Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных разрешимых групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шумакова, Екатерина Олеговна

• Шумакова, Екатерина Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шумакова, Екатерина Олеговна

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Предварительные сведения и результаты

1.1 Кольца и поля.

1.2 Теория представлений.

1.3 Групповые кольца.

Глава 2. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп диэдра и близких к ним групп

2.1 Группы диэдра

2.2 Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра.

2.2.1 Группа диэдра D\q.

2.2.2 Группа диэдра D\%.

2.2.3 Группа диэдра D24.

2.2.4 Группа диэдра D2о.

2.3 Квазикватернионные группы.

2.4 Обобщенные квазидиэдральные группы

2.5 Связь с циклическими группами

Глава 3. Центральные единицы целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса

3.1 Ранги групп единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса

3.2 Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Фробениуса -^11,5,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных разрешимых групп»

Актуальность, темы. Диссертационная работа посвящена изучению мультипликативной структуры групповых колец конечных разрешимых групп.

В изучении групп центральных единиц (равносильно, центров групп единиц) целочисленных групповых колец достигнут определённый прогресс.

В 1940 году была опубликована статья Хигмана „The units of group rings" [23], в которой была построена теория групп единиц конечных абелевых групп. Результаты этой работы определили развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях.

Р. Ж. Алеев в своей докторской диссертации [2] перенес хигманову теорию центральных единиц на группы центральных единиц целочисленных групповых колец произвольных конечных групп, и эти результаты активно используются в данной работе. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важная часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придает результат [18, Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц.

В [2] построена теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL{2,2П), описаны группы центральных единиц для знакопеременных групп А5 и А6, циклических групп порядков п ^ 10 и п = 12 и для линейной группы PSL(2,16).

Усилиями Р. Ж. Алеева, О. В. Перавиной и О. В. Митиной в [6] и [16] были исследованы группы центральных единиц для групп PSL(2,q), где q нечетно.

За последнее время Р. Ж. Алеев и О. В. Митина [4] исследовали группы центральных единиц для групп PGL(2,q), где q нечетно. Р. Ж. Алеев, В. В. Соколов и А. В. Каргаполов [5], [14] исследовали группы центральных единиц для знакопеременных групп.

В работе [25] рассматриваются группы центральных единиц конечных ниль-потентных групп. Таким образом, группы центральных единиц разрешимых ненильпотентных групп не подвергались тщательному изучению.

Важнейшей характеристикой группы центральных единиц является ее ранг. Р. Ж. Алеевым и его учениками получены эффективные формулы для вычисления рангов центральных единиц для циклических групп и групп PSL(2,q), PGL(2, q), зависящие от q. В работе [19] указана формула для вычисления ранга группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных абеле-вых групп. Отметим, что у Р. Ж. Алеева в [2] вычисление ранга выполняется с использованием таблиц характеров соответствующих групп, а метод Сегала [26] и Ферраза [21] для вычисления ранга требует изучения классов сопряженных элементов соответствующих групп.

Целью работы является изучение групп центральных единиц целочисленных групповых колец для следующих групп: группы диэдра D2n = (a, b \ а? = bn = 1, aba = ¿>1), где п > 2; квазикватернионные группы Q4n = (a,b\ а2 — bn, a~lba = b~l) , где n ^ 2 и n e N; обобщенные квазидиэдральные группы

QD8n = {a, b | а2 = bAn = 1, aba = b2n~l), где n > 2 и n 6 N; метациклические группы Фробениуса FTOin>g = (¿>)m X (а) с ядром {b) порядка m и дополнением (a) порядка п.

В случае, когда п не является степенью 2, группы £)2п, Qém QD8n являются разрешимыми ненильпотентными.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теории характеров и теории чисел.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006 г.), на международной конференции „Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.), на 38-й и 39-й Молодежной конференции „Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007 и 2008 гг.), на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2006 и 2008 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [27]- [35].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шумакова, Екатерина Олеговна, 2009 год

1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М: Мир, 1987. 416 с.

2. Алеев Р. Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дис. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук/ Чел. гос. ун-т. — Челябинск, 2000. 355 с.

3. Алеев Р. Ж. Центральные элементы целочисленных групповых колец. Алгебра и логика, т. 39, №5(2000). с. 513-525.

4. Алеев Р. Ж., Митина О. В. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РСЬ2(ц), где д нечетно, Сиб. электронные мат. известия, Т. 5, 2008, с. 652-672.

5. Алеев Р. Ж., Соколов В. В. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп, Теория групп, тезисы сообщений седьмой международной школы-конференции по теории групп, Челябинск, 2008, с. 7-8.

6. Алеев Р. Ж., Перавина О. В. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РЗЬ2(д), где д нечетно, Вестник Челяб. ГУ, серия „Математика. Механика", № 1(4), 1999, с. 5-15.

7. Белоногов В. А. Задачник по теории групп. — М: Наука, 2000. 240 с.

8. Белоногов В. А. Представления и характеры в теории конечных групп.Свердловск, 1990. 378 с.

9. Белоногов В. А., Фомин А. Н. Матричные представления в теории конечных групп. — М: Наука, 1976. 126 с.

10. Бовди А. А. Мультипликативная группа целочисленного группового кольца. Ужгород, 1987. Рук. деп. УкрНИИНТИ, 24.09.87, №2712-Ук87.- 210 с.

11. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М: Наука, 1985. 504 с.12 131415 1617