Интегральная геометрия на геодезических римановой метрики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Пестов, Леонид Николаевич

• Пестов, Леонид Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пестов, Леонид Николаевич

Введение

Глава 1. Некоторые предварительные результаты из дифференциальной геометрии

1. Горизонтальная и вертикальная производные И

2. Горизонтальные тензорные поля

3. Дифференциальные и интегральные равенства

4. Геодезический поток и поля Якоби

Глава 2. Интегральная геометрия тензорных полей, вопросы единственности

1. Лучевое преобразование

2. Дифференциальные тождества и неравенства

3. и - простые метрики

4. Теоремы единственности

Глава 3. Сопряженное уравнение и угловой годограф

1. Угловой годограф и оператор

2. Символ оператора 1^1т

3. Теоремы сюръекции

4. Пространство C™(d+Q(M)) и теорема о складке

5. Угловой годограф и первые интегралы геодезических

Глава 4. Двумерные задачи 105 1. Геодезическое векторное поле и преобразование

Гильберта

2. О разрешимости скалярной и векторной задачи

3. Формулы обращения и уравнения Фредгольма

4. Граничная жесткость

5. Обратная кинематическая задача Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральная геометрия на геодезических римановой метрики»

Интегральная геометрия - дисциплина, в которой изучаются вопросы восстановления функции, определенной на некотором многообразии по интегралам от нее но некоторому семейству подмногообразий меньшей размерности. В диссертации рассматриваются только те задачи интегральной геометрии, в которых интегрирование проводится вдоль геодезических некоторого односвязного компактного риманова многообразия с краем. Совокупность всех интегралов определяет лучевое преобразование функции. При этом интегрируемая функция может зависеть не только от точки многообразия, но и определенным образом от направления.

Рассматриваемые в диссертации задачи имеют важное значение как в приложениях, так и во внутриматематических вопросах. Они возникают в диагностике неоднородных сред (ультразвуковая томография в медицине, обратная кинематическая задача сейсмики в геофизике и т.д.), в теории обратных задач (например, при исследовании обратных задач для гиперболических уравнений и систем методом разделения особенностей [42], [68]). Отметим также проблему граничной жесткости римановых многообразий, возникающей в геометрии и имеющую тесные связи с задачами интегральной геометрии [58]-[60], [64], [66].

Если метрика задана, и, следовательно, геодезические известны, задачи интегральной геометрии линейны. При неизвестной метрике возникают нелинейные задачи. Наиболее важный пример - задача определения метрики д риманова многообразия (М,д) с краем дМ по расстояниям dg (х,у), х,у Е дМ между точками края. В случае, когда М - односвязная компактная область в а метрика конформно-евклидова, g{j = Sij/c2 эта задача известна как обратная кинематическая задача, возникающая в геофизике [42]. Здесь S{j - символ Кро-некера, с - скорость распространения упругих волн. В геофизике функцию dg(x,y), х,у 6 дМ (время распространения волн) называют годографом. В случае общей метрики мы также будет следовать этой терминологии и называть функцию dg (х,у), х,у 6 дМ годографом метрики g, а задачу опреде-* ления метрики g обратной кинематической задачей.

Хорошо изученный пример линейной задачи интегральной геометрии - лучевая задача Радона для евклидова пространства и многообразий постоянной кривизны. Здесь имеется развитая теория, включающая теоремы единственности, существования, формулы обращения и алгоритмы решения практических задач [44], [48],[65]. В. А. Шарафутдиновым [52] были получены аналогичные результаты при интегрировании по прямым функций, зависящих не только от точки, но от направления (в виде однородного полинома).

Случай общих римановых многообразий исследован значительно меньше. Первые важные результаты - теоремы един* ственности в двумерной линейной задаче и обратной кинематической задаче для конформно-евклидовой метрики были получены Р. Г. Мухометовым [23],[24],[25]. В дальнейшем метод Р. Г. Мухометова был распространен в работах Р. Г. Мухоме-това, В. Г. Романова [26],[27],[41], И. М. Бернштейна, М. Л. Гервера [11],[12] на случай компактных римановых и финсле-ровых многообразий с краем произвольной размерности. Линейные задачи, которые изучались в этих работах, касались случая, когда искомая функция зависела только от точки многообразия. Первый результат в задаче, когда искомая функция "линейно" зависит от направления £ был получен Ю. Е. Аниконовым [2] (в двумерном случае) и Ю. Е. Аниконовым и В. Г. Романовым [8] (для произвольной размерности). В этих работах было показано, что линейная форма fi определяется своим лучевым преобразованием с точностью до потенциальной формы (Vh (х) ,£) с постоянным потенциалом h на краю многообразия. Используемое во всех этих работах условие нормальной выпуклости многообразия, когда любые его две точки соединяет единственная геодезическая, до сих пор не удается ослабить.

Линейные задачи интегральной геометрии, рассматриваемые в диссертации, касаются случая, когда интегрируется функция /т, зависящая от пары (#,£), где х - точка пространства, £ - направление (единичный вектор скорости геодезической в точке ж), причем зависимость от £ выбирается в виде однородного полинома произвольной степени т > 0. Каждый такой полином порождается симметричным тензорным полем / той же степени. Множество всех интегралов (т.е. лучевое преобразование функции fm) определяет лучевое преобразование Imf поля /.

Задача об обращении лучевого преобразования симметричного тензорного ноля произвольной степени на многообразии неположительной кривизны впервые была рассмотрена в статье автора [29], где была приведена схема ее исследования. Затем в работе JI. Н. Пестова и В. А. Шарафутдинова [35] была доказана теорема о разложении симметричного тензорного поля на потенциальную и соленоидальную часть и получена оценка устойчивости соленоидальной части поля через его лучевое преобразование (также в случае многообразия неположительной кривизны). Потенциальная часть с постоянным потенциалом на краю многообразия аннулируется лучевым преобразованием. Позже этот результат был усилен в [51], где условие неположительности кривизны было заменено на некоторое условие интегрального характера на секционные кривизны.

Перечисленные результаты касались проблемы единственности в задачах интегральной геометрии тензорных полей. Вопросы разрешимости для общих римановых многообразий исследованы значительно меньше. В случае аналитической метрики и аналитической искомой функции необходимые и достаточные условия разрешимости двумерной скалярной задачи (т = 0) приведены в [2]. Для задачи в круге в случае кривых, достаточно близких к прямым в работах Д. А. Попова [36],[37] приведены формулы обращения и дано описание образа лучевого преобразования. Сложность проблемы разрешимости связана в первую очередь с переопределенностью задач, которая имеет место даже в размерности 2 [7]. С целью избавиться от переопределенности Ю. Е. Аниконовым было предложено рассмотреть более широкий класс искомых функций. Естественные расширения совпадают с ядром некоторого дифференциального оператора второго порядка Qmi т Е R [7],[54]. В частности, полином /ш, порожденный соленоидаль-ным тензорным полем, принадлежит KerQm при целом т. При таком расширении А. X. Амировым была доказана разрешимость задачи интегральной геометрии на многообразии неположительной кривизны [1].

Из нелинейных задач интегральной геометрии в диссертации рассматривается обратная кинематическая задача на двумерном римановом многообразии. Метрика д, вообще говоря, не определяется своим годографом dg (х,у), х,у G дМ. Известный пример неединственности решения обратной кинематической задачи строится с помощью произвольного диффеоморфизма tp : (М, g) —>■ (М, <р*д), тождественного на краю, (р\дм = id. Диффеоморфизм ip порождает новую метрику <р*д, изометричную д, т.е. он сохраняет расстояния dg (х,у) = dip*g (р (х) 7 У (?/)) между любыми точками ж, у G М. В частности, годографы обеих метрик совпадают. Вопрос о том, определяет ли годограф метрику с точностью до указанного диффеоморфизма составляет, так называемую, проблему граничной жесткости. Многообразие называется гранично жестким, если годограф определяет метрику с точностью до изомет-рии, тождественной на краю. Легко видеть, что это не единственный пример неединственности решения обратной кинематической задачи. А именно, можно построить такую метрику д и указать такую точку xq £ М, что d(xo,dM) > SUPх,уедм dg (х, у). Тогда годограф не изменится при изменении метрики g в окрестности точки xq. Поэтому необходимы дополнительные условия на метрику. Одно из таких условий состоит в том, что любые две точки многообразия М соединяет единственная геодезическая и край дМ - строго выпуклый относительно геодезических. Такое многообразие (метрика) называется простым (простой). Р. Мишелем (R. Michel) в [64] была высказана гипотеза о граничной жесткости простых многообразий. Известны следующие случаи решения проблемы граничной жесткости. Если одна из метрик плоская и годографы обеих метрик совпадают, то метрики изометричны [62]. Двумерное многообразие неположительной кривизны гранично жестко [58]. Если две метрики, удовлетворяющие некоторому условию на секционные кривизны, достаточно близки в классе С2 и имеют одинаковые годографы, то они изометрич-ны [60].

Как было доказано Р. Г. Мухометовым [24] в двумерном случае две простые конформно-евклидовы метрики совпадают, если они имеют одинаковые годографы. Позже им был установлен общий результат [26]: если (М, #г ), г = 1,2 - два простых многообразия и метрики pj, д<± из одного конформного класса (т.е. д\ — рд^ с положительной гладкой функцией р) имеют одинаковые годографы, то д\ — дТ.е. в этом случае диффеоморфизм (р тождествен. Другие результаты с помощью близких методов были получены в [10],[12],[15]. В монографии A. JL Бухгейма [13] доказана теорема разрешимости многомерной обратной кинематической задачи в классе аналитических функций.

Первая глава диссертации содержит краткое изложение основных сведений из дифференциальной геометрии векторных расслоений над римановым многообразием. В ней также развиваются основы теории горизонтальных тензорных полей на расслоении (произведении расслоений) единичных сфер над римановым многообразием, которая дает удобный аналитический аппарат для исследования задач интегральной геометрии.

Вторая глава посвящена вопросам единственности обращения лучевого преобразования симметричных тензорных полей. Она содержит как новые доказательства результатов работ [8],[12] (для скаляров и векторных полей), так и новые теоремы единственности для произвольной степени тензорного поля.

В третьей главе рассматривается вопрос о сюръективно-сти естественного сопряженного оператора Доказывается сюръективность в скалярной задаче (ш = 0) и аналогичный более слабый результат в векторном случае (m = 1). Эти результаты имеют важное значение при изучении вопросов разрешимости задач интегральной геометрии и исследовании обратной кинематической задачи.

В четвертой главе рассматриваются задачи интегральной геометрии на двумерном многообразии. Главным инструментом исследования здесь оказывается интегральное преобразование Гильберта на единичной окружности Qx С Тх касательного пространства в точке х. В случае евклидовой метрики метод преобразования Гильберта был использован в [31] и уже тогда была ясна его важная роль в изучении двумерных задач для римановой метрики. Но получение конкретных результатов упиралось в отсутствие теорем сюрьекции главы 3. Эффективность метода демонстрируется как в линейных, так и нелинейной задачах. Доказываются теоремы разрешимости для скалярной и векторной линейных задач. В случае двумерных многообразий постоянной гауссовой кривизны приводятся формулы обращения в скалярной и векторной задаче. Кроме того доказывается граничная жесткость простых двумерных многообразий. Для простого многообразия с конформно-евклидовой метрикой предлагается линейный метод решения обратной кинематической задачи, близкий к известному в теории обратных задач методу граничого управления М.И. Бе-лишева [55].

Ссылка в тексте типа (1.2.3) указывает на формулу (2.3) (а также лемму, теорему) главы 1, параграфа 2. Ссылка (2.3) означает то же для текущей главы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пестов, Леонид Николаевич, 2004 год

1. Аниконов Ю. Е., Пестов Л. Н. Формгулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990.

2. Аниконов Ю. Е., Романов В. Г. Об однозначности определения формы первого порядка ее интегралами по геодезическим // Некоторые математическиезадачи и ириблемы геофизики. Новосибирск: Вычисл. центр СО АН СССР, 1976, с. 22-27.

3. АРНОЛЬД В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

4. БбрНШТЕЙН И. М., Гервер М. Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики // Докл. АН СССР, 1978, Т. 243, № 2, с. 302-305.

5. БернштеЙИ И. М., Гервер М. Л. Условия различимости метрик по годографам // Методы и алгоритмы интерпретации сесмологических данных. Вычислительная сейсмология. М.: Наука, 1980, Вып. 13, с. 50-73.

6. БУХГЕЙМ А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи Новосибирск: Наука, 1983.

7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М: Физматгиз, 1958.

8. Гервер М. Л., Надирашвили Н. С. Условие изо-метричности римановых метрик в круге // Докл. АН СССР, 1984, Т. 275, № 2, с. 289-293.

9. ГРОМОЛ Д., КЛИНГЕНБЕРГ В., МЕЙЕР В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.

10. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.18. кирейтов в. р. Обратные задачи фотометрии. Новосибирск: Вычислит, центр СО АН СССР, 1983.19. клингенберг в. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир, 1982.

11. Лионе Ж.-Л. МАДЖЕНИС Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

12. МУХОМЕТОВ Р. Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики // Сиб. мат. журн., 1981, Т. 22, N5 3, с. 119-135.

13. Мухометов Р. Г., Романов В. Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в п мерном пространстве // ДАН СССР, 1978, Т. 243, № 1, с. 4144.

14. ПЕСТОВ JI. Н. Первые интегралы геодезических конформной метрики и обратная кинематическая задача сейсмики // Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: Вычисл. центр СО АН СССР, 1982, с. 109-119.

15. Пестов Л. Н., Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей на многообразии отрицательной кривизны // Сиб. мат. журнал, 1988, Т. 29, № 3, с. 114-130.

16. ПОПОВ Д. А. Обобщенное преобразование Радона на плоскости, его обращение и условия Кавальери // Функц. анализ и его прил., 2001, Т. 35, вып. 4, с. 38-53.

17. ПОПОВ Д. А. Теорема Пэли-Винера для обобщенного преобразования Радона на плоскости // Функц. анализ и его прил., 2003, Т. 37, вып. 3, с. 65-72.

18. Постников М. М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971.

19. ПОСТНИКОВ М. М. Лекции по геометрии. Семестр

20. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.

21. ПОСТНИКОВ М. М. Лекции по геометрии. Семестр

22. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988.41. романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики // Докл. АН СССР, 1978, Т. 241, № 2, с. 290-293.42. романов В. Г. Обратимые задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

23. ТЕЙЛОР М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

24. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А.Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

25. ТРЕВ Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Т. 1. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1984.46. уорнер ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

26. XAPTMAH Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

27. ШАРАФУТДИНОВ В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма, 1993.

28. ЭЙЗЕНХАРТ Л. П. Риманова геометрия. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

29. Anikonov J и. Е., Pestov L. N. Integral geometry and structure of Riemannian spaces //J. Inv. Ill-Posed Problems, 1993, V. 1 , № 3, p. 177-192.

30. BELISHEV M. I. Topical review. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems, 1997, V. 13, p. 1-45.

31. BELISHEV M. I. The Calderon problem for two-dimensional manifolds by the ВС-method // SIAM J. Math. Analysis, 2003, V. 35 № 1, p. 172-182.

32. CALDERON A. P. On an inverse boundary value problem: Seminar on numerical analysis and its applications to continuum physics. Rio de Janeiro: Soc. Brasileira de Matematica, 1980, p. 65-73.

33. CROKE С. B. Rigidity for surfaces of non-positive curvature. // Comment. Math. Helv., 1990, V. 65, p. 150169.

34. CROKE С. B. Rigidity and the distance between boundary points // J. Differential Geom., 1991, V. 33, p. 445-464.

35. LASSAS M., UHLMANN G. On determining a Riemannian manifold from the Dirichlet-to-Neumann map // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 2001, № 34, p. 771-787.

36. MICHEL R. Sur la rigidite imposee par lar longueur des geodesiques // Invent. Math., 1981, V. 65, p. 71-83.

37. Pestov L. N., Uhlmann G. Two dimensional compact simple Riemannian manifolds are boundary distance rigid. Berkeley, California, 2003. (Prepr. / Math. Sci. Res. Inst., № 2003-006).

38. Stefanov P., Uhlmann G. Rigidity for metrics with the same lengths of geodesies // Math. Res. Lett., 1998, V. 5, № 1/2, p. 83-96.

39. UHLMANN G. Harmonic Analysis and Partial Differential Equations. Chicago: Univ. of Chicago Press, 1999, p. 295345.