О спектральном представлении операторов в банаховом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Верник, Александр Немавич

• Верник, Александр Немавич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Верник, Александр Немавич

Глава I О некоторых свойствах вектор-функций

§I Интеграл Римана-Стилтьеса

§2. Векторнозначные меры

§3. Обобщенная спектральная мера

§4. Теоремы Наймарка

§5. Гармонические вектор-функции

§6. Аналитические вектор-функции ЦО

Глава

II. Скалярные, обобщенные скалярные и субскалярные операторы Ц

§I Скалярные операторы с вещественным спектром

§2. Операторы, перестановочные с обобщенной спектральной мерой

§Субскалярные операторы

Глава

III. О спектральном представлении операторов

§Г. Оснащение банахова пространства

§2. Оснащение и интегральные представления 82^

§Спектральное представление с несобственным масштабным подпространством

Глава 1У, Дифференциально-граничные операторы

§I Конечномерные возмущения линейных отношений

§2. Спектр и резольвента возмущенного отношения

§О суммируемости рядов по корневым векторам, -

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О спектральном представлении операторов в банаховом пространстве»

I. Задача о спектральном разложении является одной из центральных задач теории линейных операторов.Наиболее полный и законченный вид имеет спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.Один из методов разложения таких операторов основан на теореме Рисса-Херглотца об интегральном представлении аналитической в по^огплоскости функщи (см.,напр., f 2] ) и ее операторных аналогов [з.|.Среди несамосопряженных операторов выделяется класс спектральных операторов,впервые введенный и изученный Н.Данфордом и его сотрудниками. Подробный обзор современного состояния и перспектив развития теории спектральных операторов дан в третьем томе монографии Н.Данфорда и Дж.Шварца [9] . Приведенные в этом томе критерии спектральности операторов подучены методами функционального исчисления. В работах американского математика Ш.Канторовича [79] изучен класс ограниченных спектральных операторов с вещественным спектром,являкицихся аналогом для случая банахова пространства ограниченных самосопряженных операторов.Критерии спектральности устанавливаются в этой работе при помощи преобразования Лапласа.Однако класс спектральных операторов недостаточно широк, чтобы охватить многие интересные с точки зрения приложений случаи. Б.Э.Лянце в работе [22] развил теорию,описывающую более обширный класс операторов,нежели спектральные. Отказавшись от требования ограниченности и счетной аддитивности спектральной меры он вводит обобщенную спектральную меру. При дополнительном условии счетности для нее справедлива теорема ЛорхаМакки о связи с самосопряженной мерой. Исследуется также топо- 4 логическ£1Я алгебра операторов,перестановочных с обобщенной спектральной мерой,соответствующее операционное исчисление и спектральное разложение. Эти идеи находят применение в теории дифференциальных операторов,в частности,для представления операторов со спектральными особенностями [Z3} .2. Спектральными свойствами,близкими к свойствам самосопряженных операторов,обладают симметрические операторы. Эта связь обсуловлена существованием у последних самосопряженных расширений.Теормя расширений симметрических операторов подробно изучена и изложена в многочисленных работах,начиная от пионерских исследований фон Неймана [8б] и кончая монографиями Н.И.Ахиезера и Й.М.Глазмана [2] и Н.Данфорда и Дж.Шварца f9] .В фундаментальных работах М.А.Наймарка [31] , [32] построена общая теория самосопряженных расширений с выходом из пространства; отдельные результаты были полгучены различными методами А.И.Плеснером [38] и Н.И.Ахиезером [ I ] .В спектральном анализе симметрических операторов важную роль играют обобщенные резольвенты этих операторов. Формулы обобщенных резольвент в сдучае индексов: дефекта (1,1) впервые были установлены М.А.Наймарком [3l] и другими методами М.Г.Крейном [l7] ,в случае индексов дефекта (ID , ITl ) - им же [1б] . Дальнейшее развитие теория обобщенных резольвент получила в работах А.В.Штрауса [ 56] , [ 57j ,где,в частности,по;]гучена формула, описывающая обобщенные резольвенты в случае произвольных индексов дефекта в терминах исходного пространства.Теория расширений несамосопряженных операторов до скалярных не столь развита,если не считать той ее части,которая относится к расширениям операторов до нормальных и разработана - 5 Б.Секефальви-Надем и его учениками [42] . Отдельные результаты, касаюпщеся субскалярных операторов,получены Т.Ионеску и Плафке^юм [75] , [7б] ,[77] методами теории алгебр. См. такхже [ 9 ] .3. В классической работе М.Г.Крейна [l6j изложена теория представления симметрических операторов с индексом дефекта ( /П , ГЛ ) в виде оператора умножения на независимое переменное при помощи масштабного подпространства. Развивая созданную им теорию,М,Г.Крейн поставил задачу об обобщении результатов на слгучай несобственного масштабного подпространства [18] . Решению этой задачи посвятил свои работы [ 54] » [ 55] Ю.Л.Шмуль.ян.Спектральное представление регулярных симметрических операторов, а также операторов,обладающих достаточным запасом регулярных симметрических сужений,подучено в работах А.В.Штрауса [58] , [59] ,[б0] .4. Настоящая: диссертация посвящена в основном вопросам спектральности операторов с вещественным спектром и спектральным представлениям операторов,действующих в банаховом пространстве.Диссертация состоит из введения и четырех глав,разбитых на пятнадцать параграфов.Нумерация формул и утверждений в каждом параграфе,а также нумерация параграфов в главе независимая. При ссылках на другие па.раграфы и главы к номеру формулы,утверждения, параграфа обычным образом добавляются номер параграфа,главы.Первая глава содержит ряд необходимых в дальнейшем сведений о различных свойствах вектор- и оператор-функций.В §§ 1,2 приводятся основные определения и утверждения о - 6 векторнозначных мерах и слабом интеграле Римана-Стилтьеса [^ J » [52] . § 3 посвящен краткому изложению основных положений теории обобщенной спектральной меры В.Э.Лянце [22] для с;гучая банахова прост|)анства.В § 4 устанавливаются теоремы о дилатации операторных мер в банаховом пространстве до спектральных,аналогичные классическому результату М.А.Наймарка [28] ,[29j .[ЗО] .Основным результатом § 5 и всей первой главы являются теоремы об интегральном представлении гармонической в полуплоскости функции. Эти теоремы являются векторным аналогом соответствующих утверждений о скалярных функциях,гармонических в круге [б] , [34] , [40] ,и поз^щены в результате усиления некоторых теорем Б.Я.Левина [l9] и Э.И.Титчмарша [4?] о скалярных функциях,гармонических в полуплоскости.Теоремы § б об интегральном представлении аналитических вектор-функций в банаховом пространстве играют в дальнейшем такую же роль в получении спектрального разложения операторов,как и упомянутая уже теорема об аналитической функции с неотрицательной мнимой частью в случае пространства Гильберта.Подгученные в первой главе теоремы об интегральном представлении оператор-функций используются во второй главе для получения спектрального разложения операторов в банаховом пространстве. § I главы П содержит признаки скалярности операторов с вещественным спектром. По доученные результаты близки по формулировке к имеющимся в [ 9] теоремам об операторах со спектром на жордановой кривой,однако разнятся от них применяемыми при доказательстве методами.В § 2 продолжено конспективное изложение варианта теории - 7 В.Э.Лянце [22] обобщенных спектральных операторов в банаховом пространстве,а также доказан ряд теорем об обобщенной спектральности, основанных на результатах первой главы. § 3 посвящен задаче о расширении оператора до скалярного с выходом из пространства.Результаты второй главы иллюстрируются на примерах интегральных и дифференциальных операторов вХр(0,'//^ '/•^ Р < о о .Третья глава посвящена построению спектрального представления операторов в банаховом пространстве в духе работ М.Г.Крейна [16] , [18] и Ю.1.Шмульяна [54] , [ 55] .В четвертой главе затрагиваются отдельные вопросы спектральной теории интегро-дифференциальных и дифференциально-граничных операторов. Усилившийся в последнее время интерес к этому классу операторов обусловлен рядом задач теории рассеяния [35] , [70] ,диффузии [73] ,теории приближений [б4] , [б7] , [74] Возникают такие операторы и при расширении неплотно заданных дифферени^1альных операторов [87] . Подробнее см. по этому поводу обзор А.М.Кралла [84] .В § I обсуждаются вопросы,связанные с описанием сопряженного к данному линейному отношению, формулой Грина. В отличие от работ [б5] , [82] , [83] и др.,нами используется аппарат конечномерных возмущений линейных отношений и абстрактных граничных условий, развивающий идей [б2] . Уже после появления работ автора [88] , [89] была опубликована статья Е.А.Коддингтона и А.Диксмы [72] ,где эти задачи подробно изучаются с близких позиций.В § 2 изучаются спектр и резольвента конечномерного возмущения в терминах граничных пространств;.. Подкаченные результаты в операторном случае близки к результатам В.Э.Лянце [24] , [25] .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Верник, Александр Немавич, 1983 год

1. А х и е з е р Н.И. К теории максимальных симметрических операторов в гильбертовом пространстве.- Уч.зап.Харьк.авиац. ин-та.- 1940,т.3,вып.2.

2. А х и е з е р Н.И., Г л а з м а н И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве,- 1977-1978,т.1-2.

3. Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления .линейных операторов.- М.,Наука, 1969. 287 с.

4. Г е ль фан д И.М., Райков Д.А. Неприводимые унитарные представления локального бикомпактных групп. Матем. сб.,1943,т.13,с.301-316.

5. Г л у х о в В.Г1., Никонов А.А. 0 приводимости линейных отношений.- Функц.анализ,межвуз.сб.,Ульяновск,1975, вып.4, с.47-56.

6. Г о л у з и н Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.- М.,Наука,1966. 628 с.

7. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.- М.,ИЛ,1963.

8. Гохберг И.Д., К р е й н М.Г. Основные положения о дефектных числах и индексах линейных операторов. УМН, 1957,т.12,вып.2(74),с.43-118.

9. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы.- М., Мир,1962-1974, т.1-3.

10. Далецкий ЮЛ., К р е й н М.Г. Формулы дифференцирования по параметру функций эрмитовых операторов.- ДАН СССР,1951, 76, № I,с.13-16.

11. И о с и д а К. Функциональный анализ. М.,Мир,1967. 624 с.

12. Канторович Л.В., А к и л о в Г.П. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах-г-М.,ШИЛ, 1959. 546с.- ш

13. К а ц И.О., К р е й н М.Г. функции - аналитические функции,отображающие верхнюю полуплоскость в себя.В кн„: Аткинсон Ф.В. Дискретные и непрерывные граничные задачи.- М.,Мир,1968. с.629-647.

14. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных операторов.-ДАН СССР,1951,т.77,с.II-14.

15. К е л д ы ш М.В. О полноте собственных и присоединенных функций некоторых классов несамосопряженных операторов. -УШ, 1971, т.26, вып.4(160), с. 15-43.

16. К р е й н М.Г. Основные положения теории представлений эрмитовых операторов с индексами дефекта (/П,*Т1). УМЖ, 1949,т.1,№ 2,с.3-66.

17. К р е й н М.Г. Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице. ДАН СССР,1954,т.43,№ 8,с.339-342.

18. К р е й н М.Г. Аналитические проблемы и результаты в теории линейных операторов в гильбертовых пространствах. -Труды международного конгресса математиков. Москва,1966,-М.,Мир,1968.

19. JI е в и н Б.Я. Распределение корней целых функций. М., ГИТТЛ,1956.632с.20. Лившиц М.С.Дисс. . канд.физ.-мат.наук,Майкоп,1942.

20. Л и д с к и й В.Б. 0 суммировании рядов по главным векторам несамосопряженных операторов.- Труды ММ0,1962,т.П,с.11-35.

21. Л я н ц е В.Э. Об одном обобщении понятия спектральной меры» Матем.сб.,1963,т.61,вып.1,с.80-120.

22. Л я н ц е В.Э. О дифференциальных операторах со спектральными особенностями. 1,П.1 Матем.сб.,1964,т.64,вып.4,с.521-561,- II Матем. сб.,1964,т.65,выпЛ,с.47-103.

23. Ля н ц е В.Э. 0 некоторых отношениях между замкнутыми операторами. ДАН СССР,1972,т.204,№ 3,с.542-545.

24. JI я н ц е В.Э. О замкнутых операторах в гильбертовом пространстве. Теория функц.анал.и его прил.- Харьков,1972, вып.16, 165-186.

25. Маркус А.С. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве. Матем.сб.,1966,т.70,вып.4,с.528-561.

26. Map куше вич А.И. Теория аналитических функций. -М.,Наука,1967-1968, т.1-2.

27. Н а й м а р к М.А. Спектральные функции симметрического оператора.- Изв.АН СССР,сер.матем.,1940,т.4,с.277-318.

28. Н а й м а р к М.А. Об одном представлении аддитивных операторных функций множеств. ДАН СССР,1943,т.41,с.373-375.

29. На й марк М.А. Положительно определенные операторные функции на коммутативной группе. Изв.АН СССР,сер.матем., 1943,т.7,с.237-244.

30. Н а й м а р к М.А. О спектральных функциях симметрических операторов.- Изв.АН СССР,сер.матем.,1943,т.7,с.285-318.

31. На й марк М.А. О самосопряженных расширениях второго рода.- Изв.АН СССР,сер.матем.,1940,т.4,с.53-104.

32. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.,Наука,1974, *Ш0с.

33. Неваннинна Р. Однозначные аналитические функции.-M.-JI. ,Гостехиздат,1941., 388с.

34. П а в л о в Б-С. Спектральный анализ дифференциального оператора с "размазанным" краевым условием. Проблемы матем.физики,1973,вып.6,с.101-119.

35. II е л ь ц С.Н. Характеристические функции пары линейныхоператоров.- Функц.анализ,межвуз.сб.,Ульяновск,1975,вып.2, с.46-57.

36. П и ч А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.,Мир, 1967^ 256с.

37. П л е с н е р А.И. Спектральный анализ максимальных операторов. ДАН СССР,т.22,№ 5,1939,с.225-228.

38. П р и в а л о в И.И. Субгармонические функции. М.-Л., Гостехиздат,1937. 197с.

39. П р и в а л о в И.И. Граничные значения аналитических функций.- М.-Л.,Гостехиздат. 1950, 203с.

40. Рис с I., Секе ль ви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- М.,Мир,1979. 587с.

41. Секефальви -Надь Б., Ф о й а ш Ч Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М., Мир,1970. 4316.

42. Сторож О.Г. Самосопряженные операторы,родственные дифференциальным.- ДАН УССР,1974,№ 2,с.134-137.

43. Сторож О.Г. Асимптотика собственных значений и собственных функций операторов,родственных дифференциальным.\Вестник Львовского ун-та,сер.матем.,вып.9,1974,с.40-44.

44. Сторож О.Г. Некоторые спектральные свойства оператора, родственного дифференциальному.- Дифф.уравнения,Минск, 1975,т.II, № 6, C.II4I-II43.

45. Сторож О.Г. Разложение по собственным функциям некоторых самосопряженных операторов.- УМЖ,1976,т.28,№ 3,с.418-421.

46. Т и т ч м а р ш Э.Ч. Разложение по собственным функциям., т.1-2. М.,ИЛ,1961.

47. Фи р штейн С.Р. Формулы обращения для одного интегродифференциального оператора.- Сиб.матем.ж.,1971,т.12, с.1422-1428.

48. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З. М.,Наука,1970. 656с.

49. Функциональный анализ. Под общ.ред.С.Г.Крейна. М.,Наука, 1972., 544с.

50. X а р д и Г.М. Расходящиеся ряды. М.,ИЛ. 253с.

51. Хилле Э.,Филлипе Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.,Ш1,1962.829с.

52. Ш е ф е р X. Топологические векторные пространства.- М., Мир,1971. 359с.

53. Штраус А.В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов. Изв.АН СССР,сер.матем.,1954,т.18,с.51-86.

54. Ill т р а у с А.В. 0 расширениях симметрического оператора, зависящих от параметра. Изв.АН СССР,сер.матем.,1965,т.29, с.1389-1416.

55. Штраус А.В. 0 спектральных разложениях симметрического оператора. ДАН СССР,1972,т.204,№ I,с.52-55.

56. Штраус А.В. К спектральной теории регулярных симметрических операторов.- Функц.анализ,межвуз.сб.,Ульяновск, 1978,вып.10,с.145-153.

57. Штраус А.В. 0 спектральном представлении симметрического оператора.- Функц.анализ,межвуз.сб.,Ульяновск,1979, с.159-166.

58. А г е hn s ILOperational calculus of linear relations.-Рас.J.Math.,1961,v.II,pp.9 23.

59. A ronszajn H.,Brown R.D.Finite dimensional perturbations of spectral problems. Studia Math.,1970,v.XXXVI, pp.I - 76.

60. В г о w n R.C.The operator theory of generalized boundary value problems. Can.J.Math.,1976,v.28,3,pp.486 -512.

61. В г о v/ n R.C.Differential operators with abstract buondary conditions. Can.J.Math.,1978,v.XXX,2,pp.262 - 286,

62. В г о w n R.C.,K rail A.M.Ordinary differential operators under Stiltjes boundary conditions. Trans.Amer.Math.Soc. 1974,v.198,pp.73 - 93.

63. Brown R.C.,K r a 1 1 A.M.N-th order differential systems uder Stiltjes boundary conditions. Czech.Math.,1977,v.27, pp.119 - 131.

64. В г о w n R.C.,K r a 1 1 A.M.On minimizing the sum ofpsquares of 1 norms of differential operators under constraints, Czech.Math.J.,1977,v 27,pp.132 - 143.

65. В г о w n R.D.Finite dimensional perturbations of bounded selfadjoint operators. J.Math.Anal.Appl.,1978,62 ,pp.337-344.

66. В г у a n R.N.A.linear differential systems with general linear boundary conditions. J.Diff.Eq.,I969,v.5,pp.38 - 48,

67. С atchpole E.A.An integro-differential operator -J.London Math.Soc.,1973,v.2,6,pp.513 523.

68. С oddington E,A.Extension theory of formally normal and symmetric subspaces. Mem.Amer.Math.Soc.,1973,v.134.

69. С oddington E.A ,D i j к s m a A Adjoint subspaces in Banach spaces with applications to ordinary differential sub-spaces. Ann Math. Hire ed Appl.,1978,v,118,pp.I - 118.

70. F e 1 1 e r W The parabolic differential equations and associated semigroups of transformations. Ann.Math. ,1952, v 55,pp. 468 - 519.

71. G о 1 о m b M.Jerome J.Linear ordinary differential equations with boundary conditions on arbitrary point sets. -Trans Amer.Iteth.Soc.,1971,v.153,pp.235 364.

72. J e г о m e J.linear self-adjoint multipoint boundary valueproblem and related approximations schames. Numer.Math., ^970, v.15,pp.433 - 449.

73. К antorovitz Sh, On the characterizations of spectral operators. Trans.Amer.Math.Soc ,I964,v.Ill,pp.152 - 181.

74. К e m p R R.D,b e e S.Finite dimensional perturbations of differential expressions. Can.J.Math.,I976,v.28,5,pp. Io82-Il04

75. К rail A.M.,Differenial boundary operators. Trans.Amer. Math.Soc.,1971,v.154,PP 429 - 458.

76. К rail A.M.Stiltjes differential boundary operators.I -Broc.Amer- Math.Soc.,1973,v.41,pp.80 86,11 - Вас .J.Math.,1974, v.55,pp.207 - 2I8,IH - Вас. J.Math.,I975,v.59,pp.I25 - 134.

77. К rail A.M,N-th order Stiltjes differential operators and Stiltjes boundary operators J. Diff.Eq.,I977,v.24,pp 253 -267.- 150

78. К rail A.M.The development of general differential boundary systems. Rocky mont.J.Math.,1975,v.5,4,pp.493 - 542.

79. L anger H.Uber die metode der rictenden Punctionale von M.G.Krein. Acta»Math.Hungarica,I970,v.2I,pp 207 - 224.

80. N e и m a n n von J.Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitiscer Functional Operatoren. Math Ann.,1929,V*102,pp. W-I3I.

81. P h i 1 1 i p s R.S"#Dissipative operators and hyperbollic systems of partial equations Trans.Amer#Math.Soc.,1959,v.90, pp.193 - 254.

82. B ерник A.H.O конечномерных возмущениях линейных отношений в банаховых пространствах. Функц.анализ.Межвуз.сб., Ульяновск,1977,вып.9,с.17 - 22.

83. В е р н и к А.Н.О конечномерных возмущениях линейных отношений в банаховых пространствах.П. Функц.анализ.Межвуз.сб., Ульяновск,I978,вфп.10,с.41 - 49.

84. В ерник А.Н.С суммировании рядов по корневым •векторам возмущений дифференциальых операторов. Функц.анализ.Межвуз. сб.,Ульяновск,1979,вып.12,с.47 - 55.

85. B е р н и к А.Н.Об интегральном представлении вектор-функций и скалярности операторов в банаховом пространства. -Функц. анализ.Межвуз.сб-.Ульяновск, 1980,вып.14,с.56 64.

86. В ерник А.Н.б спектральном представлении операторов, действующих в банаховом пространстве. Функц.анализ.Межвуз. сб.Ульяновск,1980,вып.15,с.61 - 71.