Новые классы задач интегральной геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Бегматов, Акрам Хасанович

• Бегматов, Акрам Хасанович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бегматов, Акрам Хасанович

Содержание

Введение

Глава 1. Задачи интегральной геометрии по семействам

парабол

§ 1.1. Задача в полуплоскости с весовой функцией

специального вида

§ 1.2. Оценка одной гармонической меры

§ 1.3. Единственность решения задачи в полосе.

Вспомогательные утверждения

§ 1.4. Устойчивость решения задачи 1.3

Глава 2. Восстановление функции в полосе через

интегралы по кривым с особенностью в вершине

§2.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения

§2.2. Оценки интеграла

§ 2.3. Единственность, устойчивость и формула

обращения

§ 2.4. Теорема существования решения

§ 2.5. Единственность и устойчивость решения задачи

с возмущением

Глава 3. Задачи интегральной геометрии по семейству

конических поверхностей 105 §3.1. Постановка задачи и исследование в пространствах

четной размерности

§3.2. Нечетномерный случай

§ 3.3. Единственность и устойчивость задачи

с возмущением

Глава 4. Задача обращения лучевого преобразования

с неполными данными

§4.1. Постановка задачи. Теорема единственности

§ 4.2. Оценка устойчивости

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые классы задач интегральной геометрии»

ВВЕДЕНИЕ

Приведем определение задачи интегральной геометрии [41]. Пусть и(х) — достаточно гладкая функция вй"и {Б (у)} — семейство кусочно-гладких многообразий в этом пространстве, зависящих от параметра у = (уъ .., ук).

Пусть, далее, от функции и(х) известны интегралы

где д(х, у) - заданная весовая функция, - элемент меры на Б [у) . Задача интегральной геометрии есть задача восстановления функции и(х) по известным интегралам от нее, т.е. по функции ${у).

Задачами интегральной геометрии волътерровского типа называются задачи, которые могут быть сведены к исследованию операторных уравнений Вольтерра в смысле определения, данного М.М.Лаврентьевым [65]. Приведем также определения слабой и сильной некорректности задачи интегральной геометрии. Задача реше-

(1)

ния уравнения (1) называется слабо некорректной, если для данных задачи и ее решения можно подобрать такую пару функциональных пространств, в определении нормы которых участвует конечное число производных, что оператор обращения для этой пары пространств непрерывен. Если такой пары пространств не существует, то задача является сильно некорректной. Разумеется, эта классификация М. М. Лаврентьева [67] имеет место не только для задач интегральной геометрии, но и в общей теории некорректных задач. В диссертации рассматривается обобщение понятия слабой некорректности. Слабо некорректными называются также задачи, для которых могут быть получены оценки условной устойчивости степенного типа [26].

Следуя [77], перечислим наиболее важные моменты исследования задачи интегральной геометрии (1).

Это, во-первых, вопрос о единственности решения уравнения (1) в некотором классе функций. Во-вторых, получение оценок устойчивости решения задачи. Учитывая, что широкие классы задач интегральной геометрии являются сильно некорректными, большое значение имеют оценки условной устойчивости. Далее, разработка процедуры восстановления искомой функции, что в общем случае требует создания эффективных вычислительных алгоритмов, в частности, построения регуляризаторов. Особый интерес, разумееется, представляет получение явных формул обращения, т.е. аналитических выражений, представляющих и{х) через /(у). К сожалению, это возможно только в специальных случаях, как правило, при этом многообразия и весовые функции предполагаются инвариантными относительно отображений пространства на себя с достаточно богатой группой автоморфизмов. И наконец, проблема разрешимости, т.е. нахождение не-

обходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция /(?/) , представимая в виде (1).

Интегральная геометрия представляет собой один из важнейших разделов теории некорректных задач математической физики и анализа. Как видно из постановки, задача интегральной геометрии есть задача решения специального интегрального или операторного уравнения 1-го рода. Наиболее полно развитие теории некорректных задач и операторных уравнений и ее многочисленные приложения описаны в монографиях и статьях А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, В. Я. Арсенина, Ю. Е. Аниконова, А. Л. Бухгейма, В. В. Васина, И. В. Мельниковой, В. А. Морозова, В. Г. Романова, В. П. Тананы и др. [6, 8, 31, 35, 37, 48, 49, 65, 70, 77, 78, 100, 101, 108-112].

Задачи интегральной геометрии естественным образом возникают при исследовании многих математических моделей в таких имеющих обширные применения областях, как сейсморазведка, интерпретация данных геофизических, гидроакустических и аэрокосмических наблюдений (см. например, [1, 8, 27, 29, 75, 77,103,104]). Так, например, первые существенные результаты для неодномерной обратной кинематической задачи сейсмики были получены М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [75] при помощи сведения к задаче отыскания функции через ее средние значения по всевозможным окружностям с центром на фиксированной прямой. В дальнейшем существенное продвижение теория многомерных обратных задач получила в работах Ю. Е. Аниконова, А. Л. Бухгейма, А. М. Денисова, С. И. Кабанихина, М. М. Лаврентьева, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. Н. Страхова, В. Г. Чередниченко, В. Г. Яхно и др. [8, 35, 44, 77, 91-93, 107, 103, 104, 124, 129].

При исследовании процессов, описываемых кинетическими уравнениями, большое значение имеет связь обратных задач для таких уравнений с задачами интегральной геометрии. Многие задачи интегральной геометрии эквивалентны соответствующим обратным задачам для кинетических уравнений и наоборот. Отметим работы Ю. Е. Аниконова, Д. С. Аниконова, А. Амирова и др. [2, 4, 8-10].

Задачи восстановления функции по известным интегралам от нее имеют тесные связи с рядом обратных задач фотометрии, т.е. определения некоторых характеристик источника по результатам оптических измерений. Многие обратные задачи такого рода могут быть сведены к изучению соответствующих задач интегральной геометрии. Математическим аспектом обратных задач фотометрии и их связи с задачами интегральной геометрии посвящены работы М. М. Лаврентьева, В. Р. Кирейтова, В. А. Шарафутдинова и др. [52, 71, 72, 76, 122].

Задача интегральной геометрии на линейных многообразиях оказалась тесно связанной с теорией представлений групп Ли, что в значительной степени объясняло интерес к этой задаче. Среди других задач интегральной геометрии наибольшую известность получили задачи на поверхностях второго порядка. Здесь необходимо отметить известные результаты Ф. Йона, Р. Куранта, а также циклы работ И. М. Гельфанда (с соавторами), М. М. Лаврентьева и М. В. Клиба-нова, Г. И. Плаксина, В. Г. Романова, В. И. Семянистого, С. В. Успенского (с соавторами) [39, 41, 42, 47, 54-57, 73, 74, 89, 90, 94, 105, 106, 114-118].

Разработанный в теории задач интегральной геометрии аппарат является математической базой компьютерной томографии — актуального и интенсивно развивающегося направления современной на-

уки. Широко известным примером является задача обращения преобразования Радона [137]. Различные аспекты этой проблемы рассматривались также А. А. Хачатуровым [120], П. О. Костелянцем и Ю. Г. Решетняком [59]. В связи с задачами компьютерной томографии особый интерес вызывает сейчас создание эффективных вычислительных алгоритмов обращения. Изучены различные постановки задач интегральной геометрии по семействам лучей, прямых и к-мерных плоскостей в п-мерном пространстве и соответствующих задач томографии. Получены формулы обращения для преобразования Радона с полными данными, веерного и лучевого преобразований. Здесь следует отметить работы московских математиков (главным образом И. М. Гельфанда и его школы), а также ученых США и европейских стран [30, 39,40, 53, 87, 113, 121, 130, 131, 136]. Аналогичные постановки задач на кривых и поверхностях специального вида менее изучены и представляют особый интерес, т.к. они имеют непосредственные приложения к проблемам медицинской и промышленной томографии.

Внимание к случаям, когда интегрирование ведется по многообразиям более сложной геометрической структуры, было привлечено благодаря уже отмеченной работе М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова [75]. А именно, в этой работе была впервые обнаружена связь между многомерными обратными задачами для дифференциальных уравнений с частными производными и задачами интегральной геометрии. Многообразия, которые возникают при сведении обратных задач к задачам интегральной геометрии, естественным образом связаны с исходным дифференциальным уравнением. Для уравнения с переменными коэффициентами это могут быть достаточно сложные геометрические объекты [95, 97, 103]. В.Г.Романов исследовал вопросы един-

ственности и устойчивости задач интегральной геометрии в случае, когда многообразия имеют вид параболоидов и инвариантны относительно группы всех движений, параллельных (го — 1)- мерной гиперплоскости. Все весовые функции также предполагались инвари-

«_» ТЧ «-»

антными относительно данной группы. В дальнейшем теория задач интегральной геометрии получила существенное развитие в работах Ю. Е. Аниконова, А. Амирова, А. Л. Бухгейма, В. Р. Кирейтова, М. М. Лаврентьева, Р. Г. Мухометова, В. Г. Романова, В. А. Шара-футдинова и др. авторов [3, 6-8, 11, 31-36, 52, 68, 77, 79-86, 94-102, 122]. Отметим также интересные работы Д. С. Аниконова, А. Аса-нова, Акб. X. Бегматова, А. С. Благовещенского [5, 12, 13, 14, 29, 30].

Важные результаты по единственности и устойчивости решения получены для следующих классов задач интегральной геометрии: решение ищется в классах аналитических по части переменных функций; многообразия, по которым ведется интегрирование, аналитическим образом зависят от части переменных (параметров), а также для некоторых постановок задачи Радона с неполными данными. Достаточно общие результаты по единственности и устойчивости "в малом" слабо некорректных задач интегральной геометрии не вольтер-ровского типа в ограниченной области в п-мерном пространстве были получены в работах М. М. Лаврентьева и А. Л. Бухгейма [69, 70]. Аналогичные результаты по единственности и устойчивости задач не вольтерровского типа получены для задачи интегральной геометрии на плоских кривых в ограниченной области, а также на геодезических римановой метрики в п-мерном пространстве (А. Амиров, Ю. Е. Аниконов, Р. Г. Мухометов, В. Г. Романов [3, 8, И, 79-86, 102]).

Более подробно постановки задач интегральной геометрии в ра-

ботах различных авторов будут обсуждаться во вводных частях к каждой главе. Подчеркнем, что приведенный обзор и список литературы ни в коей мере не претендуют на полноту.

Актуальность рассматриваемых в диссертации проблем обусловлена развитием томографических методов, предъявляющих повышенные требования к глубине применяемых математических результатов, тем обстоятельством, что к решению задач интегральной геометрии сводится ряд многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также внутренними потребностями развития теории некорректных задач математической физики и анализа. В работе исследуются вопросы существования и t единственности решения, получения оценок устойчивости и аналитических формул обращения для новых широких классов задач интегральной геометрии и задачи обращения лучевого преобразования с неполными данными. Отметим, что задачи интегральной геометрии по кривым и поверхностям с особенностями в вершине практически не изучены и представляют, на наш взгляд, немалый теоретический интерес.

Перейдем к краткому обзору основных результатов диссертации.

В первой главе рассматриваются задачи интегральной геометрии по семействам парабол. В начале главы предварительно построен пример слабо некорректной задачи на параболах в верхней полуплоскости R/j_ с весовой функцией специального вида, имеющей разрыв. Приведены теорема единственности и оценки устойчивости в пространствах Соболева, а также построено достаточно простое представление решения. Теорема единственности " в малом" и аналогичная оценка устойчивости получена для задачи с возмущением достаточно общего вида. Так, в отличие от известных pall

бот В.Г.Романова не предполагается инвариантности весовой функции возмущения относительно группы параллельных переносов вдоль фиксированной прямой.

Рассмотрим основную постановку 1 главы — задачу интегральной геометрии по семейству парабол в полосе.

В полосе

П = {(х, у) : х £ В,1, у € (0, /), / < оо}; рассмотрим семейство парабол {Р(х, у)} с вершинами в точках (х,у):

Р(х,у) = {(^т]): у-г)=(х-£)\ 0 < г] < у, у < I, I < оо}

Задача 1.3. Найти функцию двух переменных и(-), если для всех (х,у) из О известны интегралы от нее с весовой функцией д(х — 0 = здп(х — £) по параболам /Р(х, у):

I здп(х - У ~(х~ О2)« = /(*, У)- (2)

Т{х,у)

В параграфе 1.3 доказана теорема единственности решения задачи 1.3 в классе непрерывных финитных функций с носителем в О. В указанных работах В.Г.Романова рассматривался существенно более широкий класс задач интегральной геометрии в полосе. Единственность их решения доказывалась путем сведения к системе скалярных интегральных уравнений Вольтерра 1-го, а затем и 2-го рода. Однако этот метод не позволяет выделить классы слабо некорректных

задач, а также получить оценки их устойчивости степенного типа или в пространствах конечной гладкости.

В первой главе разработан новый метод получения оценок условной устойчивости задач интегральной геометрии в полосе путем исследования вспомогательной функции, зависящей от дополнительного параметра ¿(£6 [0,1]). Основной момент заключается в рассмотрении неоднородной задачи Коши

А.

¿у

Ф(у) = Щу) + Фо(у),

ф{ о) = о,

в гильбертовом пространстве функций переменной £ € [0,1], где Ф(у) — элемент этого пространства, зависящий от параметра у, А — интегральный оператор специального вида. Отметим, что А

— несамосопряженный оператор, более того, он даже не является нормальным.

В параграфах 1.2 и 1.3 приводятся также вспомогательные леммы, которые играют существенную роль при доказательстве теоремы 1.7. * В параграфе 1.4 доказывается основной результат первой главы

— оценка условной устойчивости решения задачи интегральной геометрии на параболах в полосе. Оценка устойчивости в теореме имеет степенной вид. Поэтому рассматриваемую задачу можно отнести к слабо некорректным задачам интегральной геометрии.

В определении задачи интегральной геометрии (1) многообразия, по которым ведется интегрирование, обычно предполагаются гладкими. Во второй главе рассматривается задача восстановления функ-

ции в полосе через интегралы по кривым с особенностью в вершине. Единственность ее решения также может быть получена применением преобразования Фурье по первой переменной и сведением к интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода. Как отмечено выше, этот метод не позволяет получить оценки устойчивости решения задачи в пространствах конечной гладкости. Кроме того, не удается доказать и единственность (не говоря уже об устойчивости) задачи интегральной геометрии с возмущениями, неинвариантными относительно группы параллельных переносов.

Введем обозначения:

(х,у) еК2+ = {{х,у) ек2 : у >0};

\eR\p£C(p = pl + ip2);

Q = {(х,у) : х 6 R1, у 6 (0,/),/ < оо};

В полосе О рассмотрим семейство кусочно-гладких кривых {Т(х,у)} с особенностью в вершине (х,у)

Т{х1У) = {{^т}) : (у - rj)2 ^ \х - 0<т?<2/, / < оо}.

Через V(x,y) обозначим часть R+, ограниченную кривой Т(х, у) и осью у — 0.

Задача II.1. Найти функцию двух переменных м(-), если для всех

(х, у) Е О известны интегралы от нее по кривым Т(х,у) :

у

I [гг(х + /г, 7/) -Ь и(х - /г, г])Щ = /0(аг, г/),

о

где Н = (у- г])2.

Задача И.2. Определить функцию гг(-), если для всех (х,у) € П известны интегралы от нее по кривым Т(х, у) и площадям Т>(х,у) с весовой функцией К(-):

где Ь = (у — т/)2, (ж, у) € Я

Функции /о(-) и /(•) предполагаются известными в полосе П. Левая часть уравнения (3) представляет собой совокупность интегралов от искомой функции по кривым семейства {Т(х,у)} с вершинами в точках (ж, у). Уравнение (4) соответствует задаче интегральной геометриии с возмущением.

При исследовании задачи 11.1 существенную роль играет изучение поведения интеграла

у

о

+ // К{х,у,£,71)и{£,г1Щ<1г1 = /(ж, у) 1->[х,у)

(4)

оо

л(р) = /е~ртсов(т2)с/г, ре С (р = х + iу).

о

В параграфах 2.1 и 2.2 получены представления и оценки (как снизу, так и сверху) модуля этого интеграла на действительной и мнимой осях, а также доказано, что он отделен от нуля во всей правой полуплоскости р Е С+ = {р = х + гу : х > 0, у Е К}.

Введем функции

оо

л А ,р) = /е-^со8(АС2)сК,

о

1 а+г°° АV

—оо

и обозначим

( дА \ (х,у) = [Е + ^-^Т^х.у),

где е — единичный оператор.

В третьем параграфе главы доказана теорема единственности решения задачи IIЛ в классе функций Сд(П), получены аналитическое представление решения

1 У X оо

«(*>») = 2 / / (5)

О —оо —оо

и оценка его устойчивости вида:

ичи^й) ^ С'оН/оЦ^п),

где Со — некоторая константа.

В параграфе 2.4 доказана теорема существования решения уравнения (3) в классе непрерывных ограниченных функций, финитных по первой переменной. Доказательство существенно опирается на формулу обращения (5).

Наконец, в параграфе 2.5 доказана теорема единственности решения задачи интегральной геометрии с возмущением 11.2 при достаточно общих предположениях о весовой функции К(-) и получены оценки устойчивости вида

И^Нж,1^) < СИ/Ии^Й)»

где с — некоторая константа.

В третьей главе исследуются задачи интегральной геометрии на конических поверхностях.

Введем обозначения х Е К/1-1, £ € В."-1, п > 2, у 6 К1, г) Е К1,

О = {(х,у) : х Е К"-1, у Е (О, Л), И < оо}, П = {(х,у) : х е у Е [0, /г], /г < оо}.

В слое Q рассмотрим семейство конусов {К(х,у)} с вершинами в точках (х,у)

7 'J

71— 1

К(х, у) - {(£, Г]) : ^т)2 = (у - г/)2, 0 < ц < у, У < h, h < оо}.

Через Q(x,y) обозначим часть n-мерного пространства, ограниченную поверхностью конуса К(х, у) и гиперплоскостью у = 0.

Задача III.1. Найти функцию п переменных «(•), если для всех (х, у) известны интегралы от нее по поверхностям К(х, у):

Ц u%rj) dk = f(x,y) (6)

К(х,у)

Задача 111*2. Определить функцию и(-), если для всех (х, у) 6 0 известны интегралы от нее по поверхностям К(х, у) и объемам Q(x,y) с весовой функцией д(-):

// u(£,r])dk + JJJ g{x,y,^Tj)u(^rj)dq = F(x,y), (7)

К(х,у) Q{x,y)

где dk — элемент площади поверхности К, dq — элемент объема Q.

Левая часть уравнения (6) представляет собой совокупность интегралов от искомой функции по семейству конусов К (•) с вершинами в точках (х,у). Задача решения уравнения (6) также есть задача интегральной геометрии вольтерровского типа. Уравнение (7) соответствует задаче интегральной геометрии с возмущением.

В параграфе 3.1 приведены теорема единственности и оценка устойчивости решения в пространствах Соболева для задачи 111.1 в случае четного п. Формула обращения имеет простой вид:

( д2 \ * ? и(х, у) = Со - ^ //(ж,»7)е&7,

где

1 д2 С° ~ 2»-§7г^Г(|)' * ~~ + •' • + 0*2„-1"

Аналогичные результаты для задачи на конусах в нечетномерном пространстве сформулированы в параграфе 3.2.

В третьем параграфе главы доказана теорема единственности и получены оценки устойчивости вида

и{х,У)\\ч%.....< С2\\Р(х,у)\\к.....«(0),

где Сч — некоторая константа, для задачи с возмущением Ш.2.

В четвертой главе рассматривается задача обращения лучевого преобразования с неполными данными. Получены теорема единственности и оценки условной устойчивости решения задачи восстановления функции в трехмерном пространстве, если известны интегралы от нее по одному семейству прямых, являющихся образующими конусов. Рассмотренная в четвертой главе задача связана с одной вспомогательной задачей аналитического продолжения и, в отличие от предыдущих глав, является сильно некорректной.

Пусть х = (хъх2) е к2, £ - (6,6) е к2, у е к, V е к,

О = {(ж, у) : \х\ < 1, \у\ < /, 0 < / < оо};

Обозначим через К(х,у) семейство двуполостных конусов с вершинами в точках (х, у):

К(Х, у) = {К, Г]) е к3: (у- rj)2 = Е (xk - б)2}-

k=l

Рассмотрим операторное уравнение относительно функции u(xi,x2,y)

оо

j и{хi + s cosa, + 5 sin a, у -f 5)c?s = f(x\,x2, y, a). (8)

—oo

Задача решения уравнения (8) есть задача интегральной геометрии для семейства прямых, являющихся образующими двуполостных конусов К(х,у). На первый взгляд, эта задача в работе стоит несколько особняком: во-первых, она не является задачей воль-терровского типа, во-вторых, задача решения этого уравнения сильно некорректна. Однако она тесно связана с материалом остальных глав диссертации как по постановке (сравним, например, с третьей главой), так и по методам, применяемым для ее исследования.

В параграфе 4.1 доказана теорема единственности решения уравнения (8) в классе непрерывных финитных функций с носителем в П.

Во втором параграфе главы получена оценка условной устойчивости решения задачи интегральной геометрии (8) вида

IW')l|c < aillnip1,

где а\ — некоторая постоянная.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1992), на Международном симпозиуме по компьютерной томографии (Новосибирск, 1993), на Международных конференциях "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (Ташкент, 1993) и "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики (АМСА-95)" (Новосибирск, 1995), на Втором Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996), на Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (ПРР-96) (Москва, 1996), на семинарах академика М. М. Лаврентьева (каф. теор. функций НГУ и Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН), профессора Т. И. Зеленяка, профессора Ю. Е. Аниконова, академика РАТН профессора В. Н. Врагова (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН), профессора А. М. Денисова (Московский госуниверситет им. М. В. Ломоносова), профессора В. Г. Чередниченко (Сибирский университет потребительской кооперации).

По теме диссертации опубликованы работы [15-26, 125-128 ].

Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на четырнадцать параграфов. Нумерация параграфов, теорем, лемм и замечаний состоит из двух индексов, разделенных точкой (номера главы и номера параграфа, теореммы, леммы и замечения в данной главе) . Нумерация формул состоит из трех индексов, разделенных двумя точками (номера главы, номера параграфа в данной главе и номера формулы в данном параграфе). Общий объем диссертации 159 страниц, набранных в Ш^Х'е, библиография включает 138 наименований.

Далее для удобства читателя введем основные обозначения.

К" - евклидово п-мерное пространство; К* ={(*,*/):* ЕЯ"-1,*/>0};

С - поле комплексных чисел;

П - открытая область в К":

- пространство С.Л.Соболева, где £ Е Ъ, I > О, либо £ = {£и ..., £т) : £] Е > 0, з = 1,2,... ,ш;

¿2(П) - пространство суммируемых с квадратом функций на П;

вирри - носитель фукнции «(•);

Ск(Г1), (к = 0,1,2,..., п) - пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций в П;

Сд(П) - пространство финитных к раз непрерывно дифференцируемых функций в О.

Пусть х Е К-", у Е И1. Через /(А,у) будем всюду в работе обозначать преобразование Фурье по переменной х функции /(х,у).

Отметим, что обозначения, используемые на протяжении всей главы, вводятся, как правило, в начале первого параграфа соответствующей главы. Используемые только в данном параграфе обозначения вводятся в начале параграфа.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бегматов, Акрам Хасанович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев А. С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. 1, 2 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1962. № 11. С. 1514-1531.

2. Амиров А.Х. Один класс обратных задач для уравнения переноса // Докл. АН СССР, 1987. Т. 295, N°. 2. С. 265-267.

3. Амиров А.Х. Интегральная геометрия и задача восстановления римановой метрики // Докл. АН СССР, 1990. Т. 312, № 6. С. 1289-1291.

4. Аникоиов Д. С. Об обратной задаче для уравнения переноса // Сиб. мат. журн., 1975. Т. 16, № 3. С. 432-439.

5. Аникоиов Д. С. Примеры неединственности решения задачи интегральной геометрии // Докл. АН СССР, 1988. Т. 299, № 1. С. 15-17.

6. Аникоиов ДО. Е. Об операторных уравнениях 1-го рода // Докл. АН СССР, 1972. Т. 207, № 2. С. 257-258.

7. Аникоиов Ю. Е. О разрешимости задачи интегральной геометрии // Мат. сб., 1976. Вып. 101 (143), № 2. С. 271-279.

8. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.

9. Аниконов ДО. Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Мат. сб., 1990. Т. 181, № 1. С. 68-75.

10. Аниконов ДО. Е., Амиров А. X. Теорема единственности решения обратной задачи для кинетического уравнения // Докл. АН СССР, 1983. Т. 272, № 2. С. 1292-1293.

11. Аниконов ДО. Е., Пестов Л. Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990.

12. Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решений уравнений Вольтерра. Дисс... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1992.

13. Бегматов Акб. X. Слабо некорректные задачи интегральной геометрии вольтерровского типа // Доклады РАН, 1993. Т. 331, № 3. С. 261-262.

14. Бегматов Акб. X. О некоторых классах полисингулярных интегральных уравнений // Сиб.мат.журн., 1994. Т. 35, № 3. С. 515-519.

15. Бегматов Акр. X. Два класса слабо некорректных задач интегральной геометрии на плоскости // Сиб. мат. журн., 1995. Т. 36, № 2. С. 243-247.

16. Бегматов Акр. X. О задачах интегральной геометрии вольтер-ровского типа // Алгоритмический и численный анализ некорректных задач. Тез. докл. Всерос. науч. конф., 27 февр. - 3 марта 1995 г. Екатеринбург: УрГУ, 1995. С. 30.

17. Бегматов Акр. X. Слабо некорректные задачи интегральной геометрии вольтерровского типа // Доклады РАН, 1996. Т. 349, № 3. С. 297-298.

18. Бегматов Акр. X. Задачи интегральной геометрии для семейства конусов в п-мерном пространстве // Сиб. мат. журн., 1996. Т. 37, № 3. С. 500-505.

19. Бегматов Акр. X. Новые классы слабо и сильно некорректных задач интегральной геометрии // Второй Сиб. конгресс по прикл. и инд. математике. Тез. докл., ч. III. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1996. С. 298.

20. Бегматов Акр. X. Некоторые новые классы задач интегральной геометрии. Новосибирск, 1997. 30 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 40).

21. Бегматов Акр. X. Вольтерровские задачи интегральной геометрии на плоскости для кривых с особенностями // Сиб. мат. журн., 1997. Т. 38, № 4. С. 723-737.

22. Бегматов Акр. X. Вольтерровские задачи интегральной геометрии для семейства лучей в трехмерном пространстве // Фун-^ 1 даментальная и прикладная математика, 1997. Т. 3, вып. 4. С. 1109-1115.

23. Бегматов Акр. X. Задачи интегральной геометрии по специальным кривым и поверхностям с особенностями в вершине // Доклады РАН, 1998. Т. 358, № 2. С. 151-153.

24. Бегматов Акр. X. Задачи интегральной геометрии в трехмерном пространстве по конусам и образующим // Доклады РАН, 1998. Т. 358, № б. С. 727-728.

25. Бегматов Акр. X. Слабо и сильно некорректные задачи интегральной геометрии в слое и пространстве // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тез. докл. Всерос. науч. конф., 2-6 февр. 1998 г. Екатеринбург: УрГУ, 1995. С. 30.

26. Бегматов Акр. X. Некоторые классы слабо и сильно некорректных задач интегральной геометрии. Новосибирск, 1998. 22 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 50).

27. Бернштейн И. М., Гервер М. Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и обратной кинематической задаче сейсмики // Докл. АН СССР, 1978. Т. 243, № 2. С. 302-305.

28. Бернштейн И. М., Гервер М. Л. Условие различимости метрик по годографам //В кн.: Методы и алгоритмы интерпретации сейсмологических данных. М.: Наука, 1980 (Вычислит, сейсмология, вып. 13). С. 50-73.

29. Благовещенский А. С. Обратная краевая задача теории распространения волн в анизотропной среде // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, Л., 1971. Т. 65. С. 39-56.

30. Благовещенский А. С. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий // Матем. заметки, 1986. Т. 39, № 6. С. 841-849.

31. Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений Воль-терра первого рода // Функц. анализ и его прил., 1972. Т. 6, вып. 1. С. 1-9.

32. Бухгейм А. Л. О некоторых задачах интегральной геометрии // Сиб. мат. журн., 1972. Т. 13, № 1. С. 34-42.

33. Бухгейм А. Л. Об одной задаче интегральной геометрии // Мат. проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Вып. 4. С. 69-73.

34. Бухгейм А. Я. Необходимые условия устойчивости одного класса интегродифференциальных уравнений // Вычислительные методы и программирование. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6, ч. 2. С. 110-119.

35. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

36. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

37. Васин В. В,, Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

38. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.

39. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г. Нелокальные формулы обращения в вещественной интегральной геометрии // Функц. анализ и его прил., 1977.Вып. 3. С. 12-19.

40. Гельфанд И. М., Гончаров А. Б. Восстановление финитной функции, исходя из ее интегралов по прямым, пересекающим данное множество точек в пространстве // Докл. АН СССР, 1986. Т. 290. С. 1037-1040.

41. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Сер. Обобщенные функции. М.: Физматгиз, 1962. Вып. 5.

42. Гельфанд И. М., Граев М. И., Шапиро Я. Я. Интегральная геометрия на многообразиях А'-мерных плоскостей // Докл. АН СССР, 1966. Т. 168, № 6. С. 1236-1238.

43. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

44. Денисов А. М., Лукшин А. В. Математические модели одноком-понентной динамики сорбции. М.: Изд-во МГУ, 1989

45. Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991.

46. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

47. Жалнин В. Г., Успенский С. В. О восстановлении функций, заданных интегралами по одному семейству поверхностей второго порядка // Тр. сем. С. Л. Соболева. I. Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам ма-

тематической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1976. Вып. 1. С. 32-40.

48. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. Я. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

49. Иванов В. К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально- операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1994.

50. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

51. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

52. Кирейтов В. Р. Обратные задачи фотометрии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.

53. Кириллов А. А. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Докл. АН СССР, 1961. Т. 137, № 2. С. 276-277.

54. Клибанов М. В. Об одном классе обратных задач для параболического уравнения и задач интегральной геометрии // Докл. АН СССР, 1975. Т. 222, № 1. С. 29-31.

55. Клибанов М. В. Восстановление функции, заданной интегралами по одному семейству эллипсоидов вращения, и обратная задача для параболического уравнения // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6, ч. 1. С. 97-116.

56. Клибанов М. В. Об одной задаче интегральной геометрии и обратной задаче для параболического уравнения // Сиб. мат. журн., 1976. Т. 17, № 1. С. 75-84.

57. Клибанов М. В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии // Сиб. мат. журн., 1976. Т. 17, № 3. С. 564-569.

58. Князев П. Н. Интегральные преобразования. Минск: Изд-во "Вышейш. школа", 1969.

59. Костелянец П. О., Решетняк ДО. Г. Определение вполне аддитивной функции ее значениями на полупространствах // Успехи мат. наук, 1954. Т. 9, № 3. С. 135-140.

60. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

61. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

62. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1986.

63. Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР, 1964. Т. 157, № 3. С. 520-521.

64. Лаврентьев М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР, 1965. Т. 160, № 1. С. 32-35.

65. Лаврентьев М. М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода //В кн.: Междунар. мат. конгресс, в Ницце, 1970. М.: Наука, 1972.

66. Лаврентьев М. М. Об одном классе операторных уравнений на плоскости // Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. С. 52-57.

67. Лаврентьев М. М. Интегральная геометрия и обратные задачи // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск.: Наука, 1984. С. 81-86.

68. Лаврентьев М. М. Задача интегральной геометрии на плоскости с возмущением // Сиб. мат. журн., 1996. Т.37, № 4. С. 851-857.

69. Лаврентьев М. М., Бухгейм А. Л. Об одном классе задач интегральной геометрии // Докл. АН СССР, 1973. Т. 211, № 1. С. 38-39.

70. Лаврентьев М. М., Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений первого рода // Функциональный анализ и его приложения. 1973. Т. 7, Вып. 4. С. 44-53.

71. Лаврентьев М. М., Кирейтов В. Р. Об одном классе отображений биповерхностей трехмерного пространства // Докл. АН СССР, 1974. Т. 216, № 2. С. 259-260.

72. Лаврентьев М. М., Кирейтов В. Р. О точках ветвления оптических гиперповерхностей // Докл. АН СССР, 1975. Т. 221, № 5. С. 1027-1030.

73. Лаврентьев М. М., Клибанов М. В. Об одном интегральном уравнении первого рода и обратной задаче для параболического уравнения // Докл. АН СССР, 1975. Т. 221, № 4. С. 782-783.

74. Лаврентьев М. М., Клибанов М. В. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Диф. уравнения, 1975. Т. 11, № 9. С. 1647-1651.

75. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР, 1966. Т. 171, № 6. С. 1279-1281.

76. Лаврентьев М. М., Деревцов Е. ДО., Шарафутдинов В.А. Об определении оптического тела, находящегося в однородной среде, по его изображениям // Докл. АН СССР, 1982. Т. 260, № 4. С. 799-803.

77. Лаврентьевы. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

78. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

79. Мухометов Р. Г. О задаче интегральной геометрии // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6, ч. 2. С. 212-242.

80. Мухометов Р. Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия // Докл. АН СССР, 1977. Т. 232, № 1. С. 32-35.

81. Мухометов Р. Г. К задаче восстановления анизотропной римановой метрики в п-мерной области. Новосибирск, 1978. (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 136).

82. Мухометов Р. Г. О задаче интегральной геометрии на геодезических римановой метрики // Условно-корректные математиче-

ские задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. С. 86-110.

83. Мухометов Р. Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики // Сиб. мат. журн., 1981. Т. 22, № 3. С. 119-135.

84. Мухометов Р. Г. О задачах интегральной геометрии, в которых семейства кривых имеют каустики // Вопросы корректности и методы исследования обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. С. 88-102.

85. Мухометов Р. Г. О задачах интегральной геометрии в области с отражающей частью границы // Докл. АН СССР, 1987. Т. 296, № 2. С. 279-283.

86. Мухометов Р. Г., Романов В. Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в n-мерном пространстве // Докл. АН СССР, 1978. Т. 243, № 1. С. 41-44.

87. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990. 288 с.

88. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

89. Плаксин Г. И. О выражении функции через ее интегралы по эллипсоидам // Докл. АН СССР, 1966. Т. 166, № 3. С. 548-550.

90. Плаксин Г. И. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Докл. АН СССР, 1966. Т. 170, № 4. С. 783-785.

91. Прилепко А. И. О единственности определения формы тела по значениям внешнего потенциала // Докл. АН СССР, 1965. Т. 160, № 4. С. 40-43.

92. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала // Мат. заметки, 1973. Вып. 14, № 5. С. 755-765.

93. Прилепко А. И., Чередниченко В. Г. Об одном классе обратных краевых задач для аналитических функций / / Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 10. С. 1900-1907.

94. Романов В. Г. О восстановлении функции через интегралы по эллипсоидам вращения, у которых фокус неподвижен // Докл. АН СССР, 1967. Т. 173, № 4. С. 766-769.

95. Романов В. Г. О восстановлении функции через интегралы по семейству кривых // Сиб. мат. журн., 1967. Т. 8, № 5. С. 1206-1208.

96. Романов В. Г. Одна задача интегральной геометрии и линеаризованная обратная задача для дифференциального уравнения // Сиб. мат. журн., 1969. Т. 10, № 6. С. 1364-1374.

97. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

98. Романов В. Г. Об одной теореме единственности для задачи интегральной геометрии на семействе кривых / / Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Вып. 4. С. 140-146.

99. Романов В. Г. О некоторых классах единственности решения задач интегральной геометрии // Мат. заметки, 1974. Т. 16, № 4. С. 657-668.

100. Романов В. Г. О некоторых классах единственности решения

операторных уравнений Вольтерра первого рода / / Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9, Вып. 1. С. 81-82.

101. Романов В. Г. Операторные уравнения Вольтерра первого рода. Классы единственности // Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1975. С. 123-135.

102. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики // Докл. АН СССР, 1978. Т. 241, № 2. С. 290-293.

103. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

104. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991.

105. Семянистый В. И. О некоторых интегральных преобразованиях в евклидовом пространстве. // Докл. АН СССР, 1960. Т. 134, № 3. С. 536-539.

106. Семянистый В. И. Однородные функции и некоторые задачи интегральной геометрии в пространствах постоянной кривизны // Докл. АН СССР, 1961. Т. 136, № 2. С. 288-291.

107. Страхов В. Н. О решении линейных обратных задач гравиметрии и магнитометрии // Докл. АН СССР, 1990. Т. 310, № 6. С. 1348-1353.

108. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

109. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР, 1943. Т. 39, № 5. С. 195-198.

110. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР, 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

111. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР, 1963. Т. 153, № 1. С. 49-53.

112. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

113. Тихонов А. НАрсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

114. Успенский С. В. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству эллипсоидов // Докл. АН СССР, 1972. Т. 202, № 3. С. 548-550.

115. Успенский С. В. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству эллипсоидов // Сиб. мат. журн., 1972. Т. 13, № 6. С. 1374-1382.

116. Успенский С. В. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству конических поверхностей // Сиб. мат. журн., 1977. Т. 18, № 3. С. 675-684.

117. Успенский С. В., Садыкова С. Б. О некоторых задачах интегральной геометрии // Докл. АН СССР, 1975. Т. 222, № 2. С. 295-298.

118. Успенский С. В., Садыкова С. Б. О некоторых задачах интегральной геометрии // Сиб. мат. журн., 1976. Т. 17, № 2. С. 414-425.

119. Функциональный анализ. Под ред. С. Г. Крейна. Справочная математическая библиотека. М.: Наука, 1972.

120. Хачатуров А.А. Определение меры для области п-мерного пространства по ее значениям для всех полупространств // УМЖ, 1954. Т. 9, № 3. С. 205-212.

121. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.

122. Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, 1993.

123. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.

124. Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990.

125. Begmatov Акт. Н. Some Volterra problems of integral geometry // International Symposium on Computerized Tomography. Novosibirsk, Russia, August 10-14,1993. Abstracts. Novosibirsk, 1993. P. 28.

126. Begmatov Акт. H. On a class of weakly ill-posed Volterra-type problems of integral geometry in the three-dimensional space //J. Inverse Ill-Posed Probl. 1995. VSP, The Netherlands. Vol. 3, № 3. P. 231-235.

127. Begmatov Akr. H. Some problems of integral geometry of Volterra type // Advanced Mathematics, Computations and Applications. International Conference AMCA-95, Novosibirsk, Russia, June 2024, 1995. Abstracts. Novosibirsk, 1995. Vol. 1 (A-Kor). P. 39-40.

128. Begmatov Akr. H. New classes of weakly and strongly ill-posed integral geometry problems // Inverse and Ill-Posed Problems (IIPP-96). Abstracts of International conference dedicated to the memory of academician A. N. Tikhonov. Moskow,September 10-13, 1996. Moskow, 1996. P. 29.

129. Cherednichenko V. G. Inverse logarithmic potential problem. VSP: Utrecht, the Netherlands, 1996.

130. Cormack, A. M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications, J. Appl. Phys., 1963. 34, 27222727.

131. Cormack, A. M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications II, J. Appl. Phys., 1964. 35, 2908-2912.

132. Finch, D. V. Cone beam reconstruction with sources on a curve, SIAM J. Appl. Math., 1985. 45, 665-673.

133. Grangeat, P. Mathematical framework of cone beam 3 D reconstruction via the first derivative of the Radon transform, in: Herman et a1. (eds): Mathematical methods in tomography, Springer 1991.

134. Natterer, F. Recent developments in X-ray tomography, in: Quinto et al. (eds): Tomography, Impedance Imaging, and Integral Geometry, AMS 1994.

135. Palamodov, V. P. Some mathematical aspects of 3 D X-ray tomography, in: Quinto et a1. (eds): Tomography, Impedance Imaging, and Integral Geometry, AMS 1994.

136. Quinto E. T. The dependence of the generalized Radon transform on defining measures // Trans. Amer. Math. Soc., 1980. 257, pp. 331-346.

137. Radon J. Uber die Bestimmung vor Functionen durch ihre Inte-gralwärte längs gewisser Mäannigfritigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad., 1917. 69, S. 262-277.

138. Tuy, H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction, SIAM J. Appl. Math., 1983. 43. 546-552.