Группы матриц, определяемые замкнутыми сетями аддитивных подгрупп кольца коэффициентов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дряева Роксана Юрьевна

• Дряева Роксана Юрьевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Дряева Роксана Юрьевна

Содержание

Введение

1 Полные и элементарные сети

над коммутативным кольцом

1.1 Сети, элементарные сети, сетевые группы

1.2 Замкнутые (допустимые) элементарные сети

1.3 Сети О и теорема вложения элементарной сети

1.4 Разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе

2 Подгруппы, богатые трансвекциями

2.1 Достаточные условия для надгруппы цикла, богатой трансвекциями

2.2 Слабо насыщенные элементарные сети

2.3 Подгруппы, богатые трансвекциями

2.4 Циклические элементарные сети

3 Полные и элементарные сети над полем частных области главных идеалов

3.1 Некоторые свойства колец главных идеалов

3.2 Полные О-сети над полем частных области главных идеалов

3.3 Две полные О-сети, определяемые элементарной сетью

3.4 Элементарные сети над полем частных области главных идеалов

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы матриц, определяемые замкнутыми сетями аддитивных подгрупп кольца коэффициентов»

Введение

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению подгрупп линейных групп, определяемых наборами аддитивных подгрупп основного кольца.

Наборы идеалов и в общем случае аддитивных подгрупп а = (aj), 1 < i,j < n, определенного ассоциативного, не обязательно коммутативного, кольца с условиями

airarj С 0-j, 1 < i,r,j < n, (0.1)

возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались коврами или сетями, а связанные с ними кольца и группы — ковровыми, сетевыми, обобщенными конгруэнц подгруппами и др. Аддитивные подгруппы aj возникают в силу определения сложения матриц, а включения (0.1) происходят из матричного умножения и согласуются с коммутированием трансвекций, что и определяет различные приложения наборов а = (aij) с включениями (0.1). В качестве первых исследований, в кото-

рых применялись такие наборы, отметим работы Ю. И. Мерзлякова [37] (описание центральных и коммутаторных рядов, силовскихр - ПОдГруПП некоторых матричных групп), Н. С. Романовского [44], 3. И. Боревича [2], [3], [4] (описание параболических подгрупп и надгрупп диагональных подгрупп в общей и специальной линейных группах).

Понятия ковра и ковровой подгруппы были перенесены на группы Шевалле нормальных и скрученных типов различными способами (К. Сузуки [47], Н. А. Вавилов [8], В. М. Левчук [28, вопрос 7.28], [30]). Историю развития понятий ковра и ковровой подгруппы можно найти в 39], [40].

В настоящей работе наборы аддитивных ПОдгрупп а = (а^) с условием (0.1) связаны с подгруппами общей и специальной линейных ГруПп, и в силу матричного изложения задач мы придерживаемся в основном терминологии "сетей и сетевых групп" (историю развития понятий ковра и ковровой подгруппы можно найти в [5], [15], [30], [39]; в [5] ковер называется сетью).

Далее, кольцо коэффициентов Я всегда предполагается ассоциативным и коммутативным. По определению, таблица аддитивных подгрупп а = (а%з), 1 < г,3 < п, кольца Я с условиями (0.1) называется сетью (полный матричный ковер). Сеть, рассматриваемую без диагональных подгрупп ац7 мы называем элементарной сетью (элементарный матрич-

а

вую группу (подгруппу специальной линейной группы БЬ(п, Я)) Е(а) = (из (£): £ е аг], 1 < г = ] < п),

где (£) — элементарные трансвекцпн.

С одной стороны, элементарные сети (ковры) и элементарные сетевые группы (ковровые подгруппы) возникали как инструмент при вычислении центральных и коммутаторных рядов определенных матричных групп над кольцами, а также при описании различных промежуточных подгрупп в группах Шевалле, в первую очередь, при описании параболических подгрупп, надгрупп диагональной подгруппы и групп, лежащих между группами лиева типа над кольцом и его подкольцом. С другой стороны, элементарные сети и элементарные сетевые группы можно рассматривать как объекты, несущие важную информацию о структуре подгрупп различных групп. Поэтому отдельным вопросом является изучение строения и свойств элементарных сетей и элементарных сетевых групп, что и является основной целью диссертации.

Ключевыми понятиями для элементарных сетей (ковров) являются неприводимость и замкнутость. По определению, элементарная сеть называется замкнутой, если ее элементарная сетевая группа (ковровая подгруппа) не содержит новых элементарных трансвекций (новых корневых элементов); элементарная сеть (ковер) неприводима, если все ее аддитивные подгруппы ненулевые. Элементарная сеть а = (ау), 1 < г = ] < п, называется дополняемой, если ее диагональ можно дополнить подгруппами, получив при этом (полную) сеть. Как известно, дополняемая элементарная сеть является замкнутой. Необходимым и достаточным условием дополняемости элементарной сети являются включения ауауау С а у (для всех г = [5]. В работе Я. Н. Нужина [46] получены достаточные условия замкнутости произвольного элементарного ковра, которые являются существенным усилением приведенных включений для колец четной характеристики.

В приложениях ковров и ковровых ПОдгрупп при решении различных задач возникали собственные вопросы ковровой тематики, которые были мотивированы следующими двумя фундаментальными вопросами (открытыми на данный момент) В. М. Левчука, сформулированными в Коуровской тетради [28].

Вопрос 7.28. Какие условия на элементарный ковер (в терминах Аг) необходимы и достаточны для того, чтобы ковровая подгруппа (хг(Аг) : г € Ф) группы Шееалле Е(Ф, А) пересекалась с подгруппой хг(К) по хг(Аг) ?

Вопрос 15.46. Редуцируется ли вопрос 7.28 об условиях замкнутости элементарного ковра А = {Аг : г € Ф} к лиеву рангу 1, когда К — поле ? Более точно, верно ли, что для допустимости ковра А достаточно допустимости его подковров {Аг, А-г}, г € Ф, ранг а 1?

Фундаментальный вклад в изучение собственно ковров и ковровых

подгрупп внесли 3. И. Боревич ([2] - [7]), Н. А. Вавилов ([6] - [11]) и В. М. Левчук ([27], [30] - [34]). В последнее время это направление активно развивалось в работах В. А. Койбаева ([18] - [25]) и Я. Н. Нужина ([23] - [25], [29], [36], [38] - [43], [46]).

Целью диссертационной работы является решение вопросов замкнутости неприводимых сетей и вычисления в элементарных сетевых подгруппах линейных групп над кольцом при определенных ограничениях на аддитивные подгруппы сети.

Основные задачи работы.

1. Получить разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе.

2. Получить необходимые и достаточные условия богатства элемен-

п

ментарную трансвекцию на некоторой позиции.

3. Доказать замкнутость неприводимой циклической элементарной сети нечетного порядка.

4. Дать описание неприводимой полной и элементарной сети а = (а^) над полем частных К области главных идеалов Я так, что всякая подгруппа а^ является Я-модулем.

Методы исследования. В работе используются методы линейной алгебры, методы теории колец, методы теории групп.

Научная новизна. В работе впервые представлено разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе по модулю производной сети. Получены необходимые и достаточные условия богатства элементарными трансвекциями надгруппы цикла, содержащей элементарную трансвекцию. Доказана замкнутость элементарной сети над полем частных области главных идеалов.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссерта-

ции представляют теоретический интерес и могут быть использованы в решении различных задач теории линейных групп. Вместе с тем, полученные результаты можно ввести в учебный процесс в виде материалов для проведения специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов кафедры алгебры и анализа Северо-Осетинского государственного университета им. К. Л. Хетагурова (СОГУ) и других университетов и математических центров.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно обсуждались и докладывались на семинаре кафедры алгебры и анализа СОГУ, на семинаре ЮМИ ВНЦ РАН и следующих конференциях:

1. The International Conference and PhD Summer School "Groups and Graphs, Algorithms and Automata" (Yekaterinburg, Russia, 2015).

2. Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения» (Тула, 2015).

3. Международная конференция, посвященная 70-летию со дня рождения В. М. Левчука (Красноярск, 2016).

4. XI школа-конференция по теории ГруПп, посвященная 70-летию со дня рождения А. Ю. Ольшанского (Красноярск, 2016).

5. Российская научная конференция «Алгебра, анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2017).

6. International Conference and PhD Master Summer School "Groups and Graphs, Metrics and Manifolds" (Yekaterinburg, Russia, 2017).

7. XII школа-конференция по теории ГруПп, посвященная 65-летию А. А. Михнева (Краснодар, 2018).

8. XV Международная школа-конференция по теории ГруПп, посвященная 95-летию со дня рождения М. И. Каргаполова (Екатеринбург, 2024).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [48]

- [61]. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [48] -[60] в изданиях из перечня ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Дряева Роксана Юрьевна

Заключение

В диссертации на соискание ученой степени кандидата <]>!пи ко-.математических наук получены следующие результаты:

1. Получено разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе.

2. Доказаны необходимые и достаточные условия богатства элемен-

п

ментарную трансвекцию на некоторой позиции.

3. Доказана замкнутость неприводимой циклической элементарной сети нечетного порядка.

4. Описаны неприводимые полные и элементарные сети над полем частных К области главных идеалов Я при условии, что всякая адди-

Я

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дряева Роксана Юрьевна, 2025 год

Список литературы

[1] Бадин П. С. , Нужин Я. Н., Троянская Е. Н. О слабо дополняемых коврах лиева типа над коммутативными кольцами // Владикавк. матем. жури., т. 23 (2021), № 4 , с. 28-34.

[2] Боревич 3. И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом // Вестник ЛГУ, т. 13 (1976), № 3, с. 16-24.

[3] Боревич 3. И. О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом // Вестник ЛГУ, т. 19 (1976), № 4, с. 29-34.

[4] Боревич 3. И. Описание ПОдгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 64 (1976), с. 12-29.

[5] Боревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекция-ми // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 75 (1978), с. 22-31.

[6] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом // Доклады АН СССР, т. 267 (1982), с. 777-778.

[7] Боревич 3. И. Вавилов Н. А. Об определении сетевой подгруппы // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 132 (1983), с. 26-33.

[8] Вавилов Н. А. О параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальным кольцом // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 75(1978), с. 43-58.

[9] Вавилов Н. А. О параболических подгруппах групп Шевалле скрещенного типа над полулокальным кольцом // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 94 (1979), с. 21-36.

[10] Вавилов Н. А. Весовые элементы групп Шевалле //Алгебра и анализ, т. 20 (2008), № 1, с. 34-85

[11] Вавилов Н. А., Плоткин Е. Б. Сетевые подгруппы групп Шевалле // Зап. научн. сем. ЛОМИ, т. 94 (1979), с. 40-49.

[12] Джусоева Н. А., Итарова С. Ю., Койбаев В. А. Теорема о вложении элементарной сети // Владикавк. матем. жури., т. 20 (2018), № 2, с. 57-61.

[13] Джусоева Н. А., Койбаев В. А., Икаев С. С. О подгруппах, богатых трансвекциями // Владикавк. матем. жури., т. 23 (2021), № 4, с. 50-55.

[14] Зюбин С. А. Ковры аддитивных ПОдгрупп над полем рациональных чисел //XI Школа - конференция по теории групп. Международная конференция, посвященная 70-летию А.Ю.Ольшанского. Тезисы. Красноярск (2016), с. 24-25.

[15] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп // М.: Наука, 1982, 288 с.

[16] Койбаев В. А. Подгруппы группы GL(2, k), содержащие нерасщепи-мый тор // Итоги науки. Южный федеральный округ. ЮМИ ВНЦ РАН. Математическая монография. Владикавказ, (2009), 183 с.

[17] Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасгцепимый тор // Алгебра и анализ, т. 21 (2009), № 5, с. 70-86.

[18] Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями // Владикавк. матем. журн., т. 12 (2010), № 4, с. 39-43.

[19] Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Труды Института математики и механики УрО РАН., т. 17 (2011). № 4, с. 134-141.

[20] Койбаев В. А. Замкнутые сети в линейных группах // Вести. СПбГУ. Сер.1 (2013), № 1, с. 26-34.

[21] Койбаев В. А. Элементарные сети (ковры) над дискретно нормированным кольцом // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., т. 12 (2019), № 6, с. 728-735.

[22] Койбаев В. А. Замкнутые элементарные сети над полем нулевой характеристики // Сиб. матем. журн., т. 62 (2021), № 2, с. 326-332.

[23] Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле и кольца Ли, определяемые набором аддитивных ПОдгрупп основного кольца // Фунд. и прикладная математика, т. 18 (2013), № 1, с. 75-84.

[24] Койбаев В. А., Нужин Я. Н. к-инвариантные сети над алгебраическим расширением поля к // Сиб. матем. журн., т. 58 (2017), № 1, с. 143-147.

[25] Койбаев В. А., Куклина С. К., Лихачева А. О., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле над локально конечным полем, определяемые набором аддитивных подгрупп // Матем. заметки, т. 102 (2017), № 6, с. 857-865.

[26] Койбаев В. А., Шилов А. В. О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасгцепимый максимальный тор // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН, т. 375 (2010), с. 130-139.

[27] Колесников С. Г., Левчук В. М. Обобщенные конгруэнц-подгруппы групп Шевалле // Сиб. матем. журн., т. 40 (1999), № 2, с. 336-351.

[28] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории ГруПп. 18-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2014, 253 с.

[29] Куклина С. К., Лихачева А. О., Нужин Я. Н. О замкнутости ковров лиева типа над коммутативными кольцами // Труды ИММ УрО РАН, т. 21 (2015), № 3, с. 192-196.

[30] Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп // Мат. заметки, т. 31 (1982), № 4, с. 509-525.

[31] Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона. // Алгебра и логика, т. 22 (1983), № 4, с. 421-434.

[32] Левчук В. М. О порождающих множествах корневых элементов групп Шевалле над полем // Алгебра и логика, т. 22 (1983), № 5, с. 504-517.

[33] Левчук В. М. Центральные ряды и ряды коммутантов некоторых под- групп групп Шевалле // Докл. АН СССР, т. 313 (1990), № 4, с. 799-802.

[34] Левчук В. М. Коммутаторное строение некоторых ПОдгрупп групп Шевалле // Укр. мат . журн., т. 44 (1992), № 6, с. 786-795.

[35] Ленг С. Алгебра // Москва «Мир», (1968), 564 с.

[36] Лихачёва А. О., Нужин Я. Н. Неприводимые ковры лиева типа В1, С1 и К4 над полями // Сиб. электрон, матем. изв., т. 20 (2023), № 1, с. 124-131.

[37] Мерзляков Ю. И. Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп // Алгебра и логика. Семинар, т. 3 (1964), № 4, с. 49-59.

[38] Нужин Я. Н. О группах, заключенных между группами лиева типа над различными полями // Алгебра и логика, т. 22 (1983), № 5, с. 526-541

[39] Нужин Я. Н. Факторизация ковровых ПОдгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами // Журнал СФУ, т. 4 (2011), № 4,

с. 527-535.

[40] Нужин Я. Н., Кольца Ли, определяемые системой корней и набором аддитивных подгрупп основного кольца // Труды ИММ УрО РАН, т. 18 (2012), № 3, с. 195-200.

[41] Нужин Я. Н. Группы, лежащие между группами Шевалле типа Bl.Ol. F4.G2 над несовершенными полями характеристики 2 и 3. // Сиб. матем. журн., т. 54 (2013), № 1, с. 157-162.

[42] Нужин Я. Н., Степанов А. В. Подгруппы групп Шевалле типов В1 и С1, содержащие группу над подкольцом, и связанные с ними ковры // Алгебра и анализ, т. 31 (2019), № 4 , с. 198-224.

[43] Нужин Я. Н., Степанов A.B. Разложение Брюа для ковровых подгрупп групп Шевалле над полями // Алгебра и логика, т. 60 (2021), № 5, с. 497-509

[44] Романовский Н. С. О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом // Математические заметки, т. 9 (1971), № 6,

с. 699-708.

[45] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры // Санкт-Петербург: Лань, 2009, 736 с.

[46] Nuzhin Ya. N. On the closedness of carpets of additive subgroups associated with a Chevalley group over a commutative ring // Журн. С ФУ. Сер. Матем. и физ., т. 16 (2023), № 6, с. 732-737.

[47] Suzuki К. On parabolic subgroups of Chevalley groups over local rings // Tohoku Math. J., vol. 29 (1976), № 1, p. 57-66.

Работы автора по теме диссертации

[48] Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Элементарные трансвекции в над-группах нерасщепнмого максимального тора // Владикавк. матем. журн., т. 17 (2015), № 4, с. 11-17.

[49] Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Разложение элементарной трансвекции в элементарной группе // Зап. науч. семин. ПОМИ РАН, т. 435

(2015), с. 33-41. Перевод статьи:

Dryaeva R.Y., Koibaev V.A. Decomposition of elementary transvection in elementary group // Journal of Mathematical Sciences, Vol. 219

(2016), № 4, p. 513-518.

[50] Дряева P. Ю., Койбаев В. А. Элементарная сеть, ассоциированная с элементарной группой // Владикавк. матем. журн., т. 18 (2016), № 3, с. 31-34.

[51] Джусоева Н. А., Дряева Р. Ю. Циклические элементарные сети // Владикавк. матем. журн., т. 19 (2017), № 1, с. 26-29.

[52] Дряева Р. Ю., Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Полные и элементарные сети над полем частных кольца главных идеалов // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН, т. 455 (2017), с. 42-51.

Перевод статьи:

R. Y. Dryaeva, V. A. Koibaev, Ya. N. Nuzhin. Full and elementary nets over the quotient field of a principal ideal ring // Journal of Mathematical Sciences, Vol. 234 (2018), № 2, p. 141-147.

[53] Дряева P. Ю. О надгруппах цикла, богатых трансвекциями // Вла-дикавк. матем. жури., т. 26 (2024), № 1, с. 100-105.

[54] Dryaeva R. Y., Koibaev V. A. On the decomposition of elementary transvection in elementary group // The International Conference and PhD Summer School «Groups and Graphs, Algorithms and Automata» (Abstracts), Yekaterinburg, Russia, (August, 9-15, 2015), p. 47.

[55] Дряева P. Ю., Койбаев В. А. Сеть, ассоциированная с элементарной группой // Материалы XIII Международной конфер «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», Тула, 2015, с. 67-68.

[56] Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Элементарные сети (ковры) и линейные группы // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 70-летию В. М. Левчука, Красноярск: СФУ, 2016, с. 26.

[57] Джусоева Н. А., Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Циклические элементарные сети // Тезисы докладов Международной XI школы-конференции по теории групп, посвященной 70-летию А. Ю. Ольшанского, Красноярск: СФУ, 2016, с. 16-17.

[58] Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Представление элементарной транс-векции в элементарной сетевой группе // Российская научная конференция «Алгебра, анализ и смежные вопросы математического моделирования». Тезисы докладов, Владикавказ, 2017, с. 42-43.

[59] Dryaeva R. Y., Koibaev V. A., Nuzhin Ya. N. Full and elementary nets over the field of fractions of a principal ideal ring // GROUPS AND GRAPHS,METRICS ANDMANIFOLDS, 2017: Abstracts of the International Conference and PhD Master Summer School "Groups and Graphs, Metrics and Manifolds"(G2M2), Yekaterinburg, (July 22-30, 2017), p. 44.

[60] Дряева P. Ю., Койбаев В. А., Нужин Я. H. Элементарные сети над полем частных области главных идеалов // Материалы XII школы-конференции по теории групп, посвященная 65-летию А. А. Махне-ва, Краснодар, 2018, с. 55-57.

[61] Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Элементарные сети над полем частных дедекиндовой области с периодической группой классов идеалов // Тезисы докладов XV Международной школа-конференции по теории групп, посвященная 95-летию М.И. Каргаполова, Екатеринбург, 2024.