. 17)

б, = -а I) т]и]{у] / + 4кЯг/{Т1,Т(Х)

7=1

ч

(р)

йМ у

'1

^Р=тР-91* (П17>

Ш у V,

в которой рриср- плотность и удельная теплоемкость вещества частицы; тр - масса молекул частицы; Ьр - тепловой эффект реакции; ()р -суммарная мощность внутренних тепловых источников; /(ТьТоо) -плотность потока тепловой энергии, отводимой от поверхности частицы в результате лучистого теплообмена; I - время. Если при протекании химической реакции происходит выделение тепла, то в этом случае коэффициент Ьр>0. При достаточно высоких температурах выражение для/(ТьТт) равно

/(т,

где <5 - постоянная Стефана-Больцмана; и коэффициенты

излучательной и поглощательной способности вещества частицы при температуре 7} . Если нагрев частицы происходит в поле электромагнитного излучения (например, лазерного [85-86]), то при этом 0р=7гЯ2Кл1 , где / - интенсивность излучения ; Кя - фактор эффективности поглощения частицей излучения [85,86]. Если частица поглощает падающее на нее электромагнитное излучение, как абсолютно черное тело, то при этом Первое из уравнений (П.17) -это уравнение теплового баланса, а второе - уравнение сохранения массы частицы. Проводя оценку скорости и времени сгорания частицы при установившемся режиме горения, в первом из уравнений (П.17) можно пренебречь членом, пропорциональным производной с1Т( / &.

С помощью системы уравнений (П.17) были проведены оценки зависимостьи радиуса частицы от времени. Эти оценки показали, что, если окисление частицы протекает при температуре сильно отличающейся от температуры газообразной среды, то при этом в некоторых случаях на процесс горения частицы заметное влияние может

оказать и термодиффузия. Термодиффузия замедляет скорость горения частицы, если масса молекул окислителя больше массы молекул химически инертного компонента и ускоряет процесс горения в противном случае.

При определении значений ()р предполагается, что частица поглощает излучение, как абсолютно-черное тело. В результате протекания реакции образуются молекулы СО. Значения 7} находятся в ходе решения алгебраического уравнения

/ 4

Я

1

Л

тру

(р)

А^

При малых скоростях окислений частицы, когда

(Ъ

Т^ехА

\т

4 оп

/ Щг№ » 1 ,

выражение для (П. 14) переходит в

<2; = ^ / У\} > со х- ехр

V т

V л «о

Т

(П. 18)

к а.

В случае а,1~соп81

со 1 = (Гв / 7])'

Из (П. 18) следует, что и в случае медленного окисления частицы термодиффузия может оказать заметное влияние на скорость сгорания частицы. Это обстоятельство связано с тем, что, например, при 7]»Г«, термодиффузия вызывает дополнительный приток молекул окислителя к поверхности частицы в случае гп1<ты или отток при т1>т1^ . Изменение концентрации молекул у поверхности частицы определяется величиной множителя со1 . Так, например, в случае а2--0,2 и (Т/Т«,)-10 коэффициент ^>¡-1,58.

П.2. Рисунки

На рис.П.1 и рис П.2 приведено сравнение теоретических и экспериментальных [59} данных по испарению аэрозольных частиц в поле лазерного излучения с интенсивностью 1=2100 Вт/см2 и 1=1300 Вт/см2 соответственно.

На рис.П.З и рис 11.4 приведены значения функции О вдоль направлений осей координат для цилиндра Я= 10 мкм , 11=1,33 мкм. Направление оси ОХ совпадает с направлением оси цилиндра, ось ОУ проходит через середину осевой линии. На рис.П.5 и рис П.6 приведены отношения времени испарения ансамблей N одинаковых сферических частиц с радиусом К0 ко времени полного испарения одиночной невзаимодействующей частицы с радиусом Я(). На рис .П.5 приведены данные для N=2,3 . На рис .П.6 приведены данные для N=4,5,6 . Меньшему N соответствует более пологая кривая. На рис.П.7 и рис П.8 приведено сравнение теоретических и экспериментальных данных по испарению аэрозольных частиц в поле лазерного излучения с интенсивностью 1=2100 Вт/см2 и 1=1300 Вт/см2 соответственно. На рис.П.9 приведены данные расчета полного обезразмеренного времени испарения цилиндрических частиц.

Обезразмеривание проводится по формуле г„ = —, в которой гсА и

1а - времена полного испарения цилиндра с к(/Я0=А и сферической частицы одинакового объема.

tío3 , с

t103,c

X

a/R

a/R

tío3 ,c

tío3 ,c

А