Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Алеев, Рифхат Жалялович

• Алеев, Рифхат Жалялович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Алеев, Рифхат Жалялович

Основные обозначения Введение

1 Предварительные сведения и результаты

1.1 Теория колец и теория групп.

1.2 Теория чисел.

1.2.1 Расширения Галуа.

1.2.2 Круговые поля.

1.2.3 Абелевы поля.

1.2.4 Максимальные действительные подполя круговых полей

1.2.5 Квадратичные поля.

1.3 Теория представлений.

1.4 Групповые кольца.

1.4.1 Центры комплексных групповых алгебр.

1.4.2 Центры рациональных групповых алгебр

1.4.3 Центральные единицы

1.4.4 Подгруппы Басса.

2 Теоретико-числовые результаты

2.1 Единицы колец целых круговых полей.•.

2.1.1 ПолеС^Схг).

2.1.2 ПолеСКСхб). •.

2.1.3 Поле €$(¿7).

2.2 Показатели для абелевых полей.

2.2.1 Постановка задачи и сведение к локальному случаю

2.2.2 Сведение к присоединённой группе.

2.2.3 Последовательность распределения степеней.

2.2.4 Глубина экстремальности.

2.2.5 Вычисление показателя.

Оглавление

2.2.6 Свойства показателей.

2.3 Отношение порядка к показателю.

2.3.1 Нахождение порядка.

2.3.2 Оценка отношения. Сведение к локальному случаю

2.3.3 Локальный случай.

2.3.4 Оценка отношения порядка к показателю для квадратичных полей.

3 Основные результаты о центральных единицах

3.1 Хигманова теория центральных единиц.

3.1.1 Предисловие.

3.1.2 Предварительные результаты.

3.1.3 Основные результаты.

3.1.4 Уточнение хигмановой теории единиц в случае целочисленных групповых колец конечных циклических групп.

3.2 Общие свойства центральных элементов.

3.2.1 Классовые кольца характеров.

3.2.2 Строение центра целочисленного группового кольца

3.2.3 Обратимость центральных элементов.

3.3 Локальная теория центральных единиц.

3.3.1 Локальное соответствие Хигмана.

3.3.2 Единицы полей характеров и центральные единицы

3.3.3 Подгруппы конечного индекса.

3.4 Числа Хигмана.

3.4.1 Глобальное уточнение четвёртой теоремы хигмановой теории центральных единиц.

3.4.2 Свойства чисел Хигмана.

3.4.3 Известные числа Хигмана.

4 Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(2п)

4.1 Предварительные сведения.

4.1.1 Числовая лемма.

4.1.2 Таблица характеров.

4.1.3 Минимальные центральные идемпотенты и классовые суммы.

4.1.4 Общие свойства таблиц характеров групп PSL2(2n)

4.2 Нормализованные единицы.

4.2.1 Общие свойства.

4.2.2 Теорема разложения.

Оглавление

4.2.3 Тривиальность группы центральных единиц.

4.2.4 Ранг группы центральных единиц.

4.3 Числа Хигмана групп Р8Ь2{2п).

5 Точное описание групп центральных единиц

5.1 Знакопеременные группы.

5.1.1 Знакопеременные группы Ап, п ^ 4.

5.1.2 Знакопеременная группа Аь.

5.1.3 Знакопеременная группа А6.

5.2 Линейная группа РБЬг(16).

5.2.1 Предварительные результаты

5.2.2 Построение свободных порождающих.

5.2.3 Точное отыскание группы центральных единиц

5.3 Циклические группы

5.3.1 Циклические группы порядков п ^

5.3.2 Циклическая группа порядка 10.

5.3.3 Циклическая группа порядка 12.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп»

Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии.

В теории групповых колец можно выделить два следующих основных направления.

1. Исследование кольцевой структуры. В этом случае рассматривается строение группового кольца с точки зрения теории колец, например, первичность, регулярность и примитивность групповых колец (см. [12]).

2. Исследование мультипликативной структуры. В этой области выясняется строение мультипликативных групп (= групп обратимых элементов = единиц) группового кольца.

Это деление весьма условно, так как зачастую невозможно достичь успеха в одном направлении без изучения свойств, связанных с другим. Наши исследования будут, в основном, касаться второго направления, то есть, мы будем изучать группы единиц групповых колец.

Сначала вопросы мультипликативной структуры колец рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел, упомянем знаменитую теорему Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел (см., например, [13, Теорема II.4.5]). Впоследствии получено много разнообразных и впечатляющих результатов. Укажем, к примеру, интересные и полезные результаты Синнота [61] и [62] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел).

В 1940 году была опубликована замечательная статья Хигмана "The units of group rings" [50], которая была изложением его докторской диссертации. После неё Хигман опубликовал много интересных и важных работ, но его работа [50] не потеряла своей актуальности. Её результаты определили дальнейшее развитие теории единиц групповых колец и

Введение 8 нашли свое применение в других областях. В книге Фукса [33, с. 380] написано следующее.

Первым систематическое изучение групп обратимых элементов провёл Хигман [50]; он исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.

В настоящее время можно условно выделить в мультипликативной теории групповых колец такие основные области исследований.

1. Построение таких подгрупп групп единиц, которые имеют определённые важные и интересные свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.).

2. Выяснение свойств группы всех единиц.

Обзоры современного состояния исследований групп единиц групповых колец можно найти в работах [42] и [52].

Классическими объектами исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные и глубокие характеристики групповых колец конечных групп. В самом деле, если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами. Если же рассматривать групповые алгебры над полями ненулевой характеристики, то часто там работают совершенно иные методы. Например, при изучении групп единиц таких алгебр используются методы теории р-групп.

Основная цель диссертации состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец, то есть, единиц (= обратимых элементов) центров таких колец. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важнейшая часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придаёт результат [38, Теорема 3.7] (см. приложение В), который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. При изучении центральных единиц в диссертации получены как результаты о свойствах отдельных центральных единиц, так и свойства групп всех центральных единиц. Также впервые получены полные

Введение 9 описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец некоторых важных конечных групп. Для изучения центральных единиц получены важные результаты о кольцах целых абелевых полей, имеющие самостоятельное значение для алгебраической теории чисел.

Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры.

Можно выделить, как один из основных подходов к изучению центральных единиц, развиваемых в диссертации — метод, который мы называем локальным и который позволяет строить центральные единицы, связанные с единственным неприводимым комплексным характером.

Применение локального метода позволяет строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп. После этого мультипликативной структуры центра целочисленного группового кольца сводится к исследованиям фактор-группы группы центральных единиц по построенной подгруппе и тем самым к работе в конечной абелевой группе, что позволяет существенно упростить получение полного описания группы всех центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп.

Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в алгебре и теории чисел, так и в их приложениях.

Результаты диссертации позволяют:

• определять показатели групп единиц фактор-колец колец целых абелевых полей, что полезно в исследованиях по алгебраической теории чисел;

• находить центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп, что очень важно при исследовании мультипликативной структуры таких колец;

• строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп;

• полностью описывать группы центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп.

Следует отметить, что подходы изучения центральных единиц, развиваемые Сегалом и его соавторами, не позволяют работать с произвольными

Введение 10 конечными группами, а могут применяться только к группам близким к абелевым, таким как нилыготентные. Более подробно эта тема освещена в обзоре [52, с. 147-149].

Полученные в диссертации результаты по теории чисел и применяемые для их получения подходы имеют самостоятельный интерес и могут иметь приложения в исследованиях колец целых абелевых полей.

Результаты диссертации докладывались на IV Сибирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, 1990), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), на Международной алгебраической конференции, посвящённой памяти Д.К. Фад-деева (Санкт-Петербург, 1997), на Международной конференции по теории групп, посвящённой памяти С.Н. Черникова (Пермь, 1997), на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998), на Международной конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (Омск, 1998) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1998), на Международной конференции "Маломерная топология и комбинаторная теория групп" (Челябинск, 1999), на Международной алгебраической конференции, посвящённой 60-летию со дня рождения Ю.И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000), на алгебраических семинарах ИММ УрО РАН и Челябинского, Омского и Южно-Уральского госуниверситетов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64]-[80].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, библиографии и приложений. Она изложена на 309 страницах (с библиографией, но без приложений), библиография содержит 80 наименований. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя: теорема 3.4 — четвёртая теорема третьей главы. Главы (chapter в Ш^Х) делятся на параграфы (section в ]£Т]еХ), которые делятся на разделы (subsection в ВД^Х), которые могут делиться на пункты (subsubsection в М^Х). Отметим, что ссылки на результаты внутри данной главы даются только в краткой форме с указанием лишь номера теоремы, леммы и т.п., вне главы ссылки даются в развёрнутой форме, когда дополнительно указывается номер страницы, на которой расположен цитируемый результат. Укажем также, что := означает равенство по определению.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Алеев, Рифхат Жалялович, 2000 год

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел: — 3-е изд., доп.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — 1985. — 504 с.14. ван дер Варден Б.Л. Алгебра: — 2-е изд.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — 1979. — 624 с.

2. Дынкин Е.Б., Успенский В.А. Математические беседы.- М.-Л.: ГТТИ. 1952.19. Ельцова Н Л.Центральные единицы 6X2(5): Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск 1994.

3. Aleev R. Zh., Ishechkina N. В., Ponomaryova N. G.Central unit group of integral group ring of group Sz(8). Челябинск, Челяб. ГУ, Межд. конф. "Маломер. топол. и комбинатор, теор. групп.", Тез. докл., 1999, с. 11.

4. Arora Satya R., Hales A. W., Passi I. В. SJordan decomposition and hypercentral units in integral group ring.Commun. Algebra, Vol. 21, No. 1(1993), pp. 25-35

5. Cohn J. A., Livingstone D.On the structure of group algebras. I.Can. J. Math., Vol. 17, № 4(1965), pp. 583-593.

6. Gongalves J., Ritter J., Sehgal S. K.Subnormal subgroups in U(ZG).Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 103, No. 2(1988), pp. 375-382.

7. Masley J. M., Montgomery H. L.Cyclotomic fields with unique factorization.J. für Reine und Angew. Math., Vol. 286/287, (1976), pp. 248-256.

8. Межд. алгебр, конфер. (Новосибирск, 7-11 авг. 2000 г.), Тез. докл., Новосибирск, 2000, с. 4-6.76. Алеев Р.Ж.О числах Хигмана.