Вложения конечных групп с нетривиальным центром в бесконечные группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Дуж, Анна Александровна

• Дуж, Анна Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дуж, Анна Александровна

Содержание

Введение

1 Используемые результаты и определения

1.1. Группы Фробениуса

1.2. Группы Цассенхауза

1.3. Группы Ь2(ф)

1.4. Группы Судзуки

1.5. Другие используемые результаты

2 Группы, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности 2 и элементарных абелевых 2-групп

2.1. Периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп и линейных групп размерности

два

2.2. Периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями элементарных абелевых 2-групп и простых групп Ь2{2т)

2.3. Периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями абелевых групп нечетного порядка и линейных групп размерности два

3 Группы, насыщенные прямыми произведениями групп Судзуки и элементарных абелевых 2-групп

3.1. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями группы Судзуки на элементарные абелевы 2-группы

3.2. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями групп Судзуки на элементарные абелевы 2-группы

Список литературы

Работы автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вложения конечных групп с нетривиальным центром в бесконечные группы»

Введение

В теории локально конечных групп важную роль играет понятие локального покрытия. Множество Ш конечных подгрупп группы G называется ее локальным покрытием, если каждое конечное множество элементов группы G содержится в некотором элементе множества Ш.

Свойства локального покрытия оказывают решающее влияние на строение локально конечной группы. Так, независимо В.В. Беляев [1], A.B. Боровик [2], Б. Хартли и Г. Шют [42] и С. Томас [47], опираясь на более ранние идеи О. Кегеля, используя классификацию конечных простых групп, показали, что группа, обладающая локальным покрытием, состоящим из простых групп лиева типа ограниченного ранга, является простой группой лиева типа над локально конечным полем.

В последнее время было получено доказательство этого результата М. Ларсеном и Р. Пинком, не зависящее от классификации [44].

Широкое обобщение понятия локального покрытия, состоящего из конечных групп, предложил А.К. Шлепкин. В 1993 г. он ввел понятие насыщенности группы некоторыми системами групп [34]:

Группа G насыщена группами из множества групп Ш, если любая конечная подгруппа из G содерэ/сится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из 971.

Нетрудно заметить, что для локально конечной группы G эти понятия, по существу, эквивалентны. Множество конечных подгрупп группы G, изоморфных элементам множества Ш1, составляют ее локальное покрытие, а сама группа G насыщена множеством всех попарно неизоморфпых групп, составляющих ее произвольное локальное покрытие. Однако для произвольных групп это не так. Например, группа В(т,р), где р — простое число и р > 665, насыщена одной циклической группой простого порядка р, но локальным покрытием, состоящим из конечных подгрупп, не обладает.

По аналогии с отмеченным выше результатом А.К. Шлепкин высказал гипотезу о том, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа ограиииченного ранга, является простой группой лиева типа.

Подтверждению этой гипотезы для отдельных классов групп посвящен ряд работ Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, А.Г. Рубашкина, А.И. Созу-това, Л.Р. Тухватуллиной, К.А. Филиппова, A.A. Шлепкина, А.К. Шлеп-кина [8,10-27,29,30,32-37].

Первоначальные исследования, связанные с понятием насыщенности, использовали насыщающие множества, состоящие из конечных неабелевых простых групп [8]. Поскольку при изучении строения простых групп большую роль играют централизаторы инволюций, в которых по определению существуют нетривиальные абелевы нормальные подгруппы, в орбиту насыщающих множеств все чаще стали включаться группы, обладающие абе-левыми нормальными подгруппами [8].

Так, в работе [32] К.А. Филипповым доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества = (¿2(9) х | Q — 2771, т 6 N}. Напомним, что группа называется

группой Шуикова, если в ней любая пара сопряженных элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу и это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам. В работе [48] доказывалась локальная конечность периодической группы Шуикова, насыщенной прямыми произведениями простой группы 1/2(д), где д — 2к — фиксированное число, на конечные группы периода 2. Однако обобщить эти результаты на произвольные периодические группы без дополнительных ограничений не удается.

Например, в работе [11] Д.В. Лыткиной и К.А. Филиппова доказано, что либо любая периодическая группа, насыщенная группами из множества = {^(д) х | д = 2т,т € И}, локально конечна, либо существует не локально конечная счетная периодическая дважды транзитивная группа подстановок счетного множества Г2, обладающая рядом необычных свойств. Вопрос о существовании такой группы до сих пор открыт.

В работах [16, 17] Д.В. Лыткина доказала локальную конечность периодической группы С, насыщенной прямыми произведениями элементарной абелевой 2-группы фиксированного порядка и простой группы ¿2 ((?), где д = 2т и т £ ./У, при условии, что С содержит элемент порядка 4 или подгруппу, изоморфную /Ц. Там же выделен класс простых периодических не локально конечных групп определенного вида, а именно А-групп, которые определяются следующим образом. Пусть Р — локально конечное поле. Группой типа А(Р) назовём содержащую инволюцию простую периодическую группу, в которой все инволюции сопряжены и централизатор каждой из них изоморфен прямому произведению группы порядка 2 на группу, изоморфную Ьч(Р). Вопрос существования групп типа А(Р) в настоящее время открыт.

Таким образом, актуальной является задача о выделении в классе периодических групп, насыщенных прямыми произведениями элементарных абелевых 2-групп на конечные простые неабелевые группы, групп, являющихся (или не являющихся) локально конечными.

В настоящей работе мы продолжаем исследования в рамках упомянутой выше задачи.

Основные результаты:

1. Доказана локальная конечность бесконечных периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп на группы £2(2™) (теорема 2).

2. Доказана локальная конечность периодических групп, насыщенных прямыми произведениями групп Судзуки на элементарные абелевы 2-группы (теорема 6).

В первой главе диссертации собраны вспомогательные результаты, используемые в доказательстве основных результатов. Часть из них были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.

Во второй главе диссертации изучаются периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями конечных абелевых 2-групп и линейных групп размерности 2.

Получены следующие результаты:

Теорема 1. Бесконечная периодическая группа Шункова С?, насыщенная группами из множества 3? = {¿^(д) х Тп | п 6 Дг}, где д = 2/с — фиксированное число и 1П — прямое произведение п экземпляров группы порядка 2, локально конечна и изоморфна группе х I, где I — бесконечная группа периода 2.

Развивая методы, разработанные при доказательстве теоремы 1, можно получить следующее её обобщение.

Теорема 2. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из мноэюества Ш — {Ь2(2т) х 1п \ т,п Е ./V; т ^ 2}, где 1п — элементарная абелева 2-группа порядка 2п, локально конечна и изоморфна группе х У, где Я — некоторое локально конечное поле характеристики 2, а V — группа периода 2.

В следующей теореме условие насыщенности ослабляется до условия вложимости конечных подгрупп четного порядка в подгруппы, изоморфные элементам насыщающего множества.

Теорема 3. Пусть С — периодическая группа Шункова, содержащая инволюцию. Если каждая конечная подгруппа четного порядка из С? содеро/сится в подгруппе, изоморфной прямому произведению элементарной абелевой 2-группы и группы 1/2 (2ТП) для некоторого т > 2, то С? ~ ¿^(¿З) х V, где — некоторое локально конечное поле характеристики 2, а У — группа периода 2.

Пусть ОТ — некоторое непустое множество неизоморфных циклических групп нечетного порядка, а Ш — некоторое непустое множество неизоморфных групп Ь2(2т).

Теорема 4. Бесконечная периодическая группа Шункова С, насыщенная группами из множества К = {X х У \ X Е Ш1, У Е ОТ}, локально конечна и изоморфна прямому произведению Ь х V, где Ь ~ Ьч{0) для некоторого локально конечного поля характеристики два, а V — локально циклическая группа без инволюций.

В третьей главе диссертации мы рассмотриваем произвольные периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных 2-групп и групп Судзуки. Доказаны следующие результаты:

Теорема 5. Если Q — периодическая группа, насыщенная группами из множества Ш — {Р х Vn \ п Е N}, где Vn — элементарная абелева 2-группа порядка 2п и Р = Sz(q), где q — 22m+1 um — фиксированное натуральное число, то G ~ Р х V, где V — элементарная абелева 2-группа.

Развивая разработанные при доказательстве теоремы 5 методы, можно получить следующее её обобщение.

Теорема 6. Если G — периодическая группа, насыщенная группами из множества Ш — {Sz(22m+1) х Vn \ m, n € N}, где Vn — элементарная абелева 2-группа порядка 2п, то G ~ Р х V, где V — элементарная абелева 2-группа, а Р ~ Sz(Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики 2. В частности, G локально конечна.

Теорема 1 получена автором лично и опубликована в работе [48] в соавторстве с A.A. Шлепкиным (A.A. Шлепкину принадлежит доказательство второй теоремы, опубликованной в данной работе). Теоремы 2, 3 получены автором единолично и опубликованы в работе [52]. Теорема 4 получена в нераздельном соавторстве с A.A. Шлепкиным и опубликована в работе [49]. Теорема 5 получена автором единолично и опубликована в работе [50]. Доказательство теоремы 6 опубликовано в совместной работе с Д.В. Лыткиной [51]. Д.В. Лыткиной принадлежит вклад в доказательство одной из завершающих лемм (лемма 38 настоящей диссертации).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Дарье Викторовне Лыткиной за помощь в работе, доброжелательность и внимательное отношение. Отдельная благодарность профессору Анатолию Константиновичу Шлепкину за ценные советы и полезные замечания при обсуждении моей работы.

Результаты диссертации докладывались автором на Международной конференции "Алгебра, логика и приложения" (Красноярск, 2010 г.), на школ е-конференции "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, 2011 г.), на ХЫХ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2011 г.), на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2011 г.), на Международной конференции "Алгебра и линейная оптимизация" (Екатеринбург, 2012), на Международной конференции, посвященной 70-летию В.Д. Мазурова (Новосибирск, 2013). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре (СФУ) и на семинаре "Математические системы" (КрасГАУ).

Глава 1

Используемые результаты и определения

В данной главе собраны известные результаты и определения, которые используются в основных (второй и третьей) главах диссертации. Некоторые предложения главы с целью полноты изложения приведены с доказательствами.

1.1. Группы Фробениуса

Пусть Н — собственная нетривиальная подгруппа конечной группы С, обладающая следующим свойством:

Я П Нд = 1 для любого д € С \ N (1)

Знаменитая теорема Фробениуса утверждает, что в такой ситуации множество всех элементов из С, не сопряженных с элементами из Я, вместе с единицей составляет нормальную подгруппу Р группы С и С является полупрямым произведением Р и Я, т.е.

При этом Н действует свободно на Р при сопряжении в (7, т.е.

1к Ф / Для всех 1 ф / £ Р и всех 1 к е Я.

Наоборот, если нетривиальная группа Я действует свободно на нетривиальной конечной группе Р, то в полупрямом произведении группы Р на Я, определенном этим свободным действием, подгруппа Я обладает свойством (1).

В связи с этим конечной группой Фробениуса с ядром Р и дополнением Я будем называть полупрямое произведение конечных нетривиальных групп Р и Я, где Я действует свободно на Р.

В следующем предложении собраны для дальнейшего исследования свойства групп Фробениуса.

Предложение 1. Пусть С — конечная группа Фробениуса с ядром Р и дополнением Н.

1. Ядро Р нильпотентно.

2. Любая подгруппа порядка рц из Н, где р и д — не обязательно различные простые числа, является циклической. В частности, любая силовская р-подгруппа из II при р = 2 является циклической или кватер-ниониой группой, а при р > 2 — циклической группой.

3. Если г — инволюция из Н, то /г = f~1 для любого / € Р. В частности, Н содероюит не более одной инволюции.

4. Если порядок Н нечетен, то Н — метациклическая группа. [3]

Если С — группа Фробениуса с ядром Р и дополнением Я, то С действует транзитивно на множестве П смежных классов по Я. При этом Р является собственной нормальной регулярной подгруппой (регулярность означает, что Р транзитивна и ни один нетривиальный элемент из Р не оставляет неподвижным ни один элемент из Г2, другими словами, стабили-

затор точки а из £2 в Р тривиален). Кроме того, стабилизатор в С любых двух различных точек из Г2 тривиален.

Наоборот, если С — транзитивная группа подстановок, в которой стабилизатор любых двух различных точек тривиален, то либо регулярна, либо С? — группа Фробениуса, ядро которой регулярная подгруппа.

1.2. Группы Цассенхауза

Группой Цассенхауза называется дважды транзитивная группа С конечного множества О, содержащего по крайней мере 4 точки, которая обладает следующими свойствами:

а) стабилизатор в С любых трех различных точек из О, тривиален;

б) в С нет регулярной нормальной подгруппы.

Легко понять, что стабилизатор точки в группе Цассенхауза является группой Фробениуса.

Предложение 2 Пусть (7 — группа Цассенхауза, действующая на множестве в которой стабилизатор точки — группа Фробениуса с ядром порядка ср и дополнением Н порядка q — 1, где q = 2т > 2. Тогда С

— простая группа.

Доказательство. Зафиксируем а (Е Г2. Тогда Са — группа Фробениуса с ядром Р порядка qn и |С?| = + l)qn{q — 1).

Пусть 1 ф ЛГ<<3. Так как С дважды транзитивпа, то N транзитивна. Если ЛГа = 1, то ЛГ.Р является группой Фробениуса с дополнением Р, что невозможно, поскольку число инволюций в Р больше единицы. Так как

— группа Фробениуса с ядром то 1 ф А^ < Р или Р < Л^. В первом

случае Naß < Fß — 1 для а ф ß Е П, поэтому N — группа Фробениуса с ядром F и F < G, что невозможно, поскольку F не транзитивна на Q.

Поэтому F < Na и, следовательно, N дважды транзитивна на Г2, в частности, \N\ = (qn -f 1 )qnt, где t — делитель q — 1. Пусть w{g) для д G G означает число неподвижных точек д на

Если w(g) = 1, то gh Е F для некоторого h Е G. Так как F < N < G, то д Е N.

Если w(g) = 0, то пусть s — наименьшее нечетное число, являющееся длиной некоторого цикла д. Поскольку qn 4- 1 нечетно, такое число s существует. Тогда gs оставляет неподвижными не меньше s > 3 точек из fü и поэтому gs — 1. Таким образом, длина каждого цикла д равна 3. Отсюда следует, что s делит qn + 1 и взаимно просто с qn — 1. Поэтому (s,(q - 1 )/t) = 1. Так как (q - 1 )/t - \G/N\ и gs - 1, то д Е N. Мы показали, что w(g) — 2 для любого д Е G\N. Так как

geG aEÜ

и аналогично

neN

то

geG neN geG\N

откуда |G| - I TV | = 0, G = N. Итак, G проста.

1.3. Группы 1/2 (Я)

Пусть Р — поле характеристики 2, содержащее более двух элементов. Определим Ь2(Р) = ¿^(.Р) как группу всех матриц размерности 2 с определителем, равным 1.

( X О

\

,а € Р}. Тогда С/ -

а 1

Пусть и = {а е | а =

элементарная абелева 2-группа, являющаяся силовской 2-подгруппой в С =

0 ^

Подгруппа II = { I | 0 ф ¡3 е Р} является локально цик-

V о Г1;

лической подгруппой, действующей при сопряжении в С свободно на и и транзитивно на множестве всех неединичных элементов из II.

ЛГС(Я) = (Я,*|* = I 0 1 I)

1 о

и Нь = для любого /г 6 Я. Сс(и) = и для любой инволюции и 6 С/.

Если поле Р конечно, то С действует точно, как группа Цассенхауза на множестве точек проективной прямой -Р(Р), при этом стабилизатором точки служит Мс{и) = иН.

По предложению 2 С — простая группа.

Следующий результат, доказательство которого можно найти во многих учебниках по теории групп, объединяет свойства конечных групп 1/2(Р), необходимые для дальнейшего изложения.

Предложение 3. Пусть С = где д = 2п > 2 и Р — силовская

2-подгруппа группы С. Тогда

1. Р — элементарная абелева группа, и любые две различные силов-ские 2-подгруппы группы С пересекаются тривиально.

2. Сс{а) = Р для любой инволюции а 6 Р.

3. ЛГС(Р) — Р X Н — максимальная подгруппа в С, являющаяся группой Фробениуса с ядром Р и циклическим дополнением II порядка <7 — 1, действующим транзитивно на множестве Р\ {1}.

4. Мс(Н) — группа диэдра порядка 2(д — 1).

5. Если К — подгруппа в О и К обладает нетривиальной нормальной подгруппой нечетного порядка, то Ыс{К) — группа диэдра порядка 2(д- 1) или 2(д+ 1).

6. Для любого элемента нечетного порядка из С существует инволюция, инвертирующая его. [4]

Если Р — бесконечное локально конечное поле, то Р — объединение возрастающей цепи Р\ < < ■•• < ^п < ••• конечных полей, которой соответствует возрастающая цепочка подгрупп

ИЮ < ЫЪ) < ... < £2(Рп),

объединение которой совпадает с ^(Р).

Предложение 4 Периодическая группа, насыщенная группами из множества всех проективных специальных линейных групп размерности 2 над конечными полями, локально конечна и изоморфна группе Ь2{Я) для подходящего локально конечного поля [40,41]

1.4. Группы Судзуки

Пусть Р — конечное поле из д = 22к+к > 1, элементов. Если г2 = 2д, то 6 : а аг — такой автоморфизм поля Р, что 02 = 2. Пусть о; и ¡5 — произвольные элементы из Р. Обозначим через (а, /3) такую матрицу:

( 1 0 0 0^ а 10 0

а1+в + 13 а9 1 0 ^ а2+в + а/3 + /3 /3 а \ )

Нетрудно убедиться, что (а, ¡3)(7, = (а + 7, сгу0 + /3 + <5).

Совокупность ф(д) матриц (а,/3) образует группу порядка д2. Непосредственно проверяется, что (^(д) — двуступенно нильпотентная группа периода 4. Совокупность всех инволюций из С^(д) вместе с 1 составляет центр С^(д), порядок которого равен д. Каждому элементу к £ Р сопоставим диагональную матрицу

/ к11'9"1 0 0 0 \

0 к9"1 0 0

0 0 к"9'1 0

^ 0 0 0 к'1'9'1 у

Эту матрицу будем также обозначать через к. Совокупность К{д) матриц к образует циклическую группу порядка д — 1. Верна формула

к~1(а,Р)к = (ак,/3к1+в).

Поэтому группа Н{д), порожденная С^{д) и К(д), есть группа Фробе-ниуса порядка д2(д — 1). Положим

' 0 0 0 1 ^

0 0 10

т —

0 10 0

^ 1 0 0 0 у

Обозначим через <2(д) группу, порожденную Я(д) и т. Следующее предложение показывает простоту группы С(д).

Предложение 5 Если д > 2, то С(д) есть простая группа порядка д2(д-1)(д2 + 1).

Доказательство. Вычисления показывают справедливость следующих равенств:

Я(д)ПтЯ(д)т=^(д), (2)

Я(д)ПтЗ(д)т = {1}, ткт — к~1 для любого к Е (3)

Если г] Е Я(д) и 7Г € ф(д), то т]т-к Е С(д). Ясно, что т]ттт ^ Я(д). Если 7уТ7Г = Т]1Т7Т1 ДЛЯ 77 , 771 е Я(д), 7Г, 7Г1 6 то 77^77 = Г7Г17Г_1Г е

Я(д) Пт<3(д)т. В силу (2) 77 = 771 и 7г = 7Гх. Итак, существует точно д4(д — 1) элементов вида г]ттт.

Покажем, что каждый элемент из С(д) \ Я(д) имеет вид г]Т7г с 77 Е Я(д) и 7Г 6 Ф(д)- Так как группа (7(д) порождается Я(д) и г, то достаточно показать, что множество элементов вида г)ттт вместе с Я(д) образует группу. Если 771 Е Я(д), то 77177 €Е Я(д) и 771(777*71") = {г)1т])т7т. Элемент 7Г771 € Я(д), так что 7Г771 = кп', где к Е К{я) и 7Г' Е <2(д). Использовав (3), получаем:

(г)Т7г)г]1 — г)т(щ\) = т]т(к7т') = {г!кГ1)тт['.

Если 7Г1 е ^(д), то

(77Т7Г) (771Т7Г1) = т]т{т1т]\)тт^\ = г\кгхт'к'т'к\.

Поэтому достаточно доказать справедливость равенства

Т7ГТ = ЩТ-К2 (г)2 € Н(д), 7Г2 € (4)

для всех 7Г ф 1 па, (¿(д).

Для простоты обозначим и — (0,1) и р = (1,0). Верно равенство

тот = трт = /тгсг. (5)

Если положить 7г(Л;) = рк~1р_1к для к ф 1 из К{д), то получаем

т1г(к)т = 77зГ7Гз (г/з е Я(д),7Г3 е <%))• В самом деле,

т(рк~1р~1к)т = трттк~1 р~1кт = ртакатр^к"1 =

= рк~2тк~1(к~1ака) = кткр~1к~1.

Элемент к~1{к~1ака)к имеет порядок 2. Поэтому существует такой элемент т 6 К{д), что

к~1(кГ1ака)к = Л_1сгЛ.

Теперь

Т7Г(А;)Г = р^ЛгоггЛ"1^-^-1 = (р^А/о^трС*"1*^"1*-1)-

Получили предыдущий случай, так как рк~2\р~1тр имеет вид -цттт, а \~1кр~1к~1 £ Н(д).

Формула (4) теперь получается из того легко проверяемого факта, что любой элемент из С}(д) сопряжен с помощью элемента из К(д) с одним из элементов а, р, р~1 и 7Г[к) = рк_1р~1к,к 6 К(д).

Так как каждый элемент из £(д) \ Я(д) имеет вид т]ттт, то |С(д)| = Я2{Я ~ 1)((72 + 1) и С(д) = Я(д) и Я(д)тЯ(д). Поэтому С(д) имеет дважды транзитивное представление на смежных классах по Я(д).

Подгруппа, которая состоит из элементов, оставляющих на месте Я(д) и Я(д)т, совпадает с ^ (д), так как А'(д) = Я(д) П гЯ(д)г. Предположим, что Я(д)т7Г = Я(д)г7гА; для 7Г 6 ф(д) и к 6 ^(д). Тогда тик = 77Т7г для некоторого г] € Я(д). Отсюда следует, что тк~г7тк = кг]Т71. Поэтому к~1пк — 7Г. Это означает, что либо к = 1, либо 7Г = 1. Следовательно, лишь

1 оставляет на месте три различных смежных класса. Так как ф(д) имеет более одной инволюции, то С?(д) не группа Фробениуса. По предложению

2 С(д) — простая группа.

Судзуки [46] описал подгруппы группы С(д).

Предложение 6 Группа С(д) имеет следующие максимальные подгруппы:

1) Я(д) — группа Фробениуса порядка д2(д — 1);

2) группа диэдра порядка 2(д — 1);

3) группа Фробениуса {а} X {&}, где ад+г+1 = б4 = 1, г2 = 2д;

^ группа Фробениуса {а} X {6}, где а9_Г+1 = Ь4 = 1;

5,) где 5г = ^ — простой делитель числа 2к + 1.

Группы С?(д) были открыты Судзуки [45]. В последствии они стали называться группами Судзуки и обозначаться символом 5,г(д). Следующее предложение описывает те свойства групп Судзуки, которые будут в дальнейшем использоваться.

Предложение 7 Пусть 3 — силовская 2-подгруппа группы Р = ^(д), д = 22тп+1, т > 1.

Тогда (а) Б — двуступенно нилъпотентная группа порядка д2 и периода 4- Все инволюции из Б лежат в Z{S), Z(S) — элементарная абе-лева подгруппа порядка д и [¿э, 5] = Z{S).

(б) А?р(Б) = Б Я — группа Фробениуса с ядром Б и дополнением Я, где Я - циклическая группа порядка д — 1, действующая при сопряэ/сении транзитивно на множестве инволюций групп Z(S) и Б^(Б).

(в) Если £ — инволюция из Б, то Ср(Ь) = Б.

(г) Ыр(Я) = Я {и), где и — инволюция, инвертирующая Я при сопряжении, и Р = {Б, и). [45]

Если Рх < < ••• < Рг < ... — бесконечная возрастающая цепочка полей, в которой каждое поле Р{ имеет порядок д{ = 22гПг+1, то ей соответствует бесконечная возрастающая цепочка групп Судзуки: Бг(дх) < Бг(д2) < ... < Бг{д^ < .... Объединение этой цепочки является простой группой Судзуки где — поле, являющееся объединением

цепочки полей Рх < -^2 < ••• < Рг < ••••

1.5. Другие используемые результаты

Определение 1. Группа С? насыщена группами из множества групп Ш, если любая конечная подгруппа К из С содероюится в подгруппе группы С, изоморфной некоторой группе из Ш. [34]

Определение 2. Группа называется группой Шункова, если в ней любая пара сопряэюенных элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу и это свойство наследуют все сечения

группы по конечным подгруппам. Первоначально эти группы назывались сопряженно бипримитивно конечными. [38]

Предложение 8 (теорема О.Ю. Шмидта) Расширение локально конечной группы при помощи локально конечной группы есть локально конечная группа. [9]

Предложение 9 (теорема А.К. Шлепкина) В группе Шуикова с бесконечным числом элементов конечного порядка существует бесконечная локально конечная подгруппа. [35]

Предложение 10 (теорема В.П. Шункова) Если в периодической группе О некоторая силовская 2-подгруппа конечна, то все силовские 2-подгруппы группы G конечны и сопряжены. [35]

Предложение 11 (теорема Каргаполова — Холла — Кулати-лаки) Бесконечная локально конечная группа обладает бесконечной абе-левой подгруппой. [5]

Предложение 12 Пусть G — группа Шункова, Н\ < Н2 < ... < На < ... — цепочка ее нормальных подгрупп такая, что для любой подгруппы из этой цепочки фактор-группа G/Ha является группой Шункова и H = U На. Тогда G/H — группа Шуикова. [35]

Предложение 13 Пусть G - группа Шункова, а - элемент простого порядка из G, а х - инволюция из G. Тогда (х, а) конечная группа. [35]

Доказательство. Из определения группы Шункова вытекает, что (а, ах) — конечная группа. Несложно видеть, что х £ А^((а, аж)). Следовательно, {а,ах){х) — конечная группа. Так как (х,а) является подгруппой (а, ах)(х), то (х, а) — также конечная группа. Предложение доказано.

Предложение 14 (Теорема Н.М. Сучкова) Пусть С - периодическая группа, содержащая инволюцию, Б — силовская 2-группа из С и централизатор любой инволюции из Б абелев. Тогда либо Б — локально циклическая группа, либо Б <\ О, либо б? = К х где Я — абеле-

ва группа без инволюций, (5 — локально конечное поле характеристики 2. [31]

Предложение 15 Группа (а, 6, с | 1 = а2 — Ь2 = с2 = (аЬ)4 -(ас)4 = (Ьс)4 = (И)2с)4 = ((Ьс)2а)4 = ((са)2Ь)4 = (а6с)4 = (Ьса)4 = (са6)4) является конечной 2-группой.

Доказательство. Смотри доказательство в [19].

Предложение 16 (Теорема В.П. Шункова) Периодическая группа, содержащая инволюцию с конечным централизатором, локально конечна. [39]

Предложение 17 (Теорема И.Н. Санова) Произвольная группа периода не более 4 локально конечна. [10,28]

Предложение 18 Выполняются следующие коммутаторные соотношения для элементов а, Ь, с из группы С: [а, б]-1 = [Ь,а], [аЬ,с] =

МЧЫ [а-1,Ч = [6,аГ1. [6]

Предложение 19 (Теорема А. Пуанкаре) Если А < В < С, то

(а) : А\ < оо тогда и только тогда, когда |С : В\ < оо и А\ < оо;

(б) : А\ < оо, следовательно, |<3 : А\ = : В\\В : А\. [7]

Глава 2

Группы, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности 2 и элементарных абелевых 2-групп

2.1. Периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп и линейных групп размерности два

Пусть 1п — прямое произведение п экземпляров группы порядка 2. В [20] изучались периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями групп вида Ь2{5) х 1п. В настоящей работе продолжены исследования в этом направлении. Пусть 9? = {Ь2(д) х 1п | п £ УУ}, где д = 2к — фиксированное число. Доказана следующая

Теорема 1. Бесконечная периодическая группа Шункова (У, насыщенная группами из множества = {Ь2{д) х 1п | п 6 М}, где д = 2к ~

25

фиксированное число, локально конечна и изоморфна группе L2(q) х I, где I — бесконечная группа периода 2.

Доказательство. До конца раздела G означает бесконечную периодическую группу Шункова, насыщенную группами из множества

Лемма 1. Любая силовская 2-подгруппа группы G есть бесконечная группа периода 2.

Доказательство. Пусть х — произвольный 2-элемент группы G. По условию теоремы х Е L х /п, где L ~ L2{q) и п — натуральное число. Следовательно, |ж| ^ 2, поэтому любая силовская 2-подгруппа из G имеет период 2. Покажем, что в G существует бесконечная 2-подгруппа периода 2. По предложению 9 в G существует бесконечная локально конечная подгруппа, а значит, по предложению 11 существует бесконечная абелева подгруппа А. Как периодическая абелева группа, группа А разлагается в прямое произведение своих силовских подгрупп, т. е. А = А2 х >12', где А2

— силовская 2-подгруппа группы А, а А 2> — прямое произведение силовских подгрупп нечетного периода группы G. По условию теоремы любая конечная подгруппа К нечетного порядка лежит в некоторой конечной подгруппе группы G, изоморфной L2(q). Следовательно, \К| ^ \L2(q)\. В силу локальной конечности группы А2> получаем, что А2> конечна, а значит, А2

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дуж, Анна Александровна, 2013 год

Список литературы

[1] Беляев В.В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп. - Свердловск, УНЦ АН СССР. - 1984. - С. 39-50.

[2] Боровик A.B. Вложения конечных групп Шевалле и периодические линейные группы // Сибирский математический журнал. - 1983. -Т. 24, № 6. - С. 26-35.

[3] Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы // М.: Наука. - 1968. - ИЗ с.

[4] Горенстейн Д. Конечные простые группы // М.: Мир. - 1985. - 560 с.

[5] Каргаполов М.И. О проблеме О.Ю. Шмидта // Сибирский математический журнал. - 1963. - Т. 4, № 1. - С. 232-235.

[6] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп // 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. - 1982. - 288 с.

[7] Кондратьев A.C. Группы и алгебры Ли // Екатеринбург: УрО РАН.

- 2009. - 310 с.

[8] Кузнецов A.A., Филиппов К.А. Группы, насыщенные заданным множеством групп // Сибирские электронные математические известия.

- 2011. - № 8. - С. 230-246.

[9] Курош А.Г. Теория групп // М.: Наука. - 1967. - 648 с.

[10] Лыткипа Д.В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Математические системы. - Красноярск: Крас-ГАУ. - 2005. - №4. - С. 602-617.

[11] Лыткина Д.В., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных 1/2(#) и ее центральными расширениями // Математические системы. - Красноярск: КрасГАУ. - 2006. - №5. - С. 35-45.

[12] Лыткина Д.В. Периодические группы, насыщенные группой Из(9) // Математические системы. - Красноярск: КрасГАУ. - 2006. - №5. -С. 32-34.

[13] Лыткина Д.В., Мазуров В.Д. Периодические группы, насыщенные группами 13(2т) // Алгебра и логика. - 2007. - Т. 46, №5. - С. 520535.

[14] Лыткина Д.В., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп // Сибирский математический журнал. - 2008. - Т. 49, №2. -С. 395-400.

[15] Лыткина Д.В., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных группами £/3(2п) // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, №3. - С. 288-306.

[16] Лыткина Д.В. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых групп // Сибирский математический журнал. - 2011. - Т. 52, № 2. - С. 340-349.

[17] Лыткина Д.В. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых групп II // Сибирский математический журнал. - 2011. - Т. 52, № 5.- С. 1096-1112.

[18] Лыткина Д.В. Вложения конечных групп в периодические группы: дис. ... д-ра. физ.-мат. наук. - Красноярск, 2012. - 118 с.

[19] Лыткина Д.В., Мазуров В.Д. О группах с заданными свойствами конечных подгрупп, порожденных парами 2-элементов // Сибирский математический журнал. - 2013. - Т. 54., №1. - С. 127-130.

[20] Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы 1/2(5) // Вестник НГУ. - 2010. -Т. 10, вып. 1. - С. 88-92.

[21] Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп // Труды ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 177-185.

[22] Панюшкин Д.Н. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями различных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 2010. - 66 с.

[23] Рубашкин А.Г., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных 1/2(рп) // Сибирский математический журнал. - 2005. - Т. 46, № 6. - С. 1388-1392.

[24] Рубашкин А.Г., Шлепкин А.К. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сибирский математический журнал. - 2004. -Т. 45, №6. - С. 1397-1400.

[25] Рубашкин А.Г., Шлепкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простым группами // Математические системы. - Красноярск: КрасГАУ. - 2004. - №2. - С. 96-100.

[26] Рубашкин А.Г., Шлепкин А.К. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сибирский математический журнал. - 2004. -Т. 45, №6. - С. 1397-1400.

[27] Рубашкин А.Г., Шлепкин А.К. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. - 2005. - Т. 44, №1. - С. 11-119.

[28] Санов И.Н. Решение проблемы Бернсайда для периода 4 // Учен, записки ЛГУ. - Сер. матем. - 1940. - №10. - С. 166-170.

[29] Созутов А.И., Шлепкин А.К. О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами // Математические заметки. - 2002. - Т. 72, №3. - С. 433-447.

[30] Созутов А.И. О некоторых группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Математические системы. - Красноярск: КрасГАУ. - 2004. - №3. - С. 101-110.

[31] Сучков Н.М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций // Матем. сб.: Рос. ак. наук. - 2002. - Т. 193, № 2. - С. 153-160.

[32] Филиппов К.А. Группы с условиями насыщенности: дис.... д-ра. физ.-мат. наук. - Красноярск, 2012. - 121 с.

[33] Шлепкин А.А. Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 2013. -80 с.

[34] Шлёпкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сборник тезисов III международной конференции по алгебре. - Красноярск. - 1993. - С. 369.

[35] Шлепкин А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. - Красноярск, 1998. - 130 с.

[36] Шлепкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Математические труды. - 1998. -Т. 1, т. - С. 129-138.

[37] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами Us(2n) // Алгебра и логика. - 1998. - Т. 37, No 5. - С. 606-615.

[38] Шунков В.П. Об одном классе р-групп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 4. С. 484-496.

[39] Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972. Т. 11, №- 4. С. 470-494.

[40] Aschbacher М. Finite group theory // Cambridge: Cambridge University Press. 2000. - P.318.

[41] Carter R.W. Simple groups of Lie type // London: John Wiley & Sons, 1972.

[42] Hartley B., Shute G. Monomorphisms and direct limits of finite groups of Lie type // The Quaterly Journal of Mathematics Oxford. - 1984. - V. 35. - P. 49-71.

[43] Huppert B. Endliche Gruppen I // Springer Verlag, 1979.

[44] Larsen M. J., Pink R. Finite subgroups of algebraic groups //J. Amer. Math. Soc. - 2011. - 24, No. 4. - P. 1105-1158.

[45] Suzuki M. A new type of simple groups of finite order // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 1960. № 46. P. 868-870.

[46] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups //I, II. 75. (1962), 105-145; 79(1964), 514-589.

[47] Thomas S. The classification of the simple periodic linear groups // Arch. Math. - 1983. - № 41. - P. 103-116.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[48] Дуж A.A., Шлепкин A.A. О периодической группе Шупкова, насыщенной прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп и Ь2(2п) // Труды ИММ УрО РАН. - 2011. - Т. 17, №4. - С. 83-87.

[49] Дуж A.A., Шлепкин A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Владикавказский математический журнал.

- 2012. - Т. 14, т. - С. 35-38.

[50] Дуж A.A. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями группы Судзуки на элементарные абелевы 2-группы // Сибирские электронные математические известия. - Т 10. - 2013. - С. 408-413.

[51] Дуж A.A., Лыткина Д.В Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями групп Судзуки на элементарные абелевы 2-группы // Сибирский математический журнал. - Т 54, №5. - 2013. -С. 1009-1014.

[52] Дуж A.A. Периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями элементарных абелевых 2-групп и простых групп L2(2m) // Сибирские электронные математические известия. - Т 10.

- 2013. - С. 558-561.

[53] Дуж A.A., Созутов А.И., Филиппов К.А. О группах Шункова с одним условием насыщенности // Алгебра, логика и приложения: тезисы докладов международной конференции. - Красноярск, СФУ. - 2010.

- С. 85-86.

[54] Дуж A.A., Созутов А.И., Филиппов К.А. О группах Шункова с одним условием насыщенности // Алгебра, логика и методика обучения математике: материалы Всероссийской конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Эдельмана. - Красноярск, КГПУ. - 2010. - С. 58-63.

[55] Дуж A.A., Филиппов К.А. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы 1/з(2п) // Решетневские чтения: материалы XIV Международной научной конференции, посвященной М.Ф. Решетневу. - Красноярск, СибГАУ. - 2010. - С. 447.

[56] Дуж A.A., Созутов А.И., Филиппов К.А. О группах Шункова с одним условием насыщенности // Современные проблемы математики: тезисы 42-ой Всероссийской молодежной школы-конференции. - Екатеринбург, ИММ УрО РАН. - 2011. - С. 201-202.

[57] Дуж A.A., Шлепкин A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Студент и научно-технический прогресс: материалы XLIX международной научной студенческой конференции. - Новосибирск, НГУ. - 2011. - С. 11.

[58] Дуж A.A., Шлепкин A.A. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы 1/2(2п) // Математические системы. - Вып. 9. - Красноярск, КрасГАУ. - 2011. - С. 90-94.

[59] Дуж A.A., Созутов А.И., Филиппов К.А. О группах Шункова, насыщенных расширениями конечных 2-групп // Математические систе-

мы. - Вып. 9. - Красноярск, КрасГАУ. - 2011. - С. 86-89.

[60] Дуж A.A., Филиппов К.А. О группах Шункова с одним условием насыщенности // Тезисы Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина. - Екатеринбург: изд. «УМЦ-УПИ». - 2011. - С. 67-69.

[61] Дуж A.A., Филиппов К.А. О группах Шункова с одним условием насыщенности // Тезисы докладов VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова. - Саратов. - 2011. - С.22-23.

[62] Дуж A.A., Шлепкин A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова, и молодежной школы-конференции "Современные проблемы алгебры и математической логики". - Казань, КФУ. - 2011. - С. 90-91.

[63] Дуж A.A., Шлепкин A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Тезисы международной конференции "Мальцевские чтения" , посвященной 60-летию со дня рождения С.С. Гончарова. - Новосибирск. - 2011. - С. 39.

[64] Дуж A.A., Шлепкин A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Современные проблемы математики: тезисы 43-ой Всероссийской молодежной школы-конференции. - Екатеринбург, ИММ УрО РАН. - 2012. - С. 32.

[65] Дуж А.А. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Алгебра и линейная оптимизация: тезисы Международной конференции, посвященной 100-летию С.Н. Черникова. - Екатеринбург, ИММ УрО РАН. - 2012. - С. 64.

[66] Дуж А.А. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями группы Судзуки на элементарные абелевы 2-группы // Алгебра и комбинаторика: тезисы Международной конференции, посвященной 60-летию А.А. Махнева. - Екатеринбург, ИММ УрО РАН. -2013. - С. 52-53.

[67] Duzh A., Lytkina D. Periodic groups saturated by direct products of Suzuki groups and elementary abelian 2-groups // Mathematics in Armenia: Advances and Perspectives: abstracts of the second international conference, dedicated to the 60th anniversary of foundation of Armenian Academy of Sciences. - Tsaghkadzor, Armenia. - 2013. - C. 113-114.