Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Авксентьев Евгений Александрович

• Авксентьев Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Авксентьев Евгений Александрович

Введение

Глава 1. Инвариантные меры для классических теорем о замыкании

1.1. Введение

1.2. Когда п + 2 сферы в Мга

1.3. Многомерные диклидьт Дюпена

1.4. Инвариантная мера для многомерной теоремы Эмха

1.4.1. Инвариантная мера для классической теоремы Эмха

1.4.2. Инвариантная мера для теоремы Понселе

1.4.3. Инвариантная мера для теоремы Штейнера

1.4.4. Инвариантная мера для теоремы о зигзаге

1.5. Обобщение приндипа Эмха на ЦИКлиды Дарбу

1.5.1. Теорема Эмха для диклик

1.6. Обобщения теоремы Эмха на пучки окружностей

1.7. Доказательство многомерной теоремы Эмха с помощью инвариантной меры

1.8. Связь теоремы Понселе для коник с теоремой Эмха

Глава 2. Универсальная мера пучка коник и большая теорема Понселе

2.1. Введение

2.2. Универсальная мера пучка коник

2.3. Геометрические свойства ^-универсальной меры

2.4. Выравнивающее отображение и доказательство большой теоремы Понселе . 89 2.4.1. Случай вырожденной коники

2.5. Классификадия инвариантных мер на кониках

2.6. Связь большой теоремы Понселе для пучков коник с большой теоремой Эмха

2.7. Большие теоремы Понселе и Эмха в плоскости Лобачевского

Глава 3. Некоммутативные теоремы о замыкании

3.1. Проективные инволюдии на конике

3.2. Некоммутативный аналог большой теоремы Понселе

3.2.1. Усиленная теорема Понселе на абсолюте плоскости Лобачевского

3.3. Проективные преобразования, сохраняющие конику, и их связь с универсальной мерой

3.4. Шкатулки с замкнутыми ожерельями

3.5. Автоморфизмы Мёбиуса и отображение Понселе в модели Пуанкаре

3.6. Некоммутативный аналог большой теоремы Эмха

3.7. Элементарное доказательство большой теоремы Эмха

3.8. Теорема о замыкании с подвижной «орбитой»

Глава 4. Аналитические условия замыкания траекторий

4.1. Введение

4.2. Инвариантная мера и условия замыкания траекторий Понселе

4.3. Метрические свойства ломаных Понселе

4.4. Комбинаторное доказательство теоремы Понселе для коник

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение

Одной из важнейших и в то же врелгя красивейших теорем классической геометрии является теорема Понселе.

Ф.Гриффите, Дж.Харрис (1977).

Теорема, открытая Жаном-Виктором Понселе в 1814 г. и опубликованная им в 1822 г. |1|, представляет собой альтернативу, согласно которой вписан о-описанная ломаная двух коник1 либо замыкается для любой, либо не замыкается ни для какой начальной точки, причем в случае замыкания число звеньев всегда одинаковое. Иными словами, если для двух коник а и S существует n-угольник x1... xnj вписанный в S и описанный около а (т.е. прямые, содержащие его стороны, касаются а), то таких n-угольников существует бесконечно много, и его первая вершина xi может быть выбрана на S произвольно.

Рис. 1. Теорема Понселе для п = 3 и п =

За два века своего существования теорема Понселе во множестве работ нашла применение в самых разных областях математики. Были обнаружс-

1 коника - это плоская квадрика, т.е. кривая второго порядка

ны сс связи с задачами теории алгебраических кривых |12-17|, теории бильярдов [10, 31-47], дифференциальных уравнений |100—104|, спектральной теории линейных операторов 179-851, квантовой механики |2, Рл.101. Полу-

-1- х х 1 I > 1. > I «/

чены сс многомерные обобщения |8-11|. Различные варианты и обобщения теоремы Понсслс в течение двух столетий привлекают внимание математиков, среди которых есть выдающиеся: как классические (К. Якоби |50|, Ж. Бертран 151,521, А. Кэли 125-301, Г. Дарбу |20|, А. Лебег |14|, И. Шён-

-1- -1- X. ' Л ' I. Л ' ' < ■»■ V 1,. Л ' I. Л '

берг |53|, О. Боттсма |55|), так и современные (Ф. Гриффите 111—13], Дж. Хар-рис 111,12], А. Хованский, В. Козлов |57|, Н. Хитчин 11001). По теореме Понсслс и сс приложениям к настоящему времени написаны две монографии |2,3|, посвященные им.

В дальнейшем появилось множество других теорем о замыкании, формулировки которых схожи с теоремой Понсслс. Поэтому их называют теоремами о замыкании типа Понсслс. К наиболее известным из них относятся теорема о зигзаге, поризм Штсйнсра, теорема Эмха. В недавней работе |8| В. К). Протасова от 2011 г. был сформулирован общий принцип замыкания для сфер в пространстве и получено многомерное обобщение теоремы Эмха, из которого как частные случаи следуют четыре классические теоремы о замыкании.

Есть несколько методов доказательства теоремы Понсслс. Всс они нетривиальны и основаны на различных идеях |1-7|. Подход, использующий некоторый инвариант, восходит к работе Якоби 1828 года |50|, в которой он дал изящное доказательство теоремы Понсслс с помощью эллиптических интегралов. Рассуждение Якоби было усовершенствовано Бертраном в 1870 г. Заметим, что Бертран опубликовал свос доказательство дважды: в 1870 г. |51] а затем еще раз в заметке по эллиптическим функциям в 1876 г. |52|. Спустя более чем столетие, в 1983 году, один из основателей теории приближений и теории сплайнов Шенберг изложил эти результаты в упрощенном виде |53|.

В 1994 г. Кинг в работе |64| интерпретировал конструкцию Якоби-Бсртрана в терминах инвариантной меры на конике, что позволило изложить доказательство Якоби-Бсртрана на элементарном уровне. Это доказательство стало классическим и вошло во многие книги и задачники по геометрии (см., например, |68|).

Изложим кратко идею доказательства. Для простоты рассмотрим случай, когда окружность а лежит внутри окружности 5. Предположим, что есть мера т(-)

5

дуги xy С 5, хорды которых касают-а

значение m(xy) = m (рис. ).

u-угольник Понселе суще ствуст в том и только в том случае, если urn является целым кратным m(5)

сит от положения первой вершины многоугольника, отсюда следует теорема Рис- 2- m(xy) = const.

5

если ее плотность р = m' удовлетворяет равенству

p(x)\dx\ = p(y)\dy\,

(1)

где ¿х, ¿у - это ориентированные длины малых дуг при шевелении хорды ху,

касающейся а Если функция р : 5 ^ обладает этим свойством, то мера

у

m(xy) =

p(s)ds

xy

Для окружностей а и 6 такая мера задается простой формулой

р{х) =

fXl'

где fa(x) = \х — са\2—rj - это степень относительно окружности а радиуса ra

)2

и центром в точке са € М2. Эту меру будем называть мерой Якоби-Бертрана. Более того, как это было замечено Хованским (см. |107| для обзора), если мы рассмотрим произвольную квадратичную функцию Ц(х), х € М2, то та же формула также определяет инвариантную меру для окружности 5 и коники а = {х € М2 и(х) = 0}, что доказывает теорему Понселе для них в случае, когда а лежит внутри 5. Однако, при попытке провести рассуждения с конструкцией Кинга в других случаях взаимного расположения коник, возникают трудности, связанные с нарушением порядка обхода вершин ломаных Понсслс. В статье |65| с помощью другой конструкции, использующей гомсоидную плотность, эти неприятности удастся устранить. Тем не менее, имеет смысл получить явную формулу инвариантной меры для двух произвольных коник. Это мы сделаем в Главе 2, в которой будут классифицированы всс инвариантные меры на кониках. Кроме того, мы докажем свойство универсальности меры, согласно которому она инвариантна относительно отображений Понсслс всего пучка, проходящего через две данные коники. Мы также распространим конструкцию Кинга на большую теорему Понсслс, которая является обобщением теоремы Понсслс на пучки коник:

Теорема 1 (Большая теорема Понселе) Пусть коники а, вп принад-

лежат одному пучку В конику а вписывается ломанная уху2 ... уп+х так,

что ее г-ая сторона касается коники (3^ г = 1,п. Тогда при обходе

точкой коники а прямая У\Уп+\ касается одной коники пучка

В 1974 году Блэк, Хоулэнд и Хоулэнд |54| построили инвариантную меру для другой хорошо известной теоремы о замыкании:

Теорема о зигзаге. Если для данных окружностей а, 6 и числа l > 0, существует 2п-угольник, все стороны которого равны l, а вершины по очереди лежат на окружностях 6 и а, то так их 2п-угольников существует бесконечно

6

удаленная от окружности а на расстояние меньше l

Таким образом, если кузнечик прыгает с одной окружности на другую, замыкая свою «прогулку» после 2n прыжков, то его прогулка из всякой точки, из которой он может сделать первый прыжок, замыкается через 2n шагов. Эта теорема была установлена Эмхом в 1901 году в |5|, затем дважды независимо псрсоткрыта: Боттсмой в 1965 году |5| и Блэком-Хоулэндом в 1974 году |54|. Она также справедлива и для двух окружностей в пространстве, но мы рассмотрим только плоский случай.

Сформулируем также еще одну популярную теорему о замыкании - теорему Штейнера. Пусть даны две окружности ao,ai, одна внутри другой. Окружности {uk}keN вписаны в кольцо между а0 и а1 последовательно касаются друг друга (uk и Uk+2 различны и обе касаются Uk+1 , к Е N). Если эта цепочка замыкается через n шагов, т.е., un+1 = ui, то для любой другой начальной окружности u1 такая цепочка тоже замыкается через n шагов.

Мы упомянули три наиболее известные теоремы о замыкании: теорему Понсслс, теорему о зигзаге и теорему Штейнера. Оказывается, что все они являются, по сути, частными случаями теоремы Эмха о цепочках окружностей |18|. Чтобы сформулировать се, нам понадобятся некоторые понятия. Касание двух окружностей называется внутренним, если одна из окружностей лежит внутри другой. Пусть а0,а1 - окружности на плоскости. Тогда для произвольной окружности u, касающейся обеих окружностей а0 и а1,

0 u а0 u а1

ренних четно. Если же только одно касание внутреннее, то индекс равен 1. Для i = 0,1, через Mi обозначим семейство окружностей, касающихся а0, а1

Рис. 3. Теорема о зигзаге п =

Рис. 4. Теорема Штейнера п =

с индексом г.

Пусть и 5 - три произвольные окружности на плоскости. Выберем

некоторое г £ {0,1} и рассмотрим семейство окружностей, касающихся а0, а с индексом г. Мы предполагаем, что 5 £ Возьмем произвольную окружность £ которая пересекает 5 в двух точках х\, х2. Семейство содержит две окружности, проходящие через х2: одна из них - это ш\7 а другую обозначим через ш2. Окружности ш2 и 5 имеют две точки пересечения: одна из них - Ж2, а другую обозначим ЧбрбЗ Жз ^ И Т. Д]^. Так получаем цепочку Эмха окружностей {(кКаждая окружность касается а0 и а с индексом г и пересекает окружность 5 в точках Жк и х^+ь Эта последовательность замыкается через п шагов, если шп+\ =

Теорема Эмха [ ]. Пусть а0,а\ и 5 - произвольные окружности, г £ {0,1} и 5 £ Если для некоторой начальной окружности ш\ £ Мг

п

произвольной ш\ £ Мг и тоже через п шагов.

Эта теорема сформулирована А. Эмхом в 1901 году |18|, но привс-дбнноб им доказательство подрсод^ит только для случая нспсрссскающих-ся окружностей ао и а\. Она была долгое время забыта. Лишь в 1996 году Барт и Бауэр упомянули ее в обзоре |6|, не придав ей, впрочем существенного значения и не заметив тот факт, что она порождает остальные теоремы о замыкании. Барт и Бауэр Рис. 5. Теорема Эмха

предложили другое ее доказательство, которое подходило уже для произвольного расположения окружностей ао, а1, 6. В [ ] теорема Эмха была выведена из теоремы Понсслс для коник, а в |8| было найдено геометрическое доказа-тел t) ст во •

Три классические теоремы о замыкании - Понсслс, о зигзаге и Штсй-нера - следуют непосредственно из теоремы Эмха. Если окружность ai бесконечно большая, ао 6 Если ао и а1 - концентрические окружности, то получается теорема о зигзаге. Наконец, если окружности ао и а1 инверсны относительно 6, то мы приходим к теореме Штсйнсра. Более подробно об этом написано в работе |8|, в которой также получен многомерный аналог теоремы Эмха.

Многомерная теорема Эмха естествен и образом обобщает классическую теорему Эмха: вместо цепочек окружностей, касающихся двух данных окружностей, рассматриваются цепочки сфер, касающихся d данных сфер в пространстве Rd. Оказывается, что они также обладают свойством замыкания на любой окружности пространства.

Возникает естественный вопрос: можно ли доказать многомерную тсорс-

му Эмха с помощью инвариантной меры? В Главе 1 мы покажем, что такая мера действительно существует, и получим явную формулу (1.15) для нес по квадратичным формам данных сфер. Для классической теоремы Эмха эта формула приобретает простой вид. А именно, для произвольной пары окружностей а0 и а функция

на плоскости К2, где (х) - это степень точки х относительно окружности

что инвариантные меры Якоби-Бсртрана и Блэка-Хоулэнда ЯВЛЯЮТСЯ Чс1СТ ными случаями меры (2).

Еще один вопрос, возникающий в связи с теоремой Понсслс, заключается в нахождении аналитического условия, которое определяло бы для двух заданных конических сечений существование для них вписано-описанного п

теории абслсвых интегралов вывел А. К эли. Теорему Понсслс К эли рассматривал также в ряде других работ |26-30|. Вдохновившись трудом |25|, Лебег перевел доказательство Кэли на язык геометрии. Доказательство условия Кэли, полученное Лебегом с помощью методов проективной геометрии и алгебры, можно найти в его книге |14|. В современном подходе Гриффите и Харрис вывели теорему Кэли, определив аналитическое условие для точек конечного порядка на эллиптической кривой |12|.

п

п

вообще траектории Понсслс или нет, то во втором случае формулы Кэли не помогут. Поэтому, хотелось бы получить такие условия, которые давали бы ответ на вопрос о замыкании траекторий и позволяли бы вычислить период, если он есть. Якоби сделал это для двух вложенных окружностей, получив

р(х)

1

(2)

определяет инвариантную меру на любой окружности 5 С К2. Мы покажем,

формулы на условие замыкания ломаных Понселе через n шагов [50]. Похожие формулы получены также в работах |78| и |94|. Из них можно явно

n

двух вложенных окружностей. В Главе 4 мы получим такие формулы для двух произвольных коник.

Основные результаты, изложенные в работе, являются новыми. Работа содержит также дополнения к полученным ранее результатам и их усиления. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Получена явная формула инвариантной меры для многомерной теоремы Эмха. Как следствие из нес выводится инвариантная мера для классической теоремы Эмха, частными случаями которой являются инвариантные меры для классических теорем Понсслс, о зигзаге и Штсйнсра.

2. Для двух произвольных коник получена в явном виде инвариантная относительно их отображения Понсслс мера. Доказана ее универсальность для всего пучка, проходящего через эти коники.

3. Приведена полная классификация инвариантных относительно отображения Понсслс и универсальных борслсвских мер на кониках.

4. Получены я в н t)i е формулы для числа вращения отображения Понсслс двух произвольных коник. Это даст критерий замыкания ломаных Понсслс и формулу для периода.

5. С помощью конструкции инвариантной меры получено обобщение теоремы Эмха на каналовыс циклиды Дарбу.

6. Получены некоммутативные аналоги больших теорем Понсслс и Эмха, которые, по всей видимости, не могут быть выведены с помощью инвариантной меры.

Теоретическая и практическая ценность

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты дают полное решение задачи нахождения инвариантных мер для классических теорем о замыкании и их многомерных обобщений. Приведены примеры использования инвариантных мер, в которых получены: геометрические доказательства теорем о замыкании, новое многомерное обобщение и критерий замыкания траекторий. Кроме того, получены некоммутативные теоремы о замыкании. Результаты диссертации могут найти применения в задачах теории алгебраических чисел (пример подобного применения содержится в работе В. В. Козлова |57|), теории числовых образов линейных операторов (см. |79,82|), теории дифференциальных уравнений (см. |104|) и геометрии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе»

Апробация работы

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

• семинар "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством акад. А.Т. Фоменко (2012);

• семинар "Современные геометрические методы" под руководством акад. А. Т. Фоменко, д.ф.-м.н. проф. A.B. Болсинова, д.ф.-м.н. проф. A.C. Мищенко, д.ф.-м.н. проф. A.A. Оптсмкова, к.ф.-м.н. доц. Е. А. Кудрявцевой, к.ф.-м.н. доц. И.М. Никонова (2012);

• семинар "Узлы и теория представлений" под руководством д.ф.-м.н. проф. В. О. Мантурова, к.ф.-м.н. доц. Д. П. Ильютко, к.ф.-м.н. доц. И.М. Никонова (2013);

• семинар "Геометрическая теория приближений" под руководством д.ф.-м.н. доц. П. А. Бородина (2013)

• семинар "Геометрическая теория оптимального управления" под руководством чл.-корр. РАН проф. М.И. Зсликина и к.ф.-м.н. асс. Л.В. Ло-куцисвского (2014);

• семинар "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководством д. ф-м.н. проф. О. Г. Смолянова, д.ф.-м.н. проф. Е. Т. Шав-гулидзе (2015)

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

• международная конференция "Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения", посвященная 120-летию Бориса Николаевича Делоне (Москва, 16 - 20 августа, 2010 г.) - полученные результаты опуб-ЛИКОВсШЫ в сборнике тезисов конференций |109|;

• международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2013» (Москва, 8—13 апреля 2013 г.) - полученные результаты опубликованы в сборнике тезисов конференций |110|;

• международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2015» (Москва, 13 — 17 апреля 2015 г.) - полученные результаты опубликованы в сборнике тезисов конференций |1111.

Публикации

Результаты И С С е J) Т? cL U^ И И опубликованы в тести работах |10G—111 j автора (без соавторов) (из них две |106,107| - в центральных журналах из перечня ВАК), список которых приведён в конце диссертации.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения^ четырех глав, разбитых на параграфы,

списка литературы и списка публикаций автора. Общий объём работы составляет 157 страниц. Список литературы включает 111 наименований, в том числе 6 работ автора. Краткое содержание работы

Во Введении изложена история вопроса, показана актуальность рассматриваемых задач. Сформулированы цель работы и основные результаты.

Первая глава посвящена нахождению инвариантной меры для многомерной теоремы Эмха. Для этого сначала в Разделе 1.2 мы изложим некоторые вспомогательные утверждения о касании сфер в пространстве Rn, обобщающие теорему Ксйзи |59|, чтобы затем в Разделе 1.3 вывести уравнение многомерной циклиды Дюпена, описанной около n данных сфер. Это нам позволит доказать главный результат этой главы:

Теорема 17 (об инвариантной мерс для многомерной теоремы Эмха) Пусть в пространстве Rn даны n ориентированных сфер и2,..., un, для которых множество W сфер, касающихся их, не пусто. Через ai(x) обозначим степень точки x относительно сферы ui/7 а через тшоз. - касательное расстояние между сферами ui и Uj. Тогда функция

1

P(x) =

у/! det(C(x))| '

(3)

где C(x) =

0

т

2

т

2

0

т

2

т

Ш1 Шп 2

Ш2 O n

°i(x) &2(х)

т 2 т2

1 n 2 n

.. 0 an(x)

yil(x) V2(x) ... V>n (x) 0

определяет на всякой окружности 5 Е Rn инвариантную меру для обобщенного процесса Эмха сфер и2,..., un на окружности 5.

/

Таким образом, если сфера ш' пробегает семейство W, то она высекает на любой окружности 5 дуг и xy} изменяющиеся по закону ( ). Это означает, что мера ц(А) = J p(x)\dx\ инвариантна относительно отображения

A

Эмха : x ^ у, т.е. (A)) = ц(A) для любого измеримого множества A окружноети 5. В некоторых случаях взаимного расположения сфер

, ■ ■ ■, шп и окружности 5 отсюда сразу следует многомерная теорема Эмха (Теорема 2). Для общего случая мы найдем в Разделе 1.7 ори-

ентирующий инвариант т(x), который позволит в равенстве ( ) избавиться от модулей. Мы докажем, что мера ц' с плотностью р'(x) = т(x)p(x) тоже ш^-инвариантна, а в добавок к этому, она еще постоянна на всех дугах xy} высекаемых на окружности 5 сферами ш' Е W, т.е. p-(xy) = const := c§■ Это с помощью конструкции Кинга |64| доказывает многомерную теорему Эмха для общего случая расположения сфер.

В случае n = 2 Теорема дает следующую инвариантную меру на окружностях плоскости:

Теорема Пусть a0(x) и ai(x) - степени тohkux относительно окружностей а0 и а1. Тогда на любой окружности 5 мера с плотностью

P(x) = 1

у/\ао (х)а1(х)\

является инвариантной для процесса Эмха относительно а0 и а\.

Теорема 20 даст геометрическое доказательство теоремы Эмха. Обе меры - Якоби-Бсртрана и Блэка-Хоулэнда - являются частными случаями меры р(х). Следовательно, эта мера может рассматриваться как универсальная мера для теорем типа Понсслс. Простые алгебраические операции с формулой для р(х) дают обобщения теоремы Эмха на пучки окружностей (Раздел 1.6), на циклики вместо двух окружностей (Раздел 1.5.1) и доказывают эквивалентность теорем Эмха и Понсслс для коник (Раздел 1.8). Кроме того,

в Разделе 1.5 мы получим следующее обобщение многомерной теоремы Эмха на каналовыс циклиды Дарбу |20,24|:

Теорема 22 Сферы, вписанные в каналовую циклиду Дарбу, обладают свойством замыкания на любой окружности пространства.

Во второй главе мы получим классификацию инвариантных мер на кониках, выведем явную формулу инвариантной меры для двух произвольных коник2, докажем свойство се универсальности для пучка, проходящего через две данные коники и распространим конструкцию Кинга |64| инвариантной меры на большую теорему Понсслс.

Пусть а и в ~ Две различные коники, возможно вырожденные. Отображением Понселе на конике а относительно коники в будем называть такое отображение : х ^ у что прямая ху касается коники в■ Так как к конике в

ле ^ и Они определены на подм ножестве коник и а, из точек которого можно провести касательную к конике в- Через через Ра(х) и Рр(х) обо-

ав

а

в

Рассмотрим теперь пучок коник содержащий конику а. Мера на а называется универсальной, если она инвариантна относительно отображений Понселе всех коник пучка Мы докажем, что мера ( ) является ^-универсальной. С использованием этого в Разделе мы построим выравнивающее отображение которое переводит отображения Понселе всех коник в пучка $ в повороты на окружности. А именно, будет доказана

- Вид такой меры автору сообщил А. Г. Хованский, профессор факультета математики университета Торонто.

Р(х)

1

(4)

Теорема Каждой конике в пучка $ соответствует некоторое число ер такое, что отображения Понселе ^ и после применения выравнивающего отображения $ перейдут в сдвиги на вектора ±ер. Точнее, для к € {1, 2} диаграмма

А к

~ ~ ->

Р(-1)ксв

Т -Т

коммутативна, т. е.

$ ◦ $ = р{_1)кСв ◦ $ (5)

Это распространяет конструкцию Кинга на большую теорему Понсслс (Теорема 31), с помощью чего получается простое ее доказательство.

Следующая теорема даст классификацию инвариантных и универсальных мер на кониках:

Теорема Пусть а и в - произвольные невырожденные коники, $ - пучок коник, порожденный айв■

ав

единственная ]в-инвариантная борелевская мера. При этом, она абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и $-универсальна.

ав

конечно много инвариантных борелевских мер. Каждая такая мера р однозначно определяется своим заданием на произвольной дуге (а,Ь), где Ь -такая точка орбиты а под действием ]в, что на дуге (а, Ь) нет других точек этой орбиты.

3. ^-универсальная мера на а существует, единственна и совпадает с мерой (2.7).

В третьей главе мы сформулируем и докажем две теоремы о замыкании, в которых фигурируют новые семейства коник и окружностей, отличные

д

д

от пучков. Большие теоремы Понесло и Эмха имеют свойство коммутативности траекторий. Поясним его на примере большой теоремы Понсслс. В ней рассматриваются коники а, вг, • • •, вт принадлежащие одном у пучку и

а

но касаются коник вг, • • • ,вп (¿-ая сторона касается вг)- Тогда при "вращении" ломаной прямая, проходящая через се первую и последнюю вершину, тоже касается некоторой коники вп+г пучка Свойство коммутативности заключается в том, что порядок касания сторон ломаной с кониками вг, • • • , вп может быть произвольным, а результирующая коника вп+г при этом не меняется.

Для данной коники а обозначим через ^(а) семейство коник, каждая из

а

пример, две концентрические окружности касаются в точках с координатами (1, 0) бесконечно удаленной прямой комплексной проективной плоскости. Кроме того, будем считать, что ^(а) содержит также и все точки плоскости (как вырожденные коники). Оказывается, что в большой теореме Понсслс можно вместо наборов коник из одно пучка брать наборы коник семейства ^(а), а именно:

Теорема 58 (Некоммутативный аналог большой теоремы Понсслс) Пусть а - невырожденная коника, вг,•••,вп £ &(а). Для произвольной точки аг £ а построим ломаную Понселе ага2 • •• ап+г, у котор ой агаг+г касается в^ Тогда при движении точки аг по конике а прямая агап+г тоже касается фиксированной коники вп+г £ &(а) (рис. ).

При этом, траектории Понселе коник семейства ^(а) не имеют свойства коммутативности: если касание сторон ломаной с кониками вг, • • • ,вп происходит в другом порядке, то результирующая коника вп+г £ &(а) тоже другая.

Эта теорема имеет одно любопытное СЛ6ДСТВИ6 •

Рис. 6.

Теорема (Усиленная теорема Понселе на абсолюте) Пусть ш2 шп - произвольные циклы в плоскости Лобачевского. Выберем точку на абсолюте и построим вписанную в него ломанную ихи2 ...ип+\, у которой 1-ая сторона касается цикла г = 1,п. Тогда при движении точки

по абсолюту прямая и1ип+1 касается некоторого фиксированного цикла. Мы также найдем связь между проективными преобразованиями на конике а с фиксированной прямой Штейнера и универсальной мерой на а относительно пучка коник Шаля этих преобразований (Теорема 60).

Рассмотрим п пар окружностей {а1,в1} {а2,в2} ■■ {ап,вп}. Если окружности ориентировать, то для каждой пары {а^^в^} однозначно определяется семейство М^ касающихся ее окружностей.

Определение 1. Декартово произведение

{Мх х ... х Мп} = {{ъ,...Пп}: 71 е е Мп}

назовем шкатулкой набора {а>1, в}=0 и будем обозначать через в}=0-

Рассмотрим шкатулку в'}п=0 и произвольную окружность 5. Назовем 5-ожерельями шкатулки в}=0 такие цепочки {^и ■ ■ 1п} из нее,

20

которые обладают следующим свойством: 7г и пересекаются на окружно-

сти 6 для всех г = 1, п — 1. Назовем 6-ожерелье замкнутым, если его первая и последняя окружности 7г и 7п тоже пересекаются на 6.

Определение 2. Будем говорить, что шкатулка ^ обладает свойством

6

6-ожерелье замкнуто, следует, что в ^ существует гомотопно эквива-

С ггч

6

6

тым.

Существуют ли такой набор окружностей {аг, вг} {а2, в2}, • • •, {ап, вп} шкатулка вг}п=0 которого обладает свойством замыкания I Большая теоре-

аг , • • • , ап

жат одному пучку Тг и окружности въ • • •, вп пРинаДлежат одному пучку Т2, причем пучки Т2 имеют общую окружность 6, т0 шкатулка в}п=0

6

6 -ожерелья из большой

теоремы Эмха. Суть его в том, что свойство замыкания шкатулкивг}п=0 не зависти от порядка множителей в декартовом произведении Мг х • • • х Мп, т. е. неважно, в каком порядке идут пары {аг, вг}, {а2, в2}т ■ ■ ■, {ап, вп}-

Мы предлагаем другую шкатулку, которая обладает свойством замыкания, но не является коммутативной.

Теорема 63 (Некоммутативный аналог большой п

пучков, порожденных парами окружностей {аг, вг}, {а2,в2}, ■■■, {ап,вп}у

содержат общую окружность 6, которая для всех г = 1,п лежит в кольце между аг и вг- Тогда существует еще одна пар а соосных с 6 окружностей {ап+г, вп+г} такая, что шкатулка &{аг, в{}п+о обладает свойством замы-

6

Коммутативность большой теоремы Понсслс объясняется тем, что она может быть доказана с помощью инвариантной меры. Если бы такое доказательство существовало и для Теоремы 58, то замыкание не зависело бы от порядка касания с кониками. Поскольку для разных порядков результирующие коники всс же различны, скорое всего ее невозможно доказать с помощью инвариантной меры. Их доказательство требует новой техники.

Четвертая глава посвящена условиям замыкания траекторий Понсслс.

А. Кэли в 1854 году полностью решил задачу нахождения условий для двух данных коник, при которых их траектории Понсслс замыкаются через п

отпрсдслитслсй специальных матриц |25|.

Пусть а и в ~ Две произвольные коники, которые задаются в некоторой декартовой системе координат матрицами Л и В. Рассмотрим их дискриминант Р(А) = det(АЛ + В) и разложим в ряд по степеням Л корень из него:

Тогда формулы Кэли имеют следующий вид: замыкание траекторий а в п

Сз С4 ■■■ Ср+1

\/Т>(А) = Со + схА + С2А2 + С3А3 + ...

С4 С5

Ср+2

0, если п=2р

Ср+1 Ср+2 ■ ■ ■ С2р—1

(б)

С2 С3

СР+1

С3 С4

СР+2

Ср+1 Ср+2

С2Р

Однако, эти формулы дают ответ на вопрос о замыкании траекторий только для каждого конкретного n, а замыкаются ли вообще траектории Понесло с помощью условий Кэли узнать нельзя.

С использованием инвариантной меры и проективных инвариантов пары коник мы получим явные формулы для периода замыкания траекторий Понесло двух произвольных коник.

Рассмотрим на конике а диффеоморфизм f : а ^ а. Обозначим через

[f n(x) — x] количество оборотов, которое точка x G а делает за n итераций f

f НЙЗЫВ^бТСЯ ПрбДбЛ

f) = lim [fn(Xn—Xl. (7)

n^+œ n

x

того, если p(f ) G Q, то y отображения f есть периодическая траектория. Для отображения Понселе j это означало бы, что у него все траектории

n

np(je) G N.

Таким образом, критерием того, что траектории Понселе замыкаются, является рациональность числа вращения p(jp), а его знаменатель в этом случае n

Рассмотрим еще раз дискриминант D(A) = det( АЛ. + B) кони к а и в- Он является кубическим многочленом

det(AA + B ) = АА3 + вА2 + О'А + А'.

Тогда величины

= в'2

1 = Ав' ' 2 = А'в

являются проективными инвариантами пары коник а и в [ -, Гл. хх, п. 24].

23

Определение 3. Корень уравнения

и3 = 1112(и2 — 11и + 11)

при условии 4

1 — 4) и2 + 2и — 3 > 0, и > 1, если айв вложенные; 1 — 4) и2 + 2и — 3 > 0, и < 1, если айв лежат одна вне другой; — 4^ и2 + 2и — 3 < 0, если айв имеют две общие точки,

ав

Следуюгц&я теорема даст явные формулы ДЛЯ ЧИСЛ9) В р сЬ Щ6 Н И Я отображения Понсслс двух коник, который, как было замечено выше, позволяет находить период замыкания траекторий.

а в и

вариант. Полоэюим

в

Г _¿х_

А л/(1—х2)(е—х) з_ и

1(А, В, С) = -, где С =

с ' У

Г _¿X__2\ у- — 2и + 3

—,1^(1—х2)(с—х) V 11

Тогда число вращения р(]р) можно вычислить по следующим формулам в

ав

ва

р(3в) = 1(а, 1,1), где а = ^^— и + 1 + ^и— 2и + 3 ;

ва

р(3в) = 1(а, С, с) , где а = 2 ^и— и + — ^и— 2и + 3^ — 1;

3) если аи/3 пересекаются в двух точках, то

р(3в) = 1(Ь, 1,1), где Ь = ^и- - 2и + 3 - ^и- - и + 1;

В статье |57| В. В. Козлова применяется интересный метод проверки чисел на алгсбраичность, в котором используется эллиптический интеграл, связанный с числом вращения отображения Понсслс двух коник. Возможно, полученные нами явные формулы для числа вращения позволят найти новые применения этого метода в теории алгебраических чисел.

Отмстим также, что применение формул Кэли даже в простейшем случае, когда а и в ~ Две окружности, приводит к довольно громоздким вычислениям. В то время, как для некоторых малых п существуют более простые формулы проверки на замыкание. Например п = 3 ип = 4 6СТ ь формулы Эйлера и Фусса |97|:

1111 11

--1--= - и--1--= — ,

Я - а Я + 1 г (Я - ()2 (Я + 1)2 г2 '

где Я, г и ( - радиусы окружностей а и в и расстояние между их центрами. Математиками были ВЫВ6Д6НЫ ТЭ)КИ6 формулы п были также

найдены рекурентные соотношения для их получения |90-92|. В Разделе 4.3 мы с помощью полученного нами обобщения одного несложного геометрического факта, установленного Радичсм и Калиманом, предложим алгоритм для нахождения формул на условия замыкания ломанных Понсслс для двух окружностей.

Построим ломаную Понселе У\У2 ... Vп окружностей а и в- Из большой теоремы Понсслс следует, что при "вращении" этой ломаной, для каждого г = 2,п ее диагональ V\V{ касается фиксированной окружности пучка Т(а, в). Как известно, отношение степеней любой точки окружности а относительно окружностей и в-, есть величина постоянная. Обозначим ее через к{ = к {(а, в) • Нетрудные вычисления показывают, что радиус р(^{) окружно-

сти Yi и расстояние D(y,;) от ее центра до центра окружности а выражаются через R, r и d по формулам

p(Yi) = yjR2 + k?d2 - ki(R2 - r2 + d2), D(Yi) = kid.

Правило (а, в) ^ (а, Yi) определяет для каждого i Е N отображения

Gi: (R,r,d) ^ (R,p(Yi),D(Yi))= (r, у/R2 + k2d2 - k(R2 - r2 + d2), .

Пусть теперь уравнение Fn(R,r,d) = 0 задает условие замыкания траекторий Понселе окружностей а и в через n шагов. Тогда следующая теорема дает алгоритм нахождения соотношений Fn(R,r, d) = 0.

ав

через n шагов, где n = n1 ... nr, то

[Fni о Gn, о ... о Gnr ](R, r, d) = 0,

r _

где Gni = G^(а^и), Fni = Fni(а y), U = П ni = l,r - 1, tr = 1.

j=i+1

Иными словами,

Fn(R, r, d) = [Fni о Gn, о ... о Gnr](R, r, d).

Применять этот алгоритм удобно по индукции, пользуясь соотношением

k2i(а, в) = k2i-i (а, Y2) • к2(а,в)

и таким следствием Теоремы 78:

ав

через n шагов, где n = 21 • т, т нечетно, 5 - минимальное натуральное число, для которого q := 2s ± 1 = 0 (mod m). Тогда

[Fq о g2i](R,r,d) = 0.

Благодарности

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Юрьевичу Протасову за постановку задач, постоянную поддержку в работе и долготерпение в ожидании результатов. Автор очень признателен профессору А. Г. Хованскому за предложенный им вид инвариантной меры и полезные обсуждения, а также к.ф-м.н. В. А. Кириченко за интересные дискуссии и ценные советы. Автор выражает благодарность к.ф-м.н. доц. А. А. Васильевой, д.ф-м.н. доц. П. А. Бородину, к.ф-м.н. доц. Д. П. Ильютко, Ф.К. Нилову, участникам семинара "Современные геометрические методы" под руководством акад. А. Т. Фоменко за ценные замечания, а также всему коллективу кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ за доброжелательную и творческую атмосферу. Хочется также выразить благодарность начальнику выпускного курса к.ф.-м.н. Василию Васильевичу Козлову за многолетнюю поддержку и помощь в организационных вопросах учебного процесса.

Глава 1

Инвариантные меры для классических теорем

о замыкании

В этой главе мы построим инвариантную меру (1.15) для многомерной теоремы Эмха (Теорема 2), которая обобщает несколько хороню известных инвариантных мер для других теорем о замыкании. Будет показано, что любой набор из п сфер в Кп порождает функцию в пространстве, ограничение которой на произвольную окружность определяет инвариантную меру на ней. В двумерном случае - для обычной теоремы Эмха - эта мера принимает простой вид (Теорема 20). Некоторые се частные случаи известны в литературе и использовались для доказательств теорем Понсслс и о зигзаге |54,64|. Замечательные свойства этой меры дают новые результаты, а также новые дока-ЗБ/ГбЛЬСТВсЬ известных фактов. Например, с применением новой меры мы получаем обобщение трехмерной теоремы Эмха на циклиды Дарбу (Раздел 1.5). Инвариантная мера позволяет также дать простое и изящное доказательство некоторых результатов работ |8,49|, обобщающих теорему Эмха на пучки окружностей и на циклики.

1.1. Введение

Главным результатом Главы 1 является явная формула инвариантной меры для многомерной теоремы Эмха (Теорема 17). Многомерная теорема Эмха естест вен н ы IV! образом обобщает цепочки Эмха двух окружностей на цепочки сфер в пространстве Кп, которые состоят из сфер, касающихся п данных сфер. В теореме Эмха фигурируют два семейства окружностей, касающихся двух данных окружностей. Для п сфер в пространстве Кп могут

существовать уже 2n-1 подобных семейств. Для однозначности в рассуждениях будет удобно, поэтому, использовать ориентированные сферы и плоскости.

Перед тем, как сформулировать многомерную теорему Эмха, введем необходимые определения. Пусть в пространстве Rn дана окружи ость ó и семейство сфер W. При этом гиперплоскость и точка также считаются сферами. Точку z Е Rn назовем особой для семейства W, если через нее проходят более двух сфер из W. Предположим, что выполнены два условия:

(a) окружноеть ó не содержит особых точек для семейства W;

(b) никакая сфера сем ейства W не содерж ит ó.

Рассмотрим следующий процесс. На окружности ó берется точка x1 и через нее проводится сфера ш'1 Е W (предполагается, что таковая существует; если таких сфер две, то берем любую). Обозначаем через x2 вторую точку пересечения ш'1 и ó (если имеет место касание, то x2 = x^. Через x2 проводим сферу ¡х>2 Е W, отличную от ¡х>1 (если ее не существует, то полагаем ¡х>1 = ш'2), обозначаем через x3 вторую точку пересечения ш'2 и ó, и т.д. Получаем цепочку сфер Процесс имеет период r если ш'г+1 = (или, что то же,

xr+1 = x0-

Определение 4. Семейство сфер W обладает свойством замыкания на окружности ó, если оно удовлетворяет условиям (a), (b) и следующему условию: если для некоторой начальной точки x1 процесс имеет период r ^ 3, причем все точки x1,..., xr различны, то и для любой точки x1 Е ó, через которую проходит сфера семейства W, процесс имеет тот же период.

С^у Л dJJI^y Ю ЦЦ Of я.. теорема, доказанная В. К) Протасовым в 2011 г. |8| многомерным обобтцением теоремы Эмха.

Теорема 2 (Многомерная теорема Эмха) Пусть и1,и2,... ,шп - набор из n ориентированных сфер общего положения в Rn. Тогда семейсmeo W ориен-

тированных сфер ш', касающихся .. ,шп, обладает свойством замы-

кания на любой окружности 5, не лежащей ни на одной из данных сфер.

Если ^ ^ ^^^ ^^^^^^^^^ сфер, касающихся ... ,шп, то цепочку

сфер будем называть цепочкой Эмха.

В Разделе 1.4 будет построена в явном виде инвариантная мера для многомерной теоремы Эмха (Теорема 17). С се помощью мы в Разделе 1.7 дадим простое доказательство многомерной теоремы Эмха для общего случая взаимного расположения сфер ,ш2,..., шп и окружности 5. При выводе главной формулы (1.15) для инвариантной меры нам понадобятся некоторые свойства многомерных циклид Дюпена, которые являются многомерным обобщением замечательной поверхности, открытой Ш. Дюпеном |19|. Этим свойствам посвящен Раздел 1.3. Но сначала, в Разделе 1.2 мы получим ряд утверждений о касании сфер в Кп, обобщающих известную теорему Кейзи ( ). Эти вспомогательные результаты, представляющие и самостоятельный интерес, понадобятся нам при получении уравнения многомерной циклиды Дюпена, которое, в свою очередь, позволит вывести формулу инвариантной меры для многомерной теоремы Эмха. Далее мы рассмотрим частные случаи новой меры для

четырех классических теорем - Эмха, Понсслс, Штсйнсра и о зигзаге. Затем, в Разделе 1.5 с помощью инвариантной меры мы получим обобщение принципа Эмха замыкания сфер на циклиды Дарбу и их возможные многомерные аналоги. В частности, на плоскости это даст обобщение теоремы Эмха на цик-лики, полученное в работе |49|. С помощью новой меры мы получим также для цепочек Эмха некоторые аналоги большой теоремы Понсслс (Раздел 1.6). В заключение Главы 1 с применением инвариантной меры будет показано, что теорема Понсслс для коник следует из теоремы Эмха.

В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться инверсией пространства. Поэтому, напомним некоторые свойства этого геометрического преобразования.

Инверсия и ее свойства

Инверсией относительно окружности с центром в точке o и радиуса R называется геометрическое преобразование плоскости, которое каждой точке a ставит в соответствие такую точку а' луч а oa, что \oa\ • \oa'\ = R2. o

торую проходят все прямые. Тогда преобразование становится взаимнооднозначным. При этом, прямые считаются окружностями бесконечно большого радиуса.

Степенью точки a относительно окружности а радиуса R с центром в точке o называется величии& aa(a) = \oa\2 — R2. Множество точек плоскости, имеющих равные степени относительно двух данных окружностей, является прямой. Она п аз ы в ается радикальной осью этих окружностей.

Пучок окруэ/сностей — это множество окружностей, ортогональных двум фиксированным окружностям. Все окружности одного пучка имеют общую радикальную ось, поэтому их еще называют сооспъши. Множество окруж-

ностей, ортогональных всем окружностям некоторого пучка, образует ортогональный пучок. Если окружности пучка не пересекаются, то окружности ортогонального пучка пересекаются в двух точках на линии центров первого пучка. Эти две точки являются его вырожденными окружностями и называются предельными точками пучка.

Преобразование инверсии обладает следующими свойствами. 1° Инверсия является инволюцией, а все ее неподвижные точки - это точки окружности инверсии.

2° Образ любой окружности, не проходящей через центр инверсии, - это окружность, не проходящая через центр инверсии; образ любой окружности, проходящей через центр инверсии - это прямая, не проходящая через центр инверсии.

3° Инверсные окружности гомотетичны относительно центра инверсии. 4° Инверсия сохраняет углы между кривыми. В частности, окружность, ортогональная окружности инверсии, переходит в себя. Отсюда следует, что пучок окружностей при инверсии переходит в пучок окружностей. Любая окружность, ортогональная окружности инверсии и проходящая через точку а, проходит также и через точку а'.

5° Инверсия с центром в предельной точке пучка переводит окружности пучка в концентрические окружности.

Преобразование инверсии называют еще симметрией относительно окружности. Такое название объясняется следующим свойством инверсии. 6° Пусть точки х и у инверсны относительно окружности а. Тогда это их свойство сохраняется при любой инверсии. Т.е. если при инверсии относительно окружности в точки х, у и окружность а переходят в точки х', у' и окружность а\ то точки х' и у' инверсны относительно а'. Если же окруж-

аа рию относительно этой прямой.

7° Для любых двух окружностей а и ß существует серединная окружность и такая, что инверсия относительно и переводит а и ß друг в друга.

Если а и ß пересекаются, то у них существуют две "биссектрисы" -окружности, которые проходят через точки их пересечения и делят смежные углы между ними пополам. Из свойства 4° следует, что "биссектрисы" а и ß являются их серединными окружностями. А из свойства 3° следует, что центры серединных окружностей совпадают с центрами подобия а и ß.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Авксентьев Евгений Александрович, 2015 год

и - 4:

11 — 5:

11 — 6:

R-d Я+d г

1 = ^; (Н-Фусс) (4.2)

(Я - d)2 (Я + г2

2Яг Я2 - d2 4г

Я2- d2 2Яг 2Яг + Я2- d2 '

(4.3)

1 1 1 (л л\

11 - 8:

1 1 = 1 (А

+ (( Р2 Й2\2 1/1 (Ог2{ Е>2 I А2\2 _ ( Е>2 А2\2\2 ' (4-5)

((Я2 - d2)2 - 4Rг2d)2 ((Я2 - d2)2 + 4Rг2d)2 (2г2(Я2 + d2)2 - (Я2 - d2)2)

2

В Разделе 4.3 мы предложим алгоритм получения таких уравнений для п

обобщающий формулу Радича-Калимаиа |75| о метрических соотношениях в ломаных Понсслс (Теорема 76). Попутно, в качестве примеров, выведем формулы (4.1) - (4.5). В заключение, мы дадим комбинаторное доказательство теоремы Понсслс.

4.2. Инвариантная мера и условия замыкания траекторий Понселе

Инвариантная мера даст простое условие замыкания траекторий Понселе двух коник. Рассмотрим сначала случай двух вложенных окружностей а и ß. Пусть хорда ху окружности а касается окружности ß. Рассмотрим меру

Якоби-Бертрана ß(A) = J ß( .. Тогда можно показать, что число вращения

л ß(x)

p(jß) отображения Понселе jß (см. ( )) вычисляется по формуле

P(jß)=^ху-

Траектории Понселе на окружности а относительно окружности ß замыкаются через n шагов тогда и только тогда, когда

/ ч m

P(jß) = - (4-6)

n

для некоторого m Е N.

Таким образом, период замыкания траекторий Понсслс равен знаменателю числа вращения p(jß).

Рассмотрим дскартову систему координат с началом в центре окружности а и осью направленной по линии центров окружностей а и ß. Пусть R, r и d - радиусы и расстояние между центрами окружностей а и ß соответ-ствснно. ТогдЭ)

а(х) = x2 + y2 - R2, ß(х) = (x - d)2 + y2 - r2.

На окружности а должно выполняться равенство

у2 = Я2 - х2, хАх + ydy = 0.

Поэтому, имеем

dx = / dx2 + dy2 =

х2

Я2 — х2

dx2 =

dx

л/Я2 - х2

Условие 4.6 любой хорды Понселе ху. Выберем те-

перь хорду ху которая перпендикулярна линии центров окружностей а и в см.рис. 4.1).

Рис. 4.1.

ГД сЬ

р(зв) =

я

I

т+!

!х

-у/(Я2-х2 )(Я2+С2-т2-2!х)

я

!х

/(Я2 -х2)(Я2+32-т2-23х)

(4.7)

Если окружности а и в пересекаются в точках а и Ь (см. рис. ), то ц(ху) = 2д(Ьх) ( мы договорились считать, что р(аЬ) = 0 в

случае пересекающихся коник.]

Рис. 4.2.

Тогда получаем, что в случае пересекающихся окружностей а и в

Р(3в) =

Г _¿х_

^^ л/(К2-х2)(К2 +3?-г2-2йх)

е N

¿х

(4.8)

Г _

-й V (Д2-х2)(й2+^2-г2-2йх)

где

с =

Я2 + - г2

'

В случае же, когда окружности а и в лежат одна вне другой, для вывода формулы на условия замыкания заметим следующее. Рассмотрим дву-звенную ломаную Понселе хуг. Из большой теоремы Понселе С Л 6 что прямая хг касается некоторой фиксированной окружности 7 € (а, в) (см-

а

И при этом, условие замыкания через п шагов траекторий Понселе окруж-

п

ностей а и в равносильно условию замыкания через — шагов траекторий Понселе окружностей а и 7. В Разделе мы выразим радиус р окружности 7 и расстояние между центрами а и 7 через Я, г и б. Будет доказано,

Рис. 4.3.

что

,2/D2 | л2

2Rr2(R2 + d2) 4R2r2d

P = —7~n2-mö--R; D =

(R2 - d2)2 (R2 - d2)2'

Тогда поскольку 2p(jß) = p(jY), то из для 07 находим

R

J* dx

ГДС

2p(jß) = ---- , (4.9)

Г _dx_

-R V (R2 -x2)(R2+d2 -r2 -2dx)

2Rr2

n = - — R

n (R - d)2 R'

Таким образом, получаем

Теорема 74. Пусть а u ß - две окружности радиусов Rur, расстояние

d

стеи а и ß замыкаются, если и только если рационально их число вращения p(jß), которое вычисляется по следующим формулам:

ав

я

Г _¿х_

г%у/(я2-х2 )(с-х)

р(3в) = -я-

г _¿х_

-Я у/ (Я2-х2)(с-х)

где

= Я2 + в2 - г2 С = 2в '

ав

¿х

^ у/ (я2-х2)(с-х)

¿1

р(зв) = -;

Г _¿х_

-Я у/ (Я2-х2)(с-х)

ав

я

I

¿х

/(Я2-х2)(с-х)

2рШ) = -—

¿х

где

2Яг2

а = - — Я

а (Я - в)2 Я'

Период замыкания равен знаменателю п числа вращения р(]р) = —, где

т п

—,п € N.

ав

рыс имеют ис более двух точек пересечения. Тогда существует проективное преобразование, переводящее их в две окружности а' и в' [ ]• Пусть Я, г и в - их радиусы и расстояние между центрами, А и В - матрицы коник а и в в некоторой декартовой системе координат. Составим их характеристический многочлен

¿е^АА + В ) = АЛ3 + вА2 + в'А + А'.

Известно 193, Гл. xx ч п. 24 , что величины

I =

е2

Дв''

12 =

в'2 Д'в '

13 =

в3 Д2Д''

ь =

в'3 ДД'2

являются проективными инвариантами пары коник а и в-

Матрицы А' и В' окружностей а' и в' в координатах, изображенных на рисунке 4.1, записываются так:

А' =

(

\

0 0 1 0

0 -я2

\

В' =

(

1 0

\

-дь

0 -д 10

0 д2 — г2

\

/

То гд 9)

ае^АА' + В') =

Л + 1 0

д

0

А + 1

-д 0

0 д2 - г2- ЛЯ2

= -Я2А3 + (д2 - г2 - 2Я )А2 + (д2 - 2г2 - Я2)А - г2.

Наша задача - для двух данных коник а и в найти Я , г и д. Посколь-а в

можно далее считать, что Я =1. Тогда находим

г (2 + г2 - д2)2 т (1 + 2г2 - д2)2

11 = 1 .г, о-¿Г , 12 =

(4.10)

1 + 2г2 - д2 ' г2(2 + г2 - д2) '

Из этой системы можно выразить г и д через 11,12. Посторонние корни

а в

ав

д < 1 - г, < 1 + г < д,

|1 - г\ < д < 1 + г,

ав ав ав

(4.11)

Введем обозначения

и := г2 - в2 + 2, V := 2г2 - в2 + 2.

ав

и

Из системы (4.10) находим

и2

V = у + 1, Л

и3 = 1г12(и2 - 1\и + Ь). (4.12)

То ГД 9)

2 и2

г2 = V - и = -— и + 1, 11 и2

в2 = V - 2и + 2 = и- - 2и + 3.

(4.13)

А условия (4.11) перепишутся в виде

р(и) > 0, и > 1, если а и в вложенные;

р(и) > 0, и < 1, если а и в лежат одна вне другой; (4-14)

р(и) < 0, если а и в пересекаются,

где

р(и) := - и2 + 2и - 3.

Заметим, что всякое решение системы (4.10) определяет пару окружностей а' ж в'7 в которые проективным преобразованием можно перевести ав пара с точностью до гомотетии единственна. Следова-

тельно, и решение системы (4.10) с условием (4.11) единственно. Это также равносильно тому, что особый инвариант и пары коник а и в определяется однозначно по уравнению (4.12) и условию (4.14).

Тогда получаем обобщение Теоремы 74 на произвольные коники:

Теорема 75. Пусть а и в ~ две невырожденные коники, и - их особый инвариант. Положим

в

Г _¿х_

{у/ {1-х2)(с-х) Л 3 - и

1(А, В, С) = -, где с =

т2

р(3в) = 1(а', с, с), где а' = 2 ( I— и + 1 ) (1 - \/1— 2и + 3 ) - 1;

С_¿х__2\- 2и + 3

-1 л/(1-х2)(с-х) V 11

Тогда число вращения р(3в) можно вычислить по следующим формулам в

ав

ва

и и

р(3в) = 1(а, 1,1), г(^е а = у -— и + 1 + у ^— 2и + 3;

ва

(I - и + 1) ^ и2 - 2и + 3)

ав

р(3в) = 1(Ь, 1,1), где Ь = ^I- - 2и + 3 - ^I- - и + 1;

4.3. Метрические свойства ломаных Понселе

а в Я, г

д

понимать ломаную у1... уп7 у которой все вер шины А1, А2,... , Ап+1 лежат на окружности а, а звенья у1,у2, ... ,Уп касаются в■ Если ломаная замкнута, т.е. Ап+1 = А17 и не имеет самопересечений, то будем ее называть многоугольником Понселе. Через $(а, в) обозначим пучок окружностей, проходящий через ав

Радич и Калиман нашли [8] следующее метрическое соотношение дву-звенных ломаных Понселе:

Теорема А. Пусть ломаная ХЕУ вписана в а так, что Х^ и ZY касаются

(3 в точках X 'и У' соответственно. Тогда в еличина хх—уу> постоянна 2 Кг

и равна к—'

Мы дадим гсомстричсскос доказательство обобщения этой теоремы на ломаные с произвольным числом звеньев:

Теорема 76. Пусть п ^ 2 и и1.. .ип - ломаная Понселе а и в с началом

X и концом У (см. рис. ), а звенья и1 и уп касаются в в точках X' и

ХУ

У' соответственно. Тогда для всех таких ломаных

XX' + УУ'

величина

постоянная.

Для каждого п € N эту величину обозначим через кп(а, в). Для доказательства нам понадобится Т9)К06 СЛ6ДСТВИ6 болыттой теоремы Понсслс: Теорема В. Пусть А1... Ап+1 - ломаная Пон селе а и в- Тогда А1Ап+1 касается фиксированной окружности € ).

Рис. 4.4.

По Лемме любая окружность 7 € Т(а, в) _ эт0 геометрическое место

ав

Обозначим эту константу окружности 7 € $(а,в) через щ Доказательство Теоремы . Из теоремы В следует, что все прямые ХУ касаются некоторой окружности 7п из пучка Т(а,в), проходящего через а и в-Пусть ^ ^ ^^^^^ ^^гания прямой ХУ с 7п. Тогда по Лемме существует число к =

■и„\ ^

в

такое, что |XW\ = к(у/ов(Х)), |УW\ = к(у^в(У)),

т.е. \ХУ\ = Му'ЫХ) + у/^вУ) = к(\ХХ'\ + |УУ'|).

□

Рис. 4.5.

Теорема дает возможность легко вычислить к2(а,в), поскольку достаточно найти эту величину у какой-нибудь одной ломаной.

Рассмотрим двузвенную ломаную Х2У (см. рис. ), у которой средняя вершина 2 лежит на линии центров а и в- Пусть центр I окружности в лежит

на отрезке 2О, где О — центр а, Ж — середина ХУ, Ь = АХ2О. Тогда

г

БШ Ь =

Я - (

\ХЖ\ = \Х2\ вт Ь = 2Я вт Ь сое Ь; |ХХ'\ = \Х2\ - \Х'2\ = 2ЯсоеЬ - (Я - () соеЬ = (Я + Я) соеЬ;

г

\ХУ\ \ХЖ\ 2ЯвтЬ соеЬ 2Я • 2Яг

\ХХ'\ + \УУ'\ \ХХ'\ (Я + () сое Ь Я + ( Я2 - С2'

Таким образом, КОНСТеШТс! Радича-Калимана равна

V ( 2Яг

К2(а,р) =

Я2 - Я2

Если 72 = в то к2(а, в) = 1 и получаем формулу Эйлера ( ) для треугольника.

Теперь, пользуясь Теоремой 76, мы получим общий принцип вывода формул, задающих условия замыкания.

Лемма 77. Пусть окружности а, в, 1 соосны; Я, г, р - их радиусы, Я и Б -расстояния между центрами а и в, а и 7; к := ^ • Тогда

Б = М, р = у7Я2 + Б2 - к(Я2 - г2 + (2). (4.15)

Доказательство. Рассмотрим декартовы координаты Оху7 у которых начало координат О совпадает с центром окружности а, ось Ох направлена по линии центров а, в,1 так5 чт0 центры в и 7 имеют положительные абсциссы ( и Б. Рассмотрим точку А(х; у) € а Тогда имеем х2 + у2 = Я2, а условие

а1 (А) = кар (А) 3 Э1П ИIII6Т СЯ ТЭ)К •

(х - Б)2 + у2 - р2 = к((х - ()2 + у2 - г2),

откуда

2(к( - Б)х + Я2(1 - к) + Б2 - р2 + к(г2 - (2) = 0.

Так как это верно для любого х € [-Я; Я], то

Ы - В = 0, Я2(1 - к) + В2 - р2 + к(г2 - ё2) = 0.

□

Поскольку иа = к2п(а, в) с помощью Леммы , зная кп(а, в), можно находить радиус р окружности ^п и расстояние ё от ее центра до центра а.

Если А1... Ап+1 - многоугольник Понс еле, то 7п = Да кп(а,в) = 1-Обратно, пусть кп(а,в) = 1. Тогда А1 = Ап+1. Рассмотрим окружность Ь, касающуюся смежных с А1Ап+1 сторон. Когда окруж ность Ь меняется так,

в

ном направлении по биссектрисе прямых, содержащих эти стороны, величина V(Ь), равная сумме дайн касательных к Ь из точек А1 и Ап+17 меняется монотонно и значение А1Ап+1 может принимать не более чем для одной такой окружности. Но когда Ь касается А1Ап+17 имеем V(Ь) = А1Ап+1. Поэтому если кп(а,в) = 1 то в касается А1Ап+1.

Обозначим Еп(Я,г,ё) := кп-1(а, в) - 1- Таким образом, соотношение Вп(Я, г, ё) = 0 задает необходимое и достаточное условие замыкания п-звенной

ав

вило (а, в) ^ (а, 7г) определяет для каждого г € N отображения Сг: (Я,г,ё) ^ (Я,р(7г),В(7г)) = [Я^Я2 + к2ё2 - к(Я2 - г2 + ё2),кг^ ,

где кг = иа(^в) , ^г = Ъ(а, в)•

в

Пусть В1,..., ВN - многоугольник Понселе. Из теоремы В следует, что для каждого целого к прямые ВгВг+к У г = (индексы берутся по

модулю N касаются фиксированной окружности ^к € Т(а,в)• При этом = а,у1 = в,1к = -к- Если N = п17 то А1 ...А/, где Аг = Вгп7 тоже многоугольник Понселе, но уже для пары окружностей а, Таким образом, получаем следующую теорему

Теорема 78. Если траектории Поиселе окружностей айв замыкаются через п шагов, где п = п1 ... пг, то

[ЕП1 о СП2 о ... о СПг ](Я, г, () = 0,

где Ощ = Сщ(а,^и), К1 = К1 (а, ), и = П Щ, г = 1,г - 1, и = 1.

3=1+1

Иными словами,

БП(Я, г, () = [Ещ о СП2 о ... о СПг ](Я, г, ().

Кроме того,

Замечание 3. Поскольку множители щ можно менять местами, для любой подстановки а множества {1,... ,г} выполняется

[^(1) о о ... о ^ ](Я, г, () = 0,

Опа{1) = СПа{1)(а,^иI БПа{1) = ЕПст(1)(а,7^I и = П па(з), г = 1,г - 1 Ьг = т

3 =г+1

Если А1... А2п- 2п-угольник Понселе а и в, то А2А4 ... А2п - п-угольник Понселе а и 72. Найдем радиус р окружности 72 и расстояние Б ОТ? 66 Ц6 нт р 9

а

Б = к2(, р =^Я2 + Б2 - к2(Я2 - г2 + (2),

где к2 = к2(а, в), а по теореме А имеем

к ( в) 2Яг

к2(а,в) =

Я2 - Я2

Отсюда

= 4Я2 г2(

(Я2 - д2)2'

То ГД 9

2 п2 , 4Я2г2* ,2 4Я2г2 .о 2 ?2,

р2 = Я + Г- - -Щ-Щ2(Я -г + *] =

Я2

Я ((Я2 - *2)4 - 4г2(Я2 - *2)2(Л2 + *2) + 4г4(Я2 + *2)2-

т.е.

(Я2 - *2)4

-4г4(я2 + *2)2 + 16Я2г4*2 + 4г2(Я2 - *2)2) = = (2г2(Я2 + *2) - (Я2 - *2)2)2,

„ 2г2(Я2 + *2) р = Я

1

(Я2 - *2)2

Заметим, что Л^Л+п пересекаются в предельной точке пучка $(а,в). В самом деле, по теореме В прямые ЛЛг+п касаютя ^п £ $(а,в). Пусть, например, ломаная Л^Л+х... Л+п и окружность лежат по разные стороны относительно прямой Л1Л+п. Тогда это свойство будет сохраняться при вращении точки Лх по окружности а в силу непрерывности траекторий. Поэтому у многоугольника Понселе ... Л2п, где Л\ =Лп+, ломаная Л',}Л,+1... Л\+п = Л+п ... Л{+2п лежит по другую сторону от прямой Л[Л[+п = Л^Л^., нежели

п п

гоугольник Лх... Л2п лежит с одной стороны от прямой Л^Л^., чего быть

п

предельная точка пучка Т(а, в)•

2

диагоналей, т.е. ее радиус р = 0. Из найденных нами формул для О и р получаем, что для четырехугольника Понселе верны формулы:

1 1 1 ^ 2Я2*

+ ,Р , ^2 =12 (N.^197]); О =

(Я - *)2 (Я + *)2 г2 к ' 1 Я2 +

где О - расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.

Итак, для 2п-угольника Понселе радиус р окружности 72 выражается через параметры {Я, г, (} его описанной и вписанной окружностей а и в так:

2г2(Я2 + д2)

р = Я

1

(Я2 - д2)2

а

центром вписанной окружности радиус г' вписанной окружности будет не

г То ГД 9

2г2(Я2 + д2) 2(г')2(Я2 + д2)

- — 1 - — 1 — О

(Я2 - д2)2 ^ (Я2 - д2)2

Из этого наблюдения с л б дует

Теорема 79. Для п^ 3 имеем

г, ,г> Л ^ {г> 2Яг2(Я2 + д2) 4Я2г2д \ .

Е2п(Я; г;д) = Я; (Я2 - ^2 - Я; (Я2 - ^2) . (4-16)

Из формул Эйлера (4.1), Фусса (4.2) и этой теоремы легко следуют соотношения (4.4) и (4.5), дающие необходимые условия замыкания траекторий Понселе через 6 и 8 шагов. Заметим, что

к^(а, в) = к2— (а, 72) • к2(а,в), (4.17)

а радиус р окружности 72 и расстояние Б между центрами а и 72 вычисляются по формулам ( ). Поэтому по индукции можно находить к2г (а, в)• Пусть т нечетно, а 8 - минимальное натуральное число, для которого 2^ = 1(тос1 т^и 2^ = - 1(то (1 т). Если у окружи остей а и в существует т-угольник Понселе, то = в■ Поэтому

+1 (Я, г, д) = к2ё (Я,г,д) - 1 = 0.

Отсюда и из Теоремы 78 следует

Теорема 80. Пусть траектории Поиселе окружностей а и в замыкаются через n шагов, где n = 21 • т, т нечетно, 5 - минимальное натуральное число, для которого q := 2s ± 1 = 0 (mod m). Тогда

[Fq о G2l](R,r,d) = 0.

Таким образом, Fn(R,r,d) = [Fq о G2i](R,r,d). При этом, для вычисления Fq(R,r,d) и G2i (R, r, d) нужно вычислить величины k2s(R,r,d) и k2i (R,r, d), а это можно сделать по индукции, используя соотношение (4.17) и формулы (4.16). Это наблюдение даст алгоритм нахождения формул на условия замыкания траекторий Понсслс. Пусть, например, период замыкания траекторий Понселе равен 5. Тогда к4(а, в) = 1- Поскольку

2Rp 2Rr

к4(а,в) = k2(a, у2) • к2(а,в) =

2r2(R2 + d2)

R2 - D2 R2 - d2

2R • R I , ^-zttt:--1

Í2r2(R2 + d2) Л (R2 - d2)2 )

(r2 - d2)2 y 2Rr 4Rr(2r (R - d4) - (R2 - d2)3)

2 ( 4R2r2d У R2 - d2 (R2 - d2)4 - 16R2r4d2 '

R2 ^ (R2 - d2)2)

необходимое условие замыкания траекторий через 5 шагов имеет вид

4Rr(2r2(R4 - d4) - (R2 - d2)3) - (R2 - d2)4 + 16R2r4d2 = 0.

Многочлен в левой части имеет делитель R2 - dd2 + 2Rr и на него можно сократить, поскольку он обращается в нуль только тогда, когда траектории Понсслс замыкаются через 3 шага. В итоге приходим к формуле

2Rr R2- d2 4r2

R2 - d2 2Rr 2Rr + R2 - d2

на условие замыкания траекторий Понсслс через 5 шагов.

4.4. Комбинаторное доказательство теоремы Понселе для коник

В литературе неоднократно ставился вопрос о возможности чисто комбинаторного доказательства теорем о замыкании. Например, можно ли средствами комбинаторики и теории чисел распространить теорему о замыкании, доказанную для некоторых малых значений числа шагов п, на все натуральные п? Скажем, можно ли вывести теорему Понселе из ее частного случая для треугольника (п = 3)? Недавно, Хальбейсен и Хангербюлер доказали [ ], что теорема Понселе является комбинаторным следствием теорем Паскаля и Бри-анпюна. Выбор теорем Паскаля и Брианпюна объясняется тем, что теорема Понселе носит проективный характер. Поэтому вполне понятно стремление свести ее к классическим теоремам проективной геометрии.

В этом разделе мы дадим комбинаторное доказательство классической теоремы Понселе для коник. Т.е. с помощью простой геометрической конструкции и комбинаторных рассуждений, используя метод математической индукции и соображения теории чисел, мы выведем теорему Понселе. Оказывается, что для подобного доказательства достаточно следующего свойства ломаных Понселе:

Лемма ABC. Пусть двузвенная ломаная ABC вписана в конику а, а ее звенья AB и BC касаются коники в- Тогда для всех таких ломаных прямая AC касается фиксированной коники 72(а, в)•

Отмстим, что для окружностей это утверждение у нас было получено выше íícIjJK слсз^/т^('тпте>ттсз из Теоремы 67, а подходящим проективным преобразованием комплексной проективной плоскости две коники можно перевести в две окружности.

ABC

Следствие 81. Для Vl Е N и любой ломаной Понселе A0Al... A2i коник а, в хорда A0A2i касается фиксированной коники y2i(а, в).

Доказательство. В самом деле, для l = 1 получаем утверждение леммы ABC Предположим, что мы доказали утверждение для l = к. Рассмотрим ломанную Понселе A0Al... A2k+i кони к а, в- По предположению индукции прямые A0 A2k и A2k A2k+i касаются фиксированной коники Y2k- Тогда по лемме ABC прямая A0A2k+i тоже касается фиксированной коники.

□

Итак, покажем, что из Леммы ABC можно вывести теорему Понселе.

Комбинаторное доказательство теоремы Понселе. Пусть A0A2... An-l -n-угольник Понселе коник а и в; где n = 2lт, т нечетно. Тогда AiAi+2¡ касаются фиксированной коники Y2(а, в)• Поэтому B0Bl... Bm-\7 где Bi = Ai2¡7 -m-угольник Понселе коник а и 7 = Y2 (а, в) и достаточно доказать усло-

md 2d = 1 mod m, например d = ф(т) (где ф(т) - арифметическая функция Эйлера), и B'0B[... - другая ломаная Понселе коник а, 7. Как было замечено выше, B'0B'2d касается фиксированной коники Y2d(а, Y). Но BiB2d+i = BiBi+i для всех % ^Е N. Значит, коника Y2d (а, Y) касается всех сторон т-угольника B0B1... Bm-i, откуда при т ^ 5 следует, что Y2d(а, Y) = Y (ведь существует единственная коника, касающаяся 5 данных прямых общего положения). Значит Blld_ 1 = B'q и процесс Понселе имеет период

2d 1 кратный n. Покажем,

что основной период все-таки n.

Пусть сначала коника в лежит внутри коники а. Если B'0 лежит на дуге B0Bl7 то поскольку в этом случае взаимного расположения коник отображение Понселе сохраняет порядок точек, точки B'in7 i Е N тоже лежат на этой дуге. Если n - не период, то B'n = Bf0. Без ограничения общности, B'n лежит на дуге BoB¿. Тогда по индукции B'in лежит на дуге B0Bf^i-l)n и не может

совпасть с В0 ни при каком г, что противоречит В'2Л_ 1 = В'0.

Если коники а и в лежат одна вне другой, то коника 72, определенная в лемме АВС\ лежит уже внутри коники а. И этот случай сводится к предыдущему.

ав

дугу а в коник и а, из каждой точки которой можно провести касательную к конике в7 концы которой являются точками пересечения коник а и в- Возьмем две копии этой дуги и склеим их в концах, обозначив получившееся множество через ар. Будем считать, что если сторона многоугольника Понселе

ва

лежат разным копиям дуги ар, а если касание происходит внутри коники а, то - одной. Тогда на множестве ар отображение Понселе сохраняет порядок точек и можно провести рассуждение из первого случая.

□

Заключение

Основные результаты работы заключаются в следующем.

• Получена явная формула инвариантной меры для многомерной теоремы Эмха, частными случаями которой являются инвариантные меры для классических теорем Эмха, Понселе, о зигзаге и Штейнера.

•

тельно их отображения Понселе мера. Доказана ее универсальность для всего пучка, проходящего через эти коники, приведена полная классификация инвариантных и универсальных борелевских мер на кониках. Получены явные формулы для числсЬ врэлцвния отображения Понселе двух произвольных ко~ ник, что дает критерий замыкания траекторий и формулу для периода.

Эмха на каналовые цикл иды Дарбу.

некоммутативные аналоги больших

теорем Понселе и Эмха, которые, по всей видимости, не могут быть выведены с помощью инвариантной меры.

Список литературы

1. J.V.Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1865, (first ed. in 1822).

2. V.Dragovic and M.Radnovic, Poneelet porisms and beyond, Frontiers in Math., Springer-Birkhauser, Basel, 2011.

3. L.Flatto, Poneelet's theorem, AMS, Providence, EI, 2009.