Интерполяционные методы получения априорных оценок решений слабо нелинейных параболических уравнений высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лаптев, Геннадий Геннадьевич

• Лаптев, Геннадий Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лаптев, Геннадий Геннадьевич

Введение

Глава 1. Уравнения и системы второго порядка

1. Общая схема метода

2. Системы второго порядка без производных в нелинейных членах

3. Системы второго порядка с оценкой ЦиЦоо

Глава 2. Уравнения и системы высокого порядка

1. Краевая задача общего вида

2. Первая начально-краевая задача для уравнения

3. Первая начально-краевая задача для системы уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интерполяционные методы получения априорных оценок решений слабо нелинейных параболических уравнений высокого порядка»

Общая характеристика работы

Начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными являются в настоящее время одним из интенсивно развивающихся направлений математики и ее приложений. Теория линейных уравнений разработана к настоящему моменту с достаточной полнотой. В то же время изучение существенно нелинейных задач сопряжено с большими трудностями и требует создания принципиально иных методов исследования. Поэтому на данном этапе наибольшее количество исследований относится к полулинейным и квазилинейным уравнениям. К их числу относится и настоящая работа, в которой на основе уже известной линейной теории и теорем вложения анизотропных пространств С.Л. Соболева устанавливаются условия сильной разрешимости полулинейных параболических уравнений и систем.

Цель работы состоит в нахождении в некотором смысле предельных условий роста нелинейных слагаемых полулинейных параболических уравнений с неограниченными особенностями, при которых из слабой априорной оценки решений (в пространствах суммируемых функций) следует сильная (в пространстве С.Л. Соболева) . Данный вопрос тесно связан с регулярностью слабых решений указанных задач. Для исследования применяется развитый автором интерполяционный метод получения второй априорной оценки, основанный на точных неравенствах мультипликативного (интерполяционного) характера, следующих из теорем вложения анизотропных пространств С.Л. Соболева, и известной линейной теории.

В диссертации впервые установлены следующие результаты: 4

1. Разработан, применительно к полулинейных параболическим уравнениям и системам, интерполяционный метод получения второй априорной оценки.

2. Найдены показатели роста нелинейностей, при которых имеет место сильная априорная оценка в пространствах С.Л. Соболева. В частных случаях построены примеры, показывающие, что показатель является критическим.

3. Доказаны теоремы о существовании сильных решений начально-краевой задачи для полулинейных параболических уравнений и систем высокого порядка с неограниченными особенностями.

Работа имеет теоретическую направленность. Найдены условия, обеспечивающие существование сильных решений полулинейных параболических уравнений и систем с неограниченными особенностями, как второго, так и высокого порядков. Предложенный метод исследования может быть применен к полулинейным и квазилинейным уравнениям других типов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], без соавторов.

Диссертация состоит из двух глав, посвященных соответственно уравнениям и системам второго и высокого порядков, и списка литературы. Каждая глава, в свою очередь, разбита на 3 раздела. Объем диссертации — 97 машинописных страниц.

Содержание диссертации

В диссертации изучаются условия существования сильных решений начально-краевых задач для полулинейных параболических уравнений и систем с неограниченными особенностями в нелинейных членах. На первый план выступает вопрос о предельных степенях роста этого нелинейного члена.

Один из первых результатов такого рода принадлежит С.Н. Бернштейну [4], [5]. В ограниченной области Г2 с Шм, N > 2 рассмотрим эллиптическую задачу вида

Д и = fix, и, Du),

V У (0.1) 0,

V. где f(x,u,Du) — непрерывная функция, f(x,u,Du)\ < с(1 + \Du\»).

Пусть для решений и(х) £ С2(О,) П С(Г2) этой задачи известна (например, из принципа максимума) оценка

IMloo < М.

Проблема состоит в нахождении степени /х* такой, что при д < /I* из указанной первой оценки следует вторая:

1М|с2(Г2) < Cj где С зависит только от Ми некоторых других постоянных. Как показал С.Н. Бернштейн, таким предельным показателем является /1* = 2. Им также были построены примеры уравнений с ц — 2 + е (е > 0 мало), для которых ||u||oo < М, но ||гх||с2(п) —> оо. Задачи более общего вида рассматривались, например, в работах Н. Amann, M.G. Crandall [33] и I.L. Kazdan, R.I. Kramer [34]).

Для уравнений параболического типа аналогичные условия (fi < fi* = 2) известны как условия Бернштейна-Нагумо.

Дальнейшее развитие теории таких задач велось в направлении введения нелинейностей в главную часть. Некоторый итог этих исследований подведен в монографиях O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой [6] и O.A. Ладыженской, В.А. Солонникова, H.H. Уральцевой [8].

После этого встал вопрос об уравнениях с неограниченным по х ростом нелинейной части (т.е. имеющих неограниченные особенности). Одним из первых законченных результатов здесь явилась работа С.И. Похожаева [9], в которой описан применяемый в диссертации интерполяционный метод получения второй априорной оценки. Рассмотрим уравнение вида (0.1) в пространствах С.Л. Соболева Wp(Q). Относительно f(x,u, Du) предположим, что:

1) f(x,u, Du) каратеодориева;

2) f(x,u,Du)\ < b(x)(l+\Du\"), где b(x) £ LP(Ü). N

С.И. Похожаевым показано, что при /л < ¡л* = 2--из первой Р априорной оценки ||ii||oo < М следует вторая:

IM|w|(fi) < с.

Построены примеры уравнений с fi = ц* + er, для которых \\и\\оо < М, но ||н||ур2 —> оо.

При этом существенно использовался известный принцип максимума А.Д. Александрова [31], [32], который для параболических уравнений был доказан позже А.И. Назаровым и H.H. Уральцевой [10].

В обзорной работе [11] был подведен итог исследований по квазилинейным уравнениям с неограниченными особенностями. Однако основное внимание там уделялось нелинейности главной части, что не позволило получить предельные степени роста подчиненных членов. Отметим также, что методы [11] применимы лишь к уравнениям второго порядка.

Одновременно с этим различными авторами с использованием методов монотонности и компактности исследовались квазилинейные и полулинейные уравнения и системы высокого порядка (без неограниченных особенностей). Среди близких к диссертации по тематике отметим работы W. von Wahl [12], [13], [14], [15], [16], [17], Н.-С. Grunau, W. von Wahl [18], S. Luckhaus [19], H. Brezis, F.E. Bröwder [35], С.И. Похожаев [27], R. Goebel [36], R. Landes [37], H. Amann [39], [40], M. Dreher, V. Pluschke [38], T. Dlotko [41], [42], [43], [44], J.W. Cholewa [45], [46], [47], J. Chabrowski [48], M.J. Esteban [49], A. Kalamajska, A. Milani [50], [51]. Случай одной пространственной переменной детально изучался в работах С.Н. Кружкова [20], [21], [22]. Достаточно полный обзор библиографии до 1990 года содержится в книге Ю.А. Дубинского [23].

С.И. Похожаевым [24], [25], [26] на основе интерполяционного метода исследовались полулинейные эллиптические уравнения высокого порядка 2т с неограниченными особенностями. При этом в качестве первой оценки предполагалась оценка ||u||¿ < М, где 1 < I < оо, или ||Dmw||/ < М. Наиболее естественна стандартная априорная оценка ||Z)mu||2 < М, получаемая из условия коэрцитив-ности. Основным отличием полученных результатов от аналогичных для уравнений второго порядка является то, что вторая априорная оценка следует из первой лишь в случае ¡i < ¡i*. Для ß = ¡jl* были построены соответствующие контрпримеры.

В настоящей диссертации ставилось целью перенести указанный интерполяционный метод на полулинейные параболические задачи с неограниченными особенностями в нелинейном слагаемом. При этом было обнаружено, что для широких классов уравнений и систем высокого порядка можно доказать справедливость второй априорной оценки и для предельного случая ¡i = /¿*.

На данном пути удалось выяснить достаточно общую связь между допустимым ростом нелинейности и степенями в мультипликативных неравенствах теорем вложения, не прибегая к частного вида условиям на уравнения. В связи с этим предлагаемый метод без существенных изменений применим к уравнениям и системам как второго, так и высокого порядков. Для уравнений и систем второго порядка получено некоторое уточнение существующих результатов.

Первая глава диссертации посвящена полулинейным параболическим системам второго порядка. В первом разделе на примере полулинейного параболического уравнения описана общая схема применяемого в диссертации интерполяционного метода получения второй априорной оценки.

Второй раздел посвящен полулинейным системам. Для простоты предполагается, что нелинейный член не содержит производной и имеется первая априорная оценка \\u\li < М, I Е [1, оо).

Именно, пусть задан линейный оператор, порождаемый где — известные достаточно гладкие функции.

Отметим, что эта система не является "системой с одинаковыми главными частями".

Установлены достаточные условия сильной априорной оценки

Предполагаются выполненными следующие условия:

А) линейный оператор А является равномерно параболическим оператором второго порядка; решений и 6 задачи

Аи = f(x, и), и|4=0 = Ф), Ф) е в^п), Ч>\м = о, (0-2) = 0.

В)имеется априорная оценка ||и||г < М с некоторым I 6 [1, оо);

ГО) функции к = 1,п, составляющие вектор определены на <5 х 1га и каратеодориевы; для всех £ £ х Мп выполнено неравенство п к=1 где Ь(х,£) Е Ьр, Ь0(х,Ь) е Ьд} оо > д > тах{^^,р}; £2) ^ „ ^„*

1</<1 + |р, < р < оо, где = <

I К^+2) 7 ^ 1 , А-I 2г+(ЛГ+2)' 1 -1- ' ЛП

ГЗ)

Основным результатом второго раздела является следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть выполнены условия А), В), £0)-ГЗ). Тогда для решения и 6 задачи (0.2) имеет место оценка

1М|\у(д) < с.

Наиболее просто получаемой первой априорной оценкой является \\и\\2(лг+2) < М, которая следует из условия коэрцитивности. n

Уже на примере теоремы 2.1 видно, что параболический случай существенно отличается от эллиптического возможностью получения сильной априорной оценки при ц = д*.

В третьем разделе главы 1 рассматриваются системы, содержащие в нелинейных слагаемых первые производные, в предположении наличия априорной оценки \\и\\^ < М, следующей из обобщенного принципа максимума. Приведены достаточно общие условия, при которых эта оценка имеет место.

Пусть задан линейный оператор где — известные достаточно гладкие функции.

Установлены достаточные условия существования сильных решений и 6 ЛУ ((5) задачи

Аи = (0.3) и\г=0 = <р(х), ф)еС 2(П), (р\дя = 0] и|ад = 0. (0.4)

Предполагаются выполненными следующие условия:

А) линейный оператор А является равномерно параболическим оператором второго порядка [8, с.652], [29]; в частности, найдется постоянная V > 0 такая, что * ЕГ=1 ^ < Е£=1 агз(х: Уг/ еГ;

0) функции о>£].)» ^ = составляющие вектор Г, определены на х X КпЛГ и каратеодориевы;

1) для любого £ > 0 и некоторой положительной функции С(е), определенной для е > 0, при всех £ <5 ХЁП х выполнено неравенство п

Е 1Л0М,< + С(е)Ь(х,Ь |£0|)(1 + к=1 где М), М £ К+ — каратеодориевская функция, неубывающая по М, причем Ьм{х, £) = 6(ж, М) £ Ьр(0) ММ < оо; /2) ТУ + 2 < р < оо; ¿/ = 2-™; п в) • (£о)* < И£хГ + + |£о|2), где Ьч(0), д > (ТУ + 2)/2; V — постоянная из условия А). Основными утверждениями раздела являются

Теорема 3.2. Пусть и е W(Q) — решение задачи (0.3), (0.4). Тогда ЦиЦоо^ < М, где М зависит только от области константы V из условия А) и ЦдЦ^д, где д(х^) — функция из условия В).

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия А), ГО) — £2), и пусть для решения и € ^"((5) задачи (0.3), (0.4) известна априорная оценка ЦиЦоо^ < М. Тогда ||и||\у(<2) < С, где константа С зависит только от известных данных.

Данные результаты применимы также и к одному уравнению. Построены примеры, показывающие их неулучшаемость.

Вторая глава посвящена полулинейным параболическим уравнениям и системам высокого порядка.

В первом разделе устанавливается существование сильного решения начально-краевой задачи для полулинейных параболических уравнений и систем высокого порядка достаточно общего вида без изучения вопроса о допустимости предельных степеней роста нелинейных членов.

Во втором разделе доказывается существование сильного решения начально-краевой задачи для полулинейного параболического уравнения высокого порядка с неограниченными особенностями в нелинейного слагаемом. Предполагается известной первая априорная оценка в пространстве суммируемых функций ||и||/)Ш < М. Заметим, что для получения второй оценки не требуется дивергентная форма главной части и нелинейности.

Рассмотрим начально-краевую задачу ди ^ / .л ™ ,, ~ —,26—1

01 |а|<2Ь и\ь=о = 0,

0.5) где аа(х,£) — заданные достаточно гладкие функции.

Предполагаются выполненными следующие условия: (Л) линейный оператор ди

-4- £ аа(х,1)Оаи н<2 Ь является равномерно параболическим [29];

0) функция /(ж, £0, • • •, Ы-г) определена на х 1 х х • • • х К^26-1 и является каратеодориевской, то есть измеримой по х, £ при £о> • • • > £26-1 Е М х М^ х • • • х Ш^26"1 и непрерывной по • • •, £26-1 почти при всех ж, £ £

1) при х, I, • • •, Ьь-1 £ <5 х 1 х ■ • • х выполнено неравенство

2Ь—1 г=0 где Ь(гс,€ 6» (ж, г) е Д^Дф);

2) р > N + 26, & > р, оо > п > р \/г = 0, 2Ь- 1; (/3) степени определяются формулой

1 { N 2Ь N 2Ь

--тр-2Г 26+ — +----г + т + I V 1 т Ъ где 1 < т < оо — некоторые числа; (/4) выполнены неравенства

РЯг ^ 7 . - -^гт-Т

- > /, Цг- > гп, г = 0, 2Ь — 1;

41 - Р и-р из (/2) следует, что всегда > 1. Основным утверждением является

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (А), (/0)-(/4) и пусть для любого возможного решения задачи (0.5) известна априорная оценка < М. Тогда и\\тХГ2Ь,1 1МЦд) < С, где константа С зависит только от известных данных.

В третьем разделе аналогичные результаты получены для полулинейных параболических систем уравнений высокого порядка. Пусть задан линейный оператор

Аи = дщ Ы и

3 ' к = 1, п > , а|<26 где — известные достаточно гладкие функции.

Рассмотрим начально-краевую задачу

Аи = и, £>и,., 02Ь~1\1), и|*=0 = О, М <6-1.

Предполагаются выполненными следующие условия: (Л) линейный оператор

0.6)

Аи дщ дг из I ' к = 1, п

2Ъ у=1 является равномерно параболическим [29] порядка 26. Предполагается, что в любом малом цилиндре = О, х (¿0, ¿о + т) для любой правой части g £ Ьр((5т) решение линейной задачи

Аи = g, и|4=4о = О,

В*и|вдт=0, \Ш\ <6-1 допускает априорную оценку

1и11^У(<2т) < С111ё||р;<Эт5 причем константа С\ не зависит от и г. Условия для этого изложены, например, в [29, с. 120, Теорема 5.6];

0) компоненты вектора функции /¿(ж, £0,., £26—1)? А; = 1,п определены на ^ х 1" х х д^г^ь-г и яв ляются каратеодориевыми, то есть измеримыми по ж, £ при £о>---> €26-1 е х • • • х БГ-^ь-! и непрерывными по £0,. ., почти при всех ж, £ £ <5;

1) при ж, £0,., £2Ь! е <2 х Мп х • • • х Еи ЛГ26-1 выполнено неравенство 1Л(я> • • •, ^2Ь-х)I < £ *), 0 где 6(ж,£) 6 Ьр((5), 6*(ж,£) 6 Ьдип(С2);

2) р > N + 26, & > р, оо > г» > р V« = 0,26- 1; из Г2) следует, что всегда Дг > 1. Справедлива теорема 3.1. Пусть выполнены условия А), £0)^4) и пусть для возможного решения задачи (0.6) известна априорная оценка < М. Тогда п

3) степени определяются формулой где 1 < I, т < оо — некоторые числа; (/4) выполнены неравенства

- > /, /1г- > га, г = 0, 26 — 1;

Яг -Р Гг-р д) и||-\у(<г) < С, где константа С зависит только от известных данных.

Один из возможных способов получения первой априорной оценки дает

15

Лемма 3.1. Рассмотрим задачу (0.6). И пусть для любой функции и 6 удовлетворяющей начальным и краевым условиям, и для любого цилиндра = О, х (0, ¿) С имеют место неравенства и, f(x, t, и,., D2b хи)) dxdt < mo||-D6u||2;gt + raiHuH^ + m2 где (£,г}) = ХХ=1 и то, т1, т2 — положительные константы.

Тогда для любого решения и € ^"(<5) задачи (0.6) справедлива оценка

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.И. Похожаеву за постановку задачи, В.А. Ильину С.М. Никольскому и В.А. Кондратьеву за полезное обсуждение результатов, официальному оппоненту A.A. Злотнику за внимательное изучение диссертации и ценные замечания. u, Au) dxdt > mo||Dbu||2; u||2,oo;q < м.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лаптев, Геннадий Геннадьевич, 1999 год

1. Лаптев Г.Г. Существование сильных решений полулинейных параболических систем второго порядка // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, №12. С. 1634-1639.

2. Лаптев Г.Г. Априорные оценки сильных решений полулинейных параболических уравнений // Матем. заметки. 1998. Т.64, №4. С.564-572.

3. Лаптев Г.Г. Априорные оценки и существование сильных решений полулинейных параболических систем // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, №4. С.518-522.

4. Бернштейн С.Н. Sur la nature analytique des solutions de certaines équations aux dérivées partielles du second ordre // Math.Ann. 1904. V.59. P.20-76.

5. Бернштейн С.Н. Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа // Сообщения Харьк.матем.об-ва. 19081909. V.U. Р. 1-164.

6. Ладыженская О. А.,Уральцев а H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.:Наука, 1963.

7. Гилбарг Д.,Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

8. Ладыженская О.А.,Солонников В.А.,Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

9. Похожаев С.И. Об уравнениях вида Ли = f(x,u, Du) // Мат.сб. 1980. Т.113, №2. С.324-338.

10. Назаров А.И.,Уралъцева H.H. Выпукло-монотонные оболочки и оценка максимума решения параболического уравнения // Зап.научн.семин.ЛОМИ. 1985. Т. 147. С.95-109

11. Ладыженская О.А.,Уралъцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности // УМН. 1986. Т.41, вып.5 (251). С.59-84.

12. Wahl von W. Extention of a result of Ladyzenskaja and UraPceva concerning second-order parabolic equations of arbitrary order // Ann.pol.math. 1983. 41. №1. C.63-72.

13. Wahl von W. Klassishe Lösbarkeit im Großen für nichtlineare parabolische Systeme und das Verhalten der Lösungen für t —> +oo // Nachr. Acad. Wiss. Göttingen. II. Math.-phis. Kl. 1981. №5. C.131-177.

14. Wahl von W. Semilinear elliptic and parabolic equations of arbitrary order // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1978. A 78, №3-4. C.193-207.

15. Wahl von W. On parabolic systems with discontinuous nonlinearities // App.Anal. 1985. V.20, №1-2. P.89-102.

16. Wahl von W. On nonlinear evolution equations in a Banach space and on nonlinear vibrations of the clamped plate // Bayreuth Math.Sehr. 1981. №7. 93 pp.

17. Wahl von W. The continuity or stability method for nonlinear elliptic and parabolic equations and systems // Proceedings: Conference on PDE's. Milan, 1992. P.157-183.

18. Grunau H.-C., Wahl von W. Regularity of weak solution of semilinear parabolic systems of arbitrary order // J.Anal.Math. 1994. V.62. P.307-322.

19. Luckhaus S. Existence and regularity of weak solutions to the Dirichlet problem for semilinear elliptic systems of higher order // J. reine und angew. Math. 1979. V.306. C.192-207.

20. Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Тр.семинара им.И.Г. Петровского. 1979. №5. С.217-272.

21. Кружков С.Н. Линейные и нелинейные параболические системы на плоскости // ДАН СССР. 1969. Т.187, №3. С.510-513.

22. Кружков С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Тр. Моск. мат.о-ва. 1967. Т.16. С.329-346.

23. Дубинский Ю.А. Нелинейные параболические уравнения высокого порядка // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. 1990. Т.37. С.89-166.

24. Похожаев С. И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Мат.сб. 1982. Т.117, №2. С.251-265.

25. Похожаев С. И. О разрешимости некоторых квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1982. Т.18, №1. С.100-109.

26. Похожаев С.И. Об априорных оценках решений квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Дифференц. уравнения. 1983. Т.117, №1. С.101-110.

27. Похожаев С.И. Об одном квазилинейном параболическом уравнении // Дифференц. уравнения. 1971. Т.7, №1. С.73-80.

28. Бесов О.В.,Ильин В.А.,Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.:Наука, 1996.

29. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. Труды МИАН. 1965. Т.83.

30. Колмогоров А.Н.,Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука, 1976.

31. Александров А.Д. Исследования о принципе максимума // Изв.высш.учебн.завед., сер. матем. 1961. №1, С.3-20.

32. Александров А.Д. Мажорирование решений линейных уравнений второго порядка // Вестн.ЛГУ, сер.матем., мех.и астр. 1996. №1, вып.1, С.5-25.

33. Атапп Н., Crandall M.G. On some existence theorems for semilinear elliptic equations // Ind.Univ.Math.J. 1978. V.27, №5. P. 779-790.

34. Kazdan I.L., Kramer R.I. Invariant criterion for existence of solutions to second-order quasilinear elliptic equations // Comm.Pure.App.Math. 1978. V.31, №5. P.619-645.

35. Brezis H., Browder F.E. Strongly nonlinear parabolic initial-boundary value problems // Proc.Nat.Acad.Sei. USA. 1979. V.76, №1. P.38-40.

36. Goebel R. Uber die Existenz klassischer Lösungen semilinear parabolischer Differentialgleichungen höherer Ordnung // Math.Z. 1983. V.184, №4. P.511-532.

37. Landes R. On the existence of weak solutions for quasilinear parabolic initial-boundary value problems / / Proc.Roy.Soc. Edinburgh. 1981. A89, №3-4. P.217-237.

38. Dreher M., Pluschke V. Local solutions of weakly parabolic semilinear differential equations // Math. Nachr. 1999. V.200. P.5-20.

39. Атапп H. Quasilinear evolution equations and parabolic systems // Trans.AMS. 1986. V.293, №1. P.191-227

40. Атапп H. Parabolic evolution equations and nonlinear boundary conditions // Journ. Dif.Eq. 1988. V.72, №2. P.201-269.

41. Dlotko T. Local solvability of semilinear parabolic equations // Hokkaido Math. Journal. 1991. V.20, №3. P.481-496.