Группы с условиями насыщенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Филиппов, Константин Анатольевич

• Филиппов, Константин Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Филиппов, Константин Анатольевич

Содержание

Введение

Глава 1. Известные факты

Глава 2. Группы, насыщенные ¿2(9) и центральными расширениями группы порядка 2 при помощи Ь2{я)

§ 2.1. Периодические группы, насыщенные ¿2(<7)

§ 2.2. Периодические группы, насыщенные БЬ^)

§2.3. Периодические группы, насыщенные Ь2(Ка) х22

§ 2.4. Группы Шункова, насыщенные ¿2(9)

§ 2.5. Группы Шункова, насыщенные ¿^(д)

§2.6. Группы Шункова, насыщенные центральными расширениями группы порядка 2 при помощи ¿2(9)

Глава 3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

§ 3.1. Группы Шункова, насыщенные группами Ь2(рп), 5,г(22п+1)

§3.2. Периодические группы с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенные

группами Ь2{рп), Бг{22п+1)

§ 3.3. Периодические группы с бесконечной силовской 2-подгруппой насыщенные

группами Ь2(рп), 5г(22п+1)

§3.4. Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами £/з(2п) 55 § 3.5. Периодические группы, насыщенные конечным множеством конечных простых неабелевых групп

§ 3.6. Периодическая группа Шункова, насыщенная простыми трёхмерными унитарными группами

§ 3.7. Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами

Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп 75 §4.1. Группы Шункова, насыщенная прямыми произведениями конечных 2-групп

на группу Ь2(5)

§ 4.2. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических групп

на линейные группы размерности два

§4.3. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических 2-

групп на группу Ь2{Ъ)

§ 4.4. Группы Шункова с одним условием насыщенности

Глава 5. Группы, насыщенные конечными группами периода 5 91 § 5.1. Автоморфизм порядка 2 бернсайдовой группы В0(2,5), переводящий образующие в обратные

§5.2. Автоморфизм порядка 2 бернсайдовой группы 50(2,5), действующий симметрично на образующих

§ 5.3. Централизатор четверной группы автоморфизмов бернсайдовой группы В0(2,5) 106 § 5.4. Диаметр Кэли одной подгруппы группы В0(2, 5)

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы с условиями насыщенности»

Введение

В теории бесконечных групп значительное место занимают исследования бесконечных групп с различными условиями конечности, т.е. групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп. Результаты исследований, представленные в данной работе, связаны с условием насыщенности группы заданным множеством групп.

Группа G насыщена группами из множества групп £К, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из

Понятие насыщенности впервые появилось и оформилось в работах А.К. Шлёпкина [38-46] и было обусловлено следующим обстоятельством.

При изучении групп с различными условиями минимальности (для всех подгрупп, абелевых подгрупп, примарных подгрупп и т.п.), как правило, необходимо было установить строение некоторой периодической группы с заданной системой конечных простых неабелевых подгрупп. Анализ этой системы подгрупп приводил в большинстве случаев к тому, что такая группа оказывалась локально конечной. Поэтому естественно было рассмотреть произвольную группу, содержащую данное множество конечных простых неабелевых подгрупп, в качестве самостоятельного условия конечности.

Как оказалось, "насыщенность" является естественным обобщением понятия покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторо-вича [12,13]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович, A.C. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [14]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [14]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [2] и независимо A.B. Боровик [3], С. Томас [60], Б. Хартли и Г. Шют [55] доказали следующую теорему:

Если локально конрчнпя группа G обладает локальным покрытием, состоящим из множества подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.

Напомним понятие локального покрытия. Множество Ш подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = [J X и для любых X, Y € найдется такой

хеш

элемент Z € 9TÎ, что X С Z и Y Ç Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Конструкция периодических произведений С.И. Адяна [1] позволяет строить периодические группы, насыщенные конечными множествами групп, содержащими любые конечные наборы групп нечётного порядка. Подобными свойствами обладают и примеры групп А.Ю. Ольшанского (см. [29-31]). И.Г. Лысёнок [19] и C.B. Иванов [53] показали, что группы В(т, п) при достаточно больших чётных п насыщены прямыми произведениями групп диэдра. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена группами из конечного множества. То же самое справедливо и для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как они обладают бесконечными локально конечными подгруппами [40].

В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возник следующий вопрос, поставленный А.К. Шлёпкиным и вошедший в Коуровскую тетрадь [25] под номером 14.101:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

Решением вопросов, связанных с понятием "насыщенности", посвящены работы Б. Амберга, J1.C. Казарина, A.A. Кузнецова, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, Д.Н. Панюшки-на, А.Г. Рубашкина, А.И. Созутова, JI.P. Тухватуллиной, А.К. Шлёпкина (см. обзор [63]). При этом в качестве групп насыщающего множества рассматривались не только простые группы. К направлению "насыщенности" относится и настоящая диссертационная работа.

Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шун-кова, насыщенных различными множествами конечных групп, а также изучению групп периода 5. При этом используются методы локального анализа конечных групп, адаптированные к исследованию периодических групп. Кроме того, используются компьютерные вычисления для установления строения некоторых групп.

Результаты диссертации в период с 2005 по 2011 год были представлены на международных конференциях в Екатеринбурге, Красноярске, Нальчике, Новосибирске. В частности, на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011), автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах КрасГАУ "Математические системы", СФУ "Городской алгебраический семинар" и семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН. Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [61,70-75] и принадлежат лично диссертанту.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказано существование периодической части в группах Шункова, насыщенных группами вида Lz(q) (соответственно, S,L2(<7)), установлен её изоморфизм с группой L^iQ) (соответственно, SLziQ)) над подходящим локально конечным полем Q (теоремы 2.4.1, 2.5.1).

2. Доказано, что периодическая группа Шункова. насыщенная множеством простых трехмерных унитарных групп Us(q) над конечными полями, изоморфна группе U%{Q) над подходящим локально конечным полем Q (теорема 3.6.1).

3. Доказано, что если периодическая группа G насыщена конечными простыми неабеле-выми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К, то G изоморфна одной из следующих групп: Jb Li(Q), Re(Q), U3(Q), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q (теорема 3.7.1).

4. Установлено строение периодической группы Шункова G, насыщенной прямыми произведениями X х Y, где X принадлежит множеству групп вида L2(pn), Sz(22m+1), Re(32s+1) и содержит элемент фиксированного простого порядка и нечетным порядком его централизатора, а Y принадлежит некоторому множеству конечных 2-групп. Доказано, что G = R х Ог(С?), где R изоморфна одной из групп L2(F), Sz(P), Re(E) для подходящих локально конечных полей F, Р, Е (теорема 4.4.1).

5. Получено описание централизатора инволютивного автоморфизма <*р универсальной конечной бернсайдовой группы периода 5 с двумя образующими: В0(2, 5) = (х, у), переставляющего её образующие. Доказано, что его порядок равен 517; 3 — минимальное число порождающих, ступени нильпотентности и разрешимости равны б и 3 соответственно; получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов (теорема 5.2.1).

6. Вычислен диаметр Кэли и получена функция роста для подгруппы Я = (ху, ух) группы В0{2,5) — {х,у) (теорема 5.4.1).

Перейдём к более подробному изложению содержания диссертации, которая состоит из пяти глав и списка литературы из 127 наименований.

Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий), а также определений, предложений и таблиц сквозная внутри параграфа и состоит из трёх цифр: первая - номер главы, вторая - номер параграфа и третья - порядковый номер внутри параграфа.

Введение

В данном разделе приведена характеристика результатов работы.

Глава 1. Известные факты

В главе 1 приведены известные определения и факты, использующиеся далее в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2—5). Часть из них приведена с доказательствами.

Глава 2. Группы, насыщенные Ь2(д) и центральными расширениями группы порядка 2 при помощи Ь2(д)

В данной главе исследованы группы Шункова, а также периодические группы, насыщенные центральными расширениями группы Z2 при помощи Ь2(К), где К - конечное поле.

Произвольная группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [36]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях её элементов конечных порядков, в частности, составляют ли они характеристическую подгруппу Т(С) — периодическую часть?

Под периодической частью Т(С) группы (7 понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечных порядков из С, при условии, что она периодическая.

Основными результатами этой главы являются следующие две теоремы.

Пусть I означает множество индексов, Ка — конечное поле для любого а 6 /. Пусть = {¿2(Ка)\а 6 /} и ОТ = {вЬ2(Ка)\а € /}. Отметим, что для различных а и ¡3 характеристики полей Ка и могут быть различными.

Теорема 2.4.1. Группа Шункова С, насыщенная группами из множества ОТ, обладает периодической частью Т{С), изоморфной простой группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Теорема 2.5.1. Группа Шункова (7, насыщенная группами из множества ОТ, обладает периодической частью Т(С?), изоморфной группе ЗЬ2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Данные результаты являются авторскими и опубликованы в [70].

Отметим, что эти результаты дополняют следующие две теоремы, полученные в работе [68] совместно с А.Г. Рубашкиным.

Теорема 2.1.1. Периодическая группа С, насыщенная группами из множества '¡Я, изоморфна простой группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Теорема 2.2.1. Периодическая группа С, насыщенная группами из множества ОТ, изоморфна группе ЗЬ2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Глава 3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

В данной главе продолжены исследования по частичному решению вопроса 14.101 из Коуровской тетради, упомянутому выше. Изучаются группы Шункова и произвольные периодические группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами.

Теорема 3.3.1. Периодическая группа, насыщенная некоторым множеством групп вида L2(pm), Sz(22n+1), изоморфна L2(P) или Sz(Q) для подходящих локально конечных полей Р, Q.

Данный результат опубликован в [86].

В приводимых ниже теоремах изучаются бесконечные периодические группы и периодические группы Шункова, насыщенные конечными простыми трёхмерными унитарными группами.

Теорема 3.4.1. Пусть бесконечная периодическая группа G насыщена группами из множества Ш, = {U^{q)}, где q — степени числа 2. Тогда G изоморфна группе Us(Q) над локально конечным полем Q характеристики 2.

Отказаться от условия, что q — степени числа 2, в теореме 3.4.1 для периодических групп пока не удалось. Но для периодических групп Шункова это сделано.

Основными результатами этой главы являются две следующие теоремы 3.6.1, 3.7.1, опубликованые в [72,73] и доказанные автором лично.

Пусть 01 - множество всех простых трёхмерных унитарных групп ?7з(д) над конечными полями.

Теорема 3.6.1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из 91, локально конечна и изоморфна Uz(Q) для некоторого локально конечного поля Q.

В теореме 2 из [33] доказывается, что бесконечная периодическая группа G с абеле-выми силовскими 2-подгруппами, насыщенная конечными простыми группами, локально конечна и изоморфна либо Яе(Р), либо L2{Q) над подходящими локально конечными полями Р и Q.

Следующая теорема имеет более общий характер.

Теорема 3.7.1. Пусть периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К. Тогда G изоморфна одной из следующих групп: Ji, L2(Q), Re(Q), U^iQ), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q.

Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп

А.Г. Рубашкин и А.К. Шлёпкин [46] рассматривали периодические группы, насыщенные группами диэдра. Как оказалось, такие группы ограниченного периода локально конечны. Б. Амберг и JI.C. Казарин [49] показали, что произвольная периодические группа (без ограничения на период), насыщенная группами диэдра, локально конечна. Отметим, что это неверно, если насыщающее множество состоит из прямых произведений групп диэдра (даже ограниченного периода). А именно, как отмечалось выше, И. Г. Лысёнок [19] и C.B. Иванов [53] показали, что группы В(т, п) для достаточно большого чётного периода п насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе (причём число множителей может быть сколь угодно большим). Таким образом, актуальным становится изучение групп насыщенных прямыми произведениями различных групп.

Сформулируем основной результат данной главы.

Пусть р - фиксированное простое нечётное число. Множество Хр состоит из групп вида L — M х Q, где Q - конечная 2-группа, a M - группа из множества Yp, которое является объединением следующих трёх множеств: А = {Sz(22k+1)\k Е I с N}, В = {Яе(32"1+1)|т е J с N} и С = {L2(ps)|s е К с N,p 6 Т с D-множество всех простых чисел} и при этом, каждая группа M 6 Yp содержит элемент о порядка р, для которого См(о.) не содержит инволюций.

Теорема 4.4.1. Если периодическая группа Шункова G насыщена группами из множества Хр, то все её элементы конечных нечетных порядков порождают в G локально конечную подгруппу R, изоморфную одной из групп L2(F), Re(P), Sz(E) для подходящих локально конечных полей F, Р, Е и G — R х 02(G).

Данный результат опубликован в [74].

Глава 5. Группы, насыщенные конечными группами периода 5

Свободной бернсайдовой группой периода пет образующими называется группа В(т, п) = Fm/F™, где Fm — свободная группа ранга т и FT" — ее подгруппа, порожденная всеми n-ми степенями элементов из Frn.

Универсальной конечной бернсайдовой группой периода пет, образующими называется группа В0(т,п) = Fm/U(m,n), где U(т, п) — пересечение всех нормальных подгрупп N < Fm, для которых Fm/N — конечная группа периода п. А.И. Кострикин показал, что В0(т,п) конечна, если п - простое число [15]. Е.И. Зельманов обобщил эту теорему А.И. Кострикина на случай, когда п — степень простого числа [9]. Отсюда и из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна с использованием классификации конечных простых групп вытекает конечность Во(т,п) для произвольных тип [56].

Поскольку В(2,5) является "наименьшей" из бернсайдовых групп, для которых не решён вопрос об их конечности, любые сведения о ней и, в частности, о В0(2,5), интересны. А.И. Кострикин установил границы для порядка группы В0(2,5): 531 <| В0(2,5) |< 534 [15]. В 1974 г. Хавас, Уолл и Уэмсли в [57] при помощи компьютерных вычислений нашли определяющие соотношения, определили точный порядок группы В0(2,5), который равен 534, и ступень нильпотентности данной группы, она равна 12. В нашей работе эти соотношения используются для исследования строения централизаторов автоморфизмов .Во (2,5).

Рассмотрим автоморфизм ■ф группы Bq(2, 5) = (х, у), действующий на образующих следующим образом: х^ — х~1, у^ = у-1.

Пусть Св0(2,5)(Ф) — централизатор автоморфизма ф в В0(2,5). Обозначим Св0(2,5)(V0 через Сф.

Теорема 5.1.1. Для Сф имеют место следующие утверждения:

1. \СФ\ = 516.

2. Сф = X х (а;5), где (х5) - центр группы В0(2,5), X = (х1,х2,х3,х4) - группа со следующими свойствами:

a. X имеет нормальную абелеву подгруппу Н2 и |Яг| = 511.

b. Х/Н2 = (Х1Н2) х (х2Н2) х (х3Н2) х (х4Н2).

c. \Х\ = 515.

3. 5 — минимальное число порождающих Сф.

4. Ступени разрешимости и нильпотентности для С-ф равны 2 и 4 соответственно.

5. Получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов X — (Х\,Х2, Хз, Xi).

Коммутаторы веса 1: 1 — х\,2 = х2,Ъ — х3, 4 = х4.

Коммутаторы веса 2:

5 = [2,1], б = [3,1], 7 - [4,1], 8 = [4,2], 9 = [4,3]. Коммутаторы веса 3:

10 = [4,1,4], 11 = [4,2,4], 12 = [4,3,4]. Коммутаторы веса 4:

13 = [4,1,4,4] = Нд, 14 = [4,2,4,4] = Н10, 15 = [4,3,4,4] = Ли.

Ниже приведены нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов:

[2.1] = 5, [3,1] = 6, [3, 2] = 54 • б4 • 102 • II4 • 122 • 133 ■ 143 ■ 15, [4,1] = 7,

[4.2] = 8, [4,3] = 9, [5,4] = 132, [6,4] = 144, [7,2] = 13, [7,3] = 142, [7,4] = 10, [8,1] = 134, [8,3] = 15, [8,4] = 11, [9,1] = 143, [9, 2] = 154, [9,4] = 12, [10,4] = 13, [11,4] = 14, [12,4] = 15.

Данный результат был получен в равном соавторстве с А.А. Кузнецовым и опубликован в [62].

Основными результатами этой главы являются две следующие теоремы, опубликованные в [61,71].

Рассмотрим автоморфизм <р группы Во(2, 5) = (х, у), переставляющий её образующие.

Пусть Св0(2,5)(<л) — централизатор автоморфизма ср в В${2, 5). Обозначим Св0(2,ъ){(р) через Су.

Теорема 5.2.1. Для С,Р имеют место следующие утверждения:

1. |С„| = 517.

2. Ступени нильпотентности и разрешимости для С<р равны 6 и 3 соответственно.

3. 3 — минимальное число порождающих С^.

4. Получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов С = (/сь к-2, к3).

Коммутаторы веса 1: 1 = к\, 2 = к2, 3 = к3.

Коммутаторы веса 2: 4 = [2,1], 5 = [3,1], 6 = [3,2].

Коммутаторы веса 3: 7 = [4,1], 8 = [4,2], 9 = [5,1].

Коммутаторы веса 4: 10 = [7,1], 11 = [7, 2], 12 = [8,2], 13 = [9,1].

Коммутаторы веса 5: 14 = [10,2], 15 = [11, 2].

Коммутаторы веса 6: 16 = [14,1], 17 = [14,2].

Нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов:

[2,1] = 4, [3,1] = 5, [3,2] = 6, [4,1] = 7, [4,2] = 8, [4,3] = 72-83-102-122-14-152-162-17,

[5.1] = 9, [5,2] = 74 • 83 • 92 • 103 • 11 • 123 • 13 • 144 • 152 • 163 • 173, [5,3] = 72 • 84 ■ 93 •

113 • 133 • 144 ■ 15 • 16, [5,4] = 143 • 16 • 172, [6,1] = 72 • 92 • 10 • 11 • 12 • 13 ■ 144 • 163 • 174, [6, 2] = 73 • 83 • 94 • 103 ■ II4 • 123 ■ 134 • 144 ■ 153 • 164 • 174, [6,3] = 73 • 84 • 9 • 102 •

114 • 122 • 134 • 14 • 153 ■ 163 • 17, [6,4] = 14 • 164 • 174, [6,5] = 144 • 164 • 17, [7,1] = 10,

[7.2] = 11, [7, 3] = 102 • II3 • 142 • 154 ■ 16 • 173, [7,4] = 14 • 16 • 174, [7, 5] = 143 • 163 • 172, [7,6] = 143-163-172, [8,1] = 1М4 152-173, [8,2] = 12, [8,3] = 112-123-142-15-162-173,

[8.4] = 152, [8,5] = 15 • 16 • 172, [8,6] = 15 • 162 • 174, [8,7] = 162 • 174, [9,1] = 13, [9,2] = 104-113-132-144-154'162, [9,3] = 102-114-133-143-154-162-172, [9,4] = 143-16472,

[9.5] = 144 • 163 • 17, [9,6] = 144 • 163 • 17, [9,8] = 164 • 173, [10,1] = 16, [10,2] = 14, [10,3] = 143 • 164 • 173, [10,4] = 16, [10,5] = 163, [10,6] = 163, [11,1] = 142 • 164 • 174,

[11,2] - 15, [11,3] = 144 • 153, [11,4] = 162, [И, 5] - 16, [11,6] = 16, [12,1] = 153 ■ 17, [12,2] = 16, [12,3] = 15 • 163 • 173, [12,4] - 164, [12,5] = 162, [12,6] = 162, [13,1] = 164, [13,2] - 143 • 16 • 173, [13,3] - 144 • 162 • 173, [13,4] = 163, [13,5] = 164, [13,6] = 164, [14,1] = 16, [14,2] = 17, [14,3] - 162 ■ 173, [15,1] = 162 • 172, [15,2] = 162, [15,3] = 174.

Рассмотрим в В0(2,5) = {х,у) подгруппу Н0 — (Л.1, Л-г), где = ху, = ух. В [17] вычислены порядок группы Но, который равен 514, и коммутаторные соотношения данной группы. Изучение структуры группы Во(2,5) затруднено из-за её большого порядка. Приводимая ниже теорема позволяет изучать структуру группы Во(2,5), используя группу Но, которая имеет существенно меньший порядок.

Теорема 5.4.1. Диаметр Кэли группы Но относительно порождающих {/¿ь к2} равен

45.

Функция роста группы Н0 приведена в таблице 1, её график изображен на рисунке, а в таблице 2 приведена часть элементов максимальной длины 45 в формате минимальных слов, где И.1 соответствует символ 0, а /¿2 соответствует символ 1.

Таблица 1: Функция роста

Длина Элементы Длина Элементы Длина Элементы

0 1 16 37254 32 561801464

1 2 17 70751 33 779044350

2 4 18 134224 34 936055279

3 8 19 254321 35 954336955

4 16 20 481252 36 831332170

5 30 21 909349 37 618248452

6 58 22 1714866 38 367604796

7 112 23 3226931 39 151894200

8 214 24 6055431 40 34898104

9 410 25 11319139 41 3181218

10 784 26 21039700 42 69158

11 1495 27 38795471 43 800

12 2847 28 70686385 44 316

13 5417 29 126432849 45 158

14 10303 30 219647100 Всего 6103515625

15 19602 31 364201879

Таблица 2: Фрагмент массива элементов максимальной длины 45;

1 000010001001110001010000111100111001101010011

2 000010001001011100001101111000100110100011011

3 000010000100110011000101011100110001001110111

4 000010000101010110100110010101110001011000111

5 000010000101110001011110011010001101100010011

6 000010000101110011010010001111010100011001011 7 000010000101010011100111011001100001010010111

Продолжение таблицы 2

8 000010000101001011000100110101100111001100111

9 000010000100011011100101110011000110011010011

10 000010000101110000100101101111011000110000111 11 000010000100100101100100111100110100011011011 12 000010000100100101011110111011000110100100011

13 000010000101000011101001000110111011110010011

14 000010000101000100001110101110110101011000111

15 000010001001101000101110110100111100100010011

16 000010001001100101100111001001110001000110111

17 000010001001110001101010010011010001110111001

18 000010000110100011101011011110010010001011001

19 000010000110000111010110100011010111001100101

20 000010000111101011100100010100101100001011011 21 000010000101101001100111001100010110001001111 22 000010000101001100001101011011000101101011011

23 000010000101110001011110010000110101001001111

24 000010000101101110010011101001100001011100011

25 000010000101001101101001111001001010100100111

26 000010000101001011110010110101110110001010001

27 000010000101111000101001011100101000110011011

28 000010000101011100010100100001101101110100111

29 000010000101001100111010110001011010111000011

30 000010001000110111011101011001001101010001001

31 000010001001010111001000011001001010111010111

32 000010001001100101000110111010000101100110111

33 000010001001000010101110110010001101110110101

34 000010001000110101111011010001101010011010001

35 000010001000111101010011011100010001101011001

36 000010001001110001001010111001101000101011011

37 000010001000100110101011101000101110110011001

38 000010001000110110111100011101101000011001001

39 000010001000101101000011011000111101101101001

40 000010001000010111100110111000101110110010001

41 000010001000010110001110110001011000111010111

42 000010001000011011000100101111011100110000111

43 000010001000010011001110111000101101110100011

44 000010001101110110001110111100101110111010011

45 000010001000011100001100111011110100100011011

46 000010001000010001001101110100011101100111101

47 000010001101100001101010011000110101100100111

48 000010001101010011110001001101001000111001101

49 000010001101000100001110010011101100111001101

50 000010001000010011010110011000111011001010111

51 000010001101000100001110010111001100111011001

52 000010001001000011000111100010011110110100111

1Е+09

90000000

80000000

70000000

2 бооооооо

50000000

40000000

30000000

20000000

10000000

15

20 25 30

Длина элементов

35

40 45

50

Рис. 1: График функции роста.

Доказательство теорем 5.1.1, 5.2.1, 5.3.1 и 5.4.1 проводилось с использованием компьютерных вычислений, которые были проведены с использованием суперкомпьютера Сибирского федерального университета (СФУ).

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту профессору Н.М. Сучкову за помощь в работе и внимание с его стороны.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 10-01-00509-а, 09-01-00717-а) и аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/3023).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Филиппов, Константин Анатольевич, 2012 год

Библиография

1. С. И. Адян, Периодические произведения групп, Теория чисел, математический анализ

и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его восьмидесятипятилетию, Тр. МИАН СССР, 142 (1976), 3-21.

2. В.В.Беляев, Локально конечные группы Шевалле, в сб.: Исследования по теории

групп, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1984, 39-50.

3. A.B. Боровик, Вложения конечных групп Шевалле и периодические линейные группы,

Сибирский математический журнал, 24, № 6 (1983), 26—35.

4. В. М. Бусаркин, Ю.М.Горчаков, Конечные расщепляемые группы, Москва, Наука,

1968.

5. О. В. Васильева, А.К.Шлёпкин, О периодических группах с элементарной абелевой

силовской 2-подгруппой порядка 8, Матем. сист., 1 (2000), 48-53.

6. Д. Горенстейн, Конечные простые группы, Москва, Мир, 1985.

7. А. П.Дицман, О центре р-групп, Тр. семинара по теории групп, Москва, 1938.

8. А.Х.Журтов, О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса, Сибир-

ский математический журнал, 41, № 2 (2000), 329—338.

9. Е. И. Зелъманов Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп, Матем. сб.,

182, № 4 (1991), 568-592.

10. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, Москва, Физматлит, 1996.

11. А. С. Кондратьев, В. Д. Мазуров, 2-сигнализаторы конечных простых групп, Алгебра

и логика, 42, № 5 (2003), 594-623.

12. П. Г. Конторович, Инвариантно покрываемые группы, Матем. сб.,8(50), № 3 (1940),

423-436.

13. П. Г. Конторович, Инвариантно покрываемые группы II, Матем. сб., 28(70), № 1 (1951),

79-88.

14. П. Г. Конторович, А.С.Пекелис, А.И.Старостин, Структурные вопросы теории

групп, Матем. зап. Уральск, ун-та., 3 (1961), 3-50.

15. А. И. Кострикин, Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5, Изв.

АН. СССР. Сер. матем, 19, №3 (1955), 233-244.

16. А. И. Кострикин Введение в алгебру: Учебник для вузов. - 2-е издание., исправл,

Москва, Физматлит, 2001.

17. А.А.Кузнецов, Об одной подгруппе бернсайдовой группы В0(2, 5),Тр. ИММ УрО РАН,

17, №4 (2011), 176-180.

18. А.Г.Курош Теория групп, Москва, Наука, 1967.

19. И. Г. Лысёнок Бесконечные бернсайдовы группы четного периода, Изв. РАН. Сер. ма-

тем., 60, №3 (1996), 3-224.

20. Д. В. Лыткина, Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4,

Сибирский математический журнал, 48, № 2 (2007), 353—358.

21. Д. В. Лыткина, О группах, насыщенных конечными простыми группами, Алгебра и

логика, 48, № 5 (2009), 628-653.

22. Д. В. Лыткина, В.Д.Мазуров, Периодические группы, насыщенные группами Ьз(2,п),

Алгебра и логика, 46, № 5 (2007), 606-626.

23. В. Д. Мазуров Конечные группы, Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 14

(1976), 5-56.

24. В. Д. Мазуров О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций, Ал-

гебра и логика, 39, №1 (2000), 74-86.

25. В.Д.Мазуров, Е.И. Хухро Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп.

Издание 16-е, Новосибирск, ИМ СО РАН, 2010.

26. П. С. Новиков, С. И. Адян, О бесконечных периодических группах. I, Изв. АН СССР,

Сер. матем., 32, № 1 (1968), 212-244.

27. П. С. Новиков, С. И. Адян, О бесконечных периодических группах. II, Изв. АН СССР,

Сер. матем., 32, № 2 (1968), 251-524.

28. П. С. Новиков, С. И. Адян, О бесконечных периодических группах. III, Изв. АН СССР,

Сер. матем., 32, № 3 (1968), 709-731.

29. А. Ю. Ольшанский, Бесконечные группы с циклическими подгруппами, ДАН СССР,

245, № 4 (1979), 785-787.

30. А. Ю. Ольшанский, Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Изв. АН

СССР, Сер. матем., 44, № 2 (1980), 309-321.

31. А. Ю. Ольшанский, Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков,

Алгебра и логика, 21, № 5 (1982), 553-618.

32. И. Н. Санов, Решение проблемы Бернсайда для показателя 4, Учёные записки Ленин-

градского гос. ун-та. Сер. матем., № 55 (1940), 166—170.

33. А. И. Созутов, А. К. Шлёпкин, О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщен-

ных конечными простыми подгруппами, Математические заметки, 72, № 3 (2002), 433-^47.

34. Н. М. Сучков, О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций,

Матем. сб., 193, №2 (2002), 153-160.

35. Л. Р. Тухватуллина, А. К. Шлёпкин, О периодических группах, насыщенных полудиэд-

рами, Журнал СФУ. Математика и физика, 1, №3 (2008), 329-334.

36. А. А. Череп, О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной

группе, Алгебра и логика, 26, №4 (1987), 518-521.

37. А. К. Шлёпкин А.К., О полных 2-подгруппах в сопряженно бипримитивно конечной

группе с условием примарной минимальности, Алгебра и логика, 24, № 2, (1985), 240-243.

38. А. К. Шлёпкин, Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные

неразрешимые подгруппы, III межд. конф. по алгебре, тезиы докладов, Красноярск, 1993.

39. А. К. Шлёпкин, О сопряжённо бипримитивно конечных группах, насыщенных конеч-

ными простыми подгруппами, Алгебра и логика, 37, № 2 (1998), 224—245.

40. А. К. Шлёпкин, О некоторых периодических группах, насыщенных конечными про-

стыми группами, Математические труды, 1, № 1 (1998), 129—138.

41. А. К. Шлёпкин, О сопряжённо бипримитивно конечных группах, насыщенных конеч-

ными простыми подгруппами U3(2n), Алгебра и логика, 37, № 5 (1998), 606—615.

42. А. К. Шлёпкин, О периодической части некоторых групп Шункова, Алгебра и логика,

38, № 1 (1999), 96-125.

43. А. К. Шлёпкин, Группы Шункова с дополнительными ограничениями, Дис. док. физ,-

мат. наук, Красноярск, 1998.

44. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, О некоторых периодических группах, насыщенных ко-

нечными простыми группами, Математические системы, 2 (2004), 96—100.

45. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, О группах, насыщенных конечным множеством групп,

Сибирский математический журнал, 45, № 6 (2004), 1397—1400.

46. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, Об одном классе периодических групп, Алгебра и ло-

гика, 44, № 1 (2005), 114-125.

47. В. П. Шунков, О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и

логика, 11, № 4 (1972), 470^93.

48. В. П. Шунков Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах, Алгебра и

логика, 12, № 5 (1973), 603-614.

49. В. Amberg, L. S. Kazarin, On periodic groups saturated by dihedral subgroups, Proceedings

Ischia Group Theory Conference, 2010.

50. J. L. Alperin, R. Brauer, D. Gorenstein, Finite groups with quasi-dihedral and wreathed

Sylow 2-subgroups, Trans. AMS, 151, № 1 (1970), 1-261.

51. L.Dichson, Linear groups, Leipzig, B.G. Teubner, 1901.

52. W.Feit, J. G. Thompson, Solvability of groups of odd order, Рас. J. Math., 13, № 3 (1963),

775-1029.

53. S. V.Ivanov, The free Burnside groups of sufficiently large exponents, Int. J. of Algebra and

Computation, 4 (1994), 1-308.

54. K. Harada, Mong Lung Lang, Indecompsable sylow 2-subgroups of simple groups, Acta

Applicandae Mathematicae, 85 (2005), 161-194.

55. B. Hartley, G. Shute, Monomorphisms and direct limits of finite groups of Lie type, The

Quaterly Journal of Mathematics Oxford, Ser. 2, 35, № 137 (1984), 49-71.

56. P. Hall, G. Higman, On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for

Burnside's problem, Proc. London Math. Soc., 6, № 3 (1956), 1—42.

57. G. Havas, G. Wall, J. Wamsley, The two generator restricted Burnside group of exponent

five Bull. Austral. Math. Soc., 10 (1974), 459-470.

58. B.Huppert, Endliche Gruppen. I., Springer Verlag, 1979.

59. D. V.Lytkina, Periodic groups saturated by the group U3(9), Sib. Electronic Math. Reports,

4 (2007), 300-303, http://semr.math.nsc.ru.

60. S. Thomas, The classification of the simple periodic linear groups, Arch. Math, 41 (1983),

103-116.

Работы автора по теме диссертации, опубликованные в изданиях из перечня ВАК

61. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Об одном инволютивном автоморфизме бернсайдовой

группы В0(2, 5), Сиб. журнал индустр. мат., 13, № 3(43) (2010), 68-75.

62. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Об одном автоморфизме порядка 2 бернсайдовой груп-

пы В0(2, 5), Влад. мат. журнал, 12, № 4 (2010), 44^9.

63. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Группы, насыщенные заданным множеством групп, Си-

бирские электронные математические известия, 8 (2011), 230—246.

64. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насы-

щенных конечным множеством конечных простых групп, Сиб. мат. журнал, 49, № 2 (2008), 395-400.

65. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Периодические группы, насыщен-

ные конечными простыми группами С/з(2т), Алгебра и логика, 47, № 3 (2008), 288-306.

66. Д. Н. Панюшкин, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодической группе Шун-

кова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы Ь2(5), Вестник НГУ. Математика, механика, информатика, 10, № 1 (2010), 88-92.

67. Д. Н. Панюшкин, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О группе Шункова, насыщенной

центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп, Тр. ИММ УрО РАН, 6, № 2 (2010), 177-185.

68. А. Г. Рубашкин, К.А.Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами

Ь2(рп), Сиб. мат. журнал, 46, № 6 (2005), 1388-1392.

69. К.А.Филиппов, О централизаторах автоморфизмов бернсайдовой группы В0{2,5),

Сиб. электр. мат. известия, 9 (2012), 185-189.

70. К. А. Филиппов, О периодической части группы Шункова, насыщенной Ь2(рп), Вест-

ник СибГАУ, 1(41) (2012), 67-72.

71. К. А. Филиппов, О диаметре Кэли одной подгруппы группы В0(2,5), Вестник СибГАУ,

1(41) (2012), 234-236.

72. К. А. Филиппов, О периодических группах Шункова насыщенной простыми трёхмер-

ными унитарными группами, Вестник СибГАУ, 2(42) (2012), 78-80.

73. К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных конечными простыми груп-

пами, Сиб. мат. журнал, 53, № 2 (2012), 430^438.

74. К. А. Филиппов, О прямых произведениях конечных групп в группах Шункова, Вестник

КрасГАУ, 3 (2012), 56-62.

75. К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним условием насыщенности, Журнал СФУ.

Математика и физика, 5, № 3 (2012), 430^436.

Прочие работы автора по теме диссертации

76. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, О локальной конечности периодических групп, насы-

щенных группами диэдра, Математические системы, 3 (2005), 34-35.

77. А. А. Кузнецов, Д. А. Кузьмин, Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Ком-

пьютерные алгоритмы теоретико-множественного анализа сложных алгебраических систем. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2009.

78. А. А. Кузнецов, Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Группы с условием

насыщенности. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2010.

79. А. А. Кузнецов, И. В. Сабодах, Л. Р. Тухватуллина, К А. Филиппов, Т. А. Ширяева, Алго-

ритмы компьютерных вычислений в группах. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2011.

80. А. А. Кузнецов, И. В. Сабодах, Л. Р. Тухватуллина, К А. Филиппов, А. А. Шлёпкин,

А. К. Шлёпкин, Группы с условием примарной минимальности. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2011.

81. Д. В. Лыткина, К А.Филиппов, О периодических группах, насыщенных Ь2(д) и её

центральными расширениями, Математические системы, 5 (2006), 35—45.

82. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К.А.Филиппов, О периодических группах, насы-

щенных группой £з(11), Математические системы, 6 (2007), 84—88.

83. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К.А.Филиппов, О периодических группах, насы-

щенных группой ¿з(27), Математические системы, 6 (2007), 89—92.

84. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К А. Филиппов, О периодических группах, насы-

щенных группами из конечного множества линейных групп размерности 3, Математические системы, 6 (2007), 93—98.

85. А. Г. Рубашкин, К. А. Филиппов, О группах Шункова, насыщенных конечными просты-

ми £-группами,Математические системы, 3 (2005), 72-79.

86. К. А. Филиппов, Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2-подгруппой, Матема-

тические системы, 4 (2005), 109-110.

87. К.А.Филиппов, О группах Шункова, насыщенных ¿2(2") х Математические си-

стемы, 4 (2005), 111-115.

88. К. А. Филиппов, О периодических группах с конечной силовской 2-подгруппой, насы-

щенных конечными простыми £-группами, Вестнику КрасГАУ, 5 (2005), 89-95.

89. А. А. Кузнецов, К А. Филиппов, О локальной конечности периодических групп, насы-

щенных группами диэдра, Студент и научно-технический прогресс: Математика: Мат-лы ХЫ1 междунар. науч.-студен. конф., Новосибирск: НГУ, 2004.

90. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, А. К Шлёпкин, Об одном инволютивном автоморфиз-

ме группы /?0(2,5), Тезисы международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2010.

91. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К.А.Филиппов, О периодических группах, насы-

щенных группами Ь4{2п). Международная алгебраическая конференция, посвя-щённая 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, тезисы докладов, Москва, 2008.

92. Д. В. Лыткина, К А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных центральными

расширениями линейных групп размерности 2, Материалы ХЫУ МСНК «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ, 2006.

93. Д. В. Лыткина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных её централь-

ными расширениями, Тезисы международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2006.

94. А. И. Созутов, А. А.Дуж, К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним условием насы-

щенности, Международная конференция Алгебра, логика и приложения, Красноярск, 2010.

95. А. И. Созутов, А. А.Дуж, К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним условием на-

сыщенности, Материалы всеросийской конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения С. Л. Эдельмана, Красноярск, 2010.

96. Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами

1/3(3"). Международная конференция «Алгебра и её приложения», тезисы докладов, Красноярск, 2007.

97. К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами Цассенхауза, Мат-

лы регион, науч.-техн. конф., Красноярск: КрасГАСА, 2005.

98. К. А. Филиппов, О периодических группах насыщенных Ьг(2п) х Международная

алгебраическая конференция: К 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина, Екатеринбург, 2005.

99. К. А. Филиппов, О периодической части в группе Шункова, Тезисы международной

конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2011.

100. К.А.Филиппов О периодической группе Шункова, насыщенной простыми трёхмер-

ными унитарными группами, Тезисы Международной конференции "Алгебра и линейная оптимизация", посвящённой 100-летию со дня рождения С.Н. Черникова, Екатеринбург, 2012.