Об алгебраических уравнениях и областях сходимости кратных гипергеометрических рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Семушева, Анастасия Юрьевна

• Семушева, Анастасия Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семушева, Анастасия Юрьевна

Введение

1 Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений

1.1 Формулировка результатов Меллина для главного решения

1.2 Идея исследования главного решения.

1.3 Интегралы Меллина-Барнса и принцип разделяющих циклов

1.4 Доказательство Предложения 1.1.

1.5 Голоморфное продолжение главного решения.

1.6 Область сходимости степенного ряда (1.4) для главного решения

2 Области сходимости кратных гипергеометрических рядов

2.1 Формулировка теоремы Горна, униформизация Горна-Капранова.•.

2.2 Доказательство теоремы Горна.

2.3 Амебы алгебраических гиперповерхностей и их связь с областями сходимости степенных рядов.

2.4 Области сходимости одного класса гипергеометрических рядов

3 Об областях сходимости рядов, представляющих периоды на многообразиях Калаби-Яу

3.1 Пример реализации многообразия Калаби-Яу в взвешенно-проективном пространстве

3.2 Пример реализации гиперповерхности Калаби-Яу в тори-ческом многообразии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об алгебраических уравнениях и областях сходимости кратных гипергеометрических рядов»

Проблема решения алгебраических уравнений интересует математиков уже более двух тысячелетий. После того как Тарталья, Феррари и Кардано решили уравнения третьей и четвертой степени, появились надежды решить любое алгебраическое уравнение, причем в радикалах. Эти надежды серьезно поколебали Лагранж и Руффини и окончательно развеял Абель [15], доказав в 1824 году невозможность решения общего уравнения пятой степени в радикалах. Дальнейшие продвижения теория алгебраических уравнений получила в направлении трансцендентного анализа, поскольку после работ Абеля и Галуа „алгебра отказалась" заниматься этим вопросом. Идею аналитического решения уравнений подал Виет и лишь 275 лет спустя ее осуществили Эрмит [24] и Кронекер [28], в 1858 году доказав, что всякое уравнение пятой степени можно решить в модулярных эллиптических функциях. Затем опять потребовалось 126 лет для того, чтобы осуществить идею Кронекера о решении уравнения любой степени с помощью модулярных функций. В 1984 году Умемура [10] доказал, что это можно сделать с помощью тета-функций.

Менее замеченной в истории алгебраических уравнений оказалась статья Меллина 1921 года [29], в которой общее уравнение решается с помощью гипергеометрических функций. В этой статье Меллина решения уравнения представлены в виде интегралов с параметрами, которые сейчас принято называть интегралами Меллина-Барнса. С помощью таких интегралов Меллин получил разложение Тейлора в виде гипергеометрического ряда для ветви решения у(х) общего алгебраического уравнения уп + х1Уп1 + • • • + хруп* -1 = 0, (0.1) определенной условием у(0) = 1.

До сих пор оставался открытым вопрос об аналитическом продолжении указанной ветви (которую мы называем главным решением уравнения (0.1)) и вопрос об областях сходимости всевозможных разложений Пюизо для ветвей уравнения (0.1). Областям сходимости многомерных гипергеометрических рядов была посвящена классическая работа Горна [25]. Однако, следует заметить, что общий результат Горна не дает полную информацию об областях сходимости конкретных гипергеометрических рядов, встречающихся во многих приложениях, в частности, - рядов для общих алгебраических функций и рядов, представляющих фундаментальные периоды на многообразиях Калаби-Яу.

Цель настоящей диссертационной работы состоит в исследовании аналитических продолжений интегралов Меллина-Барнса, представляющих общую алгебраическую функцию и фундаментальные периоды некоторых многообразий Калаби-Яу, а также в получении более совершенных, чем у Горна, описаний областей сходимости кратных гипергеометрических рядов.

Отметим, что важный шаг на пути исследования проблемы сходимости гипергеометрических рядов был сделан в статье Пассаре и Циха [30], где на примере решения уравнения (0.1) описана связь областей сходимости для различных ветвей решения с амебой дискриминанта уравнения. Таким образом, в [30] была привлечена конструкция амебы алгебраического множества (точное определение см. в параграфе 2.3), введенная в известной книге И.М. Гельфанда, М.М. Капранова, А.В. Зелевинского [22], а также понятие униформизации Горна-Капранова [27] и ее связь с сингулярностями гипергеометрических функций [4], [31]. Методика исследования диссертации основана на указанных понятиях амебы алгебраической гиперповерхности, униформизации Горна-Капранова, а также на принципе разделяющих циклов [11], [32].

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Первая глава представляет собой продолжение исследований Мел-лина о решении алгебраических уравнений. Основными результатами здесь являются Теорема 3 о рядах Пюизо для ветвей решения уравнения (1) и Теорема 5 об области сходимости главного решения.

В Теореме 3 получены формулы аналитического продолжения для главного решения у (х) и его степени ум(х) в виде рядов по дробным степеням (рядов Пюизо) переменных . ,хр. Таких формул р + 1 штук, одна из которых есть формула Тейлора для главного решения с центром в точке х — 0, полученная ранее Меллином [29]. Например, для квадратного уравнения (когда, в (0.1) п = 2, п\ = 1, Х\ = х)

Функция у(х) имеет особенности лишь в точках х — ±2г, поэтому она у2 + ху - 1 = 0, главное решение явно выписывается в радикалах: раскладывается в ряд Тейлора в круге |ж| < 2 и в ряд по отрицательным степеням (в ряд Лорана) вне этого круга. В общем случае справедлива следующая

Теорема 3. Существует р различных аналитических продолжений yj{x), j — 1,. главного решения у[х) уравнения (0.1) для степеней yj(x) (fi > 0) которых справедливы разложения в ряды 3 WV WV \Xjni J J где Ы -nlfcl П {v + niki +. + nkj +. + npkp-srij) a3 = k kx\.kv\ n/l"1

Степень y${x) ряда Тейлора главного решения у — уо(х) вычисляется по этим же формулам, где нужно положить j = 0, щ = п.

Ряды Пюизо в Теореме 3 представляются конечными суммами однотипных гипергеометрических рядов (их определение см. ниже).

Для описания области сходимости гипергеометрического ряда для главного решения уо{х) напомним, что областями сходимости р-кратных степенных рядов являются полные ^круговые логарифмически выпуклые области [13]. Полнота области сходимости G С Ср данного степенного ряда с центром в нуле обеспечивается леммой Абеля [13] и состоит в том, что вместе с каждой точкой (х., ж®) £ G область G содержит поликруг ari| < < |а£|.

Это обстоятельство позволяет характеризовать область G ее образом ]С?| С R+ при сопоставлении точке (х\,., хр) £ G вектора (|zi|,. ,\хр\) из модулей ее координат. При описании границ 8G и \dG\ полезную роль играет понятие сопряженных радиусов сходимости ряда [13]: величины ri,.,гр составляют сопряженные радиусы сходимости, если в поликруге |xi| < гi,. ,\хр\ < гр ряд сходится, но в любом большем поликруге - расходится.

Теорема 4. Для любого q Е М+ величины rs(q) =-^-п-, (0.2)

Ш91 + . + npqpr/n(n[qi + . + п'рЧр)^п s — 1,. ,р являются сопряженными радиусами сходимости ряда Тейлора для главного решения у(х). Будучи однородными функциями нулевой степени (rs(Xq) = rs(q)) функции (0.2) параметризуют гиперповерхность в К.р, являющуюся граничной к области сходимости |G| указанного ряда.

Теорема 4 является непосредственным следствием основного результата второй главы - Теоремы б (см. ниже). Утверждение Теоремы 4 впервые было доказано при р — 2 в совместной работе диссертанта и А.К. Циха [37]. Затем оно было распространено для произвольного р ^ 2 в статье [30].

Для того, чтобы нагляднее представить области сходимости ряда Тейлора для главного решения у = уо(ж) и его рядов Пюизо, представленных в Теореме 3, удобно воспользоваться понятием амебы Лу алгебраической гиперповерхности V [4]: это образ V при логарифмическом проектировании zb .,хр)-> (log |zi|,., log \хр\).

В нашем случае алгебраическая функция у{х) имеет особенности в точности на дискриминантной поверхности V = {А(а;) = 0}. Например, в случае кубического уравнения у3 + х2у2 + х\у -1 = 0 дискриминант Д равен

Л(х) = 27 + 4ж13 - \х<1 + 18xix2 - х\х<1

Амеба дискриминантной кривой Л(х) = 0 изображена на Рис. 1, а на Рис. 2 по мере возрастания жирности обозначены области сходимости ряда Тейлора для уо(х) и рядов Пюизо для yi(x), У2{х).

Рис. 1

Рис. 2

Отметим, что одновременно и независимо, Штурмфельс [36] получил ряды для решения уравнения (0.1), исходя из несколько другого понятия гипергеометричности в смысле Гельфанда-Капранова-Зелевинского [4].

Во второй главе мы приводим распространение теоремы Горна об областях сходимости кратных гипергеометрических рядов на некоторые более общие ряды и выделяем один случай рядов, для которых удается получить более совершенное описание областей сходимости.

Существует несколько определений гипергеометрических функций [3]. Видимо, самым простым и универсальным из них является определение гипергеометрического ряда, данного Горном в 1889 году [25]: степенной ряд (ряд Лорана)

0.3) sezn seZn называется гипергеометрическим, если отношения соседних коэффициентов представляют собой рациональные функции переменных s: г = 1.п, (0.4) i здесь е; = (0,., 1,., 0). Согласно теореме Оре-Сато [34] общий вид для коэффициентов гипергеометрического ряда следующий: ф) = R(s) ■ ts • -!=*-; (0.5) з=1 здесь R(s) - рациональная функция, t G (С \ {0})", Г - гамма-функция Эйлера, Aj, Bj € Zn, с*, dj € С, наконец, (,) - знак скалярного произведения.

Отметим одно важное обстоятельство. Ряд (0.3) с коэффициентами вида (0.5) далеко не всегда сходится, если суммирование брать по всей

00 решетке Ъп (это легко усмотреть, например, для ряда xs). Сам ряд s=—oo

0.3) следует считать формальным, из которого можно строить неформальные (с непустой областью сходимости) каким-либо естественным выбором массива суммирования 5eZn (см. [33], [31], [22], [4], [3]).

В работе [25] Горн привел рецепт для описания области сходимости гипергеометрических рядов двух и трех переменных, рассматривая в качестве массива суммирования положительные ортанты Z+ и Z+. Приведем результат Горна для двукратных рядов

Н(хъх2) =

Si, где, по определению гипергеометричности, фх + 1, s2) , , <p(si,s2+ 1) ЛД51, s2) :=--f-Г-, R2{s 1, s2) :=--т— являются рациональными фунциями от si и s2. В [25] вводятся пределы $i(<?b Ч2) = lim R\(q\l, q2l) $2(41, Ч2) = Ит R2{qih ft О j—>00 1—>00 и отмечается, что функции Ф; рациональны и однородны степени нуль, т. е. фактически зависят от отношения qi : q2. С помощью этих функций и вычисляется область сходимости G ряда H(xi,x2). А именно, хорошо известно, что области сходимости степенных рядов являются областями Рейнхардта [13], т. е. полностью определяются модулями |a;i|, \х2\ переменных и, согласно результату Горна, если точка (|:ri|, \х2\) лежит на границе изображения Рейнхардта |G| для области сходимости G, то она лежит или на прямой

21: N

Фх(1,0) или на прямой

03: Ы = 1

Ф2(0,1) или на кривой 65, параметризованной в виде ы = $l(9l,92) ы =

91,92)

91,92 > 0.

0.6)

Более точная формулировка результата Горна заключена в следующих двух утверждениях.

Утверждение 1. Если точка (х^х®) лежит вне бикруга

А = {Ы 1

M1,0) Ы < 1 $2(о,1) либо для некоторого положительного направления q\ : 92

И1> $1(91,92) 1 $2(91,92) то степенной ряд Н(х 1,2:2) расходится в точке (х^х®). Утверждение 2. Если точка (а;?, х[>) лежит в бицилиндре А и для всех положительных направлений q\ : q2 выполняется хотя бы одно из неравенств <

HI < 1 $2(91,92) $1(91,92) то ряд Н{х 1,^2) сходится в точке (х^х®).

Теперь рассмотрим n-кратный гипергеометрический ряд, с суммированием по положительному октанту, где, по определению гипергеометричности, выполняются равенства (0.4) и, следовательно, коэффициенты cp(s) имеют вид (0.5). Множитель R(s) в (0.5) не дает существенного влияния на область сходимости ряда Я, а множитель ts лишь влияет растяжением на область сходимости (|£i| раз по переменной . ,|£п| раз по переменной хп). Поэтому мы будем вести речь о рядах вида

H(xh.,xn) = Y1 фи ■ ■ ■, sn)xisi .xnSn, (0.7) у которых коэффициенты имеют вид = ¥-. (0.8)

3=1

На самом деле, мы не только распространяем результат Горна на произвольное число переменных, но и обобщаем его на случай, когда векторы Ai, Bj вещественные. Следуя Горну, введем для коэффициента ip(s) вида (0.8) пределы , \ 1. vis + еЛ.

Ф.(91, • • •, 9n) = im----\s=lq, г = 1,., n, составленные для произвольного вектора q = (qi,.,qn) £ {0}.

Функции Фг(^) однородны степени нуль; они рациональны, если Ai, Bj целочисленные, и выражаются в радикалах, если Bj имеют рациональные координаты. С помощью функций Фг(<?) и вычисляется область сходимости G ряда (0.7) с коэффициентами вида (0.8).

Обозначим I = {1,.,гг} и для произвольного непустого подмножества J С I мощности | J| определим вектор-функции где (б/j, 0i\j) - вектор с n координатами, у которого на местах с номерами j £ J стоит а на всех остальных местах - нуль.

Теорема 5. Область сходимости G ряда (0.7) представляет собой пересечение областей

G = pi Gj, где Gj состоит из всехх = {х\,.

1 таких, что для любого ijj £ ^ выполняется хотя бы одно из неравенств

I I 1

Рис. 3

Существует класс гипергеометрических рядов, для которых граница области сходимости состоит лишь из куска параметризации (0.6) при п — 2, а при любом п ^ 2 естественно определяется отображением (1/Фь .1/Ф«), которое называют параметризацией Горна-Капранова [27], [30]. Например, на Рис. 3 заштрихованная область сходимости ряда ограничена кусочно-гладкой кривой, которая есть лишь часть параметризации Горна-Капранова (в логарифмической шкале) при gi, > 0, а другая часть окаймляет маленький криволинейный треугольник и не соприкасается с границей области сходимости.

Нетривиальные области сходимости имеют только неконфлуэнтные ряды, т. е. ряды вида ул r({Aus) + a1).r((Ap,s) + ap) x^.xns-^ Г((ВЪ s) + 61). Г((БГ, з) + Ьг) ' si\. sn\ ' lU'yj где

А\ Н-----Ь = Б1 Н-----Ь Д. + (1,., 1) (условие неконфлуэнтности), a S С Ъп - так называемый носитель ряда. Носитель ряда представляет собой полиэдральное множество S в Zn, на котором коэффициенты ряда (p(s) ненулевые, а в дополнение к S они продолжаются нулевым образом с сохранением разностных соотношений (0.4) (детали формирования носителя см. в [31] и [33]). Специально выбранные в знаменателе (0.9) множители sj\ — r(sj + 1) дают мотивацию к выбору положительного октанта Z" в качестве носителя ряда, поскольку для отрицательных целых sj функция rfa+i) равна нулю. Интересующие нас ряды с „правильной" областью сходимости - это ряды вида (0.9), где р = г = 1 и S = Z£:

V- Г((Л,а) + а) . • У , . sUn{B>S) + b)' SlL-'Snl ' причем мы не будем требовать целочисленности А и В, полагая А, В £ R". Заметим, что ряды вида (0.10) представляют интерес в математической физике [8], [16], [19], где они появляются в теории суперструн в качестве периодов на многообразиях Калаби-Яу.

Основной результат второй главы составляет Теорема 6. Если в ряде (0.10) каждый из векторов

А = (oi,. ,an), B = (bu.,bn) имеет координаты одного знака, то граница области сходимости этого ряда задается параметризацией Горна-Капранова:

1 1

Mq) ,., Фп(?) где

ЫЯ) = ЯГЧА q)ai{B, q)~\ * = 1.п.

Из этой теоремы непосредственно вытекает справедливость Теоремы 4 первой главы. Она обобщает результаты о сходимости рядов для общих алгебраических функций [37], [30].

В главе 3 найдены области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих фундаментальные периоды некоторых многообразий Калаби-Яу. При этом выбраны примеры, которые не охватываются Теоремой 6. В качестве одного из примеров рассматривается многочлен

Р{у) = Уо7 + У17Уз + Уз3 + У27Уа + У43, определяющий во взвешенном проективном пространстве ^32277) ги~ перповерхность Калаби-Яу. В подходящих координатах х\, х2 (которые мономиально выражаются через модули деформации поверхности Р(у) = 0), фундаментальный период гиперповерхности представляется рядом Горна [19]

Нг(хих2)= £ r2r + 1 (0.11) r2(si + l)r2(2si + s2 + 1)si!s2!

Теорема 7. Граница области сходимости ряда (0.11) задается параметризацией: i|, \х2\) = (Ф1Й1, q2), MQu 92)), Я = (qu to) € \ {0}, где lTf f ч <7i3(2<?i + q2f f л 42^1 + 42?

Граница области сходимости ряда (0.11) задается также уравнением

7>!|3 - З3 • 75Ы2Ы2+

22 • t\xx\2\x2\ - 24|ап|2 + 2 • З6 • 72|ам||х2|4

0.12)

33 - 52|а:1||х2|3 + 23|а:1||Ж2|2 + 39|а:2Г

З7|х2|6 + 34N5 - Ы4 = 0.

Это уравнение получается исключением параметров qi, q2 (точнее параметра t := ввиду однородности степени нуль параметризации Ф(q)) из параметризации Горна-Капранова , gi3(2gi + g2)4 , , <?2(2gi + g2)2 Л N= (7<7i + 3g2)7

Отметим, что если в уравнении (0.12) убрать знаки модуля, то мы получим уравнение сингулярной комплексной кривой для суммы ряда (0.11):

А 7 V - З3 • 75*i V+

22 • 73xi2X2 - 2%2 + 2 - З6 • 72^ia:24—

0.13)

З3 • 52Х\Х23 -f 23ajia:22 + 3°х27-37х26 + 34z25 - гс24 = 0.

Параметризация границы области сходимости, указанная в Теореме 7, в логарифмической шкале на Рис. 4 представляет собой кусок кривой гиперболического типа, асимптоты которой параллельны координатным осям. В целом, на Рис. 4 изображена амеба сингулярной кривой для многозначной функции, определенной аналитическим элементом - рядом (0.11).

Рис. 4 4

Апробация работы: результаты диссертации докладывались на

- Международной конференции „Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, август 1999 г.);

- Международной научной студенческой конференции (Новосибирск, апрель 2000 г.);

- Международной конференции по кубатурным формулам (Красноярск, август 2001 г.);

- Международной конференции „Комплексный анализ и его приложения" (Краснодар, сентябрь 2005 г.);

- Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (1999-2005).

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Семушева, Анастасия Юрьевна

Основные результаты:

1. Построены аналитические продолжения в виде гипергеометрических рядов для ветвей общей алгебраической функции.

2. Получено уточнение теоремы Горна об областях сходимости кратных гипергеометрических рядов.

3. Найдены области сходимости для гипергеометрических рядов, представляющих общую алгебраическую функцию и фундаментальные периоды некоторых многообразий Калаби-Яу. f ь

Заключение

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в комплексном анализе, алгебраической геометрии и математической физике.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семушева, Анастасия Юрьевна, 2005 год

1. АЙЗЕНБЕРГ J1.А., ЮЖАКОВ А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

2. ВЛАДИМИРОВ B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

3. Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах B.C. Обобщенные гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического munaj j Успехи матем. наук. Т. 47, №4 (1992), с. 1 88.

4. Гельфанд И.М., Зелевинский А.В., Капранов М.М. Гипергеометрические функции и торические многообразия// Функц. анализ и его прилож. Т. 23, №2 (1989), с. 12 26.

5. ЖДАНОВ О.Н., Цих А.К. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов// Сиб. матем. журнал. Т. 39. №2 (1998), с. 282 298.

6. Пассаре М., Цих А.К., Чешель А.А. Кратные интегралы Меллина-Барнса как периоды многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями// Теор. и матем. физика. Т. 109, №3 (1996), р. 381 -394.

7. ЦИХ А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988.

8. Berglund P., Candelas P., X. de la Ossa, Font A., Hubsch Т., jancic D., Quevedo F. Mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in weighted P4 and extensions of Landau Ginzburg theory// Nucl. Phys. V. В419. (1994), p. 352.

9. FABER G. Uber die zusammengekorigen Konvergenzradien von Potenzreihen mehrerer Veranderlichen// Math. Ann. 61 (1905), p. 289 324.

10. Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas // Adv. in Math. 151 (2000), p. 45 70.

11. GELFAND I., KAPRANOV M., ZelEVINSKY A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants// Birkhauser, Boston, 1994.

12. HARTOGS F. Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer A unabhangiger Verdnderlichen, insbesondere iiber die Darstellungderselber durch Reihen, welche nach Potenzen einer Verdnderlichen fortschreiten// Math. Ann. 62 (1906), p. 1 88.

13. HERMITE Ch. Sur la resolution de Vequation du cinquieme degre// C. R. Acad. Sci. 46 (1858), p. 508 515.

14. HORN J. Uber die Convergenz der hypergeometrischen Reihen zweier und dreier Verdnderlichen j j Math. Ann. 34 (1889), p. 544 600.26. hubsch T. Calabi-Yau Manifolds-A Bestiary for Physicists. Singapore:1. World Scientific, 1992.S

15. KAPRANOV M. A characterisation of A-discriminantal hypersurfaces in terms of the logarithmic Gauss map// Math. Ann. 290 (1991), 275 -285.

16. Passare M., Tsikh A., Zhdanov O. A multidimensional Jordan residue lemma with an applications to Mellin-Barnes integrals// Aspects of Math. 1994. E. 26. P. 233 242.

17. SADYKOV Т.М. On the Horn system of partial differential equations and series of hypergeometric type// Math. Scand. 91 (2002), p. 127 -149.f

18. SATO M. Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part)//

19. Nagoya Math. J. 120 (1990), p. 1 34.35. srivastava H.M., karlson P.W. Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Chichester, New York, "John Wiley & Sons", 1985.

20. STURMFELS B. Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series// Discrete Math. 210 (2000), p. 171 181.p Работы автора по теме диссертации1.

21. СЕМУШЕВА А.Ю., Цих А.К. Продолжение исследований Меллинао решении алгебраических уравнений// Комплексный анализ и дифференциальные операторы (к 150-летию С.В. Ковалевской). Красноярск: Красноярский гос. ун-т, 2000. С. 122 134.

22. СЕМУШЕВА А.Ю. Об областях сходимости гипергеометрических рядов многих переменных)j Сиб. мат. журн. (в печати). •

23. СЕМУШЕВА А.Ю. Об областях сходимости двойных рядов для периодов некоторых многообразий Калаби-Яу// Вестник КрасГУ. Физ.-мат. науки. 2005. Вып. 1. С. 75 82.

24. СЕМУШЕВА А.Ю. Обобщение теоремы Меллина о решении алгебраических уравнений// "Математические модели и методы их исследования": сб. тезисов междунар. конференции. Красноярск: Красноярский гос. ун-т. 1999. С. 181 182.