Интегральные представления и монодромия для алгебраических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Михалкин, Евгений Николаевич

• Михалкин, Евгений Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михалкин, Евгений Николаевич

Введение

1. Интегральные формулы и монодромия для алгебраических функций

1.1 Формулировка результатов Меллина и Биркелана.

1.2 Решение уравнения (1.1) с помощью интеграла по отрезку

1.3 Монодромия решений триномиального уравнения.

I 1.4 Амеба и коамеба дискриминанта алгебраического уравнения

1.5 О геометрии разрезов Е+ и

1.6 Геометрия разрезов Е+ и Е для тетраномиального уравнения .'.

1.7 Решение уравнения (1.3) с помощью интеграла по контуру

2. О решении уравнения пятой степени методом Эрмита-Кронекера

2.1 Функция /(г) и общая схема решения уравнения пятой степени

2.2 Фундаментальная область для функции ф(т) = ^ ^ • 60 ' 2.3 О выборе знаков в выражении для /12 (г).

2.4 Решение модулярного уравнения с помощью гипергеометрических рядов.

2.5 Представление решения уравнения (2.1) в виде сужения гипергеометрических рядов на сдвинутую однопараметри-ческую.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные представления и монодромия для алгебраических функций»

Вплоть до середины 19 века поиски аналитического решения алгебраического уравнения степени выше чем четыре, были безрезультатными. Лишь в 1858 г. Эрмит [24], [25] и Кронекер [28], независимо друг от друга нашли решение для уравнения пятой степени. А именно, им удалось выразить решение уравнения у5 + Ьу = а к которому сводится любое уравнение пятой степени с помощью преобразований Чирнгауза [34] (см. также [7], [12])) через модулярную эллиптическую функцию. Следующий успех в проблеме поиска решений уравнений высших степеней был достигнут в 20 веке. Так, в 1921 г. Мел-лином [29] было найдено решение для алгебраического уравнения xn-\zn~l + . + xiz - 1 = 0 (0.1) с помощью гипергеометрических рядов переменных х\,., xn-i, а также посредством кратных интегралов Меллина-Барнса. Отметим, что общее алгебраическое уравнение n-ой степени записывается в виде xnzn + . . . + x\z + =

Решением этого уравнения является многозначная алгебраическая функция z(x), обладающая свойством двойной однородности [31]. Следовательно, его решение фактически зависит лишь от п — 1 переменных. Иными словами, достаточно рассмотреть уравнение вида хпгп + . + г* + . + гр + . + ххг + х0 = 0, (0.2) где коэффициенты при двух мономах г4, гр "заморожены". В случае р = 0, д = п мы получаем уравнение вида (0.1), где знак "минус" перед единицей взят для удобства. Биркелан [19], [20] распространил результат Меллина на уравнения (0.2) с произвольными парами (р, #). В 1984 г. Умемура [16] показал, что уравнение любой степени можно решить с помощью тэта-функций, тем самым, обобщив результат Эрмита-Кронекера.

Далее, в 2000 г. Семушева и Цих [14], и независимо от них, Штурм-фельс [33] предъявили аналитическое продолжение для решения уравнения (0.1), используя понятие гипергеометрических функций по Горну [26] и Гельфанду-Капранову-Зелевинскому [5]. Теория гипергеометрических функций и связанная с ней теория дискриминантов были глубоко изучены в конце прошлого века в статьях [5], [27] и книгах [4], [23]. С помощью этих теорий и понятия амебы алгебраического множества Пае-саре и Цих [31] описали области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение уравнения (0.2).

К сожалению, арсенал степенных рядов и интегралов Меллина-Барнса вместе не позволяет исследовать монодромию, т. е. всевозможные аналитические продолжения решений уравнений (0.1) или (0.2). К тому же, до сих пор не была выявлена связь между двумя подходами к решению алгебраических уравнений: подходами Меллина (на основе гипергеометрических функций) и Эрмита-Кронекера (с привлечением эллиптических модулярных функций).

Целью настоящей диссертационной работы является получение новых интегральных формул для решения общего алгебраического уравнения, исследование монодромии решения и установление связи между подходами Меллина и Эрмита-Кронекера.

Методика исследования диссертации основана на теории гипергеометрических рядов и новой интегральной формуле для решения уравнения (0.1), доказанной автором; кроме того, важную роль играют понятия амебы и коамебы применительно к дискриминантным множествам алгебраических уравнений, а также понятие параметризации Горна-Капранова.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе приводятся новые интегральные представления (в элементарных функциях) для решения уравнений (0.1), (0.2) и на их основе исследуется монодромия решений.

Напомним интегральную формулу Меллина для решения z(x) уравнения (0.1). Рассмотрим несколько другую его запись, позволяя брать нулевыми некоторые коэффициенты: zn + Xizni + . + xpznp -1 = 0, п > щ > . > пр > 0. (0.3)

Введем два целочисленных вектора а = (ni,. ,пр), ¡3 = (п — rii,. ,п — пр).

Интегральная формула Меллина [29] (см. также [14]) выражает ветвь z = zq(x), выделенную вблизи х — 0 условием ^о(0) = 1, в виде интеграла

Меллина-Барнса ¿ t r(Ci)-• -г(сР) y+iRp \n П

Здесь Г - гамма функция Эйлера, 7 - точка из многогранника и € Rp : и\ > 0,., ир > 0, щщ + . + прир < 1}, для векторов х = ., жр), С = (Съ • • • ? Ср) используется мультиин-дексная запись аГ^ = х^1. Хр*>р, d( = dCi А • • ■ A dCp

Следуя Меллину, указанную ветвь zo(x) называем главным решением уравнения (0.3). Отметим, что все остальные ветви получаются из zq{x) по формуле zj{x) = sjzq^xi, ., £jpxp), j = 1,., n - 1, (0.5) где £j = - первообразные корни из единицы.

Заметим, что в интеграле (0.4) подынтегральное выражение является трансцендентной функцией, а множество интегрирования неограничено.

Для уравнения (0.3) решение можно представить в виде интеграла по компакту (отрезку), с интегрированием элементарной функции. А именно, в §1.2 доказана следующая теорема, в которой для краткости письма используется обозначение р

F±{x; t) = 1 - e^Xkt^i 1 - tf^ n Xkt« [L - t) k=1 для пары функций, линейных относительно х.

Теорема 1. Главное решение го(х) уравнения (0.3) допускает представление в виде интеграла х) = 1 + -— /-П-ш \е » 1п ¿) - е" » 1п *)] Л, (0.6)

К'ЬТЬ ,/ (^ /■) п где ветви логарифма определены в области пространства Ср переменного х = (#1,. ,хр), полученной удалением из Ср двух семейств комплексных гиперплоскостей

Е±= и {х:Р±{х^) = 0}, *б(0;1) и выбираются условием 1п 1 = 0.

Отметим, что интеграл (0.6) сходится на отрезке [0; 1] благодаря тому факту, что подынтегральное выражение в квадратных скобках обращается в нуль в точке £ = 1 с порядком, достаточным для компенсации неинтегрируемого множителя (1 —

Областями сходимости гипергеометрических рядов (степенных рядов с центром в точке х = 0) для решений г(х) являются поликруговые области (т. е. задаваемые условиями лишь на модули \хк\ коэффициентов х\~ уравнения). Структура этих областей в терминах амебы дискриминанта описана в статье [31]. С другой стороны, область сходимости интеграла Меллина-Барнса (0.4) является секториальной (т. е. задается условиями лишь на аргументы ащхк)', структура этой области в терминах коаме-бы дискриминанта описана в статье [1]. Что касается интеграла (0.6), то его область сходимости Ср \ (Е+ и Е) не является ни поликруговой, ни секториальной.

Будучи однопараметричеекими семействами комплексных гиперплоскостей, множества Е± представляют собой вещественные гиперповерхности в Ср. Фактически они являются разрезами в пространстве Ср, примыкающими к дискриминантному множеству уравнения (0.3). Указанные разрезы вместе с соотношениями (0.5) для ветвей уравнения (0.3) позволяют получить некоторую информацию о монодромии решения г(х), а в случае триномиального уравнения zn + xzm- 1 = 0, 0 < т < п

0.7)

- полную информацию. Для этого уравнения множества £± представляют собой пару лучей (см. Рис. 1) 1

-y- trun те+ п г > г ч Ш. , ч п-п m\ п i п—тп\ п

Imx F' ÍXo Imx Л o • I X / / •

Rex i Xn—m • ( x\ ' • 1 Re¿

V \

Рис. 1. Разрезы Е+ и для триномиального уравнения (0.7)

Рис. 2. Образующие петли фундаментальной группы дополнения к дискриминантному множеству уравнения (0.7)

Отметим, что степенные гипергеометрические ряды, представляющие решения г(х) уравнения (0.7) сходятся либо в круге |ж| < г (в этом случае они являются рядами Тейлора для ветвей г(х)), либо во внешности круга |ж| > г (в этом случае они - ряды Пюизо для одной или нескольких ветвей). В то же время, область сходимости интеграла Меллина-Барнса для главного решения уравнения (0.7) - это сектор, ограниченный продолжениями лучей Е± до их пересечения в начале координат.

Не ограничивая общности можно считать, что тип взаимно просты (уравнение (0.7) сводится к этому случаю заменой г = гД где д, - наибольший общий делитель для т и п). В этом случае дискриминантное множество V уравнения (0.7) составляет следующая последовательность точек тггот+23 е п ~ т , . п-то ? й — 0, .,72 1,

• ("г") ■ лежащих на одной окружности, при этом гг0 =: х~ и хп-т =: х+ - суть начала лучей £ и Е+, вне которых, по Теореме 1, главное решение £•= го(х) голоморфно и однозначно. Обозначим через а3 петлю, проходящую через х = 0 и окружающую лишь точку х3. Совокупность таких п петель порождает фундаментальную группу дополнения С \ V дискриминантного множества; петли сто и сгп-т обозначим а~ и а+ соответственно (см. Рис. 2).

Следствие 1.1. Главная ветвь триномиального уравнения

0.7) переходит в себя при обходе каждой из петель а3, кроме а~ и

Учитывая связь (0.5) между ветвями г(х), мы приходим к следующему описанию монодромии решения г{х) для триномиального уравнения.

Теорема 2. Если тип взаимно просты, то всякая ветвь триномиального уравнения (0.7) имеет ветвление (причем второго порядка) лишь в паре точек e*(m-2j) ef(-m-2j)

ЩЩ^у^ = X-3{modn), == XH-rn)(rnodn)

При этом, ветвь Zj при обходе петли (Т-^тоап) переходит в ветвь Z{j-m){modn), а при обходе петли cr(-j-m)(rnodn) - б ветвь z^+m^modn).

Для возможного применения Теоремы 1 в общем случае проведено детальное исследование взаиморасположения разрезов Е± с дискрими-нантным множеством

V = {х е С71"1 : А(х) = 0} уравнения (0.1). В [31] показано, что V допускает следующую п-значную параметризацию fe = 1,. — X; S Е СРП2, (0.8) a,s) V (А s)J где а = (п—1,п—2,., 1), ß= (1,2, .,п-1).

Для формулировки теоремы 3 обозначим через a;±(s) - ветви параметризации (0.8), определяемые для s G М"-1 условиями arg = Т^-В случае кубического уравнения (п = 3) эти ветви параметризуют вещественные кривые, поэтому мы их будем называть "струнами".

В триномиальном случае x±(s) - это точки х+ и х~. Нас интересует аналитическое продолжение решения zo(x) уравнения (0.1) из окрестности точки х = 0. Область сходимости D степенного ряда для zq(x) с центром в точке х = 0, будучи (п — 1)-круговой областью, определяется параметризацией х(в) из (0.8), а именно, поверхность

Ы = к= 1,.,п- 1; 5 еМ!^-1 задает границу д\И\ изображения области И на диаграмме Рейн-хардта [31]. Мы доказываем, что \Б\ - выпуклая область. Следующий результат является обобщением Теоремы 2 на общее уравнение (0.1).

Теорема 3. Разрезы Е+, Е не пересекают область И и примыкают к ее границе лишь по двум "струнам" {^(я) : 5 £ М"-1} С V. Таким образом, при продолжении через границу дИ главное решение уравнения (0.1) испытывает ветвление только в точках {^(з) : я 6 К"-1}.

В заключительном параграфе первой главы приводится интегральное представление для решения уравнения

1 + х\гпх + +.+ х8хп* = 0, щ > . > п8 > 0, щ ф д. (0.9)

Последнее уравнение заменой 2 = уе~* сводится к уравнению Биркелана (0.2).

1+

Для формулировки результата символом / обозначим интеграл, о взятый вдоль петли, которая начинается в точке Ь = 0, обходит t = 1 в положительном направлении и возвращается в исходную точку. Как и выше, главное решение уравнения (0.9) - ветвь с условием £о(0) = 1.

Теорема 4. Главное решение го(х) уравнения (0.9) допускает предоглавление в виде интеграла

1+ 5

Ф) = 1 - &&- (1 - - 1)*тЧ) <Й, (0.10) о к=1 в котором ветвь логарифма вблизи х = 0 выбирается условием 1п 1 =

0. Интеграл (0.10) сходится в области пространства Св переменного х = (#1,. , а^)? полученной удалением из С5 двух семейств комплексных гиперплоскостей: е(0;1) I А=1 ;

Во второй главе анализируется подход Эрмита-Кронекера к решению уравнения пятой степени. Как уже отмечалось, с помощью преобразования Чирнгауза общее алгебраическое уравнение пятой степени сводится к уравнению с одним параметром: уъ + Ьу = а. (0.11)

Эрмит [24], [25] и Кронекер [28] (см. также [35], [7], [12]) для функции

00 т) = 9"А П(1 + 92""1) ик=1 близкой к тэта-функции, показали, что шесть ее значений

0 = / (Г) ^ = / = / (Г^*) = / , п = I 596^ , Уоо = /(5г) удовлетворяют так называемому модулярному уравнению

V6 - Л5 +4ии + и6 = 0, и = /(г). 13

Затем, используя рациональные процедуры (см. формулы (2.4) и (2.5) в главе 2), предъявили корни уравнения (0.11).

Наш подход основан на прямом решении модулярного уравнения, ^ используя аналитическое продолжение (см. (2.15)) ряда Меллина, найденное в статье Семушевой и Циха [14]. В результате доказана > следующая

Теорема 5. Ветвь решения у (а) уравнения (0.11) с условием у{ 6г) = г находится по формуле и1{а) + Ь где и(а) выражается суммой 36 рядов зг ^ (—1)С1+52 ^7/1 Е

32 а/5 ^ кг^У^сг + ЗвхЖо! + 352)!(с2 + 3 щ)!(сй + Зп2)! о, п\>0, с1,с2={0,1,2}

Х ^ Г(2 + 4^1 + 10/с2)Х гГ(1 + Цех + 1531 + 18д2) Г(1 + Ис2 + 15П1 + 18п2) 1 ^

Х I Г(2 + 9сх + 1251 + 15я2) Г(2 + 9с2 + Пщ + 15п2) + (1 + а + 3^) Х

1 Г(6 + 11 С! + 1531 + 18д2) Г(6 + 11 с2 + 15П1 + 18п2) ¿4 Х (1 + с2 + 3щ) Г(6 + 9с1 + 12в1 + 1552) Г(б + 9с2 + 12п1 + 15п2) 410

1 Г(1 + Цех + 15^1 + Ш2) Г(6 + Пса + 15п! + 18п2) (1 + с2 + Зщ) Г(2 + 9сх + 125Х + 15а2) Г(б + 9с2 + 12щ + 15п2) 45 1 х X X

1 + С1 + 351)

Г(б + 11С1 + 1551 + 1852) Г(1 + Ис2 + 15П1 + 18п2) £2

Г(б + 9сх + 1251 + 1552) Г(2 + 9с2 + 12пх + 15п2) вычисленных при Ь = а2+х/°4+25-.

Как функциональные ряды переменного а, они сходятся в секторах,

7Ц Зтг! т Зяч ограниченных лучами а = ге * и а = ге * ; а = ге* и а = ге * ,г > 0.

1 Участвующие в теореме ряды можно интерпретировать как сужения шестикратных гипергеометрических рядов переменных (^1, Z2,Wl,W2,Cl1 Сг) на сдвинутую однопараметрическую г2 г4 г6 г6 ¿6 г6

1 = 45,^2 = = = |18,С1 = ^15,С2 = ^ предполагается, что степени переменных обозначают к{, а переменных Юг, Сг - соответственно и щ).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36] - [40]. По материалам диссертации делались доклады I

I ■

- на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2003 - 2006 гг.);

- на Международной школе-конференции "Комплексный анализ и его приложения" (Краснодар, сентябрь 2005 г.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и проявленное внимание к данной работе.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Михалкин, Евгений Николаевич

Основные результаты:

1. Найдена новая формула для решения общего алгебраического уравнения в виде интеграла по отрезку элементарной функции.

2. Описана монодромия решения вблизи ближайших особенностей; для триномиального уравнения получено полное описание монодромии.

3. Получена новая формула для решения уравнения пятой степени в виде сужения гипергеометрических рядов.

Заключение

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе и алгебраической геометрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михалкин, Евгений Николаевич, 2006 год

1. АНТИПОВА И. А. Обращения многомерных преобразований Меллина и решение алгебраических уравнений// Матем. сб. (в печати).2. бейтмен Г., ЭрдеЙИ А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973.

2. Васильев В.А. Ветвящиеся интегралы. М.: МЦНМО, 2000.4. васильев в.а. Топология дополнения к дискриминантам. м.: Фазис, 1997.

3. Гельфанд И.М., Зелевинский A.B., Капранов М.М. Гипергеометрические функции и торические многообразия// Функц. анализ и его прилож. 1989. Т. 23, №2. С. 12 26.

4. Жданов О.Н., Цих А.К. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №2. С. 282 298.

5. КЛЕЙН Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989.8. куликов B.C. Фундаментальная группа дополнения к гиперповер-ности в СпЦ Изв. РАН., Серия матем. 1991. Т. 55, №2. С. 407 428.

6. ЛЕБЕДЕВ H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.

7. СЕМУШЕВА А.Ю. Об областях сходимости гипергеометрическихi рядов многих переменных// Сиб. матем. журн. (в печати).

8. СЕМУШЕВА А.Ю., Цих А.К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений. В кн.: Комплексный анализ и дифференциальные операторы (к 150-летию C.B. Ковалевской), КрасГУ, 2000, С. 134 146.

9. BRING E.S. Meletamata quaedam mathematica circa transformationem aequationen algebraicarum. Uppsala. 107 (1786).

10. Forsberg M., Pass are M., Tsikh A. Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas// Adv. in Math. 151 (2000), P. 45 70.

11. Gelfand i., Kapranov M., Zelevinsky A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser: Boston, 1994.24. hermite Ch. Sur la resolution de l'équation du cinquième degré// C. R. Acad. Sei. 46 (1858), P. 508 515.

12. Hermite Ch. Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré. Paris. 107 (1859).