Интервальная временная логика и грамматические времена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.07, кандидат философских наук Шапчиц, Павел Анатольевич

• Шапчиц, Павел Анатольевич
• кандидат философских наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат философских наук Шапчиц, Павел Анатольевич

Введение.

0,1. Роль временных логик. О некоторых недостатках невременных» логик.

0.2. Виды временных логик.

0.2.1. Первопорядковые временные логики. Метод временных аргументов.

0.2.2. Модальные временные логики.И

0.2.3. Овеществлённые временные логики.

0.3. Структура времени.

0.3.1. Точечные структуры времени. Потоки времени.

0.3.2. Ветвящееся время.

0.3.3. Циклическое время.

0.3.4. Интервальная структура времени.

1. Интервальная временная логика (interval temporal logic).

1.1. Дискуссия о семантическом примитиве: точки и интервалы.

1.1.1. Точки.

1.1.2. Интервалы.

1.2. Точечные интервальные временные логики.

1.2.1. Логика временных интервалов Дж.Хальперна и Й.Шохэма.

1.2.1.1. Семантические идеи Дж.Хальперна и Й.Шохэма.

1.2.1.2. Формальная семантика системы Хальперна и Шохэма.

1.3. Интервальная временная логика с интервалами в качестве примитивов.

1.3.1. Логика интервалов Чарльза Л. Хэмблина.

1.3.2. Концепция интервальной временной логики Дж.Ф. Аллена.

1.3.3. Представление временных точек в поздних работах Аллена.

1.3.4. Временные отношения и ограничения.

1.3.4.1. Отношения Ивина.

1.3.4.2. Отношения Брюса.

1.3.4.3. Новшество Аллена.

1.3.4.4. Алгоритм обновления сети интервальных ограничений.61 1.4. Комбинированные семантические подходы к построению интервальной временной логики.

2. Интервальная логика грамматических времён (interval tense logic).

2.1. О возможности логики грамматических времён. О роли глагольных предикатов и об их типологиях.

2.2. Буридан и фокусировка масштаба для момента настоящего.

2.3. Момент речи, момент события и точка референции.

2.4. Диспозиции.

2.5. Типология глагольных предикатов Вендлера и Кенни.

2.5.1. Типология Зено Вендлера.

2.5.2. Типология Энтони Кенни.

2.6. Схема Морелатоса.

3. Применения интервальных временных логик.

3.1. Грамматический взгляд на проблему разделяющего мгновения «

3.2. О выражении различных типов высказываний средствами динамической логики.

3.3. Точки и мгновения. Апории Зенона.

3.4. Интервальная временная логика и искусственный интеллект.ЛЗ

3.4.1. Теория действия Дж.Ф.Аллена.

3.4.1.1. Предыдущие решения, проблемы и требования, предъявляемые к теории действия.

3.4.1.2. Временная логика для теории действия.

3.4.1.3. Определение явлений.

3.4.1.4. Определений действий.

3.4.2. Теория планирования и интервальная временная логика.

3.4.2.1.К понятию плана у Дж.Ф. Аллена.

3.4.2.2.PERT, диаграммы Гантта. Их применение в бизнесе.

3.4.2.2.1. Представление и расчёт длительности процессов.

Метод PERT.

3.4.2.2.2. Диаграммы Гантта.

3.4.2.2.3. Применение диаграмм Гантта и сетей PERT к моделированию и анализу бизнес-процесса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интервальная временная логика и грамматические времена»

Современная логика развивается в направлении постепенного расширения своего предмета и включает в себя не формализуемые в рамках классической логики аспекты выражений языка. Так, релевантная логика пытается учесть интуиции, которые вкладываются в понятие содержательного логического следования и которые искажаются в классической логике; интенсиональная логика предоставляет средства для формального представления смысла выражений; временная логика преодолевает «запрет» на выражение изменений в положении дел и позволяет диахронически отражать некоторую реальность. Объектом изучения временной логики, таким образом, являются «овременённые» высказывания.

При постоянстве объекта изучения временной логики уверенно расширяется её предметная область, так как временной элемент высказываний может быть представлен по-разному и рассмотрен с различных сторон. Он может быть выражен грамматическим временем, датировкой, относительной отсылкой и т.д. - в соответствии со способом представления временной информации используются различные логические средства для формализации (напр., метрические/неметрические временные логики, модальные временные логики А- или В-оценок). Однако в любом случае - вне зависимости от названных различий - возникает вопрос о том, какая языковая сущность заменена пропозицональной переменной в таких системах: состояние, процесс или событие? Без ответа на вопрос о том, какие глагольные предикаты выражаются формулами временной логики, последняя рискует остаться узкотехнической и проясняющей лишь некоторые философские проблемы (например, т.н. аргумент Диодора Кроноса).

До начала 1970х годов в разработках в области временной логики имела место указанная ситуация. В качестве семантического примитива использовались преимущественно временные точки, а в рамках точечного подхода ответ на вопрос о типе языковой сущности, которая соответствует пропозициональной переменной, дать затруднительно. Выяснилось, что «точечные» семантики временных логик недостаточно чувствительны к смысловым различиям между глагольными предикатами, так как последние выражают информацию о положении дел не только в тот или иной момент времени, но и в том или ином временном интервале. В рамках данного диссертационного исследования мы предпримем попытку прояснить соотношение понятий «точка», «момент», «мгновение», «интервал» и с их помощью выразить основные типы глагольных предикатов.

Несмотря на свою грамматическую направленность, наше исследование является логико-философским, так как задача выражения типологии предикатов ставится не в пределах конкретного языка, а, наоборот, состоит в отыскании логического инварианта типологий глагольных предикатов, которые могут быть выработаны для отдельных естественных языков. Подобная разработка становится актуальной для любых систем перевода, не ограничивающихся калькированием грамматической формы одного языка в соответствующую форму другого, но ставящих перед собой цель содержательного, «понимающего» перевода, одной из многочисленных сторон которого является адекватная передача видо-временных оттенков глаголов и, шире, сказуемого.

Философская постановка вопроса о типологии глагольных предикатов позволяет выражать события, процессы и состояния вне явной связи с естественным языком. Такое многоликое и универсальное средство, как интервальная временная логика, может быть обогащено с целью представления многих специфических контекстов. Например, теория действия Джеймса Ф. Аллена, обсуждаемая в диссертации, выражается средствами алленовской интервальной временной логики, снабжённой предикатами, выражающими идею причинности и осознанного причинения.

0.1. Роль временных логик. О некоторых недостатках «невременных» логик

В течение первой половины XX века словосочетание «временная логика» многими логиками могло восприниматься как оксюморон: необходимым условием приведения высказывания к логической форме было изъятие параметра времени из рассмотрения. Последний либо присоединялся к предикату, либо становился одной из переменных наряду с другими.

Одним из вдохновителей такого подхода - в исторической перспективе -был Г.В. Лейбниц, дистанцировавшийся в своих исследованиях от грамматических аспектов времени, волновавших античных и средневековых логиков. Хотя он детально исследовал проблему времени (см., напр., его переписку с Кларком1), в его логических работах времени не было уделено достаточно места. Лейбниц хотел создать логику, приближенную к математике, а это заставляло его подходить к логике как к вневременной науке. Остром и Хасле2 объясняют такое пренебрежение временем ещё и философскими воззрениями Лейбница: полное понятие об индивидуальной субстанции, по Лейбницу, включает в себя всё, что можно сказать о ней относительно прошлого, настоящего и будущего. Поскольку, например, единичному понятию «апостол Пётр» присуще свойство «быть (там-то и тогда-то) отрекшимся от Христа», любое использование полных, совершенных понятий делает излишними всяческие отсылки ко времени. Мы можем сформулировать это иначе: логические сущности, по Лейбницу, претендуют на полноту описания, следовательно — на конкретность. Современная логика, наоборот, отказывается от презумпции всеведения и вынуждена иметь дело с односторонней или неполной информацией. Вопрос о том, насколько полна исходная информация, которой обладает потенциальный «пользователь» временной логики, является одним из гносеологически окрашенных вопросов при создании временной логики.

1 Лейбниц Г-В. Сочинения в четырех томах: Т. I.- М.: Мысль, 1982. С.430-568.

2 Ohrstrom P., Hasle P.F. V. Temporal Logic from Ancient Ideas to Artificial Intelligence. Kluvver Academic Publishers, 1995. P. 116.

Временная информация, с которой имеет дело логик, не всегда представлена в виде явно датированных высказываний. Очень часто информация о времени представлена набором высказываний, принадлежащих к А- и Вл рядам , или представлена нечётко или неполно, но, тем не менее, она требует обработки. Одной из целей современных логико-временных исследований является максимально возможное расширение типов приемлемой для анализа временной информации. Это ведёт к увеличению разнообразия и выразительной силы временно-логических систем.

До начала 1970х годов временная логика, возрождённая в работах А.Н. Прайора , с помощью базовых модальных операторов выражала высказывания, истинные на точках, либо - с помощью производных операторов - на лучах времени, направленных в прошлое или будущее. Но если мы не оперируем заведомыми абстракциями (например, понятием мгновенной скорости) и не решаем философские проблемы, то высказывания о любых состояниях, процессах и событиях будут получать своё истинностное значение только на ненулевых временных интервалах. Сугубо точечное представление информации о времени не позволяет дать выражениям прайоровской модальной временной логики однозначную физическую или лингвистическую интерпретацию.

Чарльз JI. Хэмблин 5 критикует идею деления физического (phenomenal) времени на мгновения6 (instants of time), т.е. на фрагменты, не имеющие частей. Он выдвигает два возражения против этой идеи. Во-первых, мгновения бессодержательны в том смысле, что для длительного опыта требуется много мгновения. Например, красная книга может позеленеть за полсекунды, но не может это сделать мгновенно, не-длительно, оставаясь

3 О рядах подробнее - см. работы ТакТаггарта, Прайора, Караваева (McTaggart J.E. The Unreality of Time // Mind: A Quarterly Review of Psychology and Philosophy 17 (1908): 456-473; Prior A.N. Papers on Time and Tense. Ed. by Per Hasle, Peter 0hrstrom, Torben Braiiner & Jack Copeland. Oxford: Clarendon, 2003; Караваев Э.Ф. Основания временной логики. Л., Изд-воЛГУ, 1983).

4 Например, «Прошедшее, Настоящее и Будущее» {Prior, A.N. Past, Present and Future. Oxford University Press, 1967).

5 Hamblin C.L. Instants and Intervals // J.T. Fraser, F.C. Haber and G.H. Muller (eds.). The Study of Time. New York: Springer-Verlag, 1972, pp. 324-331. Также в: Studium Generale 27, (1971), pp. 127-134.

6 В ходе работы мы покажем различие между понятиями «точка» и «мгновение», однако в данном, неформальном, контексте их можно отождествить. красной до и после этого мгновения. Иначе говоря, временной континуум богаче, чем нам это требуется для описания мира: он позволяет нам описывать физически невозможные положения вещей, например, такие, как «Моя книга должна быть красной во все рациональные моменты временной шкалы и зелёной - во все нерациональные»7. Во-вторых, если время состоит из мгновений, то мы не можем говорить о временных отношениях. К этому возражению примыкают возражения гештальтпсихологов: как возможно, воспринимая ноты, воспринимать их как единую мелодию? То есть требуется различение более ранних и более поздних событий некоторого интервала, хотя они могут восприниматься как одновременные. Кроме того, идея бесконечного разделения на мгновения несёт на себе отпечаток о геометризации времени. Сходные мысли высказывались и в работах Хоббса и Зиновьева9. В силу этих соображений проясняется вся важность понятия интервала для современной временной логики.

Лингвистами ставился вопрос о типах глагольных предикатов, которые могли выражаться прайоровской логикой: не всегда понятно, идёт ли в них речь о состояниях, процессах или событиях. Очевидно, что для выражения всего разнообразия глагольных предикатов потребовались бы развитые системы интервальных логик. В прайоровской логике для задания временных интервалов требуются довольно сложные «дополнительные построения», а такая существенная для предиката характеристика, как «результативность», вообще не может быть выражена прайоровской логикой. Современные интервальные логики предлагают обширный арсенал средств, делающих логику чувствительной к временно-аспектной характеристике глаголов (и -шире - группе сказуемого).

Поэтому интерес логиков к временной логике как разделу, изучающему одну из сторон форм мысли и представления информации, и к интервальной

7 Ibid., р. 325.

8 Hobbs J.R. Granularity // Ргос. of the 9th IJCAI, 1985: 432-435.

9 Зиновьев А.А. Основы логической теории научных знаний. М., 1967. временной логике, уточняющей физический и лингвистический смысл выражений временной логики, совершенно естествен.

В следующих параграфах «Введения», для того, чтобы погрузить интервальную временную логику в контекст других временных логик, мы дадим общий очерк существующих видов временной логики, а также опишем основные структуры времени.

0.2. Виды временных логик 0.2.1. Первопорядковые временные логики. Метод временных аргументов

Принято выделять 10 следующие три типа временных логик (BJI): первопорядковые BJI, модальные BJI и овеществлённые BJI. В естественнонаучных целях (например, в математических моделях физических процессов) времени часто не приписывается особой роли, и оно выражается лишь в качестве одной из переменных, наряду с пространственными координатами или иными переменными характеристиками объекта 11 . Поэтому первопорядковые BJI не всегда выделяются в особое направление во временной логике. Данный подход был первоначально введён в логику Расселом 12, а позднее длительное время использовался как средство представления временных отношений в базах данных13.

В литературе первопорядковая временная логика также иногда назвается методом временных аргументов (МВА). В своём обзоре 14 Луис Вила указывает, что данный термин впервые был введён Брайаном Хо: метод

10 См.: Vila L A survey on temporal reasoning in artificial intelligence // AI Communications, vol. 7, issue 1 (1994), pp. 4-28; Pam А К, Bhattachatjee G P Temporal representation and reasoning in Artificial intelligence: A Review // Mathematical and Computer Modelling 34 (2001): 55-80; Shoham Y Temporal logics in AI. semantical and ontological considerations // Artificial Intelligence 33 (1987) 89-104.

11 Haugh В A Non-standard semantics for the method of temporal arguments // Proc. of the 10th IJCAI, vol. 1 (1987), P.449-455.

12 Russell, В Principles of Mathematics. London: George & Unwin, 1903.

13 Aim I Towards an implementation of database management systems with temporal support // Proc. of International Conference on Data Engineering, IEEE Computer Society Press (1986), P.374-381.

14 Vila L A survey on temporal reasoning in artificial intelligence // AI Communications, vol. 7, issue 1 (1994), P 4-28. заключается в использовании в предикатах дополнительных аргументов для времени и не сводится к какой-либо определённой логике. Метод также допускает в качестве предикатов любые обычные свойства и отношения (например, «быть спящим» или «находиться между»), что предоставляет известную свободу действий для логика. Базовая логическая система для МВА может быть стандартной первопорядковой логикой, ограничением этой логики, логикой более высокого порядка или нестандартной логикой (напр., многозначной). Семантические примитивы могут быть как интервалами, так и точками; они могут быть упорядочены различным образом: плотно или дискретно, с ветвлением (в прошлое или в будущее) или без. В МВА может вводиться константа t0 для выражения настоящего времени. Иные альтернативные пути построения МВА представлены в статье Брайана Хо15. Если в МВА используются или определены такие временные предикаты, как длительность, начало, окончание события, он может быть весьма выразительным. В то же время недостатком* МВА считается то, что выразительной силы всё же недостаточно для выражения временных аспектов некоторых классов выражений16.

Помимо статьи Хо, метод временных аргументов обсуждается в работах МакКарти и Хэйса17, Баккуса, Тененберга и Кумена18.

0.2.2. Модальные временные логики

Связь времени с алетическими модальностями была замечена уже в античности стоиком Диодором Кроносом. Так называемый «аргумент Диодора», направленный, по-видимому, в поддержку детерминизма, представляет собой трилемму из трёх несовместимых высказываний: (1) Всякое высказывание о прошлом необходимо (истинно).

Haugh В A. Non-standard semantics for the method of temporal arguments, in: Proc. of the 10th IJCAI, vol. 1 (1987), P.451.

16 Vila L A survey on temporal reasoning in artificial intelligence // AI Communications, vol. 7, issue 1 (1994), P.6.

17 McCarthy J., Hayes P J Some philosophical problems from the standpoint of Artificial Intelligence // Machine Intelligence 4 (1969): 463-502.

18 Bacchus F., Tenenberg J., KoomenJA. A non-reified temporal logic // Artificial Intelligence 52 (1991): 87-108.

2) Невозможное высказывание не может следовать из (или за) возможным.

3) Существует возможное высказывание, которое не будет истинным ни сейчас, ни в будущем.

В обобщающей работе Острома и Хасле 19 приводятся и обсуждаются возможные реконструкции и решения данного аргумента. Одним из ключевых вопросов является трактовка возможного и необходимого. В основе формализации временной логики средствами семантики возможных миров лежит понимание возможного как «того, что есть или будет», а необходимого — как «того, что есть и будет всегда».

Простейшей модальной BJI является пропозициональная модальная логика К4 20. Он получается рекурсивным добавлением слабой модальности (О, «ромб») к формулам классической логики высказываний: если а и /? — формулы, то <~а, аЛ/З и Оа — тоже формулы. Формулы получают означивание на временных точках teT в структурах l=(T,<,h), где (Г,<) — транзитивный антирефлексивный поток времени (о потоках времени см. раздел З.1.), a h : L —> р(Т) — отображение из множества высказываний L в множество подмножеств Т. Запись %t\= а означает, что а истинно в точке t структуры 77 Тогда можно рекурсивно определить:

1',t\=p т.и.т.т., когда teh(p), t <~а т.и.т.т., когда %t ¥ а,

T,t 1= аЛ/З т. и т.т., когда %t N а и %t N Д t И Оа т. и т.т., когда существует s£ Т такая, что t<s и %s\= а. В соответствии с определением, 0а читается как «когда-то будет так, что а».

19 Ohrstrom P., Hasle РF.V. Temporal Logic from Ancient Ideas to Artificial Intelligence. Kluwer Academic Publishers, 1995. pp. 15-32.

20 Изложим no: Hodkinson I., Reynolds M. Temporal Logic // Handbook of Modal Logic - P. Blackburn et al. (eds.), 2007, P. 655-720.

Темпоральная» трактовка отношения достижимости на возможных мирах Крипке естественна и продуктивна. Так, в семантике возможных миров можно выразить и «прайоровские» временные модальности21. В отличие от К4, «слабый» временной оператор, называемый также связкой {connective), будет использован не только для выражения будущего, но и для выражения прошлого:

7It \= Fa т. и т.т., когда существует SET такая, что t<s vl%s\= а, t N Ра т. и т.т., когда существует sE Т такая, что s<t и %s N а.

Если отношение предшествования временных точек определить рефлексивно, то операторам F и Р, определённым на антирефлексивном потоке времени, следует сопоставить их рефлексивные пары: t 1= F4a т. и т.т., когда существует sEТтакая, что и %s И а, %tN Р<а т. и т.т., когда существует sEТтакая, что и T,s N а.

Понятно, что если %t \= а, то %t N F^a и T,t\= Р^а, так как t^t.

В качестве сокращений для выражений ^Р^а и ^F^a А.Н. Прайор вводит «сильные» модальности На и Ga («всегда было так, что а» и «всегда будет так, что а»). Данные операторы позволяют моделировать не только мгновенные события, но и длительные процессы или состояния. Поскольку их можно трактовать как кванторы всеобщности над множествами точек в прошлом и будущем, для того, чтобы получить определения операторов Н и

G (и их рефлексивных «двойников» Н^ и достаточно заменить в приведённых выше определениях утверждение о существовании на утверждение о всеобщности.

Помимо операторов P,F,H,G, в зависимости от свойств потока времени в систему могут вводиться и другие операторы, например, оператор

21 Prior А.N. Past, Present and Future. Oxford University Press, 1967; Караваев Э.Ф. Основания временной логики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. следующего момента. В статье 22 Джон Бёрждесс, следуя идеям неопубликованной диссертации ^Санса Кэмпа, формулирует систему аксиом для временной логики с использованием операторов 'since' («с тех пор, как») и 'until' («до тех пор, как»). В работе Ходкинсона описывается способ задания произвольных временных операторов посредством первопорядковых таблиц.

Модальными логиками являются и некоторые интервальные логики. Если в точечных временных логиках ключевым является понятие «настоящего момента», то интервальные модальные логики основываются на идее «данного интервала». Интервальная логика Хальперна-Шохэма излагается ниже, в разделе 1.1.2.2. В отличие от МВА, внедрение модальных BJI затруднялось сложностью доказательства теорем 24 . Работы по усовершенствованию техники доказательства отдельно посвящались модальным логикам25.

0.2.3. Овеществлённые временные логики

Третьим типом BJI являются овеществлённые BJI, широко г\/Г распространившиеся в 80-90е годы (они описаны в работе Ма и

Найта ).

Идея данного подхода заключается в «овеществлении» овременённых высказываний (т.е. в придании им статуса объектов и, соответственно, в обозначении таких высказываний с помощью имён для индивидных констант). Эти высказывания подставляются в качестве аргументов в определённые предикаты, выражающие утверждения о том, что данное высказывание имеет место в определённое время или в определённом временном интервале. Примерами овеществлённых BJI являются

22 Burgess J Р Axioms for Tense Logic I. "Since" and "Until" //Notre Dame Journal of Formal Logic, Volume 23, Number 4, October 1982, pp. 367-374.

23 llodkinson /., Reynolds M. Temporal Logic // Handbook of Modal Logic - P. Blackburn et al. (eds.), 2007, p. 672.

24 Ffaugh В A. Non-standard semantics for the method of temporal arguments //Proc. of the 10й1 IJCAI, vol. 1 (1987). P. 450.

25 Fisher M. A resolution method for temporal logics // Proc. IJCAI-91 (1991): 99-104; Gabbay D. Modal and temporal logic programming // A.Galton, ed., Temporal Logics and their Applications, Academic Press. P.197-236.

26 Ma J., Knight B. Representing the Dividing Instant // The Computer Journal, Vol. 46, No. 2, 2003. P. 213-222. ситуационное исчисление27, логика МакДермотта28, интервальная логика Аллена , исчисление событий (Ковальский и Серго , Шанахан ), управление «картами времени»32, логика Шохэма33.

0.2.3.1. Привлекательность данного подхода в значительной степени объясняется возможностью именовать действия, события, свойства и состояния, оставаясь при этом в пределах логики первого порядка. Это невозможно в рамках метода временных аргументов или в рамках модальной BJI. Введение переменных для действий, событий и т.д. позволяет квантифицировать их, а стало быть, выражать такие высказывания как «Всякий раз после дождя Анна открывала окно» или «Следствия всегда следуют за причинами»34.

Вместо того, чтобы вводить сложные многоаргументные предикаты (например, оп(А,В,1) -— «Предмет А находится на предмете В на протяжении интервала /»), в статье «К общей теории действия и времени» Дж.Ф. Аллен предлагает разделить временную и пропозициональную информацию, выражая ту же мысль формулой HOLDS(on(A,B,),J)35.

Однако главное преимущество такого подхода в другом: он позволяет вводить различные предикаты для истинности на интервалах. Аллен вводит три таких типа без определений, с помощью наборов соответствующих аксиом (мы представляем здесь только три главные «аксиомы-определения»): HOLDSip, T)<r>(Vt(IN(t, T)—>HOLDS(p,T)));

OCCUR(e,t)&IN(t ',f)->~OCCUR(e,t');

27 McCarthy J., Hayes P.J. Some philosophical problems from the standpoint of Artificial Intelligence // Machine Intelligence 4 (1969): 463-502; Pirri F., Reiter R. Some contributions to the metatheory of the Situation Calculus // Journal of the ACM, 46(3) (1999):325-361; Shanahan M.P. Explanation in the Situation Calculus // Proceedings IJCAI-93 (1993): 160-165.

28 McDermott D. A temporal logic for reasoning about processes and plans. // RR 196, Computer Science Department, Yale University, New Haven, CT, 1981. Также в: Cognitive Sci. 6(2), 1982.

29 Allen, J.F. Towards a general theory of action and time // AI23 (2), July 1984, pp. 123-154.

30 Kowalski R., Sergot M. A logic-based calculus of events // New Generation Computing 4 (1986): 67-95. Также в: The Language of Time: A Reader, ed. by I. Mani, J. Pustejovsky (2005): 217-240.

31 Shanahan M.P. A Circumscriptive Calculus of Events // Artificial Intelligence 77 (1995): 249-284.

32 Dean Т., McDermott D. V. Temporal data base management // Artificial Intelligence 36 (1987): 375-399.

33 Shoham Y. Temporal logics in AI: semantical and ontological considerations // Artificial Intelligence 33 (1987), P. 89-104.

34 Bacchus F., Tenenbcrg J., Koomen J.A. A non-reified temporal logic // Artificial Intelligence 52 (1991). — P. 87-108.

35 Allen, J.F. Towards a general theory of action and time//AI 23 (2), July 1984, pp. 123-154.

OCCURRING(p, t)—>3t '(IN(t ',t)&OCCURRING(p,t')).

Предикат HOLDS выражает истинность состояния, OCCUR — события, OCCURRING — процесса на некотором интервале, IN - это отношение подинтервальности. Аксиома для HOLDS постулирует гомогенность состояний: некоторое высказывание р о состоянии истинно на интервале Т т. и т.т., когда на всяком подинтервале t данного интервала Т также истинно высказывание р. Аксиома для OCCUR указывает на то, что если событие е произошло на интервале t, то этот интервал является наименьшим, на котором могло произойти событие е, иначе говоря, у данного интервала t нет такого подинтервала t', на котором истинно е. Аксиома для OCCURRING представляет собой ослабленную «прямую» часть аксиомы для HOLDS: истинность процесса р на интервале t гарантирует нам истинность того же процесса р на некотором его подинтервале t' (а возможно, и на всех). Алленовское представление свойств, событий и процессов критиковалось с разных позиций, стимулируя дальнейшие исследования. Андрэ Трюдель, указывая на расплывчатость представления процессов у Аллена, предлагает оригинальный формализм с использованием интегралов для уточнения понятия процесса (им предлагается восемь трактовок данного понятия) .

0.2.3.2. Для нужд искусственного интеллекта (представления действий и изменений) было разработано ситуационное исчисление^ . Ситуация 5 — это полное состояние мира в момент времени; поскольку мир слишком велик для того, чтобы его полностью описать, моделирование мира заключается в указании на существенные факты, в том числе — и гипотетические, которые имеют отношение к ситуациям. В ситуационном исчислении осмысленная (частичная) информация о ситуациях передаётся с помощью флюент (от англ. fluent - переменная величина, функция). Флюента - это функция, областью значения которой является множество ситуаций Sit. Маккарти и

36 TrudelA Representing Allen's properties, events and processes // Applied Intelligence 6 (1996): 59-65.

37 McCarthy J, Hayes P J Some philosophical problems from the standpoint of Artificial Intelligence // Machine Intelligence 4 (1969): 463-502. Подробное описание ситуационного исчисления на русском языке можно найти в главах 7-9 работы: ДевятковВ В Системы искусственного интеллекта. М., 2001.

Хэйс различают пропозициональные флюенты (их область значений - это {И,Л}) и ситуационные флюенты (их область значений - множество ситуаций Sit). В основном, пропозициональные флюенты — это значения функций. Например, raining{x) — это пропозициональная флюента такая, что raining(x,s) — функция, принимающая значение «истина», если в месте х в ситуации s идёт дождь, и «ложь» — в противоположном случае. Воздействие события на ситуацию описывается посредством ситуационной флюенты result(p,a,s): её значение — это ситуация, которая является результатом выполнения агентом р действия а в ситуации s. В последующих версиях ситуационного исчисления информация об агенте стала включаться в информацию о выполняемом действии 38 . Время представлено особой флюентой time{s), ассоциирующей некоторое время с ситуацией s (приписывание времени ситуации может оказаться необходимым в том случае, если потребуется смоделировать результаты альтернативных цепочек событий). Ма и Найт указывают, что ситуационное исчисление МакКарти и Хэйса использует метод временных аргументов39; это так, но с той оговоркой, что овременёнными являются не высказывания, а ситуации. С помощью своего языка Маккарти и Хэйс выражают операторы, используемые Прайором, и показывают, что ситуационное исчисление богаче, чем любая из рассматриваемых Прайором временных логик40.

0.2.3.3. Исчисление событий было введено Ковальским и Серго для

А1 представления событий и их последствий и рассуждений о них . Авторы использовали термин «исчисление событий», чтобы указать на связь с ситуационным исчислением Маккарти и Хэйса. Главное различие состоит в том, что ситуационное исчисление имеет дело с «глобальными» положениями дел, а исчисление событий — с «локальными» событиями и

38 Cliittaro L, Montanari A. Temporal representation and reasoning in Artificial Intelligence: Issues and Approaches // Ann. Math. Artif. Intell. 28 (1-4): 47-106 (2000).

39 Ma J., Knight В Reified temporal logics - an overview // Artificial Intelligence Review 15 (2001), p. 190.

40 McCarthy J., Hayes P J. Some philosophical problems from the standpoint of Artificial Intelligence // Machine Intelligence 4 (1969): 463-502.

41 Kowalski R., Sergot M A logic-based calculus of events //New Generation Computing 4 (1986): 67-95. Также в: The Language of Time: A Reader, ed. by I. Mani, J. Pustejovsky (2005): 217-240. периодами времени . (Эммон Бах ввёл схожий термин «алгебра событий» в своей одноимённой статье 43, посвященной формальному^ представлению событий, процессов и состояний). Как и исчисление высказываний, ситуационное исчисление может быть формализовано с помощью хорновских предложений (клауз), обогащенных немонотонным правилом вывода отрицания (не-/?) из невозможности выводар 44.

Базовами понятиями модели времени в исчислении событий являются событие и свойство. Свойства — это флюенты, которые имеют место на протяжении периодов времени, ограниченных событиями. Предикат initiates(e,p) используется для указания на то, что событие е вызывает появление свойства р.

Аксиоматизация исчисления событий для классической логики предложена в книге Мюррея Шанахана «Разрешение проблемы фраймов»45 и обобщена в статье «Исчисление событий в классической логике - альтернативные аксиоматизации»46.

0.2.3.4. Овеществлённые логики критикуются с онтологических позиций: общим недостатком овеществлённых формализмов является необходимость введения «сортов» для термов, так как следует различать термы, обозначающие реальные объекты, и термы, обозначающие высказывания47. Энтони Гальтон называет овеществлённые логики «философски о подозрительными и технически избыточными» , поскольку они оправдывают введение в временных типов в онтологию. В своей работе Гальтон предлагает процедуру превращения овеществлённых теорий в неовеществлённые. Часть потерянной выразительной силы может быть возвращена в рамках первопорядковой схемы посредством замены

42 Ibid., p. 217.

43 Bach E. The algebra of events // Linguistics and Philosophy 9 (1986): 5-16.

44 Kowalsky R. Logic for Problem Solving. New York: North-Holland/Elsevier, 1979.

45 Shanahan \f.P. Solving the Frame Problem, MIT Press, 1997.

46 Miller R., Shanahan Af. The event calculus in classical logic - alternative axiomatisations // Linkoeping Electronic Articles in Computer and Information Science 4(16), 1999.

47 Chittaro L., Montanari A. Temporal representation and reasoning in Artificial Intelligence: Issues and Approaches // Ann. Math. Artif. Intell. 28 (1-4): 47-106 (2000)

48 Gallon A. Reified temporal theories and how to unreify them // Proc. of the 12th IJCAI (1991). P.l 177. овеществлённых типов овеществлёнными знаками (tokens) для событий и состояний. Если типы являются универсальными понятиями, то знаки лишь указывают на длительность событий или состояний. Подход Гальтона развивается Вила и Рейхгельтом49.

Недостатком овеществлённых логик Аллена50 и МакДермотта51 считается отсутствие специальной формальной семантики, описывающей временные свойства соответствующих первопорядковых логик52. К числу недостатков этих овеществлённых BJI относят и невозможность получения результатов по непротиворечивости и полноте для временного аспекта этих логик53. Непротиворечивость и полнота доказываются только в общем, первопорядковом, смысле, и это не гарантирует недоказуемости интуитивно неприемлемых временных формул, а равно и доказуемости всех интуитивно приемлемых.

В некоторых случаях, например, овеществлённой логики Шохэма, выразительная сила новой системы не превышает выразительную силу значительно более простого и метода временных аргументов, например, Баккуса54 . В тех же случаях, когда преимущество в выразительности очевидно, овеществлённые логики могут оказаться чересчур сложными55.

49 Vila L., Reichgelt Н. The Token Reification Approach to Temporal Reasoning // Artificial Intelligence 83(1) (1996): 59-74.

50 Allen J.F Maintaining Knowledge about Temporal Intervals // Communications of the ACM, November 1983, Volume 26, Number 11, pp. 832-843; Allen J.F. Towards a general theory of action and time //AI 23 (2), July 1984, pp. 123-154.

51 McDermott D. A temporal logic for reasoning about processes and plans. // RR 196, Computer Science Department, Yale University, New Haven, CT, 1981. Также в: Cognitive Sci. 6(2), 1982.

52 Fisher M, Gabbay D.M., Vila L , eds. Handbook of Temporal Reasoning in Artificial Intelligence I (2005) Elsevier. P. 175; Haugh B.A. Non-standard semantics for the method of temporal arguments // Proc. of the 10th IJCAI, vol. 1 (1987). P. 449.

53 Ibid.

54 Bacchus F„ Tenenberg J., Koomen J.A. A non-reified temporal logic // Artificial Intelligence 52 (1991): 87-108.

55 Fisher Af., Gabbay D.M., Vila L, eds. Handbook of Temporal Reasoning in Artificial Intelligence I (2005) Elsevier.

0.3. Структура времени56 0.3.1. Точечные структуры времени. Потоки времени57

Рассмотрим основные понятия и разновидности структур времени (для простоты - применительно к временной логике высказываний). В качестве семантического примитива мы возьмём точку. Интервальные структуры времени представлены в разделе 0.3.4.

Временная модель, или временная структура, состоит из трёх частей: множества временных точек; отношения порядка, структурирующего множество этих временных точек; означивания, приписывающего каждому высказыванию множество временных точек, на которых оно истинно. Первые два элемента часто называются потоком времени, а все три — временной структурой.

Потоком времени называется пара (Т,<), где Т- это непустое множество, а < - антирефлексивное и транзитивное бинарное отношение на Т. Т представляет собой множество временных точек, а < — это отношение «раныпе»/«позже», заданное на Т.

Временная структура - это тройка (T,<,h), где (Г,<) - поток времени, a h: L —»• р (Т) - отображение из множества высказываний L в множество подмножеств Г. При этом высказывание р истинно во время t&T, если t&h(p), и ложно во время геГ, если t^h(p). Временная структура может быть рассмотрена как структура Крипке (возможным миром будет временная точка, а отношением достижимости - отношение «раныпе»/«позже». В зависимости от характера элементов множества Т и свойств заданного на них отношения выделяются различные классы потоков времени. Поток времени (Т,<) называется линейным, если для любых двух временных точек истинно, что одна предшествует другой. Т.о., (Г,<) N \/x,y(x=yVx<y\/y<x).

56 Общие проблемы построения временной структуры рассмотрены в статье: Караваев ЭФ. К вопросу о построении временной структуры // Вестник СПбГУ. Сер. 6, 1992, вып. 4(№27), сс. 20-22.

57 Будем придерживаться изложения Ходкинсона и Рейнолдса (Hodkinson /., Reynolds М Temporal Logic // Handbook of Modal Logic - P. Blackburn et al. (eds.), 2007, pp. 656-668).

Линейные потоки времени могут обладать рядом дополнительных свойств: дискретности, непрерывности, полноты по Дедекинду и т.д. Кроме того, множество временных точек Т может быть принято изоморфным множеству натуральных, целых, рациональных или действительных чисел. На всех этих множествах может быть задано отношение строгого порядка.

Выделяются и нелинейные потоки времени. Поток времени (Г,<) называется деревом, если для каждого t&T множество {и&Т: u<t} линейно упорядочивается отношением <. Ветвью дерева (Г,<) называется максимальное линейно упорядоченное подмножество Т. В дереве прошлое любой временной точки линейно; однако будущее может быть и нелинейным, так как через любую временную точку могут проходить несколько ветвей.

0.3.2. Ветвящееся время

Термин «ветвящееся время» часто используется для транзитивных и антирефлексивных, но не обязательно линейных потоков времени. Свойство линейности потока времени гарантирует сравнимость всех его временных точек, а шире - временных элементов, на которых задано это отношение. Отрицание линейности, возможно, при условии добавления других свойств, позволяет моделировать такие свойства времени, как параллельность историй или даже временные «петли».

Весьма распространённой является узкая и философски обоснованная трактовка термина «ветвящееся время». Она подразумевает ветвление времени в направлении будущего и сохранение линейности в прошлом (будущее «открыто», и может предоставлять различные варианты развития событий; прошлое же уже зафиксировано). Эта философская мотивация иногда выражается в том, что ветви потоков времени называются историями58, (а также цепями59, хрониками60 и путями (paths)).

58 Bennett В, Galton А.Р. A unifying semantics for time and events // Artificial Intelligence 153 (2004) 13-48; Sabbadin M, Zanardo A Topological aspects of branching-time semantics // Studia Logica 75 (2003): 271-286.

59 Bruce, В A model for temporal references and its application in a question answering program // Artificial Intelligence 3 (1972), 1-25.

Артур Прайор в работе «Прошедшее, настоящее и будущее» 61 рассматривает семантику, позволяющую эффективно рассуждать о будущих случайных событиях и потому названную Прайором оккамистской. Особенность этой семантики заключается в том, что высказывания получают своё истинностное значение не на точках, а на парах (t,fi), где t - временная точка, a h - история, которая содержит точку t. Временные операторы для будущего и для прошедшего интерпретируются как линейные временные операторы на рассматриваемой истории.

На языковом уровне идея временного ветвления может быть выражена посредством оператора возможности, который читается как «(высказывание истинно) в некоторой истории, проходящей через рассматриваемый момент» . Эта идея выражается в предложенном Прайором разделении на локальное и нелокальное означивание. Допустим, (Г,<) - дерево. Тогда отображение h: L —> р (Т) называется локальным означиванием, а отображение h: L —> р {(b,x)\xeb£B(T,<)} называется нелокальным означиванием.

В упомянутой работе Занардо такие означивания обсуждаются с точки зрения наличия или отсутствия некоего «намёка на будущее»: должна ли истинность высказывания в некий данный момент зависеть от того, какой из возможных будущих сценариев наступает? Структуры с нелокальным означиванием позволяют высказываниям сохранять «связь» с будущим. Отметим, что данное различение в способе означивания может оказаться полезным и при исследовании логических свойств предикатов в продолженном времени английского глагола: высказывание 'Не is winning the race' («Он выигрывает гонку») получает своё истинностное значение только нелокально.

60 \fcDermott D A temporal logic for reasoning about processes and plans. // RR 196, Computer Science Department, Yale University, New Haven, CT, 1981. Также в: Cognitive Sci. 6(2), 1982

61 Prior, A N Past, Present and Future. Oxford University Press, 1967. >

62 Zanardo, A Branching-time logics with quantification over branches: the point of view of modal logic // The Journal of Symbolic Logic, vol. 61, No. 1 (Mar. 1996). P. 1.

Вариантом семантики для неопределённости в будущем является семантика деревьев со связкой. В ней оператор возможности пробегает не по множеству всех историй, а по ограниченному их подмножеству (связке). Множество В ветвей дерева (Г,<) называется связкой (bundle) на (Г,<), если и только если для всех хЕТ имеется ветвь ЬеВ такая, что x£b. Если В - связка на дереве

Г,<), то (Т,<,В) называется деревом со связкой (или фреймом) и, если h -означивание, то (T,<,B,h) - это структура со связкой. Если в связку входят все ветви дерева (Г,<), то такая связка называется полной63.

На деревьях со связкой также могут быть определены разнообразные логики (они будут перечислены чуть ниже). Введение ветвления позволяет разграничивать два способа означивания высказываний в рамках некоторой временной структуры: на временных точках, принадлежащих некоторой ветви, и просто на временных точках. Понятно, что одна и та же временная точка, расположенная на разных ветвях, соответствует разным возможным мирам, а стало быть, в ней могут быть истинны или ложны различные высказывания. Поэтому для означивания необходима информация о ветви, которой принадлежит точка. В случае же последнего (независимого от ветви) способа означивания в рамках ветвящейся временной структуры удобно использовать введённое понятие связки.

В работе Саббадин и Занардо64 свойства деревьев и деревьев со связками выражены в терминах топологии. Множеству историй древесной структуры (Г,<,/г), трактуемых как максимальные линейно упорядоченные множества, сопоставлена топологическая структура. Доказано, что введённое в новое понятие топологической истинности для оккамовских временных формул эквивалентно понятию истинности на деревьях со связками.

63 Hodkinson I, Reynolds М Temporal Logic // Handbook of Modal Logic — P. Blackburn et al. (eds.), 2007, p.663.

64 Sabbadin M, Zanardo A Topological aspects of branching-time semantics // Studia Logica 75 (2003): 271-286.

Хансом Кэмпом была предложена двухмерная структура для временных ветвей65. Фрейм Кэмпа - это тройка (К,<,=), где К - множество точек, < союз линейных порядков на К, = - отношение эквивалентности точек, принадлежащих общим отрезкам различных историй.

В статье «Логика и время»66 Джоном Бёрджессом разработана семантика для выражения философского индетерминизма. Индетерминисты признают одно прошлое и много равновероятных будущих времён, время подобно борхесовскому «саду ветвящихся тропинок». Так называемые «оккамисты» утверждают, что если высказывание р связано со случайностью в будущем, то Fp («будет так, что р») уже является истинным или ложным, однако мы не можем знать, по какому из возможных сценариев пойдёт актуальное будущее. Необходимость будущего события понимается как его неотвратимость, то есть независимость истинности высказывания об этом событии от сценария будущего.

Время традиционно отображается в виде дерева. Дерево - это антирефлексивный и транзитивный фрейм 3£ = (X,R) такой, что предшественники любого из элементов линейно упорядочены. Для хеХ хветвь - это максимальная цепь (линейно упорядоченное подмножество) в {у: xRy}. Для х-ветви В и у ЕВ ограничение Ву - это ^-ветвь {zEB: yRz}, а для yRx расширение Ву - это jy-ветвь BU {х} U{z: yRz & zRx}. ВСХ- ветвь, если она хветвь для некоторого х; этот уникальный х может быть обозначен хв. Допустим, х представляет собой настоящий момент. Тогда множество х-ветвей - это множество возможных «будущих». Истинность высказывания о будущем зависит от того, какую из х-ветвей мы считаем реализуемой в будущем.

65 Она описывается в: Thomason R. Combinations of tense and modality // D.M. Gabbay and F. Guenthner, eds., Handbook of Philosophical Logic, vol.11: Extensions of Classical Logic, pp. 135-165. Reidel, Dordrecht, 1984; Reynolds M Axioms for branching time // Journal for Logic and Computation 12 (2002): 679-697.

66 Burgess JP Logic and time И Journal of Symbolic Logic 44 (1979): 566-582.

Означивание атомарных высказываний аналогично приведённому выше, для сложных высказываний оно индуктивно расширено в соответствии с

СП семантикой логических союзов . Формула а выполнима, если V(a)^0 в некотором означивании V. Введённое выше понятие связки используется Бёрждессом для определения отношения понятия строгого выполнения.

Формула а является псевдовыполнгшой, если она выполнима на некоторой связке С. Формула а. сильно выполнима, если её отрицание не является по меньшей мере псевдовыполнимым. Для множества сильно выполнимых формул можно доказать разрешимость. Рекурсивная разрешимость индетерминистской («пирсовой») временной логики доказана Бёрджессом в

ГО статье «Разрешимость для ветвящегося времени» . Вопрос о конечной аксиоматизируемости теории оставлен открытым 69 (она рекурсивно аксиоматизируема). Обсуждение работы Бёрджесса и проблем индетерминизма с языковой точки зрения имеется в диссертации Вернера70.

0.3.3. Циклическое время

Некоторые авторы указывают на невозможность логического примирения идей цикла и порядка71. Однако нетрудно придумать модель времени, в которой бы сосуществовали эти две идеи: на такую возможность указывает существование календаря, где дни недели чередуются бесконечно и циклически, но сами недели могут быть упорядочены. Повседневно используемая нами система времени может быть геометрически ассоциирована с несколько раз свёрнутой в спираль нитью (первый «уровень» свёртывания обозначает секунды, второй - минуты - и т.д.). Формально такая временная метрика может быть представлена в виде

67 Ibid., р. 575.

68 Burgess J.P Decidability for branching time // Studia Logica 39 (1980): 203-218.

69 Burgess J P. Logic and time // Journal of Symbolic Logic 44 (1979). P. 576.

70 Werner ТА. Deducing the future and distinguishing the past: temporal interpretation in modal sentences in English. PhD diss. New Brunswick, New Jersey, May 2003.

71 Анисов AM Свойства времени // Логические исследования 8 (2001), с. 7. упорядоченных п-ок временных аргументов, где п — количество уровней (или разрядов) времени. Циклический характер метрики будет проявляться в том, что за последним элементом области определения любого аргумента, кроме последнего, будет следовать первый элемент данного аргумента. В такой метрике количество значений каждого аргумента, за исключением последнего, будет конечным (например, 60 секунд, 60 минут, но бесконечное количество лет), а особое правило позволит переводить «-аргументную метрику в одноаргументную и обратно.

В рамках одноаргументной метрики циклическая временная логика будет неадекватной, поскольку в ней будут равно истинны несовместимые утверждения о соотношении временных точек. Каждая временная точка а окажется и до, и после некоторой другой точки Ь. Любая точка а окажется после любой точки Ъ (допустим, а раньше b внутри цикла; тогда а после или совпадает с первой точкой цикла, но она после последней точки цикла, а значит, и после b). Как видим, одной из причин тривиальности такой временной теории явилось использование принципа транзитивности. Некоторые пути преодоления тривиальности циклической логики описаны

Прайором72. В работе Хантингтона73 представлена модель времени (Т,ф), где

Т - множество временных точек, а ф - тернарное отношение «находиться между», у находится между х и z тогда и только тогда, когда при движении по временной оси от х к у мы не встречаем z. Понятно, что вышеописанное парадоксальное рассуждение невозможно при замене бинарного отношения «раньше» тернарным «между». Этот подход и другие варианты представления отношения «между» и отношения сравнимости обсуждаются и в современных статьях74.

72 Prior А.N Past, Present and Future. Oxford University Press, 1967. P. 59-76.

73 Huntington EVA new set of postulates for betweenness, with proof of complete independence // Transactions of American Mathematical Society 26 (1924): 257-282

74 Duntsh I, Urquhart A. Betweenness and comparability obtained from binary relations // Lecture Notes in Computer Science, vol. 4136 (2006): 148-161.

Вариант без введения тернарного отношения предложен Рейнолдсом75. Бинарное отношение < предлагается рассматривать как нетранзитивное, а у<х означает: «у имеет место несколько позже х, но не позже, чем на полукруга циклического времени». Благодаря замене свойства абсолютной транзитивности свойством транзитивности в будущем и транзитивности в прошлом, логика циклического времени становится содержательно осмысленной. Свойства антирефлексивного, антисимметричного и нетранзитивного бинарного отношения < задаются Рейнолдсом следующим образом: линейный порядок: \/л:у[(л;<у)V{х=у)V(у<х)\ антисимметричность: \/ху->[(х<у)Л(у<х)] транзитивность в будущем: \fxyzu[({x<y)A{x<z)A(x<u)A(y<z)A{z<ii))^(y<u)\ транзитивность в прошлом: yxyzu[((y<x)A(z<x)A(u<x)A(z<y)A(z<u))—>(y<u)] нетранзитивность: 3xyz[(x<y) A(y<z) A(z<x)]

Отметим также, что особый интерес представляет циклическая временная логика, в которой циклически повторяются не временные точки или возможные миры, а лишь отдельные события или процессы. Данное направление развивается преимущественно в рамках теории действия.

0.3.4. Интервальная структура времени

Об описанных выше линейных структурах можно рассуждать, приписывая высказываниям истинностные значения не только на точках, но и на временных интервалах. Однако существует немало случаев, в которых для адекватного представления высказывания требуется исключительно интервальное означивание. Временно-логические системы, в которых представлены интервалы, можно условно разделить на три типа в

75 Reynolds М. Axiomatisation and decidability of F and P in cyclical time // Journal of Philosophical Logic 23 (1994): 197-224. nr. зависимости от синтаксического примитива: на точечно-ориентированные , чисто интервальные77 и смешанные78.

Помимо этих альтернатив, при создании временной структуры потребуется осуществить выбор по стандартным параметрам: линейность или ветвление; дискретность или плотность; ограниченность или бесконечность. Наконец, интервальный характер логики требует ответа на следующие вопросы79: (1) должны ли интервалы включать конечные точки (т.к. быть закрытыми или открытыми)? (2) возможны ли неограниченные интервалы? (3) допустимы ли точечные интервалы? (4) каково отношение точек и интервалов (если мы допускаем такие объекты, как точки, в нашей интервальной системе)?

Традиционная «заготовка» для точечно-ориентированной интервальной системы представлена в указанной работе Горанко, Монтанари, Скьявиччо.

Зададим строгое частично упорядоченное множество Ш)=<Д<>. Тогда интервалом в В будет пара |d0,d{\ такая, что <d0,di>G3 и d0<di (отношение d0<dj определим как do<dIydo=di). [d0,di] называется строгим интервалом, если do<di. Интервалы вида \d,d\ называются точечными интервалами. Точка d принадлежит интервалу [d0,d;], если d0<d<dj (т.к. конечные точки интервала включены в него).

В теоретико-множественном смысле множество временных точек D выступает как поле отношения "интервальности". Это отношение объемно соответствует множеству упорядоченных пар временных точек ©. Выделим

76 Halpern, J. Y„ Shoham, Y. A Propositional Modal Logic of Time Intervals // Journal of the ACM 38:4, Oct. 1991, pp. 935-962; Bruce, B. A model for temporal references and its application in a question answering program // Artificial Intelligence 3 (1972), 1-25.

11 Allen, JF. Maintaining Knowledge about Temporal Intervals // Communications of the ACM, November 1983, Volume 26, Number 11, pp. 832-843; Benthem, J. van. The Logic of Time. Reidel, 1982.

78 Ma, J. and Hayes, P Primitive Intervals versus Point-Based Intervals: Rivals or Allies? // The Computer Journal, vol. 49, No. 1,2006, pp. 32-41.

79 Goranko, V., Montanari, A., Sciavicco, G. A Road Map on Interval Temporal Logics and Duration Calculi // Journal of Applied Non-Classical Logics, v. 14, No 1-2, 2004, p. 13. свойства бинарного отношения «интервальности». Как для строгих, так и для нестрогих интервалов справедливы свойства (1) рефлексивности (все упорядоченные пары временных точек вида \d,d\ являются временными интервалами); (2) транзитивности (из <dk,dm>sD и <dm,d,><= D следует <dk,d,>eD); (3) антисимметричности (для любых <4, dm из <dk,dm>eD и <dm,dk>eD следует dk=dm). Свойство симметричности, т.о., справедливо только для точечных интервалов. Как было указано выше, отношения частичного порядка должны обладать свойством линейности интервалов (т.е. линейного упорядочения множества точек в интервалах). Запишем это свойство так:

Vx Vy Vz ] \fz2(x<z I <y/\X<Z2 <У—1 <Z2AZ i=Z2\ZZ2<Z/)).

Интервалы могут приниматься и в качестве объектов-примитивов. Дж.Ф. Аллен выделяет 13 базовых отношений на множестве ненулевых интервалов80. Поскольку его задачи по преимуществу лежали в области искусственного интеллекта, соответствующего исчисления предложено не было. Как правило же, структура представляет собой множество / абстрактных объектов, представляющих собой интервалы, и некоторое отношение на нём. Например, Ван Бентем в «Логике времени»81 в качестве базовых отношений принимает 4<f и 7Q"' и обратные им. Отношение 7</' означает, что каждая точка из i предшествует любой точке из j; его можно

82 назвать строгим отношением (соответствует определению Ивина ). Отношение 7С/' означает, что каждая точка из /' находится в j.

80 Allen, J.F. Maintaining Knowledge about Temporal Intervals II Communications of the ACM, November 1983, Volume 26, Number 11, pp. 832-843.

81 Benthem, J. van. The Logic of Time. Reidel, 1982.

82 Ивин, A.A. Логические теории времени. // "Вопросы философии", 1969, №3. С. 119.

Заключение диссертации по теме «Логика», Шапчиц, Павел Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках данного диссертационного исследования нами была предпринята попытка раскрыть особенности представления идеи длительности во временной логике в контексте грамматических времён. Для достижения данной цели мы поставили и выполнили следующие задачи:

- очертили круг формальных средств для представления идеи длительности в логике, обосновали специфику интервальной временной логики;

- выявили соотношение понятий «точка», «момент», «мгновение» и «интервал» в логике, продемонстирировали философское значение идеи интервала для временной логики;

- проследили эволюцию интервальной временной логики грамматических времён;

- уточнили смысл типологии глагольных предикатов и наметили средства для формального выражения как их статических, так и динамических аспектов.

Для этого мы предложили интервально-точечную трактовку для каждого глагольного предиката (и, соответственно, типа высказывания), а также поставили им в соответствие определённые элементы динамической логики. Данная трактовка имеет как самостоятельное (логическое), так и прикладное значение: появляются новые способы разрешения старых философских трудностей, например, таких, как апории Зенона или проблема разделающего мгновения.

Нами получены следующие результаты:

1. Впервые в отечественной литературе осуществлена систематизация и историческое исследование интервальных временных логик. Обосновано их философское значение и продемонстрированы основные направления их применения.

2. Показаны недостатки точечных прайоровских временных логик: выражения такой логики нечувствительны к некоторым смысловым аспектам глагольных предикатов.

3. Предложено грамматическое решение проблемы разделяющего мгновения. Вариант типологии глагольных предикатов Моэнса и Стидмана получил интервально-точечную и динамическую формулировку. Это позволяет сопоставить интервальные отношения Аллена и диаграммы Гантта и PERT, ранее бывшие несопоставимыми. Переопределены понятия «точка», «момент», «мгновение» и «интервал».

4. Сделаны уточнения прикладного характера. Предложено расширить схему Рейхенбаха, введя в неё идею длительности. Это позволит выражать не только английские грамматические времена, но и французские Futur Immediat, Passe Anterieur, латинские грамматические времена и т.п. Сети PERT применены к анализу бизнес-процесса.

В целом, на основании проведённого исследования можно прийти к следующим выводам:

1. Инструментарий точечных временных логик недостаточен для формализации грамматических времён, так как последние предполагают не только точечную, но и интервальную семантику.

2. Грамматические времена имеют «динамическую» природу, т.е. передают информацию не только о положениях дел, но и об изменении этих положений дел.

3. В силу п. 1 и 2 адекватной формализацией грамматических времён может быть только интервальная временно-динамическая логика.

4. В основе подобной логики должна лежать типологизация глагольных предикатов, основанная на критериях длительности и результативности. Типология глагольных предикатов может служить инвариантом при переводах с одного естественного языка на другой.

5. С помощью данной типологии может быть решена и известная «проблема разделяющего мгновения».

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Шапчиц, Павел Анатольевич, 2010 год

1. Анисов A.M. Свойства времени // Логические исследования 8 (2001).

2. Аристотель. Метафизика. //Т. 1. Собр. соч. в4хтт.М.: Мысль, 1975.

3. Аристотель. Физика. // Т. 3. Собр. соч. в 4х тт. М.: Мысль, 1981.

4. Богданов, В. Управление проектами в Microsoft Project 2003: Учебный курс. СПб.: Питер, 2004.

5. Девятков В.В. Системы искусственного интеллекта. М., 2001.

6. Демъянков В.З. Падежная грамматика // Лингвистический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.

7. Есперсен, О. Философия грамматики. М.: Иностранная литература, 1958.

8. Зиновьев А.А. Основы логической теории научных знаний. М., 1967

9. Ивин А.А. Логические теории времени. // Вопросы философии, 1969, №3.

10. Ишмуратов А.Т. Логические теории временных контекстов. Киев: Наукова думка, 1981.11 .Кант, И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994.

11. Караваев Э. Ф. Временная логика // Новая философская энциклопедия. Т.1. М.: Мысль, 2000.

12. Караваев Э.Ф. О временной логике в малоизвестной работе А.А. Маркова // Логические исследования, вып. 6, 1999. С. 186-194.

13. Караваев Э.Ф. Основания временной логики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983

14. Караваев Э.Ф. К вопросу о построении временной структуры // Вестник СПбГУ. Сер. 6, 1992, вып. 4(№27)

15. Караваев Э.Ф. Логическая модель планирования и опытные данные о «Парадоксе стратегии» // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб., 2008. - С. 350-353.

16. П.Касевич В.Б. Труды по языкознанию. СПб.: Филологический факультет СПбГУ, 2006.

17. Касевич В.Ъ. Элементы общей лингвистики. М.: Наука, 1977.

18. КорнГ., Корн Т. Справочник по математике. М., 1970.

19. Куренной, В. Гилберт Райл. Понятие сознания. // Логос №4(2000).

20. Латинский язык: учеб. для пед. ин-тов по спец. «Иностр. яз.» / В.Н. Ярхо, Н.Л. Кацман и др. М., 2002.

21. Лейбниц Г.-В. Сочинения в четырех томах: Т. I.- М.: Мысль, 1982.

22. Мармел, Э. Microsoft Office Project 2003. Библия пользователя. М.: Издательский дом, «Вильяме», 2004.

23. Маслов Ю. С. Вид и лексическое значение глагола в современном русском литературном языке // Очерки по аспектологии. Л., 1984, С. 48-65.

24. Никоненко, С.В. Английская философия XX в. СПб.: Наука, 2003.

25. Попов В.В. Интервальная семантика для непрерывного изменения // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. -Л., 1990. —С.18-19.

26. Попов В.В., Семёнова В.Г. Семантика изменения с точки зрения логики и языка // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб., 2008. - С.376-378.

27. Попов В.В., Шолохов А.В., Цурюпа А.Ю. Логико-лингвистические аспекты проблемы истинности высказываний о процессах // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб., 1998. — С. 274-279.

28. Прайор А.Н. Предтечи временной логики (фрагмент из книги «Прошлое, настоящее, будущее»). Пер. Т. Вартаняна // «Логос», 2000, №2.

29. Райл, Г. Понятие сознания. — М.: Идея-Пресс, Дом интеллектуальной книги, 2000.

30. ЪХ.Райл, Г. Феноменология против понятия сознания // «Логос» 1 (52), 2006.

31. Уайтхед, А.Н. Избранные работы по философии. М., Прогресс, 1990.

32. Шапчиц П.А. Грамматический взгляд на проблему разделяющего мгновения // Логико-философские штудии №6 (2009) С. 119-124.

33. ЪА.Шапчиц П. А. О проблеме разделяющего мгновения во временной логике // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб., 2008. - С. 407-410.

34. Шапчиц П.А. Типологии глагольных предикатов Вендлера-Кенни // Вестник Ленинградского государственного университета им. А.С. Пушкина. №4, т.1. 2009. С. 164-175.

35. Яновская, С.А. Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «апорий Зенона»? // Сб. «Проблемы логики», М., 1963

36. Ahn I. Towards an implementation of database management systems with temporal support // Proc. of International Conference on Data Engineering, IEEE Computer Society Press (1986) P. 374-381.

37. Allen J.F. Maintaining Knowledge about Temporal Intervals // Communications of the ACM, November 1983, Volume 26, Number 11. -P. 832-843.

38. Allen J.F. Time and Time Again: The Many Ways to Represent Time // The International Journal of Intelligent Systems, 6(4), July 1991. P. 341-355.

39. Allen J.F. Towards a general theory of action and time // AI 23 (2), July 1984. -P. 123-154.41 .Allen J.F., Ferguson G. Actions and Events in Interval Temporal Logic. -Technical Report 521. July 1994.

40. Allen J.F., Hayes P.J. A Common-Sense Theory of Time // Proc. of the 9th IJCAI, 1985.-P. 528-531.

41. Allen J.F., Hayes P.J. A Common-Sense Theory of Time: The Longer Paper, TR Computer Science Dept., Univ. of Rochester, 1985.

42. Allen J.F., Hayes P.J. Moments and Points in an Interval-based Temporal Logic // Comput. Intell. 5, 1989. P. 225-238.

43. Allen J.F, Hayes P.J. Short time periods // Proc. of the 10th IJCAI, 1987. -P. 981-983.

44. Allen J.F., Koomen J.A. Planning using a temporal world model // Proc. of the 8th IJCAI, 1985. P. 741-747.

45. M.Areces C., Blackburn P. Reichenbach, Prior and Montague: A semantic get-together.

46. Bacchus F., Tenenberg J., Koomen J.A. A non-reified temporal logic // Artificial Intelligence 52 (1991). P. 87-108.

47. Bach E. The algebra of events // Linguistics and Philosophy 9 (1986). P. 5-16.

48. Ballweg J. German Tenses, Tense Logics, Context Change, and the Temporal Interpretation of Texts. 1991.

49. Belleghem K., Denecker M, De Schreye D. Combining Situation Calculus and Event Calculus // Proc. of the 12th International Conference on Logic Programming (ICLP), Kanagawa, Japan, MIT Press (1995). P. 83-97.

50. Bennett В., Galton A.P. A unifying semantics for time and events // Artificial Intelligence 153 (2004). P. 13-48

51. Benthem, J. van. The Logic of Time. Reidel, 1982.

52. Benthem, J. van. Points on Time // Electronic News Journal on Reasoning about Actions and Change, vol. 2 (1998).

53. Benthem, J. van. Tense Logic and Time // Notre Dame Journal of Formal Logic, Volume 25, Number 1, January 1984. P. 1-16.

54. Bruce B. A model for temporal references and its application in a question answering program // Artificial Intelligence 3 (1972). P. 1-25.

55. Bull W. Time, tense and the verb. Berkeley; Los Angeles: Univ. California Press, 1968.

56. Burgess J.P. Axioms for Tense Logic I. "Since" and "Until" // Notre Dame Journal of Formal Logic, Volume 23, Number 4, October 1982. P. 367-374.

57. Burgess J.P. Axioms for Tense Logic II. Time Periods // Notre Dame Journal of Formal Logic, Volume 23, Number 4, October 1982. P. 375-383.

58. Burgess J.P. Decidability for branching time, in: Studia Logica 39 (1980). -P. 203-21861 .Burgess J.P. Logic and time, in: Journal of Symbolic Logic 44 (1979). -P. 566-582.

59. John Buridan. Sophisms on Meaning and Truth, New York, 1966.

60. Capek, M. The Fiction of Instants // J.T. Fraser, F.C. Haber and G.H. Muller (eds.). The Study of Time. New York: Springer-Verlag, 1972. P. 332-344.

61. Cau A., Moszkowski В., Zedan H. Interval Temporal Logic. Draft. March 23, 2006.

62. Chittaro L., Montanari A. Temporal representation and reasoning in Artificial Intelligence: Issues and Approaches // Ann. Math. Artif. Intell. 28(1-4). 2000. -P. 47-106.

63. Clifford J.E. Tense and tense logic. Hague: Mouton, 1975.

64. Comrie, B. Aspect. An Introduction to the Study of Verbal Aspect and Related Problems. Cambridge: Cambridge University Press, 1976.

65. Davidson, D. A logical form of action sentences // The Logic of Decision and Action (ed. N. Rescher), University Pittsburgh Press, Pittsburgh, PA, 1967.

66. Dean Т., McDermott D.V. Temporal data base management // Artificial Intelligence 36. 1987. - P. 375-399.

67. Fisher M. A resolution method for temporal logics // Proc. IJCAI-91 (1991): 99-104.

68. Fisher M., Gabbay D.M., Vila L., eds. Handbook of Temporal Reasoning in Artificial Intelligence I (2005) Elsevier.

69. Gabbay D. Modal and temporal logic programming // A.Galton, ed., Temporal Logics and their Applications, Academic Press. P. 197-236.

70. Galton A. A critical examination of Allen's Theory of action and time // Artificial Intelligence 42. Также в сборнике: The Language of Time: a reader / ed. by I. Mani, J. Pustejovsky, P. Gaizauskas, NY, Oxford University Press, 2005.

71. Galton A. Reified temporal theories and how to unreify them // Proc. of the 12th IJCAI (1991).

72. Goldman, A. A Theory of Human Action. Princeton University Press, Princeton, NY, 1970.

73. Goranko V., Montanari A., Sciavicco G. A Road Map on Interval Temporal Logics and Duration Calculi // Journal of Applied Non-Classical Logics, v. 14, No 1-2, 2004.

74. Grice, H.P. Logic and Conversation // Syntax and Semantics, Vol. 3, Speech Acts, ed. by Peter Cole and Jerry L. Morgan. New York: Academic Press. -1975.-P. 41-58.

75. Halpern J.Y., ShohamY. A Propositional Modal Logic of Time Intervals // Journal of the ACM 38:4, Oct. 1991.-P. 935-962.

76. Hamblin, C.L. Instants and Intervals // J.T. Fraser, F.C. Haber and G.H. Muller (eds.). The Study of Time. New York: Springer-Verlag, 1972. P. 324-331. Также в: Studium Generale 27, (1971). - P. 127-134.

77. HarelD., Kozen D., Tiuryn J. Dynamic Logic. MIT, 2000.

78. Haugh B.A. Non-standard semantics for the method of temporal arguments // Proc. of the 10lh IJCAI, vol. 1 (1987). P. 449-455.

79. Higgingbotham J. On linguistics in philosophy, and philosophy in linguistics // Linguistics and Philosophy 25 (2002). P. 573-584.

80. Hobbs, J.R. Granularity // Proc. of the 9th IJCAI, 1985. P. 432-435.

81. Hodkinson L, Reynolds M. Temporal Logic // Handbook of Modal Logic -P. Blackburn et al. (eds.), 2007. P. 655-720.

82. Huntington E.V. A new set of postulates for betweenness, with proof of complete independence // Transactions of American Mathematical Society 26. -1924.-P. 257-282.

83. Jackendoff R. Toward an Explanatory semantic representation // Linguistic Inquiry 7(1), 1976. P. 89-150.

84. Kahn K., Gorry G. Mechanizing temporal knowledge // Artificial intelligence 9, 1977.-P. 87-108.

85. Kenny A. Action, Emotion and Will. 1st ed., Routledge & K.Paul, 1963; 2nd ed., Routledge, 2003.91 .Knight B. Information Loss in Temporal Knowledge Representations // The Computer Journal, vol. 36, No. 2, 1993. P. 127-136.

86. Kowalski R., Sergot M. A logic-based calculus of events, in: New Generation Computing 4 (1986). P. 67-95. Также в: The Language of Time: A Reader, ed. by I. Mani, J. Pustejovsky, 2005. - P. 217-240.

87. Kowalsky R. Logic for Problem Solving. New York: North-Holland/Elsevier, 1979.

88. Leech G.N. Towards a Semantic Description of English. Bloomington, 1969.

89. Leith M., Cunningham J. Aspect and Interval Tense Logic // Linguistics and Philosophy 24 (2001). P. 331-381.

90. Ludlow P. Semantics, Tense, and Time. The MIT Press, 1999.

91. Lyons W. Ryle and dispositions // Philosophical Studies 24 (1973). P. 326-334.

92. Ma J., Hayes P. Primitive Intervals versus Point-Based Intervals: Rivals or Allies? // The Computer Journal, vol. 49, No. 1, 2006, P. 32-41

93. Ma J., Knight B. A General Temporal Theory // The Computer Journal, Vol. 37, No. 2, 1994.

94. Ma J., Knight B. Representing the Dividing Instant // The Computer Journal, Vol. 46, No. 2, 2003. P. 213-222

95. Ma J., Knight B. Reified temporal logics an overview // Artificial Intelligence Review 15 (2001).

96. Ma J., Knight В., Petridis M. A Revised Theory of Action and Time based on Intervals and Points // The Computer Journal, Vol. 37, No. 10, 1994. -P. 847-857.

97. Magnan, A. Cinematographie jusqu'a 12000 vues par seconde (avec application au vol des insects). Paris, Herman, 1932.

98. McCarthy J., Hayes P.J. Some philosophical problems from the standpoint of Artificial Intelligence // Machine Intelligence 4 (1969). P. 463-502

99. McDermott D. A temporal logic for reasoning about processes and plans. RR 196, Computer Science Department, Yale University, New Haven, CT, 1981. Также в: Cognitive Sci. 6(2), 1982.

100. McTaggart J.E. The Unreality of Time, in: Mind: A Quarterly Review of Psychology and Philosophy 17 (1908). P. 456-473

101. Miller R., Shanahan M. The event calculus in classical logic alternative axiomatisations // Linkoeping Electronic Articles in Computer and Information Science 4(16), 1999.

102. Moens M, Steedman M. Temporal Ontology and Temporal Reference // Computational Linguistics, vol.14, n.2, June 1988. P. 15-28.

103. Pani A.K., Bhattacharjee G.P. Temporal representation and reasoning in Artificial intelligence: A Review // Mathematical and Computer Modelling 34 (2001)-P. 55-80.

104. Pinto J., Reiter R. Temporal reasoning in logical programming: a case for the Situation Calculus // Proc. of the 10th International Conference on Logic Programming (ICPL), MIT Press (1993). P. 203-221.

105. Pirri F., Reiter R. Some contributions to the metatheory of the Situation Calculus. Journal of the ACM, 46(3) (1999). P. 325-361

106. Prior A.N. Papers on Time and Tense. Ed. by Per Hasle, Peter Ohrstrom, Torben Brauner & Jack Copeland. Oxford: Clarendon, 2003

107. Prior, A.N. Past, Present and Future. Oxford: University Press, 1967.

108. Prior A.N. Time and Modality. Oxford: Clarendon, 1957.

109. Reichenbach H. Elements of Symbolic Logic. MacMillan, London, 1947.

110. Reynolds M. Axiomatisation and decidability of F and P in cyclical time, in: Journal of Philosophical Logic 23 (1994). P. 197-224

111. Reynolds M. Axioms for branching time // Journal for Logic and Computation 12 (2002). P. 679-697.

112. Roper P. Intervals and Tenses // Journal of Philosophical Logic 9 (1980). -P. 451-469.

113. Russell B. Principles of Mathematics. London: George & Unwin, 1903.

114. Ryle G. The Concept of Mind. Chicago: The University of Chicago Press, 1949, 2000.

115. Sabbadin M., Zanardo A. Topological aspects of branching-time semantics, // Studia Logica 75 (2003) P. 271-286.V

116. Sacerdoti E.D. The nonlinear nature of plans // Proceedings of the 4 IJCAI, Tbilisi, USSR, 1975. P. 206-214. Также в сборнике: Readings in Planning (James Allen, James Hendler, and Austin Tate, editors), Morgan Kaufman, 1990.-P. 162-70.

117. Searle J.R. Speech Acts: An Essay in the Philosophy of Language. Cambridge University Press, London, 1969.

118. Shanahan M.P. A Circumscriptive Calculus of Events // Artificial Intelligence 77 (1995) P. 249-284.

119. Shanahan M.P. Explanation in the Situation Calculus // Proceedings IJCAI-93 (1993)-P. 160-165.

120. Shanahan M.P. Solving the Frame Problem, MIT Press, 1997.

121. SchankR.C. Conceptual Information Processing. North-Holland, NY, 1975.

122. Shiraishi S. The Structure of Continuity of Psychological Experiences and Physical World // The Science of Thought, Tokyo, 1954, n. 1.

123. Shoham Y. Temporal logics in AI: semantical and ontological considerations //Artificial Intelligence 33 (1987) P. 89-104.

124. Taylor B. Tense and Continuity // Linguistics and Philosophy 1 (1977). -P. 199-220.

125. Thomason R. Combinations of tense and modality // D.M. Gabbay and F. Guenthner, eds<? Handbook of Philosophical Logic, vol. II: Extensions of Classical Logic. Reidel, Dordrecht, 1984. P. 135-165.

126. Timberlake A. A reference grammar of Russian. Cambridge University Press, 2004.

127. Trifogli C. Giles of Rome on the Instant of Change // Synthese 96 (1993). -P. 93-114.

128. Trudel A. Representing Allen's properties, events and processes // Applied Intelligence 6 (1996). P. 59-65.

129. Vendler, Z. Verbs and Times // Philosophical Review, 66 (1957) №2. -P. 143-160. Позднейшая версия: Chapter 4 in 'Linguistics in Philosophy' (Ithaca, N.Y., 1967) P. 97-121.

130. Venema Y. Expressiveness and Completeness of an Interval Tense Logic // Notre-Dame Journal of Formal Logic, Volume 25, Number 1, January 1984. -P. 529-547.

131. Verkuyl H.J. Aspectual Classes and Aspectual Composition // Linguistics and Philosophy, 12, 1989.-P. 39-94.

132. Verkyul H. A Theory of Aspectuality. Cambridge University Press, 1993.

133. Vila L. A survey on temporal reasoning in artificial intelligence // AI Communications, vol. 7, issue 1 (1994). P. 4-28.

134. Vila L., Reichgelt H. The Token Reification Approach to Temporal Reasoning // Artificial Intelligence 83(1) (1996). P. 59-74.

135. Vilain M, Kautz H. Constraint propagation algorithms for temporal reasoning // AAAI-86 Proceedings (1986). P. 377-382.

136. Werner T.A. Deducing the future and distinguishing the past: temporal interpretation in modal sentences in English. PhD diss. New Brunswick, New Jersey, May 2003.

137. Zanardo A. Branching-time logics with quantification over branches: the point of view of modal logic // The Journal of Symbolic Logic, vol. 61.