Исключение неизмеряемых концентраций веществ и обратные задачи нестационарной химической кинетики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Асадуллин, Рамиль Мидхатович

• Асадуллин, Рамиль Мидхатович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Асадуллин, Рамиль Мидхатович

Введение

Глава 1. Обратные задачи для моделей нестационарной химической кинетики

1.1. Математические модели нестационарной химической кинетики

1.2. Обратные задачи для некоторых моделей физико-химии

1.3. Основные исследования по идентифицируемости моделей типа химической кинетики

1.4. Методы исключения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и в моделировании химической кинетики

Глава 2. Исключение переменных для моделей нестационарной химической кинетики общего вида

2.1. Формальная редуцируемость модели

2.2. Конструктивные алгоритмы исключения

2.2.1. Законы сохранения и измеримые функции концентраций

2.2.2. Метод результанта

2.2.3. Метод базисов Гребнера (алгоритм Бух-бергера)

2.2.4. Квазистационарность по части неизмеряемых переменных

Глава 3. Обратная задача

3.1. Разрешимость обратной задачи для системы определяющих уравнений

3.2. Определение числа решений обратной задачи

Глава 4. Линейные системы

4.1. Аналитическое представление системы определяющих уравнений

4.2. Примеры проявления неединственности для некоторых конкретных систем

4.3. Некоторые классы мономолекулярных реакций

Глава 5. Модели, линейные по промежуточным веществам

5.1. Построение системы определяющих уравнений

5.2. Модели Лотки-Волвтерра и Михаэлис-Ментен

Глава 6. Численное оценивание параметров системы определяющих уравнений

6.1. Переход от системы определяющих уравнений к нормальной системе уравнений

6.2. Интегральные методы оценивания. Метод модулирующих функций

6.3. МАРЬЕ-реализация алгоритмов исключения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исключение неизмеряемых концентраций веществ и обратные задачи нестационарной химической кинетики»

Разнообразие задач, возникающих при математическом моделировании кинетики сложных химических реакций, позволяет установить общность постановок со многими задачами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в прикладных областях, таких как автоматическое управление, теория систем, моделирование биомедицинских процессов и др. Типичной в этом смысле является задача определения параметров модели по кинетическим измерениям - обратная кинетическая задача.

Принципиальной трудностью при решении обратных задач химической кинетики является неединственность решения, связанная со структурой модели (структурная неидентифицируемость). Исследование сложных химических, нефтехимических, ферментативных реакций приводит, как правило, к моделям с большим количеством переменных, непосредственное измерение части из которых невозможно. Именно следствием этой недоинформативности измерений и становится неединственность решения обратной задачи химической кинетики, приводящая фактически к множественности моделей, описывающих процесс.

Поставленная и развитая в работах М.Г.Слинько, В.Г.Горского, С.И.Спивака, А.Г.Погорелова, проблема неединственности решения обратной задачи химической кинетики привлекает все большее число исследователей и разнообразные методы исследования. Основной результат состоит в следующем: неединственность решения обратной задачи обусловлена инвариантностью измеряемых кинетических характеристик относительно некоторых преобразований (дискретных или непрерывных) искомых параметров модели. В результате могут быть найдены не сами индивидуальные параметры, например, константы скоростей элементарных стадий, а некоторые параметрические функции, число независимых среди которых меньше или равно числа искомых параметров.

Развитые методы определения числа и вида параметрических функций эффективны, как правило, для случая квазистационарного протекания реакций (неизмеряемые концентрации определяются из системы алгебарических уравнений). Возникает проблема обобщения на случай нестационарного протекания процесса. Один из путей для этого состоит в разработке методов исключения неизмеряемых концентраций из системы дифференциальных уравнений химической кинетики и последующем анализе полученной системы уравнений. Такой подход позволяет получить явную зависимость кинетической модели от параметрических функций и существенно упростить задачу выделения в них базиса независимых. Более того, явные зависимости дают возможность численного определения параметрических функций.

Таким образом целью работы являются разработка методов исключения концентраций неизмеряемых веществ в моделях нестационарной химической кинетики, создание конструктивных алгоритмов определения числа и вида независимых параметрических функций кинетических параметров, допускающих однозначное оценивание, численное определение параметрических функций.

Научная новизна.

1. Построен и обоснован алгоритм исключения неизмеряемых концентраций в моделях нестационарной химической кинетики эрмальная редукция к системе определяющих уравнений.

2. Разработаны и обоснованы конструктивные алгоритмы сключения, основанные на методах компьютерной алгебры (метод езультанта, базисов Гребнера).

3. Доказана эквивалентность обратных задач для исходной и едуцированной систем уравнений.

4. Для линейных моделей нестационарной химической кинетики все реакции идут по первому порядку) получена общая формула для вного вида системы определяющих уравнений.

5. Для моделей, линейных по неизмеряемым концентрациям реакции первого порядка . по неизмеряемым веществам) построен бщий алгоритм исключения.

6. Сформулированы и доказаны теоремы о разрешимости пределяющих уравнений относительно независимых параметрических ункций кинетических констант.

7. Предложен численный метод оценивания параметрических ункций из системы определяющих уравнений.

Практическая значимость.

Разработанные методы становятся основой априорного анализа нформативности кинетических измерений в задачах идентификации еханизмов сложных химических реакций. На их основе возможно остроение алгоритмов анализа уровня сложности кинетических оделей, необходимого и достаточного для описания реально .оступных кинетических измерений.

Алгоритмы исключения стали основой комплекса программ в истемах аналитических вычислений анализа кинетических измерений ложных химических реакций.

Разработанные методы, алгоритмы и программы использовались при исследовании кинетических моделей реакций:

- хлорирования этилена;

- распада этана;

- реакций изомеризации;

- Лотки-Вольтерра;

- Михаэлис-Ментен;

- ряда модельных линейных и нелинейных систем уравнений.

Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованной литературы и заключения.

Во введении излагаются основные цели и методы работы, а также дается общая характеристика работы и ее краткое содержание.

В первой главе рассматриваются основные принципы построения математических моделей нестационарной химической кинетики и приводится обзор литературы по исследованию и решению обратных задач.

Модель сложной химической реакции, записанную в соответствии с законом действующих масс, будем представлять в следующем виде: где f.(x,y,k) и g (х,у,к) - полиномы не выше третьей степени относительно переменных и линейные по компонентам вектора параметров (констант скоростей элементарных стадий) k, i=l,п, j=l,m, dim к = s, к„ > 0; х. - измеряемые на [0,Т], у.

-с- i j неизмеряемые переменные (концентрации реагентов). Разбиение х = f(x,y,k)

1) (2) (3) у = g(x,y,k) х(0) = х , у(0) = у , о о вектора концентраций на два подвектора является обычной формой записи модели сложной химической реакции (часть промежуточных переменных не может быть измерена в ходе эксперимента) и удобным для дальнейшего изложения.

Решения х.("Ь), у ("Ю будем считать продолжимыми на [0,с»). Это вполне естественное требование для закрытых систем (нет обмена с внешней средой); для многих моделей химической кинетики продолжимость решений следует из существования линейного первого интеграла с положительными коэффициентами. Из аналитичности правых частей системы (1),(2) следует аналитичность решений на

О,со).

Отметим, что третий порядок полиномов следует из физико-химических ограничений. Для рассматриваемых в работе алгоритмов и утверждений важна лишь полиномиальность правых частей (1),(2).

Модели вида С1) — (3) и задача оценивания параметров этих моделей возникают во многих прикладных областях: биохимии, автоматическом управлении и др.

Второй параграф главы посвящен вопросам корректности обратных задач, возникающих при моделировании различных физико-химических процессов. Приводится ряд результатов автора по обработке результатов эксперимента для некоторых моделей физико-химии.

Под обратной задачей задачей химической кинетики принято понимать задачу определения констант скоростей элементарных стадий - параметров модели (1)-(3) - по экспериментально заданным на [0,Т] решениям х.(Ъ), 1=1,п. Как и большинство обратных задач эта задача является некорректной. Наличие ошибок эксперимента приводит к нарушению всех трех требований корректности. В случае существования априорно единственного решения эта задача может быть решена в рамках условно-корректных задач (корректных по А.Н.Тихонову). Однако, лишь небольшой класс моделей химической кинетики отвечает требованию априорной единственности решения. Для моделей сложных химических реакций неполнота информации -заданы кинетические кривые только по части переменных приводит, как правило, при решении обратных задач к априорной неединственности. Существование множества изолированных или бесконечного множества решений было показано в работах различных авторов для стационарных, квазистационарных и некоторых классов нестационарных моделей.

Рассматриваются причины нарушения устойчивости решения обратных задач физико-химии и некоторые приемы улучшения обусловленности.

Третий параграф посвящен обзору литературы по исследованию идентифицируемости моделей вида (1)-(3). Вводятся основные понятия теории идентифицируемости и приводятся главные результаты работ по этой тематике.

Решение обратной задачи химической кинетики можно свести к последовательному решению двух задач, первой из которых является задача определения числа возможных решений. Задача решается в условиях идеального эксперимента: число экспериментальных точек не ограничено и отсутствует погрешность эксперимента. Можно считать также, что известны точные решения х("Ь). В этом случае модель называется идентифицируемой (структурно идентифицируемой), если обратная задача имеет единственное решение. В этом случае задача второго этапа - определение численных значений параметров по экспериментальной информации -может быть успешно решена известными численными методами.

Принято различать два типа. параметрической неидентифицируемости: локальную (существует бесконечное множество решений обратной задачи) и глобальную (существует конечное множество изолированных решений). Для моделей химической кинетики было показано, что в случае неидентифицируемости по заданной структуре модели могут быть найдены не сами параметры, а некоторые параметрические функции, неявно определяющие решение х("Ь). Вид параметрических функций определяет число решений обратной задачи. Это было показано для стационарных, квазистационарных и некоторых классов нестационарных моделей.

В последнем параграфе рассматриваются результаты по применению методов исключения в теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений - переход к одному (нескольким) уравнениям меньшей размерности,в теории систем полиномиальных уравнений - построение системы образующих и нахождение числа корней, при исследовании стационарных и квазистационарных моделей химической икнетики - построение кинетического полинома, определение числа стационарных состояний и др.

Основная задача, которая решается во второй главе построение и обоснование алгоритмов исключения неизмеряемых переменных из систем дифференциальных уравнений общего вида (1)-(3).

В первом параграфе обосновывается возможность формального исключения неизмеряемых переменных у из моделей вида С1) — С 3). эезультатом исключения является эквивалентная по решениям x(t) система дифференциальных уравнений порядка меньше или равного (га+1) - система определяющих уравнений (теорема 2.1). Следствие георемы - об эквивалентности обратных задач - позволяет свести в дальнейшем (гл. 3) исследование обратной задачи для системы (1)-(3) к задаче определения коэффициентов системы определяющих уравнений. Другое следствие позволяет конструктивно строить алгоритмы исключения.

На основании результатов теоремы и следствий во втором параграфе строятся конструктивные алгоритмы исключения. Предварительно часть неизмеряемых переменных можно исключить с помощью линейных соотношений вида: n m

Е с. х. + I су = Н., i=l,t (4)

J=1 ^ J k=a lk k

В случае, если с , с е R , Н = Н (х ,у ) уравнения (4) и ijik i i о о представляют собой линейные первые интегралы; при с = с(к), с = с (к), Н = Н (х ,у ,к) - так называемые линейные i k i к i ioo кинетические законы сохранения; при Н = Н (х ,у ,к,х) i ioo уравнения, которые назовем линейными измеряемыми функциями концентраций. Наличие по крайней мере линейных законов сохранения гарантируется для закрытых систем требованием сохранения баланса во веществу.

На примере ряда конкретных и модельных реакций показано, что, пользуясь только линейными соотношениями (4), можно свести исходную модель к системе определяющих уравнений. Уже на этом гапе через систему определяющих уравнений могут быть даны зостые критерии идентифицируемости (локальной) модели.

Следующие два параграфа посвящены построению конструктивных тгоритмов исключения неизмеряемых переменных для моделей вида I)—(3). Результатом исключения станет система определяющих эавнений. Два рассмотренных в работе и модифицированных для ^осматриваемых систем алгоритма - метод результанта и этод базисов Гребнера - основаны на алгебраических подходах и шользуют полиномиальность правых частей системы (1),(2). зрвые (ш+1) подсистем системы (5) (как следствие первого араграфа, их достаточно для получения системы определяющих эавнений) будем рассматривать как систему полиномиальных эавнений в кольце полиномов к[х ,х ,.,хСш+1}, у ,к„] над элем вещественных чисел. Задача построения системы определяющих эавнений становится чисто алгебраической: последовательным включением из каждой пары уравнений переменных у .,ут (метод эзультанта) или построением системы образующих для эреопределенной по исключаемым переменным системы многочленов \4етод базисов Гребнера) мы приходим к системе относительно элько измеряемых переменных. При определенных допущениях эследняя система является системой определяющих уравнений, эстроенная таким образом система определяющих уравнений эедставляется теперь в виде

I III „ -I- ± ) -с

Рго(х , . . . ,х) = £ аг (к) <рг. (х

П п

С т я + 1 ) Ь

1=1 г

Ьо г3 х^ЧО = Е Э^(к) >А|о€(хо,уо), г = М (6)

С=1 ООО ^ где < т и по построению каждое уравнение (5) представляет ш „ + 1 ) собой многочлены от компонент векторов х , .,х; хСт\ . . . ,х), 1=1,17г и ^|ое(хо,уо), €=1 ,сгг - линейно независимые мономы; а^.(к) - дробно-рациональные функции и (3^(к) - полиномы от параметров.

В последнем параграфе рассматривается модификация метода исключения (метода базисов Гребнера) для алгебро-дифференциальных систем вида: х = £(х,у,г,к) у = g(x,y,z,k) О = Мх,у,г,к) х(0) =х ; у(0) = у , о о где, по-прежнему, x(t) - вектор измеряемых переменных, у(Ъ), г("Ь) - векторы неизмеряемых переменных, по переменным вектора z(t) выполняется принцип квазистационарности.

В третьей главе в предположении, что система определяющих уравнений в виде (5),(6) построена, рассматриваются условия разрешимости системы относительно параметров сс^. . Рассматриваются различные постановки задач в зависимости от вида экспериментальных данных и вида модели. Разрешимость -¿-го уравнения системы (5) определяется существованием набора {"Ь } е т р )

0,Т] , таких, что вектора <р„. (х ^ ), . . . ,х(Ъ )) г $ С"Ь), к =

V* X 1 к линейно независимы. Показано, что для рассматриваемых систем такой набор точек всегда существует.

Проблема определения числа решений обратной задачи сводится к анализу системы рациональных (по построению) относительно к уравнений а (к) = с (7) j 5 где с - численные значения параметрических функций. Рациональность последних позволяет применить при анализе те же методы компьютерной алгебры, рассмотренные выше. Фактически задача определения числа решений обратной задачи сводится к построению базиса Гребнера для системы уравнений (7).

В четвертой и пятой главах рассмотрены два распространенных типа моделей нестационарной химической кинетики: линейных и линейных по неизмеряемым переменным, для которых алгоритмы исключения значительно упрощаются. В частности, линейная модель допускает аналитический вид системы определяющих уравнений, для линейной по неизмеряемым переменным строится общий алгоритм исключения переменных. Аналитическая запись системы определяющих уравнений позволяет получить некоторые общие результаты проявления неединственности решения для целых классов систем (п. 4.3), а также легко реализовать задачу исследования неединственности программно в системах аналитических вычислений. В п.4.2 и 5.2 разобраны примеры исследования обратных задач и проявления различных типов неединственности для конкретных динамических моделей.

Шестая глава посвящена вычислительным аспектам решения обратной задачи для системы определяющих уравнений. Обратный переход к нормальной системе дифференциальных уравнений позволяет использовать для поиска параметров уравнений системы традиционные методы нелинейной оптимизации (п. 6.1). С другой стороны, почти регрессионный вид уравнений системы дает возможность использовать для некоторых классов систем (линейных, линейных по неизмеряемым переменным) интегральные методы оценивания (п.6.2). В последнем параграфе главы дается описание основных операторов и пакетов системы MAPLE, необходимых для реализации алгоритмов исключения, а также возможности и ограничения аналитических преобразований рассматриваемого типа в системах аналитических вычислений.

Основное содержание работы кратко суммируется в выводах.

Некоторые программные реализации алгоритмов и расчеты приведены в Приложении.

Результаты работы могут быть использованы также как при качественном исследовании различных динамических систем с полиномиальными правыми частями (исключая переменные, мы приходим к уравнениям полиномиального же вида; большой класс уравнений подобного вида рассмотрен, например, в "Справочнике по дифференциальным уравнениям", Э.Камке), так и при исследовании вопросов идентифицируемости различных моделей типа моделей химической кинетики. Ряд результатов работы был использован при чтении спецкурса "Математические модели химической кинетики", прочитанном на математическом факультете БГУ.

Отдельные результаты работы докладывались на ряде Всесоюзных и Международных конференций, в том числе на II, III IV, V, VI Всесоюзных школах "Применение математических методов при описании и изучении физико-химических равновесий", на III и VII Всесоюзных конференциях "Математические методы в химии",

Международной конференции "Нестационарные процессы в катализе", на VII Всесоюзном симпоузиме "Инженерная энзимология", на VIII Всероссийской конференции "Математические методы в химии", XII Международной конференции "Химреактор-12", на I и II Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения", I и II Международных конференциях "Математические методы в химии и химической технологии", на II и III Сибирских конгрессах по индустриальной и прикладной математике, на Международной конференции "Комплексный анализ, диффернциальные уравнения, численные методы и приложения", Международной конференции "Дифференциальные уравнения и применения", Международной конференции "Кинетика жидкофазных реакций", на Международных конференциях Numerical treatment of differential equations (NUMDIFF-7, NUMDIFF-8), Всероссийской научно-практической конференции "Математическое моделирование биолого-химических процессов", Международной научной конференции "Оптимизация численных методов", Международной конференции "Спектральная теория и смежные вопросы", на различных Республиканских семинарах и конференциях и др. В полном объеме диссертация докладывалась на семинарах Института математики УНЦ РАН, семинарах кафедр УГАТУ, УНИ, БашГУ,

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Асадуллин, Рамиль Мидхатович

Заключение.

Основной результат настоящей работы состоит в разработке и обосновании методов исключения при решении обратных задач для систем ОДУ типа химической кинетики. Подобное преобразование нестационарной модели позволяет установить явную связь между моделью наблюдения и параметрическими функциями, однозначно, как доказано в работе, определяемыми из эксперимента. Построение базиса в множестве параметрических функций дает возможность определить число решений обратной задачи.

Из результатов работы выделим основные:

1. Показано, что исходная нестационарная модель может быть преобразована к системе уравнений, содержащей в качестве подсистемы уравнения относительно только измеряемых переменных (система определяющих уравнений).

Доказана эквивалентность прямых и обратных задач для исходной системы и системы определяющих уравнений. Преобразование основано на исключении неизмеряемых переменных из исходной системы дифференциальных уравнений. Доказательство факта эквивалентности прямых задач для исходной модели и редуцированной системы позволяет установить эквивалентность обратных задач - новый результат для нелинейных нестационарных моделей типа химической кинетики.

2. Для нестационарных моделей химической кинетики общего вида разработаны и обоснованы конструктивные алгоритмы исключения части переменных - построения системы определяющих уравнений. Полиномиальноеть правых частей исходной модели позволила использовать (с соответствующей модификацией) методы исключения компьютерной алгебры.

3. Показано, что система определяющих уравнений может быть представлена системой дифференциальных уравнений, полиномиальных относительно переменных и их производных. Естественная репараметризация системы определяющих уравнений приводит к тому, что новые параметры представляют собой некоторые функциональные комбинации исходных параметров, в общем случае дробно-рациональные. Фактически система определяющих уравнений устанавливает явную связь части решений исходной системы -измеряемых переменных - с параметрами исходной системы.

4. Сформулирваны и доказаны теоремы существования и единственности обратной задачи определения параметров системы определяющих уравнений.

5. Для линейных моделей нестационарной химической кинетики (все реакции идут по первому порядку) и линейных по неизмеряемым переменным построены и обоснованы алгоритмы исключения части переменных, учитывающие специфику моделей. В частности, для линейных моделей система определяющих уравнений выписывается в аналитическом виде.

6. Показано, что вопрос определения числа решений обратной задачи нестационарной химической кинетики сводится, в конечном итоге, к исследованию системы полиномиальных уравнений. Число (возможных) решений в случае глобальной неединственности или базис множества параметрических функций в случае локальной неединственности находится методами компьютерной алгебры.

7. Построение системы определяющих уравнений в полиномиальном относительно измеряемых характеристик реакции виде и теорема о разрешимости обратной задачи позволяет обосновать возможность применения некоторых численных методов определения параметров системы определяющих уравнений. Для нестационарных систем уравнений типа химической кинетики вопрос численного определения параметрических функций ранее практически не рассматривался.

Возможность программной реализации каждого шага исследования модели позволяет полностью автоматизировать процедуру определения всех решений обратной задачи.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Асадуллин, Рамиль Мидхатович, 1998 год

1. Авдеенко Т.В. Разработка методов и алгоритмов анализа идентифицируемости и планирования экспериментов для динамических моделей объектов управления. Автореф. дисс. техн.наук. Нов-ск:НЭТИ. 1990, 18 с.

2. Авдеенко Т.В., Горский В.Г., Спивак С.И. Идентифицируемость параметров математической модели реакции непрерывного пиролиза бензинов.//В кн. Машинные методы оптимизации, моделирования и планирования эксперимента. Нов-ск:НЭТИ. 1988. с.23-29.

3. Айзенберг Л.А. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений.//ДАН СССР. 1977. т.234, N3, с.505-508.

4. Айзенберг Л.А., Кытманов A.M. Многомерные аналоги формул Ньютона для систем нелинейных алгебраических уравнений и некоторые их приложения.//Сиб.мат.журн. 1981. т.22, N2, с.19-30.

5. Айзенберг Л.А., Быков В.И., Кытманов A.M. Определение всех стационарных состояний решений уравнений химической кинетики с помощью модифицированного метода исключения. 1. Алгоритм.//Физика горения и взрыва. 1983. т.19, N1, с.60-66.

6. Айзенберг Л.А., Быков В.И., Кытманов A.M., Яблонский Г.С. Определение всех стационарных состояний решений уравнений химической кинетики с помощью модифицированного метода исключения. 11. Применение.//Физика горения и взрыва. 1983. т.19, N1, с.66-73

7. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Разрешимость в целом системы реакция-диффузия//Математическое моделирование. 1992.т.4. N11, с.110-120.

8. Акрамов Т.А. 0 стабилизации уравнений в частных производных, описывающих кинетику обратимых химических реакций. Динамика сплошной среды, 1976. вып.26. с.3-16.

9. Алексеев Б.В., Кольцов Н.И., Федотов В.Х. 0 нелинейных кинетических законах сохранения в каталитических реакциях//ЖФХ. 1988. т.62. N11, с.3069-3072.

10. Алексеев Б.В., Кольцов Н.И., Федотов В.Х. Линейные инварианты в формальной кинетике химических реакций//ЖФХ. 1992. т.66. N12, с.3219-3224.

11. Андрушкевич М.М., Буянов Т.А., Тимошенко В.И., Спивак С.И. Кинетика процесса окислительного дегидрирования п-бутиленов на хромкальцийникельфосфатном катализаторе.//КиК. 1970. N11, с.1419-1425.

12. Асадуллин P.M., Спивак С.И. 0 критериях определения констант фазовых равновесий.//Журнал физической химии. 1980. т.54. N4, с.890-893.

13. Асадуллин P.M., Спивак С.И., Мозжухин A.C. Метод выравнивания по Чебышеву при оценивании констант фазовыхравновесий//Заводская лаборатория. N7. 1987, с.63.

14. Асадуллин P.M. Методы оценивания констант фазовых равновесий. Автор-т канд.дисс.канд.хим.наук. М.: Университет дружбы народов им. П.Лумумбы. 1984, 17 с.

15. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Идентификация констант фазовых равновесий методом выравнивания по Чебышеву. Труды V Всесоюзн. школы "Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий". Нов-ск. 1985, с. 6166.

16. Асадуллин P.M., Спивак С.И., Надуткина С.И. Восстановление параметров уравнения Вильсона по экспериментальным данным многокомпонентного эксперимента.//В кн. Нефтехимические процессы в многофазных системах. М.:ЦНИИТЭнефтехим. 1980. с.19-25.

17. Асадуллин P.M., Надуткина С.И., Спивак С.И, Кива В.Н. Определение параметров уравнения Вильсона для многокомпонентных систем.//ЖФХ. 1981. т.54. N8. с.1234-1238.

18. Асадуллин P.M., Бахтизин Р.Н., Рамазанов М.Д. 0 решении одной обратной задачи.//ИФЖ. 1989. N5, с.691-692.

19. Асадуллин P.M., Спивак С.И., Ахмадишин З.Ю. 0неединственности решения задачи определения кинетических констант и констант химических и межфазныхравновесий.//Тез.докл.111 Всессоюзн. конф. "Математические методы в химии", Ярославль. 1979. с.57-58.

20. Асадуллин P.M., Бахтизин Р.Н. Анализ решений обратных задач химической кинетики.//КиК. 1990. т.31. N3, с.755-759.

21. Асадуллин P.M., Свинолупов С.И., Спивак С.И. Исключение концентраций неизмеряемых веществ в моделях нестационарной химической кинетики.//КиК. 1991. т.32. N5. с.1229-1233.

22. Асадуллин P.M., Бахтизин Р.Н. Аналитические зависимости для решения некоторых типов обратных задач.//Межв. сб. научных трудов: Теория и практика каталитических реакций. 1990. Чебоксары:Чувашский ун-т. с.18-23.

23. Асадуллин P.M., Бахтизин Р.Н., Свинолупов С.И. Анализ и решение некоторых обратных задач физической химии.//Тез.докл. VI Всесоюзн.школы-семинара "Применение математических методов для описания равновесий". 4.2. Нов-ск:ИНХ СО АН СССР. 1989. с.105-107.

24. Асадуллин P.M., Ямурзин Г.И. Исключение концентраций неизмеряемых веществ и анализ обратной задачи нестационарной химической кинетики.//Тез.докл. VII Всесоюзной конференции Математические методы в химии. Казань:КазГУ. 1991. с.41-44.

25. Асадуллин P.M., Кудашев В.Р., Спивак С.И. Алгоритмы построения и анализа математических моделей сложных ферментативных реакций.//Тез.докл. VII Всесоюзного симпозиума Инженерная энзимология. М.:МГУ. 1991, с.64-65.

26. Асадуллин P.M., Бахтизин Р.Н., Рамазанов М.Д. Исследование обратных задач химической кинетики.//В кн. Планирование эксперимента, идентификация, анализ и оптимизация многофакторных систем. Нов-ск:НЭТИ. 1990. с.51-58.

27. Асадуллин P.M. Применение методов компьтерной алгебры при анализе обратных задач химической кинетики.//Межв. сб. научных трудов: Физико-математические проблемы и моделирование нефтепромысловых и нефтехимических процессов. Уфа:УНИ. 1992, с.62-68.

28. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Компьтерный анализ обратных задач химической кинетики.//Тез.докл. VI11 Всероссийской конф. Математические методы в химии (ММХ-8). Тула. с.95.

29. Асадуллин P.M., Бахтизин Р.Н. Обратные задачи в моделях типа Лотки-Вольтерра. там же, с. 96-97.

30. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Исключение неизмеряемых концентраций и проблема неединственности решения обратных задач нестационарной химической кинетики.//Тез.докл.XII Межд. конф. Химреактор-12. Ярославль. 1994.

31. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Анализ обратной коэффициентной задачи для систем ОДУ типа моделей химкинетики редукцией к системам меньшей размерности.//Тез. докл. Межд. конф. Дифференциальные уравнения и их приложения. Саранск. 1994. с. 24.

32. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Исключение неизмеряемых концентраций и проблема неединственности решения обратной задачи в линейных моделях нестационарной химической кинетики.//КиК.1995. т.36., с.926-929.

33. Асадуллин P.M., Рамазанов М.Д. Исключение неизмеряемых концентраций и проблема неединственнсоти решения обратной задачи в случае линейности модели по промежуточным веществам.//КиК.1996. т.37. N2, с.195-198.

34. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Об одном методе исследования обратной задачи нестационарной химической кинетики.//Тез. докл. 11 Межд. конф. Кинетика жидкофазных реакций. Казань. 1995, с. 46-47.

35. Асадуллин P.M. Методы исключения и проблема неединственнсоти решения обратных задач нестациоанрной химической кинетики (линейный случай).//Башкирский химический журнал. 1995. т.2. N1, с. 68-71.

36. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Редукция к системам меньшей размерности как метод исследования обратных задач химической кинетики.//Тез. докл. И Международной конференции Математические методы в химии. 1995. Тверь, с. 78-79.

37. Асадуллин P.M. Применение интегральных методов для оценивания параметров моделей нестационарной химической кинетики.//Там же, с.100.

38. Асадуллин P.M. Формальная и конструктивная редуцируемость некоторых систем ОДУ к системам меньшей размерности.//Тез. докл. И Международной конференции Дифференциальные уравнения и их приложения. Саранск. 1996. с.31.

39. Асадуллин P.M., Рамазанов М.Д. Об исследовании одной обратной задачи для динамических систем типа моделей химическойи биологической кинетики.//Вестник БашГУ. т.1, N3, с. 9-12.

40. Асадуллин P.M. Об исследовании обратной задачи для динамических систем типа хим- и биокинетки.//Тез докл. Межд. конф. Математические методы в химии (ММХ-10). Тула. 1996. с.89.

41. Асадуллин P.M., Спивак С.И. Редукция систем дифференциальных уравнений химической кинетки к системам меньшей размерности.//Тез.докл. 11 Сибирского конгресса по индустриальной и прикладной математике. Нов-ск. 1996. с.51-52.

42. Асадуллин P.M. О числе решений обратной задачи нестационарной химической кинетики.//Сб. трудов Международной конференции Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1996. с. 5-9.

43. Асадуллин P.M. Формальная и конструктивная редуцируемость динамических систем как метод исследования обратных задач.//Тез докл. Первой Международной научно-практической конференции Дифференциальные уравнения и применения. Лен-д. 1996. с.18.

44. Асадуллин P.M. О числе решений обратной задачи нестационарной химической кинетики.//ТОХТ, т.32, N1, с.1-6.

45. Басович И.Б. Об определении параметров пласта с применением модулирующих функций//Изв. АН СССР, сер. МЖГ, 1973, N 5, с.154-158.

46. Бахитова Р.Х. Идентификация параметров математических моделей химической кинетики, полученных в условиях асимптотического приближения. Автореф. дисс.канд. физ.-мат. наук. Уфа:БашГУ, 1990. 14 с.

47. Бахтизин Р.Н., Асадуллин P.M. Решение некоторых обратных задач химической кинетики.//Межв. сб. научных трудов: Каталитические реакции мономеров и полимеров. 1988. Чебоксары:Чувашский ун-т. с.21-25.

48. Безденежных A.A. Инженерные методы составления уравнений скоростей реакций и расчета кинетических констант. Лен-д:Химия. 1973, 255 с.

49. Белеванцев В.И., Пещевицкий Б.И. Общие принципы постановки задач по исследованию равновесий. В сб. Математика в химической термодинамике. Нов-ск:Наука. 1980. с.5-14.

50. Белов В.М., Суханов В.А., Унгер Ф.Г. Теоретические и прикладные аспекты метода центра неопределенности. Нов-ск:Наука. 1995. 143 с.

51. Брин Э.Ф. Исследование кинетических закономерностей при решении обратных задач//В сб. Прямые и обратные задачи в химической кинетике. Нов-ск:Наука. 1993. с. 228-248.

52. Быков В.И., Кытманов A.M., Лазман М.З. Методы исключения в компьтерной алгебре многочленов. Нов-ск:Наука. 1991, 232 с.

53. Быстров Л.В. Разработка методов расчета и анализа сложных химических равновесий с произвольной стехиометрией. Автореф.дисс.канд.хим.наук. М.:МИТХТ, 1983. 25 с.

54. Быстров JI.B., Горский В. Г., Спивак С. И. Неединственность решения обратной задачи химической кинетики для реакций первого порядка.//ТЭХ. 1985. т.21. N6, с.701-708.

55. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука. 1978, 648 с.

56. Варфоломеев С.Д., Зайцев C.B. Кинетические методы в биохимических исследованиях. М.:МГУ, 1982. 344 с.

57. Вольперт А.Я., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: 1970, 340 с.

58. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976, 254 с.

59. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров. Киев: Наукова думка. 1971. 327 с.

60. Гельфанд Й.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. 1966. 280 с.

61. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. M.:Мир. 1997, 205 с.

62. Горбань А.Н., Быков В.И., Яблонский Г.С. Очерки о химической релаксации. Нов-ск:Наука, Сибирское отд. 1986. 319 с.

63. Горский В.Г. Планирование кинетических экспериментов. М.:Наука, 1984, 241 с.

64. Горский В.Г. Основы анализа идентифицируемости математических моделей.//В кн. Учебное пособие по планированию эксперимента в биологии и сельском хозяйстве. Гл.7. М.:МГУ. 1991, с.139-161.

65. Горский В.Г., Авдеенко Т.В. Метод начальных значений для исследования локальной и глобальной неидентифицируемости нелинейных дифференциальных уравнений. Рук. статьи деп. В ВИНИТИ. 1988. N3965-688, 33 с.

66. Горский В.Г., Круглов В.В., Храименков М.И. Идентифицируемость динамических моделей (обзор).//Рук. статьи деп. в ВИНИТИ, 1985. N5552-85, 36 с.

67. Горский В.Г., Спивак С.И. Исследование идентифицируемости параметров один из важнейших этапов построения математических моделей в химии.//Журн. структ. химии. 1988. т.29. N6, с.119-125.

68. Горский В.Г., Спивак С.И. Нелинейные модели неполного ранга и нелинейные параметрические функции в обратных задачах химической кинетики.//Заводская лаборатория. 1981. т.47. N10, с.39-47.

69. Горский В.Г., Спивак С.И. К вопросу об однозначном определении кинетических параметров.//Тез.докл. VI Всесоюзн.конф. по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях. 4.11. М., 1980, с.18-21.

70. Горский В.Г., Круг Г.К., Храименков М.И., Быстров Л.В. Идентифицируемость параметров линейных динамических моделей объектов управления. Рук.деп. в ВИНИТИ. 1985, И8393В, 43 с.

71. Горский В.Г., Спивак С.И. Степень полноты экспериментальной информации при восстановлении кинетических или равновесных констант сложных химических реакций.//В кн. Математические методы химической термодинамики. Нов-ск:Наука. 1982, с.139-158.

72. Горский В.Г., Спивак С.И., Швецова-Шиловская Т.Н., Бахитова Р.Х., Рамазанов М.Д. Асимптотические приближения и идентифицируемость параметров систем дифференциальных уравнений химической кинетики.//ДАН СССР. 1991. т.316. N2, с.392-396.

73. Горский В.Г., Храименков М.й. Геометрическая природа неидентифицируемости параметров и симмметрия нелинейных параметризованных моделей неполного ранга. Рук. деп. в ВИНИТИ. N 5570. 43 с.

74. Горский В.Г., Авдеенко Т.В., Швецова-Шиловская Т.Н. Идентифицируемость параметров линейных дифференциальных кинетических уравнений.//Рук. статьи деп. в ВИНИТИ. 1989. N 4538-В89, 33 с.

75. Громыхалина С.А., Спивак С.И., Шмелев A.C. 0 числе решений при расчете фазовых равновесий для расслаивающихся систем по уравнению NRTL.//H№X. 1982. т.56. N12, с.2955-2960.

76. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.:Изд-во МГУ, 1994, 206 с.

77. Денисов Е.Т. Кинетика гомогенных химических реакций. М. .'Высшая школа. 1978. 366 с.

78. Десяткин A.M. Структурная идентификация параметров моделей нестациоанрной химической кинетики. Автореф. дисс.канд. физ.-мат наук. Уфа:БашГУ. 1990, 14 с.

79. Десяткин A.M., Спивак С.И. Полный набор комплексов констант скоростей элементарных стадий сложной химической реакции, определеимых из эксперимента.//В сб. Каталитические реакции мономеров и полимеров. Чебоксары¡Чувашский Ун-т. 1988, с.25-30.

80. Десяткин A.M. Структурная идентификация параметров систем нелинейных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями.//В сб. Физико-химическая термодинамика. Уфа:БашГУ. 1989, с.34-40.

81. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьтерная алгебра. М.:Мир. 1991. 350 с.

82. Ермакова А. Новый комплекс численных методов идентификации и анализа кинетических моделей.//В сб. Математическое моделирование каталитических реакторов. Нов-ск:Наука. Сиб.отд. 1989. с.120-150.

83. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор).//Автоматика и телемеханика. 1978. N8, с.66-101.

84. Журавлев С.Г., Ермаков В.В. Биомедицинские математические модели и их идентификация.//Итоги науки и техники. Сер. Математические биология и медицина. М., 1989, 253 с.

85. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.:Наука. 1978, 206 с.

86. Калякин Л.А., Масленников С.И. Метод асимптотических приближений в математическом моделировании задач химической кинетики// Математическое моделирование. 1997, т.9, N 8, с.60-69.

87. Канторович JI. В. 0 некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений.//Сиб.мат.журн. 1962. т.З, N5. с.701-709.

88. Карпов И.К., Кисилев А.И., Дорогупец П.И. Термодинамика природных мультисистем с ограничивающими условиями.

89. Нов-ск:Наука. 1972, 230 с.

90. Карпов И.К. Физико-химическое моделирование на ЭВМ в геохимии. Нов-ск:Наука. Сиб. отд-е. 1981. 248 с.

91. Коковин Г.А., Титов В.А., Титов A.A., Спивак С.И. Некоторые методологические вопросы математической обработки экспериментальных данных//Математика в химической термодинамике. Сб. трудов. Нов-ск:Наука. Сиб.отд-ние. 1980. с.50-58.

92. Кольцов Н.И., Алексеев Б.В. К определению числа и формы комплексов констант скоростей стадий каталитических реакций.//ДАН СССР. т.298. N2, с.401-404.

93. Компьтерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. Под ред. Б.Бухбергера и др. М.:Мир. 1986, 392 с.

94. Корзухин М.Д. Линейные законы сохранения в химической кинетике//ЖФХ. 1972. т. 46. вып. 7. с.1845-1847.

95. Круглов A.B., Спивак С.И. Оптимальный температурный режим в условиях неопределенности по кинетическим характеристикам.//Мат. методы в химической кинетике. Нов-ск:Наука. Сиб. отд-ние. 1990. с.152-156.

96. Кудашев В.Р., Спивак С.И. Информативность кинетических измерений при определении параметров математических моделей нестационарной химической кинетики.//Т0ХТ. 1992. т.26. N6, с.872-879.

97. Кунцевич А.Д., Кудашев В.Р., Спивак С.И., Горский В.Г. Групповой анализ идентифиципуемости параметров математических моделей нестационарной химической кинетики.//ДАН АНР. 1992. т.326. N 4, с.658-661.

98. Лаврентьев М.М. 0 некоторых некорректных задачахматематической физики. Нов-ск:Наука. 1961, 92 с.

99. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Нов-ск: Изд.Нов-ского унив-та. 1973. 71 с.

100. Лазман М.З., Спивак С.И., Яблонский Г.С. Кинетический полином и задача определения связей между кинетическими константами при решении обратной задачи.//Хим.физика. 1985. т.4. N4, с. 479-483.

101. Лазман М.З., Яблонский Г.С., Виноградова Г.М., Романов Л.Н. Применение кинетического полинома при описании стационарных зависимостей скорости реакции.//Хим.физика. 1985. т.4. N5, с.691-699.

102. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.:Наука. 1966, 176 с.

103. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука. 1972, 574 с.106 . Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991, 431 с.

104. Лукашенок В.Н. 0 разрешимости задач определения кинетических констант сложной химической реакции при неполной информации о векторе концентраций.//ТОП. 1980. т.14. N1, с.86-90.

105. Лукашенок В.Н. Теоретико-функциональный подход к определению относительных констант скоростей сложной химической реакции.//ЖФХ. 1980. т.54. N5, с.1198-1201.

106. Маслов В.П. Операторные методы. М.:Наука. 1973, с.16.

107. Матвееев Н.М. Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений. Лен-д:Изд-во Ленинградского ун-та. L955, 655 с.

108. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.П. и др. Динамика нестационарных линейных систем. М.:Накука. 1967. 368 с.

109. ИЗ. Надуткина С.И., Кива В.Н., Спивак С.И., Асадуллин P.M. Степень неопределенности оценки констант многокомпонентного эавновесия//ЖФХ. 1986. т.60. N6, с. 981-985.

110. Павлов Б.В., Повзнер А.Я. //ЖВМ и МФ. 1973. т.13. U, с.1056-1059.

111. Писаренко В.Н., Погорелов А.Г. Планирование кинетических исследований. М.:Наука. 1969, 176 с.

112. Полак Л.С., Гольденберг М.Я., Левицкий A.A. Вычислительные методы в химической кинетике. М.:Наука. 1984, 280 с.

113. Погорелов А.Г. Обратные задачи нестационарной химической кинетики (системный подход). М.: Наука. 1988, 391 с.

114. Погорелов А.Г., Янчевская Т.В. Об оптимальности плана экспериментов при оценивании констант кинетических и регрессионых моделей.//Изв.АН СССР. Сер.хим-я. 1979. N9. с.1981-1986.

115. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные равнения. М.:Наука, с.67.

116. Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. .:Химия. 1971, 431 с.

117. Рудаков Е.С. Метод расчета констант скоростей тадий.//КиК. 1970. т.11. с.28-236.

118. Слинько М.Г. Этапы моделирования химических факторов.// Труды Всесоюзной конференции по химическим Факторам (теория, моделирование, расчет). Т.1. Нов-ск:РИ0 СО АН ССР. 1965, с.7-15.

119. Слинько М.Г. Математическое моделирование химических Факторов.//Кинетика и Катализ. 1969. т.10. N5. с. 957-973.

120. Слинько М.Г., Спивак С.И., Тимошенко В.И. 0 критериях определения параметров кинетических моделей.//КиК. 1972. т.13, Í8. с. 1570-1578.

121. Спивак С.И. Методы построения кинетических моделей :аталитических стационарных реакций.//Дисс.канд.техн.наук. ов-ск. 1976. 139 с.

122. Спивак С.И., Горский В.Г. 0 полноте доступныхинетических измерений при определении констант скоростей ложных химических реакций.//Хим.физика. 1982. т.1. N2, с. 37-244.

123. Спивак С.И., Горский В.Г. Неединственность решения адачи восстановления кинетических констант.//ДАН СССР. 1981. .257. N2, с.412-414.

124. Спивак С.И. Информативность кинетического эксперимента обратные задачи химической и биологическойинетики.//Современные проблемы биокинетики.М.:Изд-во МГУ. 1987, .150-178.

125. Спивак С.И., Тимошенко В.И., Слинько М.Г. Методы остроения кинетических моделей стационарных реакций.//Хим.пром. 979, N3, с.33-36.

126. Спивак С.И. Информативность эксперимента и проблема :еединственности решения обратных задач химической кинетики, .втореф. дисс.докт.физ.-мат. наук. Черноголовка:ИХФ АН СССР. 984, 30 с.

127. Спивак С.И., Варфоломеев С.Д. Неединственность решений обратных задач кинетики ферментативных реакций.//ЖФХ. 1985. '.59. N12, с.3040-3047.

128. Спивак С.И., Ахмадишин З.Ш. 0 неединственности решений »братной задачи нестационарной химической кинетики.//ЯеасЪ. inet.Catal.Lett. 1979. у.10. N3. р.271-274.

129. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 1.:Гос.изд.физ.-мат.лит., 1958, 468 с.

130. Степанов Н.Ф., Ерлыкина М.Е., Филиппов Г.Г. Методы инейной алгебры в физической химии. М.:МГУ. 1976, 360 с.

131. Темкин М.И. Механизм и кинетика сложных каталитических еакций. М.:Наука. 1970. 273 с.

132. Титов A.A. Свойства решений прямых и обратных задач асчета химического арвновесия. Автореф.дисс.канд.хим.наук. ов-ск:ИНХ СО АН СССР.1990, 20 с.

133. Тихонов А.Н. 0 регуляризации некорректно поставленных адач//ДАН СССР. 1963. т. 153. N 1, с.49-52.

134. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.//ДАН ССР. 1943. т.39. N5, с.195-198.

135. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения ырожденных систем линейных алгебраических уравнений.//ЖВМ и МФ. 965. т.5, N4, с.718-722.

136. Тихонов А.Н. 0 методах автоматизации обработки :аблюдений. Вестник АН СССР. 1983. N1, с.14-26.

137. Тихонов А.Н., Васильева A.B., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.:Наука. 1985. 231 с.

138. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно вставленных задач. М.:Наука. 1979, 285 с.

139. Тропин A.B., Масленников С.И., Спивак С.И. Новый :одход к решению нелинейных систем дифференциальных уравнений химической кинетики// Кинетика и Катализ, 1995, т.36, N 5, :. 658-664.

140. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и нтегрального исчисления. Т. 1. М.: Изд.физ.-мат.литературы. .962, 607 с.

141. Франк-Камецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.:Наука. 1967, 289 с.

142. Хурсан С.JI., Сафиуллин Р.Л., Серенко С.Ю. Константы корости гибели пероксирадикалов пентана.//Химическая физика. 990. т.9. N 3, с. 375-379.

143. Шимулис В.И., Джунтини Б., Жерносек В.М. Оценивание араметров нелинейных моделей на основе упрощенных критериев птимизации.//В сб. Математические проблемы химии. ч.11, ов—ск.; Наука. 1975, с.18-24.

144. Шимулис В.И., Жерносек В.М., Шиян В.К., Лукашик Л.Н. екоторые численные методы оценивания параметров нелинейных оделей.//В сб. Математика в химической термодинамике, ов-ск:Наука. 1980, с.94-98.

145. Шмелев A.C., Асадуллин Р.М.,Спивак С.И. Корреляция араметров в температурных зависимостях типа Антуана или ррениуса.//ЖФХ. т.55. N11. 1981, с. 2967-2969.

146. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. .:Мир, 1975, 683 с.

147. Эммануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. .: Высшая школа. 1984. 463 с.

148. Яблонский Г.С., Спивак С.И. Математические модели имической кинетики. М.: Знание. 1977. 63 с.

149. Яблонский Г.С., Быков В.И. Анализ структуры инетических уравнений сложной каталитической реакции (линейный дномаршрутный механизм).//ТЭХ. 1979. т.15. N1, с.41-45.

150. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические одели каталитических реакций. Нов-ск:Наука. Сиб.отд. 1983. 256

151. Яноши П. Теория и практика обработки результатов3MepeHHH. M.:Mnp. 1968, 276 c.

152. Anderson D.H. Compartmental Modelling and Tracer inetics. Berlin et al:Springer. 1983, 302 p.

153. Aris R. The mathematical theory of diffusion and eaction permeable catalyst. Oxford.: Clarendon Press. 1975. .1. 411 p.

154. Asadullun R.M., Spivak S.I., Shavaleev N.M. Methods of liminations and problem of nonuniqueness of inverse problem so-utions in models of non-statinary chemical kinetics.//Models in hemistry. 1996. v.133. N1-2. p.107-114.

155. Asadullin R.M., Rizhkov A.B. Reparametrization of mod-Is of nonstatinary chemical kinetics as a method of an investi-ation of the inverse problem.//React.Kinet.Catal.Letters, in rint.

156. Beck N.B. and van Straten G. eds. Uncertainty and Forcasting of Water Quality. 1983, Springer-Verlag, New York.

157. BermanM., Schoenfeld R.//J. of Appl.Physics. 1956. .27, N11, p.1361-1370.

158. Cobelli C., Lepschy A., Romanin Jacur G. et a1.//Math, iosci.1982. v.58, N2, p.1-18.

159. Dudley D.G. Parametric identification of transient lectro-magnetic systems // Wave Motion, v.5, pp.369-384.

160. Delforge J. New results to the problem of identifiabi-ity of a linear system.//Math.Biosci. 1980. v.52, p.73-96.

161. Godfrey K.R. Comparmental Methods and Their Applicati-ns. 1983, Academic Press, New-York, 423 p.

162. Godfrey K.R. and Distefano J.J. Identifiability model arameters// Proc 7th IFAC Symp. on Identification Systems and arameters Estimation, 1985, York, U.K., pp. 89-114.

163. Grobner W. Moderne Algebraishe Geometrie. Springer. 949, 293 s.

164. Identifiability of parametric models. Ed. by Walter E. ew-York:Pergamon Press. 1987, 119 p.

165. Krambek F.J. The mathematical structure of chemical inetics in homogeneous single-phase systems// Arch.Rational ech.Anal.,1970. v.38. N5. p.317-347.

166. Kudashev V.R., Spivak S.I. Identiability of parameters f dynamic models of chemical reactions.//In:Unsteady state rocesses in catalysis. Abstracts of paper of International onference. Novosibirsk:Institut of Catalysis. 1990. p.154-155.

167. Malinvaud E. Statistical Methods of Econometrics. 980, North-Holland, Amsterdam, 371 p.

168. Novikov E.A., Golushko M.I., Shitov Yu.A. The freeze f the Jacobi matrix in the (m,k)~methods of order hree//Advances in Modelling & Analysis, A, AMSE Press. 1995. v. 8. N1, p.41-64.

169. Novikov E.A., Golushko M.I., Shitov Yu.A. pproximation of Jacobi matrix in the (m,k)~methods of order frree//Advances in Modelling & Analysis, A, AMSE Press. 1995. v.8. N3, p.19-40.

170. Pohyanpalo H. System identifiability based on the ower series on the solutions.//Math.Biosci. 1978. v.41.N12,

171. Statistical inference in dinamic economic models. Ed. y T.C.Koopmans, Ch.2 and 3, New-York:Wiley, 1950, 152 p.

172. Spivak S.I., Asadulli R.M.,Swinolupov S.I.Inverse roblem and elimination of intermediate concentrations in models f non-stationary chemical kinetics.//Models in Chemistry. 994.v.131. N5. p.1-8.

173. Thowsen A. Idedtifiability of dinamic systems.//Int. .Systems Sci. 1978. v.9. N7, p.813-825.

174. Vajda S. Analysis of unique structural identifiability ia submodels.//Ibid. 1984. v.71. p.125-146.

175. Walter E. Identifiability of state space models. erlin:Springer-Verlag. 1982, 197 p.

176. Wei J. Axiomatic treatment of chemically reacting ystems// J.Chem.Phys. 1962. v.36. N6. p.1578-1584.

177. Wilson J.M. A new expression for the excess free nergy of mixing.//J.Amer.Chem.Soc. 1964. v.86. N2, p.127-130.

178. Working E.J.//Quart.Jorn. of Economics. 1927. v.41, N1.