Гиперболические многогранники Кокстера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Тумаркин, Павел Викторович

• Тумаркин, Павел Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тумаркин, Павел Викторович

Введение.

1. Многогранники

1. Основные определения и обозначения.

2. Диаграммы Гейла.

2.1. Диаграммы Гейла n-мерных многогранников сп + 2ип + 3 гипергранями.

3. Многогранники Кокстера в Шп

3.1. Остроугольные многогранники в Шп.

3.2. Схемы Кокстера.

2. Неограниченные многогранники с п + 2 гипергранями

1. Произведения двух симплексов.2G

2. Пирамиды.

3. Многогранники сп + 3 гипергранями

1. Неограниченные многогранники конечного объема

1.1. Отсутствие искомых многогранников в больших размерностях.

1.2. Многогранники размерности 16 и 17.

1.3. Пирамиды

2. Ограниченные многогранники сп + 3 гипергранями

4. Регулярные подалгебры гиперболических алгебр

Каца — Муди

1. Подсистемы корней и разбиения многогранников

2. Подсистемы корней полного ранга.

2.1. Максимальные подгруппы.

2.2. Немаксимальные подгруппы.

2.3. Классификация подсистем корней полного ранга.

3. Подсистемы корней коранга один.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперболические многогранники Кокстера»

1. Пусть Хп — n-мерное евклидово пространство Ж71, п-мерная сфера §п или n-мерное гиперболическое пространство Шп. Пусть Р 6 Хп — выпуклый многогранник, ограниченный гипергранями /ь--ч/т- Многогранник Р называется многогранником Кокстера, если двугранный угол между любой парой смежных гиперграней fi и fj имеет вид где тц > 2, т^ е Z.

Пусть Гр — группа движений пространства Xй, порожденная отражениями ri,.,rm относительно гиперграней /i,.,/m многогранника Р. Известно, что если Р — многогранник Кокстера, то группа Гр дискретна, и многогранник Р является ее фундаментальной областью. Иными словами, многогранники 7Р, 7 G Гр, попарно не имеют общих внутренних точек и покрывают пространство Xй. При этом группа Гр задается следующими образующими и определяющими соотношениями:

1) Гр =< п, .,rm | г? = (ггг,-)т°' = е > .

Здесь rriij = rriji, rriij > 2, rriij £ Z. Для несмежных граней /,• и fj удобно считать, что т^ = оо и что соотношение отсутствует.

Абстрактная группа с отмеченной системой образующих и определяющих соотношений вида (1) называется группой Кокстера. Как показано Титсом в [34], любая группа Кокстера с конечным числом образующих может быть представлена в виде группы проективных преобразований, порожденной отражениями и дискретно действующей в некоторой области проективного пространства. Мы ограничимся рассмотрением групп Кокстера, имеющих представление в пространстве постоянной кривизны 1Е'\ S" или 1Нп с фундаментальным многогранником конечного объема.

2. Классификация сферических и евклидовых многогранников Кокстера была получена Кокстером в 1934 г. [23]. Все сферические многогранники Кокстера являются симплексами, евклидовы — произведением нескольких симплексов. Группы, порожденные отражениями в гипергранях симплексов Кокстера, играют важную роль в теории полупростых алгебр Ли.

В отличие от сферического и евклидового случаев, полной классификации гиперболических многогранников Кокстера не существует. Известно, что в гиперболических пространствах большой размерности нет многогранников Кокстера конечного объема. Используя результаты В. В. Никулина [17] о комбинаторном строении простых многогранников, Э. Б. Винберг [7] доказал, что размерность ограниченного многогранника Кокстера не превышает 29. В работе [20] А. Г. Хованский обобщил результат работы [17] на случай многогранников, простых в ребрах. Используя результат Хованского, М. Н. Прохоров [18] показал, что размерность неограниченного многогранника Кокстера конечного объема не может превышать 995.

В то же время, примеры гиперболических многогранников Кокстера известны лишь в достаточно небольших размерностях. Рекордный пример ограниченного многогранника Кокстера был построен В. О. Бугаенко [22] как фундаментальный многогранник подгруппы отражений группы автоморфизмов решетки [— (у/Ъ + 1)]±Е8. Его размерность равна восьми. Неограниченный многогранник максимальной известной размерности построил Борчердс [21]. Это 21-мерный многогранник с 210 гипергранями.

Классификация гиперболических многоугольников Кокстера была получена Пуанкаре в 1882 г. [33]. Такой многоугольник может иметь любое число к > 3 сторон и любые углы —,.,— (где rrii — целое > 2 или оо), лишь бы выполнялось условие

1 1 , Л + . + — ск- 2; mi ink при этом он зависит еще от к — 3 вещественных параметров.

Трехмерные гиперболические многогранники Кокстера полностью описаны Е. М. Андреевым. В работах [1] и [2] он указал простые необходимые и достаточные условия, при которых в пространстве существует выпуклый многогранник конечного объема с заданными двугранными углами, не превосходящими

За исключением вышеописанного и отдельных примеров, изучены лишь некоторые комбинаторные типы многогранников Кокстера.

Многогранники простейшего комбинаторного типа — симплексы — полностью классифицированы. Ограниченные симплексы Кокстера перечислил Ланнер [32], их размерность не превышает 4. Известен также полный список неограниченных симплексов (см., например, [10]), их размерность не превышает 9.

В работе И. М. Каплинской [13] (см. также [8]) классифицированы симплициальные призмы Кокстера, т.е. многогранники, комбинаторно эквивалентные произведению симплекса на отрезок. Они существуют при п < 5.

Эссельман [24] перечислил ограниченные многогранники сп + 2 гипергранями размерности п > 4, не являющиеся симплициаль-ными призмами. Вместе с результатом работы [13] это составило полную классификацию ограниченных многогранников Кокстера сп + 2 гипергранями.

Им Хоф [29] перечислил гиперболические многогранники Кокстера, схемы Кокстера которых линейны или являются циклами. Эти многогранники имеют не более чем п + 3 гиперграни.

В работе Эссельмана [25] доказано, что размерность ограниченного n-мерного гиперболического многогранника Кокстера с п + 3 гипергранями не превышает 8.

Известны также следующие серии гиперболических многогранников.

В работе [16] В. С. Макаров построил несколько бесконечных серий ограниченных многогранников Кокстера в Ш4 и в Ш5. Каждый многогранник в этих сериях получается склейкой некоторого числа многогранников Pi и Р2, где Pi и Р2 — симплициальные призмы (в Ш5) или симплексы с двумя обрезанными идеальными вершинами (в Ш4).

В. О. Бугаенко [3] построил серию ограниченных многогранников в Шп, п < 7. Они являются фундаментальными многогранниками подгруппы отражений группы ортогональных преобразований формы т / \ ^ 2 2 2 hn\x) =---—Х0 + хх +----ь хп.

В работах Э. Б. Винберга [6], а также Э. Б. Винберга и И. М. Ка-плинской [9] построены неограниченные многогранники в JHn, п < 19. Они являются фундаментальными многогранниками подгруппы отражений группы ортогональных преобразований формы п(я) = — + + • • • +

В продолжение изучения гиперболических многогранников Кокстера, первые три главы настоящей диссертации посвящены классификации гиперболических многогранников Кокстера некоторых комбинаторных типов. Точнее, исследуются многогранники Кокстера конечного объема в Шп сп + 2ип + 3 гипергранями.

3. Гиперболические многогранники Кокстера тесно связаны с одним классом алгебр Каца — Муди. Точнее, следуя книге В. Ка-ца [14], алгебру Каца — Муди назовем гиперболической, если она построена по обобщенной матрице Картана гиперболического типа. В свою очередь, симметризуемая обобщенная матрица Картана называется матрицей гиперболического типа, если при симметризации получается невырожденная матрица сигнатуры (n, 1), любая главная подматрица которой эллиптическая или параболическая. Как и полупростые алгебры Ли, гиперболические алгебры Каца — Муди допускают корневое разложение с некоторой системой корней А. Такие системы корней мы будем называть гиперболическими. Группа Вейля гиперболической системы корней является дискретной группой, порожденной отражениями, в Шп. Ее фундаментальная камера — гиперболический симплекс Кокс-тера.

В [11] Е. Б. Дынкин ввел понятие регулярной подалгебры полупростой алгебры Ли д, как подалгебры, инвариантной относительно присоединенного действия некоторой картановской подалгебры F) алгебры д. Далее Дынкиным перечислены регулярные подалгебры полупростых алгебр Ли, или, что то же самое, подсистемы корней в системах корней. Каждая подсистема корней в системе, кореней соответствует подгруппе, порожденной отражениями, в конечной группе, порожденной отражениями. Таким образом, каждая регулярная подалгебра полупростой алгебры Ли соответствует некоторому разбиению сферического симплекса Ко-кстера.

Аналогично конечномерному случаю, для алгебр Каца — Муди также можно ввести понятие регулярной подалгебры. В последней главе настоящей диссертации классифицированы регулярные гиперболические подалгебры полного ранга и коранга один гиперболических алгебр Каца — Муди.

Нумерация теорем сквозная, нумерация предложений, лемм, таблиц и рисунков подчинена нумерации глав.

Основные результаты

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены основные определения и факты о гиперболических многогранниках Кокстера (полученные Э. Б. Винбергом в работе [8]), а также о выпуклых многогранниках и диаграммах Гейла. Результат этой главы — лемма 1.1 — является основным инструментом, применяемым нами в дальнейшем. Лемма 1.1 устанавливает связь между диаграммой Гейла, отвечающей за комбинаторику многогранника, и схемой Кокстера многогранника Кокстера.

Во второй главе исследуются неограниченные многогранники Кокстера конечного объема в Шп, имеющие п + 2 гиперграни. Используя диаграммы Гейла и классификацию евклидовых многогранников Кокстера, в лемме 2.1 доказано, что искомые многогранники комбинаторно эквивалентны либо произведению двух симплексов, либо пирамиде над произведением двух симплексов.

В разделах 2.1 и 2.2 доказаны теоремы:

Теорема 1. Существует единственный неограниченный гиперболический многогранник Кокстера конечного объема, комбинаторно эквивалентный произведению двух симплексов размерности большей, чем один. Схема Кокстера этого многогранника представлена на рис. 2.1.

Теорема 2. Все гиперболические кокстеровские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением двух симплексов, описаны в табл. 2.2 и 2.3.

Вместе с результатами Каплинской [13] и Эссельмана [24] теоремы 1 и 2 завершают классификацию гиперболических п-мерных многогранников Кокстера, имеющих п + 2 гиперграни.

В третьей главе изучены многогранники Кокстера в Шп, имеющие п + 3 гиперграни. В разделе 3.1 доказана теорема:

Теорема 3. В гиперболическом пространстве размерности п > 17 не существует неограниченных многогранников Кокстера конечного объема сп + 3 гипергранями. В Ш16 существует ровно один такой многогранник; он имеет следующую схему Кокстера:

При доказательстве теоремы 3 попутно мы получаем классификацию неограниченных многогранников Кокстера конечного объема сп + 3 гипергранями, являющихся пирамидами. В лемме 3.11 доказано, что все такие многогранники комбинаторно эквивалентны пирамиде над произведением трех симплексов. Далее, доказана теорема:

Теорема 4. Все гиперболические кокстеровские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением трех симплексов, описаны в таблицах 3.4 и 3.5.

В разделе 3.2 исследуются компактные гиперболические многогранники Кокстера сп + 3 гипергранями. Доказана следующая теорема:

Теорема 5. Все схемы Кокстера ограниченных гиперболических n-мерных многогранников Кокстера сп + 3 гипергранями, п > 4, перечислены в табл. 3.8—3.12.

Вместе с результатами Андреева [1] и Эссельмана [25] теорема 5 завершает классификацию ограниченных гиперболических n-мерных многогранников Кокстера сп + 3 гипергранями.

В четвертой главе изучаются регулярные подалгебры гиперболических алгебр Каца — Муди. Введено определение гиперболической системы корней как системы корней гиперболической алгебры Каца — Муди. С помощью корневого разложения алгебр Каца — Муди устанавливается связь между регулярными гиперболическими подалгебрами, гиперболическими подсистемами корней и разбиениями специального вида гиперболических симплексов Кокстера. Введено понятие максимальной гиперболической подсистемы корней как подсистемы корней Ai С А, для которой не существует гиперболической подсистемы корней А2 С А такой, что Ai С Аг

В разделе 4.2.2 доказана теорема:

Теорема 6. Пусть Р и Р\ — n-мерные гиперболические симплексы Кокстера конечного объема, не имеющие двугранных углов, отличных от \, | и 0. Пусть Wpl С Wp — группы, порожденные отражениями относительно гиперграней Р\ и Р соответственно. Тогда найдутся система корней А с фундаментальным симплексом группы Вейля Р и система корней А\ с фундаментальным симплексом группы Вейля Р\ такие, что Ai С А является подсистемой корней.

В разделе 4.2.3 доказана теорема:

Теорема 7. Пусть Ai С А — гиперболические системы корней, и L\ С L — соответствующие решетки корней. Тогда следующие условия эквивалентны: i) Ai = A nlq. п) Ai С А является подсистемой корней.

При доказательстве теорем б и 7 использован список разбиений специального вида гиперболических треугольников Кокстера, полученный Е. Клименко и М. Сакумой [31], и гиперболических симплексов Кокстера, полученный А. Феликсон [27], [19].

Также в разделе 4.2.3 получена классификация гиперболических подсистем корней полного ранга (см. рис. 4.1-4.19).

В разделе 4.3 получен полный список максимальных гиперболических подсистем коранга один в гиперболических системах корней (см. табл. 4.2-4.8). При этом существенно использован список регулярных подалгебр полупростых алгебр Ли, полученный Б. Б. Дынкиным в [11].

Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. профессору Э. Б. Винбергу и к.ф.-м.н. доценту О. В. Шварцману за постановку задач, полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тумаркин, Павел Викторович, 2003 год

1. Е. М. Андреев, О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского. Мат. сб., 1970, 81, 3, 445-478.

2. Е. М. Андреев, О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского. Мат. сб., 1970, 83, 2, 256260.

3. В. О. Бугаенко, О группах автоморфизмов унимодулярныхгиперболических квадратичных форм над кольцом Z Вест. МГУ. Сер. 1, Математика, механика, 1984, 5, 6-12.

4. Э. Б. Винберг, Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского. Мат. сб., 1967, 72, 471-488.

5. Э. Б. Винберг, Дискретные линейные группы, порожденные отражениями. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1971, 35, 1072-1112.

6. Э. Б. Винберг, О группах единиц некоторых квадратичных форм. Мат. сб., 1972, 87, 18-36.

7. Э. Б. Винберг, Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности. Тр. Моск. мат. об-ва, 1984, 47, 68-102.

8. Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений. Успехи мат. наук, 1985, 40, 29-64.

9. Э. Б. Винберг, И. М. Каплинская, О группах иOig,i(Z). ДАН, 1978, 238, 1273-1275.

10. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления, 1988, т.29, 147-259.

11. Е. Б. Дынкин, Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Мат. сб. нов. сер., 1952, 30, 2, 349-462.

12. В. А. Емеличев, М. М. Ковалев, М. К. Кравцов, Многогранники, графы, оптимизация. — М.: Наука, 1981.

13. И'. М. Каплинская, О дискретных группах, порожденных отражениями в гранях симплициальных призм в пространствах Лобачевского. Мат. заметки, 1974, 15, 159-164.

14. В. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли. — М.: Мир, 1993.

15. И. Котова, Описание систем корней с данной группой Вейля. Мат. заметки, 1998, 64, 3, 397-402.

16. В.С.Макаров, О федоровских группах четырехмерного и пятимерного пространств Лобачевского. Исследования по общей алгебре. — Кишиневский ун-т, 1970, 120-129.

17. В. В. Никулин, О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского. Изв. АН, сер. мат., 1981, 45, 113-142.

18. М. Н. Прохоров, Отсутствие дискретных групп отражений с некомпактным фундаментальным многогранником конечного объема в пространствах Лобачевского большой размерности. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1986, 50, 413-424.

19. А. Феликсон, Кокстеровские разбиения гиперболических симплексов. Мат. сб., 2002, 193, 12, 134-156.

20. А. Г. Хованский, Гиперплоские сечения многогранников, то-рические многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачевского. Функ. ан. и его прил., 1986, 20, 1, 50-61.

21. R. Borcherds. Automorphism groups of Lorentzian lattices. Journal of Algebra 111 (1987), 133-153.

22. V. O. Bugaenko, Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices. Adv. Sov. Math. 8 (1992), 33-55.

23. H. S. M. Coxeter, Discrete groups generated by reflections. Ann. Math. 35 (1934), 588-621.

24. F. Esselmann, The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d + 2 facets. Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229-242.

25. F. Esselmann, Uber kompakte hyperbolische Coxeter-Polytope mit wenigen Facetten. Universitat Bielefeld, SFB 343, Preprint No. 94-087.

26. A. J. Feingold, H. Nicolai, Subalgebras of hyperbolic Kac-Moody algebras. arXiv:math.QA/0303179.

27. A: Felikson, Coxeter decompositions of • hyperbolic tetrahedra, preprint. Universitat Bielefeld, SFB 343, Preprint No. 98-083.

28. B. Griinbaum, Convex polytopes. John Wiley & Sons, 1967.

29. H.-C. Im Hof, Napier cycles and hyperbolic Coxeter groups. Bull. Soc. Math, de Belg. Serie A, XLII (1990), 523-545.

30. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups. Linear Algebra and its Applications, 345 (2002), 119-147.

31. E. Klimenko, M. Sakuma, Two-generator discrete subgroups of Isom (Ш2) containing orientation-reversing elements. Geometriae Dedicata 72 (1998), 247-282.

32. F. banner, On complexes with transitive groups of automorphisms. Comm. Sem. Math. Univ. Lund 11 (1950), 1-71.

33. H. Poincare, Theorie des groups fuchsiennes. Acta Math. 1 (1882), 1-62.

34. J. Tits, Groupes et geometries de Coxeter. Notes polycopiees In-stitut des Hautes Etudes Scientifiques, Paris, 1961.Публикации автора по теме диссертации

35. П. Тумаркин, Гиперболические n-мерные многогранники Кокстера сп + 3 гипергранями. Успехи матем. наук, 2003, 58, 4, 161-162.

36. П. Тумаркин, Многогранники Кокстера в Шп с п + 2 гипергранями. Рукопись деп. в ВИНИТИ № 2141-В 2003. 15 с.

37. П. Тумаркин, Гиперболические n-мерные многогранники Кокстера сп + 3 гипергранями. Труды ММО, 2004, 65, 209-225.

38. П. Тумаркин, Подсистемы корней полного ранга в гиперболических системах корней. Мат. сборник, 2004, 195, 1, 129-142.